Iz školskog predmeta matematike je poznato da je vektor na ravni usmjereni segment. Njegov početak i kraj imaju dvije koordinate. Vektorske koordinate se izračunavaju oduzimanjem početnih koordinata od krajnjih koordinata.

Koncept vektora se također može proširiti na n-dimenzionalni prostor (umjesto dvije koordinate biće n koordinata).

Gradijent grad z funkcije z = f(h 1 , h 2 , …h n) je vektor parcijalnih izvoda funkcije u tački, tj. vektor sa koordinatama.

Može se dokazati da gradijent funkcije karakteriše pravac najbržeg rasta nivoa funkcije u tački.

Na primjer, za funkciju z = 2x 1 + x 2 (vidi sliku 5.8), gradijent u bilo kojoj tački imat će koordinate (2; 1). Možete ga izgraditi na avionu Različiti putevi, uzimajući bilo koju tačku kao početak vektora. Na primjer, možete povezati tačku (0; 0) sa tačkom (2; 1) ili tačku (1; 0) sa tačkom (3; 1) ili tačku (0; 3) sa tačkom (2; 4), ili t .P. (vidi sliku 5.8). Svi vektori konstruisani na ovaj način imaće koordinate (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Slika 5.8 jasno pokazuje da nivo funkcije raste u pravcu gradijenta, budući da konstruisane linije nivoa odgovaraju vrednostima nivoa 4 > 3 > 2.

Slika 5.8 - Funkcija gradijenta z \u003d 2x 1 + x 2

Razmotrimo još jedan primjer - funkciju z = 1/(x 1 x 2). Gradijent ove funkcije više neće biti uvijek isti u različitim tačkama, jer su njene koordinate određene formulama (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

Na slici 5.9 prikazane su linije nivoa funkcije z = 1 / (x 1 x 2) za nivoe 2 i 10 (prava linija 1 / (x 1 x 2) = 2 je označena isprekidanom linijom, a prava linija
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - puna linija).

Slika 5.9 - Gradijent funkcije z \u003d 1 / (x 1 x 2) u različitim točkama

Uzmite, na primjer, tačku (0,5; 1) i izračunajte gradijent u ovoj tački: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Imajte na umu da tačka (0,5; 1) leži na liniji nivoa 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, jer je z = f (0,5; 1) = 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. prikazujemo vektor (-4; -2) na slici 5.9, povezujemo tačku (0.5; 1) sa tačkom (-3.5; -1), jer
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Uzmimo drugu tačku na istoj liniji nivoa, na primjer, tačku (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Izračunajte gradijent u ovoj tački
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Da bismo to prikazali na slici 5.9, povezujemo tačku (1; 0,5) sa tačkom (-1; -3,5), jer (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Uzmimo još jednu tačku na istoj ravni, ali samo sada u nepozitivnoj koordinatnoj četvrtini. Na primjer, tačka (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradijent u ovoj tački će biti
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Prikažimo to na slici 5.9 spajanjem tačke (-0,5; -1) sa tačkom (3,5; 1), jer (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

FUNKCIJA GRADIJENTA u = f(x, y, z) specificirano u nekom regionu. svemir (X Y Z), tu je vektor sa projekcijama označenim simbolima: grad gdje i, j, k- koordinatni vektori. G. f. - postoji funkcija tačke (x, y, z), tj. formira vektorsko polje. Derivat u pravcu G. f. u ovom trenutku dostiže svoju maksimalnu vrijednost i jednaka je: Smjer gradijenta je smjer najbržeg povećanja funkcije. G. f. u datoj tački je okomita na ravnu površinu koja prolazi kroz ovu tačku. Efikasnost upotrebe G. f. u litološkim studijama pokazalo se proučavanjem eolskog ex. Centralni Karakum.

Geološki rječnik: u 2 toma. - M.: Nedra. Uredili K. N. Paffengolts et al.. 1978 .

Pogledajte šta je "GRADIENTNA FUNKCIJA" u drugim rječnicima:

Ovaj članak je o matematičkim karakteristikama; o metodi popunjavanja, pogledajte: Gradijent (kompjuterska grafika) ... Wikipedia

- (lat.). Razlika u barometrijskim i termometričkim očitanjima u različitim područjima. Rječnik stranih riječi uključenih u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. GRADIENTNA razlika u očitavanju barometra i termometra u istom trenutku ... ... Rečnik stranih reči ruskog jezika

gradijent- Promjena vrijednosti neke količine po jedinici udaljenosti u datom smjeru. Topografski gradijent je promjena nadmorske visine na izmjerenoj horizontalnoj udaljenosti. Zaštita releja EN gradijent karakteristike okidanja diferencijalne zaštite… Priručnik tehničkog prevodioca

Gradijent- vektor usmjeren prema najbržem rastu funkcije i jednak po veličini njenoj derivaciji u ovom smjeru: gdje simboli ei označavaju jedinične vektore koordinatnih osa (orths) ... Ekonomsko-matematički rječnik

Jedan od osnovnih koncepata vektorske analize i teorije nelinearnih preslikavanja. Gradijent skalarne funkcije vektorskog argumenta iz euklidskog prostora E n se zove. derivacija funkcije f (t) u odnosu na vektorski argument t, odnosno n-dimenzionalni vektor sa ... ... Mathematical Encyclopedia

fiziološki gradijent- - vrijednost koja odražava promjenu k ili indikator funkcije u zavisnosti od druge vrijednosti; na primjer, parcijalni gradijent tlaka je razlika parcijalnih tlakova koja određuje difuziju plinova iz alveola (akcinusa) u krv i iz krvi u ... ... Rječnik pojmova za fiziologiju domaćih životinja

I Gradijent (od lat. gradiens, genus gradientis hodanje) Vektor koji pokazuje smjer najbrže promjene neke veličine, čija se vrijednost mijenja od jedne tačke u prostoru do druge (vidi Teoriju polja). Ako je vrijednost ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Gradijent- (od lat. gradiens hodanje, hodanje) (u matematici) vektor koji pokazuje smjer najbržeg porasta neke funkcije; (u fizici) mjera povećanja ili smanjenja u prostoru ili na nekoj ravni fizička količina po jedinici ... ... Počeci moderne prirodne nauke

Knjige

• Metode rješavanja nekih zadataka odabranih odjeljaka više matematike. Praktikum, Klimenko Konstantin Grigorijevič, Levitskaja Galina Vasiljevna, Kozlovsky Evgenij Aleksandrovič. Ova radionica govori o metodama rješavanja nekih vrsta problema iz ovakvih dijelova općeprihvaćenog kursa matematička analiza, kao granica i ekstremum funkcije, gradijent i izvod...

Definicija 1

Ako za svaki par $(x,y)$ vrijednosti dvije nezavisne varijable iz neke domene, određenu vrijednost$z$, onda se kaže da je $z$ funkcija dvije varijable $(x,y)$. Notacija: $z=f(x,y)$.

Razmotrimo funkciju $z=f(x,y)$, koja je definirana u nekom domenu u prostoru $Oxy$.

dakle,

Definicija 3

Ako se svakom trostrukom $(x,y,z)$ vrijednosti tri nezavisne varijable iz neke domene dodijeli određena vrijednost $w$, onda se kaže da je $w$ funkcija tri varijable $(x, y,z)$ u ovoj oblasti.

Oznaka:$w=f(x,y,z)$.

Razmotrimo funkciju $w=f(x,y,z)$, koja je definirana u nekom domenu u prostoru $Oxyz$.

Za datu funkciju definirati vektor za koji su projekcije na koordinatne ose vrijednosti parcijalnih izvoda date funkcije u nekoj tački $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)(\ djelomično y) $.

Definicija 4

Gradijent date funkcije $w=f(x,y,z)$ je vektor $\overrightarrow(gradw) $ sljedećeg oblika:

Teorema 3

Neka je polje gradijenta definirano u nekom skalarnom polju $w=f(x,y,z)$

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Derivat $\frac(\partial w)(\partial s) $ u smjeru iza dati vektor$\overrightarrow(s)$ je jednaka projekciji vektora gradijenta $\overrightarrow(gradw)$ na dati vektor $\overrightarrow(s)$.

Primjer 4

Odluka:

Izraz za gradijent se nalazi po formuli

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]

dakle,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

Primjer 5

Odrediti gradijent date funkcije

u tački $M(1;2;1)$. Izračunajte $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.

Odluka:

Izraz za gradijent u dati poen pronađite po formuli

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Parcijalni derivati ​​imaju oblik:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =6z^(2) .\]

Derivati ​​u tački $M(1;2)$:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2\cdot 1=2;\frac(\partial w)(\partial y) =4\cdot 2=8;\frac(\partial w)( \partial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

dakle,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]

Hajde da navedemo neke svojstva gradijenta:

Derivat date funkcije u datoj tački u smjeru nekog vektora $\overrightarrow(s)$ ima najveća vrijednost ako je smjer datog vektora $\overrightarrow(s)$ isti kao i smjer gradijenta. U ovom slučaju, ova najveća vrijednost derivacije se poklapa sa dužinom vektora gradijenta, tj. $|\overrightarrow(gradw) |$.

Derivat date funkcije u odnosu na smjer vektora koji je okomit na vektor gradijenta, tj. $\overrightarrow(gradw) $ je jednako 0. Pošto je $\varphi =\frac(\pi )(2) $, onda je $\cos \varphi =0$; stoga $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

Gradijent funkcije je vektorska veličina, čije je nalaženje povezano sa definicijom parcijalnih izvoda funkcije. Smjer gradijenta ukazuje na put najbržeg rasta funkcije od jedne tačke skalarnog polja do druge.

Uputstvo

1. Za rješavanje problema na gradijentu funkcije koriste se metode diferencijalni račun, naime, pronalaženje parcijalnih izvoda prvog reda u odnosu na tri varijable. Pretpostavlja se da sama funkcija i svi njeni parcijalni derivati ​​imaju svojstvo kontinuiteta u domeni funkcije.

2. Gradijent je vektor čiji smjer označava smjer najbržeg porasta funkcije F. Za to su na grafu odabrane dvije točke M0 i M1 koje su krajevi vektora. Vrijednost gradijenta jednaka je stopi povećanja funkcije od tačke M0 do tačke M1.

3. Funkcija je diferencibilna u svim tačkama ovog vektora, stoga su projekcije vektora na koordinatne ose sve njegove parcijalne derivacije. Tada formula gradijenta izgleda ovako: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, gdje su i, j, k koordinate jediničnog vektora. Drugim riječima, gradijent funkcije je vektor čije su koordinate njegovi parcijalni derivati ​​grad F = (?F/?h, ?F/?y, ?F/?z).

4. Primjer 1. Neka je data funkcija F = sin (x z?) / y. Potrebno je pronaći njen gradijent u tački (?/6, 1/4, 1).

5. Rješenje. Odredite parcijalne derivate u odnosu na bilo koju varijablu: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y = sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Zamijenite poznate koordinate tačke: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 = 2? /? 3.

7. Primijeniti formulu gradijenta funkcije: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Primjer 2. Pronađite koordinate gradijenta funkcije F = y arctg (z / x) u tački (1, 2, 1).

9. Rješenje. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x) ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Gradijent skalarnog polja je vektorska veličina. Dakle, da bismo ga pronašli, potrebno je odrediti sve komponente odgovarajućeg vektora, na osnovu znanja o podjeli skalarnog polja.

Uputstvo

1. Pročitajte u udžbeniku višu matematiku, što je gradijent skalarnog polja. Kao što znate, ova vektorska veličina ima smjer karakteriziran maksimalnom brzinom raspada skalarne funkcije. Takav smisao date vektorske veličine opravdava se izrazom za određivanje njegovih komponenti.

2. Zapamtite da je svaki vektor definiran vrijednostima njegovih komponenti. Vektorske komponente su zapravo projekcije ovog vektora na jednu ili drugu koordinatnu osu. Dakle, ako se uzme u obzir trodimenzionalni prostor, tada vektor mora imati tri komponente.

3. Zapišite kako se određuju komponente vektora koji je gradijent nekog polja. Sve koordinate takvog vektora jednake su derivaciji skalarnog potencijala u odnosu na varijablu čija se koordinata izračunava. Odnosno, ako trebate izračunati "X" komponentu vektora gradijenta polja, onda morate napraviti razliku skalarna funkcija promenljivom "x". Imajte na umu da izvod mora biti količnik. To znači da se pri diferenciranju preostale varijable koje ne učestvuju u njemu moraju smatrati konstantama.

4. Napišite izraz za skalarno polje. Kao što znate, svaki pojam označava samo skalarnu funkciju nekoliko varijabli, koje su također skalarne veličine. Broj varijabli skalarne funkcije ograničen je dimenzijom prostora.

5. Razlikujte posebno skalarnu funkciju u odnosu na svaku varijablu. Kao rezultat, imat ćete tri nove funkcije. Upišite bilo koju funkciju u izraz za vektor gradijenta skalarnog polja. Bilo koja od dobijenih funkcija je zapravo indikator za jedinični vektor date koordinate. Dakle, konačni vektor gradijenta trebao bi izgledati kao polinom sa eksponentima kao derivatima funkcije.

Kada se razmatraju pitanja koja uključuju predstavljanje gradijenta, uobičajenije je razmišljati o svakom kao o skalarnom polju. Stoga moramo uvesti odgovarajuću notaciju.

Trebaće ti

• - bum;
• - olovka.

Uputstvo

1. Neka je funkcija data sa tri argumenta u=f(x, y, z). Parcijalni izvod funkcije, na primjer u odnosu na x, definira se kao izvod u odnosu na ovaj argument, dobiven fiksiranjem preostalih argumenata. Ostali argumenti su slični. Notacija djelomične derivacije piše se kao: df / dx \u003d u’x ...

2. Ukupni diferencijal bit će jednak du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. Parcijalne derivacije se mogu shvatiti kao derivacije u smjerovima koordinatne ose. Shodno tome, postavlja se pitanje pronalaženja derivacije u odnosu na pravac datog vektora s u tački M(x, y, z) (ne zaboravite da pravac s specificira jedinični vektor-ort s^o). U ovom slučaju, diferencijalni vektor argumenata je (dx, dy, dz)=(dscos(alfa), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. S obzirom na pogled totalni diferencijal du, moguće je zaključiti da je derivacija u odnosu na pravac s u tački M: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha)+ ((df/dy) |M)cos (beta) + ((df / dz) | M) cos (gama). Ako je s = s (sx, sy, sz), tada kosinus smjera (cos (alpha), cos (beta), cos (gama)) se izračunavaju (vidi sliku 1a).

4. Definicija derivacije smjera, s obzirom na točku M kao promjenljivu, može se prepisati u obliku tačkasti proizvod: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alfa), cos(beta), cos(gama)))=(grad u, s^o). Ovaj izraz će biti objektivan za skalarno polje. Ako uzmemo u obzir laku funkciju, onda je gradf vektor koji ima koordinate koje se poklapaju sa parcijalnim derivatima f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz) )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Ovdje (i, j, k) su jedinični vektori koordinatnih osa u pravougaoniku Kartezijanski sistem koordinate.

5. Ako koristimo Hamilton Nabla diferencijalni vektorski operator, tada se gradf može napisati kao množenje ovog operatorskog vektora sa skalarom f (vidi sliku 1b). Sa stanovišta veze gradf sa direkcionim izvodom, jednakost (gradf, s^o)=0 je dopuštena ako su ovi vektori ortogonalni. Prema tome, gradf se često definira kao smjer najbrže metamorfoze skalarnog polja. A sa stanovišta diferencijalnih operacija (gradf je jedna od njih), svojstva gradf tačno ponavljaju svojstva diferencijacije funkcija. Konkretno, ako je f=uv, onda je gradf=(vgradu+ugradv).

Povezani video zapisi

Gradijent ovo je alat koji u grafičkim uređivačima ispunjava siluetu glatkim prijelazom jedne boje u drugu. Gradijent može dati silueti rezultat volumena, simulirati osvjetljenje, refleksiju svjetlosti na površini objekta ili rezultat zalaska sunca u pozadini fotografije. Ovaj alat ima široku upotrebu, stoga je za obradu fotografija ili kreiranje ilustracija vrlo važno naučiti kako ga koristiti.

Trebaće ti

• Računar, grafički uređivač Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net ili drugi.

Uputstvo

1. Otvorite sliku u programu ili napravite novu. Napravite siluetu ili odaberite željeno područje na slici.

2. Uključite alat Gradient na traci sa alatkama grafičkog uređivača. Postavite kursor miša na tačku unutar odabranog područja ili siluete, gdje će početi 1. boja gradijenta. Kliknite i držite lijevu tipku miša. Pomerite kursor do tačke gde bi gradijent trebalo da pređe u konačnu boju. Otpustite lijevu tipku miša. Odabrana silueta će biti ispunjena gradijentom.

3. Gradijent y moguće je podesiti transparentnost, boje i njihov odnos na određenoj tački punjenja. Da biste to učinili, otvorite prozor Gradient Edit. Da biste otvorili prozor za uređivanje u Photoshopu, kliknite na primjer gradijenta u panelu Opcije.

4. U prozoru koji se otvori, dostupne su opcije punjenja gradijenta kao primjeri. Da biste uredili jednu od opcija, odaberite je klikom miša.

5. Primjer gradijenta prikazan je na dnu prozora u obliku široke skale s klizačima. Klizači označavaju tačke u kojima gradijent treba da ima zadate poredacije, a u intervalu između klizača, boja ravnomerno prelazi sa one navedene u prvoj tački u boju druge tačke.

6. Klizači koji se nalaze na vrhu skale postavljaju transparentnost gradijenta. Za promjenu prozirnosti kliknite na željeni klizač. Ispod skale će se pojaviti polje u koje unesite traženi stepen transparentnosti u procentima.

7. Klizači na dnu skale postavljaju boje gradijenta. Klikom na jednu od njih, moći ćete da preferirate željenu boju.

8. Gradijent može imati više prelaznih boja. Da biste postavili drugu boju, kliknite na prazan prostor na dnu skale. Na njemu će se pojaviti još jedan klizač. Postavite željenu boju za njega. Skala će prikazati primjer gradijenta s još jednom točkom. Klizače možete pomicati držeći ih uz podršku lijeve tipke miša kako biste postigli željenu kombinaciju.

9. Gradijent Postoji nekoliko vrsta koje mogu dati oblik ravnim siluetama. Recimo, da bi se krugu dao oblik lopte, primjenjuje se radijalni gradijent, a da bi se dobio oblik konusa primjenjuje se konusni gradijent. Zrcalni gradijent se može koristiti da se površini da iluzija ispupčenja, a dijamantski gradijent se može koristiti za kreiranje naglasaka.

Povezani video zapisi

Povezani video zapisi

1 0 Gradijent je usmjeren duž normale na ravnu površinu (ili na liniju nivoa ako je polje ravno).

2 0 Gradijent je usmjeren u smjeru povećanja funkcije polja.

3 0 Modul gradijenta jednak je najvećoj derivaciji u pravcu u datoj tački polja:

Ova svojstva daju invarijantnu karakteristiku gradijenta. Kažu da vektor gradU ukazuje na smjer i veličinu najveće promjene u skalarnom polju u datoj tački.

Napomena 2.1. Ako je funkcija U(x,y) funkcija dvije varijable, tada je vektor

leži u oksi ravni.

Neka su U=U(x,y,z) i V=V(x,y,z) funkcije diferencijabilne u tački M 0 (x,y,z). Tada vrijede sljedeće jednakosti:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, gdje , U=U() ima izvod u odnosu na .

Primjer 2.1. Zadana je funkcija U=x 2 +y 2 +z 2. Odrediti gradijent funkcije u tački M(-2;3;4).

Odluka. Prema formuli (2.2) imamo

Površine nivoa ovog skalarnog polja su porodica sfera x 2 +y 2 +z 2 , vektor gradU=(-4;6;8) je normalni vektor ravnina.

Primjer 2.2. Naći gradijent skalarnog polja U=x-2y+3z.

Odluka. Prema formuli (2.2) imamo

Površine nivoa datog skalarnog polja su ravni

x-2y+3z=C; vektor gradU=(1;-2;3) je normalni vektor ravnina ove porodice.

Primjer 2.3. Odrediti najstrmiji nagib površine U=x y u tački M(2;2;4).

Odluka. Imamo:

Primjer 2.4. Naći jedinični vektor normale na ravnu površinu skalarnog polja U=x 2 +y 2 +z 2 .

Odluka. Površine nivoa date skalarne sfere polja x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradijent je usmjeren duž normale na ravnu površinu, tako da

Definira vektor normale na ravnu površinu u tački M(x,y,z). Za jedinični normalni vektor dobijamo izraz

Primjer 2.5. Pronađite gradijent polja U=, gdje su i konstantni vektori, r je vektor radijusa tačke.

Odluka. Neka bude

Zatim: . Po pravilu diferencijacije determinante dobijamo

dakle,

Primjer 2.6. Pronađite gradijent udaljenosti, gdje je P(x,y,z) tačka polja koje se proučava, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) je neka fiksna tačka.

Odluka. Imamo - jedinični vektor smjera.

Primjer 2.7. Odrediti ugao između gradijenata funkcija u tački M 0 (1,1).

Odluka. Nalazimo gradijente ovih funkcija u tački M 0 (1,1), imamo

; Ugao između gradU i gradV u tački M 0 određuje se iz jednakosti

Dakle =0.

Primjer 2.8. Naći derivaciju u odnosu na pravac, radijus vektor je jednak

Odluka. Pronalaženje gradijenta ove funkcije:

Zamjenom (2.5) u (2.4) dobijamo

Primjer 2.9. Pronađite u tački M 0 (1;1;1) smjer najveće promjene u skalarnom polju U=xy+yz+xz i veličinu ove najveće promjene u ovoj tački.

Odluka. Smjer najveće promjene polja označen je vektorom grad U(M). nalazimo ga:

I zbog toga, . Ovaj vektor određuje smjer najvećeg porasta ovog polja u tački M 0 (1;1;1). Vrijednost najveće promjene u polju u ovoj tački je jednaka

Primjer 3.1. Pronađite vektorske linije vektorsko polje gdje je konstantni vektor.

Odluka. Imamo tako

Pomnožite brojilac i imenilac prvog razlomka sa x, drugog sa y, trećeg sa z i dodajte član po član. Koristeći svojstvo proporcije, dobijamo

Dakle, xdx+ydy+zdz=0, što znači

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Sada pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka (3.3) sa c 1, drugog sa c 2, trećeg sa c 3 i zbrojimo član po član, dobijamo

Odakle c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

I, prema tome, sa 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-konst.

Potrebne jednadžbe vektorskih linija

Ove jednačine pokazuju da se vektorske linije dobijaju kao rezultat preseka sfera koje imaju zajedničko središte u početku sa ravnima okomitim na vektor. Iz toga slijedi da su vektorske linije kružnice čiji su centri na pravoj liniji koja prolazi kroz početak u smjeru vektora c. Ravnine kružnica su okomite na navedenu liniju.

Primjer 3.2. Pronađite liniju vektora polja koja prolazi kroz tačku (1,0,0).

Odluka. Diferencijalne jednadžbe vektorske linije

Stoga imamo . Rješavanje prve jednačine. Ili ako uvedemo parametar t, tada ćemo imati. U ovom slučaju, jednačina ima oblik ili dz=bdt, odakle je z=bt+c 2 .