/

Funkcija gustine distribucije diskretne slučajne varijable. Funkcija distribucije vjerovatnoće

Svojstva gustine distribucije

Prvo, prisjetimo se kolika je gustina distribucije:

Razmotrite svojstva gustine distribucije:

Nekretnina 1: Funkcija gustine distribucije $\varphi (x)$ nije negativna:

Dokaz.

Znamo da je funkcija distribucije $F(x)$ neopadajuća funkcija. Iz definicije slijedi da je $\varphi \left(x\right)=F"(x)$, a derivacija neopadajuće funkcije -- nije negativna funkcija.

Geometrijski, ovo svojstvo znači da je graf funkcije gustine distribucije $\varphi \left(x\right)$ ili iznad ili na samoj osi $Ox$ (slika 1)

Slika 1. Ilustracija nejednakosti $\varphi (x)\ge 0$.

Nekretnina 2: Nepravilan integral funkcije gustine distribucije unutar $-\infty $ do $+\infty $ jednak je 1:

Dokaz.

Prisjetite se formule za pronalaženje vjerovatnoće da slučajna vrijednost interval $(\alpha ,\beta)$ će pasti:

Slika 2.

Nađimo vjerovatnoću da slučajna varijabla padne u interval $(-\infty ,+\infty $):

Slika 3

Očigledno je da će slučajna varijabla uvijek pasti u interval $(-\infty ,+\infty $), stoga je vjerovatnoća takvog pogotka jednaka jedan. Dobijamo:

Geometrijski, drugo svojstvo znači da je površina krivolinijskog trapeza ograničena grafom funkcije gustoće raspodjele $\varphi (x)$ i osom apscise numerički jednaka jedan.

Također možete formulirati inverzno svojstvo:

Svojstvo 3: Svaka nenegativna funkcija $f(x)\ge 0$ koja zadovoljava jednakost $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ je funkcija gustoće distribucije neka kontinuirana slučajna varijabla.

Vjerojatnostno značenje gustine distribucije

Hajde da damo promenljivoj $x$ inkrement $\trougao x$.

Probabilističko značenje gustine distribucije: Vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla $X$ uzeti vrijednosti iz intervala $(x,x+\trokut x)$ je približno jednaka proizvodu gustine distribucije vjerovatnoće u tački $ x$ i inkrement $\trokut x$:

Slika 4. Geometrijska ilustracija probabilističkog značenja gustine distribucije kontinuirane slučajne varijable.

Primjeri rješavanja problema korištenjem svojstava gustine distribucije

Primjer 1

Funkcija gustine raspodjele vjerovatnoće ima oblik:

Slika 5

  1. Pronađite koeficijent $\alpha $.
  2. Konstruirajte graf gustine raspodjele.
  1. Uzmimo u obzir nepravilan integral $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)$, dobijamo:

Slika 6

Koristeći svojstvo 2, dobijamo:

\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac(1)(2).\]

To jest, funkcija gustine distribucije ima oblik:

Slika 7

  1. Zacrtajmo to:

Slika 8

Primjer 2

Funkcija gustine raspodjele ima oblik $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$

(Podsjetite se da je $chx$ hiperbolički kosinus).

Pronađite vrijednost koeficijenta $\alpha $.

Rješenje. Koristimo drugu imovinu:

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \limits^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\]

Pošto je $chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$, onda

\[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x)))=2arctge^x+C\]

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\desno)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \]

posljedično:

\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]

Zakon distribucije vjerovatnoće slučajna varijabla se može specificirati korištenjem funkcije integralne distribucije. Kumulativna funkcija distribucije zove funkcija F(X), za svaku vrijednost X koji određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimi manju vrijednost...
  • Funkcija raspodjele vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable
    Funkcija F(X) postoji i za diskretne i za kontinuirane slučajne varijable. Uočavamo najvažnija svojstva funkcije raspodjele vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable. 1. Za vrijednosti funkcije distribucije F(x) odvija se 2. F(x) je neopadajuća funkcija, tj. 3. Vjerovatnoća...
    (TEORIJA VEROVATNOĆA I MATEMATIČKA STATISTIKA)
  • Kontinuirana slučajna varijabla. Gustina distribucije
    Definicija 3.6. SW % pozvao kontinuirano, ako postoji takva funkcija p(x) pozvao gustina vjerovatnoće ili gustina raspodjele vjerovatnoće, koliko je FR SV?, jednako je If u tački X gustina p(x) je kontinuirano, dakle, razlikuje lijevo i desno...
  • 4.3. Kontinuirana dvodimenzionalna slučajna varijabla. Raspodjela gustine spojeva
    Po analogiji sa n-dimenzionalnom slučajnom varijablom, dajemo sljedeću definiciju. Definicija 4.8. 2D slučajni vektor(?, p) se zove kontinuirano, ako postoji takva nenegativna funkcija p(x, y), pozvao gustina distribucije zglobova slučajne varijable? i p da Od...
    (VEROVATNOĆA I MATEMATIČKA STATISTIKA ZA EKONOMISTE)
  • Gustina distribucije
    Rice. 1.9. Glavne karakteristike normalna distribucija at različita značenja standardna devijacija: ali- gustina vjerovatnoće /(/); b- vjerovatnoća rada bez otkaza r(/); in- stopa otkaza X(/) Distribucija ima dva nezavisna parametra: matematički ...
    (POUZDANOST TEHNIČKIH SISTEMA)
  • Zakon raspodjele vjerovatnoće za diskretnu dvodimenzionalnu slučajnu varijablu
    zakon o distribuciji Diskretna dvodimenzionalna slučajna varijabla je lista mogućih vrijednosti ove varijable, tj. parovi brojeva (x., i njihove vjerovatnoće /? (x., u.)(?= 1,2....."; j= 1,2,...,"?). Obično se zakon distribucije daje u obliku tabele sa dvostrukim unosom (tabela 2). Prva linija...
    (TEORIJA VEROVATNOĆA I MATEMATIČKA STATISTIKA)
  • Pronalaženje gustoće vjerovatnoće komponenti dvodimenzionalne slučajne varijable
    Neka je poznata gustina zajedničke distribucije vjerovatnoće sistema dvije slučajne varijable. Nađimo gustinu distribucije svake od komponenti. Hajde da prvo pronađemo gustinu distribucije komponente x. Označiti sa Fx(x) funkcija distribucije komponenti x. Po definiciji...
    (TEORIJA VEROVATNOĆA I MATEMATIČKA STATISTIKA)

    • Rezultat bilo kojeg slučajnog eksperimenta može se okarakterizirati kvalitativno i kvantitativno. Kvalitativno rezultat slučajnog eksperimenta - nasumično događaj. Bilo koji kvantitativna karakteristika, koji kao rezultat slučajnog eksperimenta može uzeti jednu od određenog skupa vrijednosti, - slučajna vrijednost. Slučajna vrijednost je jedan od centralnih koncepata teorije vjerovatnoće.

    Neka je proizvoljan prostor vjerovatnoće. Slučajna varijabla je realna numerička funkcija x \u003d x (w), w W , takva da za bilo koju realnu x .

    Događaj obično se piše kao x< x. U nastavku, slučajne varijable će biti označene malim grčkim slovima x, h, z, …

    Slučajna varijabla je broj ubačenih poena kockice, ili rast nasumično odabranog iz studijska grupa student. U prvom slučaju imamo posla diskretno slučajna varijabla(preuzima vrijednosti iz diskretnog set brojeva M=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; u drugom slučaju, sa kontinuirano slučajna varijabla(uzima vrijednosti iz kontinuiranog skupa brojeva - iz intervala brojevne prave I=).

    Svaka slučajna varijabla je u potpunosti određena svojim funkcija distribucije.

    Ako je x slučajna varijabla, onda funkcija F(x) = F x(x) = P(x< x) se zove funkcija distribucije slučajna varijabla x . Evo P(x<x) - vjerovatnoća da slučajna varijabla x poprimi vrijednost manju od x.

    Važno je shvatiti da je funkcija distribucije "pasoš" slučajne varijable: sadrži sve informacije o slučajnoj varijabli i stoga proučavanje slučajne varijable sastoji se od proučavanja njene funkcije distribucije,često se naziva jednostavno distribucija.

    Funkcija distribucije bilo koje slučajne varijable ima sljedeća svojstva:

    Ako je x diskretna slučajna varijabla koja uzima vrijednosti x 1 <x 2 < … <x i < … с вероятностями str 1 <str 2 < … <pi < …, то таблица вида

    x 1 x 2 … x i …
    str 1 str 2 … pi …

    pozvao distribucija diskretne slučajne varijable.

    Funkcija distribucije slučajne varijable sa takvom distribucijom ima oblik

    Diskretna slučajna varijabla ima funkciju postupne distribucije. Na primjer, za slučajni broj bodova koji su ispali u jednom bacanju kocke, graf raspodjele, funkcije raspodjele i funkcije distribucije izgleda ovako:

    1 2 3 4 5 6
    1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

    Ako je funkcija distribucije F x(x) je kontinuiran, tada se poziva slučajna varijabla x kontinuirana slučajna varijabla.

    Ako je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable diferencibilan, onda daje vizualniji prikaz slučajne varijable gustina vjerovatnoće slučajne varijable p x(x), koja je povezana sa funkcijom distribucije F x(x) formule

    I .

    Iz ovoga, posebno, slijedi da za bilo koju slučajnu varijablu .

    Prilikom rješavanja praktičnih problema često je potrebno pronaći vrijednost x, pri čemu je funkcija distribucije F x(x) slučajna varijabla x uzima zadatu vrijednost str, tj. trebate riješiti jednačinu F x(x) = str. Rješenja takve jednačine (odgovarajuće vrijednosti x) u teoriji vjerovatnoće se nazivaju kvantili.

    Kvantil x p ( str-kvantil, kvantil nivoa str) slučajna varijabla koja ima funkciju distribucije F x(x), naziva se rješenjem xp jednačine F x(x) = str, str(0, 1). Za neke str jednačina F x(x) = str može imati nekoliko rješenja, za neke - nijedno. To znači da za odgovarajuću slučajnu varijablu neki kvantili nisu jednoznačno definirani, a neki kvantili ne postoje.

    Kontinuirana slučajna varijabla može se specificirati ne samo uz pomoć funkcije distribucije. Hajde da uvedemo koncept gustine verovatnoće kontinuirane slučajne varijable.

    Uzmite u obzir vjerovatnoću da kontinuirana slučajna varijabla padne u interval [ X, X + Δ X]. Vjerovatnoća takvog događaja

    P(X ≤ X ≤ X + Δ X) = F(X+ Δ X) – F(X),

    one. jednak prirastu funkcije distribucije F(X) u ovoj oblasti. Tada je vjerovatnoća po jedinici dužine, tj. prosječna gustina vjerovatnoće u području od X prije X+ Δ X, je jednako

    Prelazak do granice Δ X→ 0, dobijamo gustinu verovatnoće u tački X:

    predstavlja derivaciju funkcije distribucije F(X). Podsjetimo to za kontinuiranu slučajnu varijablu F(X) je diferencijabilna funkcija.

    Definicija. Gustoća vjerovatnoće (gustina distribucije ) f(x) kontinuirana slučajna varijabla X je izvod njene funkcije distribucije

    f(x) = F′( x). (4.8)

    O slučajnoj varijabli X kaže se da ima distribuciju sa gustinom f(x) na određenom dijelu x-ose.

    Gustoća vjerovatnoće f(x), kao i funkcija distribucije F(x) je oblik zakona o distribuciji. Ali za razliku od funkcije distribucije, ona postoji samo za kontinuirane slučajne varijable.

    Gustoća vjerovatnoće se ponekad naziva diferencijalna funkcija ili zakon diferencijalne distribucije. Poziva se graf gustine vjerovatnoće kriva distribucije.

    Primjer 4.4. Koristeći podatke iz primjera 4.3, pronađite gustinu vjerovatnoće slučajne varijable X.

    Rješenje. Naći ćemo gustoću vjerovatnoće slučajne varijable kao derivaciju njene funkcije distribucije f(x) = F"(x).

    ◄

    Zapažamo svojstva gustine vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable.

    1. Gustoća vjerojatnosti je nenegativna funkcija, tj.

    Geometrijski, vjerovatnoća pada u interval [ α , β ,] jednaka je površini figure ograničene odozgo krivom raspodjele i zasnovane na segmentu [ α , β ,] (Slika 4.4).

    Rice. 4.4 Sl. 4.5

    3. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable može se izraziti u smislu gustine vjerovatnoće pomoću formule:

    Geometrijska svojstva 1 I 4 gustoće vjerojatnosti znače da njegov graf - kriva distribucije - ne leži ispod ose apscise, a ukupna površina figure ograničene krivuljom distribucije i osom apscise jednaka je jedan.

    Primjer 4.5. Funkcija f(x) se daje kao:

    Pronađite: a) vrijednost ALI; b) izraz funkcije distribucije F(X); c) vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednost na intervalu .

    Rješenje. a) Da bi f(x) je bila gustina vjerovatnoće neke slučajne varijable X, mora biti nenegativna, dakle, vrijednost ALI. Predmet imovine 4 mi nalazimo:

    , gdje ALI = .

    b) Funkciju distribucije nalazimo koristeći svojstvo 3 :

    Ako x≤ 0, onda f(x) = 0 i, prema tome, F(x) = 0.

    Ako je 0< x≤ 2, onda f(x) = X/2 i, prema tome,

    Ako X> 2, onda f(x) = 0 i, prema tome,

    c) Vjerovatnoća da je slučajna varijabla X uzima vrijednost na segmentu, nalazimo pomoću svojstva 2 .

    Gustoća vjerovatnoće diskretne slučajne varijable

    Neka slučajna varijabla uzima vrijednosti sa vjerovatnoćama, . Zatim njegova funkcija raspodjele vjerovatnoće

    gdje je funkcija skoka jedinice. Gustoću vjerovatnoće slučajne varijable moguće je odrediti njenom funkcijom distribucije, uzimajući u obzir jednakost. Međutim, u ovom slučaju nastaju matematičke poteškoće, zbog činjenice da funkcija jediničnog skoka u (34.1) ima diskontinuitet prve vrste pri. Dakle, derivacija funkcije ne postoji u tački.

    Da bi se prevazišla ova složenost, uvodi se -funkcija. Funkcija skoka jedinice može se predstaviti u smislu -funkcije sljedećom jednakošću:

    Zatim formalno derivat

    a gustina vjerovatnoće diskretne slučajne varijable određena je iz relacije (34.1) kao derivacije funkcije:

    Funkcija (34.4) ima sva svojstva gustine vjerovatnoće. Razmotrimo primjer. Neka diskretna slučajna varijabla uzima vrijednosti sa vjerovatnoćama, i neka, . Tada se vjerovatnoća - da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz segmenta može izračunati na osnovu općih svojstava gustine prema formuli:

    budući da je singularna tačka funkcije definisane uslovom unutar regiona integracije u, a u singularnoj tački je izvan integracionog regiona. Na ovaj način,

    Funkcija (34.4) također zadovoljava uvjet normalizacije:

    Imajte na umu da se u matematici zapis oblika (34.4) smatra netačnim (netačnim), a zapis (34.2) se smatra tačnim. To je zbog činjenice da je -funkcija sa nultim argumentom i kaže da ne postoji. S druge strane, u (34.2) -funkcija je sadržana pod integralom. U ovom slučaju, desna strana (34.2) je konačna vrijednost za bilo koju, tj. integral funkcije - postoji. Uprkos tome, u fizici, inženjerstvu i drugim primenama teorije verovatnoće, često se koristi reprezentacija gustine u obliku (34.4), što, prvo, omogućava dobijanje tačnih rezultata primenom svojstava - funkcija, i drugo, ima očiglednu fizičku interpretaciju .

    Primjeri gustina i distribucija vjerojatnosti

    35.1. Slučajna varijabla se naziva ravnomjerno raspoređena na segmentu ako je njena gustina raspodjele vjerovatnoće

    gdje je broj određen iz uslova normalizacije:

    Zamjena (35.1) u (35.2) dovodi do jednakosti čije rješenje relativno ima oblik: .

    Funkcija raspodjele vjerovatnoće ravnomjerno raspoređene slučajne varijable može se naći po formuli (33.5), koja određuje kroz gustinu:

    Na sl. 35.1 prikazani su grafovi funkcija i jednoliko raspoređena slučajna varijabla.

    Rice. 35.1. Grafovi funkcije i gustine raspodjele


    ravnomerno raspoređena slučajna varijabla.

    35.2. Slučajna varijabla se naziva normalna (ili Gaussova) ako je njena gustina distribucije vjerovatnoće:

    gdje su brojevi koji se nazivaju parametri funkcije. Kada funkcija uzme svoju maksimalnu vrijednost: . Parametar ima značenje efektivne širine. Pored ove geometrijske interpretacije, parametri imaju i probabilističko tumačenje, o čemu će biti reči kasnije.

    Iz (35.4) slijedi izraz za funkciju raspodjele vjerovatnoće

    gdje je Laplaceova funkcija. Na sl. 35.2 prikazani su grafovi funkcija i normalna slučajna varijabla. Da bi se naznačilo da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju s parametrima i često se koristi notacija.


    Rice. 35.2. Grafičke gustine i funkcije distribucije

    normalna slučajna varijabla.

    35.3. Slučajna varijabla ima Cauchyjevu gustinu vjerovatnoće ako

    Ova gustina odgovara funkciji distribucije

    35.4. Slučajna varijabla se naziva eksponencijalno raspoređena ako njena gustina raspodjele vjerovatnoće ima oblik:

    Definirajmo njegovu funkciju raspodjele vjerovatnoće. Jer iz (35.8) slijedi. Ako onda

    35.5. Rayleighova distribucija vjerovatnoće slučajne varijable određena je gustinom forme

    Ova gustina odgovara funkciji raspodjele vjerovatnoće za i jednaka

    35.6. Razmotrimo primjere konstruiranja funkcije distribucije i gustoće diskretne slučajne varijable. Neka je slučajna varijabla broj uspjeha u nizu nezavisnih pokušaja. Tada slučajna varijabla uzima vrijednosti, s vjerovatnoćom, koja je određena Bernoullijevom formulom:

    gdje su vjerovatnoće uspjeha i neuspjeha u jednom eksperimentu. Dakle, funkcija raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable ima oblik

    gdje je funkcija skoka jedinice. Otuda i gustina distribucije:

    gdje je delta funkcija.

    Dijeli