iracionalan broj- ovo je pravi broj, koji nije racionalan, odnosno ne može se predstaviti kao razlomak, gdje su cijeli brojevi, . Iracionalni broj se može predstaviti kao beskonačna neponavljajuća decimala.

Skup iracionalnih brojeva obično se označava velikim latiničnim slovom podebljanim bez senčenja. Dakle: , tj. skup iracionalnih brojeva je razlika skupova realnih i racionalnih brojeva.

O postojanju iracionalnih brojeva, tačnije segmente, nesamerljive sa segmentom jedinične dužine, poznavali su već stari matematičari: poznavali su, na primer, nesamerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.

Svojstva

• Bilo koji realni broj se može napisati kao beskonačan decimalni razlomak, dok ir racionalni brojevi i samo su oni zapisani u neperiodnim beskonačnim decimalnim razlomcima.
• Iracionalni brojevi definiraju Dedekindove rezove u skupu racionalnih brojeva koji nemaju najveći broj u nižoj klasi niti najmanji broj u višoj klasi.
• Svaki pravi transcendentalni broj je iracionalan.
• Svaki iracionalni broj je ili algebarski ili transcendentalan.
• Skup iracionalnih brojeva je svuda gust na realnoj liniji: između bilo koja dva broja nalazi se iracionalni broj.
• Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfan redu na skupu realnih transcendentnih brojeva.
• Skup iracionalnih brojeva je nebrojiv, skup je druge kategorije.

Primjeri

Iracionalni brojevi - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Iracionalni su:

Primjeri dokaza iracionalnosti

Koren od 2

Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao nesvodljivi razlomak, gdje je cijeli broj i prirodan broj. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:

.

Iz ovoga slijedi da čak, dakle, čak i . Neka gdje cijeli. Onda

Stoga, čak, dakle, čak i . Dobili smo da i su parni, što je u suprotnosti sa nesvodljivošću razlomka . Dakle, prvobitna pretpostavka je bila pogrešna i predstavlja iracionalan broj.

Binarni logaritam broja 3

Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se uzeti pozitivno. Onda

Ali jasno je, čudno je. Dobijamo kontradikciju.

e

Priča

Koncept iracionalnih brojeva su implicitno usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750. pne - oko 690. pne) otkrio da se kvadratni koreni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti.

Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. pne), Pitagorejcu koji je pronašao ovaj dokaz proučavajući dužine stranica pentagrama. U doba Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica dužine, jer pretpostavka o njenom postojanju dovodi do kontradikcije. On je pokazao da ako je hipotenuza jednakokrake pravougaonog trougla sadrži cijeli broj pojedinačni segmenti, tada ovaj broj mora biti i paran i neparan u isto vrijeme. Dokaz je izgledao ovako:

• Omjer dužine hipotenuze i dužine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, gdje a i b odabrana kao najmanja moguća.
• Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
• Jer a² čak, a mora biti paran (pošto bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
• Zbog a:b nesvodivo b mora biti čudno.
• Jer ačak, označiti a = 2y.
• Onda a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², dakle b je paran onda bčak.
• Međutim, to je i dokazano b odd. Kontradikcija.

Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipasu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući pretpostavku koja je u osnovi cijele teorije da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

Polinom u varijabli x je izraz oblika: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, gdje je n prirodan broj; an, an-1, . . . , a 1, a 0 - bilo koji brojevi, koji se nazivaju koeficijenti ovog polinoma. Izrazi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 se nazivaju članovi polinoma, a 0 je slobodni član. an je koeficijent na xn, an-1 je koeficijent na xn-1, itd. Polinom čiji su svi koeficijenti jednaki nuli naziva se nula. na primjer, polinom 0 x2+0 x+0 je nula. Iz zapisa polinoma jasno je da se sastoji od nekoliko članova. Odatle je došao pojam ‹‹polinom›› (mnogo pojmova). Ponekad se polinom naziva polinomom. Ovaj izraz dolazi od grčkih riječi πολι – mnogo i νομχ – član.

Polinom u jednoj varijabli x označava se sa: . f (x), g (x), h (x) itd., na primjer, ako je prvi od gornjih polinoma označen sa f (x), onda možemo napisati: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Polinom h(x) naziva se najveći zajednički djelitelj polinoma f(x) i g(x) ako dijeli f(x) , g(x) i svaki njihov zajednički djelitelj. 2. Polinom f(x) sa koeficijentima iz polja P stepena n naziva se reducibilnim nad poljem P ako postoje polinomi h(x), g(x) n P[x] stepena manjeg od n takvi da je f (x) = h( x)g(x).

Ako postoji polinom f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x+a 0 i an≠ 0, tada se broj n naziva stepenom polinoma f (x) (ili kažu: f (x) - n-ti stepen) i napisati čl. f(x)=n. U ovom slučaju, an se naziva vodeći koeficijent, a anxn se naziva vodeći član datog polinoma. Na primjer, ako je f (x) \u003d 5 x 4 -2 x + 3, onda čl. f (x) =4, koeficijent seniora - 5, stariji rok - 5 x4. Stepen polinoma je najveći broj njegovih koeficijenata koji nisu nula. Polinomi nultog stepena su brojevi različiti od nule. , nulti polinom nema stepen; polinom f (x) \u003d a, gdje je a broj različit od nule, ima stepen 0; stepen bilo kog drugog polinoma jednak je najvećem eksponentu varijable x, čiji je koeficijent jednak nuli.

Jednakost polinoma. Dva polinoma f (x) i g (x) smatraju se jednakima ako su njihovi koeficijenti jednaki pri istim potencijama varijable x i slobodnih članova (njihovi odgovarajući koeficijenti su jednaki). f(x)=g(x). Na primjer, polinomi f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 i g (x) = 2 x 23 x + 1 nisu jednaki, prvi od njih ima koeficijent na x3 jednak 1, a drugi ima nulu (prema prihvaćenim konvencijama, možemo napisati: g (x) = 0 x 3 + 2 x 2 -3 x + 1. U ovom slučaju: f (x) ≠ g (x) Polinomi nisu jednaki: h (x) = 2 x 2 -3 x+5, s (x) = 2 x 2+3 x + 5, jer su njihovi koeficijenti na x različiti.

Ali polinomi f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 i g 1 (x) = 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 su jednaki ako i samo ako a = 3 , i b = -2. Neka je zadan polinom f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 i neki broj c. Broj f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 naziva se vrijednost polinoma f (x) na x=c. Dakle, da biste pronašli f (c), umjesto x, morate zamijeniti c u polinom i izvršiti potrebne proračune. Na primjer, ako je f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, tada je f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Polinom za različite vrijednosti varijable x može poprimiti različite vrijednosti. Broj c se naziva korijenom polinoma f (x) ako je f (c) =0.

Obratimo pažnju na razliku između ove dvije tvrdnje: "polinom f (x) je jednak nuli (ili, što je isto, polinom f (x) je nula)" i "vrijednost polinoma f ( x) na x=c je jednako nuli". Na primjer, polinom f (x) \u003d x 2 -1 nije jednak nuli, ima koeficijente različite od nule, a njegova vrijednost na x = 1 je nula. f(x) ≠ 0 i f(1) =0. Postoji bliska veza između pojmova jednakosti polinoma i vrijednosti polinoma. Ako su data dva jednaka polinoma f(x) i g(x), tada su njihovi odgovarajući koeficijenti jednaki, pa je f(c) = g(c) za svaki broj c.

Operacije nad polinomima Polinomi se mogu sabirati, oduzimati i množiti prema uobičajenim pravilima za otvaranje zagrada i smanjenje sličnih članova. U ovom slučaju, rezultat je opet polinom. Ove operacije imaju poznata svojstva: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h (x), f (x) g (x) = g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h(x), f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x).

Neka su data dva polinoma f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Jasno je da čl. f(x)=n, i čl. g(x)=m. Ako pomnožite ova dva polinoma, dobićete polinom oblika f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Pošto je an≠ 0 i bn≠ 0, onda je anbm≠ 0, što znači da je st. (f(x)g(x))=m+n. Iz ovoga slijedi važna tvrdnja.

Stepen proizvoda dva polinoma različita od nule jednak je zbiru stepeni faktora, čl. (f (x) g (x)) =st. f (x) +st. g(x). Najveći član (koeficijent) proizvoda dva polinoma različita od nule jednak je proizvodu najviših članova (koeficijenata) faktora. Slobodni član proizvoda dva polinoma jednak je proizvodu slobodnih članova faktora. Stepeni polinoma f (x), g (x) i f (x) ±g (x) povezani su sljedećom relacijom: st. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Superpozicija polinoma f (x) i g (x) se naziva. polinom, označen sa f (g (x)), koji se dobija zamjenom x u polinomu f (x) sa polinomom g (x). Na primjer, ako je f(x)=x 2+2 x-1 i g(x) =2 x+3 onda je f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3)2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1)+ 3=2x2+4x+1. Može se vidjeti da je f (g (x)) ≠g (f (x)), tj. superpozicija polinoma f (x), g (x) i superpozicija polinoma g (x), f ( x) se razlikuju. Dakle, operacija superpozicije nema svojstvo pomjeranja.

, Algoritam za dijeljenje s ostatkom Za bilo koje f(x), g(x) postoje q(x) (količnik) i r(x) (ostatak) takvi da je f(x)=g(x)q(x)+ r(x) i stepen r(x)

Delitelji polinoma Delitelj polinoma f(x) je polinom g(x) takav da je f(x)=g(x)q(x). Najveći zajednički djelitelj dvaju polinoma Najveći zajednički djelitelj f(x) i g(x) je njihov zajednički djelitelj d(x) koji je djeljiv sa bilo kojim drugim zajedničkim djeliteljem.

Euklidov algoritam (algoritam sukcesivnog dijeljenja) za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja polinoma f(x) i g(x) Zatim - najvećeg zajedničkog djelitelja f(x) i g(x).

Smanjite razlomak Rješenje: Pronađite GCD ovih polinoma koristeći Euklid algoritam 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 - x2 - 3 x - 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Prema tome, polinom (- x2 - 3 x - 2) je GCD brojila i imenilac ovog razlomka. Rezultat dijeljenja nazivnika ovim polinomom je poznat.

Pronađite rezultat dijeljenja brojila. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Dakle, odgovor:

Hornerova shema Podijeliti polinom f(x) sa ostatkom nenultim polinomom g(x) znači predstaviti f(x) kao f(x)=g(x) s(x)+r(x), gdje je s (x ) i r(x) -polinomi i ili r(x)=0 ili st. r(x)

Polinomi na lijevoj i desnoj strani ove relacije su jednaki, što znači da su im odgovarajući koeficijenti jednaki. Hajde da ih izjednačimo tako što ćemo prvo otvoriti zagrade i dovesti slične članove na desnu stranu ove jednakosti. Dobijamo: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Podsjetimo da moramo pronaći nepotpuni količnik, tj. njegove koeficijente i ostatak. Izrazimo ih iz dobijenih jednakosti: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Pronašli smo formule pomoću kojih možemo izračunati koeficijente parcijalnog količnika s (x) i ostatka r. U ovom slučaju, proračuni su napravljeni u obliku sljedeće tabele; naziva se Hornerova šema.

Tabela 1. Koeficijenti f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Koeficijenti s (x) ostatak Svi koeficijenti polinoma f (x) su upisani u red u prvom redu ove tabele, ostavljajući prvu ćeliju slobodnom. U drugom redu prve ćelije upišite broj c. Preostale ćelije ovog reda se popunjavaju, računajući jedan po jedan koeficijente nepotpunog količnika s (x) i ostatka r. U drugoj ćeliji je upisan koeficijent bn-1, koji je, kako smo utvrdili, jednak an.

Koeficijent u svakoj narednoj ćeliji izračunava se prema sljedećem pravilu: broj c se množi brojem u prethodnoj ćeliji, a rezultatu se dodaje broj iznad ćelije koja se popunjava. Da biste zapamtili, recimo, petu ćeliju, odnosno da biste pronašli koeficijent koji stoji u njoj, trebate pomnožiti c brojem koji se nalazi u četvrtoj ćeliji, a rezultatu dodati broj iznad pete ćelije. Podijelite, na primjer, polinom f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 sa x-2 s ostatkom koristeći Hornerovu shemu. Prilikom popunjavanja prvog reda ove šeme ne treba zaboraviti na nulte koeficijente polinoma. Dakle, koeficijenti f (x) su brojevi 3, 0, - 5, 3, - 1. I treba imati na umu da je stepen nepotpunog količnika za jedan manji od stepena polinoma f (x).

Dakle, vršimo podjelu prema Hornerovoj shemi: Tabela 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Dobijamo nepotpuni količnik s (x) = 3 x 3 + 6 x 2 + 7 x + 17 i ostatak r \u003d 33. imajte na umu da smo u isto vrijeme izračunali vrijednost polinoma f (2) =33. Sada dijelimo isti polinom f (x) sa x + 2 sa ostatkom. U ovom slučaju c=-2. dobijamo: Tabela 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Kao rezultat, imamo f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .

Korijeni polinoma Neka su c1, c2, …, cm različiti korijeni polinoma f (x). Tada je f (x) djeljiv sa x-c1, tj. f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Stavimo x=c2 u ovu jednačinu. Dobijamo f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) i, dakle, f (c 2) = 0, zatim (c2 -c1) s 1 (c 2) = 0. Ali c2≠c1, tj. c2 -c1≠ 0, što znači da je s 1 (c 2) \u003d 0. Dakle, c2 je korijen polinoma s 1 (x). Iz toga slijedi da je s 1 (x) djeljiv sa x-c2, tj. s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Zamijenite rezultirajući izraz za s 1 (x) u jednakost f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Imamo f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Stavljajući posljednju jednakost x \u003d c3, uzimajući u obzir činjenicu da je f (c 3) = 0, c3≠c1, c3≠c2, dobijamo da je c3 korijen polinoma s 2 (x). Dakle, s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), a zatim f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), itd. Nastavljajući ove argumente za preostali korijeni c4, c5, ..., cm, konačno dobijamo f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), tj. dokazana je izjava formulirana u nastavku .

Ako su c1, c2, ..., cm različiti korijeni polinoma f (x), tada se f (x) može predstaviti kao f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) ... (x- cm) sm (x). Iz ovoga slijedi važan zaključak. Ako su c1, c2, ..., cm različiti korijeni polinoma f(x), tada je f(x) djeljivo sa polinomom (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Broj različitih korijena različitog od nule polinoma f (x) nije veći od njegovog stepena. Zaista, ako f(x) nema korijena, onda je jasno da je teorema tačna, jer čl. f(x) ≥ 0. Neka f(x) ima m korijena s1, s2, …, sm, i svi su različiti. Zatim, prema onome što je upravo dokazano, f (x) je deljivo sa (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). U takvom slučaju, čl. f(x)≥st. ((x-s1) (x-s2) ... (x-sm)) \u003d st. (x-c1) + st. (x-c2) + ... + st. (x-cm) \u003d m, tj. art. f(x)≥m, a m je broj korijena razmatranog polinoma. Ali nulti polinom ima beskonačno mnogo korijena, jer je njegova vrijednost za bilo koji x 0. Konkretno, iz tog razloga mu nije dodijeljen određen stepen. Iz upravo dokazane teoreme slijedi sljedeća tvrdnja.

Ako polinom f(x) nije polinom stepena većeg od n i ima više od n korijena, tada je f(x) nulti polinom. Zaista, iz uslova ove izjave proizilazi da je ili f (x) nulti polinom, ili čl. f(x)≤n. Ako pretpostavimo da polinom f (x) nije nula, onda čl. f (x) ≤n, i tada f (x) nema više od n korijena. Dolazimo do kontradikcije. Stoga je f(x) nenulti polinom. Neka su f(x) i g(x) različiti od nule polinomi stepena najviše n. Ako ovi polinomi imaju iste vrijednosti za n + 1 vrijednosti varijable x, onda je f (x) = g (x).

Da biste to dokazali, razmotrite polinom h (x) = f (x) - g (x). Jasno je da - ili h (x) =0, ili čl. h (x) ≤n, tj. h (x) nije polinom stepena većeg od n. Neka sada broj c takav da je f (c) = g (c). Tada je h (c) \u003d f (c) - g (c) = 0, odnosno c je korijen polinoma h (x). Dakle, polinom h (x) ima n + 1 korijena, a kada je, kako je upravo dokazano, h (x) = 0, tj. f (x) = g (x). Ako f (x) i g (x) uzimaju iste vrijednosti za sve vrijednosti varijable x, onda su ovi polinomi jednaki

Višestruki korijeni polinoma Ako je c korijen polinoma f(x), poznato je da je ovaj polinom djeljiv sa x-c. Može se desiti da je i f(x) deljivo sa nekim stepenom polinom x-s, tj. na (x-c) k, k>1. U ovom slučaju, c se naziva višestrukim korijenom. Hajde da jasnije formulišemo definiciju. Broj c naziva se korijen višestrukosti k (k-preklopni korijen) polinoma f (x) ako je polinom djeljiv sa (x -c) k, k>1 (k je prirodan broj), ali nije djeljiv sa (x-c) k + jedan. Ako je k=1, tada se c naziva jednostavnim korijenom, a ako je k>1, višestrukim korijenom polinoma f (x).

Ako je polinom f(x) predstavljen kao f(x)=(x-c)mg(x), m je prirodan broj, tada je djeljiv sa (x-c) m+1 ako i samo ako je g(x) djeljiv na xs. Zaista, ako je g(x) djeljiv sa x-c, tj. g(x)=(x-c)s(x), onda je f(x)=(x-c) m+1 s(x), pa je f(x) djeljiv sa (x-c) m+1. Obrnuto, ako je f(x) deljivo sa (x-c) m+1, onda je f(x)=(x-c) m+1 s(x). Tada (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) i nakon smanjenja za (x-c)m dobijamo g(x)=(x-c)s(x). Iz toga slijedi da je g(x) djeljiv sa x-c.

Otkrijmo, na primjer, da li je broj 2 korijen polinoma f (x) = x 5 -5 x 4 + 3 x 3 + 22 x 2 -44 x + 24, i ako jeste, pronađite njegovu višestrukost . Da odgovorimo na prvo pitanje, koristimo Hornerovu šemu da provjerimo je li f(x) djeljiv sa x-2. imamo: Tabelu 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Kao što vidite, ostatak pri dijeljenju f (x) sa x-2 je 0, tj. podijeljen je sa x -2. Dakle, 2 je korijen ovog polinoma. Osim toga, dobili smo da je f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Sada hajde da saznamo da li je f(x) jednak (x-2) 2. Ovo zavisi, kao što smo upravo dokazali, od deljivosti polinoma g (x) = x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 po x-2.

Koristimo opet Hornerovu shemu: Tabela 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x 2 -5x+6). Tada je f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Dakle, f(x) je deljivo sa (x-2) 2, sada treba da saznamo da li je f(x) deljivo sa (x-2)3. Da biste to učinili, provjerite da li je h (x) = x 3 -x 2 -5 x + 6 deljivo sa x-2: Tabela 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Dobijamo da je h (x ) je djeljiv sa x-2, što znači da je f(x) djeljiv sa (x-2) 3, a f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Zatim, na sličan način, provjeravamo da li je f (x) djeljiv sa (x-2) 4, tj. je li s (x) = x 2 + x-3 djeljiv sa x-2: Tabela 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Otkrivamo da je ostatak pri dijeljenju s (x) sa x-2 3, tj. s (x) nije djeljiv sa x-2. Dakle, f(x) nije deljivo sa (x-2)4. Dakle, f(x) je deljivo sa (x-2)3, ali nije deljivo sa (x-2)4. Dakle, broj 2 je korijen višestrukosti 3 polinoma f(x).

Obično se provjera korijena radi višestrukosti vrši u jednoj tablici. Za ovaj primjer ova tabela izgleda ovako: Tabela 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Drugim riječima, prema šemi Hornerova podjela polinoma f (x) sa x-2, u drugom redu dobijamo koeficijente polinoma g (x). Tada se ova druga linija smatra prvom linijom novi sistem Horner i izvršimo dijeljenje g (x) sa x-2, itd. nastavljamo računanje dok ne dobijemo ostatak koji nije nula. U ovom slučaju, višestrukost korijena jednaka je broju dobivenih nula ostataka. Red koji sadrži zadnji ostatak različit od nule također sadrži koeficijente količnika pri dijeljenju f (x) sa (x-2) 3.

Sada, koristeći upravo predloženu šemu za provjeru korijena za višestrukost, rješavamo sljedeći problem. Za koje a i b polinom f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 ima broj - 2 kao korijen višestrukosti 2? Budući da bi višestrukost korijena - 2 trebala biti jednaka 2, onda, izvodeći dijeljenje sa x + 2 prema predloženoj shemi, trebamo dvaput dobiti ostatak 0, a treći put - ostatak koji nije nula. Imamo: Tabelu 9

Dakle, broj - 2 je korijen višestrukosti 2 originalnog polinoma ako i samo ako

racionalni koreni polinom Ako je nesvodljivi razlomak l/m (l, m su cijeli brojevi) korijen polinoma f (x) s cijelim koeficijentima, tada je vodeći koeficijent ovog polinoma djeljiv sa m, a slobodni član djeljiv sa 1. Zaista, ako je f(x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, gdje je an, an-1, . . . , a 1, a 0 su cijeli brojevi, tada je f(l/m) =0, tj. an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Pomnožimo oba dijela ove jednakosti sa mn. Dobijamo anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Ovo implicira anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Vidimo da je cijeli broj anln djeljiv sa m. Ali l/m je nesvodljiv razlomak, tj. brojevi l i m su koprosti, a zatim, kao što je poznato iz teorije djeljivosti cijelih brojeva, brojevi ln i m su također međusobno prosti. Dakle, anln je deljivo sa m i m je koprostorno sa ln, tako da je an deljivo sa m. Pronađite racionalne korijene polinoma f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Prema teoremi, racionalni korijeni ovog polinoma su među nesvodljivim razlomcima oblika l/m, gdje je l djelitelj slobodnog člana a 0=8, a m je djelitelj vodećeg koeficijenta a 4=6 . u isto vrijeme, ako je razlomak l/m negativan, tada će se znak "-" odnositi na brojilac. Na primjer, - (1/3) = (-1) /3. Dakle, možemo reći da je l djelitelj broja 8, a m pozitivan djelitelj broja 6.

Pošto su djelitelji broja 8 ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, a pozitivni djelitelji broja 6 1, 2, 3, 6, onda su racionalni korijeni polinoma koji se razmatraju među brojevima ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Podsjetimo da smo ispisali samo nesvodljive razlomke. Dakle, imamo dvadeset brojeva - "kandidata" za korijene. Ostaje samo provjeriti svaki od njih i odabrati one koji su stvarno korijeni. sljedeća teorema pojednostavljuje ovaj rad. Ako je nesvodljivi razlomak l/m korijen polinoma f(x) s cijelim koeficijentima, tada je f(k) djeljiv sa l-km za bilo koji cijeli broj k, pod uvjetom da je l-km≠ 0.

Da bismo dokazali ovu teoremu, podijelimo f(x) sa x-k s ostatkom. Dobijamo f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Pošto je f(x) polinom sa cjelobrojnim koeficijentima, tako je i polinom s(x), a f(k) je cijeli broj. Neka je s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Tada je f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). U ovu jednakost stavljamo 1 x=l/m. Uzimajući u obzir da je f(l/m)=0, dobijamo f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Pomnožimo oba dijela posljednje jednakosti sa mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Iz toga slijedi da je cijeli broj mnf (k) djeljiv sa l-km. Ali pošto su l i m relativno prosti, onda su mn i l-km takođe relativno prosti, što znači da je f(k) deljivo sa l-km. Teorema je dokazana.

Vratimo se našem primjeru i, koristeći dokazanu teoremu, dodatno ćemo suziti krug pretraživanja racionalni koreni. Primijenimo naznačenu teoremu za k=1 i k=-1, tj. ako je nesvodljivi razlomak l/m korijen polinoma f(x), tada je f(1)/(l-m) i f(-1 )/(l +m). Lako je naći da je u našem slučaju f(1)=-5, a f(-1)=-15. Imajte na umu da smo u isto vrijeme iz razmatranja isključili ± 1. Dakle, racionalne korijene našeg polinoma treba tražiti među brojevima ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Uzmimo l/m=1/2. Tada je l-m=-1 i f (1) =-5 je djeljiv ovim brojem. Dalje, l + m = 3 i f (1) = -15 je također djeljiv sa 3. Dakle, razlomak 1/2 ostaje među "kandidatima" za korijene.

Neka je sada lm=-(1/2)=(-1)/2. U ovom slučaju, l-m=-3 i f (1) =-5 nije djeljivo sa -3. Dakle, razlomak -1/2 ne može biti korijen ovog polinoma, te ga isključujemo iz daljeg razmatranja. Provjerimo svaki od gore napisanih razlomaka, dobijamo da su željeni korijeni među brojevima 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Tako smo prilično jednostavnim trikom značajno suzili područje pretraživanja za racionalni korijeni polinoma koji se razmatra. Pa, da bismo provjerili preostale brojeve, primjenjujemo Hornerovu shemu: Tabela 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Vidimo da je 1/2 korijen polinoma f(x) i f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8x2-8x-8). Jasno je da se svi ostali korijeni polinoma f (x) poklapaju sa korijenima polinoma g (x) = 3 x 3 + 8 x 2 -8 x-8, što znači da je daljnja provjera "kandidata" za korijeni se već mogu izvesti za ovaj polinom. Naći: Tabela 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 2/3 nije korijen polinoma g(x), pa stoga nije ni f(x). Zatim, nalazimo da je - 2/3 korijen polinoma g (x) i g (x) = (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4).

Tada je f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Dalja verifikacija se može izvršiti za polinom x 2+2 x-4, što je, naravno, lakše nego za g (x) ili još više za f (x). Kao rezultat, dobijamo da brojevi 2 i - 4 nisu korijeni. Dakle, polinom f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 3 -24 x 2 -8 x + 8 ima dva racionalna korijena: 1/2 i - 2/3. Ova metoda omogućava pronalaženje samo racionalnih korijena polinoma s cijelim koeficijentima. U međuvremenu, polinom takođe može imati iracionalni koreni. Tako, na primjer, polinom razmatran u primjeru ima još dva korijena: - 1 ± √ 5 (ovo su korijeni polinoma x2 + 2 x-4). polinom možda uopće nema racionalne korijene.

Kada se testiraju "kandidati" za korijene polinoma f(x) korištenjem druge od gornjih teorema, potonja se obično koristi za slučajeve k = ± 1. Drugim riječima, ako je l/m "kandidat" za korijene, onda se provjerava da li je f( 1) i f (-1) na l-m odnosno l+m. Ali može se desiti da je, na primjer, f (1) = 0, tj. 1 je korijen, a onda je f (1) djeljiv bilo kojim brojem, pa naša provjera gubi smisao. U ovom slučaju, trebate podijeliti f(x) sa x-1, tj. dobiti f(x)=(x-1)s(x), i testirati polinom s(x). U ovom slučaju ne treba zaboraviti da smo već pronašli jedan korijen polinoma f(x)-x 1=1. Ako provjerimo "kandidate" za korijene preostale nakon korištenja druge teoreme o racionalnim korijenima, prema Hornerovoj shemi, dobivamo da je, na primjer, l / m korijen, tada treba pronaći njegovu višestrukost. Ako je, recimo, k, onda je f(x)=(x-l/m) ks (x), a mogu se izvršiti daljnje provjere za s(x), što smanjuje izračunavanje.

Rješenje. Nakon što smo izvršili promjenu varijable y=2 x, prelazimo na polinom sa koeficijentom jednakim jedan u najvišem stepenu. Da biste to učinili, prvo pomnožite izraz sa 4. Ako rezultirajuća funkcija ima cjelobrojne korijene, onda su oni među djeliteljima slobodnog člana. Zapišimo ih: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15±, ± 20, ± 30, ± 60

Izračunajmo sekvencijalno vrijednosti funkcije g(y) u tim točkama dok se ne dobije nula. To jest, y=-5 je korijen, dakle, korijen originalne funkcije. Izvršimo podjelu stupcem (uglom) polinoma binomom

Nije preporučljivo nastaviti provjeravati preostale djelitelje, jer je lakše faktorizirati rezultat kvadratni trinom shodno tome,

Korištenje reduciranog množenja i Newtonovih binomnih formula za faktoriranje polinoma izgled polinom predlaže način da se faktorizuje. Na primjer, nakon jednostavnih transformacija, koeficijenti se postavljaju u liniju iz Pascalovog trougla za Newtonove binomne koeficijente. Primjer. Faktorizirajte polinom.

Rješenje. Pretvorimo izraz u oblik: Niz koeficijenata zbira u zagradama jasno pokazuje šta je to. Stoga sada primjenjujemo formulu razlike kvadrata: Izraz u drugoj zagradi nema pravi korijen, a za polinom iz u prvoj zagradi ponovo primjenjujemo formulu razlike kvadrata

Vieta formule koje izražavaju koeficijente polinoma u smislu njegovih korijena. Pogodno je koristiti ove formule za provjeru ispravnosti nalaženja korijena polinoma, kao i za sastavljanje polinoma od njegovih zadanih korijena. Formulacija Ako su korijeni polinoma onda se koeficijenti izražavaju kao simetrični polinomi u korijenima, tj.

Drugim riječima, ak je jednako zbiru svih mogućih proizvoda od k korijena. Ako je vodeći koeficijent polinoma, onda je za primjenu Vietine formule potrebno prvo podijeliti sve koeficijente sa 0. U ovom slučaju Vieta formule daju izraz za omjer svih koeficijenata prema najvećem. Iz Vietine posljednje formule slijedi da ako su korijeni polinoma cijeli broj, onda su djelitelji njegovog slobodnog člana, koji je također cijeli broj. Dokaz se provodi razmatranjem jednakosti dobivene proširenjem polinoma u smislu korijena, s obzirom da je a 0 = 1 Izjednačavajući koeficijente na istim potencijama x, dobivamo Vieta formule.

Riješite jednačinu x 6 - 5 x 3 + 4 = 0 Rješenje. Označimo y = x 3, tada originalna jednadžba ima oblik y 2 - 5 y + 4 = 0, rješavanjem koje dobivamo Y 1 = 1; Y 2 = 4. Dakle, originalna jednačina je ekvivalentna skupu jednačina: x 3 = 1 ili x 3 = 4, tj. X 1 = 1 ili X 2 = Odgovor: 1;

Bezoutova teorema Definicija 1. Element se naziva korijenom polinoma ako je f(c)=0. Bezoutova teorema. Ostatak dijeljenja polinoma Pn(x) sa binomom (x-a) jednak je vrijednosti ovog polinoma na x = a. Dokaz. Na osnovu algoritma dijeljenja, f(x)=(xc)q(x)+r(x), gdje je ili r(x)=0, ili, i stoga. Dakle, f(x)=(x-c)q(x)+r, dakle f(c)=(c-c)q(c)+r=r i tako f(x)=(xc)q(x) +f( c).

Rezultat 1: Ostatak dijeljenja polinoma Pn (x) binomom ax+b jednak je vrijednosti ovog polinoma na x = -b/a, tj. R=Pn (-b/a). Posljedica 2: Ako je broj a korijen polinoma P (x), onda je ovaj polinom djeljiv sa (x-a) bez ostatka. Posljedica 3: Ako polinom P(x) ima po paru različite korijene a 1 , a 2 , … , an, tada je djeljiv proizvodom (x-a 1) … (x-an) bez ostatka. Zaključak 4: Polinom stepena n ima najviše n različitih korijena. Posljedica 5: Za bilo koji polinom P(x) i broj a, razlika (P(x)-P(a)) je jednako djeljiva sa binomom (x-a). Korol 6: Broj a je korijen polinoma P(x) stepena najmanje prvog ako i samo ako je P(x) djeljiv sa (x-a) bez ostatka.

Dekompozicija racionalnog razlomka na najjednostavniji. Pokažimo da se svaki pravi racionalni razlomak može rastaviti na zbir najjednostavnijih razlomaka. Neka je dat pravi racionalni razlomak (1).

Teorema 1. Neka je x=a korijen nazivnika kratkoće k, tj. gdje je f(a)≠ 0, tada se ovaj pravi razlomak može predstaviti kao zbir dva druga prava razlomka na sljedeći način: (2) , gdje je A je konstanta koja nije jednaka nuli, ali F 1(x) je polinom čiji je stepen manji od stepena nazivnika

gdje je polinom čiji je stepen manji od stepena nazivnika. I slično prethodnoj formuli, možete dobiti: (5)

itd. je opšte prirode i veliki značaj da studiram CEO kurs višu matematiku. Danas ćemo ponoviti "školske" jednačine, ali ne samo one "školske" - već one od njih koje se nalaze posvuda u raznim zadacima višmata. Kao i obično, priča će teći na primijenjen način, tj. Neću se fokusirati na definicije, klasifikacije, već ću to podijeliti s vama lično iskustvo rješenja. Informacije su prvenstveno namijenjene početnicima, ali spremniji čitaoci će i sami pronaći mnogo zanimljivih stvari. I naravno da će ih biti novi materijal, van opsega srednja škola.

Dakle, jednačina... Mnogi ljudi se sjećaju ove riječi s jezom. Koje su to "fensi" jednadžbe sa korijenima... ...zaboravite na njih! Jer dalje ćete sresti najbezopasnije "predstavnike" ove vrste. Ili dosadno trigonometrijske jednačine sa desetinama rješenja. Da budem iskren, ni meni se nisu baš dopale... Bez panike! - onda vas očekuju uglavnom "maslačak" sa očiglednim rešenjem u 1-2 koraka. Iako se "čičak", naravno, drži - ovdje morate biti objektivni.

Čudno je da je u višoj matematici mnogo češće raditi sa vrlo primitivnim jednačinama kao što su linearno jednačine.

Šta znači riješiti ovu jednačinu? To znači - pronaći TAKVU vrijednost "x" (korijen), koja je pretvara u pravu jednakost. Okrenimo "trojku" udesno sa promjenom predznaka:

i spustite "dvojku" na desnu stranu (ili, ista stvar - pomnožite oba dijela sa) :

Da bismo provjerili, osvojeni trofej zamjenjujemo u originalnu jednačinu:

Dobija se tačna jednakost, što znači da je pronađena vrijednost zaista korijen zadata jednačina. Ili, kako kažu, zadovoljava ovu jednačinu.

Imajte na umu da se korijen također može napisati kao decimalni razlomak:
I pokušajte da se ne pridržavate ovog gadnog stila! Razlog sam ponovio mnogo puta, posebno na prvoj lekciji viša algebra.

Inače, jednačina se može riješiti i "na arapskom":

I što je najzanimljivije - ovaj zapis je potpuno legalan! Ali ako niste učitelj, onda je bolje da to ne radite, jer je originalnost ovdje kažnjiva =)

A sada malo o tome

metoda grafičkog rješenja

Jednačina ima oblik i njen korijen je "x" koordinata raskrsnice graf linearne funkcije sa rasporedom linearna funkcija (os apscisa):

Čini se da je primjer toliko elementaran da se ovdje nema više što analizirati, ali se iz njega može "iscijediti" još jedna neočekivana nijansa: predstavljamo istu jednadžbu u obliku i crtamo grafove funkcije:

pri čemu, molim vas nemojte brkati to dvoje: jednačina je jednačina, i funkcija je funkcija! Funkcije samo pomoć pronađite korijene jednačine. Od kojih može biti dva, tri, četiri, pa čak i beskonačno mnogo. Najbliži primjer u tom smislu je svima poznat kvadratna jednačina, čiji je algoritam rješenja dobio zasebnu stavku "vruće" školske formule. I ovo nije slučajno! Ako možete riješiti kvadratnu jednačinu i znate Pitagorina teorema, onda bi se moglo reći, “pod više matematike je već u vašem džepu” =) Pretjerano, naravno, ali ne tako daleko od istine!

I stoga, nismo previše lijeni i rješavamo neku kvadratnu jednačinu prema njoj standardni algoritam:

, tako da jednačina ima dvije različite validan korijen:

Lako je provjeriti da obje pronađene vrijednosti zaista zadovoljavaju ovu jednačinu:

Šta učiniti ako ste iznenada zaboravili algoritam rješenja, a nema alata / ruku pomoći pri ruci? Takva situacija može nastati, na primjer, na testu ili ispitu. Koristimo grafičku metodu! A postoje dva načina: možete tackasto izgraditi parabola , čime se pronalazi gdje seče osu (ako se uopšte pređe). Ali bolje je postupiti lukavije: predstavljamo jednadžbu u obliku, crtamo grafove jednostavnijih funkcija - i "x" koordinate njihove tačke ukrštanja, na prvi pogled!


Ako se ispostavi da prava dodiruje parabolu, onda jednačina ima dva podudarna (višestruka) korijena. Ako se pokaže da pravac ne siječe parabolu, onda nema pravih korijena.

Da biste to učinili, naravno, morate biti u stanju graditi grafovi elementarnih funkcija, ali s druge strane, ove vještine su u moći čak i školarcu.

I opet - jednačina je jednačina, a funkcije su funkcije koje samo pomoglo riješi jednačinu!

I ovdje bi, usput rečeno, bilo prikladno zapamtiti još jednu stvar: ako se svi koeficijenti jednadžbe pomnože brojem različitom od nule, tada se njeni korijeni neće promijeniti.

Tako, na primjer, jednadžba ima iste korene. Kao najjednostavniji "dokaz", izvući ću konstantu iz zagrada:
i bezbolno ga ukloniti (Podeliću oba dela na "minus dva"):

ALI! Ako uzmemo u obzir funkciju , onda je ovdje već nemoguće riješiti se konstante! Množitelj je moguće samo izvaditi iz zagrada: .

Mnogi potcjenjuju metodu grafičkog rješenja, smatrajući je nečim "nedostojanstvenim", a neki čak i potpuno zaboravljaju na ovu mogućnost. A ovo je u osnovi pogrešno, jer zaplet ponekad samo spašava dan!

Drugi primjer: pretpostavimo da se ne sjećate korijena najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe:. Opšta formula je u školskim udžbenicima, u svim priručnicima za osnovnu matematiku, ali oni vam nisu dostupni. Međutim, rješavanje jednadžbe je kritično (inače "dva"). Postoji izlaz! - gradimo grafikone funkcija:


nakon čega mirno zapisujemo "x" koordinate njihovih presječnih tačaka:

Postoji beskonačno mnogo korijena, a njihova presavijena notacija je prihvaćena u algebri:
, gdje ( – skup cijelih brojeva) .

I, bez "odstupanja od blagajne", nekoliko riječi o grafičkoj metodi rješavanja nejednačina sa jednom varijablom. Princip je isti. Tako, na primjer, bilo koji "x" je rješenje nejednakosti, jer sinusoida leži skoro u potpunosti ispod prave linije. Rješenje nejednakosti je skup intervala na kojima dijelovi sinusoide leže striktno iznad prave linije (apscisa):

ili, ukratko:

A evo skupa rješenja nejednakosti - prazan, jer nijedna tačka sinusoida ne leži iznad prave linije.

Nešto nije jasno? Hitno proučite lekcije o setovi i grafovi funkcija!

Zagrijavanje:

Vježba 1

Riješite grafički sljedeće trigonometrijske jednadžbe:

Odgovori na kraju lekcije

Kao što vidite, da biste proučavali egzaktne nauke, uopće nije potrebno trpati formule i referentne knjige! Štaviše, ovo je u osnovi opaki pristup.

Kao što sam vas već uvjeravao na samom početku lekcije, složene trigonometrijske jednačine u standardnom kursu više matematike moraju se rješavati izuzetno rijetko. Sva složenost se, po pravilu, završava jednadžbama poput , čije su rješenje dvije grupe korijena, izvedene iz najjednostavnijih jednačina i . Ne brinite previše o rješenju ovog potonjeg - potražite u knjizi ili je pronađite na internetu =)

Grafička metoda rješavanja također može pomoći u manje trivijalnim slučajevima. Razmotrite, na primjer, sljedeću "šarenu" jednačinu:

Izgledi za njegovo rješenje izgledaju ... oni uopće ne izgledaju, ali treba samo predstaviti jednačinu u obliku , konstruirati grafovi funkcija i sve će biti neverovatno jednostavno. Crtež je u sredini članka o beskonačno male funkcije (otvara se u sljedećoj kartici).

Isto grafička metoda možete saznati da jednadžba već ima dva korijena, i jedan od njih je jednak nuli, a drugi, očigledno, iracionalno i pripada segmentu . Ovaj korijen se može izračunati približno, npr. tangentna metoda. Usput, u nekim zadacima se dešava da se ne traži korijenje, već da se sazna da li uopšte postoje. I ovdje, također, crtež može pomoći - ako se grafovi ne sijeku, onda nema korijena.

Racionalni korijeni polinoma s cjelobrojnim koeficijentima.
Hornerova šema

A sada predlažem da okrenete pogled na srednji vijek i osjetite jedinstvenu atmosferu klasične algebre. Za bolje razumijevanje materijala preporučujem barem malo upoznavanja kompleksni brojevi.

Oni su najviše. Polinomi.

Predmet našeg interesovanja biće najčešći polinomi oblika sa cijeli koeficijenti . Prirodni broj pozvao polinomski stepen, broj - koeficijent u najvišem stepenu (ili samo najviši koeficijent), a koeficijent je besplatni član.

Označit ću ovaj polinom presavijen sa .

Polinomski korijeni nazivaju korijenima jednačine

Volim gvozdenu logiku =)

Za primjere, idemo na sam početak članka:

Nema problema s pronalaženjem korijena polinoma 1. i 2. stepena, ali kako se povećava ovaj zadatak postaje sve teži. Ali s druge strane, sve je zanimljivije! I tome će biti posvećen drugi dio lekcije.

Prvo, bukvalno pola ekrana teorije:

1) Prema posljedici osnovna teorema algebre, stepen polinoma ima tačno integrisan korijenje. Neki korijeni (ili čak svi) mogu biti određeni validan. Štaviše, među pravim korijenima mogu biti identični (višestruki) korijeni (minimalno dva, maksimalno komada).

Ako je neki kompleksni broj korijen polinoma, onda konjugirati njegov broj je također nužno korijen ovog polinoma (konjugirano složeni koreni izgleda kao ).

Najjednostavniji primjer je kvadratna jednadžba, koja se prvi put susrela u 8 (kao) razreda, a koje smo konačno “završili” u temi kompleksni brojevi. Podsjećam vas: kvadratna jednadžba ima ili dva različita realna korijena, ili višestruke korijene, ili konjugirane kompleksne korijene.

2) Od Bezoutove teoreme slijedi da ako je broj korijen jednadžbe, tada se odgovarajući polinom može faktorizirati:
, gdje je polinom stepena .

I opet, naš stari primjer: budući da je korijen jednadžbe , onda . Nakon toga, lako je dobiti poznatu "školsku" dekompoziciju.

Posljedica Bezoutove teoreme je od velike praktične vrijednosti: ako znamo korijen jednačine 3. stepena, onda ga možemo predstaviti u obliku i od kvadratna jednačina lako je prepoznati ostatak korijena. Ako znamo korijen jednačine 4. stepena, onda je moguće proširiti lijevu stranu u proizvod, itd.

I ovdje se postavljaju dva pitanja:

Prvo pitanje. Kako pronaći ovaj korijen? Prije svega, definirajmo njegovu prirodu: u mnogim problemima više matematike potrebno ga je pronaći racionalno, posebno cijeli korijene polinoma, i s tim u vezi, dalje će nas zanimati uglavnom oni .... …toliko su dobri, tako lepršavi, da ih jednostavno želite pronaći! =)

Prva stvar koja se nameće je metoda selekcije. Razmotrimo, na primjer, jednadžbu . Kvaka je ovdje u slobodnom terminu - da je jednako nuli, onda bi sve bilo u ažuru - stavljamo "x" iz zagrada i sami korijeni "ispadaju" na površinu:

Ali naš slobodni termin je jednak "tri", i stoga počinjemo da se zamjenjujemo u jednadžbi razni brojevi, tražeći titulu "root". Prije svega, zamjena pojedinačnih vrijednosti se nameće sama po sebi. Zamjena:

Primljeno netačno jednakosti, dakle, jedinica "nije odgovarala". U redu, stavimo to:

Primljeno ispravan jednakost! To jest, vrijednost je korijen ove jednadžbe.

Za pronalaženje korijena polinoma 3. stepena postoji analitička metoda (tzv. Cardano formule), ali sada nas zanima malo drugačiji problem.

Pošto je - korijen našeg polinoma, tada se polinom može predstaviti u obliku i nastaje Drugo pitanje: kako pronaći "mlađeg brata"?

Najjednostavnija algebarska razmatranja sugeriraju da za to trebate podijeliti po. Kako podijeliti polinom polinomom? Ista školska metoda koja dijeli obične brojeve - "kolona"! Ova metoda Detaljno sam analizirao u prvim primjerima lekcije Kompleksne granice, a sada ćemo razmotriti drugu metodu koja se zove Hornerova šema.

Prvo pišemo "stariji" polinom sa svima , uključujući nulte koeficijente:
, nakon čega unosimo ove koeficijente (strogo redom) u gornji red tabele:

Na lijevoj strani pišemo korijen:

Odmah ću rezervisati da Hornerova šema radi i ako je „crveni“ broj ne je korijen polinoma. Ipak, nemojmo požurivati ​​stvari.

Skidamo viši koeficijent odozgo:

Proces popunjavanja donjih ćelija donekle podsjeća na vez, gdje je „minus jedan“ neka vrsta „igle“ koja prožima naredne korake. Pomnožimo "srušeni" broj sa (-1) i dodamo broj iz gornje ćelije u proizvod:

Pronađenu vrijednost pomnožimo sa "crvenom iglom" i dodamo sljedeći koeficijent jednadžbe na proizvod:

I, na kraju, rezultirajuća vrijednost se ponovo "obrađuje" s "iglom" i gornjim koeficijentom:

Nula u posljednjoj ćeliji nam govori da se polinom podijelio na bez traga (kako treba), dok se koeficijenti proširenja "skidaju" direktno iz donjeg reda tabele:

Dakle, prešli smo sa jednadžbe na ekvivalentnu jednačinu i sve je jasno sa dva preostala korijena (u ovom slučaju dobijaju se konjugirani kompleksni korijeni).

Jednačina se, inače, može riješiti i grafički: build "rajsferšlus" i vidimo da graf prelazi x-osu () u tački . Ili isti "lukavi" trik - prepisujemo jednadžbu u obliku , crtamo elementarne grafove i otkrivamo "x" koordinatu njihove točke presjeka.

Inače, graf bilo koje polinomske funkcije 3. stepena prelazi os barem jednom, što znači da odgovarajuća jednačina ima najmanje jedan validan root. Ova činjenica vrijedi za bilo koju polinomsku funkciju neparnog stepena.

I ovdje također želim da se zaustavim važna tačkašto se tiče terminologije: polinom i polinomska funkcija – nije isto! Ali u praksi se često govori, na primjer, o "polinomskom grafu", što je, naravno, nemarno.

No, vratimo se Hornerovoj šemi. Kao što sam nedavno spomenuo, ova šema radi i za druge brojeve, ali ako je broj ne je korijen jednadžbe, tada se u našoj formuli pojavljuje aditiv koji nije nula (ostatak):

Hajdemo da "odvedemo" "neuspešnu" vrednost prema Hornerovoj šemi. U isto vrijeme, zgodno je koristiti istu tablicu - zapisujemo novu „iglu“ s lijeve strane, rušimo najviši koeficijent odozgo (lijeva zelena strelica), i idemo dalje:

Da bismo provjerili, otvaramo zagrade i dajemo slične pojmove:
, UREDU.

Lako je vidjeti da je ostatak („šest“) upravo vrijednost polinoma na . A u stvari - šta je to:
, pa još ljepše - ovako:

Iz gornjih proračuna, lako je razumjeti da Hornerova shema omogućava ne samo faktorizaciju polinoma, već i izvođenje "civiliziranog" odabira korijena. Predlažem da samostalno popravite algoritam izračuna s malim zadatkom:

Zadatak 2

Koristeći Hornerovu shemu, pronađite cijeli korijen jednadžbe i faktorizirajte odgovarajući polinom

Drugim riječima, ovdje morate uzastopno provjeravati brojeve 1, -1, 2, -2, ... - sve dok se u posljednjoj koloni ne „izvuče“ nula ostatak. To će značiti da je "igla" ove linije korijen polinoma

Proračuni su prikladno raspoređeni u jednoj tabeli. Detaljno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Metoda odabira korijena je dobra za relativno jednostavnim slučajevima, ali ako su koeficijenti i/ili stepen polinoma veliki, tada proces može biti odgođen. Ili možda neke vrijednosti ​​​sa iste liste 1, -1, 2, -2 i nema smisla razmatrati? Osim toga, korijeni se mogu pokazati razlomcima, što će dovesti do potpuno nenaučnog uboda.

Na sreću, postoje dvije snažne teoreme koje mogu značajno smanjiti nabrajanje vrijednosti "kandidata" za racionalne korijene:

Teorema 1 Razmislite nesvodivo razlomak , gdje . Ako je broj korijen jednadžbe, tada je slobodni član djeljiv sa, a vodeći koeficijent je djeljiv sa.

Posebno, ako je vodeći koeficijent , tada je ovaj racionalni korijen cijeli broj:

I počinjemo da koristimo teoremu upravo iz ove ukusne pojedinosti:

Vratimo se na jednačinu. Budući da je njegov vodeći koeficijent , hipotetički racionalni korijeni mogu biti isključivo cijeli brojevi, a slobodni član mora biti djeljiv ovim korijenima bez ostatka. A "tri" se mogu podijeliti samo na 1, -1, 3 i -3. Odnosno, imamo samo 4 "kandidata za korijene". I, prema Teorema 1, drugi racionalni brojevi ne mogu biti korijeni ove jednadžbe U PRINCIPU.

U jednačini je malo više „prijavljenih“: slobodni termin je podijeljen na 1, -1, 2, -2, 4 i -4.

Imajte na umu da su brojevi 1, -1 "regularni" na listi mogućih korijena (očigledna posljedica teoreme) i većina najbolji izbor za prvu provjeru.

Prijeđimo na smislenije primjere:

Zadatak 3

Rješenje: budući da je vodeći koeficijent , onda hipotetički racionalni korijeni mogu biti samo cijeli brojevi, dok moraju biti djelitelji slobodnog člana. "Minus četrdeset" je podijeljeno na sljedeće parove brojeva:
- ukupno 16 "kandidata".

I tu se odmah pojavljuje primamljiva misao: da li je moguće iskorijeniti sve negativne ili sve pozitivne korijene? U nekim slučajevima možete! Formulisaću dva znaka:

1) Ako sve Ako su koeficijenti polinoma nenegativni ili svi nisu pozitivni, onda on ne može imati pozitivne korijene. Nažalost, ovo nije naš slučaj (Sada, ako nam je data jednadžba - onda da, kada je zamjena bilo koja vrijednost polinoma striktno pozitivna, što znači da je sve pozitivni brojevi (i iracionalno takođe) ne mogu biti korijeni jednadžbe.

2) Ako su koeficijenti za neparne stepene nenegativni, a za sve parne stepene (uključujući besplatnog člana) su negativni, tada polinom ne može imati negativne korijene. Ili “ogledalo”: koeficijenti za neparne stepene nisu pozitivni, a za sve parne su pozitivni.

Ovo je naš slučaj! Ako pažljivo pogledate, možete vidjeti da kada se bilo koji negativni "x" zamijeni u jednadžbu, lijeva strana će biti striktno negativna, što znači da negativni korijeni nestaju

Dakle, 8 brojeva je ostalo za istraživanje:

Dosljedno ih "napunite" prema Horner shemi. Nadam se da ste već savladali mentalne proračune:

Sreća nas je čekala prilikom testiranja "dvojke". Dakle, je korijen jednačine koja se razmatra, i

Ostaje da se istraži jednačina . Lako je to učiniti preko diskriminanta, ali na isti način ću provesti eksponencijalni test. Prvo, imajte na umu da je slobodni termin jednak 20, što znači da prema Teorema 1 brojevi 8 i 40 ispadaju sa liste mogućih korijena, a vrijednosti ostaju za istraživanje (jedan je eliminisan prema Horner shemi).

Upisujemo koeficijente trinoma u gornji red nove tabele i počinjemo provjeru sa istom "dvojkom". Zašto? I pošto korijeni mogu biti višestruki, molimo: - ova jednačina ima 10 identičnih korijena. Ali da se ne skrećemo sa stvari:

I tu sam, naravno, bio malo lukav, znajući da su korijeni racionalni. Uostalom, da su iracionalni ili složeni, onda bih imao neuspješnu provjeru svih preostalih brojeva. Stoga se u praksi vodite diskriminatorom.

Odgovori: racionalni korijeni: 2, 4, 5

U analiziranom problemu imali smo sreće jer su: a) odmah otpali negativne vrijednosti, i b) vrlo brzo smo pronašli korijen (i teoretski bismo mogli provjeriti cijelu listu).

Ali u stvarnosti je situacija mnogo gora. Pozivam vas da pogledate uzbudljivu igru ​​pod nazivom "Posljednji heroj":

Zadatak 4

Pronađite racionalne korijene jednadžbe

Rješenje: on Teorema 1 brojnici hipotetičkih racionalnih korijena moraju zadovoljiti uslov (čitaj "dvanaest je deljivo sa pivom"), i nazivnici uvjeta . Na osnovu toga dobijamo dve liste:

"list el":
i "ispiši ih": (srećom, ovdje su brojevi prirodni).

Sada napravimo listu svih mogućih korijena. Prvo, podijelimo “listu piva” sa . Sasvim je jasno da će ispasti isti brojevi. Radi praktičnosti, stavimo ih u tabelu:

Mnogi razlomci su smanjeni, što je rezultiralo vrijednostima koje se već nalaze na "listi heroja". Dodajemo samo "pridošlice":

Slično, dijelimo istu "listu piva" sa:

i konačno dalje

Dakle, tim učesnika naše igre je popunjen sa:


Nažalost, polinom ovog problema ne zadovoljava "pozitivan" ili "negativan" kriterij, te stoga ne možemo odbaciti gornji ili donji red. Morate raditi sa svim brojevima.

kakvo je tvoje raspoloženje? Hajde, okreni nos - postoji još jedna teorema koja se figurativno može nazvati "teorema ubice" .... ... "kandidati", naravno =)

Ali prvo morate proći kroz Hornerov dijagram za barem jedan cjelina brojevi. Tradicionalno, uzimamo jednu. U gornji red upisujemo koeficijente polinoma i sve je kao i obično:

Pošto četiri očito nije nula, vrijednost nije korijen polinoma o kojem je riječ. Ali ona će nam mnogo pomoći.

Teorema 2 Ako za neke Uglavnom vrijednost polinoma je različita od nule: , tada njegovi racionalni korijeni (ako jesu) zadovoljiti uslov

U našem slučaju i stoga svi mogući korijeni moraju zadovoljiti uvjet (nazovimo to stanje broj 1). Ova četvorka će biti "ubica" mnogih "kandidata". Kao demonstraciju, pogledat ću nekoliko provjera:

Provjerimo kandidata. Da bismo to učinili, umjetno ga predstavljamo kao razlomak, iz čega se jasno vidi da je . Izračunajmo kontrolnu razliku: . Četiri je podijeljeno sa "minus dva": što znači da je mogući korijen prošao test.

Provjerimo vrijednost. Ovdje je razlika u testu: . Naravno, i samim tim drugi "testni subjekt" takođe ostaje na listi.

Pitanje pronalaženja racionalnih korijena polinoma f(x)Q[x] (sa racionalnim koeficijentima) svodi se na pitanje pronalaženja racionalnih korijena polinoma k ∙ f(x)Z[x] (sa cjelobrojnim koeficijentima). Evo broja k je najmanji zajednički višekratnik koeficijenata datog polinoma.

Neophodan ali ne dovoljne uslove postojanje racionalnih korijena polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima je dato sljedećom teoremom.

Teorema 6.1 (o racionalnim korijenima polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima). Ako a – racionalni korijen polinomaf(x) = a n  x n + + …+ a 1  x + a 0 With cijeli koeficijenti, i(str, q) = 1, zatim brojilac razlomkastrje djelitelj slobodnog člana a 0 , i imenilacqje djelitelj vodećeg koeficijenta a 0 .

Teorema 6.2.Ako a Q ( gdje (str, q) = 1) je racionalni korijen polinoma f(x) onda sa cjelobrojnim koeficijentima
–cijeli brojevi.

Primjer. Pronađite sve racionalne korijene polinoma

f(x) = 6 x 4 + x 3 + 2 x 2 – 4 x+ 1.

1. Prema teoremi 6.1: ako – racionalni korijen polinoma f(x), ( gdje( str, q) = 1), onda a 0 = 1 str, a n = 6 q. Zbog toga str { 1}, q (1, 2, 3, 6), dakle

.

2. Poznato je da je (posledica 5.3) broj a je korijen polinoma f(x) ako i samo ako f(x) podijeljena ( x - a).

Stoga, provjeriti da li su brojevi 1 i -1 korijeni polinoma f(x) možete koristiti Hornerovu šemu:

f(1) = 60,f(–1) = 120, tako da 1 i -1 nisu korijeni polinoma f(x).

3. Da izbacite neke od preostalih brojeva
, koristimo teoremu 6.2. Ako izrazi ili
uzima cjelobrojne vrijednosti za odgovarajuće vrijednosti brojilaca str i imenilac q, tada ćemo u odgovarajućim ćelijama tabele (vidi dolje) napisati slovo "c", inače - "dr".

=
=

4. Koristeći Hornerovu šemu, provjeravamo da li će brojevi preostali nakon prosejavanja biti
korijenje f(x). Prvo podijelite f(x) na ( X – ).

Kao rezultat, imamo: f(x) = (X – )(6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2) i - korijen f(x). Privatno q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + 4 X - 2 podijeliti sa ( X + ).

Jer q (–) = 30, tada (-) nije korijen polinoma q(x), a time i polinom f(x).

Konačno, dijelimo polinom q(x) = 6 x 3 + 4 x 2 + + 4 X - 2 na ( X – ).

dobio: q () = 0, tj. korijen q(x), što znači da je korijen f (x). Dakle, polinom f (x) ima dva racionalna korijena: i.

Izuzeće od algebarske iracionalnosti u nazivniku razlomka

U školskom kursu, kada se rješavaju neke vrste zadataka za oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku razlomka, dovoljno je pomnožiti brojilac i imenilac razlomka brojem koji je konjugiran sa nazivnikom.

Primjeri. 1.t =
.

Ovdje, skraćena formula množenja (razlika kvadrata) radi u nazivniku, što vam omogućava da se riješite iracionalnosti u nazivniku.

2. Oslobodite se iracionalnosti u nazivniku razlomka

t =
. Izraz - nepotpuni kvadrat razlike brojeva a=
i b= 1. Koristeći formulu smanjenog množenja a 3 – b 3 = (a +b) · ( a 2 – ab + b 2 ), možemo definirati množitelj m = (a +b) =
+ 1, sa kojim treba pomnožiti brojilac i imenilac razlomka t da se oslobodimo iracionalnosti u nazivniku razlomka t. Na ovaj način,

U situacijama kada formule smanjenog množenja ne rade, mogu se koristiti drugi trikovi. U nastavku ćemo formulirati teoremu, čiji nam dokaz, posebno, omogućava da pronađemo algoritam za eliminaciju iracionalnosti u nazivniku razlomka u složenijim situacijama.

Definicija 6.1. Broj z pozvao algebarski nad poljem F ako postoji polinom f(x) F[x], čiji je korijen z, inače broj z pozvao transcendentno nad poljemF.

Definicija 6.2.Algebarski stepen nad poljem F brojevi z je stepen nesvodivog nad poljem F polinom str(x)F[x], čiji je korijen broj z.

Primjer. Pokažimo da je broj z =
je algebarski nad poljem Q i pronađite njen stepen.

Nađimo nesvodivo preko polja Q polinom str(X), čiji je korijen x =
. Podižemo obje strane jednakosti x =
na četvrti stepen, dobijamo X 4 = 2 ili X 4 – 2 = 0. Dakle, str(X) = X 4 – 2, i moć broja z je jednako deg str(X) = 4.

Teorema 6.3 (o oslobađanju od algebarske iracionalnosti u nazivniku razlomka).Nekaz – algebarski broj preko terenaFstepenin. Izražavanje formet = ,gdje f(x), (x)F[x], (z) 0

može se predstaviti samo u obliku:

t = With n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Na konkretnom primjeru ćemo demonstrirati algoritam za eliminaciju iracionalnosti u nazivniku razlomka.

Primjer. Oslobodite se iracionalnosti u nazivniku razlomka:

t =

1. Imenilac razlomka je vrijednost polinoma (X) = X 2 – X+1 kada X =
. Prethodni primjer to pokazuje
je algebarski broj nad poljem Q stepen 4, pošto je koren nesvodivog nad Q polinom str(X) = X 4 – 2.

2. Pronađite linearnu ekspanziju gcd ( (X), str(x)) koristeći Euklid algoritam.

_ x 4 – 2 | x 2 – x + 1

x 4 – x 3 + x 2 x 2 + x = q 1 (x)

_ x 3 – x 2 – 2

x 3 – x 2 + x

x 2 – x + 1 | – x –2 = r 1 (x )

x 2 + 2 x – x + 3 = q 2 (x)

_–3x+ 1

–3 x – 6

_ – x –2 |7 = r 2

– x –2 -x - =q 3 (x)

Dakle, NOD ( (X), str(x)) = r 2 = 7. Pronađite njegovu linearnu ekspanziju.

Zapisujemo Euklidov niz koristeći notaciju polinoma.

str(x) = (x) · q 1 (x) + r 1 (x)
r 1 (x) =str(x) – (x) · q 1 (x)

Prilikom rješavanja jednačina i nejednačina, često postaje potrebno faktorizirati polinom čiji je stepen jednak tri ili veći. U ovom članku ćemo pogledati najlakši način da to učinite.

Kao i obično, okrenimo se teoriji za pomoć.

Bezoutova teorema kaže da je ostatak dijeljenja polinoma binomom .

Ali za nas nije važna sama teorema, već zaključak iz toga:

Ako je broj korijen polinoma, tada je polinom bez ostatka djeljiv binomom.

Suočeni smo sa zadatkom da nekako pronađemo barem jedan korijen polinoma, zatim podijelimo polinom sa , gdje je korijen polinoma. Kao rezultat, dobijamo polinom čiji je stepen za jedan manji od stepena prvobitnog. A onda, ako je potrebno, možete ponoviti postupak.

Ovaj zadatak je podijeljen na dva: kako pronaći korijen polinoma i kako podijeliti polinom na binom.

Pogledajmo bliže ove tačke.

1. Kako pronaći korijen polinoma.

Prvo provjeravamo da li su brojevi 1 i -1 korijeni polinoma.

Ovdje će nam pomoći sljedeće činjenice:

Ako je zbir svih koeficijenata polinoma nula, tada je broj korijen polinoma.

Na primjer, u polinomu suma koeficijenata je jednaka nuli: . Lako je provjeriti šta je korijen polinoma.

Ako je zbir koeficijenata polinoma na parnim stepenima jednak zbiru koeficijenata na neparnim stepenima, tada je broj korijen polinoma. Slobodni termin se smatra koeficijentom na parnom stepenu, jer je , a paran broj.

Na primjer, u polinomu zbir koeficijenata na parnim stepenima je : , a zbir koeficijenata na neparnim stepenima je : . Lako je provjeriti šta je korijen polinoma.

Ako ni 1 ni -1 nisu korijeni polinoma, idemo dalje.

Za polinom redukovanog stepena (tj. polinom u kojem je vodeći koeficijent - koeficijent od - jednak jedan), vrijedi Vieta formula:

Gdje su korijeni polinoma.

Postoje i Vietine formule za preostale koeficijente polinoma, ali nas upravo ova zanima.

Iz ove Vietine formule slijedi da ako su korijeni polinoma cijeli brojevi, onda su djelitelji njegovog slobodnog člana, koji je također cijeli broj.

Na osnovu ovoga, trebamo rastaviti slobodni član polinoma na faktore, i uzastopno, od manjeg ka većem, provjeriti koji od faktora je korijen polinoma.

Razmotrimo, na primjer, polinom

Slobodni djelitelji članova: ; ; ;

Zbir svih koeficijenata polinoma je jednak, dakle, broj 1 nije korijen polinoma.

Zbir koeficijenata na parnim stepenima:

Zbir koeficijenata na neparnim potencijama:

Dakle, broj -1 također nije korijen polinoma.

Provjerimo da li je broj 2 korijen polinoma: dakle, broj 2 je korijen polinoma. Dakle, prema Bezoutovoj teoremi, polinom je bez ostatka djeljiv binomom.

2. Kako podijeliti polinom na binom.

Polinom se može podijeliti na binom pomoću stupca.

Polinom dijelimo u binomski stupac:

Postoji još jedan način da se polinom podijeli na binom - Hornerova shema.

Pogledajte ovaj video da shvatite kako podijeliti polinom binomom sa stupcem i korištenjem Hornerove sheme.

Napominjem da ako, prilikom dijeljenja kolonom, u originalnom polinomu izostane neki stepen nepoznatog, na njegovo mjesto upisujemo 0 - baš kao i pri sastavljanju tabele za Hornerovu šemu.

Dakle, ako trebamo podijeliti polinom na binom i kao rezultat dijeljenja dobijemo polinom, tada možemo pronaći koeficijente polinoma koristeći Hornerovu shemu:

Možemo i koristiti Hornerova šema kako bi se provjerilo da li dati broj korijen polinoma: ako je broj korijen polinoma, tada je ostatak dijeljenja polinoma sa nula, odnosno u posljednjoj koloni drugog reda Hornerove sheme dobivamo 0.

Koristeći Hornerovu shemu, "ubijamo dvije muhe jednim udarcem": u isto vrijeme provjeravamo da li je broj korijen polinoma i dijelimo ovaj polinom binomom.

Primjer. Riješite jednačinu:

1. Zapisujemo djelitelje slobodnog člana, a korijene polinoma tražit ćemo među djeliteljima slobodnog člana.

Delitelji 24:

2. Provjerite je li broj 1 korijen polinoma.

Zbir koeficijenata polinoma, dakle, broj 1 je korijen polinoma.

3. Podijelite originalni polinom na binom koristeći Hornerovu shemu.

A) Upišite koeficijente originalnog polinoma u prvi red tabele.

Pošto nedostaje član koji sadrži, u kolonu tabele u koju treba upisati koeficijent od at upisujemo 0. Na lijevoj strani upisujemo pronađeni korijen: broj 1.

B) Popunite prvi red tabele.

U posljednjoj koloni, očekivano, dobili smo nulu, originalni polinom smo podijelili na binom bez ostatka. Koeficijenti polinoma koji nastaju dijeljenjem prikazani su plavom bojom u drugom redu tabele:

Lako je provjeriti da brojevi 1 i -1 nisu korijeni polinoma

C) Nastavimo tablicu. Provjerimo da li je broj 2 korijen polinoma:

Dakle, stepen polinoma, koji se dobija kao rezultat dijeljenja sa jedan, manji je od stepena originalnog polinoma, dakle, broj koeficijenata i broj kolona su manji za jedan.

U posljednjoj koloni dobili smo -40 - broj koji nije jednak nuli, dakle, polinom je djeljiv binomom s ostatkom, a broj 2 nije korijen polinoma.

C) Provjerimo da li je broj -2 korijen polinoma. Pošto je prethodni pokušaj bio neuspješan, tako da ne bude zabune sa koeficijentima, obrisati ću red koji odgovara ovom pokušaju:

Odlično! U ostatku smo dobili nulu, dakle, polinom je podijeljen na binom bez ostatka, dakle, broj -2 je korijen polinoma. Koeficijenti polinoma, koji se dobijaju dijeljenjem polinoma sa binomom, prikazani su zelenom bojom u tabeli.

Kao rezultat dijeljenja, dobili smo kvadratni trinom , čiji se korijeni lako pronalaze Vietinom teoremom:

Dakle, korijeni originalne jednadžbe:

{}

Odgovor: ( }