2. Skup R je gust: između dva razni brojevi a i b sadrži beskonačan broj realnih brojeva X, tj. brojevi koji zadovoljavaju nejednakost a

Postoji i 3. imanje, ali je ogromno, izvinite

Ograničeni setovi. Svojstva gornje i donje granice.

ograničen set- skup koji u određenom smislu ima konačnu veličinu.

omeđen odozgo, ako postoji broj takav da svi elementi ne prelaze:

Skup realnih brojeva se zove ograničeno odozdo, ako postoji broj ,

tako da su svi elementi najmanje:

Poziva se skup omeđen odozgo i odozdo ograničeno.

Poziva se skup koji nije ograničen neograničeno. Kao što slijedi iz definicije, skup nije ograničen ako i samo ako je nije ograničeno odozgo ili neograničeno odozdo.

Numerički niz. Granica sekvence. Lema o dva policajca.

Numerički niz je niz elemenata brojevnog prostora.

Neka je ili skup realnih brojeva ili skup kompleksnih brojeva. Tada se poziva niz elemenata skupa numerički niz.

Primjer.

Funkcija je beskonačan niz racionalnih brojeva. Elementi ovog niza, počevši od prvog, imaju oblik .

Granica sekvence je objekt kojem se članovi niza približavaju kako se broj povećava. Konkretno, za numeričke nizove, granica je broj u bilo kojem susjedstvu u kojem leže svi članovi niza, počevši od nekog.

Teorema dva policajca...

Ako je funkcija takva da za sve u nekom susjedstvu točke , i funkcije i imaju istu granicu na , tada postoji granica funkcije na , jednaka istoj vrijednosti, tj.

Skup prirodnih brojeva formiraju brojevi 1, 2, 3, 4, ... koji se koriste za brojanje objekata. Skup svih prirodnih brojeva obično se označava slovom N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Zakoni sabiranja prirodnih brojeva

1. Za bilo koje prirodne brojeve a i b istinska jednakost a + b = b + a . Ovo svojstvo se naziva komutativnim (komutativnim) zakonom sabiranja.

2. Za bilo koje prirodne brojeve a, b, c istinska jednakost (a + b) + c = a + (b + c) . Ovo svojstvo se naziva kombinovani (asocijativni) zakon sabiranja.

Zakoni množenja prirodnih brojeva

3. Za bilo koje prirodne brojeve a i b istinska jednakost ab = ba. Ovo svojstvo se naziva komutativnim (komutativnim) zakonom množenja.

4. Za bilo koje prirodne brojeve a, b, c istinska jednakost (ab)c = a(bc) . Ovo svojstvo se naziva kombinovanim (asocijativnim) zakonom množenja.

5. Za bilo koje vrijednosti a, b, c istinska jednakost (a + b)c = ac + bc . Ovo svojstvo se naziva distributivnim (distributivnim) zakonom množenja (u odnosu na sabiranje).

6. Za bilo koje vrijednosti a istinska jednakost a*1 = a. Ovo svojstvo se zove zakon množenja sa jedan.

Rezultat zbrajanja ili množenja dva prirodna broja uvijek je prirodan broj. Ili, drugačije rečeno, ove operacije se mogu izvesti dok ostaju u skupu prirodnih brojeva. Što se tiče oduzimanja i dijeljenja, to se ne može reći: na primjer, od broja 3 nemoguće je, ostajući u skupu prirodnih brojeva, oduzeti broj 7; Broj 15 se ne može podijeliti sa 4.

Znakovi djeljivosti prirodnih brojeva

djeljivost iznosa. Ako je svaki član djeljiv nekim brojem, tada je i zbir djeljiv tim brojem.

Deljivost rada. Ako je barem jedan od faktora u proizvodu djeljiv određenim brojem, tada je i proizvod djeljiv ovim brojem.

Ovi uslovi, i za zbir i za proizvod, su dovoljni, ali nisu neophodni. Na primjer, proizvod 12*18 je djeljiv sa 36, ​​iako ni 12 ni 18 nisu djeljivi sa 36.

Znak djeljivosti sa 2. Da bi prirodan broj bio djeljiv sa 2, potrebno je i dovoljno da mu zadnja znamenka bude paran.

Znak djeljivosti sa 5. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 5, potrebno je i dovoljno da njegova zadnja znamenka bude 0 ili 5.

Znak djeljivosti sa 10. Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 10, potrebno je i dovoljno da cifra jedinica bude 0.

Znak djeljivosti sa 4. Da bi prirodni broj koji sadrži najmanje tri cifre bio djeljiv sa 4, potrebno je i dovoljno da posljednje cifre budu 00, 04, 08 ili je dvocifreni broj koji čine posljednje dvije cifre ovog broja djeljiv sa 4.

Znak djeljivosti sa 2 (sa 9). Da bi prirodni broj bio djeljiv sa 3 (sa 9), potrebno je i dovoljno da zbir njegovih cifara bude djeljiv sa 3 (sa 9).

Skup cijelih brojeva

Razmotrimo brojevnu pravu sa ishodištem u tački O. Koordinata broja nula na njemu će biti tačka O. Brojevi koji se nalaze na brojevnoj pravoj u datom smjeru nazivaju se pozitivni brojevi. Neka je data tačka na brojevnoj pravoj A sa koordinatom 3. Odgovara pozitivnom broju 3. Odvojimo sada tri puta jedinični odsječak iz tačke O, u smjeru suprotnom od datog. Onda dobijamo poen A", simetrično prema tački A u odnosu na porijeklo O. koordinata tačke A" bit će broj - 3. Ovo je broj suprotan broju 3. Brojevi koji se nalaze na brojevnoj pravoj u smjeru suprotnom od datog nazivaju se negativni brojevi.

Brojevi suprotni prirodnim brojevima čine skup brojeva N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Ako kombinujemo setove N , N" i singleton set {0} , onda dobijamo set Z svi cijeli brojevi:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Za cijele brojeve su tačni svi gore navedeni zakoni sabiranja i množenja, koji su tačni za prirodne brojeve. Osim toga, dodaju se sljedeći zakoni oduzimanja:

a - b = a + (- b) ;

a + (- a) = 0 .

Skup racionalnih brojeva

Da bi operacija dijeljenja cijelih brojeva bilo kojim brojem koji nije jednak nuli izvediva, uvode se razlomci:

Gdje a i b su cijeli brojevi i b nije jednako nuli.

Ako skupu svih pozitivnih i negativnih razlomaka dodamo skup cijelih brojeva, onda ćemo dobiti skup racionalnih brojeva Q :

.

Štaviše, svaki cijeli broj je također racionalan broj, jer se, na primjer, broj 5 može predstaviti kao , gdje su brojnik i nazivnik cijeli brojevi. Ovo je važno u operacijama nad racionalnim brojevima, od kojih jedan može biti cijeli broj.

Zakoni aritmetičkih operacija nad racionalnim brojevima

Osnovno svojstvo razlomka. Ako se brojnik i imenilac datog razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, onda će se dobiti razlomak jednak datom razlomku:

Ovo svojstvo se koristi pri redukciji razlomaka.

Sabiranje razlomaka. Sabiranje običnih frakcija definira se na sljedeći način:

.

Odnosno, da biste sabrali razlomke sa različitim nazivnicima, razlomci se svode na zajednički imenilac. U praksi, kada se sabiraju (oduzimaju) razlomci sa različitim nazivnicima, razlomci se svode na najmanji zajednički imenilac. Na primjer, ovako:

Da biste sabrali razlomke sa istim brojiocem, samo dodajte brojioce i ostavite imenilac istim.

Množenje razlomaka. Množenje običnih razlomaka definirano je na sljedeći način:

Odnosno, da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojilac prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka i upisati proizvod u brojnik novog razlomka, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti sa nazivnik drugog razlomka i upišite proizvod u nazivnik novog razlomka.

Podjela razlomaka. Podjela običnih razlomaka definirana je na sljedeći način:

Odnosno, da biste razlomak podijelili razlomkom, morate pomnožiti brojilac prvog razlomka sa nazivnikom drugog razlomka i upisati proizvod u brojnik novog razlomka, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti sa brojnik drugog razlomka i proizvod upiši u nazivnik novog razlomka.

Podizanje razlomka na stepen sa prirodnim eksponentom. Ova operacija je definirana na sljedeći način:

To jest, da bi se razlomak podigao na stepen, brojilac se podiže na taj stepen, a imenilac na taj stepen.

Periodične decimale

Teorema. Svaki racionalni broj može se predstaviti kao konačan ili beskonačan periodični razlomak.

Na primjer,

.

Konzistentno ponavljajuća grupa cifara iza decimalne tačke u decimalnom zapisu broja naziva se period, a konačni ili beskonačni decimalni razlomak koji ima takav period u svom zapisu naziva se periodični.

U ovom slučaju, bilo koji konačni decimalni razlomak se smatra beskonačnim periodičnim razlomkom s nulom u periodu, na primjer:

Rezultat sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja sa nulom) dva racionalna broja je također racionalan broj.

Skup realnih brojeva

Na brojevnoj pravoj, koju smo razmatrali u vezi sa skupom cijelih brojeva, mogu postojati tačke koje nemaju koordinate u obliku racionalnog broja. Dakle, ne postoji racionalan broj čiji je kvadrat 2. Dakle, broj nije racionalan broj. Također, ne postoje racionalni brojevi čiji su kvadrati jednaki 5, 7, 9. Dakle, brojevi , , su iracionalni. Broj je takođe iracionalan.

Nijedan iracionalni broj se ne može predstaviti kao periodični razlomak. Oni su predstavljeni kao neperiodični razlomci.

Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva R .

Definicija 19. Mnogo E pozvao otvoren ako su sve njegove tačke unutrašnje, odnosno ako ne sadrži svoje granične tačke.

Definicija 20. Mnogo E pozvao zatvoreno , ako sadrži sve svoje granične tačke, tj. (U suprotnom,
).

Primjer 1 Bilo koji n-dimenzionalni integral je otvoren skup. Svaki segment je zatvoren skup.

Treba obratiti posebnu pažnju na to da klase zatvorenih i otvorenih skupova ne pokrivaju sve skupove zajedno, osim toga, ove klase se ukrštaju. Postoje setovi koji nisu ni zatvoreni ni otvoreni, kao i skupovi koji su istovremeno i zatvoreni i otvoreni.

Primjer 2 Prazan skup treba smatrati zatvorenim, iako je istovremeno i otvoren. Mnogo R realni brojevi su zatvoreni i otvoreni u isto vrijeme.

Mnogo Q racionalni brojevi nije ni zatvoren ni otvoren. Linearni poluinterval nije ni zatvoren ni otvoren skup.

Teorema 3. Bilo koja lopta S(a, r) - otvoreni set.

dokaz:

Neka . Uzmimo
. Hajde da dokažemo da je lopta
(ovo će značiti da bilo koja tačka lopte
- interni, tj
je otvoren skup). Hajde da ga uzmemo. Dokažimo to
, za ovo procjenjujemo udaljenost
:

shodno tome,
, to je
, to je S(a, r) - otvoreni set.

Teorema 4. Izvedeni skup
bilo koji set E zatvoreno.

dokaz:

Neka
. Onda u bilo kom naselju
bodova postoji barem jedna tačka setovi
, razlicito od . Jer - granična tačka skupa E, zatim u bilo kojem od njegovih susjedstava (uključujući proizvoljno malu koja se nalazi u
) postoji barem jedna tačka setovi E, drugačije od tačke . Dakle, po definiciji, poenta je granična tačka za skup E. dakle,
, što po definiciji znači da je skup E.

Treba napomenuti da je u konkretnom slučaju izvedeni skup
može biti prazan.

Svojstva otvorenih i zatvorenih skupova

Teorema 5. Unija bilo kojeg konačnog broja zatvorenih skupova je zatvoreni skup.

dokaz:

Neka
su zatvoreni skupovi. Dokažimo to
je zatvoren skup.

Neka - granična tačka skupa

. Onda - granična tačka najmanje jednog od skupova
(dokazano kontradikcijom). Jer je onda zatvoren skup
. Ali onda
. Dakle, bilo koja granična tačka skupa
pripada njemu, tj
zatvoreno.

Teorema 6. Presjek bilo kojeg broja zatvorenih skupova je zatvoren skup.

dokaz:

Neka
- bilo koju kolekciju zatvorenih skupova. Dokažimo to
je zatvoren skup.

Neka - granična tačka skupa

. Zatim, prema teoremi 1, u bilo kojoj okolini

. Ali sve tačke skupa
su takođe tačke skupova
. Stoga, u
sadrži beskonačno mnogo tačaka iz
. Ali svi setovi zatvoreno, dakle

i
, to je
zatvoreno.

Teorema 7. Ako je set F je zatvoren, zatim njegov komplement CF otvoren.

dokaz:

Neka . Jer
zatvoreno, onda nije njegova granična tačka (
). Ali to znači da postoji komšiluk
bodova , koji ne sadrži tačke skupa F, to je
. Onda
i zbog toga - unutrašnja tačka kompleta
. Jer - proizvoljna tačka skupa CF, tada su sve tačke ovog skupa unutrašnje, tj. CF otvoren.

Teorema 8. Ako je set G otvoren, zatim njegov komplementar CG zatvoreno.

dokaz:

Neka zajedno sa nekim komšilukom. shodno tome, nije granična tačka skupa CG. dakle,
nije ograničavajuća tačka za
, to je
sadrži sve svoje granične tačke. Po definiciji,
zatvoreno.

Teorema 9. Unija bilo kojeg broja otvorenih skupova je otvoreni skup.

dokaz:

Neka
- proizvoljno prikupljanje otvorenih skupova i
. Dokažimo to - otvoreni set. Imamo:

.

Od setova otvoren
, zatim prema teoremi 8 skupovi
zatvoreno
. Zatim prema teoremi 6 njihov presjek

otvoren.

Teorema 10. Presjek bilo kojeg konačnog broja otvorenih skupova je otvoreni skup.

dokaz:

Neka
- presjek bilo kojeg konačnog broja otvorenih skupova
. Dokažimo to - otvoreni set. Imamo:

.

Od setova otvoren
, zatim prema teoremi 8 skupovi
zatvoreno
. Zatim prema teoremi 5 njihova unija

zatvoreno. Prema teoremi 7, skup
otvoren.

definicija: Mnogo A pozvao zatvoreno s obzirom na operaciju *, ako je rezultat primjene ove operacije na bilo koji element skupa A je također element skupa A. (Ako za bilo koji a,bÎ A, a*bÎ A, zatim set A zatvoreno zbog operacije *)

Da bi se dokazala zatvorenost skupa u odnosu na operaciju, potrebno je to ili provjeriti direktnim nabrajanjem svih slučajeva (Primjer 1b), ili provesti rasuđivanje u opštem obliku (Primjer 2). Da bismo opovrgli zatvaranje, dovoljno je navesti jedan primjer koji pokazuje kršenje zatvaranja (Primjer 1a).

Primjer 1.

Neka A = {0;1}.

a) Kao operaciju *, uzimamo aritmetičku operaciju sabiranja (+). Istraživanje seta A za zatvorenost s obzirom na operaciju sabiranja (+):

0 + 1 = 1 O A; 0 + 0 = 0 O A; 1 + 0 = 1O A; 1 + 1 = 2 P A.

Imamo da je u jednom slučaju (1 + 1) rezultat primjene operacije (+) na elemente skupa A ne pripada skupu A. Na osnovu ovoga zaključujemo da je skup A nije zatvoren pod operacijom dodavanja.

b) Sada, kao operaciju *, uzimamo operaciju množenja (×).

0×1 = 0 O A; 0×0 = 0 O A; 1×0 = 0 O A; 1×1 = 1 O A.

Za sve elemente seta A rezultat primjene operacije množenja je također element skupa A. shodno tome, A zatvoren pod operacijom množenja.

Primjer 2.

Istražite za zatvaranje pod četiri aritmetičke operacije skup cijelih brojeva koji su višekratnici broja 7.

Z 7 = {7n, nÎ Z ) je skup brojeva koji su višestruki od sedam.

Očigledno je da Z 7 nije zatvoren u odnosu na operaciju podjele, jer npr.

7 O Z 7 , 14 O Z 7 ali 7: 14 = ½ Ï Z 7 .

Dokažimo zatvorenost skupa Z 7 u vezi sa operacijom sabiranja. Neka m, k su proizvoljni cijeli brojevi, zatim 7 mÎ Z 7 i 7 kÎ Z 7. Uzmimo u obzir zbir 7 m+ 7 k= 7∙(m+ k).

Imamo mÎ Z , kÎ Z . Z je zatvoren pod sabirkom z m+ k = l - cijeli broj, tj lÎ Z Þ 7 lÎ Z 7 .

Dakle, za proizvoljne cijele brojeve m i k dokazao da (7 m+ 7 k) Î Z 7. Dakle, set Z 7 je zatvoren pod dodavanjem. Zatvorenost kod oduzimanja i množenja se dokazuje slično (uradi sam).

1.

a) skup parnih brojeva (drugim riječima: skup cijelih brojeva djeljivih sa 2( Z 2));

b) skup negativnih cijelih brojeva ( Z –);

u) A = {0;1};

G) C= {–1;0;1}.

2. Istražite sljedeće skupove za zatvaranje s obzirom na aritmetičke operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja:

a) skup neparnih brojeva;

b) skup prirodnih brojeva čija je zadnja cifra nula;

u) B = {1};

G) D = {–1;1}.

3.

a) mnogo N prirodni brojevi;

b) skup Q racionalni brojevi;

u) D = {–1;1};

d) skup neparnih brojeva.

4. Ispitajte zatvorenost sljedećih skupova s ​​obzirom na eksponencijaciju:

a) mnogo Z cijeli brojevi;

b) skup R realni brojevi;

c) skup parnih brojeva;

G) C = {–1; 0; 1}.

5. Neka set G, koji se sastoji samo od racionalnih brojeva, zatvoren je pod sabiranjem.

a) Navedite bilo koja tri broja sadržana u skupu G, ako je poznato da sadrži broj 4.

b) Dokazati da je skup G sadrži broj 2 ako sadrži brojeve 5 i 12.

6. Neka set K, koji se sastoji samo od cijelih brojeva, zatvoren je pod oduzimanjem.

a) Navedite bilo koja tri broja sadržana u skupu K, ako je poznato da sadrži broj 5.

b) Dokazati da je skup K sadrži broj 6 ako sadrži brojeve 7 i 3.

7. Navedite primjer skupa koji se sastoji od prirodnih brojeva i nije zatvoren pod operacijom:

a) dodavanje;

b) množenje.

8. Navedite primjer skupa koji sadrži broj 4 i zatvoren pod operacijama:

a) sabiranje i oduzimanje;

Postavite tipove realne linije

Položaj tačke u odnosu na skup A

Jednosmjerna naselja

Topologija realne linije

Numerički skupovi

Osnovni skupovi brojeva su linijski segment i interval(a; b).

Poziva se skup brojeva A omeđen odozgo, ako postoji broj M takav da je a £ M za bilo koje a n A. Broj M u ovom slučaju se zove gornje lice ili majorant setovi.

Supremum skupovi A, sup A se naziva ...

... najmanji od njegovih majoranta;

... broj M takav da je a £ M za bilo koje a n A iu bilo kojoj okolini M element skupa A;

Slično, koncepti ograničeno odozdo», « minorant" (donja granica), i " infimum» (tačna donja granica).

Potpunost realne linije (ekvivalentne formulacije)

1. Svojstvo ugniježđenih segmenata. Neka su dati segmenti É É … É É … Oni imaju barem jednu zajedničku tačku. Ako se dužine segmenata mogu odabrati proizvoljno male, onda je takva tačka jedinstvena.

Posljedica: metoda dihotomije za teoreme postojanja. Neka je zadan segment. Podijelimo ga na pola i izaberemo jednu od polovica (tako da ima željeno svojstvo). Ova polovina će biti označena sa . Ovaj proces nastavljamo u nedogled. Dobijamo sistem ugniježđenih segmenata čije se dužine približavaju 0. Dakle, oni imaju tačno jednu zajedničku tačku. Ostaje dokazati da će to biti traženi.

2. Za bilo koji neprazan skup ograničen iznad, postoji supremum.

3. Za bilo koja dva neprazna skupa, od kojih jedan leži lijevo od drugog, postoji tačka koja ih razdvaja (postojanje sekcija).

susjedstvo:

U(x) = (a, b), a< x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;

U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;

U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).

Probijena naselja:

Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ (x); Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) ​​= Ue(x) \ (x)

Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = )