To nije iznenađujuće zabavan matematika postao zabava za svih vremena i naroda." Za rješavanje ovakvih problema nisu potrebna posebna znanja - dovoljna je samo jedna pretpostavka, koju je, međutim, ponekad teže pronaći od metodičkog rješavanja standardnog školskog problema.

Rješavanje zabavnog aritmetičkog zadatka.
Za 3 - 5 razrede

Koliko zmajeva?

Dvoglavi i sedmoglavi zmajevi okupili su se na skupu.
Na samom početku mitinga Kralj Zmajeva - Zmaj sa 7 glava prebrojao je sve glave svih okupljenih.

Pogledao je oko svoje krunisane srednje glave i video 25 glava.
Kralj je bio zadovoljan rezultatima proračuna i zahvalio se svim prisutnima na dolasku na skup.

Koliko je zmajeva došlo na miting?

(a) 7; (b) 8; devet; (d) 10; (e) 11;
Rješenje:

Oduzmite od 25 glava koje je izbrojao Kralj Zmajeva, 6 glava koje mu pripadaju.

Ostaće još 19 golova. Svi preostali Zmajevi ne mogu biti dvoglavi (19 je neparan broj).

Može postojati samo 1 7-glavi zmaj (ako je 2, onda će biti neparan broj glava za dvoglave zmajeve. A za tri zmaja nema dovoljno glava: (7 3 = 21> 19).

Oduzmite od 19 glava 7 glava ovog pojedinačnog Zmaja i dobijete ukupan broj glava koje pripadaju dvoglavim Zmajevima.

Dakle, dvoglavi zmajevi:
(19 - 7) / 2 = 6 zmajeva.

Ukupno: 6 +1 +1 (Kralj) = 8 Zmajeva.

Tačan odgovor: b = 8 zmajeva

♦ ♦ ♦

Rješenje zabavni zadatak matematike

Za 4 - 8 razrede

Koliko pobjeda?

Nikita i Aleksandar igraju šah.
Prije početka utakmice, dogovorili su se

da će pobjednik igre dobiti 5 bodova, poraženi neće dobiti nijedan poen, a svaki igrač će dobiti po 2 boda ako se utakmica završi neriješeno.

Odigrali su 13 utakmica i zajedno osvojili 60 poena.
Aleksandar je dobio tri puta više poena za dobijene partije nego za nerešene.

Koliko je pobeda Nikita osvojio?

(a) 1; (b) 2; 3; (d) 4; (e) 5;
Tačan odgovor: (b) 2 pobjede (pobijedio Nikita)

Rješenje.

Svaka igra u neriješenom rezultatu daje 4 boda kasici-prasici, a pobjeda - 5 bodova.
Ako bi se sve utakmice završile neriješeno, tada bi dječaci postigli 4 13 = 52 boda.
Ali postigli su 60 poena.

Iz toga proizilazi da je 8 utakmica završilo pobjedom.
I 13 - 5 = 5 utakmica završeno je neriješeno.

Aleksandar je u 5 remija postigao 5 2 = 10 poena, što znači da je kada je pobedio postigao 30 poena, odnosno dobio je 6 utakmica.
Tada je Nikita dobio (8-6=2) 2 gema.

♦ ♦ ♦

Rješavanje zabavnog aritmetičkog zadatka

Za 4 - 8 razrede

Koliko dana bez hrane?
Marsovski međuplanetarni brod stigao je u posjetu Zemlji.
Marsovci jedu najviše jednom dnevno, ujutro, u podne ili uveče.

Ali jedu samo kada osete glad. Mogu ostati bez hrane nekoliko dana.
Tokom boravka Marsovaca na Zemlji, jeli su 7 puta.
Takođe znamo da su ostali bez hrane 7 puta ujutro, 6 puta u podne i 7 uveče.
Koliko su dana tokom svoje posjete Marsovci bili bez hrane?

(a) 0 dana; (b) 1 dan; 2 dana; (d) 3 dana; (e) 4 dana; (a) 5 dana;
Tačan odgovor: 2 dana (Marsovci su ostali bez hrane)

Rješenje.
Marsovci su jeli 7 dana, jedan obrok dnevno, a broj dana kada su večerali bio je jedan više broja dana kada su doručkovali ili večerali.

Na osnovu ovih podataka moguće je sastaviti raspored hrane Marsovaca. Vjerovatna slika je ova.

Vanzemaljci su ručali prvog dana, večerali drugog, doručak trećeg, ručak četvrtog, večeru petog, doručak šestog i ručak sedmog.

To jest, Marsovci su doručkovali 2 dana, i proveli 7 dana bez doručka, večerali - 2 puta, i proveli 7 dana bez večere, ručali 3 puta i živeli 6 dana bez ručka.

Dakle 7 + 2 = 9 i 6 + 3 = 9 dana. Tako su živjeli na Zemlji 9 dana, a 2 su ostala bez hrane (9 - 7 = 2).

♦ ♦ ♦

Rješavanje zabavnog nestandardnog problema

Za 4 - 8 razrede

Koliko je sati?
Biciklista i pješak su istovremeno napustili tačku A i stalnom brzinom krenuli ka tački B.
Biciklista je stigao do tačke B i odmah se vratio nazad i sreo Pješaka sat vremena nakon što je napustio tačku A.
Ovdje se biciklista ponovo okrenuo i obojica su krenuli u pravcu tačke B.

Kada je biciklista stigao do tačke B, ponovo se vratio i ponovo sreo Pješaka 40 minuta nakon njihovog prvog susreta.
Koliki je zbir cifara broja koji izražava vrijeme (u minutama) potrebno da Pješak stigne od tačke A do tačke B?
(a) 2; (b) 14; 12; (d) 7; (e)9.
Tačan odgovor: e) 9 (zbir cifara broja 180 minuta je vrijeme koje Pješak putuje od A do B)

Sve postaje jasno ako nacrtate crtež.
Pronađite razliku između dva puta bicikliste (jedan put je od A do prvog sastanka (puna zelena linija), drugi put je od prvog susreta do drugog (isprekidana zelena linija)).

Dobijamo da je ova razlika tačno jednaka udaljenosti od tačke A do drugog susreta.
Ovu udaljenost pešak pređe za 100 minuta, a biciklista za 60 minuta - 40 minuta = 20 minuta. Dakle, biciklista ide 5 puta brže.

Označimo rastojanje od tačke A do tačke u kojoj se desio 1 susret kao jedan deo, a put bicikliste do 1. susreta kao 5 delova.

Zajedno, do trenutka kada su se prvi put sreli, prešli su dvostruko rastojanje između tačaka A i B, tj. 5 + 1 = 6 delova.

Dakle, od A do B - 3 dijela. Nakon prvog susreta, pješak će morati ići još 2 dijela do tačke B.

Cijelu će udaljenost preći za 3 sata ili 180 minuta, jer 1 dio pređe za 1 sat.

NESTANDARDNI ZADACI NA ČASU MATEMATIKE

Učitelju osnovna škola Shamalova S.V.

Svaka generacija ljudi postavlja svoje zahtjeve prema školi. Stara rimska poslovica kaže: "Učimo ne za školu, nego za život." Značenje ove poslovice je i danas aktuelno. Moderno društvo diktira obrazovnom sistemu nalog da obrazuje osobu koja je spremna za život u uslovima koji se stalno mijenjaju, za nastavak školovanja, sposobnu da uči cijeli život.

Među duhovnim sposobnostima čovjeka postoji jedna koja je vekovima bila predmet pomne pažnje naučnika i koja je ujedno i dalje najteža i najmisterioznija tema nauke. Ovo je sposobnost razmišljanja. S njom se stalno susrećemo u radu, u nastavi, u svakodnevnom životu.

Svaka aktivnost radnika, školarca i naučnika neodvojiva je od mentalnog rada. U svakoj stvarnoj stvari potrebno je razbiti glavu, baciti se na pamet, odnosno, rečeno jezikom nauke, mora se izvršiti mentalna radnja, intelektualni rad. Poznato je da se problem može riješiti, a ne riješiti, jedan će brzo izaći na kraj s njim, drugi dugo razmišlja. Postoje zadaci koji su izvodljivi i za dijete, a oko nekih se godinama bore čitavi timovi naučnika. Dakle, postoji sposobnost razmišljanja. Neki su u tome bolji, drugi lošiji. Koja je ovo vještina? Na koje načine nastaje? Kako ga kupiti?

Niko se neće sporiti sa činjenicom da svaki nastavnik mora razvijati logičko razmišljanje učenika. To stoji u metodičkoj literaturi, u objašnjenjima nastavnog plana i programa. Međutim, mi nastavnici ne znamo uvijek kako to učiniti. To često rezultira razvojem logičko razmišljanje u velikoj mjeri to ide spontano, pa većina učenika, pa i srednjoškolaca, ne ovladava početnim metodama logičkog mišljenja (analiza, poređenje, sinteza, apstrakcija itd.).

Prema mišljenju stručnjaka, nivo logičke kulture učenika danas se ne može smatrati zadovoljavajućim. Stručnjaci smatraju da razlog tome leži u nedostatku rada na svrsishodnom logičkom razvoju učenika u ranim fazama obrazovanja. Najsavremeniji priručnici za predškolsku djecu i mlađih školaraca sadrži skup svih vrsta zadataka koji se bave takvim metodama mentalne aktivnosti kao što su analiza, sinteza, analogija, generalizacija, klasifikacija, fleksibilnost i varijabilnost mišljenja. Drugim riječima, razvoj logičkog mišljenja se odvija uglavnom spontano, pa većina učenika ne savladava tehnike mišljenja ni u starijim razredima, te se te tehnike moraju podučavati mlađim učenicima.

U svojoj praksi koristim savremene obrazovne tehnologije, različite oblike organizacije obrazovnog procesa, sistem razvojnih zadataka. Ovi zadaci treba da budu razvojnog karaktera (podučavaju određene tehnike razmišljanja), trebaju uzeti u obzir uzrasne karakteristike učenika.

U procesu rješavanja obrazovnih problema djeca razvijaju takvu vještinu odvraćanja pažnje od nebitnih detalja. Ova akcija se daje mlađim učenicima s ništa manje poteškoća nego isticanjem bitnog. Kao rezultat učenja u školi, kada je potrebno redovno izvršavati zadatke bez greške, mlađi učenici uče da kontrolišu svoje razmišljanje, da razmišljaju kada je to potrebno. Najprije se uvode logičke vježbe dostupne djeci, koje imaju za cilj poboljšanje mentalnih operacija.

U procesu izvođenja ovakvih logičkih vježbi, učenici praktično uče da upoređuju različite predmete, uključujući i matematičke, kako bi na osnovu pristupačnih i jednostavnih dokaza na osnovu svog životnog iskustva izgradili ispravne sudove. Logičke vježbe postepeno postaju sve teže.

U svojoj praksi koristim i nestandardne razvojne logičke zadatke. Postoji veliki broj takvih problema; posebno mnogo takve stručne literature je objavljeno posljednjih godina.

U metodološkoj literaturi razvojnim zadacima su dodijeljeni sljedeći nazivi: zadaci za domišljatost, zadaci za domišljatost, zadaci sa "zetom". U svoj svojoj raznolikosti moguće je u posebnu klasu izdvojiti takve zadatke koji se nazivaju zadaci – zamke, provokativni zadaci. U uslovima ovakvih zadataka postoje razne vrste referenci, naznaka, nagovještaja koji guraju da se izabere pogrešan put rješenja ili pogrešan odgovor. Navest ću primjere takvih zadataka.

Zadaci koji nameću jedan, sasvim jasan odgovor.

Koji od brojeva 333, 555, 666, 999 nije djeljiv sa 3?

Zadaci koji vas podstiču na pogrešan odabir odgovora od predloženih tačnih i netačnih odgovora.

Jedan magarac nosi 10 kg šećera, a drugi 10 kg kokica. Ko je imao najveći teret?

Zadaci čiji vas uvjeti tjeraju da izvršite neku radnju sa datim brojevima, kada tu radnju uopće ne trebate.

Automobil Mercedes je prešao 100 km. Koliko milja je prešao svaki točak?

Petya je jednom rekao svojim prijateljima: "Prekjučer sam imao 9 godina, a sljedeće godine ću imati 12 godina." Kog datuma je Petya rođena?

Rješavanje logičkih zadataka pomoću rasuđivanja.

Vadim, Sergej i Mihail studiraju razne strani jezici: kineski, japanski, arapski. Na pitanje koji jezik je svako od njih učio, jedan je odgovorio: "Vadim uči kineski, Sergej ne uči kineski, a Mihail ne uči arapski." Naknadno se pokazalo da je u ovoj izjavi samo jedna tvrdnja tačna. Koji jezik svako od njih uči?

Kratkinje iz Cvjetnog grada posadile su lubenicu. Za njegovo zalijevanje potrebno je tačno 1 litar vode. Imaju samo dvije prazne limenke kapaciteta 3 litre. I 5 l. Kako koristiti ove limenke. Ubacite tačno 1 litar iz rijeke. voda?

Koliko je godina Ilja Muromets sjedio na peći? Poznato je da kada bi sjeo još 2 puta za toliko, onda bi njegova starost bila najveći dvocifreni broj.

Baron Minhauzen je prebrojao broj magičnih dlačica u bradi starog Hottabycha. Pokazalo se da je jednak zbiru najmanjeg trocifrenog broja i najvećeg dvocifrenog broja. Koji je ovo broj?

Kada učim rješavati nestandardne probleme, pridržavam se sljedećih uslova:in prvo , zadatke treba uvoditi u proces učenja u određenom sistemu sa postepenim povećanjem složenosti, jer će preteški zadatak imati malo uticaja na razvoj učenika;in o drugi , potrebno je učenicima omogućiti maksimalnu samostalnost u pronalaženju rješenja problema, dati im priliku da do kraja idu pogrešnim putem kako bi se uvjerili u grešku, vratili se na početak i potražili drugi, pravi put rješavanja;treći , trebate pomoći učenicima da shvate neke od načina, tehnika i općih pristupa rješavanju nestandardnih aritmetičkih zadataka. Najčešće predložene logičke vježbe ne zahtijevaju proračune, već samo tjeraju djecu da donose ispravne prosudbe i daju jednostavne dokaze. Same vježbe su zabavne, pa doprinose nastanku interesa kod djece za proces mentalne aktivnosti. A to je jedan od kardinalnih zadataka obrazovnog procesa u školi.

Primjeri zadataka koji se koriste u mojoj praksi.

Pronađite uzorak i nastavite s vijencem

Pronađite uzorak i nastavite niz

a B C D E F, …

1, 2, 4, 8, 16,…

Rad je započeo razvojem kod djece sposobnosti uočavanja obrazaca, sličnosti i razlika uz postepeno usložnjavanje zadataka. U tu svrhu sam izabraozadaci za identifikaciju obrazaca, zavisnosti i formulisanje generalizacijeuz postepeno povećanje stepena težine zadataka.Rad na razvoju logičkog mišljenja treba da postane predmet ozbiljne pažnje nastavnika i da se sistematski sprovodi na časovima matematike. U tu svrhu, vježbe iz logike treba stalno uključivati ​​u usmeni rad na času. Na primjer:

Pronađite rezultat koristeći ovu jednačinu:

3+5=8

3+6=

3+7=

3+8=

Uporedite izraze, pronađite zajednički jezik u rezultirajućim nejednačinama, formulirajte zaključak:

2+3*2x3

4+4*3x4

4+5*4x5

5+6*5x6

Nastavite s brojevima.

3. 5, 7, 9, 11…

1, 4, 7, 10…

Razmislite o sličnom primjeru za svaki dati primjer.

12+6=18

16-4=12

Šta je zajedničko u pisanju brojeva svakog reda?

12 24 20 22

30 37 13 83

Zadati brojevi:

23 74 41 14

40 17 60 50

Koji broj nedostaje u svakom redu?

U osnovnoj školi često koristim štapiće za brojanje na časovima matematike. To su zadaci geometrijske prirode, jer u toku rješavanja, u pravilu, dolazi do preobražaja, transformacije jedne figure u drugu, a ne samo do promjene njihovog broja. Ne mogu se riješiti ni na jedan prethodno naučen način. U toku rješavanja svakog novog problema, dijete se uključuje u aktivnu potragu za rješenjem, uz težnju ka krajnjem cilju, potrebnoj modifikaciji figure.

Vježbe sa štapićima za brojanje mogu se kombinirati u 3 grupe: zadaci za crtanje date figure od određenog broja štapića; zadaci za promjenu figura, za čije je rješavanje potrebno ukloniti ili dodati navedeni broj štapića; zadaci, čije je rješenje pomicanje štapića kako bi se modificirala, transformirala data figura.

Vježbe sa štapićima za brojanje.

Zadaci za crtanje figura sa određenog broja štapića.

Napravite dva različita kvadrata od 7 štapića.

Zadaci za promjenu figure, gdje trebate ukloniti ili dodati određeni broj štapića.

Zadana je brojka od 6 kvadrata. Morate ukloniti 2 štapa tako da ostanu 4 kvadrata"

Zadaci za pomicanje štapova u svrhu transformacije.

Pomerite dva štapa tako da dobijete 3 trougla.

Redovno vježbanje jedan je od uslova za uspješan razvoj učenika. Prije svega, iz lekcije u lekciju potrebno je razvijati djetetovu sposobnost analize i sinteze, kratkotrajna obuka logičkih pojmova ne daje efekta.

Rješavanje nestandardnih problema formira sposobnost učenika da daju pretpostavke, provjere njihovu pouzdanost i logički ih opravdaju. Govorenje u svrhu dokaza doprinosi razvoju govora, razvoju vještina izvođenja zaključaka, donošenja zaključaka. U procesu primjene ovih vježbi u nastavi i u vannastavnom radu iz matematike, ukazala se pozitivna dinamika uticaja ovih vježbi na nivo razvoja logičkog mišljenja učenika.

Lyabina T.I.

Nastavnik matematike najviša kategorija

MOU "Srednja škola Moshok"

Nestandardni zadaci kao sredstvo za razvoj logičkog mišljenja

Koji se problem u matematici može nazvati nestandardnim? Dobra definicija je data u knjizi

Nestandardni zadaci su oni za koje ne postoje opšta pravila i propisi iz predmeta matematika koji određuju tačan program za njihovo rješavanje. Ne treba ih miješati sa zadacima povećane složenosti. Uslovi zadataka povećane složenosti su takvi da učenicima omogućavaju da dosta lako izdvoje jedan matematički aparat potrebno za rješavanje matematičkog problema. Nastavnik kontroliše proces konsolidacije znanja iz programa obuke rješavanjem zadataka ovog tipa. Ali nestandardni zadatak podrazumijeva prisustvo istraživačke prirode. Međutim, ako je rješenje zadatka iz matematike za jednog učenika nestandardno, budući da mu nisu poznate metode rješavanja zadataka ove vrste, onda se za drugog rješavanje zadatka javlja na standardan način, jer ima već riješio takve probleme i više od jednog. Isti zadatak iz matematike u 5. razredu je nestandardan, a u 6. razredu običan, čak ni povećane složenosti.

Dakle, ako učenik ne zna na koji teorijski materijal da se osloni da bi riješio problem, on također ne zna, onda se u ovom slučaju problem iz matematike može nazvati nestandardnim za određeni vremenski period.

Koje su metode nastave rješavanja zadataka iz matematike koje trenutno smatramo nestandardnim? Nažalost, s obzirom na jedinstvenost ovih zadataka, niko nije smislio univerzalni recept. Neki nastavnici, kako kažu, treniraju šablonske vježbe. To se dešava na sledeći način: nastavnik pokazuje način rešavanja, a zatim učenik to ponavlja prilikom rešavanja zadataka mnogo puta. Istovremeno se ubija interesovanje učenika za matematiku, što je u najmanju ruku žalosno.

Djecu možete naučiti rješavanju problema nestandardnog tipa ako pobudite interesovanje, drugim riječima, ponudite zadatke koji su zanimljivi i smisleni za savremenog učenika. Ili zamijenite formulaciju pitanja koristeći problematične životne situacije. Na primjer, umjesto zadatka „riješi Diafantovu jednačinu“, ponudite rješavanje sljedećeg problema. Može

student da plati kupovinu u vrednosti od 19 rubalja, ako ima samo tri rublje, a prodavac deset rubalja?

Efikasan je i način odabira pomoćnih zadataka. Ovaj način podučavanja rješavanja problema ukazuje na određeni nivo postignuća u rješavanju problema. Obično u takvim slučajevima razmišljajući učenik pokušava sam, bez pomoći nastavnika, da pronađe pomoćne probleme ili da pojednostavi i modifikuje uslove tih problema.

Sposobnost rješavanja nestandardnih problema stiče se praksom. Nije ni čudo što kažu da matematiku ne možete naučiti gledajući kako to komšija radi. Samoučenje i pomoć nastavnika ključ su plodnog učenja.

1.Nestandardni zadaci i njihove karakteristike.

Zapažanja pokazuju da matematiku najviše vole oni učenici koji znaju rješavati probleme. Stoga ćemo, podučavajući djecu ovladavanju sposobnošću rješavanja problema, značajno uticati na njihovo interesovanje za predmet, na razvoj mišljenja i govora.

Nestandardni zadaci u još većoj mjeri doprinose razvoju logičkog mišljenja. Osim toga, oni su moćno sredstvo za aktivaciju kognitivna aktivnost, odnosno izazivaju veliko interesovanje i želju za radom kod dece. Navedimo primjer nestandardnih zadataka.

I. Zadaci za domišljatost.

1. Masa čaplje koja stoji na jednoj nozi je 12 kg. Koliko će čaplja težiti ako stoji na 2 noge?

2. Par konja je trčao 40 km. Koliko je svaki konj pretrčao?

3. Sedam braće ima jednu sestru. Koliko je djece u porodici?

4. Šest mačaka pojede šest miševa za šest minuta. Koliko mačaka je potrebno da pojedu 100 miševa za 100 minuta?

5. Ima 6 čaša, 3 sa vodom, 3 prazne. Kako ih rasporediti tako da se izmjenjuju čaše vode i prazne? Dozvoljeno je pomicanje samo jedne čaše.

6. Geolozi su pronašli 7 kamenja. Težina svakog kamena: 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, 6 kg i 7 kg. Ovo kamenje je položeno u 4 ranca tako

da je u svakom ruksaku masa kamenja bila ista.

Kako su to uradili?

7. U razredu ima počešljanih djevojčica koliko i neočešljanih dječaka. Koga je više u razredu, djevojčica ili neurednih učenika?

8. Letele su patke: jedna ispred i dve iza, jedna iza i dve ispred, jedna između dve i tri u nizu. Koliko je pataka ukupno letjelo?

9. Miša kaže: “Prekjuče sam imao 10 godina, a sledeće godine ću imati 13 godina.” Moguće je?

10. Andrej i Borja imaju 11 bombona, Boris i Vova 13 bombona, a Andrej i Vova 12. Koliko ukupno dečaci imaju bombona?

11. Otac sa dva sina vozili su bicikle: na dva i na tri točka. Imali su ukupno 7 točkova. Koliko je bilo bicikala i kojih?

12. Pilići i prasad u dvorištu. Svi imaju 5 glava i 14 nogu. Koliko pilića, a koliko svinja?

13. Kokoške i zečevi šetaju po dvorištu. Imaju ukupno 12 nogu. Koliko pilića, a koliko zečeva?

14. Svaki Marsovac ima 3 ruke. Može li se 13 Marsovaca spojiti za ruke na takav način da više nema slobodnih ruku?

15. Igrajući se, svaka od tri djevojčice - Katya, Galya, Olya - sakrila je jednu od igračaka - medvjeda, zeca i slona. Katya nije sakrila zeca, Olya nije sakrila ni zeca ni medvjeda. Ko je sakrio igračku?

II. Zabavni zadaci.

1. Kako rasporediti 6 stolica uz 4 zida tako da svaki zid ima 2 stolice.

2. Tata i njegova dva sina otišli su na kampovanje. Na putu su sreli rijeku. Na obali je splav. Stoji na vodi jedan tata ili dva sina. Kako sa sinovima preći na drugu stranu oca?

3. Za jednog konja i dvije krave dnevno se daje 34 kg sijena, a za dva konja i jednu kravu 35 kg sijena. Koliko se sijena dnevno daje jednom konju, a koliko jednoj kravi?

4. Četiri pačića i pet guščića su teški 4kg100g, a pet pačića i četiri guščara 4kg. Koliko je teška jedna patka?

5. Dječak je imao 22 novčića - pet rubalja i deset rubalja, ukupno 150 rubalja. Koliko je bilo kovanica od pet i deset rubalja?

6. U stanu br. 1, 2, 3 žive tri mačića: bijeli, crni i crveni. Nije to bilo crno mače koje je živjelo u apartmanima 1 i 2. Bijelo mače nije živjelo u stanu broj 1. U kom stanu je živjelo svako od mačića?

7. Pet sedmica gusar Yerema može popiti bure ruma. A gusaru Emelji trebale bi dvije sedmice da to uradi. Za koliko dana će pirati završiti rum, djelujući zajedno?

8. Konj pojede kola sijena za mjesec, koza za dva mjeseca, ovca za tri mjeseca. Koliko će vremena trebati konju, kozi, ovci da zajedno pojedu isti tovar sijena?

9. Dvoje ljudi ogulilo 400 krompira; jedan čisti 3 komada u minuti, drugi -2. Drugi je radio 25 minuta više od prvog. Koliko dugo je svaki radio?

10. Među fudbalskim loptama, crvena je teža od smeđe, a smeđa je teža od zelene. Koja je lopta teža: zelena ili crvena?

11. Tri pereca, pet medenjaka i šest peciva zajedno koštaju 24 rublje. Šta je skuplje: pereca ili peciva?

12. Kako pronaći jedan falsifikovan (lakši) novčić od 20 novčića tri vaganja na vagi bez tegova?

13. Iz gornjeg ugla sobe dvije su muve puzale niz zid. Spustivši se na pod, otpuzali su nazad. Prva muva je puzala u oba smjera istom brzinom, a druga, iako se uspinjala duplo sporije od prve, ali se spuštala dvostruko brže od nje. Koja će od muva prva otpuzati nazad?

14. U kavezu su fazani i zečevi. Sve životinje imaju 35 glava i 94 noge. Koliko zečeva u kavezu, a koliko fazana?

15. Kažu da je na pitanje koliko učenika ima, starogrčki matematičar Pitagora odgovorio ovako: „Polovina mojih učenika uči matematiku, četvrti proučava prirodu, sedmi provodi vrijeme u tihom razmišljanju, ostali su 3 djevice“ Kako mnogo učenika je bilo na Pitagori?

III. Geometrijski problemi.

1. Podeliti pravougaonu tortu na dve kriške tako da imaju trouglasti oblik. Koliko dijelova je napravljeno?

2. Nacrtajte figuru bez podizanja vrha olovke sa papira i bez povlačenja iste linije dva puta.

3. Isecite kvadrat na 4 dela i presavijte ih u 2 kvadrata. Kako uraditi?

4. Uklonite 4 štapa tako da ostane 5 kvadrata.

5. Preseći trougao na dva trougla, četvorougao i petougao, crtajući dve prave linije.

6. Može li se kvadrat podijeliti na 5 dijelova i sastaviti osmougao?

IV. Logički kvadrati.

1. Popunite kvadrat (4 x 4) brojevima 1, 2, 3, 6 tako da zbir brojeva u svim redovima, kolonama i dijagonalama bude isti. Brojevi u redovima, kolonama i dijagonalama ne smiju se ponavljati.

2. Obojite kvadrat crvenom, zelenom, žutom i plavom bojom kako se boje u redovima, kolonama i dijagonalama ne bi ponavljale.

3. U kvadrat morate postaviti više brojeva 2,2,2,3,3,3 tako da za sve linije dobijete ukupno 6.

5. U ćelije kvadrata stavite brojeve 4,6,7,9,10,11,12 tako da u kolonama, u redovima i po dijagonalama dobijete zbir 24.

v. Kombinatorski zadaci.

1. Dasha ima 2 suknje: crvenu i plavu, i 2 bluze: na pruge i na točkice. Koliko različitih odjevnih predmeta Dasha ima?

2. Koliko ima dvocifrenih brojeva kod kojih su sve cifre neparne?

3. Roditelji su kupili kartu za Grčku. Do Grčke se može doći jednim od tri načina prevoza: avionom, brodom ili autobusom. Izmislite sve moguće opcije za korištenje ovih vidova transporta.

4. Koliko se različitih riječi može formirati pomoću slova riječi "veza"?

5. Od brojeva 1, 3, 5 sastavite različite trocifrene brojeve tako da u broju nema identičnih brojeva.

6. Upoznala su se tri prijatelja: vajar Belov, violinista Černov i umetnik Rižov. “Super je što je jedna od nas plavuša, druga brineta, a treća crvenokosa. Ali nijedan od njih nema kosu boje na koju se navodi njegovo prezime”, rekla je brineta. "U pravu si", rekao je Belov. Koje je boje umjetnikova kosa?

7. Tri drugarice izašle su u šetnju u bijelim, zelenim i plavim haljinama i cipelama istih boja. Poznato je da samo Anya ima istu boju haljine i cipela. Ni cipele ni Valina haljina nisu bile bijele. Nataša je nosila zelene cipele. Odredite boju haljine i cipela na svakom od prijatelja.

8. U ekspozituri banke rade blagajnik, kontrolor i menadžer. Prezivaju se Borisov, Ivanov i Sidorov. Blagajnik nema braće ni sestara i najniži je od svih. Sidorov je oženjen Borisovljevom sestrom i viši je od kontrolora. Navedite imena kontrolora i menadžera.

9. Za piknik, slatkoljupka Maša je uzela bombone, kolačiće i tortu u tri identične kutije. Kutije su bile označene kao "Bomboni", "Kolačić" i "Torta". Ali Maša je znala da njena majka voli da se šali i da uvek stavlja hranu

kutije sa natpisima koji ne odgovaraju njihovom sadržaju. Maša je bila sigurna da slatkiši nisu u kutiji na kojoj je pisalo "Torta". U kojoj kutiji je torta?

10. Ivanov, Petrov, Markov, Karpov sjede u krugu. Njihova imena su Andrej, Sergej, Timofej, Aleksej. Poznato je da Ivanov nije ni Andrej ni Aleksej. Sergej sjedi između Markova i Timofeja. Petrov sjedi između Karpova i Andreja. Kako se zovu Ivanova, Petrov, Markov i Karpov?

VI. Zadaci transfuzije.

1. Da li je moguće, sa samo dvije posude zapremnine 3 i 5 litara, crpiti 4 litre vode iz slavine?

2. Kako ravnomjerno podijeliti između dvije porodice 12 litara hljebnog kvasa, smještenog u posudi od dvanaest litara, koristeći dvije prazne posude za to: osmolitarsku i trolitarsku?

3. Kako, sa dvije posude kapaciteta 9 litara i 5 litara, izvući tačno 3 litre vode iz rezervoara?

4. Limenka kapaciteta 10 litara se puni sokom. Još uvijek ima praznih posuda od 7 i 2 litre. Kako sipati sok u dvije posude od po 5 litara?

5. Postoje dva plovila. Kapacitet jednog od njih je 9 litara, a drugog 4 litre. Kako koristiti ove posude za sakupljanje 6 litara neke tečnosti iz rezervoara? (Tečnost se može isprazniti nazad u rezervoar).

Analiza predloženih tekstualnih zadataka pokazuje da se njihovo rješavanje ne uklapa u okvir određenog sistema tipičnih zadataka. Takvi problemi se nazivaju nestandardni (I. K. Andronov, A. S. Pchelko, itd.) ili nestandardni (Yu. M. Kolyagin, K. I. Neshkov, D. Poya, itd.)

Rezimirajući različite pristupe metodologa u razumijevanju standardnih i nestandardnih zadataka (D. Poya, Ya. M. Fridman, itd.), pod nestandardni zadatak razumemo takav zadatak, čiji algoritam nije poznat studentu i nije dalje formiran kao programski zahtev.

analiza udžbenika i nastavna sredstva u matematici pokazuje da svaki tekstualni zadatak pod određenim uslovima može biti nestandardan, au drugim - običan, standardni. Standardni problem u jednom kursu matematike može biti nestandardan u drugom kursu.

Na primjer. “Na aerodromu je bilo 57 aviona i 79 helikoptera, poletjelo je 60 automobila. Može li se tvrditi da postoji: a) najmanje 1 vazduhoplov u vazduhu; b) najmanje 1 helikopter?

Takvi zadaci su bili fakultativni za sve učenike, bili su namijenjeni najsposobnijima za matematiku.

“Ako želite naučiti kako rješavati probleme, onda ih riješite!” - savjetuje D. Poya.

Glavna stvar u ovom slučaju je formirati takav opći pristup rješavanju problema, kada se problem posmatra kao predmet istraživanja, a njegovo rješenje - kao dizajn i pronalazak metode rješenja.

Naravno, takav pristup ne zahtijeva nepromišljeno rješavanje ogromnog broja problema, već lagano, pažljivo i temeljito rješavanje znatno manjeg broja problema, ali uz naknadnu analizu rješenja.

Dakle, ne postoje opšta pravila za rešavanje nestandardnih problema (zato se ovi problemi nazivaju nestandardnim). Međutim, istaknuti matematičari i učitelji (S.A. Yanovskaya, L.M. Fridman,

E.N. Balayan) pronašao niz općih smjernica i preporuka koje se mogu slijediti u rješavanju nestandardnih problema. Ove smjernice se obično nazivaju heurističkim pravilima ili, jednostavno, heuristika. Riječ "heuristički" grčkog porijekla i znači "umetnost pronalaženja istine".

Za razliku od matematičkih pravila, heuristika je u prirodi neobaveznih preporuka, savjeta, poštivanje kojih može (a ne mora) dovesti do rješavanja problema.

Proces rješavanja bilo kojeg nestandardnog zadatka (prema

S.A. Yanovskaya) sastoji se od uzastopne primjene dvije operacije:

1. redukcija putem transformacija nestandardnog zadatka u drugi, njemu sličan, ali već standardni zadatak;

2. dijeljenje nestandardnog zadatka na nekoliko standardnih podzadataka.

Ne postoje posebna pravila za svođenje nestandardnog zadatka na standardni. Međutim, ako pažljivo, promišljeno analizirate, riješite svaki problem, fiksirajući u memoriji sve metode kojima su rješenja pronađena, kojim metodama su problemi riješeni, tada se razvija vještina u takvim informacijama.

Razmotrite primjer zadatka:

Putem, uz grmlje, hodalo je desetak repova,

Pa, moje pitanje je ovo - koliko je petlova bilo?

I bilo bi mi drago da znam - koliko je svinja bilo?

Ukoliko ovaj problem nije moguće riješiti, pokušat ćemo ga svesti na sličan.

Hajde da preformulišemo:

1. Izmislimo i riješimo sličan, ali jednostavniji.

2. Koristimo njegovo rješenje da riješimo ovo.

Poteškoća je u tome što postoje dvije vrste životinja u problemu. Neka svi budu prasići, onda će biti 40 nogu.

Hajde da napravimo sličan problem:

Putem, uz grmlje, hodalo je desetak repova.

Zajedno su negdje išli pijetlovi i prasići.

Pa, moje pitanje je - koliko je petlova bilo?

I bilo bi mi drago da znam - koliko je svinja bilo?

Jasno je da ako ima 4 puta više nogu nego repa, onda su sve životinje prasad.

U sličnom problemu uzeto je 40 nogu, au glavnom ih je bilo 30. Kako smanjiti broj nogu? Zamijenite prasence petlićem.

Rješenje glavnog problema: da su sve životinje prasad, onda bi imale 40 nogu. Kada svinju zamijenimo pijetlom, broj nogu se smanjuje za dva. Ukupno, morate napraviti pet izmjena da biste dobili 30 nogu. Dakle, prošetalo je 5 petlova i 5 prasića.

Kako doći do "sličnog" problema?

2 načina za rješavanje problema.

U ovom zadatku možete primijeniti princip izjednačavanja.

Neka sve svinje stanu na zadnje noge.

10 * 2 \u003d 20 toliko stopa hoda stazom

30 - 20 \u003d 10 toliko prednjih nogu prasadi

10:2 = 5 svinja je hodalo stazom

Pa, pijetlovi 10 -5 = 5.

Hajde da formulišemo nekoliko pravila za rešavanje nestandardnih problema.

1. "Lako" pravilo: ne preskačite najlakši zadatak.

Obično se zanemaruje jednostavan zadatak. I morate početi s njom.

2. „Sljedeće“ pravilo: ako je moguće, uslove treba mijenjati jedan po jedan. Broj uslova je konačan broj, tako da će prije ili kasnije svi doći na red.

3. „Nepoznato“ pravilo: nakon promjene jednog uvjeta označite drugi koji je s njim povezan sa x, a zatim ga odaberite tako da se pomoćni problem riješi na datoj vrijednosti, a ne kada se x poveća za jedan.

3. „Zanimljivo“ pravilo: učinite uslove problema interesantnijim.

4. „Privremeno“ pravilo: ako se u zadatku odvija neki proces i konačno stanje je određenije od početnog, vrijedi započeti vrijeme u suprotnom smjeru: razmotrite zadnji korak procesa, zatim pretposljednji jedan, itd.

Razmotrite primjenu ovih pravila.

Zadatak broj 1. Pet dečaka je pronašlo devet pečuraka. Dokažite da su barem dva od njih našla jednak broj gljiva.

1. korak Ima puno momaka. Neka u sljedećem zadatku budu 2 manje.

“Tri dječaka su našla x pečurke. Dokažite da su najmanje dvojica podjednako našli gljive.

Da bismo to dokazali, ustanovimo za koje x problem ima rješenje.

Za x=0, x=1, x=2 problem ima rješenje, za x=3 problem nema rješenje.

Hajde da formulišemo sličan problem.

Tri dječaka su našla 2 gljive. Dokažite da su barem dva od njih našla jednak broj gljiva.

Neka sva tri dječaka nađu različit broj gljiva. Tada je minimalni broj gljiva 3, jer je 3=0+1+2. Ali prema uslovu, broj gljiva je manji od 3, tako da su dva od tri dječaka našla isti broj gljiva.

Prilikom rješavanja originalnog problema, rezonovanje je potpuno isto. Neka svako, pet dečaka, nađe različit broj pečuraka. Minimalni broj gljiva bi tada trebao biti 10. (10 =0+1+2+3+4). Ali prema stanju, broj gljiva je manji od 10, pa su dva dječaka našla isti broj gljiva.

Prilikom rješavanja korišteno je "nepoznato" pravilo.

Zadatak broj 2. Labudovi su leteli iznad jezera. Pola labudova i pola labuda sletjelo je na svaki, ostali su letjeli dalje. Svi su sjeli na sedam jezera. Koliko je labudova bilo?

1. korak Postoji proces, početno stanje nije definisano, konačno stanje je nula, tj. nije bilo letećih labudova.

Vrijeme počinjemo u suprotnom smjeru, osmislivši sljedeći zadatak:

Labudovi su leteli iznad jezera. Na svakom je poletelo pola labuda i još toliko koliko je sada poletelo. Svi su poletjeli sa sedam jezera. Koliko je labudova bilo?

2 korak. Počinjemo od nule:

(((((((0+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2 =127.

Zadatak broj 3.

Na mostu preko rijeke susreli su se lofer i đavo. Bezveznik se žalio na svoje siromaštvo. Kao odgovor, đavo je predložio:

Mogu ti pomoći. Svaki put kada pređete ovaj most, vaš novac će se udvostručiti. Ali svaki put kada pređete most, moraćete da mi date 24 kopejke. Lufer je tri puta prešao most, a kada je pogledao u novčanik, bio je prazan. Koliko je novca imao ljenčar?

(((0+24):2+24):2+24):2= 21

Prilikom rješavanja zadataka br. 2 i br. 3 korišteno je "privremeno" pravilo.

Zadatak broj 4. Kovač zabije jedno kopito za 15 minuta. Koliko će 8 kovača trebati da potkuju 10 konja. (Konj ne može stajati na dvije noge.)

1. korak Previše je konja i kovača, smanjimo njihov broj proporcionalno, čineći problem.

Kovač potkuje jedno kopito za pet minuta. Koliko vremena treba četiri kovača da potkoju pet konja?

Jasno je da je minimalno moguće vrijeme 25 minuta, ali da li se može dostići? Potrebno je organizirati rad kovača bez zastoja. Postupimo bez narušavanja simetrije. Rasporedite pet konja u krug. Nakon što četiri kovača potkuju po jedno konjsko kopito, kovači pokreću jednog konja u krug. Da biste zaobišli puni krug, potrebno je pet ciklusa rada po pet minuta. Tokom 4 ciklusa, svaki konj će biti potkovan, a jedan ciklus će se odmoriti. Kao rezultat, svi konji će biti potkovani za 25 minuta.

2 korak. Vraćajući se na prvobitni problem, imajte na umu da je 8=2*4 i 10=2*5. Zatim 8 kovača treba podijeliti u dvije brigade

Po 4 osobe, a konji - dva stada od po 5 konja.

Za 25 minuta prvi tim kovača će iskovati prvo stado, a drugi - drugo.

Prilikom rješavanja korišteno je pravilo “sljedeće”.

Naravno, može postojati problem na koji se ne može primijeniti nijedno od gore navedenih pravila. Zatim morate izmisliti posebnu metodu za rješavanje ovog problema.

Mora se imati na umu da je rješavanje nestandardnih problema umjetnost kojom se može savladati samo kao rezultat stalne introspekcije akcija za rješavanje problema.

2. Obrazovne funkcije nestandardnih zadataka.

Uloga nestandardnih zadataka u formiranju logičkog mišljenja.

U sadašnjoj fazi obrazovanja postoji tendencija da se zadaci koriste kao neophodna komponenta nastave matematike. Ovo se objašnjava, prije svega, sve većim zahtjevima usmjerenim na jačanje razvojnih funkcija obuke.

Koncept "nestandardnog zadatka" koriste mnogi metodolozi. dakle, Yu. M. Kolyagin proširuje ovaj pojam na sljedeći način: nestandardni razumeo zadatak, pri čijoj prezentaciji učenici ne znaju unaprijed ni način rješavanja, ni na kojem nastavnom materijalu se rješenje zasniva.

Na osnovu analize teorije i prakse korišćenja nestandardnih zadataka u nastavi matematike, utvrđena je njihova opšta i specifična uloga.

Nestandardni zadaci:

Uče djecu da koriste ne samo gotove algoritme, već i samostalno pronalaze nove načine rješavanja problema, odnosno doprinose sposobnosti pronalaženja originalnih načina rješavanja problema;

Uticati na razvoj domišljatosti, domišljatosti učenika;

sprečavaju razvoj štetnih klišea pri rješavanju problema, uništavaju pogrešne asocijacije u znanjima i vještinama učenika, uključuju ne toliko asimilaciju algoritamskih tehnika, koliko pronalaženje novih veza u znanju, do prenošenja

znanja u novim uslovima, do ovladavanja raznim metodama mentalne aktivnosti;

Oni stvaraju povoljne uslove za povećanje snage i dubine znanja učenika, osiguravaju svjesno usvajanje matematičkih pojmova.

Nestandardni zadaci:

Ne bi trebalo da imaju gotove algoritme koje deca pamte;

Treba da bude pristupačan u sadržaju svim studentima;

Mora biti zanimljiv po sadržaju;

Za rješavanje nestandardnih zadataka učenici treba da posjeduju dovoljno znanja koja su stekli u programu.

3. Metodika za formiranje sposobnosti rješavanja nestandardnih zadataka.

Zadatak broj 1.

Karavan deva se polako kreće kroz pustinju, ima ih ukupno 40. Ako prebrojite sve grbe ovih deva, dobijete 57 grba. Koliko je jednogrbih kamila u ovom karavanu?

Koliko grba mogu imati kamile?

(mogu biti dva ili jedan)

Zakačimo cvijet na svaku devu na jednoj grbi.

Koliko cvijeća će vam trebati? (40 kamila - 40 cvjetova)

Koliko će kamila ostati bez cvijeća?

(Biće ih 57-40=17. Ovo su druge grbe dvogrbe deva).

Koliko baktrijskih kamila? (17)

Koliko je jedna grba deva? (40-17=23)

Šta je odgovor na problem? (17 i 23 kamile).

Zadatak broj 2.

U garaži je bilo automobila i motocikala sa prikolicom, ukupno 18. Automobili i motocikli su imali 65 točkova. Koliko je motocikala sa prikolicom bilo u garaži ako su automobili imali 4 točka, a motocikl 3 točka?

Hajde da preformulišemo problem. Razbojnici koji su došli u garažu, u kojoj je bilo 18 automobila i motocikala sa prikolicom, skinuli su po tri točka sa svakog automobila i svakog motocikla i odnijeli ih. Koliko je točkova ostalo u garaži ako ih je bilo 65? Da li pripadaju automobilu ili motociklu?

Koliko su točkova uzeli pljačkaši? (3*18=54 kotača)

Koliko točkova je ostalo? (65-54=11)

Koliko je automobila bilo u garaži?

U garaži je bilo 18 automobila i motocikala sa prikolicom. Automobili i motocikli imaju 65 točkova. Koliko motocikala ima u garaži ako u svaku prikolicu stave po jednu rezervnu gumu?

Koliko točkova su zajedno imali automobili i motocikli? (4*18=72)

Koliko ste rezervnih točkova stavili u svaka kolica? (72-65=7)

Koliko automobila ima u garaži? (18-7=1)

Zadatak broj 3.

Za jednog konja i dvije krave dnevno se daje 34 kg sijena, a za dva konja i jednu kravu 35 kg sijena. Koliko se sijena daje jednom konju, a koliko jednoj kravi?

Napišimo kratko stanje problema:

1 konj i 2 krave -34kg.

2 konja i 1 krava -35kg.

Da li je moguće znati koliko je sijena potrebno za 3 konja i 3 krave? (za 3 konja i 3 krave - 34+35=69 kg)

Da li je moguće znati koliko je sijena potrebno za jednog konja i jednu kravu? (69: 3 - 23 kg)

Koliko je sijena potrebno za jednog konja? (35-23=12kg)

Koliko je sijena potrebno za jednu kravu? (23 -13 =11 kg)

Odgovor: 12kg i 11kg

Zadatak broj 4.

- Guske su letele: 2 ispred, 1 iza, 1 ispred, 2 iza.

Koliko je gusaka preletjelo?

Koliko je gusaka preletjelo, kako stoji u stanju? (2 ispred, 1 iza)

Nacrtajte ga tačkama.

Crtajte tačkama.

Prebroj šta imaš (2 ispred, 1, 1, 2 iza)

Je li to ono što uslov kaže? (ne)

Dakle, nacrtao si dodatne guske. Iz vašeg crteža možete reći da je 2 ispred, a 4 iza, ili 4 ispred, a 2 iza. A to nije uslov. Šta treba učiniti? (ukloniti zadnje 3 tačke)

Šta će se desiti?

Pa koliko je gusaka preletjelo? (3)

Zadatak broj 5.

Četiri pačića i pet guščića su teški 4kg i 100g, pet pačića i četiri guska su teški 4kg. Koliko je teška jedna patka?

Hajde da preformulišemo problem.

Četiri pačića i pet guščića su teški 4kg i 100g, pet pačića i četiri guska su teški 4kg.

Koliko su jedno pače i jedan guščić teški zajedno?

Koliko zajedno teže 9 pačića i 9 gusaka?

Primijenite rješenje pomoćnog zadatka da riješite glavni, znajući koliko su 3 pačeta i 3 gusjenice teški zajedno?

Zadaci sa elementima kombinatorike i domišljatosti.

Zadatak broj 6.

Marina je odlučila doručkovati u školskoj menzi. Pogledaj jelovnik i reci mi na koliko načina može izabrati piće i poslasticu?

Pretpostavimo da Marina bira čaj od pića. Koje slatkiše može izabrati za čaj? (čaj - kolač od sira, čaj - kolačići, čaj - rolnica)

Na koliko načina? (3)

A ako kompot? (takođe 3)

Pa kako znaš na koliko načina Marina može birati svoj ručak? (3+3+3=9)

Da u pravu si. Ali da bismo lakše riješili takav problem, koristit ćemo grafove. Označimo piće i slatkiše tačkama i povežimo parove onih jela koje Marina izabere.

čaj od mlijeka kompot

cheesecake kolačići lepinja

Sada izbrojimo broj redova. Ima ih 9. Dakle, postoji 9 načina izbora jela.

Zadatak broj 7.

Tri heroja - Ilya Muromets, Alyosha Popovich i Dobrynya Nikitich, štiteći se od invazije rodna zemlja, pokosio Zmiju Gorynych svih 13 golova. Ilja Muromets je posjekao najviše glava, a Aljoša Popović najmanje. Koliko glava bi svaki od njih mogao posjeći?

Ko može odgovoriti na ovo pitanje?

(učitelj pita nekoliko ljudi - svi imaju različite odgovore)

Zašto postoje različiti odgovori? (jer se ne kaže konkretno koliko je glava posjekao barem jedan od junaka)

Pokušajmo pronaći sva moguća rješenja za ovaj problem. Tabela će nam pomoći u tome.

Koji uslov moramo ispuniti prilikom rješavanja ovog problema? (Svi heroji posečeni različit iznos golova, a Aljoša ima najmanje, Ilja ima najviše)

Koliko mogućih rješenja ima ovaj problem? (8)

Takvi problemi se nazivaju problemi sa više rješenja.

Sastavite svoj problem s više rješenja.

Zadatak broj 8.

-U borbi sa troglavom i trorepom Zmijom Gorynychom

Ivan Tsarevich jednim udarcem mača može sasjeći ili jednu glavu, ili dvije glave, ili jedan rep, ili dva repa. Ako odsiječeš jednu glavu, izrasće nova; ako odsečeš jedan rep, izrasće dva nova; ako odsečeš dva repa, izrasće glava; ako odsečeš dve glave, ništa neće rasti. Savjetujte Ivana Tsareviča šta da učini kako bi mogao odsjeći sve glave i repove Zmiji.

Šta će se dogoditi ako Ivan Tsarevich odsiječe jednu glavu? (narasce nova glava)

Ima li smisla odsjeći jednu glavu? (ne, ništa se neće promijeniti)

Dakle, odsijecanje jedne glave je isključeno - dodatno gubljenje vremena i truda.

Šta se dešava ako se odseče jedan rep? (dva nova repa će izrasti)

A ako odsiječeš dva repa? (glava raste)

Šta je sa dve glave? (ništa neće rasti)

Dakle, ne možemo odsjeći jednu glavu, jer se ništa neće promijeniti, glava će opet rasti. Potrebno je postići takvu situaciju da ima paran broj glava, a ne repova. Ali za to je potrebno da postoji paran broj repova.

Kako možete postići željeni rezultat?

jedan). 1. pogodak: odseći 2 repa - biće 4 glave i 1 rep;

2. pogodak: odseći 1 rep - biće 4 glave i 2 repa;

3. pogodak: odseći 1 rep - biće 4 glave i 3 repa;

4. pogodak: odseći 1 rep - biće 4 glave i 4 repa;

5. pogodak: odseći 2 repa - biće 5 glava i 2 repa;

6. pogodak: odseći 2 repa - biće 6 glava i 0 repova;

7. pogodak: odseći 2 glave - biće 4 glave;

2). 1. pogodak: odsjeći 2 glave - postaje 1 glava i 3 repa;

2. pogodak: odseći 1 rep - biće 1 glava i 4 repa;

3. pogodak: odseći 1 rep - biće 1 glava i 5 repova;

4. pogodak: odseći 1 rep - biće 1 glava i 6 repova;

5. pogodak: odseći 2 repa - biće 2 glave i 4 repa;

6. pogodak: odseći 2 repa - biće 3 glave i 2 repa;

7. pogodak: odseći 2 repa - biće 4 glave;

8. pogodak: odseći 2 glave - biće 2 glave;

9. pogodak: odsjeći 2 glave - postaje 0 glava.

Zadatak broj 9.

U porodici je četvero djece: Seryozha, Ira, Vitya i Galya. Imaju 5, 7, 9 i 11 godina. Koliko god svaki od njih ima, ako neko od dječaka ide u Kindergarten, Ira je mlađa od Sereže, a zbir godina djevojčica je djeljiv sa 3?

Ponovite izjavu o problemu.

Da se ne bismo zbunili u procesu zaključivanja, crtamo tabelu.

Šta znamo o jednom od dječaka? (ide u vrtić)

Koliko godina ima ovaj dječak? (pet)

Može li se ovaj dječak zvati Serjoža? (ne, Seryozha je stariji od Ire, tako da se zove Vitya)

Stavimo znak "+" u red "Vitya", kolona "5". Dakle, najmlađe dijete se zove Vitya i ima 5 godina.

Šta znamo o Iri? (mlađa je od Serezhe, a ako njenoj dobi dodamo godine još jedne sestre, onda će se ovaj iznos podijeliti sa 3)

Pokušajmo izračunati sve zbrojeve brojeva 7, 9 i 11.

16 i 20 nisu djeljivi sa 3, ali 18 je djeljivo sa 3.

Dakle, djevojčice imaju 7 i 11 godina.

Koliko godina ima Seryozha? (devet)

A Ire? (7, jer je mlađa od Sereže)

A Gale? (11 godina)

Unošenje podataka u tabelu:

Šta je odgovor na problem? (Vita ima 5 godina, Ira ima 7 godina, Serezha ima 9 godina, a Galya ima 11 godina)

Zadatak broj 10.

Katja, Sonja, Galja i Toma rođeni su 2. marta, 17. maja, 2. juna, 20. marta. Sonya i Galya su rođene istog mjeseca, dok su Galya i Katya imale isti rođendan. Ko, kog datuma i kog meseca je rođen?

Pročitaj zadatak.

šta mi znamo? (da su Sonja i Galja rođene istog meseca, a Galja i Katja istog datuma)

Dakle, koji mjesec je Sonya i Galyin rođendan? (u martu)

A šta možete reći o Galyi, znajući da je rođena u martu, pa čak i njen broj odgovara broju Katje? (Galya je rođena 2. marta)

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Uvod

1. Teorijske osnove za formiranje interesovanja za matematiku

1.1 Suština koncepta "interesa"

1.2 Nestandardni zadaci i njihovi tipovi

1.3 Metode rješavanja nestandardnih problema

2. Formiranje umijeća učenika za rješavanje nestandardnih zadataka

2.1 Nestandardni zadaci za učenike osnovna škola

2.2 Nestandardni zadaci za matičnu školu

Zaključak

Književnost

Uvod

Strategija savremeno obrazovanje je pružiti priliku svim studentima da pokažu svoje talente i kreativnost, što podrazumijeva mogućnost realizacije ličnih planova. Stoga je danas aktuelan problem iznalaženja sredstava za razvoj mentalnih sposobnosti povezanih sa kreativnom aktivnošću učenika, kako u kolektivnim tako i u individualnim oblicima obrazovanja. Ovom problemu je posvećen rad nastavnika T.M. Davidenko, L.V. Zankova, A.I. Savenkov i drugi, koji se fokusiraju na određivanje sredstava za povećanje produktivne kognitivne aktivnosti učenika, organizovanje njihove kreativne aktivnosti.

Interesovanje za predmet doprinosi aktivnom sticanju znanja, budući da studenti uče po svojoj unutrašnjoj želji, na sopstveni zahtev. Tada nastavno gradivo uče prilično lako i temeljito. Ali u posljednje vrijeme primjećuje se alarmantna i paradoksalna činjenica: interes za učenje opada iz razreda u razred, uprkos činjenici da se interes za pojave i događaje okolnog svijeta nastavlja razvijati, postajući sadržajno složeniji.

Podizanje interesovanja školaraca za matematiku, razvoj njihovih matematičkih sposobnosti nemoguće je bez upotrebe u obrazovnom procesu inteligentnih zadataka, šaljivih zadataka, numeričkih zagonetki, zadataka iz bajke i sl. S tim u vezi, postoji tendencija da se nestandardni zadaci koriste kao neophodna komponenta nastave matematike (S. G. Guba, 1972).

Pedagoško iskustvo pokazuje da je „...efikasno organizovana obrazovna aktivnost učenika u procesu rešavanja nestandardnih zadataka najvažnije sredstvo za formiranje matematičke kulture i kvaliteta matematičkog mišljenja; organska kombinacija ovih kvaliteta očituje se u posebnim sposobnostima osobe, dajući mu priliku da uspješno obavlja kreativnu aktivnost.

Dakle, s jedne strane, potrebno je učenike naučiti rješavanju nestandardnih zadataka, jer takvi zadaci igraju posebnu ulogu u oblikovanju interesovanja za predmet i u oblikovanju kreativna ličnost S druge strane, brojni podaci ukazuju da se problemu razvijanja sposobnosti rješavanja ovakvih problema, učenja pronalaženja rješenja problema ne posvećuje dužna pažnja.

Navedeno je odredilo izbor teme istraživanja: „Nestandardni zadaci kao sredstvo za formiranje interesovanja učenika za matematiku“.

Predmet proučavanja - proces formiranja interesovanja za matematiku kod školaraca.

Predmet studija- formiranje sposobnosti učenika za rješavanje nestandardnih zadataka za formiranje interesovanja za matematiku.

Svrha studije- dokazati da poznavanje različitih metoda doprinosi formiranju sposobnosti učenika za rješavanje nestandardnih problema.

U skladu sa ciljem, tj ciljevi istraživanja:

Studij psiholoških, pedagoških i naučnih metodičke literature i karakterizacija pojmova "interes" i "nestandardni zadatak".

· Identifikacija tipova nestandardnih zadataka.

· Upoznavanje sa metodama rješavanja nestandardnih problema.

· Sastavljanje didaktičkih materijala za učenike o formiranju vještina rješavanja nestandardnih zadataka različitim metodama.

Ovaj rad se sastoji od uvoda, dva poglavlja, zaključka i liste literature. Prvo poglavlje je teorijske prirode, razmatra različita tumačenja pojma „interes“, ističe ulogu nestandardnih zadataka u oblikovanju interesovanja učenika za matematiku i daje neke klasifikacije nestandardnih zadataka. Drugo poglavlje predstavlja autora studije didaktički materijal usmjerena na razvijanje sposobnosti rješavanja nestandardnih problema različitim metodama

U toku rada korišćena je teorijska metoda, analiza nastavne i metodičke literature i modeliranje.

1. Teorijske osnove za formiranje interesovanja za matematiku

1.1 Suština shvaćenai ja« interes»

Postoje različiti pristupi konceptu "interesa". Razni metodisti i naučnici to različito tumače. Tako, na primjer, lingvista, leksikograf, doktor filoloških nauka i profesor Sergej Ivanovič Ožegov daje nekoliko definicija pojma "interesa":

1. Posebna pažnja na nešto, želja da se udubi u suštinu, nauči, shvati. (Pokažite interesovanje za slučaj. Izgubite interesovanje za sagovornika. Pojačano interesovanje za sve novo).

2. Zabava, značaj. (Interes priče je u njenom zapletu. Slučaj je od javnog interesa).

3. Brojne potrebe, potrebe. (Grupni interesi. Zaštita naših interesa. Duhovni interesi. To nije u našim interesima).

4. Korist, lični interes (kolokvijalno). (Ovdje ima svoj interes. Igraj za kamatu - za novac) (S.I. Ozhegov, 2009).

Ruski naučnik i pisac Vladimir Ivanovič Dal, koji se proslavio kao autor Objašnjavnog rečnika živog velikoruskog jezika, daje sledeću definiciju:

„Interes - korist, korist, profit; kamata, rast novca; simpatija prema nekome ili nečemu, učešće, briga. Zabava ili značaj, važnost stvari.

Interes je selektivna orijentacija osobe, njene pažnje, misli, misli (S.L. Rubinshtein).

Interes je svojevrsni spoj emocionalno-voljnih i intelektualnih procesa, koji povećava aktivnost svijesti i ljudske aktivnosti (L.A. Gordon).

Interes je aktivna kognitivna orijentacija osobe na određeni predmet, pojavu i aktivnost, stvorena pozitivnim emocionalnim stavom prema njima (V.A. Krutetsky)".

Interesi osobe određeni su društveno-istorijskim i individualnim uslovima njegovog života. Uz pomoć interesa uspostavlja se veza subjekta sa objektivnim svijetom. Sve što čini predmet interesovanja čovek vadi iz okolne stvarnosti. Ali predmet interesovanja za osobu je daleko od svega što ga okružuje, već samo ono što mu je potrebno, značaj, vrijednost i privlačnost.

Interesi ljudi su izuzetno raznoliki. Postoji nekoliko klasifikacija interesovanja:

materijalni interesi (manifestiraju se u želji za stanovanjem, gastronomskim proizvodima, odjećom i sl.);

duhovni interesi (To su kognitivna interesovanja za matematiku, fiziku, hemiju, biologiju, filozofiju, psihologiju itd., interesovanja za književnost i različite vrste umjetnosti (muzika, slikarstvo, pozorište). karakterizirati visoki nivo lični razvoj.);

javni interesi (Uključuje interes za socijalni rad, u organizacione aktivnosti.);

po smjeru:

široki interesi (Različiti interesi u prisustvu glavnog, centralnog interesa.);

uski interesi (Prisustvo jednog ili dva ograničena i izolovana interesa uz potpunu indiferentnost prema svemu ostalom.);

duboka interesovanja (Potreba za temeljnim proučavanjem objekta u svim detaljima i suptilnostima.);

površni interesi (klizi po površini fenomena i nema stvarnog interesa za predmet.);

Po snazi:

održivi interesi (Dugotrajni, igraju značajnu ulogu u životu i aktivnostima osobe i relativno su fiksne karakteristike njegove ličnosti.);

nestabilni interesi (uporedivo kratkoročni: brzo nastaju i brzo nestaju.);

posredovanjem:

direktni (neposredni) interesi (nazivaju se samim sadržajem određene oblasti znanja ili aktivnosti, njenom zabavom i fascinacijom.);

indirektni (posredovani) interesi (nisu uzrokovani sadržajem objekta, već vrijednošću koju on ima, jer je povezan sa drugim objektom koji je od direktnog interesa za osobu.);

U pogledu efikasnosti:

pasivni interesi;

kontemplativni interesi (Kada je osoba ograničena na percepciju predmeta interesovanja.);

aktivni interesi;

efektivni interes (Kada osoba nije ograničena na kontemplaciju, već djeluje kako bi ovladala predmetom interesa.) (G.I. Shchukina, 1988).

Postoji posebna vrsta ljudski interesi – kognitivni interesi.

„Kognitivni interes je selektivna orijentacija ličnosti okrenuta oblasti znanja, njegovoj predmetnoj strani i samom procesu ovladavanja znanjem.

Kognitivni interes može biti širok, proširiti se na dobivanje informacija općenito, i dubinski u određenom području znanja. Usmjeren je na savladavanje znanja koje se prezentuje u školskim predmetima. Istovremeno, obraća se ne samo na sadržaj ovog predmeta, već i na proces sticanja tog znanja, na saznajnu aktivnost. student matematike pedagogije

U pedagogiji se uz pojam "kognitivni interes" koristi i termin "interes za učenje". Koncept "kognitivnog interesa" je širi, jer u zoni kognitivnog interesa postoje ne samo znanja ograničena nastavnim planovima i programima, već i prevazilaze njegove granice.

U stranoj literaturi nema pojma "kognitivni interes", ali postoji koncept "intelektualnog interesa". Ovaj pojam također ne uključuje sve što je uključeno u koncept "kognitivnog interesa", budući da spoznaja uključuje ne samo intelektualne procese, već i elemente praktičnih radnji koje se odnose na spoznaju.

Kognitivni interes je veza mentalnih procesa: intelektualni, jake volje i emocionalni. One su veoma važne za lični razvoj.

U intelektualnoj aktivnosti, koja se odvija pod uticajem kognitivnog interesa, manifestuje se:

· aktivna pretraga;

· pogoditi;

istraživački pristup;

spremnost za rješavanje problema.

Emocionalne manifestacije koje prate kognitivni interes:

emocije iznenađenja

osjećaj iščekivanja nečeg novog;

osjećaj intelektualne radosti;

osećaj uspeha.

Voljne manifestacije karakteristične za kognitivni interes su:

inicijativa za pretragu;

samostalnost u sticanju znanja;

Promoviranje i postavljanje kognitivnih zadataka.

Dakle, intelektualni, voljni i emocionalni aspekti kognitivnog interesa djeluju kao jedinstvena međusobno povezana cjelina.

Originalnost kognitivnog interesa izražava se u dubinskom proučavanju, u stalnom i samostalnom sticanju znanja iz oblasti interesovanja, u aktivnom usvajanju potrebnih metoda za to, u upornom prevazilaženju poteškoća koje leže u način ovladavanja znanjem i načini njegovog sticanja.

Psiholozi i pedagozi identifikuju tri glavna motiva koji podstiču učenike da uče:

Interesovanje za predmet (matematiku studiram ne zato što težim nekom cilju, već zato što mi sam proces učenja pričinjava zadovoljstvo). Najveći stepen interesovanja je strast. Strastvene aktivnosti stvaraju snagu pozitivne emocije, a nemogućnost vježbanja se doživljava kao uskraćenost.

· Svijest. (Časovi na ovu temu mi nisu interesantni, ali sam svjestan njihove neophodnosti i naporom volje se prisiljavam na učenje).

· Prinuda. (Učim jer me roditelji i nastavnici tjeraju). Često je prinuda podržana strahom od kazne ili mamcem nagrade. Razne mjere prinude u većini slučajeva ne daju pozitivne rezultate (25, str. 24).

Interes za visok stepen poboljšava efikasnost nastave. Ako učenici uče zbog svoje unutrašnje sklonosti, svojom voljom, onda nastavno gradivo uče prilično lako i temeljno, zbog toga imaju dobre ocjene iz predmeta. Većina učenika s lošim uspjehom pokazuje negativan stav prema učenju. Dakle, što je veći interes učenika za predmet, to je učenje aktivnije i njegovi rezultati su bolji. Što je manji interes, što je obuka formalnija, rezultati su lošiji. Nezainteresovanost dovodi do niskog kvaliteta učenja, brzog zaboravljanja, pa čak i potpunog gubitka stečenih znanja, vještina i sposobnosti.

Formirajući kognitivna interesovanja učenika, treba imati na umu da ona ne mogu obuhvatiti sve subjekti. Interesi su selektivni, a jedan student se po pravilu može baviti pravom strašću samo za jedan ili dva predmeta. Ali, postojanje stabilnog interesovanja za određeni predmet pozitivno utiče na akademski rad u drugim predmetima, ovde su bitni i intelektualni i moralni faktori. intenzivno mentalni razvoj povezan sa dubinskim proučavanjem jednog predmeta, olakšava i čini efikasnijim nastavu učenika iz drugih predmeta. S druge strane, napredak postignut u nastavnom radu iz omiljenih predmeta jača samopoštovanje studenta, a on nastoji da marljivo uči uopšte.

Važan zadatak nastavnika je da kod školaraca formira prva dva motiva za učenje – interesovanje za predmet i osećaj dužnosti, odgovornost u učenju. Njihova kombinacija će omogućiti učeniku da postigne dobri rezultati u obrazovnim aktivnostima.

Formiranje kognitivnih interesa počinje mnogo prije škole, u porodici, njihova pojava je povezana s pojavom kod djece pitanja poput "Zašto?", "Zašto?", "Zašto?". Interes se u početku pojavljuje u obliku radoznalosti. Do kraja prije školskog uzrasta pod uticajem starijih, dete razvija interesovanje za učenje u školi: ne samo da se igra u školi, već i uspešno pokušava da savlada čitanje, pisanje, brojanje itd.

U osnovnoj školi produbljuju se kognitivni interesi. Formira se svijest o vitalnom značaju nastave. Vremenom se razlikuju kognitivni interesi: jedni više vole matematiku, drugi čitanje itd. Djeca pokazuju veliko interesovanje za proces rada, posebno ako se odvija u timu. Nastava i drugi vidovi saznanja dolaze u sukob, jer novi interesi školaraca nisu dovoljno zadovoljeni u školi. Raštrkana i nestabilna interesovanja adolescenata objašnjavaju se i činjenicom da oni „pipaju“ za svojim glavnim, centralnim, stožernim interesom kao osnovom svoje životne orijentacije i okušavaju se u različitim oblastima. Kada se konačno utvrde interesi i sklonosti adolescenata, tada se njihove sposobnosti počinju formirati i jasno manifestirati. Do kraja adolescencije počinju se formirati interesi za određenu profesiju. U starijem školskom uzrastu razvoj kognitivnih interesa, rast svjesnog stava prema učenju određuju daljnji razvoj proizvoljnosti kognitivnih procesa, sposobnosti upravljanja njima i svjesnog regulacije. Na kraju starijeg uzrasta učenici ovladavaju svojim kognitivnim procesima, podređuju svoju organizaciju određenim životnim i aktivnostima.

Jedno od sredstava za razvijanje interesovanja za matematiku su nestandardni zadaci. Zaustavimo se na njima detaljnije.

1. 2 Nestandardni zadaci i njihove vrste

Koncept "nestandardnog zadatka" koriste mnogi metodolozi. Dakle, Yu. M. Kolyagin otkriva ovaj koncept na sljedeći način: „Pod nestandardni razumeo zadatak, pri čijoj prezentaciji učenici ne znaju unaprijed ni način rješavanja, ni na kojem nastavnom materijalu se rješenje zasniva.

Definicija nestandardnog problema data je i u knjizi “Kako naučiti rješavati probleme” autora L.M. Fridman, E.N. Turski: " Nestandardni zadaci- to su oni za koje ne postoje opšta pravila i propisi u predmetu matematike koji određuju tačan program za njihovo rješavanje.

Nemojte miješati nestandardne zadatke sa zadacima povećane složenosti. Uslovi zadataka povećane složenosti su takvi da omogućavaju studentima da prilično lako identifikuju matematički aparat koji je potreban za rešavanje problema iz matematike. Nastavnik kontroliše proces konsolidacije znanja iz programa obuke rješavanjem zadataka ovog tipa. Ali nestandardni zadatak podrazumijeva prisustvo istraživačke prirode. Međutim, ako je rješenje zadatka iz matematike za jednog učenika nestandardno, budući da mu nisu poznate metode rješavanja zadataka ove vrste, onda se za drugog rješavanje zadatka javlja na standardan način, jer ima već riješio takve probleme i više od jednog. Isti zadatak iz matematike u 5. razredu je nestandardan, a u 6. razredu običan, čak ni povećane složenosti.

Analiza udžbenika i nastavnih sredstava iz matematike pokazuje da svaki tekstualni zadatak pod određenim uslovima može biti nestandardan, au drugim - običan, standardni. Standardni problem u jednom kursu matematike može biti nestandardan u drugom kursu.

Na osnovu analize teorije i prakse upotrebe nestandardnih zadataka u nastavi matematike, može se utvrditi njihova opšta i specifična uloga. Nestandardni zadaci:

· naučiti djecu ne samo da koriste gotove algoritme, već i da samostalno pronalaze nove načine rješavanja problema, tj. doprinose sposobnosti pronalaženja originalnih načina za rješavanje problema;

uticati na razvoj domišljatosti, domišljatosti učenika;

Sprječavaju razvoj štetnih klišea pri rješavanju problema, uništavaju pogrešne asocijacije u znanjima i vještinama učenika, uključuju ne toliko asimilaciju algoritamskih tehnika, koliko otkrivanje novih veza u znanju, prenošenje znanja u nove uslove i ovladavanje raznim metodama mentalne aktivnosti;

stvoriti povoljne uslove za povećanje snage i dubine znanja učenika, osigurati svjesno usvajanje matematičkih pojmova.

Nestandardni zadaci:

ne treba imati gotove algoritme koje djeca pamte;

treba da bude pristupačan svim učenicima u smislu sadržaja;

mora biti zanimljiv po sadržaju;

Za rješavanje nestandardnih zadataka studenti treba da imaju dovoljno znanja koja su stekli u programu.

Rješavanje nestandardnih zadataka aktivira aktivnost učenika. Učenici uče da upoređuju, klasifikuju, generalizuju, analiziraju, a to doprinosi čvršćem i svesnijem usvajanju znanja.

Kao što je praksa pokazala, nestandardni zadaci su veoma korisni ne samo za nastavu, već i za vannastavne aktivnosti, za zadatke Olimpijade, jer to otvara mogućnost da se istinski razlikuju rezultati svakog učesnika. Takvi zadaci se mogu uspješno koristiti kao individualni zadaci za one učenike koji se lako i brzo nose sa glavnim dijelom samostalnog rada na času, ili za one koji žele kao dodatne zadatke. Kao rezultat, studenti primaju intelektualni razvoj i priprema za aktivnu praktičnu aktivnost.

Ne postoji općeprihvaćena klasifikacija nestandardnih zadataka, ali B.A. Kordemsky identificira sljedeće vrste takvih zadataka:

· Zadaci koji se odnose na školski predmet matematike, ali povećane težine - kao što su zadaci matematičkih olimpijada. Namijenjeni su uglavnom školarcima sa određenim interesovanjem za matematiku; tematski, ovi zadaci su obično povezani sa jednim ili drugim specifičnim dijelom školskog kurikuluma. Vježbe vezane za to produbljuju nastavno gradivo, dopunjuju i uopštavaju pojedinačne odredbe školskog predmeta, proširuju matematičke vidike i razvijaju vještine rješavanja teških zadataka.

· Problemi tipa matematičke zabave. direktnom odnosu prema školski program nemaju i po pravilu ne zahtevaju veliko matematičko obrazovanje. To, međutim, ne znači da druga kategorija zadataka uključuje samo lake vježbe. Ovdje postoje problemi sa vrlo teškim rješenjem i takvi problemi čije rješenje još nije dobijeno. „Nestandardni zadaci, predstavljeni na zabavan način, unose emotivan trenutak u mentalne aktivnosti. Nisu povezani s potrebom da se svaki put primjenjuju naučena pravila i tehnike za njihovo rješavanje, zahtijevaju mobilizaciju cjelokupnog akumuliranog znanja, uče ih traženju originalnih metoda rješavanja bez šablona, ​​obogaćuju umjetnost rješavanja. lijepi primjeri, učiniti da se divite snazi ​​uma".

Ove vrste zadataka uključuju:

razne numeričke zagonetke ("... primjeri u kojima su svi ili neki brojevi zamijenjeni zvjezdicama ili slovima. Ista slova zamjenjuju iste brojeve, različita slova - različiti brojevi" .) i zagonetke za domišljatost;

logički zadaci, čije rješavanje ne zahtijeva proračune, već se zasniva na izgradnji lanca egzaktnog zaključivanja;

zadaci čije se rješavanje zasniva na kombinaciji matematičkog razvoja i praktične genijalnosti: vaganje i transfuzije u teškim uslovima;

matematička sofistika je namjeran, lažan zaključak koji izgleda kao tačan. (Sofizam je dokaz lažnog iskaza, a greška u dokazu je vješto prikrivena. Sofizam na grčkom znači lukav izum, trik, zagonetka);

šaljivi zadaci;

kombinatorni problemi, u kojima se razmatraju različite kombinacije datih objekata koje zadovoljavaju određene uslove (B.A. Kordemsky, 1958).

Ništa manje zanimljiva je klasifikacija nestandardnih problema koju je dao I.V. Egorchenko:

zadaci koji imaju za cilj pronalaženje odnosa između datih objekata, procesa ili pojava;

zadaci koji su nerešivi ili nerešivi putem školskog predmeta na datom nivou znanja učenika;

Zadaci koji zahtijevaju:

provođenje i korištenje analogija, utvrđivanje razlika između datih objekata, procesa ili pojava, utvrđivanje suprotnosti datih pojava i procesa ili njihovih antipoda;

sprovođenje praktične demonstracije, apstrahovanje od određenih svojstava predmeta, procesa, pojave ili konkretizacija jedne ili druge strane ovog fenomena;

uspostavljanje kauzalnih veza između datih objekata, procesa ili pojava;

konstrukcija uzročno-posledičnih lanaca na analitički ili sintetički način uz naknadnu analizu rezultirajućih opcija;

ispravna implementacija niza određenih radnji, izbjegavanje grešaka-"zamki";

implementacija prijelaza iz planarne u prostornu verziju datog procesa, objekta, fenomena ili obrnuto (I.V. Egorchenko, 2003).

Dakle, ne postoji jedinstvena klasifikacija nestandardnih zadataka. Ima ih nekoliko, ali je autor rada koristio klasifikaciju koju je predložio I.V. Egorchenko.

1.3 Metode rješenjastandardni zadaci

Ruski filolog Dmitrij Nikolajevič Ušakov u svojoj eksplanatorni rječnik daje takvu definiciju pojma "metoda" - način, metod, metod teorijskog istraživanja ili praktične implementacije nečega (D. N. Ushakov, 2000).

Koje su metode nastave rješavanja zadataka iz matematike koje trenutno smatramo nestandardnim? Nažalost, s obzirom na jedinstvenost ovih zadataka, niko nije smislio univerzalni recept. Neki nastavnici treniraju u šablonskim vježbama. To se dešava na sledeći način: nastavnik pokazuje način rešavanja, a zatim učenik to ponavlja prilikom rešavanja zadataka mnogo puta. Istovremeno se ubija interesovanje učenika za matematiku, što je u najmanju ruku žalosno.

U matematici ne postoje opšta pravila koja dozvoljavaju rješavanje bilo kojeg nestandardnog problema, jer su takvi problemi u određenoj mjeri jedinstveni. Nestandardni zadatak u većini slučajeva doživljava se kao „izazov intelektu, i izaziva potrebu da se ostvari u savladavanju prepreka, u razvijanju kreativnih sposobnosti“.

Razmotrite nekoliko metoda za rješavanje nestandardnih problema:

· algebarski;

· aritmetika;

metoda popisivanja;

metoda zaključivanja;

praktičan;

metoda pogađanja.

Algebarska metoda razvija se rješavanje problema Kreativne vještine, sposobnost generalizacije, formira apstraktno mišljenje i ima takve prednosti kao što su kratkoća pisanja i rezonovanja prilikom sastavljanja jednačina, štedi vrijeme.

Da bi se riješio problem algebarska metoda potrebno:

· analizirati problem u cilju odabira glavne nepoznate i identifikovanja odnosa između veličina, kao i izražavanja ovih zavisnosti matematičkim jezikom u vidu dva algebarska izraza;

pronađite osnovu za povezivanje ovih izraza sa znakom "=" i napravite jednačinu;

pronaći rješenja rezultirajuće jednačine, organizirati provjeru rješenja jednačine.

Sve ove faze rješavanja problema logički su međusobno povezane. Na primjer, kao posebnu fazu spominjemo traženje osnove za povezivanje dva algebarska izraza sa znakom jednakosti, ali je jasno da se u prethodnoj fazi ovi izrazi ne formiraju proizvoljno, već uzimajući u obzir mogućnost njihovog povezivanja. sa znakom “=”.

I identifikacija zavisnosti između količina i prevođenje ovih zavisnosti na matematički jezik zahtevaju intenzivnu analitičku i sintetičku mentalnu aktivnost. Uspeh u ovoj aktivnosti zavisi posebno od toga da li učenici znaju kakve odnose ove veličine uopšte mogu da imaju i da li razumeju pravo značenje ovih odnosa (na primer, odnosi izraženi terminima „kasnije do...“, „ stariji za ... puta" itd.). Nadalje, potrebno je razumijevanje koje vrste matematičke radnje ili, svojstva radnje, ili kakva veza (ovisnost) između komponenti i rezultata radnje, ovaj ili onaj određeni odnos se može opisati.

Navedimo primjer rješavanja nestandardnog problema algebarskom metodom.

Zadatak. Ribar je upecao ribu. Na pitanje: “Kolika je njegova masa?”, odgovorio je: “Masa repa je 1 kg, masa glave je ista kao masa repa i polovine tijela. A masa tijela je ista kao i masa glave i repa zajedno. Kolika je masa ribe?

Neka je x kg masa tijela; tada je (1+1/2x) kg masa glave. Pošto je po uslovu masa tela jednaka zbiru masa glave i repa, sastavljamo i rešavamo jednačinu:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg je masa tijela, zatim 1+1/2 4=3 (kg) je masa glave i 3+4+1=8 (kg) je masa cijele ribe;

Odgovor: 8 kg.

Aritmetička metoda rješenja zahtijevaju i veliki mentalni stres, što pozitivno utiče na razvoj mentalnih sposobnosti, matematičke intuicije, na formiranje sposobnosti predviđanja stvarne životne situacije.

Razmotrimo primjer rješavanja nestandardnog problema aritmetičkom metodom:

Zadatak. Dva ribara su upitana: "Koliko riba ima u vašim korpama?"

“U mojoj korpi je polovina onoga što ima u korpi, i još 10”, odgovorio je prvi. "A ja imam u svojoj korpi koliko i on, pa čak 20", izračunao je drugi. Mi smo brojali, a sada brojite i vi.

Napravimo dijagram za problem. Neka prvi segment dijagrama označava broj riba koje ima prvi ribar. Drugi segment označava broj riba od drugog ribara.

Zahvaljujući savremeni čovek potrebno je imati ideju o glavnim metodama analize podataka i probabilističkim obrascima koji igraju važnu ulogu u nauci, tehnologiji i ekonomiji, elementi kombinatorike, teorije vjerovatnoće i matematičke statistike uvode se u školski predmet matematike, koje je zgodno razumjeti uz pomoć metoda nabrajanja.

Uključivanje kombinatornih problema u kurs matematike omogućava pozitivan uticaj na razvoj učenika. „Ciljano učenje za rješavanje kombinatornih problema doprinosi razvoju takvog kvaliteta matematičkog mišljenja kao što je varijabilnost. Pod varijabilnošću mišljenja podrazumijevamo usmjeravanje mentalne aktivnosti učenika na traženje različitih rješenja problema u slučaju kada za to ne postoje posebne upute.

Kombinatorni problemi se mogu riješiti raznim metodama. Uobičajeno, ove metode se mogu podijeliti na "formalne" i "neformalne". Kod metode „formalnog“ rješenja potrebno je odrediti prirodu izbora, odabrati odgovarajuću formulu ili kombinatorno pravilo (postoje pravila sume i proizvoda), zamijeniti brojeve i izračunati rezultat. Rezultat je iznos opcije, ali se same varijante u ovom slučaju ne formiraju.

Kod “neformalnog” načina rješavanja dolazi do izražaja sam proces sastavljanja. razne opcije. A glavna stvar nije koliko, već koje opcije se mogu dobiti. Takve metode uključuju metoda nabrajanja. Ova metoda je dostupna čak i mlađim učenicima i omogućava vam da steknete iskustvo praktično rešenje kombinatornih problema, što služi kao osnova za uvođenje kombinatornih principa i formula u budućnosti. Osim toga, u životu osoba mora ne samo odrediti broj mogućih opcija, već i direktno sastaviti sve ove opcije, a savladavši metode sistematskog nabrajanja, to se može učiniti racionalnije.

Zadaci su podijeljeni u tri grupe prema složenosti nabrajanja:

jedan . Zadaci u kojima trebate napraviti potpunu enumeraciju svih mogućih opcija.

2. Zadaci kod kojih je nepraktično koristiti tehniku ​​pune numeracije i potrebno je odmah isključiti neke opcije bez njihovog razmatranja (tj. izvršiti skraćeno nabrajanje).

3. Zadaci u kojima se operacija nabrajanja izvodi više puta iu odnosu na različite vrste objekata.

Evo relevantnih primjera zadataka:

Zadatak. Postavljanjem znakova "+" i "-" između datih brojeva 9 ... 2 ... 4, sastavite sve moguće izraze.

Postoji potpuna lista opcija:

a) dva znaka u izrazu mogu biti ista, tada dobijamo:

9 + 2 + 4 ili 9 - 2 - 4;

b) dva znaka mogu biti različita, tada dobijamo:

9 + 2 - 4 ili 9 - 2 + 4.

Zadatak. Učitelj kaže da je nacrtao 4 figure u nizu: veliki i mali kvadrati, veliki i mali krugovi tako da krug bude na prvom mjestu, a figure istog oblika ne stoje jedna pored druge, te poziva učenike da pogode redosled u kojem su ove figure raspoređene.

Ukupno ima 24 različita rasporeda ovih figura. I nije preporučljivo sastaviti ih sve, a zatim odabrati one koji odgovaraju ovom uvjetu, stoga se provodi skraćeno nabrajanje.

Veliki krug može biti na prvom mjestu, zatim mali samo na trećem mjestu, dok se veliki i mali kvadrati mogu postaviti na dva načina - na drugo i četvrto mjesto.

Slično razmišljanje se provodi ako je prvo mjesto mali krug, a također se sastavljaju dvije opcije.

Zadatak. Tri partnera iste firme čuvaju vrijednosne papire u sefu sa 3 brave. Suputnici žele međusobno podijeliti ključeve brava tako da se sef može otvoriti samo u prisustvu najmanje dva pratioca, ali ne i jednog. Kako to mogu učiniti?

Prvo su nabrojani svi mogući slučajevi distribucije ključeva. Svakom pratiocu se može dati jedan ključ, dva različita ključa ili tri.

Pretpostavimo da svaki pratilac ima tri različita ključa. Tada sef može otvoriti jedan pratilac, a to ne ispunjava uslov.

Pretpostavimo da svaki pratilac ima jedan ključ. Onda ako dođu dvojica, neće moći otvoriti sef.

Dajmo svakom pratiocu dva različita ključa. Prvi - 1 i 2 tasteri, drugi - 1 i 3 tasteri, treći - 2 i 3 tasteri. Hajde da proverimo kada dođu bilo koja dva pratioca da vidimo da li mogu da otvore sef.

Prvi i drugi pratioci mogu doći, oni će imati sve ključeve (1 i 2, 1 i 3). Prvi i treći pratilac mogu doći, takođe će imati sve ključeve (1 i 2, 2 i 3). Konačno mogu doći drugi i treći pratilac, koji će također imati sve ključeve (1 i 3, 2 i 3).

Stoga, da biste pronašli odgovor u ovom problemu, morate izvršiti operaciju iteracije nekoliko puta.

Prilikom odabira kombinatornih zadataka treba obratiti pažnju na predmet i oblik prikaza ovih problema. Poželjno je da zadaci ne izgledaju umjetno, već da su djeci razumljivi i zanimljivi, da izazovu pozitivne emocije u njima. Za sastavljanje zadataka možete koristiti praktičan materijal iz života.

Postoje i drugi problemi koji se mogu riješiti nabrajanjem.

Kao primjer, riješimo problem: „Markiz Karabas je imao 31 godinu, a njegov mladi energični Mačak u čizmama 3 godine, kada su se odigrali događaji poznati iz bajke. Koliko je godina prošlo od tada, ako je sada Mačak tri puta mlađi od svog vlasnika? Nabrajanje opcija je predstavljeno tabelom.

Doba markiza od Karabasa i Mačka u čizmama

14 - 3 = 11 (godine)

Odgovor: Prošlo je 11 godina.

Istovremeno, učenik, takoreći, eksperimentiše, posmatra, upoređuje činjenice i na osnovu pojedinačnih zaključaka donosi određene opšte zaključke. U procesu ovih zapažanja obogaćuje se njegovo stvarno-praktično iskustvo. Upravo je to praktična vrijednost problema nabrajanja. U ovom slučaju, riječ "nabrajanje" se koristi u smislu analize svih mogućih slučajeva koji zadovoljavaju uslove problema, pokazujući da ne može biti drugih rješenja.

Ovaj problem se također može riješiti algebarskom metodom.

Neka mačka ima x godina, onda je markiz 3x, na osnovu uslova zadatka sastavit ćemo jednačinu:

Mačka sada ima 14 godina, zatim je prošlo 14 - 3 = 11 (godina).

Odgovor: Prošlo je 11 godina.

metoda rasuđivanja može se koristiti za rješavanje matematičkih sofizama.

Greške napravljene u sofizmu obično se svode na sljedeće: izvođenje "zabranjene" radnje, korištenje pogrešnih crteža, pogrešna upotreba riječi, netačne formulacije, "nezakonita" generalizacija, pogrešna primjena teorema.

Otkriti sofizam znači ukazati na grešku u rasuđivanju, na osnovu koje je stvoren vanjski izgled dokaza.

Analiza sofizama, prije svega, razvija logičko mišljenje, usađuje vještine ispravnog mišljenja. Otkriti grešku u sofizmu znači prepoznati je, a svijest o grešci sprječava da se ona ponovi u drugom matematičkom razmišljanju. Pored kritičnosti matematičkog mišljenja, ova vrsta nestandardnih zadataka otkriva i fleksibilnost mišljenja. Da li će učenik moći da se „izvuče iz kandži“ ovog puta, koji je na prvi pogled strogo logičan, da prekine lanac zaključaka na samoj karici koja je pogrešna i koja čini pogrešnim sva dalja razmišljanja?

Analiza sofizama pomaže i svjesnom usvajanju gradiva koje se proučava, razvija zapažanje i kritički stav prema onome što se proučava.

a) Evo, na primjer, sofizma s pogrešnom primjenom teoreme.

Dokažimo da je 2 2 = 5.

Uzmimo sljedeću očiglednu jednakost kao početni omjer: 4: 4 = 5: 5 (1)

Izvadimo iz zagrada zajednički faktor u lijevom i desnom dijelu, dobijemo:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Brojevi u zagradama su jednaki, pa je 4 = 5 ili 2 2 = 5.

U obrazloženju, pri prelasku sa jednakosti (1) na jednakost (2), stvara se iluzija vjerovatnoće na osnovu lažne analogije sa distributivnim svojstvom množenja u odnosu na sabiranje.

b) Sofizam koji koristi "nelegalne" generalizacije.

Postoje dvije porodice - Ivanovs i Petrovs. Svaki se sastoji od 3 osobe - oca, majke i sina. Otac Ivanov ne poznaje Petrovog oca. Majka Ivanova ne poznaje Petrovu majku. Jedini sin Ivanovih ne poznaje sina jedinca Petrovih. Zaključak: nijedan član porodice Ivanov ne poznaje nijednog člana porodice Petrov. Je li ovo istina?

Ako član porodice Ivanov ne poznaje člana porodice Petrov jednakog bračnog statusa, to ne znači da ne poznaje cijelu porodicu. Na primjer, Ivanov otac možda poznaje Petrovu majku i sina.

Metoda zaključivanja se također može koristiti za rješavanje logičkih problema. Podlogički zadaci se obično shvataju kao zadaci koji se rešavaju samo pomoću logičkih operacija. Ponekad njihovo rješenje zahtijeva dugotrajno razmišljanje, čiji se neophodan smjer ne može unaprijed predvidjeti.

Zadatak. Kažu da je Tortila dao zlatni ključ Pinokiju ne tako jednostavno kao što je rekao A. N. Tolstoj, već na potpuno drugačiji način. Iznijela je tri kutije: crvenu, plavu i zelenu. Na crvenoj kutiji je pisalo: “Ovdje leži zlatni ključ”, a na plavoj – “Zelena kutija je prazna”, a na zelenoj – “Ovdje sjedi zmija”. Tortila je pročitao natpise i rekao: „U jednoj kutiji je, zaista, zlatni ključ, u drugoj zmija, a treća je prazna, ali svi su natpisi pogrešni. Ako pogodite u kojoj kutiji se nalazi zlatni ključ, vaš je." Gdje je zlatni ključ?

Pošto su svi natpisi na kutijama netačni, crvena kutija ne sadrži zlatni ključ, zelena kutija nije prazna i u njoj nema zmije, što znači da je ključ u zelenoj kutiji, zmija je u crveni, a plavi je prazan.

Prilikom rješavanja logičkih zadataka aktivira se logičko mišljenje, a to je sposobnost izvođenja posljedica iz premisa, što je neophodno za uspješno savladavanje matematike.

Rebus je zagonetka, ali zagonetka nije sasvim obična. Riječi i brojevi u matematičke zagonetke prikazano pomoću crteža, zvjezdica, brojeva i raznih znakova. Da biste pročitali šta je šifrirano u rebusu, morate ispravno imenovati sve prikazane objekte i razumjeti koji znak šta prikazuje. Ljudi su koristili zagonetke čak i kada nisu mogli pisati. Svoja pisma su sastavljali od predmeta. Na primjer, vođe jednog plemena su jednom umjesto pisma svojim susjedima poslali pticu, miša, žabu i pet strijela. To je značilo: „Možete li letjeti kao ptice i sakriti se u zemlju kao miševi, skakati kroz močvare kao žabe? Ako ne znate kako, onda ne pokušavajte da se borite protiv nas. Bombardovaćemo vas strelama čim uđete u našu zemlju.”

Sudeći po prvom slovu zbira 1), D = 1 ili 2.

Pretpostavimo da je D = 1. Tada je Y? 5. Y \u003d 5 je isključeno, jer P ne može biti jednako 0. Y? 6, jer 6 + 6 = 12, tj. P = 2. Ali takva vrijednost P nije pogodna za dalju provjeru. Isto tako, U? 7.

Pretpostavimo da je Y = 8. Tada je P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Čarobni (magični) kvadrat je kvadrat u kojem je zbir brojeva okomito, vodoravno i dijagonalno isti.

Zadatak. Rasporedite brojeve od 1 do 9 tako da vertikalno, horizontalno i dijagonalno dobijete isti zbir brojeva, jednak 15.

Iako ne postoje opšta pravila za rešavanje nestandardnih problema (zbog čega se ovi problemi nazivaju nestandardnim), pokušali smo da damo niz opštih smernica – preporuka kojih se treba pridržavati pri rešavanju nestandardnih problema različitih vrsta. .

Svaki nestandardni zadatak je originalan i jedinstven u svom rješenju. S tim u vezi, razvijena metodologija podučavanja aktivnosti pretraživanja pri rješavanju nestandardnih zadataka ne formira vještine za rješavanje nestandardnih zadataka, možemo govoriti samo o razvoju određenih vještina:

sposobnost razumijevanja zadatka, isticanje glavnih (popratne) riječi;

sposobnost identifikacije stanja i pitanja, poznatog i nepoznatog u problemu;

sposobnost pronalaženja veze između podataka i željenog, odnosno analiziranja teksta problema čiji je rezultat izbor aritmetička operacija ili logička operacija za rješavanje nestandardnog problema;

sposobnost bilježenja napretka rješenja i odgovora na problem;

Sposobnost izvođenja dodatni posao preko zadatka;

sposobnost odabira korisnih informacija sadržanih u samom problemu, u procesu njegovog rješavanja, da se te informacije sistematiziraju, povezujući ih s postojećim znanjem.

Nestandardni zadaci razvijaju prostorno razmišljanje, koje se izražava u sposobnosti da se u umu rekreiraju prostorne slike objekata i izvršavaju operacije na njima. Prostorno razmišljanje se manifestuje kada se rešavaju problemi poput: „Na ivicu okrugle torte stavljeno je 5 tačaka kreme na istoj udaljenosti jedna od druge. Napravljeni su rezovi kroz sve parove tačaka. Koliko ste komada torte ukupno dobili?

praktična metoda može se uzeti u obzir za nestandardne probleme podjele.

Zadatak. Štap je potrebno iseći na 6 delova. Koliko rezova će biti potrebno?

Rješenje: Za rezove će biti potrebno 5.

Kada proučavate nestandardne probleme podjele, morate razumjeti: da biste izrezali segment na P dijelove, trebate napraviti rez (P - 1). Ovu činjenicu kod djece treba induktivno utvrditi, a zatim koristiti u rješavanju problema.

Zadatak. U traci od tri metra - 300 cm Mora se izrezati na šipke dužine 50 cm. Koliko rezova trebate napraviti?

Rješenje: Dobijamo 6 barova 300: 50 = 6 (barovi)

Tvrdimo se na sljedeći način: da biste šipku podijelili na pola, odnosno na dva dijela, trebate napraviti 1 rez, na 3 dijela - 2 reza, i tako dalje, na 6 dijelova - 5 rezova.

Dakle, trebate napraviti 6 - 1 = 5 (rezovi).

Odgovor: 5 rezova.

Dakle, jedan od glavnih motiva koji podstiču studente na učenje je interesovanje za predmet. Interes je aktivna kognitivna orijentacija osobe na određeni predmet, pojavu i aktivnost, stvorena pozitivnim emocionalnim stavom prema njima. Jedno od sredstava za razvijanje interesovanja za matematiku su nestandardni zadaci. Pod nestandardnim zadatkom se podrazumijevaju takvi zadaci za koje ne postoje opšta pravila i propisi u predmetu matematike koji određuju tačan program za njihovo rješavanje. Rješavanje ovakvih problema omogućava učenicima da se aktivno uključe u aktivnosti učenja. Postoje različite klasifikacije problema i metode za njihovo rješavanje. Najčešće korišteni su algebarski, aritmetički, praktične metode i metod nabrajanja, zaključivanja i nagađanja.

2. Formacijaškolska djecasposobnost rješavanja nestandardnih zadataka

2.1 Nestandardni zadaci za osnovce

Didaktički materijal je namijenjen učenicima osnovnih škola i nastavnicima. Sadrži nestandardne matematičke zadatke koji se mogu koristiti u nastavi iu vannastavnim aktivnostima. Zadaci su struktuirani po metodama rješavanja: aritmetika, praktične metode, nabrajanje, rezonovanje i pretpostavke. Predstavljeni zadaci različite vrste: matematička zabava; razne numeričke zagonetke; logički zadaci; zadaci čije se rješavanje zasniva na kombinaciji matematičkog razvoja i praktične genijalnosti: vaganje i transfuzije u teškim uslovima; matematički sofizmi; šaljivi zadaci; kombinatorni zadaci. Za sve probleme su data rješenja i odgovori.

· Riješite zadatke aritmetičkom metodom:

1. Zbrojeno 111 hiljada, 111 stotina i 111 jedinica. Koji je bio broj?

2. Koliko ćete dobiti ako saberete brojeve: najmanji dvocifreni, najmanji trocifreni, najmanji četverocifreni?

3. zadatak:

„Sivom šeširu za lekciju

Stiglo je sedam četrdeset

A od njih samo 3 svrake

Pripremljene lekcije.

Koliko mokasinki-četrdeset

Stigli ste na lekciju?

4. Petya treba preći 4 puta više koraka od Kolje. Kolja živi na trećem spratu. Na kom spratu živi Petja?

5. Prema lekarskom receptu za pacijenta, u apoteci je kupljeno 10 tableta. Lekar je prepisao da se lek uzima 3 tablete dnevno. Koliko će dana trajati ovaj lijek?

· Riješite probleme nabrajanjem:

6. Umjesto zvjezdice umetnite znakove "+" ili "-" tako da se dobije tačna jednakost:

a) 2 * 3 * 1 = 6;

b) 6 * 2 * 3 = 1;

c) 2 * 3 * 1 = 4;

d) 8 * 1 * 4 = 5;

e) 7 * 2 * 4 = 5.

7. Između brojeva nema znakova "+" i "-". Neophodno je postaviti znakove što je brže moguće na način da ispadne 12.

a) 2 6 3 4 5 8 = 12;

b) 9 8 1 3 5 2 = 12;

c) 8 6 1 7 9 5 = 12;

d) 3 2 1 4 5 3 = 12;

e) 7 9 8 4 3 5 = 12.

8. Olya je za rođendan dobila 4 knjige sa bajkama i pjesmama. Bilo je više knjiga bajki nego knjiga poezije. Koliko je knjiga sa bajkama poklonjeno Olji?

9. Vanja i Vasja su odlučili da kupe slatkiše sa svim svojim novcem. Da, to je loša sreća: imali su novca za 3 kg slatkiša, a prodavac je imao samo tegove od 5 kg i 2 kg. Ali Vanja i Vasja imaju peticu iz matematike i uspjeli su kupiti ono što su htjeli. Kako su to uradili?

10. Tri djevojke - Vera, Olya i Tanya - otišle su u šumu da uberu bobice. Za branje bobica imali su korpu, korpu i kantu. Poznato je da Olja nije bila sa košem i ne sa košem, Vera nije bila sa košem. Šta je svaka od djevojčica ponijela sa sobom da ubere bobice?

11. U gimnastičkim takmičenjima Zec, Majmun, Boa constrictor i Papagaj zauzeli su prva 4 mjesta. Odredite ko je zauzeo koje mjesto, ako se zna da Zec - 2, Papagaj nije postao pobjednik, ali je ušao u dobitnike, a Boa je izgubio od Majmuna.

12. Mlijeko, limunada, kvas i voda se sipaju u flašu, čašu, bokal i teglu. Poznato je da voda i mlijeko nisu u flaši, u tegli nema ni limunade ni vode, već posuda sa limunadom stoji između vrča i posude sa kvasom. Čaša stoji pored tegle i posude s mlijekom. Odredite koja je koja tečnost.

13. Na novogodišnjoj zabavi, tri prijateljice, Anya, Vera i Dasha, bile su aktivne učesnice, jedna od njih je bila Snjeguljica. Kada su njihovi prijatelji pitali ko je od njih Snjeguljica, Anja im je rekla: „Svako od nas će dati svoj odgovor na vaše pitanje. Iz ovih odgovora morate sami pogoditi ko je od nas zapravo bila Snjegurica. Ali znaj da Daša uvek govori istinu.” - „Dobro“, odgovorili su prijatelji, „da poslušamo vaše odgovore. Čak je i zanimljivo."

Anya: "Bila sam Snjegurica."

Vera: "Nisam bila Snjegurica."

Daša: "Jedan od njih govori istinu, a drugi laže."

Dakle, ko je od prijatelja na novogodišnjoj zabavi bila Snjegurica?

14. Stepenište se sastoji od 9 stepenica. Na kojoj stepenici treba da stojite da biste bili tačno na sredini stepenica?

15. Šta je srednja prečka merdevina od 12 stepenica?

16. Anja je svom bratu rekla: „Ja sam 3 godine starija od tebe. Koliko godina ću biti stariji od tebe za 5 godina?

17. Podijelite brojčanik sata na dva dijela ravnom linijom tako da su zbroji brojeva u tim dijelovima jednaki.

18. Podijelite brojčanik sa dvije prave linije na tri dijela tako da se sabiranjem brojeva dobije isti iznos u svakom dijelu.

· Riješite probleme praktičnom metodom:

19. Konopac je presečen na 6 mesta. Koliko dijelova je napravljeno?

20. Bilo je 5 braće. Svaki brat ima jednu sestru. Koliko je ljudi hodalo?

21. Što je teže: kilogram vate ili pola kilograma željeza?

22. Pijetao, koji stoji na jednoj nozi, težak je 3 kg. Koliko će petao biti težak stojeći na dvije noge?

· Riješiti probleme metoda pogađanja:

23. Kako napisati broj 10 sa pet identičnih brojeva, povezujući ih znakovima akcije?

24. Kako napisati broj 10 u četiri razni brojevi, povezujući ih sa znakovima akcije?

25. Kako se broj 5 može napisati kao tri identična broja, povezujući ih znakovima akcije?

26. Kako se broj 1 može napisati kao tri različita broja povezujući ih znakovima akcije?

27. Kako izvući 2 litre vode iz slavine koristeći posude od šest i četiri litre?

28. Posuda od sedam litara napunjena je vodom. U blizini je posuda od pet litara, a već ima 4 litre vode. Koliko litara vode treba izliti iz veće posude u manju da se napuni do vrha? Koliko će litara vode ostati u većoj posudi nakon ovoga?

29. Slončić se razbolio. Za njegovo liječenje potrebno je tačno 2 litre soka od pomorandže, a dr Aibolit ima samo punu teglu od pet litara soka i praznu teglu od tri litre. Kako Aibolit može izmjeriti tačno 2 litre soka?

30. Nevjerovatna priča dogodila se Winnie the Poohu, Praščiću i Zecu. Ranije je Winnie the Pooh volio med, Zec - kupus, Prasac - žir. Ali jednom u začaranoj šumi i gladni, otkrili su da su im se ukusi promijenili, ali ipak svi više vole jednu stvar. Zec je rekao: "Ne jedem kupus i žir." Prasić je ćutao, a Winnie the Pooh je primijetio: "Ali ja ne volim kupus." Ko voli da jede?

Odgovori i rješenja

1. 111000 + 11100 + 111 = 122211.

2. 10 + 100 + 1000 = 110.

4. Petya živi na 9. spratu. Kolja živi na trećem spratu. Postoje 2 "leta" do trećeg sprata: sa prvog na drugi, sa drugog na treći. Pošto Petya treba proći 4 puta više koraka, onda 2 4 = 8. Dakle, Kolja treba proći kroz 8 „letova“, a do 9. sprata 8 „letova“.

5. 3+3+3+1=10. Četvrtog dana ostaje samo 1 tableta.

a) 2 + 3 - 1 = 4;

b) 2 + 3 + 1 = 6;

c) 6 - 2 - 3 = 1;

d) 8 + 1 - 4 = 5;

e) 7 + 2 - 4 = 5.

a) 2 + 6 - 3 + 4 - 5 + 8 = 12;

b) 9 + 8 + 1 - 3 - 5 + 2 = 12;

c) 8 - 6 - 1 + 7 + 9 - 5 = 12;

d) 3-2-1 + 4 + 5 + 3 = 12;

e) 7 + 9 + 8 - 4 - 3 - 5 = 12.

8. Broj 4 se može predstaviti kao zbir dva različita člana na jedinstven način: 4 - 3 + 1. Bilo je više knjiga sa bajkama, što znači da ih je bilo 3.

9. Na jednu teglu stavite uteg od 5 kg, a na drugi stavite lizalice i uteg od 2 kg.

	mala korpa

10. Stavimo stanje problema u tabelu i, gdje je moguće, uredimo prednosti i nedostatke:

majmun

Ispostavilo se da su Majmun i Boa Constrictor bili na prvom i četvrtom mestu, ali pošto je, po uslovu, Boa Constrictor izgubio od Majmuna, ispada da je Majmun na prvom mestu, papagaj je na drugi, a Boa Constrictor je u četvrtom.

11. U tabelu se unose uslovi da voda nije u flaši, mleko nema u flaši, limunada nema u tegli, vode nema u tegli. Iz uslova da posuda sa limunadom stoji između vrča i posude sa kvasom, zaključujemo da limunada nije u bokalu i da kvas nije u bokalu. A pošto se čaša nalazi u blizini tegle i posude sa mlekom, možemo zaključiti da mleka nema ni u tegli ni u čaši. Rasporedimo "+", kao rezultat dobijamo da je mleko u bokalu, limunada u flaši, kvas u tegli i voda u čaši.

12. Iz Dašine izjave saznajemo da je među izjavama Anje i Vere jedna tačna, a druga lažna. Ako je Verina izjava lažna, onda dobijamo da su i Anya i Vera bile Snjeguljice, što ne može biti. Dakle, Anyina izjava mora biti lažna. U ovom slučaju dobijamo da Anya nije bila Snjegurica, niti Vera nije bila Snjegurica. Ostaje da je Snjeguljica bila Daša.

Kada pomnožimo broj 51 sa jednim brojem, opet smo dobili dvocifreni broj. Ovo je moguće samo ako se pomnoži sa 1. Dakle, drugi faktor je 11.

13. Množenjem prvog faktora sa 2 dobija se četvorocifreni broj, a množenjem sa cifrom stotine i cifrom jedinice dobija se trocifreni broj. Zaključujemo da je drugi faktor 121. Prva znamenka prvog faktora je 7, a zadnja 6. Dobijamo proizvod brojeva 746 i 121. Prva znamenka u 1. faktoru je 7, zadnja je 6. .

14. Na petom koraku.

15. Merdevine od 12 stepenica neće imati srednji stepenik, imaće samo par srednjih stepenica - šesti i sedmi. Rješenje ovog problema, kao i prethodnog, može se provjeriti crtežom.

16. Za 3 godine.

17. Morate povući liniju između brojeva 3 i 4 i između 10 i 9.

18. 11, 12, 1, 2; 9, 10, 3, 4: 5, 6, 7, 8.

19. Dobićete 7 delova.

20. 6 osoba 5 braće i 1 sestra.

21. Kilogram pamuka

22. 3 kg.

23. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10.

24. 1 + 2 + 3 + 4 = 10

25. 5 + 5 - 5 = 5

26. 4 - 2 - 1; 4 - 1 - 2; 5 - 3 - 1; 6 - 4 - 1; 6 - 2 - 3 itd.

27. Ubacite šest litara, sipajte vodu iz njega u četiri litre, bit će 2 litre.

28. Potrebno je uliti 1 litar vode, dok će u većoj posudi ostati 6 litara.

29. U teglu od tri litre sipajte 3 litre soka, a u velikoj tegli će ostati 2 litra soka.

30. Zec - med, Winnie the Pooh - žir, Prasac - kupus.

...

Slični dokumenti

Uslovi za formiranje kognitivnih interesovanja u nastavi matematike. Vannastavni rad u školi kao sredstvo razvijanja kognitivnog interesovanja učenika. Matematička igra je oblik vannastavnog rada i sredstvo za razvijanje kognitivnog interesovanja učenika.

teza, dodana 28.05.2008


Psihološki i pedagoški aspekti formiranja vještina rješavanja tekstualnih zadataka kod mlađih učenika. Analiza programskih zahtjeva za formiranje vještina rješavanja tekstualnih zadataka. Metode, oblici, tehnike za formiranje vještina. Dijagnoza nivoa formacije.

rad, dodato 14.07.2013


Međunarodno proučavanje obrazovnih postignuća učenika kao mjera kvaliteta matematičke obuke učenika. Pristup zasnovan na kompetencijama kao sredstvo za unapređenje kvaliteta pismenosti. Matematički problemi usmjereni na kompetencije.

teza, dodana 24.06.2009


Psihološko-pedagoške studije razvoja kognitivnog interesovanja učenika. Udžbenik kao glavno sredstvo vizualizacije u nastavi ruskog jezika. Sistem rada na formiranju kognitivnog interesovanja učenika uz pomoć vizuelnih pomagala.

teza, dodana 18.10.2011


Glavni problemi formiranja matematičkih znanja i vještina kod učenika sa oštećenjem sluha u vannastavnim aktivnostima. Modeliranje pedagoškog procesa za formiranje matematičkih znanja i vještina kod djece sa oštećenjem sluha u vannastavnom vremenu.

seminarski rad, dodan 14.05.2011


Iskustvo kolektivnog stvaralaštva. Vannastavne aktivnosti kao sredstvo za povećanje interesovanja za učenje. Test za određivanje nivoa kreativnog potencijala učenika, sposobnosti donošenja nestandardnih odluka. Tehnička kreativnost, redosled i sadržaj pripreme za čas.

sažetak, dodan 12.08.2010


Proučavanje tehnologije proširenja didaktičkih jedinica (UDE), čija upotreba doprinosi formiranju vještina samostalnog rada kod učenika, razvoju kognitivnog interesa, sposobnosti asimilacije znanja i povećanju obima proučavanog materijala.

kontrolni rad, dodano 05.02.2011


Kognitivna aktivnost učenika neophodno stanje uspješnost procesa podučavanja učenika 8. razreda. Sredstva za aktiviranje kognitivne aktivnosti. Proučavanje uticaja nestandardnih oblika nastave: didaktička igra, istorijski zadaci.

teza, dodana 09.08.2008


Proučavanje psiholoških i pedagoških karakteristika učenika osnovnih škola. Karakteristike sistema organizovanja vannastavnog rada iz matematike i metodologija za njegovu realizaciju. Izrada sistema kružnih časova iz matematike na igriv način.

rad, dodato 20.05.2012


Uloga i značaj nestandardnih časova matematike u formiranju kognitivnog interesovanja učenika mlađih razreda. Eksperimentalni rad na formiranju kognitivnog interesovanja učenika za nastavu-ekskurzije iz matematike u osnovnoj školi.

Koncept "nestandardnog zadatka" koriste mnogi metodolozi. Dakle, Yu. M. Kolyagin otkriva ovaj koncept na sljedeći način: „Pod nestandardni razumeo zadatak, pri čijoj prezentaciji učenici ne znaju unaprijed ni način rješavanja, ni na kojem nastavnom materijalu se rješenje zasniva.

Definicija nestandardnog problema data je i u knjizi “Kako naučiti rješavati probleme” autora L.M. Fridman, E.N. Turski: " Nestandardni zadaci- to su oni za koje ne postoje opšta pravila i propisi u predmetu matematike koji određuju tačan program za njihovo rješavanje.

Nemojte miješati nestandardne zadatke sa zadacima povećane složenosti. Uslovi zadataka povećane složenosti su takvi da omogućavaju studentima da prilično lako identifikuju matematički aparat koji je potreban za rešavanje problema iz matematike. Nastavnik kontroliše proces konsolidacije znanja iz programa obuke rješavanjem zadataka ovog tipa. Ali nestandardni zadatak podrazumijeva prisustvo istraživačke prirode. Međutim, ako je rješenje zadatka iz matematike za jednog učenika nestandardno, budući da mu nisu poznate metode rješavanja zadataka ove vrste, onda se za drugog rješavanje zadatka javlja na standardan način, jer ima već riješio takve probleme i više od jednog. Isti zadatak iz matematike u 5. razredu je nestandardan, a u 6. razredu običan, čak ni povećane složenosti.

Analiza udžbenika i nastavnih sredstava iz matematike pokazuje da svaki tekstualni zadatak pod određenim uslovima može biti nestandardan, au drugim - običan, standardni. Standardni problem u jednom kursu matematike može biti nestandardan u drugom kursu.

Na osnovu analize teorije i prakse upotrebe nestandardnih zadataka u nastavi matematike, može se utvrditi njihova opšta i specifična uloga. Nestandardni zadaci:

• · naučiti djecu ne samo da koriste gotove algoritme, već i da samostalno pronalaze nove načine rješavanja problema, tj. doprinose sposobnosti pronalaženja originalnih načina za rješavanje problema;
• uticati na razvoj domišljatosti, domišljatosti učenika;
• Sprječavaju razvoj štetnih klišea pri rješavanju problema, uništavaju pogrešne asocijacije u znanjima i vještinama učenika, uključuju ne toliko asimilaciju algoritamskih tehnika, koliko otkrivanje novih veza u znanju, prenošenje znanja u nove uslove i ovladavanje raznim metodama mentalne aktivnosti;
• stvoriti povoljne uslove za povećanje snage i dubine znanja učenika, osigurati svjesno usvajanje matematičkih pojmova.

Nestandardni zadaci:

• ne treba imati gotove algoritme koje djeca pamte;
• treba da bude pristupačan svim učenicima u smislu sadržaja;
• mora biti zanimljiv po sadržaju;
• Za rješavanje nestandardnih zadataka studenti treba da imaju dovoljno znanja koja su stekli u programu.

Rješavanje nestandardnih zadataka aktivira aktivnost učenika. Učenici uče da upoređuju, klasifikuju, generalizuju, analiziraju, a to doprinosi čvršćem i svesnijem usvajanju znanja.

Kao što je praksa pokazala, nestandardni zadaci su veoma korisni ne samo za nastavu, već i za vannastavne aktivnosti, za zadatke Olimpijade, jer to otvara mogućnost da se istinski razlikuju rezultati svakog učesnika. Ovakvi zadaci mogu se uspješno koristiti kao individualni zadaci za one učenike koji se lako i brzo nose sa glavnim dijelom samostalnog rada na času, ili za one koji to žele kao dodatne zadatke. Kao rezultat, studenti dobijaju intelektualni razvoj i pripremu za aktivan praktični rad.

Ne postoji općeprihvaćena klasifikacija nestandardnih zadataka, ali B.A. Kordemsky identificira sljedeće vrste takvih zadataka:

• · Zadaci koji se odnose na školski predmet matematike, ali povećane težine - kao što su zadaci matematičkih olimpijada. Namijenjeni su uglavnom školarcima sa određenim interesovanjem za matematiku; tematski, ovi zadaci su obično povezani sa jednim ili drugim specifičnim dijelom školskog kurikuluma. Vježbe vezane za to produbljuju nastavno gradivo, dopunjuju i uopštavaju pojedinačne odredbe školskog predmeta, proširuju matematičke vidike i razvijaju vještine rješavanja teških zadataka.
• · Problemi tipa matematičke zabave. Nisu u direktnoj vezi sa školskim programom i po pravilu ne zahtijevaju veliku matematičku pripremu. To, međutim, ne znači da druga kategorija zadataka uključuje samo lake vježbe. Ovdje postoje problemi sa vrlo teškim rješenjem i takvi problemi čije rješenje još nije dobijeno. „Nestandardni zadaci, predstavljeni na zabavan način, unose emotivan trenutak u mentalne aktivnosti. Nisu povezani s potrebom da se za njihovo rješavanje uvijek primjenjuju naučena pravila i tehnike, zahtijevaju mobilizaciju cjelokupnog akumuliranog znanja, uče ih da traže originalne, nešablonske načine rješavanja, obogaćuju umjetnost rješavanja lijepim primjerima, čine ih diviti se snazi ​​uma.

Ove vrste zadataka uključuju:

razne numeričke zagonetke ("... primjeri u kojima su svi ili neki brojevi zamijenjeni zvjezdicama ili slovima. Ista slova zamjenjuju iste brojeve, različita slova - različiti brojevi" .) i zagonetke za domišljatost;

logički zadaci, čije rješavanje ne zahtijeva proračune, već se zasniva na izgradnji lanca egzaktnog zaključivanja;

zadaci čije se rješavanje zasniva na kombinaciji matematičkog razvoja i praktične genijalnosti: vaganje i transfuzije u teškim uslovima;

matematička sofistika je namjeran, lažan zaključak koji izgleda kao tačan. (Sofizam je dokaz lažnog iskaza, a greška u dokazu je vješto prikrivena. Sofizam na grčkom znači lukav izum, trik, zagonetka);

šaljivi zadaci;

kombinatorni problemi, u kojima se razmatraju različite kombinacije datih objekata koje zadovoljavaju određene uslove (B.A. Kordemsky, 1958).

Ništa manje zanimljiva je klasifikacija nestandardnih problema koju je dao I.V. Egorchenko:

• zadaci koji imaju za cilj pronalaženje odnosa između datih objekata, procesa ili pojava;
• zadaci koji su nerešivi ili nerešivi putem školskog predmeta na datom nivou znanja učenika;
• Zadaci koji zahtijevaju:

provođenje i korištenje analogija, utvrđivanje razlika između datih objekata, procesa ili pojava, utvrđivanje suprotnosti datih pojava i procesa ili njihovih antipoda;

sprovođenje praktične demonstracije, apstrahovanje od određenih svojstava predmeta, procesa, pojave ili konkretizacija jedne ili druge strane ovog fenomena;

uspostavljanje kauzalnih veza između datih objekata, procesa ili pojava;

konstrukcija uzročno-posledičnih lanaca na analitički ili sintetički način uz naknadnu analizu rezultirajućih opcija;

ispravna implementacija niza određenih radnji, izbjegavanje grešaka-"zamki";

implementacija prijelaza iz planarne u prostornu verziju datog procesa, objekta, fenomena ili obrnuto (I.V. Egorchenko, 2003).

Dakle, ne postoji jedinstvena klasifikacija nestandardnih zadataka. Ima ih nekoliko, ali je autor rada koristio klasifikaciju koju je predložio I.V. Egorchenko.