Sistem linearnih jednačina naziva se nehomogenim ako. Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi, metode rješenja, primjeri

Možete naručiti detaljno rješenje tvoj zadatak!!!

Da razumem šta je fundamentalni sistem odluke možete pogledati video tutorijal za isti primjer klikom na . Sada pređimo na opis svih potrebnih radova. To će vam pomoći da detaljnije shvatite suštinu ovog pitanja.

Kako pronaći osnovni sistem rješenja linearne jednačine?

Uzmimo ovaj sistem kao primjer. linearne jednačine:

Hajde da nađemo rešenje za ovo linearni sistem jednačine. Za početak, mi zapišite matricu koeficijenata sistema.

Transformirajmo ovu matricu u trouglastu. Prepisujemo prvi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(11)$ moraju biti nula. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(21)$, trebate oduzeti prvi od drugog reda, a razliku upisati u drugi red. Da biste napravili nulu na mjestu elementa $a_(31)$, trebate oduzeti prvi od trećeg reda i upisati razliku u trećem redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(41)$, trebate oduzeti prvo pomnoženo sa 2 iz četvrtog reda i upisati razliku u četvrtom redu. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(31)$, oduzmite prvo pomnoženo sa 2 od petog reda i upišite razliku u petom redu.

Prepisujemo prvi i drugi red bez promjena. I svi elementi koji su ispod $a_(22)$ moraju biti nula. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(32)$, potrebno je oduzeti drugu pomnoženu sa 2 iz trećeg reda i upisati razliku u trećem redu. Da biste postavili nulu na mjesto elementa $a_(42)$, potrebno je od četvrtog reda oduzeti drugu pomnoženu sa 2 i upisati razliku u četvrti red. Da biste napravili nulu umjesto elementa $a_(52)$, oduzmite drugu pomnoženu sa 3 od petog reda i upišite razliku u petom redu.

Vidimo to zadnja tri reda su ista, pa ako oduzmete treći od četvrtog i petog, onda će oni postati nula.

Za ovu matricu zapiši novi sistem jednačine.

Vidimo da imamo samo tri linearno nezavisne jednačine, i pet nepoznanica, pa će se osnovni sistem rješenja sastojati od dva vektora. Dakle, mi pomjeriti posljednje dvije nepoznate udesno.

Sada počinjemo izražavati one nepoznanice koje su na lijevoj strani kroz one koje su na desnoj strani. Počinjemo od posljednje jednačine, prvo izražavamo $x_3$, zatim zamjenjujemo dobijeni rezultat u drugu jednačinu i izražavamo $x_2$, a zatim u prvu jednačinu i ovdje izražavamo $x_1$. Tako smo sve nepoznanice koje su na lijevoj strani izrazili kroz nepoznanice koje su na desnoj strani.

Nakon toga, umjesto $x_4$ i $x_5$, možete zamijeniti bilo koje brojeve i pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$. Svakih takvih pet brojeva bit će korijeni našeg originalnog sistema jednačina. Da biste pronašli vektore koji su uključeni u FSR trebamo zamijeniti 1 umjesto $x_4$, i zamijeniti 0 umjesto $x_5$, pronaći $x_1$, $x_2$ i $x_3$, i onda obrnuto $x_4=0$ i $x_5=1$.

Nastavit ćemo sa poliranjem tehnike elementarne transformacije na homogeni sistem linearnih jednačina.
Prema prvim paragrafima, materijal može izgledati dosadno i obično, ali ovaj utisak je varljiv. Bit će puno novih informacija pored daljnjeg razvoja tehnika, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.

Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?

Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima sistemska jednačina je nula. Na primjer:

To je sasvim jasno homogeni sistem je uvek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, tzv trivijalan rješenje . Trivijalan, za one koji uopšte ne razumeju značenje prideva, znači bespontov. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ... Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sistem još neko rješenje:

Primjer 1

Rješenje: za rješavanje homogenog sistema potrebno je napisati sistemska matrica i uz pomoć elementarnih transformacija dovesti ga u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati vertikalnu traku i nulti stupac slobodnih članova - jer šta god da radite sa nulama, one će ostati nula:

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa -2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -3.

(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -1.

Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem , a primjenom obrnutih poteza Gaussove metode, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.

Odgovori:

Hajde da formulišemo očigledan kriterijum: homogeni sistem linearnih jednačina ima jedino trivijalno rešenje, ako rang sistemske matrice(u ovom slučaju 3) jednako je broju varijabli (u ovom slučaju 3 kom.).

Zagrevamo i podešavamo naš radio na talas elementarnih transformacija:

Primjer 2

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Da konačno popravimo algoritam, analizirajmo završni zadatak:

Primjer 7

Riješite homogeni sistem, napišite odgovor u vektorskom obliku.

Rješenje: pišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u stepenasti oblik:

(1) Predznak prvog reda je promijenjen. Još jednom skrećem pažnju na tehniku koja se ponavlja, koja vam omogućava da značajno pojednostavite sljedeću radnju.

(1) Prvi red je dodat 2. i 3. redu. Prvi red pomnožen sa 2 dodan je četvrtom redu.

(3) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva su uklonjena.

Kao rezultat, dobija se standardna matrica koraka, a rješenje se nastavlja duž nazubljene staze:

– osnovne varijable;
su slobodne varijable.

Osnovne varijable izražavamo u terminima slobodnih varijabli. Iz 2. jednačine:

- zamjena u 1. jednačini:

Dakle, generalno rješenje je:

Budući da postoje tri slobodne varijable u primjeru koji se razmatra, osnovni sistem sadrži tri vektora.

Zamijenimo trostruku vrijednosti u opšte rešenje i dobijemo vektor čije koordinate zadovoljavaju svaku jednačinu homogenog sistema. I opet, ponavljam da je vrlo poželjno provjeriti svaki primljeni vektor - neće trebati toliko vremena, ali će uštedjeti sto posto od grešaka.

Za trostruku vrijednost pronađite vektor

I na kraju za trostruku dobijamo treći vektor:

Odgovori: , gdje

Oni koji žele izbjeći razlomke mogu uzeti u obzir trojke i dobijete odgovor u ekvivalentnom obliku:

Govoreći o razlomcima. Pogledajmo matricu dobijenu u zadatku i postaviti pitanje - da li je moguće pojednostaviti dalje rješenje? Uostalom, ovdje smo prvo izrazili osnovnu varijablu u terminima razlomaka, zatim osnovnu varijablu u terminima razlomaka, i, moram reći, ovaj proces nije bio najlakši i ne najprijatniji.

Drugo rješenje:

Ideja je pokušati izaberite druge osnovne varijable. Pogledajmo matricu i uočimo dva u trećoj koloni. Pa zašto ne dobiti nulu na vrhu? Napravimo još jednu elementarnu transformaciju:

Filijala Kaluga Federalne državne budžetske obrazovne ustanove visokog stručnog obrazovanja

Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman"

(KF MSTU nazvan po N.E. Bauman)

Vlaikov N.D.

Rješenje homogene SLAE

Smjernice za izvođenje vježbi

na kursu analitičke geometrije

Kaluga 2011

Ciljevi lekcije strana 4

Plan lekcije strana 4

Potrebne teorijske informacije str.5

Praktični dio str.10

Kontrola razvoja obrađenog materijala str.13

Strana za domaći zadatak 14

Broj sati: 2

Ciljevi lekcije:

Sistematizirati stečena teorijska znanja o vrstama SLAE i načinima njihovog rješavanja.

Steknite vještine rješavanja homogenih SLAE.

Plan lekcije:

Ukratko navedite teorijski materijal.

Riješite homogenu SLAE.

Pronađite osnovni sistem rješenja za homogenu SLAE.

Naći određeno rješenje homogene SLAE.

Formulirajte algoritam za rješavanje homogene SLAE.

Provjerite svoj trenutni domaći zadatak.

Izvršite poslove verifikacije.

Predstavite temu sljedećeg seminara.

Pošaljite trenutni domaći zadatak.

Neophodne teorijske informacije.

Matrix rang.

Def. Rang matrice je broj koji je jednak maksimalnom redu među njenim minorima koji nisu nula. Rang matrice se označava sa .

Ako je kvadratna matrica nedegenerirana, tada je rang jednak njenom redu. Ako je kvadratna matrica degenerisana, tada je njen rang manji od njenog reda.

Rang dijagonalne matrice jednak je broju njenih dijagonalnih elemenata koji nisu nula.

Theor. Kada se matrica transponira, njen rang se ne mijenja, tj.
.

Theor. Rang matrice se ne mijenja pod elementarnim transformacijama njenih redova i stupaca.

Osnovna mala teorema.

Def. Minor
matrice naziva se osnovnim ako su ispunjena dva uslova:

a) nije jednako nuli;

b) njen red je jednak rangu matrice .

Matrica može imati više osnovnih minora.

Redovi i stupci matrice , u kojem se nalazi odabrani osnovni mol, nazivaju se osnovnim.

Theor. Osnovna mala teorema. Osnovni redovi (kolone) matrice koji odgovara bilo kojem njegovom osnovnom molu
, su linearno nezavisne. Bilo koji red (kolone) matrice , nije uključeno u
, su linearne kombinacije osnovnih redova (kolona).

Theor. Za bilo koju matricu, njen rang je jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova (kolona).

Proračun ranga matrice. Metoda elementarnih transformacija.

Uz pomoć elementarnih transformacija reda, svaka matrica se može svesti na stepenasti oblik. Rang matrice koraka jednak je broju redova koji nisu nula. Osnova u njemu je minor koji se nalazi na presjeku redova koji nisu nula sa stupcima koji odgovaraju prvim elementima koji nisu nula na lijevoj strani u svakom od redova.

SLAU. Osnovne definicije.

Def. Sistem

(15.1)

Brojevi nazivaju se SLAE koeficijenti. Brojevi
nazivaju se slobodnim terminima jednačina.

Zapis SLAE u obliku (15.1) naziva se koordinata.

Def. Za SLAE se kaže da je homogena ako
. Inače se naziva heterogena.

Def. SLAE rješenje je takav skup vrijednosti nepoznanica, pri čijoj zamjeni svaka jednačina sistema pretvara u identitet. Svako specifično SLAE rješenje se također naziva njegovim posebnim rješenjem.

Rješavanje SLAE znači rješavanje dva problema:

Saznajte ima li SLAE rješenja;

Pronađite sva rješenja ako postoje.

Def. SLAE se naziva spoj ako ima barem jedno rješenje. Inače se naziva nedosljednim.

Def. Ako SLAE (15.1) ima rješenje i, osim toga, jedinstveno, onda se ono naziva definitivnim, a ako rješenje nije jedinstveno, onda neodređenim.

Def. Ako je u jednačini (15.1)
,SLAE se naziva kvadrat.

Oblici snimanja SLAU.

Pored koordinatnog oblika (15.1), SLAE zapisi često koriste i druge njegove reprezentacije.

(15.2)

Omjer se naziva vektorski oblik SLAE.

Ako za osnovu uzmemo proizvod matrica, onda se SLAE (15.1) može napisati na sljedeći način:

(15.3)

ili
.

Zapis SLAE (15.1) u obliku (15.3) naziva se matričnim.

Homogene SLAE.

homogeni sistem
linearne algebarske jednadžbe sa nepoznato je sistem oblika

Homogeni SLAE su uvijek konzistentni, jer uvijek postoji nulto rješenje.

Kriterijum za postojanje rješenja različitog od nule. Da bi homogeni kvadrat SLAE imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da njegova matrica bude degenerirana.

Theor. Ako kolone
,
, …,
su rješenja homogene SLAE, onda je svaka njihova linearna kombinacija također rješenje ovog sistema.

Posljedica. Ako homogena SLAE ima rješenje različito od nule, onda ima beskonačan broj rješenja.

Prirodno je pokušati pronaći takva rješenja
,
, …,
sistema tako da se svako drugo rješenje predstavlja kao njihovo linearna kombinacija i to na jedinstven način.

Def. Bilo koji set
linearno nezavisne kolone
,
, …,
, koji su rješenja homogene SLAE
, gdje je broj nepoznanica, i je rang njegove matrice , naziva se osnovnim sistemom rješenja ove homogene SLAE.

U proučavanju i rješavanju homogenih sistema linearnih jednačina u matrici sistema fiksiraćemo osnovni minor. Osnovni minor će odgovarati osnovnim stupcima, a time i osnovnim nepoznatim. Preostale nepoznanice će se zvati slobodnim.

Theor. O strukturi općeg rješenja homogene SLAE. Ako
,
, …,
- proizvoljan fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE
, tada se svako njegovo rješenje može predstaviti u obliku

Gdje , …,- neke konstante.

To. opšte rešenje homogene SLAE ima oblik

Praktični dio.

Razmotrite moguće skupove rješenja za sljedeće tipove SLAE i njihovu grafičku interpretaciju.

;
;
.

Razmotriti mogućnost rješavanja ovih sistema korištenjem Cramerovih formula i matrične metode.

Opišite suštinu Gaussove metode.

Riješite sljedeće zadatke.

Primjer 1. Riješite homogenu SLAE. Pronađite FSR.

Zapišimo matricu sistema i svedemo je na stepenasti oblik.

sistem će imati beskonačno mnogo rješenja. FSR će se sastojati od
kolone.

Odbacimo nulte linije i ponovo napišemo sistem:

Razmotrit ćemo osnovni minor stajanje u gornjem lijevom uglu. To.
su osnovne nepoznanice, i
- besplatno. Express
preko besplatnog
:

;

Hajde da stavimo
.

Konačno imamo:

- koordinatni oblik odgovora, ili

- matrični oblik odgovora, ili

- vektorski oblik odgovora (vektor - kolone su kolone FSR-a).

Algoritam za rješavanje homogene SLAE.

Pronađite FSR i opšte rješenje sljedećih sistema:

№2.225(4.39)

. odgovor:

№2.223(2.37)

. odgovor:

№2.227(2.41)

. odgovor:

Riješite homogenu SLAE:

. odgovor:

Riješite homogenu SLAE:

. odgovor:

Predstavljamo temu sljedeće radionice.

Rješenje sistema linearnih nehomogenih jednačina.

Praćenje razvoja obrađenog materijala.

Probni rad 3 - 5 minuta. Učestvuju 4 učenika sa neparnim brojevima u časopisu, počevši od #10

Pokreni radnje:

;
;

Pokreni radnje:

Izračunaj determinantu:

Pokreni radnje:

nedefinisano

Pokreni radnje:

Pronađite matricu inverznu datoj:

Izračunaj determinantu:

Zadaća:

1. Riješite probleme:

№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.

2. Odraditi predavanja na teme:

Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Koordinatna, matrična i vektorska notacija. Kriterijum Kronecker - Capelli kompatibilnost SLAE. Nehomogeni SLAE. Kriterijum za postojanje različitog od nule rješenja homogene SLAE. Svojstva rješenja homogene SLAE. Osnovni sistem rješenja homogene SLAE, teorema o njenom postojanju. Normalan fundamentalni sistem rješenja. Teorema o strukturi općeg rješenja homogene SLAE. Teorema o strukturi općeg rješenja nehomogene SLAE.

Linearni sistem se zove homogena ako su svi slobodni uslovi jednaki 0.

U matričnom obliku, homogeni sistem je zapisan:
.

Homogeni sistem (2) je uvijek konzistentan . Očigledno je da je skup brojeva
,
, …,
zadovoljava svaku jednačinu sistema. Rješenje
pozvao nula ili trivijalan odluka. Dakle, homogeni sistem uvijek ima nulto rješenje.

Pod kojim uslovima će homogeni sistem (2) imati različita od nule (netrivijalna) rješenja?

Teorema 1.3 Homogeni sistem (2) ima rješenja različita od nule ako i samo ako je rang r njegova glavna matrica manje od broja nepoznato n .

Sistem (2) - neodređeno
.

Posljedica 1. Ako je broj jednačina m homogeni sistem je manji od broja varijabli
, tada je sistem neodređen i ima skup rješenja različitih od nule.

Posljedica 2. Kvadratni homogeni sistem
ima rješenja različita od nule ako i ako je glavna matrica ovog sistema je degenerisan, tj. odrednica
.

Inače, ako je determinanta
, kvadratni homogeni sistem ima jedina stvar nulto rješenje
.

Neka je rang sistema (2)
tj. sistem (2) ima netrivijalna rješenja.

Neka bude I - pojedinačna rješenja ovog sistema, tj.
I
.

Svojstva rješenja za homogeni sistem

Zaista, .

Kombinujući svojstva 1) i 2), možemo reći da ako

…,
- rješenja homogenog sistema (2), tada je svaka njihova linearna kombinacija ujedno i njegovo rješenje. Evo
su proizvoljni realni brojevi.

Može se naći
linearno nezavisna partikularna rješenja homogeni sistem (2), kojim se može dobiti bilo koje drugo posebno rješenje ovog sistema, tj. dobiti opće rješenje sistema (2).

Definicija 2.2 Agregat
linearno nezavisna partikularna rješenja

…,
homogeni sistem (2) takav da se svako rješenje sistema (2) može predstaviti kao njihova linearna kombinacija naziva se fundamentalni sistem odlučivanja (FSR) homogenog sistema (2).

Neka bude

…,
je osnovni sistem rješenja, onda se generalno rješenje homogenog sistema (2) može predstaviti kao:

Gdje

.

Komentar. Da biste dobili FSR, morate pronaći privatna rješenja

…,
, dajući naizmjenično bilo kome besplatno varijabilna vrijednost"1", a sve ostale slobodne varijable - vrijednost "0".

Get ,, …,- FSR.

Primjer. Naći opšte rešenje i osnovni sistem rešenja homogenog sistema jednačina:

Rješenje. Zapišimo proširenu matricu sistema, prvo stavljajući posljednju jednačinu sistema na prvo mjesto i svedemo je na postepeni oblik. Budući da se desna strana jednadžbe ne mijenja kao rezultat elementarnih transformacija, ostaje nula, stupac

možda neće biti ispisana.

̴
̴
̴

Sistemski rang gdje
- broj varijabli. Sistem je neizvjestan i ima mnogo rješenja.

Osnovni mol sa varijablama
različito od nule:
izabrati
kao osnovne varijable, ostalo
- slobodne varijable (uzimaju bilo koje realne vrijednosti).

Poslednja matrica u lancu odgovara postupnom sistemu jednačina:

(3)

Izrazite osnovne varijable
preko slobodnih varijabli
(obrnuti tok Gaussove metode).

Iz posljednje jednačine koju izražavamo :
i zamijeniti u prvu jednačinu. Primit ćemo. Otvaramo zagrade, dajemo slične i izražavamo :
.

Pretpostavljam
,
,
, gdje
, pisati

je generalno rješenje sistema.

Hajde da pronađemo fundamentalni sistem rešenja

,,.

Tada se opšte rešenje homogenog sistema može zapisati kao:

Komentar. FSR bi se mogao naći i na drugi način, bez prethodnog pronalaženja opšteg rješenja sistema. Da bi se to postiglo, rezultujući sistem koraka (3) je trebalo tri puta riješiti, uz pretpostavku za :
; za :
; za :
.

Homogeni sistemi linearnih algebarskih jednačina

U okviru časova Gaussova metoda I Nekompatibilni sistemi/sistemi sa zajedničkim rješenjem smatrali smo nehomogeni sistemi linearnih jednačina, gdje besplatni član(koji je obično na desnoj strani) najmanje jedan jednačina je bila različita od nule.
A sada, nakon dobrog zagrevanja sa matrični rang, nastavićemo sa poliranjem tehnike elementarne transformacije na homogeni sistem linearnih jednačina.
Prema prvim paragrafima, materijal može izgledati dosadno i obično, ali ovaj utisak je varljiv. Bit će puno novih informacija pored daljnjeg razvoja tehnika, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.

Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?

Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima sistemska jednačina je nula. Na primjer:

Primjer 1

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa -2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -3.

(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa -1.

Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem , a primjenom obrnutih poteza Gaussove metode, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.

Odgovori:

Zagrevamo i podešavamo naš radio na talas elementarnih transformacija:

Primjer 2

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Iz članka Kako pronaći rang matrice? zapamti racionalan prijem prolazno smanjenje brojeva matrice. U suprotnom ćete morati da mesate krupnu i često griznu ribu. Primjer zadatka na kraju lekcije.

Nule su dobre i zgodne, ali u praksi je slučaj mnogo češći kada se redovi matrice sistema linearno zavisna. I tada je pojava generalnog rješenja neizbježna:

Primjer 3

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Rješenje: pišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u stepenasti oblik. Prva akcija je usmjerena ne samo na dobivanje jedne vrijednosti, već i na smanjenje brojeva u prvom stupcu:

(1) Treći red je dodat prvom redu, pomnožen sa -1. Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa -2. Gore lijevo sam dobio jedinicu sa "minusom", koja je često mnogo zgodnija za daljnje transformacije.

(2) Prva dva reda su ista, jedan od njih je uklonjen. Iskreno, nisam prilagodio odluku - desilo se. Ako izvršite transformacije u predlošku, onda linearna zavisnost linije bi se pojavile malo kasnije.

(3) Trećem redu dodajte drugi red, pomnožen sa 3.

(4) Predznak prvog reda je promijenjen.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentni sistem:

Algoritam radi potpuno isto kao za heterogeni sistemi. Varijable "sjede na stepenicama" su glavne, varijabla koja nije dobila "korake" je besplatna.

Osnovne varijable izražavamo u terminima slobodne varijable:

Odgovori: zajednička odluka:

Trivijalno rješenje je uključeno u opću formulu i nije ga potrebno posebno pisati.

Provjera se također vrši prema uobičajenoj šemi: rezultirajuće opšte rješenje mora se zamijeniti u lijevu stranu svake jednačine sistema i dobije se legitimna nula za sve zamjene.

Ovo bi se moglo tiho okončati, ali rješenje homogenog sistema jednačina često mora biti predstavljeno u vektorskom obliku preko fundamentalni sistem odlučivanja. Molimo vas da privremeno zaboravite analitička geometrija, pošto ćemo sada govoriti o vektorima u opštem algebarskom smislu, o čemu sam malo otvorio u članku matrični rang. Terminologiju nije potrebno zasjeniti, sve je prilično jednostavno.