Definicija inverzne funkcije i njena svojstva: lema o međusobnoj monotonosti direktnih i inverznih funkcija; simetrija grafova direktnih i inverznih funkcija; teoreme o postojanju i kontinuitetu inverzne funkcije za funkciju striktno monotonu na segmentu, intervalu i poluintervalu. Primjeri inverznih funkcija. Primjer rješenja problema. Dokaz svojstava i teorema.

Sadržaj

Vidi također: Definicija funkcije, gornje i donje granice, monotona funkcija.

Definicija i svojstva

Definicija inverzne funkcije
Neka funkcija ima domenu X i skup vrijednosti Y. I neka ima svojstvo:
za sve .
Tada za bilo koji element iz skupa Y može biti pridružen samo jedan element skupa X, za koji . Ova korespondencija definira funkciju pod nazivom inverzna funkcija do . Inverzna funkcija se označava na sljedeći način:
.

Iz definicije proizilazi da
;
za sve ;
za sve .

Svojstvo o simetriji grafova direktnih i inverznih funkcija
Grafovi direktne i inverzne funkcije su simetrični u odnosu na direktnu liniju.

Teorema o postojanju i kontinuitetu inverzne funkcije na segmentu
Neka je funkcija kontinuirana i striktno rastuća (opadajuća) na intervalu . Tada je na intervalu definirana i kontinuirana inverzna funkcija koja je striktno rastuća (opadajuća).

Za rastuću funkciju. Za silazne - .

Teorema o postojanju i kontinuitetu inverzne funkcije na intervalu
Neka je funkcija kontinuirana i striktno rastuća (opadajuća) na otvorenom konačnom ili beskonačnom intervalu. Tada je inverzna funkcija definirana i kontinuirana na intervalu, koji je striktno rastući (opadajući).

Za rastuću funkciju.
Za silazne: .

Na sličan način može se formulisati teorema o postojanju i kontinuitetu inverzne funkcije na poluintervalu.

Ako je funkcija kontinuirana i striktno raste (opada) na poluintervalu ili , tada je na poluintervalu definirana ili inverzna funkcija, koja striktno raste (opada). Evo.

Ako se striktno povećava, tada intervali i odgovaraju intervalima i . Ako se striktno smanjuje, tada intervali i odgovaraju intervalima i .
Ova teorema se dokazuje na isti način kao i teorema o postojanju i kontinuitetu inverzne funkcije na intervalu.

Primjeri inverznih funkcija

Arcsine

Parcele y= sin x i inverzna funkcija y = arcsin x.

Razmotrimo trigonometrijsku funkciju sinus: . Definiran je i kontinuiran za sve vrijednosti argumenta, ali nije monoton. Međutim, ako je domen definicije sužen, onda se mogu razlikovati monotoni dijelovi. Dakle, na segmentu je funkcija definirana, kontinuirana, striktno rastuća i uzima vrijednosti iz -1 prije +1 . Prema tome, ima inverznu funkciju na sebi, koja se zove arcsin. Arksinus ima domenu definicije i skup vrijednosti.

Logaritam

Parcele y= 2 x i inverzna funkcija y = log 2 x.

Eksponencijalna funkcija je definiran, kontinuiran i striktno rastući za sve vrijednosti argumenta. Skup njegovih vrijednosti je otvoreni interval. Inverzna funkcija je logaritam osnova dva. Ima opseg i skup vrijednosti.

Kvadratni korijen

Ploče y=x 2 i inverzna funkcija.

Funkcija napajanja je definiran i kontinuiran za sve . Skup njegovih vrijednosti je polu-interval. Ali nije monotono za sve vrijednosti argumenta. Međutim, na poluintervalu je kontinuiran i striktno monotono raste. Stoga, ako kao domenu definicije uzmemo skup , tada postoji inverzna funkcija koja se zove kvadratni korijen. Inverzna funkcija ima domenu definicije i skup vrijednosti.

Primjer. Dokaz postojanja i jedinstvenosti korena stepena n

Dokazati da je jednadžba , gdje je n prirodno, realna nenegativan broj, ima jedinstveno rješenje na setu realni brojevi, . Ovo rješenje se naziva n-ti korijen od a. To jest, morate pokazati da bilo koji nenegativan broj ima jedinstveni korijen stepena n.

Razmotrimo funkciju varijable x:
(P1) .

Dokažimo da je kontinuirano.
Koristeći definiciju kontinuiteta, to pokazujemo
.
Primjenjujemo Newtonovu binomnu formulu:
(P2)
.
Primijenimo aritmetička svojstva granica funkcije . Budući da je , tada je samo prvi član različit od nule:
.
Kontinuitet je dokazan.

Dokažimo da funkcija (P1) striktno raste kao .
Uzmimo proizvoljne brojeve povezane nejednačinama:
, , .
Moramo to pokazati. Hajde da uvedemo varijable. Onda . Budući da , Iz (A2) se vidi da je . Or
.
Dokazano je striktno povećanje.

Pronađite skup vrijednosti funkcije za .
U trenutku , .
Hajde da nađemo granicu.
Da biste to učinili, primijenite Bernoullijevu nejednakost. kada imamo:
.
Od , zatim i .
Primjenjujući svojstvo nejednakosti beskonačno velikih funkcija, nalazimo da .
Dakle, , .

Prema teoremu o inverznoj funkciji, inverzna funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu. To jest, za bilo koje postoji jedinstvena koja zadovoljava jednačinu. Budući da imamo , to znači da za bilo koje , jednadžba ima jedinstveno rješenje, koje se naziva korijenom stepena n iz broja x:
.

Dokaz svojstava i teorema

Dokaz leme o međusobnoj monotonosti direktnih i inverznih funkcija

Neka funkcija ima domenu X i skup vrijednosti Y. Dokažimo da ima inverznu funkciju. Na osnovu , moramo to dokazati
za sve .

Pretpostavimo suprotno. Neka postoje brojevi, dakle. Neka istovremeno. Inače, mijenjamo notaciju tako da bude . Tada, zbog striktne monotonosti f , jedna od nejednakosti mora vrijediti:
ako je f striktno rastuća;
ako je f striktno opadajuća.
tj. Postojala je kontradikcija. Stoga ima inverznu funkciju.

Neka je funkcija striktno rastuća. Dokažimo da je inverzna funkcija također striktno rastuća. Hajde da uvedemo notaciju:
. To jest, moramo dokazati da ako , Onda .

Pretpostavimo suprotno. Neka, ali.

Ako onda . Ovaj slučaj je izašao.

Neka bude . Zatim, zbog strogog povećanja funkcije , , ili . Postojala je kontradikcija. Dakle, moguć je samo slučaj.

Lema je dokazana za striktno rastuću funkciju. Ova lema se može dokazati na sličan način za striktno opadajuću funkciju.

Dokaz svojstva simetrije grafova direktnih i inverznih funkcija

Neka je proizvoljna tačka grafa direktne funkcije:
(2.1) .
Pokažimo da tačka , simetrična tački A u odnosu na pravu, pripada grafu inverzne funkcije:
.
Iz definicije inverzne funkcije slijedi da
(2.2) .
Dakle, moramo pokazati (2.2).

Grafikon inverzne funkcije y = f -1(x) je simetričan grafu direktne funkcije y = f (x) u odnosu na pravu liniju y = x .

Iz tačaka A i S ispuštamo okomite na koordinatne ose. Onda
, .

Kroz tačku A povlačimo pravu okomitu na pravu. Neka se prave seku u tački C. Konstruiramo tačku S na liniji tako da . Tada će tačka S biti simetrična tački A u odnosu na pravu liniju.

Razmotrimo trouglove i . Imaju dvije strane jednake po dužini: i , i jednake kutove između njih: . Stoga su kongruentni. Onda
.

Razmotrimo trougao. Od tada
.
Isto važi i za trougao:
.
Onda
.

Sada nalazimo:
;
.

Dakle, jednačina (2.2):
(2.2)
je zadovoljen jer , i (2.1) je zadovoljen:
(2.1) .

Pošto smo tačku A odabrali proizvoljno, ovo se odnosi na sve tačke grafa:
sve tačke grafa funkcije, reflektovane simetrično u odnosu na pravu liniju, pripadaju grafu inverzne funkcije.
Onda možemo da zamenimo mesta. Kao rezultat, dobijamo
sve tačke grafa funkcije, reflektovane simetrično oko prave, pripadaju grafu funkcije.
Iz toga slijedi da su grafovi funkcija i simetrični u odnosu na pravu liniju.

Imovina je dokazana.

Dokaz teoreme o postojanju i kontinuitetu inverzne funkcije na intervalu

Let označava domenu definicije funkcije - segment .

1. Pokažimo da je skup vrijednosti funkcije interval:
,
gdje .

Zaista, budući da je funkcija kontinuirana na intervalu , tada, prema Weierstrassovom teoremu, ona na njemu dostiže svoj minimum i maksimum. Zatim, prema Bolzano-Cauchy teoremi, funkcija preuzima sve vrijednosti iz segmenta. To jest, za bilo koji postoji , za koji . Pošto postoje minimum i maksimum, funkcija preuzima samo vrijednosti segmenta iz skupa.

2. Kako je funkcija strogo monotona, onda prema gore navedenom postoji inverzna funkcija, koja je također strogo monotona (raste ako raste, a opada ako opada). Domen inverzne funkcije je skup, a skup vrijednosti je skup.

3. Sada dokazujemo da je inverzna funkcija kontinuirana.

3.1. Neka postoji proizvoljna unutrašnja tačka segmenta : . Dokažimo da je inverzna funkcija kontinuirana u ovoj tački.

Neka odgovara tački. Pošto je inverzna funkcija striktno monotona, odnosno unutrašnja tačka segmenta:
.
Prema definiciji kontinuiteta, moramo dokazati da za bilo koji postoji funkcija takva da
(3.1) za sve .

Imajte na umu da možemo uzeti proizvoljno male. Zaista, ako smo pronašli funkciju takvu da su nejednakosti (3.1) zadovoljene za dovoljno male vrijednosti od , tada će one automatski biti zadovoljene za sve velike vrijednosti od , ako postavimo za .

Uzmimo to tako malo da tačke i pripadaju segmentu:
.
Hajde da uvedemo i uredimo notaciju:



.

Transformišemo prvu nejednačinu (3.1):
(3.1) za sve .
;
;
;
(3.2) .
Pošto je striktno monotona, to slijedi
(3.3.1) , ako se povećava;
(3.3.2) ako se smanji.
Kako je i inverzna funkcija striktno monotona, nejednakosti (3.3) impliciraju nejednakosti (3.2).

Za bilo koje ε > 0 postoji δ, pa |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε za sve |y - y 0 | < δ .

Nejednakosti (3.3) definiraju otvoreni interval čiji su krajevi odvojeni od točke udaljenostima i . Neka postoji najmanja od ovih udaljenosti:
.
Zbog stroge monotonosti , , . Zbog toga . Tada će interval ležati u intervalu definisanom nejednačinama (3.3). I za sve vrijednosti koje joj pripadaju, nejednakosti (3.2) će biti zadovoljene.

Dakle, našli smo da za dovoljno male , postoji , Tako da
u .
Sada promijenimo notaciju.
Za dovoljno male , postoji takav da
u .
To znači da je inverzna funkcija kontinuirana u unutrašnjim tačkama.

3.2. Sada razmotrite krajeve domena definicije. Ovdje svi argumenti ostaju isti. Potrebno je uzeti u obzir samo jednostrano susjedstvo ovih tačaka. Umjesto tačke bit će ili , a umjesto tačke - ili .

Dakle, za rastuću funkciju , .
u .
Inverzna funkcija je kontinuirana na , jer za bilo koji dovoljno mali postoji , Tako da
u .

Za opadajuću funkciju , .
Inverzna funkcija je kontinuirana na , jer za bilo koji dovoljno mali postoji , Tako da
u .
Inverzna funkcija je kontinuirana na , jer za bilo koji dovoljno mali postoji , Tako da
u .

Teorema je dokazana.

Dokaz teoreme o postojanju i kontinuitetu inverzne funkcije na intervalu

Let označava domen funkcije - otvoreni interval. Neka je skup njegovih vrijednosti. Prema gore navedenom, postoji inverzna funkcija koja ima domenu definicije, skup vrijednosti i strogo je monotona (povećava se ako se povećava i smanjuje ako se smanjuje). Ostaje nam da to dokažemo
1) skup je otvoreni interval , i to
2) na njemu je inverzna funkcija kontinuirana.
Evo.

1. Pokažimo da je skup vrijednosti funkcije otvoreni interval:
.

Kao i svaki neprazan skup čiji elementi imaju operaciju poređenja, skup vrijednosti funkcije ima donju i gornju granicu:
.
Ovdje i mogu biti konačni brojevi ili simboli i .

1.1. Pokažimo da tačke i ne pripadaju skupu vrijednosti funkcije. To jest, skup vrijednosti ne može biti segment.

Ako ili jeste tačka u beskonačnost: ili , tada takva tačka nije element skupa. Stoga ne može pripadati skupu vrijednosti.

Neka je (ili ) konačan broj. Pretpostavimo suprotno. Neka tačka (ili ) pripada skupu vrijednosti funkcije. Odnosno, postoji takav za koji (ili ). Uzmite bodove i zadovoljite nejednakosti:
.
Pošto je funkcija striktno monotona, onda
, ako se f povećava;
ako se f smanjuje.
To jest, pronašli smo tačku u kojoj je vrijednost funkcije manja (veća od ). Ali to je u suprotnosti s definicijom donjeg (gornjeg) lica, prema kojoj
za sve .
Dakle, tačke i ne mogu pripadati skupu vrijednosti funkcije.

1.2. Sada pokažimo da je skup vrijednosti interval, a ne unija intervala i tačaka. To jest, za bilo koju točku postoji , za koju .

Prema definicijama donje i gornje granice, bilo koje susjedstvo tačaka i sadrži barem jedan element skupa . neka bude - proizvoljan broj, koji pripada intervalu : . Onda za komšiluk postoji za koji
.
Za komšiluk postoji za koji
.

Od i , onda . Onda
(4.1.1) ako se povećava;
(4.1.2) ako se smanji.
Nejednakosti (4.1) je lako dokazati kontradikcijom. Ali možete koristiti , prema kojem postoji inverzna funkcija na skupu, koja se striktno povećava ako se povećava i striktno smanjuje ako se smanjuje. Tada odmah dobijamo nejednakosti (4.1).

Dakle, imamo segment gdje ako raste;
ako se smanji.
Na krajevima segmenta, funkcija uzima vrijednosti i . Budući da , onda po Bolzano - Cauchy teoremi , postoji točka za koju .

Budući da , Tako smo pokazali da za bilo koji postoji , Za koje . To znači da je skup vrijednosti funkcije otvoren interval.

2. Pokažimo sada da je inverzna funkcija kontinuirana u proizvoljnoj tački intervala : . Da biste to učinili, primijeniti na segment. Budući da je , tada je inverzna funkcija kontinuirana na intervalu , uključujući u točki .

Teorema je dokazana.

Reference:
O.I. Demoni. Predavanja iz matematičke analize. Dio 1. Moskva, 2004.
CM. Nikolsky. Pa matematička analiza. Tom 1. Moskva, 1983.

Vidi također:

Šta je inverzna funkcija? Kako pronaći funkciju inverznu datoj?

Definicija .

Neka je funkcija y=f(x) definirana na skupu D, a E skup njenih vrijednosti. Inverzna funkcija u odnosu na funkcija y=f(x) je funkcija x=g(y), koja je definirana na skupu E i svakom y∈E dodjeljuje takvu vrijednost x∈D da je f(x)=y.

Dakle, domena funkcije y=f(x) je domena inverzne funkcije, a domena y=f(x) je domena inverzne funkcije.

Da bi se pronašla funkcija inverzna datoj funkciji y=f(x), potrebno je :

1) U formuli funkcije, umjesto y, zamijenite x, umjesto x - y:

2) Iz rezultirajuće jednakosti izraziti y u terminima x:

Naći inverznu funkciju funkciji y=2x-6.

Funkcije y=2x-6 i y=0,5x+3 su međusobno inverzne.

Grafovi direktnih i inverznih funkcija su simetrični u odnosu na direktnu liniju y=x(simetrale I i III koordinatnih četvrti).

y=2x-6 i y=0,5x+3 - . Graf linearne funkcije je . Da bismo nacrtali pravu liniju, uzimamo dvije tačke.

Moguće je jedinstveno izraziti y u terminima x kada jednačina x=f(y) ima jedinstveno rješenje. To se može učiniti ako funkcija y=f(x) uzima svaku od svojih vrijednosti u jednoj tački svoje domene definicije (takva se funkcija naziva reverzibilan).

Teorema (neophodna i dovoljno stanje reverzibilnost funkcije)

Ako je funkcija y=f(x) definirana i kontinuirana na numeričkom intervalu, tada je za inverzibilnu funkciju potrebno i dovoljno da f(x) bude striktno monotona.

Štaviše, ako se y=f(x) povećava na intervalu, tada se funkcija inverzna njoj također povećava na ovom intervalu; ako je y=f(x) opadajuća, tada je inverzna funkcija također opadajuća.

Ako uslov reverzibilnosti nije zadovoljen u cijeloj domeni definicije, može se izdvojiti interval u kojem funkcija samo raste ili samo opada, i na tom intervalu pronaći funkciju inverznu datoj.

Klasičan primjer je . Između $

Kako je ova funkcija opadajuća i kontinuirana na intervalu $X$, onda je na intervalu $Y=$, koji je također opadajući i kontinuiran na ovom intervalu (Teorema 1).

Izračunaj $x$:

\ \

Odaberite odgovarajući $x$:

odgovor: inverzna funkcija $y=-\sqrt(x)$.

Problemi za pronalaženje inverznih funkcija

U ovom dijelu ćemo razmotriti inverzne funkcije za neke elementarne funkcije. Zadaci će se rješavati prema gore navedenoj šemi.

Primjer 2

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x+4$

Pronađite $x$ iz jednačine $y=x+4$:

Primjer 3

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x^3$

Odluka.

Kako je funkcija rastuća i kontinuirana na cijeloj domeni definicije, onda, prema teoremi 1, ima inverznu kontinuiranu i rastuću funkciju na sebi.

Pronađite $x$ iz jednačine $y=x^3$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Vrijednost je u našem slučaju prikladna (budući da su opseg svi brojevi)

Redefiniranjem varijabli dobijamo da inverzna funkcija ima oblik

Primjer 4

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=cosx$ na intervalu $$

Odluka.

Razmotrimo funkciju $y=cosx$ na skupu $X=\left$. On je kontinuiran i opadajući na skupu $X$ i preslikava skup $X=\left$ na skup $Y=[-1,1]$, dakle, prema teoremi o postojanju inverznog kontinuiranog monotonska funkcija funkcija $y=cosx$ u skupu $Y$ ima inverznu funkciju, koja je također kontinuirana i raste u skupu $Y=[-1,1]$ i mapira skup $[-1,1]$ u skup $\left$ .

Pronađite $x$ iz jednačine $y=cosx$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Redefiniranjem varijabli dobijamo da inverzna funkcija ima oblik

Primjer 5

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=tgx$ na intervalu $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Odluka.

Razmotrimo funkciju $y=tgx$ na skupu $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. On je kontinuiran i raste na skupu $X$ i preslikava skup $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ na skup $Y =R$, dakle, prema teoremi o postojanju inverzne kontinuirane monotone funkcije, funkcija $y=tgx$ u skupu $Y$ ima inverznu funkciju, koja je također kontinuirana i raste u skupu $Y=R $ i preslikava skup $R$ na skup $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Pronađite $x$ iz jednačine $y=tgx$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Redefiniranjem varijabli dobijamo da inverzna funkcija ima oblik

Ciljevi lekcije:

edukativni:

• formirati znanja o novoj temi u skladu sa programskim materijalom;
• proučavati svojstvo invertibilnosti funkcije i naučiti kako pronaći funkciju inverznu datoj;

u razvoju:

• razviti vještine samokontrole, predmetni govor;
• savladati koncept inverzne funkcije i naučiti metode pronalaženja inverzne funkcije;

Obrazovni: formirati komunikativnu kompetenciju.

Oprema: kompjuter, projektor, platno, SMART Board interaktivna tabla, materijal ( samostalan rad) za grupni rad.

Tokom nastave.

1. Organizacioni momenat.

Target – priprema učenika za rad u nastavi:

Definicija odsutnog,

Odnos učenika prema radu, organizacija pažnje;

Poruka o temi i svrsi lekcije.

2. Ažuriranje osnovnih znanja učenika. front poll.

Cilj - utvrditi ispravnost i svijest o proučavanom teorijskom gradivu, ponavljanje obrađenog gradiva.<Приложение 1 >

Grafikon funkcije prikazan je na interaktivnoj tabli za učenike. Nastavnik formuliše zadatak - razmotriti graf funkcije i navesti proučavana svojstva funkcije. Studenti navode svojstva funkcije prema projektu istraživanja. Nastavnik, desno od grafikona funkcije, zapisuje imenovana svojstva markerom na interaktivnoj tabli.

Svojstva funkcije:

Na kraju učenja, nastavnik izvještava da će se danas na času upoznati sa još jednim svojstvom funkcije - reverzibilnošću. Za sadržajno proučavanje novog gradiva, nastavnik poziva djecu da se upoznaju sa glavnim pitanjima na koja učenici moraju odgovoriti na kraju časa. Pitanja su napisana na običnoj tabli i svaki učenik ima materijal (podijeljen prije časa)

1. Šta je reverzibilna funkcija?
2. Je li svaka funkcija reverzibilna?
3. Koja je inverzna data funkcija?
4. Kako su povezani domen definicije i skup vrijednosti funkcije i njene inverzne funkcije?
5. Ako je funkcija data analitički, kako definirati inverznu funkciju s formulom?
6. Ako je funkcija data grafički, kako nacrtati njenu inverznu funkciju?

3. Objašnjenje novog materijala.

Target - formiranje znanja o novoj temi u skladu sa programskim materijalom; proučavati svojstvo invertibilnosti funkcije i naučiti kako pronaći funkciju inverznu datoj; razvijati predmet.

Nastavnik izvodi prezentaciju gradiva u skladu sa materijalom iz stava. Na interaktivnoj tabli nastavnik upoređuje grafove dviju funkcija čiji su domeni definicije i skupovi vrijednosti isti, ali je jedna funkcija monotona, a druga nije, čime učenike dovodi pod koncept invertibilne funkcije. .



Nastavnik zatim formuliše definiciju inverzibilne funkcije i izvodi dokaz teoreme o invertibilnoj funkciji koristeći graf monotone funkcije na interaktivnoj tabli.

Definicija 1: Poziva se funkcija y=f(x), x X reverzibilan, ako uzme bilo koju od svojih vrijednosti samo u jednoj tački skupa X.

Teorema: Ako je funkcija y=f(x) monotona na skupu X, onda je inverzibilna.

dokaz:

1. Neka funkcija y=f(x) povećava za X pusti to x 1 ≠ x 2- dva poena seta X.
2. Za određenost, neka x 1< x 2.
   Od čega onda x 1< x 2 sledi to f(x 1) < f(x 2).
3. Dakle, različite vrijednosti argumenta odgovaraju različitim vrijednostima funkcije, tj. funkcija je reverzibilna.



(Tokom dokazivanja teoreme nastavnik markerom daje sva potrebna objašnjenja na crtežu)

Prije nego što formuliše definiciju inverzne funkcije, nastavnik traži od učenika da odrede koja je od predloženih funkcija reverzibilna? Interaktivna tabla prikazuje grafove funkcija i ispisuje nekoliko analitički definisanih funkcija:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Nastavnik uvodi definiciju inverzne funkcije.

Definicija 2: Neka je invertibilna funkcija y=f(x) definisano na setu X i E(f)=Y. Uparimo svaki y od Y onda jedino značenje X, pri čemu f(x)=y. Tada dobijamo funkciju koja je definirana na Y, a X je opseg funkcije

Ova funkcija je označena x=f -1 (y) i zove se inverzna funkcija y=f(x).

Učenici se podstiču da izvuku zaključak o odnosu između domene definicije i skupa vrijednosti inverznih funkcija.

Da bi razmotrio pitanje kako pronaći inverznu funkciju datog, nastavnik je uključio dva učenika. Dan ranije djeca su od učitelja dobila zadatak da samostalno analiziraju analitičke i grafičke metode za pronalaženje inverzne zadate funkcije. Nastavnik je bio konsultant u pripremi učenika za čas.

Poruka prvog učenika.

Napomena: monotonost funkcije je dovoljno uslov za postojanje inverzne funkcije. Ali to nije neophodno stanje.

Student je naveo primjere različitih situacija kada funkcija nije monotona, već reverzibilna, kada funkcija nije monotona i nije reverzibilna, kada je monotona i reverzibilna



Zatim učenik upoznaje studente sa metodom pronalaženja inverzne funkcije zadane analitički.

Algoritam za pronalaženje

1. Provjerite je li funkcija monotona.
2. Izrazite x u terminima y.
3. Preimenujte varijable. Umjesto x \u003d f -1 (y) pišu y = f -1 (x)

Zatim rješava dva primjera za pronalaženje funkcije inverzne od datog.

Primjer 1: Pokazati da postoji inverzna funkcija za funkciju y=5x-3 i pronaći njen analitički izraz.

Odluka. Linearna funkcija y=5x-3 je definiran na R, raste na R, a njegov raspon je R. Dakle, inverzna funkcija postoji na R. Da bismo pronašli njen analitički izraz, rješavamo jednačinu y=5x-3 u odnosu na x; dobijamo Ovo je željena inverzna funkcija. Definiše se i povećava za R.

Primjer 2: Pokazati da postoji inverzna funkcija za funkciju y=x 2 , x≤0 i pronaći njen analitički izraz.



Funkcija je neprekidna, monotona u svom domenu definicije, stoga je invertibilna. Nakon analize domena definicije i skupa vrijednosti funkcije, dolazi se do odgovarajućeg zaključka o analitičkom izrazu za inverznu funkciju.

Drugi učenik pravi prezentaciju o grafički kako pronaći inverznu funkciju. U toku svog objašnjenja učenik koristi mogućnosti interaktivne table.

Da biste dobili grafik funkcije y=f -1 (x), inverzan funkciji y=f(x), potrebno je transformirati graf funkcije y=f(x) simetrično u odnosu na pravu liniju y=x.

Tokom objašnjenja na interaktivnoj tabli izvodi se sljedeći zadatak:

Konstruirajte graf funkcije i graf njene inverzne funkcije u istom koordinatnom sistemu. Zapišite analitički izraz za inverznu funkciju.

4. Primarna fiksacija novog materijala.

Cilj - utvrditi ispravnost i svijest o razumijevanju proučavanog gradiva, uočiti nedostatke u primarnom razumijevanju gradiva, ispraviti ih.

Učenici su podijeljeni u parove. Daju im se listovi sa zadacima u kojima rade u parovima. Vrijeme za završetak radova je ograničeno (5-7 minuta). Jedan par učenika radi na računaru, projektor je za ovo vrijeme isključen, a ostala djeca ne mogu vidjeti kako učenici rade na računaru.

Na kraju vremena (pretpostavlja se da je većina učenika završila rad), interaktivna tabla (projektor se ponovo uključuje) prikazuje rad učenika, pri čemu se tokom testa pojašnjava da je zadatak obavljen u parovi. Po potrebi nastavnik vrši korektivni, objašnjavajući rad.

Samostalni rad u parovima<Aneks 2 >

5. Rezultat lekcije. Na pitanja koja su postavljena prije predavanja. Objava ocjena za čas.

Domaći zadatak §10. №№ 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra i počeci analize. 10. razred U 2 dijela za obrazovne ustanove (profilni nivo) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova i drugi; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007