Klikom na dugme "Preuzmi arhivu" besplatno ćete preuzeti datoteku koja vam je potrebna.
Prije preuzimanja ovog fajla, sjetite se onih dobrih eseja, kontrolnih, seminarskih radova, teze, članke i druge dokumente koji se ne traže na vašem računaru. Ovo je vaš rad, on treba da učestvuje u razvoju društva i da koristi ljudima. Pronađite ove radove i pošaljite ih u bazu znanja.
Mi i svi studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu bićemo vam veoma zahvalni.
Da preuzmete arhivu sa dokumentom, unesite petocifreni broj u polje ispod i kliknite na dugme "Preuzmi arhivu"
Slični dokumenti
Rješenje linearnih sistema algebarske jednačine jednostavna metoda iteracije. Polinomska interpolacija funkcije Newtonovom metodom s podijeljenim razlikama. Srednje kvadratna aproksimacija funkcije. Numerička integracija funkcija Gaussovom metodom.
seminarski rad, dodan 14.04.2009
Numeričke metode su skup algoritama koji omogućavaju dobijanje približnog (numeričkog) rješenja matematičkih problema. Dvije vrste grešaka koje nastaju u rješavanju problema. Pronalaženje nula funkcije. metoda poludijeljenja. metoda akorda.
kurs predavanja, dodato 06.03.2009
Koncept određenog integrala, njegov geometrijskom smislu. Numeričke metode proračuna određeni integrali. Formule za pravokutnike i trapeze. Primena Mathcad paketa za izračunavanje integrala, provera rezultata proračuna pomoću Mathcada.
seminarski rad, dodan 11.03.2013
Numeričke metode za rješavanje sistema linearne jednačine: Gaussian, jednostavna iteracija, Seidel. Metode aproksimacije i interpolacije funkcija: neodređeni koeficijenti, najmanji kvadrati. Rješenja nelinearnih jednačina i izračunavanje određenih integrala.
seminarski rad, dodan 27.04.2011
Metode za procjenu greške interpolacije. Interpolacija algebarskim polinomima. Konstrukcija algebarskih polinoma najbolje srednje kvadratne aproksimacije. Numeričke metode za rješavanje Cauchyjevog problema za obične diferencijalne jednadžbe.
laboratorijski rad, dodano 14.08.2010
Rješenje nelinearnih jednadžbi tangentnom metodom (Newton), karakteristike i faze ovog procesa. Mehanizam interpolacije funkcija i numerička integracija. Približno rješenje običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda Ojlerovom metodom.
seminarski rad, dodan 16.12.2015
Numeričke metode za pronalaženje bezuslovnog ekstremuma. Problemi bezuslovne minimizacije. Izračunavanje minimuma funkcije metodom koordinatnog spuštanja. Rješavanje problema linearnog programiranja grafičkim i simpleks metodama. Rad sa programom MathCAD.
seminarski rad, dodan 30.04.2011
Srednje kvadratna aproksimacija funkcije.
Razmotrimo problem najbolje srednje kvadratne aproksimacije funkcije polinomom 
prema sistemu 
.
Definicija 1.
Generalizovani polinom reda m u sistemu ( k ) je linearna kombinacija
gdje su C k proizvoljni realni koeficijenti.
Zadatak. Pronađite polinom 
, koji najmanje odstupa od funkcije f u L 2 metrici, tj. zadovoljavajući uslov:
Teorema 1.
Ako sistem 
je linearno nezavisna, onda je problem najbolje srednje kvadratne aproksimacije u odnosu na ovaj sistem jedinstveno rješiv.
Napišimo kvadrat udaljenosti između funkcije i polinoma:
(1)
Očigledno je da vrijednost 
je nenegativna definitivna kvadratna funkcija varijabli 
, i takva funkcija dostiže svoju minimalnu vrijednost. Dakle, rješenje aproksimacijskog problema srednjeg kvadrata postoji.
Dokažimo jedinstvenost rješenja.
Zapisujemo potrebne uslove za minimum:
,
i=0,…,m.
Računajući parcijalne derivacije u odnosu na c i izraza (1), dobijamo linearni sistem jednačina:
(2)
Sistem (2) se poziva normalan sistem.
Zapisujemo determinantu ovog sistema
(3)
Determinanta sistema (3) je tzv Gramova determinanta sistemi 
. Poznato je da ako sistem 
je linearno nezavisna, onda je determinanta 
0 (lako dokazati kontradikcijom). Prema uslovu teoreme 
0 i sistem (2) ima jedinstveno rješenje.
1.6. Klasični ortogonalni polinomi i njihova primjena u problemima aproksimacije funkcija.
Neka je H Hilbertov prostor sa unutrašnjim proizvodom 
. Važan primjer takvog prostora je prostor tzv 
je prostor funkcija f(x) za koji je integral konačan:
(1)
Ovdje je h(x) tzv funkcija težine, koji ispunjava uslove:
Ako je =(0,+ 
), tada mora biti ispunjen sljedeći uslov:
one. svi momenti funkcije težine moraju postojati.
Definicija 1.
Za 
je definisano skalarni proizvod:
(2)
i, shodno tome, norma:
prema uslovu (1).
Koristeći nejednakost Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, dobijamo
Dakle, skalarni proizvod postoji za 
Definicija 2.
Udaljenost između elemenata f i g određena je jednakošću:
.
Postavlja se pitanje kako razumjeti nulti element. Ako je norma 
, slijedi li da je f=g? Uvodi se terminologija: f=g skoro svuda, odnosno mogu se razlikovati u konačnom broju tačaka.
Definicija 3.
f i g ortogonalno na segmentu težine h(x), ako 
).
Ako u Hilbertovom prostoru uzmemo bilo koji linearno nezavisan sistem 
, i=0,1,2,…, onda se može ortogonalizirati.
Uzmimo sistem kao primjer: 
At 
konačan skup funkcije snage je linearno nezavisna, pa se na osnovu ovog sistema mogu konstruisati ortogonalni polinomi. Poznata je sljedeća rekurentna ortogonalizacija (Gram-Schmidtova procedura):
(3)
Koeficijenti b k+1,j su određeni iz uslova ortogonalnosti:
Sukcesivno množenje (3) sa 
dobijamo
(4)
Primjer 1
Neka je h(x)1, =[-1,1].
Konstruirajte prva tri ortogonalna polinoma prema proceduri (3) - (4).
Dalje imamo:
shodno tome,
Za sistem ortogonalnih polinoma na segmentu [-1,1] sa težinom h(x)=1, vrijedi Rodriguesova formula:
(5)
Iz (5) sukcesivno dobijamo:
Tako dobijeni polinomi nazivaju se Legendrovi polinomi. 
Komentar.
Ortogonalni polinomi pronađeni postupkom (3) - (4) mogu se razlikovati samo po faktorima od onih koji su izgrađeni korištenjem eksplicitne Rodriguesove formule (5).
Kvadrat norme za ove polinome je: 
To jest, ovi polinomi nisu normalizovani, jer 
Za sve klasične polinome postoji rekurentna formula. Za Legendreove polinome ima sljedeći oblik:
Neka bude 
Razmotrimo aproksimaciju srednjeg kvadrata:
gdje 
- srednja kvadratna greška aproksimacije,
- segment Fourierovog reda za funkciju f(x) u sistemu ortogonalnih polinoma (P k (x)).
Zbog ortogonalnosti Legendreovih polinoma, sistem normalnih jednačina (2) iz §1.5 postaje dijagonalan, a njegovo rješenje dovodi do sljedećih izraza za koeficijente c k:
(7)
odnosno osiguran je minimum norme u L 2.
Hajde da detaljno opišemo grešku aproksimacije
S druge strane
zbog ortogonalnosti.
Zamjenom u (8) dobijamo
.
(9)
Primjer 2
Neka je f(x)=|x|.
Približna f(x) na [-1,1] u efektivnom polinomu drugog stepena. Izračunajte srednju kvadratnu grešku.
Koristimo Legendreov ortogonalni sistem:
Koeficijenti c k se nalaze po formuli (7), uzimajući u obzir oblik Legendreovih polinoma:
1.7. Neka opća svojstva ortogonalnih polinoma.
Polinom P n (x) je ortogonan na bilo koji algebarski polinom m-tog stepena M m (x) za m
M m (x) može se jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija Legendreovih polinoma:
Jednakost (10) je identična, pa se koeficijenti a k jednoznačno izračunavaju izjednačavanjem koeficijenata na višim snagama. Pomnožimo oba dijela (10) sa P n (x), imamo
zbog ortogonalnosti sistema 
Polinom P n (x) ima tačno n realnih i različitih korijena na segmentu [-1,1].
Imajte na umu da, na osnovu Gaussove teoreme, polinom P n (x) ne može imati više od n korijena (općenito govoreći, kompleksnih). Neka P n (x) ima manje od n prostih realnih korijena. Označimo ih 
Iz ovih tačaka konstruišemo osnovni polinom
Razmotrimo polinom: 
je polinom stepena (k+n) koji ima nule 
čak i višestrukost. Dakle, novi polinom 
zadržava svoj predznak pri prolasku kroz ove nule, tj. zadržava znak na [-1,1]. Otuda to slijedi
Ali ovo je u suprotnosti sa svojstvom 1, pošto P n (x) nužno mora biti ortogonalno na M k (x). 
Između dvije susjedne nule polinoma P n (x) leži tačno jedna nula polinoma P n-1 (x).
Dokazuje se indukcijom uz pomoć rekurentne relacije (6). 
Za n-parno, polinom P n (x) je parna funkcija od x, za n-neparan, P n (x) je neparna funkcija od x.
Zajedno sa Legendreovim polinomima, sljedeći sistemi polinoma se nazivaju klasičnim ortogonalnim polinomima (u daljem tekstu (a,b) je interval ortogonalnosti, r(x) je težinska funkcija).
1)
Jacobijevi polinomi
{R P (l,m) ( X)) - at ali
= -1, b= 1 r( X)
= (1-X) l
(1 + x) m , l> -1, m > -1. Posebni posebni slučajevi Jacobijevih polinoma odgovaraju sljedećim vrijednostima l i m: l= m- ultrasferni polinomi
(ovi se ponekad nazivaju Gegenbauerovim polinomima); l\u003d m \u003d - 1 / 2, tj. 
-polinomi
Chebyshev
1. vrsta T n (x);
l= m = 1 / 2, tj. 
-
polinomi
Chebyshev
2nd kind U
n (x);
2) Polinomi Laguerre L n (x) - at ali = 0, b= + ∞ i r( X) = e -X(oni se također nazivaju Chebyshev-Laguerre polinomi) i generalizirani Laguerre polinomi - na . 3) Mnoge Hermite H n (X) - at ali = -∞, b= + ∞ i (oni se nazivaju i Čebišev-Ermitov polinom).
Da bi se izgladio diskretne funkcije Altmana, i time uveo ideju kontinuiteta u teoriju, korištena je aproksimacija korijena srednjeg kvadrata polinomom različitih stupnjeva.
Poznato je da niz interpolacijskih polinoma nad ekvidistantnim čvorovima ne mora nužno konvergirati funkciji, čak i ako je funkcija beskonačno diferencibilna. Za aproksimiranu funkciju, uz pomoć odgovarajućeg rasporeda čvorova, moguće je smanjiti stepen polinoma. . Struktura Altmanovih funkcija je takva da je prikladnije koristiti aproksimaciju funkcije ne interpolacijom, već konstruiranjem najbolje srednje kvadratne aproksimacije u normaliziranom linearni prostor. Razmotrite osnovne koncepte i informacije u konstruisanju najbolje aproksimacije. Problemi aproksimacije i optimizacije postavljaju se u linearnim normiranim prostorima.
Metrički i linearni normirani prostori
Najširi koncepti matematike uključuju "skup" i "mapiranje". Koncept "skup", "skup", "kolekcija", "porodica", "sistem", "klasa" u nestrogoj teoriji skupova smatraju se sinonimima.
Termin "operator" je identičan terminu "mapiranje". Izrazi "operacija", "funkcija", "funkcionalni", "mjera" su posebni slučajevi koncepta "mapiranje".
Pojmovi "struktura", "prostor" aksiomatska konstrukcija matematičke teorije su takođe dobile fundamentalni značaj u današnje vreme. Matematičke strukture uključuju teorijske strukture skupova (uređene i djelimično uređene skupove); apstraktne algebarske strukture (polugrupe, grupe, prstenovi, podjelni prstenovi, polja, algebre, rešetke); diferencijalne strukture (vanjski diferencijalni oblici, prostori vlakana) , , , , , , .
Pod strukturom se podrazumijeva konačni skup koji se sastoji od skupova nosioca (glavnog skupa), numeričkog polja (pomoćnog skupa) i mapiranja definiranog na elementima nosioca i brojevima polja. Ako se nosač uzme u kompletu kompleksni brojevi, tada igra ulogu i glavnog i pomoćnog skupa. Termin "struktura" je identičan konceptu "prostora".
Da bi se definirao prostor, prije svega je potrebno definirati noseći skup sa svojim elementima (tačkama) označenim latinskim i grčkim slovima
Skupovi realnih (ili složenih) elemenata mogu djelovati kao nosioci: brojevi; vektori, ; Matrice, ; Sekvence, ; Funkcije
Skupovi također mogu djelovati kao noseći elementi: realna osa, ravan, trodimenzionalni (i višedimenzionalni) prostor, permutacije, kretanja; apstraktni setovi.
Definicija. Metrički prostor je struktura koja formira trojku, gdje je preslikavanje nenegativna realna funkcija dva argumenta za bilo koji x i y iz M i zadovoljava tri aksioma.
- 1 - nenegativnost; , at.
- 2- - simetrija;
- 3- - aksiom refleksivnosti.
gdje su razmaci između elemenata.
IN metrički prostor postavlja se metrika i formira se koncept blizine dva elementa iz potpornog skupa.
Definicija. Pravi linearni (vektorski) prostor je struktura u kojoj je preslikavanje aditivna operacija sabiranja elemenata koji mu pripadaju, a preslikavanje je operacija množenja broja elementom iz.
Operacija znači da je za bilo koja dva elementa treći element jedinstveno definiran, nazvan njihov zbir i označen sa, a vrijede sljedeći aksiomi.
komutativno svojstvo.
Asocijativno svojstvo.
u postoji specijalni element, označen sa tako da vrijedi za bilo koji.
jer bilo koji postoji, takav da.
Element se naziva suprotno od i označava se sa.
Operacija znači da je za bilo koji element i bilo koji broj element definiran, označen sa i aksiomi su zadovoljeni:
Element (tačke) linearnog prostora naziva se i vektor. Aksiomi 1 - 4 definiraju grupu (aditiv), koja se naziva modul i predstavlja strukturu.
Ako se operacija u strukturi ne pokorava nijednom aksiomu, onda se takva struktura naziva groupoid. Ova struktura je izuzetno loša; ne sadrži nikakav aksiom asocijativnosti, tada se struktura naziva monoid (polugrupa).
U strukturi, uz pomoć preslikavanja i aksioma 1-8, postavlja se svojstvo linearnosti.
Dakle, linearni prostor je grupni modul, u čiju strukturu je dodana još jedna operacija - množenje potpornih elemenata brojem sa 4 aksioma. Ako umjesto operacije, uz još jednu grupnu operaciju množenja elemenata sa 4 aksioma, postuliramo aksiom distributivnosti, tada nastaje struktura koja se zove polje.
Definicija. Linearni normirani prostor je struktura u kojoj preslikavanje zadovoljava sljedeće aksiome:
- 1. I tada i samo tada, kada.
- 2. , .
- 3. , .
I tako u samo 11 aksioma.
Na primjer, ako je struktura polja realni brojevi, gdje - realni brojevi, dodajte modul koji ima sva tri svojstva norme, tada polje realnih brojeva postaje normirani prostor
Postoje dva uobičajena načina za uvođenje norme: ili eksplicitnim specificiranjem intervalnog oblika homogeno konveksnog funkcionala , ili specificiranjem skalarnog proizvoda , .
Neka se tada oblik funkcionalnosti može specificirati na beskonačan broj načina promjenom vrijednosti:
- 1. , .
- 2. , .
………………..
…………….
Drugi uobičajeni način prihvatanja dodjeljivanja je da se drugo preslikavanje uvede u strukturu prostora (funkcija dva argumenta, koja se obično označava i naziva skalarnim proizvodom).
Definicija. Euklidski prostor je struktura u kojoj skalarni proizvod sadrži normu i zadovoljava aksiome:
- 4. , i ako i samo ako
U Euklidskom prostoru, norma je generisana formulom
Iz svojstava 1 - 4 skalarnog proizvoda slijedi da su svi aksiomi norme zadovoljeni. Ako je skalarni proizvod u obliku, tada će se norma izračunati po formuli
Norma prostora se ne može specificirati korištenjem skalarnog proizvoda , .
U prostorima sa skalarnim proizvodom pojavljuju se takvi kvaliteti kojih nema u linearnim normiranim prostorima (ortogonalnost elemenata, jednakost paralelograma, Pitagorina teorema, Apolonijev identitet, Ptolemejeva nejednakost. Uvođenje skalarnog proizvoda pruža načine za efikasnije rješavanje problema ap.
Definicija. Za beskonačan niz elemenata u linearnom normiranom prostoru kaže se da je konvergentan po normi (jednostavno konvergentan ili ima ograničenje u) ako postoji takav element da za bilo koji postoji broj koji zavisi od takvog da je za
Definicija. Niz elemenata u se naziva fundamentalnim ako za bilo koji postoji broj koji zavisi od toga bilo koji i ako je zadovoljen (Trenogin Kolmogorov, Kantorovič, str. 48)
Definicija. Banahov prostor je struktura u kojoj bilo koji fundamentalni niz konvergira u normi.
Definicija. Hilbertov prostor je struktura u kojoj se bilo koji fundamentalni niz konvergira u normi koju generiše skalarni proizvod.
Uzmimo polukvadratni koordinatni sistem. Ovo je takav koordinatni sistem, u kojem je skala kvadratna duž apscise, tj. vrijednosti podjela su iscrtane prema izrazu, ovdje m- mjerilo u nekoj jedinici dužine, na primjer, u cm.
Linearna skala je iscrtana duž y-ose u skladu sa izrazom
Postavili smo eksperimentalne tačke na ovaj koordinatni sistem. Ako se tačke ovog grafa nalaze približno u pravoj liniji, to potvrđuje našu pretpostavku da je zavisnost y od x je dobro izražena funkcijom oblika (4.4). Da nađemo koeficijente a I b sada možete primijeniti jednu od gore navedenih metoda: metodu rastegnute niti, metodu odabranih tačaka ili metodu prosjeka.
Metoda čvrstog konca primjenjuje se na isti način kao i za linearnu funkciju.
Metoda odabranih bodova možemo se prijaviti ovako. Na pravolinijskom grafu uzmite dvije tačke (daleko jedna od druge). Označavamo koordinate ovih tačaka i ( x, y). Onda možemo pisati
Iz redukovanog sistema dvije jednačine nalazimo a I b i zamijenimo ih u formulu (4.4) i dobijemo konačni oblik empirijske formule.
Ne možete graditi pravolinijski graf, već uzmite brojeve, ( x,y) direktno sa stola. Međutim, formula dobijena ovim izborom tačaka biće manje tačna.
Proces pretvaranja zakrivljenog grafa u pravu liniju naziva se izravnavanje.
Srednji metod. Primjenjuje se na isti način kao u slučaju linearna zavisnost. Eksperimentalne tačke dijelimo u dvije grupe sa istim (ili gotovo istim) brojem bodova u svakoj grupi. Jednakost (4.4) se može prepisati kao
Nalazimo zbir reziduala za tačke prve grupe i izjednačavamo sa nulom. Isto radimo i za bodove druge grupe. Dobijamo dvije jednačine sa nepoznanicama a I b. Rješavajući sistem jednačina, nalazimo a I b.
Imajte na umu da prilikom primjene ove metode nije potrebno graditi aproksimirajuću ravnu liniju. Dijagram raspršenja u polukvadratnom koordinatnom sistemu je potreban samo da bi se provjerilo da li je funkcija oblika (4.4) prikladna za empirijsku formulu.
Primjer. Proučavanjem uticaja temperature na hod hronometra dobijeni su sljedeći rezultati:
| z | -20 | -15,4 | -9,0 | -5,4 | -0,6 | +4,8 | +9,4 |
| 2,6 | 2,01 | 1,34 | 1,08 | 0,94 | 1,06 | 1,25 |
U ovom slučaju nas ne zanima sama temperatura, već njeno odstupanje od . Stoga, uzimamo kao argument , gdje t- temperatura u stepenima Celzijusa uobičajene skale.
Ucrtavanjem odgovarajućih tačaka na Dekartov koordinatni sistem, primećujemo da se parabola sa osom može uzeti kao aproksimirajuća kriva, paralelna osa ordinate (slika 4). Uzmimo polukvadratni koordinatni sistem i nacrtamo eksperimentalne tačke na njemu. Vidimo da se ove tačke dovoljno dobro uklapaju na pravu liniju. Dakle, empirijska formula
može se pretraživati u obliku (4.4).
Hajde da definišemo koeficijente a I b prosječnom metodom. Da bismo to učinili, podijelimo eksperimentalne točke u dvije grupe: u prvoj grupi - prve tri točke, u drugoj - preostale četiri točke. Koristeći jednakost (4.5) nalazimo zbir reziduala za svaku grupu i izjednačavamo svaki zbir sa nulom.
Često vrijednosti interpolirane funkcije u, u2 , ..., yn se određuju iz eksperimenta sa nekim greškama, pa je nerazumno koristiti tačnu aproksimaciju na interpolacijskim čvorovima. U ovom slučaju, prirodnije je aproksimirati funkciju ne po točkama, već po prosjek, tj. u jednoj od L p normi.
Razmak 1 p - skup funkcija d(x), definisano na segmentu [a,b] i modulo integrabilan sa p-ti stepen, ako je norma definirana
Konvergencija u takvoj normi naziva se konvergencija u prosjek. Prostor 1,2 naziva se Hilbertov prostor, a konvergencija u njemu je rms.
Neka su data funkcija Ax) i skup funkcija φ(x) iz nekog linearnog normiranog prostora. U kontekstu problema interpolacije, aproksimacije i aproksimacije, mogu se formulisati sljedeća dva problema.
Prvi zadatak je aproksimacija sa datom tačnošću, tj. prema datom e pronaći φ(x) takav da je nejednakost |[Ax) - φ(x)|| G..
Drugi zadatak je pretraga najbolja aproksimacija tj. traženje funkcije φ*(x) koja zadovoljava relaciju:
Definišite bez dokaza dovoljno stanje postojanje najbolje aproksimacije. Da bismo to učinili, u linearnom prostoru funkcija biramo skup koji je parametrizovan izrazom
pri čemu će se pretpostaviti da je skup funkcija φ[(x), ..., φn(x) linearno nezavisan.
Može se pokazati da u bilo kojem normiranom prostoru za linearna aproksimacija(2.16) najbolja aproksimacija postoji, iako je jedinstvena u svakom linearnom prostoru.
Razmotrimo Hilbertov prostor LzCp) realnih kvadratno integrabilnih funkcija s težinom p(x) > 0 na [ , gdje je skalarni proizvod ( g,h) određuje
formula: 
Zamjena u uvjet najbolje aproksimacije linearna kombinacija(2.16), nalazimo
Izjednačavanje na nulu derivata u odnosu na koeficijente (D, k= 1, ..., P, dobijamo sistem linearnih jednadžbi
Determinanta sistema jednačina (2.17) naziva se Gramova determinanta. Gramova determinanta nije nula, jer se pretpostavlja da je sistem funkcija φ[(x), ..., φn(x) linearno nezavisan.
Dakle, najbolja aproksimacija postoji i jedinstvena je. Za njegovo dobijanje potrebno je riješiti sistem jednačina (2.17). Ako je sistem funkcija φ1(x), ..., φn(x) ortogonaliziran, tj. (φ/, φ,) = sy, gdje je SCH,ij = 1, ..., P, tada se sistem jednačina može riješiti u obliku:
Koeficijenti pronađeni prema (2.18) Q, ..., th str nazivaju se koeficijenti generalizovanog Fourierovog reda.
Ako skup funkcija φ t (X), ..., φ "(x), ... čini potpuni sistem, onda na osnovu Parsevalove jednakosti 
za Π -» s normom greške neograničeno opada. To znači da najbolja rms aproksimacija konvergira u Dx) sa bilo kojom zadatom tačnošću.
Napominjemo da je potraga za koeficijentima najbolje aproksimacije rješavanjem sistema jednačina (2.17) praktično neostvariva, jer kako se red Gram matrice povećava, njena determinanta brzo teži nuli, a matrica postaje loše uslovljena. Rešavanje sistema linearnih jednačina sa takvom matricom će dovesti do značajnog gubitka tačnosti. Hajde da to proverimo.
Neka su kao sistem funkcija φ„ i =1, ..., P, izabrani stepeni, tj. φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., P, tada, uz pretpostavku da je segment aproksimacijski segment, nalazimo Gram matricu
Gramova matrica oblika (2.19) se također naziva Hilbertova matrica. Ovo je klasičan primjer takozvane loše uvjetovane matrice.
Koristeći MATLAB, izračunavamo determinantu Hilbertove matrice u obliku (2.19) za neke prve vrijednosti P. Listing 2.5 prikazuje kod za odgovarajući program.
Listing 23
% Izračunajte determinantu Hilbertovih matrica % očistite radni prostor očisti sve;
%odaberi maksimalna vrijednost red Hilbertove matrice ptah =6;
%izgradite petlju za generiranje %Hilbertovih matrica i izračunajte njihove determinante
za n = 1: nmax d(n)=det(hi I b(n)); kraj
%prikaz vrijednosti determinanti % Hilbertovih matrica
f o g ta t kratki kraj
Nakon izrade koda iz Listinga 2.5, vrijednosti determinante Hilbertove matrice za prvih šest matrica treba da se pojave u MATLAB komandnom prozoru. Donja tabela prikazuje odgovarajuće numeričke vrijednosti redova matrice (n) i njihove determinante (d). Tabela jasno pokazuje koliko brzo determinanta Hilbertove matrice teži nuli kako red raste i, počevši od redova 5 i 6, postaje neprihvatljivo mali.
Tabela vrijednosti determinante Hilbertovih matrica
Numerička ortogonalizacija sistema funkcija φ, i = 1, ..., P također dovodi do primjetnog gubitka tačnosti, stoga, kako bi se uzelo u obzir veliki broj U ekspanziji (2.16), potrebno je ortogonalizaciju izvršiti analitički, odnosno tačno, ili koristiti gotov sistem ortogonalnih funkcija.
Ako se tokom interpolacije stupnjevi obično koriste kao sistem baznih funkcija, onda se tokom aproksimacije, u prosjeku, kao osnovne funkcije biraju polinomi koji su ortogonalni sa datom težinom. Najčešći od njih su Jacobijevi polinomi, čiji su poseban slučaj Legendrov i Čebišev polinom. Lagsrr i Hermite polinomi se također koriste. Više detalja o ovim polinomima može se naći, na primjer, u dodatku Ortogonalni polinomi knjige.