The metodički materijal je u referentne svrhe i pokriva širok spektar tema. Članak daje pregled grafova glavnih elementarnih funkcija i razmatra najvažnije pitanje - kako pravilno i BRZO napraviti grafikon. Tokom studija višu matematiku bez poznavanja osnovnih grafikona elementarne funkcije bit će teško, pa je vrlo važno zapamtiti kako izgledaju grafovi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., zapamtite neke vrijednosti funkcije. Također ćemo govoriti o nekim svojstvima glavnih funkcija.

Ne pretendujem da budem potpun i naučno temeljan materijal, akcenat će biti stavljen, pre svega, na praksu – one stvari sa kojima mora se suočiti bukvalno na svakom koraku, u bilo kojoj temi više matematike. Tabele za lutke? Može se reći.

Po popularnom zahtjevu čitalaca sadržaj koji se može kliknuti:

Osim toga, postoji ultra-kratak sažetak na tu temu
– savladajte 16 vrsta grafikona proučavajući ŠEST stranica!

Ozbiljno, šest, čak sam i sam bio iznenađen. Ovaj sažetak sadrži poboljšanu grafiku i dostupan je uz nominalnu naknadu, može se pogledati demo verzija. Pogodno je ispisati datoteku tako da su grafikoni uvijek pri ruci. Hvala na podršci projektu!

I krećemo odmah:

Kako pravilno izgraditi koordinatne ose?

U praksi, testove učenici gotovo uvijek sastavljaju u odvojenim sveskama, poredanim u kavez. Zašto su vam potrebne karirane oznake? Uostalom, posao se u principu može obaviti na listovima A4. A kavez je neophodan samo za kvalitetan i precizan dizajn crteža.

Svaki crtež funkcionalnog grafa počinje sa koordinatnim osa.

Crteži su dvodimenzionalni i trodimenzionalni.

Razmotrimo prvo dvodimenzionalni slučaj Dekartov koordinatni sistem:

1) Crtamo koordinatne ose. Osa se zove x-osa , i osa y-osa . Uvijek pokušavamo da ih nacrtamo uredan i ne iskrivljen. Strelice takođe ne bi trebalo da liče na bradu Pape Karla.

2) Osovine potpisujemo velikim slovima "x" i "y". Ne zaboravite potpisati sjekire.

3) Postavite skalu duž osi: nacrtaj nulu i dva jedinica. Prilikom izrade crteža, najpogodnija i najčešća skala je: 1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo) - pridržavajte se toga ako je moguće. Međutim, s vremena na vrijeme se dogodi da crtež ne stane na list bilježnice - tada smanjujemo razmjer: 1 jedinica = 1 ćelija (crtež desno). Rijetko, ali se dešava da se skala crteža još više smanji (ili poveća).

NEMOJTE žvrljati iz mitraljeza ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Jer koordinatna ravan nije Descartesu spomenik, a učenik nije golub. Mi smo stavili nula I dvije jedinice duž osi. Ponekad umjesto jedinicama, zgodno je "detektovati" druge vrijednosti, na primjer, "dva" na osi apscise i "tri" na osi ordinata - i ovaj sistem (0, 2 i 3) će također jedinstveno postaviti koordinatnu mrežu.

Bolje je procijeniti procijenjene dimenzije crteža PRIJE crtanja crteža.. Tako, na primjer, ako zadatak zahtijeva crtanje trokuta s vrhovima , , , onda je sasvim jasno da popularna skala 1 jedinica = 2 ćelije neće raditi. Zašto? Pogledajmo stvar - ovdje morate izmjeriti petnaest centimetara dolje, i, očigledno, crtež neće stati (ili jedva stati) na list bilježnice. Stoga odmah biramo manju skalu 1 jedinica = 1 ćelija.

Usput, o centimetrima i ćelijama bilježnice. Da li je tačno da u 30 ćelija sveske ima 15 centimetara? Izmjerite u bilježnici za kamate 15 centimetara pomoću ravnala. U SSSR-u je to možda bila istina... Zanimljivo je primijetiti da ako ove iste centimetre mjerite horizontalno i vertikalno, onda će rezultati (u ćelijama) biti drugačiji! Strogo govoreći, moderne bilježnice nisu karirane, već pravokutne. Možda se čini kao besmislica, ali crtanje, na primjer, kruga sa šestarom u takvim situacijama je vrlo nezgodno. Iskreno govoreći, u takvim trenucima počinjete razmišljati o ispravnosti druga Staljina, koji je poslat u logore zbog hakerskog rada u proizvodnji, a da ne spominjemo domaću automobilsku industriju, padajuće avione ili eksplodirajuće elektrane.

Kad smo već kod kvaliteta, ili kratka preporuka za kancelarijski materijal. Do danas je većina bilježnica u prodaji, bez izgovaranja loših riječi, potpuni goblin. Iz razloga što se smoče, i to ne samo od gel olovaka, već i od hemijskih olovaka! Uštedite na papiru. Za odobrenje kontrolni radovi Preporučujem korištenje bilježnica Arhangelske fabrike celuloze i papira (18 listova, kavez) ili Pyaterochka, iako je skuplje. Preporučljivo je odabrati gel olovku, čak i najjeftiniji kineski gel za punjenje je mnogo bolji od hemijske olovke koja ili razmazuje ili trga papir. Jedina "konkurentska" hemijska olovka u mom sećanju je Erich Krause. Piše jasno, lijepo i stabilno - bilo s punim, bilo sa skoro praznim.

Dodatno: u članku je obrađena vizija pravokutnog koordinatnog sistema očima analitičke geometrije Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova, detaljne informacije o koordinatnim četvrtima možete pronaći u drugom paragrafu lekcije Linearne nejednakosti.

3D kućište

Ovdje je skoro isto.

1) Crtamo koordinatne ose. standardno: aplicirana osovina – usmjereno prema gore, os – usmjereno desno, os – dolje lijevo strogo pod uglom od 45 stepeni.

2) Potpisujemo sjekire.

3) Postavite skalu duž osi. Razmjer duž ose - dva puta manji od razmjera duž ostalih osa. Također imajte na umu da sam na desnom crtežu koristio nestandardni "serif" duž ose (ova mogućnost je već spomenuta gore). Sa moje tačke gledišta, to je preciznije, brže i estetski ugodnije - ne morate tražiti sredinu ćelije pod mikroskopom i "klesati" jedinicu sve do početka.

Kada ponovo radite 3D crtež - dajte prednost mjerilu
1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo).

Čemu služe sva ova pravila? Pravila su tu da se krše. Šta ću sad. Činjenica je da ću naknadne crteže članka napraviti u Excelu, a koordinatne osi će izgledati pogrešno u smislu pravilnog dizajna. Mogao bih sve grafikone nacrtati rukom, ali ih je stvarno strašno nacrtati, jer Excel nerado ih crta mnogo preciznije.

Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija

Linearna funkcija je data jednadžbom . Grafikon linearne funkcije je direktno. Da bi se konstruisala prava, dovoljno je poznavati dve tačke.

Primjer 1

Iscrtajte funkciju. Hajde da nađemo dve tačke. Povoljno je odabrati nulu kao jednu od tačaka.

Ako onda

Uzimamo neku drugu tačku, na primjer, 1.

Ako onda

Prilikom pripreme zadataka koordinate tačaka se obično sumiraju u tabeli:

I same vrijednosti se izračunavaju usmeno ili na nacrtu, kalkulatoru.

Pronađene su dvije tačke, nacrtajmo:

Prilikom izrade crteža uvijek potpisujemo grafiku.

Neće biti suvišno prisjetiti se posebnih slučajeva linearne funkcije:

Obratite pažnju kako sam postavio natpise, potpisi ne bi trebali biti dvosmisleni prilikom proučavanja crteža. U ovom slučaju, bilo je krajnje nepoželjno stavljati potpis pored tačke preseka linija, ili u donjem desnom uglu između grafikona.

1) Linearna funkcija oblika () naziva se direktna proporcionalnost. Na primjer, . Graf direktne proporcionalnosti uvijek prolazi kroz ishodište. Dakle, konstrukcija prave linije je pojednostavljena - dovoljno je pronaći samo jednu tačku.

2) Jednačina oblika definira pravu liniju paralelnu sa osom, posebno, sama osa je data jednačinom. Graf funkcije se gradi odmah, bez pronalaženja ikakvih tačaka. Odnosno, unos treba shvatiti na sljedeći način: "y je uvijek jednako -4, za bilo koju vrijednost x."

3) Jednačina oblika definira pravu liniju paralelnu sa osom, posebno, sama osa je data jednačinom. Graf funkcije se također gradi odmah. Unos treba shvatiti na sljedeći način: "x je uvijek, za bilo koju vrijednost y, jednako 1."

Neki će se zapitati, pa zašto pamtiti 6. razred?! Tako je, možda i tako, samo sam tokom godina prakse sreo desetak učenika koji su bili zbunjeni zadatkom da konstruišu graf poput ili .

Crtanje prave linije je najčešća radnja prilikom izrade crteža.

Prava linija je detaljno obrađena u toku analitičke geometrije, a oni koji žele mogu pogledati članak Jednačina prave linije na ravni.

Graf kvadratne funkcije, graf kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Raspored kvadratna funkcija () je parabola. Razmislite poznati slučaj:

Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.

Dakle, rješenje naše jednadžbe: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole. Zašto je to tako može se naučiti iz teorijskog članka o derivatu i lekcije o ekstremima funkcije. U međuvremenu izračunavamo odgovarajuću vrijednost "y":

Dakle, vrh je u tački

Sada nalazimo druge tačke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Treba napomenuti da je funkcija – nije čak, ali, ipak, niko nije poništio simetriju parabole.

Kojim redosledom pronaći preostale bodove, mislim da će biti jasno iz konačne tabele:

Ovaj se algoritam konstrukcije može figurativno nazvati "šatlom" ili principom "naprijed-nazad" kod Anfise Čehove.

Napravimo crtež:

Iz razmatranih grafikona, još jedna korisna karakteristika pada na pamet:

Za kvadratnu funkciju () istina je sljedeće:

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema gore.

Ako je , tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

Detaljno znanje o krivulji može se steći u lekciji Hiperbola i parabola.

Kubna parabola je data funkcijom . Evo crteža poznatog iz škole:

Navodimo glavna svojstva funkcije

Funkcijski grafikon

Predstavlja jednu od grana parabole. Napravimo crtež:

Glavna svojstva funkcije:

U ovom slučaju, os je vertikalna asimptota za graf hiperbole na .

Biće VELIKA greška ako, prilikom sastavljanja crteža, iz nemara dozvolite da se graf preseče sa asimptotom.

Također jednostrane granice, recite nam da je to hiperbola nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo.

Hajde da istražimo funkciju u beskonačnosti: to jest, ako se počnemo kretati duž ose ulijevo (ili udesno) do beskonačnosti, tada će "igre" biti vitki korak beskonačno blizu približavaju se nuli i, shodno tome, grane hiperbole beskonačno blizu približiti osi.

Dakle, os je horizontalna asimptota za graf funkcije, ako "x" teži plus ili minus beskonačnost.

Funkcija je odd, što znači da je hiperbola simetrična u odnosu na ishodište. Ova činjenica je očigledna iz crteža, osim toga, može se lako provjeriti analitički: .

Graf funkcije oblika () predstavlja dvije grane hiperbole.

Ako je , tada se hiperbola nalazi u prvom i trećem koordinatnom kvadrantu(vidi sliku iznad).

Ako je , tada se hiperbola nalazi u drugom i četvrtom koordinatnom kvadrantu.

Nije teško analizirati specificiranu pravilnost mjesta stanovanja hiperbole sa stanovišta geometrijskih transformacija grafova.

Primjer 3

Konstruirajte desnu granu hiperbole

Koristimo metodu konstrukcije po tačkama, dok je povoljno odabrati vrijednosti tako da se potpuno dijele:

Napravimo crtež:

Neće biti teško konstruirati lijevu granu hiperbole, ovdje će neparnost funkcije samo pomoći. Grubo govoreći, u tabeli konstrukcije po tačkama, mentalno dodajte minus svakom broju, stavite odgovarajuće tačke i nacrtajte drugu granu.

Detaljne geometrijske informacije o razmatranoj liniji možete pronaći u članku Hiperbola i parabola.

Grafikon eksponencijalne funkcije

U ovom pasusu ću odmah razmotriti eksponencijalnu funkciju, jer se u zadacima više matematike u 95% slučajeva javlja eksponent.

Podsjećam vas na to - ovo je iracionalan broj: to će biti potrebno prilikom izgradnje grafa, koji ću, zapravo, izgraditi bez ceremonije. Tri boda vjerovatno dovoljno:

Ostavimo graf funkcije za sada na miru, o tome kasnije.

Glavna svojstva funkcije:

U osnovi, grafovi funkcija izgledaju isto, itd.

Moram reći da je drugi slučaj rjeđi u praksi, ali se dešava, pa sam smatrao potrebnim da ga uključim u ovaj članak.

Grafikon logaritamske funkcije

Razmotrimo funkciju s prirodnim logaritmom.
Hajde da nacrtamo liniju:

Ako ste zaboravili šta je logaritam, pogledajte školske udžbenike.

Glavna svojstva funkcije:

Domain:

Raspon vrijednosti: .

Funkcija nije ograničena odozgo: , doduše polako, ali grana logaritma ide do beskonačnosti.
Hajde da ispitamo ponašanje funkcije blizu nule na desnoj strani: . Dakle, os je vertikalna asimptota za graf funkcije sa "x" koja teži nuli na desnoj strani.

Budite sigurni da znate i zapamtite tipičnu vrijednost logaritma: .

U osnovi, dijagram logaritma na bazi izgleda isto: , , (decimalni logaritam do baze 10) itd. Istovremeno, što je veća baza, to će grafikon biti ravniji.

Nećemo razmatrati slučaj, ne sjećam se kada sam zadnji put napravio graf sa takvom osnovom. Da, i čini se da je logaritam vrlo rijedak gost u problemima više matematike.

U zaključku paragrafa, reći ću još jednu činjenicu: Eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcijasu dvije međusobno inverzne funkcije. Ako pažljivo pogledate graf logaritma, možete vidjeti da je ovo isti eksponent, samo što se nalazi malo drugačije.

Grafovi trigonometrijskih funkcija

Kako počinje trigonometrijska muka u školi? U redu. Od sinusa

Nacrtajmo funkciju

Ova linija pozvao sinusoida.

Podsjećam vas da je "pi" iracionalan broj:, a u trigonometriji zasljepljuje u očima.

Glavna svojstva funkcije:

Ova funkcija je periodični sa tačkom. Šta to znači? Pogledajmo rez. Lijevo i desno od njega, potpuno isti dio grafa ponavlja se beskonačno.

Domain: , to jest, za bilo koju vrijednost "x" postoji vrijednost sinusa.

Raspon vrijednosti: . Funkcija je ograničeno: , odnosno sve "igre" sjede striktno u segmentu .
To se ne dešava: ili, tačnije, dešava se, ali ove jednačine nemaju rješenje.

Elementarne funkcije i njihovi grafovi

Pravo proporcionalnost. Linearna funkcija.

Inverzna proporcija. Hiperbola.

kvadratna funkcija. Kvadratna parabola.

Funkcija napajanja. Eksponencijalna funkcija.

logaritamska funkcija. trigonometrijske funkcije.

Inverzne trigonometrijske funkcije.

1.	proporcionalne vrijednosti. Ako varijable y I x direktno proporcionalan, tada je funkcionalna zavisnost između njih izražena jednadžbom: y = k x , gdje k- konstantna vrijednost ( faktor proporcionalnosti). Raspored ravno proporcionalnost- prava linija koja prolazi kroz ishodište i formira se sa osom X ugao čija je tangenta k:tan= k(Sl. 8). Stoga se naziva i koeficijent proporcionalnosti faktor nagiba. Slika 8 prikazuje tri grafikona za k = 1/3, k= 1 i k = 3 .
2.	Linearna funkcija. Ako varijable y I x povezano jednačinom 1. stepena: Ax + By = C , gdje je barem jedan od brojeva A ili B nije jednako nuli, onda je graf ove funkcionalne zavisnosti duž. Ako C= 0, onda prolazi kroz početak, inače ne. Grafovi linearne funkcije za različite kombinacije A,B,C prikazani su na sl.9.
3.	Obrnuto proporcionalnost. Ako varijable y I x nazad proporcionalan, tada je funkcionalna zavisnost između njih izražena jednadžbom: y = k / x , gdje k- konstantna vrijednost. Obrnuti proporcionalni dijagram - hiperbola (Sl. 10). Ova kriva ima dvije grane. Hiperbole se dobijaju presecanjem kružnog konusa sa ravninom (za konusne preseke pogledajte odeljak „Konus“ u poglavlju „Stereometrija“). Kao što je prikazano na slici 10, proizvod koordinata tačaka hiperbole je konstantna vrednost, u našem primeru jednaka 1. U opštem slučaju, ova vrednost je jednaka k, što slijedi iz jednadžbe hiperbole: xy = k. Glavne karakteristike i svojstva hiperbole: Opseg funkcije: x 0, raspon: y 0 ; Funkcija je monotona (opadajuća) na x< 0 i na x > 0, ali ne monotono ukupno zbog tačke prekida x= 0 (mislite zašto?); Neograničena funkcija, diskontinuirana u jednoj tački x= 0, neparan, neperiodičan; - Funkcija nema nule.
4.	Kvadratna funkcija. Ovo je funkcija: y = sjekira 2 + bx + c, gdje a, b, c- trajno, a 0. U najjednostavnijem slučaju imamo: b=c= 0 i y = sjekira 2. Grafikon ove funkcije kvadratna parabola - kriva koja prolazi kroz ishodište (slika 11). Svaka parabola ima os simetrije OY, koji se zove parabola osa. Dot O naziva se presjek parabole s njenom osom vrh parabole. Funkcijski grafikon y = sjekira 2 + bx + c je također kvadratna parabola istog tipa kao y = sjekira 2, ali njegov vrh ne leži u ishodištu, već u tački sa koordinatama: Oblik i lokacija kvadratna parabola u koordinatnom sistemu u potpunosti zavisi od dva parametra: koeficijenta a at x 2 i diskriminator D:D = b 2 – 4ac. Ova svojstva proizilaze iz analize korijena kvadratne jednadžbe (pogledajte odgovarajući odjeljak u poglavlju Algebra). Svi mogući različiti slučajevi kvadratne parabole prikazani su na Sl.12.

Molimo nacrtajte kvadratnu parabolu za slučaj a > 0, D > 0 .

Glavne karakteristike i svojstva kvadratne parabole:

Opseg funkcije:  < x+ (tj. x R ), i područje

vrijednosti: … (Odgovorite sami na ovo pitanje!);

Funkcija kao cjelina nije monotona, već desno ili lijevo od vrha

ponaša se kao monotono;

Funkcija je neograničena, svuda kontinuirana, čak i za b = c = 0,

i neperiodične;

- at D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Funkcija napajanja. Ovo je funkcija: y=ax n, gdje a, n- trajno. At n= 1 dobijamo direktna proporcionalnost: y=sjekira; at n = 2 - kvadratna parabola; at n = 1 - inverzna proporcionalnost ili hiperbola. Dakle, ove funkcije su posebni slučajevi funkcije moći. Znamo da je nulta snaga bilo kog broja osim nule jednaka 1, dakle, kada n= 0 funkcija snage postaje konstanta: y= a, tj. njegov grafik je prava linija paralelna sa osom X, isključujući ishodište koordinata (molimo objasnite zašto?). Svi ovi slučajevi (sa a= 1) prikazani su na slici 13 ( n 0) i sl.14 ( n < 0). Отрицательные значения x se ovdje ne razmatraju, jer tada neke funkcije: Ako n- cijeli, funkcije snage imaju smisla i x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n paran ili neparan broj. Slika 15 prikazuje dvije takve funkcije snage: za n= 2 i n = 3. At n= 2 funkcija je parna i njen graf je simetričan u odnosu na os Y. At n= 3 funkcija je neparna i njen graf je simetričan u odnosu na ishodište. Funkcija y = x 3 zove kubna parabola. Slika 16 prikazuje funkciju . Ova funkcija je inverzna kvadratnoj paraboli y = x 2, njen graf se dobija rotiranjem grafika kvadratne parabole oko simetrale 1. koordinatnog uglaOvo je način da se dobije graf bilo koje inverzne funkcije iz grafa njene originalne funkcije. Iz grafikona možemo vidjeti da se radi o dvovrijednoj funkciji (ovo je također označeno znakom  ispred kvadratnog korijena). Takve funkcije se ne proučavaju u elementarnoj matematici, pa kao funkciju obično razmatramo jednu od njenih grana: gornju ili donju.
6.	Demonstracija funkcija. Funkcija y = a x, gdje a je pozitivan konstantni broj, tzv eksponencijalna funkcija. Argument x prihvata bilo koje važeće vrijednosti; kao vrijednosti funkcije se razmatraju samo pozitivni brojevi, jer inače imamo funkciju sa više vrijednosti. Da, funkcija y = 81 x ima u x= 1/4 četiri različite vrijednosti: y = 3, y = 3, y = 3 i I y = 3 i(Provjerite, molim!). Ali mi smatramo samo vrijednost funkcije y= 3. Grafovi eksponencijalne funkcije za a= 2 i a= 1/2 prikazani su na sl.17. Prolaze kroz tačku (0, 1). At a= 1 imamo grafik prave linije paralelne osi X, tj. funkcija se pretvara u konstantnu vrijednost jednaku 1. Kada a> 1, eksponencijalna funkcija raste, a na 0< a < 1 – убывает. Glavne karakteristike i svojstva eksponencijalne funkcije:  < x+ (tj. x R ); raspon: y> 0 ; Funkcija je monotona: povećava se sa a> 1 i smanjuje se na 0< a < 1; - Funkcija nema nule.
7.	Logaritamska funkcija. Funkcija y= log a x, gdje a je konstantan pozitivan broj, nije jednako 1 se poziva logaritamski. Ova funkcija je inverzna od eksponencijalne funkcije; njegov graf (slika 18) se može dobiti rotiranjem grafika eksponencijalne funkcije oko simetrale 1. koordinatnog ugla. Glavne karakteristike i svojstva logaritamske funkcije: Opseg funkcije: x> 0, i raspon vrijednosti:  < y+ (tj. y R ); Ovo je monotona funkcija: raste kao a> 1 i smanjuje se na 0< a < 1; Funkcija je neograničena, svuda kontinuirana, neperiodična; Funkcija ima jednu nulu: x = 1.
8.	trigonometrijske funkcije. Prilikom izgradnje trigonometrijske funkcije koristimo radian mjera uglova. Zatim funkcija y= grijeh x predstavljen grafikom (slika 19). Ova kriva se zove sinusoida. Funkcijski grafikon y= cos x prikazano na sl.20; to je također sinusni val koji nastaje pomicanjem grafa y= grijeh x duž ose X lijevo za 2 Iz ovih grafikona, karakteristike i svojstva ovih funkcija su očigledne: Domena:  < x+  raspon: -1 y +1; Ove funkcije su periodične: njihov period je 2; Ograničene funkcije (| y| , svuda kontinuirano, ne monotono, ali imajući tzv intervalima monotonija, unutar kojeg su ponašati se kao monotone funkcije(vidi grafikone sl.19 i sl.20); Funkcije imaju beskonačan broj nula (za više detalja pogledajte odjeljak "Trigonometrijske jednačine"). Funkcionalni grafovi y= tan x I y= krevetac x prikazano na sl.21 i sl.22 Iz grafikona se vidi da su ove funkcije: periodične (njihov period , neograničeni, generalno nisu monotoni, ali imaju intervale monotonosti (šta?), diskontinuirano (koje tačke prekida imaju ove funkcije?). Region definicije i raspon ovih funkcija:
9.	Inverzne trigonometrijske funkcije. Definicije inverza trigonometrijske funkcije i data su njihova glavna svojstva istoimeni odeljak u poglavlju "Trigonometrija". Stoga se ovdje ograničavamo primljeni su samo kratki komentari u vezi sa njihovim grafikonima rotiranjem grafova trigonometrijskih funkcija oko simetrale 1 koordinatni ugao.

Funkcije y= Arcsin x(sl.23) i y= Arccos x(sl.24) mnogovrijedan, neograničen; njihov domen definicije i raspon vrijednosti, redom: 1 x+1 i  < y+ . Budući da su ove funkcije viševrijedne,

razmatrane u elementarnoj matematici, njihove glavne vrijednosti se smatraju inverznim trigonometrijskim funkcijama: y= arcsin x I y= arccos x; njihovi grafikoni su naglašeni na sl.23 i sl.24 podebljanim linijama.

Funkcije y= arcsin x I y= arccos x imaju sljedeće karakteristike i svojstva:

Obje funkcije imaju isti domen definicije: -1 x +1 ;

njihovi rasponi su: /2 y/2 for y= arcsin x i 0 y za y= arccos x;

(y= arcsin x je rastuća funkcija; y= arccos x- smanjenje);

Svaka funkcija ima jednu nulu ( x= 0 za funkciju y= arcsin x I

x= 1 za funkciju y= arccos x).

Funkcije y= Arktan x(sl.25) i y= Arccot x (sl.26) - viševrijedne, neograničene funkcije; njihov domen definicije:  x+ . Njihova glavna značenja y= arktan x I y= arccot x smatraju se inverznim trigonometrijskim funkcijama; njihovi grafikoni su istaknuti na sl.25 i sl.26 podebljanim granama.

Funkcije y= arktan x I y= arccot x imaju sljedeće karakteristike i svojstva:

Obje funkcije imaju isti opseg:  x + ;

njihovi rasponi su: /2 <y < /2 для y= arktan x i 0< y < для y= arccos x;

Funkcije su ograničene, neperiodične, kontinuirane i monotone

(y= arktan x je rastuća funkcija; y= arccot x- smanjenje);

Samo funkcija y= arktan x ima jednu nulu ( x = 0);

funkcija y = arccot x nema nule.

Linearna funkcija je funkcija oblika y=kx+b, gdje je x nezavisna varijabla, k i b su bilo koji brojevi.
Grafikon linearne funkcije je prava linija.

1. Da nacrtate graf funkcije, potrebne su nam koordinate dvije tačke koje pripadaju grafu funkcije. Da biste ih pronašli, trebate uzeti dvije x vrijednosti, zamijeniti ih u jednadžbu funkcije i iz njih izračunati odgovarajuće y vrijednosti.

Na primjer, za crtanje funkcije y= x+2, zgodno je uzeti x=0 i x=3, tada će ordinate ovih tačaka biti jednake y=2 i y=3. Dobijamo tačke A(0;2) i B(3;3). Povežimo ih i dobijemo grafik funkcije y= x+2:

2. U formuli y=kx+b, broj k se naziva koeficijent proporcionalnosti:
ako je k>0, tada funkcija y=kx+b raste
ako k
Koeficijent b pokazuje pomak grafika funkcije duž ose OY:
ako je b>0, onda se graf funkcije y=kx+b dobija iz grafa funkcije y=kx pomicanjem b jedinica gore duž ose OY
ako b
Na slici ispod prikazani su grafovi funkcija y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Imajte na umu da je u svim ovim funkcijama koeficijent k iznad nule, a funkcije su povećanje.Štaviše, što je veća vrijednost k, veći je ugao nagiba prave linije prema pozitivnom smjeru ose OX.

U svim funkcijama b=3 - i vidimo da svi grafovi sijeku osu OY u tački (0;3)

Sada razmotrite grafove funkcija y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Ovaj put, u svim funkcijama, koeficijent k manje od nule i karakteristike smanjiti. Koeficijent b=3, a grafovi, kao iu prethodnom slučaju, prelaze osu OY u tački (0;3)

Razmotrimo grafove funkcija y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Sada, u svim jednadžbama funkcija, koeficijenti k su jednaki 2. I dobili smo tri paralelne prave.

Ali koeficijenti b su različiti, a ovi grafovi sijeku os OY u različitim tačkama:
Grafikon funkcije y=2x+3 (b=3) prelazi osu OY u tački (0;3)
Grafikon funkcije y=2x (b=0) preseca osu OY u tački (0;0) - ishodištu.
Grafikon funkcije y=2x-3 (b=-3) prelazi osu OY u tački (0;-3)

Dakle, ako znamo predznake koeficijenata k i b, onda možemo odmah zamisliti kako izgleda graf funkcije y=kx+b.
Ako k 0

Ako k>0 i b>0, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k>0 i b, tada graf funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k, tada grafik funkcije y=kx+b izgleda ovako:

Ako k=0, tada se funkcija y=kx+b pretvara u funkciju y=b i njen graf izgleda ovako:

Ordinate svih tačaka grafa funkcije y=b jednake su b If b=0, tada graf funkcije y=kx (direktna proporcionalnost) prolazi kroz ishodište:

3. Zasebno, bilježimo graf jednačine x=a. Grafikon ove jednačine je prava linija paralelna sa OY osi, čije sve tačke imaju apscisu x=a.

Na primjer, graf jednadžbe x=3 izgleda ovako:
Pažnja! Jednačina x=a nije funkcija, pa joj odgovara jedna vrijednost argumenta različita značenja funkcija, koja ne odgovara definiciji funkcije.

4. Uslov za paralelnost dve prave:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je paralelan sa grafikom funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 =k 2

5. Uslov da dvije prave budu okomite:

Grafikon funkcije y=k 1 x+b 1 je okomit na grafik funkcije y=k 2 x+b 2 ako je k 1 *k 2 =-1 ili k 1 =-1/k 2

6. Točke sjecišta grafika funkcije y=kx+b sa koordinatnim osa.

sa OY osom. Apscisa bilo koje tačke koja pripada osi OY jednaka je nuli. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa OY osom, trebate zamijeniti nulu umjesto x u jednadžbi funkcije. Dobijamo y=b. Odnosno, tačka preseka sa OY osom ima koordinate (0;b).

Sa x-osi: Ordinata bilo koje tačke koja pripada x-osi je nula. Stoga, da biste pronašli točku presjeka sa osom OX, trebate zamijeniti nulu umjesto y u jednadžbi funkcije. Dobijamo 0=kx+b. Dakle, x=-b/k. Odnosno, tačka preseka sa OX osom ima koordinate (-b / k; 0):

Prvo pokušajte pronaći opseg funkcije:

Jeste li uspjeli? Uporedimo odgovore:

U redu? Dobro urađeno!

Pokušajmo sada pronaći raspon funkcije:

Pronađen? uporedi:

Je li se složilo? Dobro urađeno!

Idemo opet raditi s grafovima, samo što je sada malo teže - pronaći i domenu funkcije i opseg funkcije.

Kako pronaći i domenu i opseg funkcije (napredno)

Evo šta se dogodilo:

Što se tiče grafike, mislim da ste shvatili. Pokušajmo sada pronaći domenu funkcije u skladu s formulama (ako ne znate kako to učiniti, pročitajte odjeljak o):

Jeste li uspjeli? Provjeravam odgovori:

1. , budući da korijenski izraz mora biti veći ili jednak nuli.
2. , budući da je nemoguće podijeliti sa nulom i radikalni izraz ne može biti negativan.
3. , pošto, respektivno, za sve.
4. jer ne možete podijeliti sa nulom.

Ipak, ostaje nam još jedan trenutak koji nije sređen...

Dozvolite mi da ponovim definiciju i da se fokusiram na nju:

Primijećeno? Riječ "samo" je vrlo, vrlo važan element naše definicije. Pokušaću da ti na prste objasnim.

Recimo da imamo funkciju datu pravom linijom. . Kada, ovu vrijednost zamjenjujemo u naše "pravilo" i dobijamo to. Jedna vrijednost odgovara jednoj vrijednosti. Možemo čak napraviti tablicu različitih vrijednosti i nacrtati datu funkciju da to potvrdimo.

„Pogledaj! - kažete, - "" sastaje se dvaput!" Dakle, možda parabola nije funkcija? Ne, jeste!

Činjenica da se "" pojavljuje dva puta daleko je od razloga da se parabola optužuje za dvosmislenost!

Činjenica je da smo, računajući za, dobili jednu utakmicu. I kada se računa sa, dobili smo jednu utakmicu. Tako je, parabola je funkcija. Pogledajte grafikon:

Jasno? Ako ne, evo vam primjera iz stvarnog života, daleko od matematike!

Recimo da imamo grupu aplikanata koji su se sreli prilikom podnošenja dokumenata, od kojih je svaki u razgovoru rekao gdje živi:

Slažem se, sasvim je realno da nekoliko momaka živi u istom gradu, ali nemoguće je da jedna osoba živi u više gradova u isto vrijeme. Ovo je, takoreći, logičan prikaz naše "parabole" - Nekoliko različitih x odgovara istom y.

Hajde sada da smislimo primjer gdje ovisnost nije funkcija. Recimo da su ti isti momci ispričali za koje su se specijalnosti prijavili:

Ovdje imamo potpuno drugačiju situaciju: jedna osoba se lako može prijaviti za jedan ili više smjerova. tj jedan element setovi se dopisuju više elemenata setovi. odnosno to nije funkcija.

Provjerimo svoje znanje u praksi.

Odredite iz slika što je funkcija, a što nije:

Jasno? I evo ga odgovori:

• Funkcija je - B,E.
• Nije funkcija - A, B, D, D.

Pitate zašto? Da, evo zašto:

U svim brojkama osim IN) I E) ima nekoliko za jednog!

Siguran sam da sada možete lako razlikovati funkciju od ne-funkcije, reći šta je argument, a šta zavisna varijabla, kao i odrediti opseg argumenta i opseg funkcije. Pređimo na sljedeći odjeljak - kako definirati funkciju?

Načini postavljanja funkcije

Šta mislite šta znače riječi "postavi funkciju"? Tako je, znači objasniti svima o kojoj funkciji je riječ u ovom slučaju. Štaviše, objasnite na način da vas svi dobro razumiju i da su grafikoni funkcija koje su ljudi nacrtali prema vašem objašnjenju bili isti.

Kako to mogu učiniti? Kako postaviti funkciju? Najlakši način, koji je već korišten više puta u ovom članku - koristeći formulu. Pišemo formulu i zamjenom vrijednosti u nju izračunavamo vrijednost. I kao što se sjećate, formula je zakon, pravilo prema kojem nama i drugoj osobi postaje jasno kako se X pretvara u Y.

Obično upravo to rade - u zadacima vidimo gotove funkcije definirane formulama, međutim, postoje i drugi načini postavljanja funkcije na koje svi zaboravljaju, a samim tim i pitanje "kako drugačije možete postaviti funkciju?" zbunjuje. Pogledajmo sve redom i počnimo s analitičkom metodom.

Analitički način definiranja funkcije

Analitička metoda je zadatak funkcije koja koristi formulu. Ovo je najuniverzalniji i najsveobuhvatniji i nedvosmislen način. Ako imate formulu, onda znate apsolutno sve o funkciji - možete napraviti tablicu vrijednosti ​​na njoj, možete napraviti graf, odrediti gdje se funkcija povećava, a gdje smanjuje, općenito, istražite je u cijelosti.

Razmotrimo funkciju. šta to ima veze?

"Šta to znači?" - pitate. Sad ću objasniti.

Da vas podsjetim da se u notaciji izraz u zagradama naziva argumentom. A ovaj argument može biti bilo koji izraz, ne nužno jednostavan. Prema tome, bez obzira na argument (izraz u zagradama), umjesto toga ćemo ga napisati u izrazu.

U našem primjeru to će izgledati ovako:

Razmotrite još jedan zadatak koji se odnosi na analitičku metodu specificiranja funkcije koju ćete imati na ispitu.

Pronađite vrijednost izraza, at.

Sigurna sam da ste se u početku uplašili kada ste vidjeli takav izraz lica, ali u tome nema apsolutno ničeg strašnog!

Sve je isto kao u prethodnom primjeru: bez obzira na argument (izraz u zagradama), umjesto toga ćemo ga napisati u izrazu. Na primjer, za funkciju.

Šta bi trebalo učiniti u našem primjeru? Umjesto toga, trebate napisati, a umjesto -:

skratiti rezultirajući izraz:

To je sve!

Samostalan rad

Sada pokušajte sami pronaći značenje sljedećih izraza:

1. , ako
2. , ako

Jeste li uspjeli? Uporedimo naše odgovore: Navikli smo na činjenicu da funkcija ima oblik

Čak iu našim primjerima funkciju definiramo na ovaj način, ali je analitički moguće definirati funkciju implicitno, na primjer.

Pokušajte sami izgraditi ovu funkciju.

Jeste li uspjeli?

Evo kako sam ga napravio.

Sa kojom smo jednačinom dobili?

Tačno! Linearno, što znači da će graf biti prava linija. Napravimo tabelu da odredimo koje tačke pripadaju našoj liniji:

Upravo o tome smo pričali... Jedan odgovara nekoliko.

Hajde da pokušamo da nacrtamo šta se desilo:

Je li ono što imamo funkcija?

Tako je, ne! Zašto? Pokušajte odgovoriti na ovo pitanje slikom. šta si dobio?

“Zato što jedna vrijednost odgovara nekoliko vrijednosti!”

Kakav zaključak možemo izvući iz ovoga?

Tako je, funkcija se ne može uvijek eksplicitno izraziti, a ono što je "prikriveno" u funkciju nije uvijek funkcija!

Tabelarni način definiranja funkcije

Kao što ime govori, ova metoda je jednostavna ploča. Da da. Kao onaj koji smo već napravili. Na primjer:

Ovdje ste odmah primijetili uzorak - Y je tri puta veći od X. A sada zadatak „vrlo dobro razmislite“: mislite li da je funkcija data u obliku tabele ekvivalentna funkciji?

Hajde da ne pričamo dugo, nego da crtamo!

Dakle. Crtamo funkciju datu na oba načina:

Vidite li razliku? Ne radi se o označenim tačkama! Pogledajte izbliza:

Jeste li ga sada vidjeli? Kada funkciju postavimo na tabelarni način, na grafu odražavamo samo one tačke koje imamo u tabeli i linija (kao u našem slučaju) prolazi samo kroz njih. Kada definiramo funkciju na analitički način, možemo uzeti bilo koje točke, a naša funkcija nije ograničena na njih. Evo takve karakteristike. Zapamtite!

Grafički način za izgradnju funkcije

Grafički način konstruisanja funkcije nije ništa manje zgodan. Nacrtamo našu funkciju, a druga zainteresirana osoba može pronaći koliko je y jednako pri određenom x, i tako dalje. Grafičke i analitičke metode su među najčešćim.

Međutim, ovdje se morate sjetiti o čemu smo pričali na samom početku - nije svaka „švrgola“ nacrtana u koordinatnom sistemu funkcija! Zapamtite? Za svaki slučaj, kopiraću ovde definiciju šta je funkcija:

U pravilu ljudi obično imenuju upravo ona tri načina specificiranja funkcije koje smo analizirali - analitički (pomoću formule), tabelarni i grafički, potpuno zaboravljajući da se funkcija može opisati verbalno. Volim ovo? Da, vrlo lako!

Verbalni opis funkcije

Kako verbalno opisati funkciju? Uzmimo naš nedavni primjer - . Ova funkcija može se opisati kao "svaka realna vrijednost x odgovara njegovoj trostrukoj vrijednosti". To je sve. Ništa komplikovano. Naravno, prigovorićete – „ima ih toliko složene funkciješto je jednostavno nemoguće usmeno pitati!” Da, ima ih, ali postoje funkcije koje je lakše opisati verbalno nego postaviti formulom. Na primjer: "svaka prirodna vrijednost x odgovara razlici između cifara od kojih se sastoji, dok se najveća cifra sadržana u unosu broja uzima kao minus." Sada razmotrite kako se naš verbalni opis funkcije implementira u praksi:

Najveća znamenka u datom broju - odnosno - se smanjuje, tada:

Glavne vrste funkcija

Sada pređimo na ono najzanimljivije - razmotrit ćemo glavne vrste funkcija s kojima ste radili/radili i radit ćete u toku školske i institutske matematike, odnosno upoznaćemo ih, da tako kažem, i daj im kratak opis. Pročitajte više o svakoj funkciji u odgovarajućem odjeljku.

Linearna funkcija

Funkcija obrasca gdje, - realni brojevi.

Graf ove funkcije je prava linija, pa se konstrukcija linearne funkcije svodi na pronalaženje koordinata dvije tačke.

Direktna pozicija na koordinatna ravan zavisi od faktora nagiba.

Opseg funkcije (aka raspon argumenata) - .

Raspon vrijednosti je .

kvadratna funkcija

Funkcija forme, gdje

Graf funkcije je parabola, kada su grane parabole usmjerene prema dolje, kada - prema gore.

Mnoga svojstva kvadratne funkcije zavise od vrijednosti diskriminanta. Diskriminanta se izračunava po formuli

Položaj parabole na koordinatnoj ravni u odnosu na vrijednost i koeficijent prikazan je na slici:

Domain

Raspon vrijednosti ovisi o ekstremumu date funkcije (vrh parabole) i koeficijentu (smjer grana parabole)

Inverzna proporcionalnost

Funkcija data formulom, gdje

Broj se naziva faktor inverzne proporcionalnosti. Ovisno o kojoj vrijednosti, grane hiperbole su u različitim kvadratima:

Domena - .

Raspon vrijednosti je .

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

1. Funkcija je pravilo prema kojem se svakom elementu skupa dodjeljuje jedinstveni element skupa.

• - ovo je formula koja označava funkciju, odnosno zavisnost jedne varijable od druge;
• - varijabla ili argument;
• - zavisna vrijednost - mijenja se kada se argument promijeni, odnosno prema nekima određene formule, što odražava zavisnost jedne veličine od druge.

2. Važeće vrijednosti argumenata, ili opseg funkcije, je ono što je povezano s mogućim pod kojim funkcija ima smisla.

3. Raspon vrijednosti funkcije- to su vrijednosti koje uzima, sa važećim vrijednostima.

4. Postoje 4 načina za postavljanje funkcije:

• analitički (koristeći formule);
• tabelarni;
• grafički
• verbalni opis.

5. Glavne vrste funkcija:

• : , gdje su realni brojevi;
• : , gdje;
• : , gdje.