Ova tema se u početku može činiti komplikovanom zbog mnogih ne tako jednostavnih formula. Ne samo da kvadratne jednadžbe imaju duge unose, već se korijeni nalaze i preko diskriminanta. Ukupno postoje tri nove formule. Nije lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja ovakvih jednačina. Tada će se sve formule pamtiti same.

Opšti pogled na kvadratnu jednačinu

Ovdje se predlaže njihova eksplicitna notacija, kada se prvo zapisuje najveći stepen, a zatim - u opadajućem redoslijedu. Često postoje situacije kada se termini razlikuju. Tada je bolje prepisati jednačinu u opadajućem redosledu stepena varijable.

Hajde da uvedemo notaciju. Oni su predstavljeni u tabeli ispod.

Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe se svode na sljedeću notaciju.

Štaviše, koeficijent a ≠ 0. Neka ova formula bude označena brojem jedan.

Kada se da jednačina, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer jedna od tri opcije je uvijek moguća:

rješenje će imati dva korijena;
odgovor će biti jedan broj;
Jednačina uopće nema korijen.

I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u konkretnom slučaju.

Vrste zapisa kvadratnih jednačina

Zadaci mogu imati različite unose. One neće uvijek izgledati kao opća formula kvadratne jednačine. Ponekad će mu nedostajati neki termini. Ono što je gore napisano je kompletna jednačina. Ako izbacite drugi ili treći termin u njemu, dobijate nešto drugo. Ovi zapisi se nazivaju i kvadratne jednačine, samo nepotpune.

Štaviše, mogu nestati samo pojmovi za koje koeficijenti "b" i "c". Broj "a" ne može biti jednak nuli ni pod kojim okolnostima. Jer u ovom slučaju formula postaje linearna jednačina. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi će biti sljedeće:

Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.

Diskriminant i ovisnost broja korijena o njegovoj vrijednosti

Ovaj broj mora biti poznat da bi se izračunali korijeni jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednačine. Da biste izračunali diskriminanta, trebate koristiti jednakost napisanu ispod, koja će imati broj četiri.

Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve sa različiti znakovi. Ako je odgovor da, onda će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. Sa negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednako nuli, odgovor će biti jedan.

Kako se rješava kompletna kvadratna jednačina?

Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminant. Nakon što se razjasni da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, potrebno je koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, onda morate primijeniti takvu formulu.

Pošto sadrži znak „±“, biće dve vrednosti. Potpisani izraz kvadratni korijen je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.

Formula pet. Iz istog zapisa se može vidjeti da ako je diskriminanta nula, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.

Ako odluka kvadratne jednačine još nije razrađeno, bolje je zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.

Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednačina?

Ovdje je sve mnogo jednostavnije. Čak i nema potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati one koje su već napisane za diskriminatorno i nepoznato.

Prvo, razmotrimo nepotpunu jednačinu broj dva. U ovoj jednakosti treba izvući nepoznatu količinu iz zagrada i riješiti linearnu jednačinu koja će ostati u zagradi. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobija rješavanjem linearne jednadžbe.

Nepotpuna jednačina na broju tri rješava se prijenosom broja s lijeve strane jednačine na desnu. Zatim morate podijeliti sa koeficijentom ispred nepoznatog. Ostaje samo izdvojiti kvadratni korijen i ne zaboravite ga dvaput zapisati sa suprotnim predznacima.

Slijede neke radnje koje vam pomažu da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Oni će pomoći učeniku da izbjegne greške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su slabih ocjena pri izučavanju opsežne teme „Kvadrične jednadžbe (8. razred)“. Nakon toga, ove radnje neće biti potrebno stalno izvoditi. Jer će postojati stabilna navika.

Prvo trebate napisati jednačinu u standardnom obliku. Odnosno, prvo termin sa najvećim stepenom varijable, a zatim - bez stepena i poslednji - samo broj.

Ako se minus pojavi ispred koeficijenta "a", onda to može zakomplicirati posao početniku u proučavanju kvadratnih jednadžbi. Bolje je da ga se otarasimo. U tu svrhu, sve jednakosti se moraju pomnožiti sa "-1". To znači da će svi pojmovi promijeniti predznak u suprotan.

Na isti način se preporučuje da se riješite frakcija. Jednostavno pomnožite jednačinu odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.

Primjeri

Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.

Nakon zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.

Prvi korijen poprima vrijednost: x 1 \u003d 0. Drugi će se naći iz linearne jednadžbe: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.

Druga jednadžba: 5x2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se to rješava kao što je opisano za treću formulu.

Nakon što prenesete 30 na desnu stranu jednačine: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti sa 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i ispod, rješenje kvadratnih jednadžbi će započeti njihovim prepisivanjem u standardni pogled: - x 2 - 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme da iskoristimo drugi koristan savjet i pomnožite sve sa minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, morate izračunati diskriminanta: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. To predstavlja pozitivan broj. Iz onoga što je gore rečeno, ispada da jednačina ima dva korijena. Treba ih izračunati prema petoj formuli. Prema tome, ispada da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x = 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 = 0. Njen diskriminant je jednak ovoj vrijednosti: -23. Pošto je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak će biti sljedeći unos: "Nema korijena."

Petu jednačinu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminanta, dobija se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, i to: x = -12 / (2 * 1) = -6.

Šesta jednačina (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da morate donijeti slične članove prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon što se prebroje slični članovi, jednačina će dobiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Slično je već smatrano malo višim. Korijeni ovoga će biti brojevi 0 i 1.

Nastavljamo da proučavamo temu rješenje jednačina". Već smo se upoznali sa linearnim jednačinama, a sada ćemo se upoznati sa kvadratne jednačine.

Prvo ćemo analizirati šta je kvadratna jednačina, kako je napisana opšti pogled, i dati povezane definicije. Nakon toga, koristeći primjere, detaljno ćemo analizirati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Pređimo na rješenje. potpune jednačine, dobijamo formulu korijena, upoznajemo se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmatramo rješenja tipičnih primjera. Na kraju, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Šta je kvadratna jednačina? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti šta je kvadratna jednačina. Stoga je logično da se o kvadratnim jednačinama započne s definicijom kvadratne jednačine, kao i definicijama koje se s njom odnose. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: redukovane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a se razlikuje od nule.

Recimo odmah da se kvadratne jednačine često nazivaju jednačinama drugog stepena. To je zato što je kvadratna jednačina algebarska jednačina drugi stepen.

Zvučna definicija nam omogućava da damo primjere kvadratnih jednačina. Dakle, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a , b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 +b x + c=0, a koeficijent a se naziva prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b je drugi koeficijent, ili koeficijent na x, a c je slobodni član.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu oblika 5 x 2 −2 x−3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je −2, a slobodni član je −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo datom primjeru, onda kratke forme zapisivanje kvadratne jednačine oblika 5 x 2 −2 x−3=0 , a ne 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Vrijedi napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, tada oni obično nisu eksplicitno prisutni u zapisu kvadratne jednadžbe, što je zbog posebnosti zapisa takvog . Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0, vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent na y je −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

U zavisnosti od vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se redukovane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Dajemo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 redukovana kvadratna jednačina. Inače, kvadratna jednačina je nesmanjen.

Prema ovu definiciju, kvadratne jednačine x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, itd. - smanjen, u svakom od njih je prvi koeficijent jednak jedan. I 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe čiji su vodeći koeficijenti različiti od 1.

Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem oba njena dijela vodećim koeficijentom, možete prijeći na redukovanu. Ova akcija je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobijena redukovana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao i originalna nereducirana kvadratna jednadžba, ili, poput nje, nema korijena.

Uzmimo primjer kako se izvodi prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe u redukovanu.

Primjer.

Iz jednačine 3 x 2 +12 x−7=0 idite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednačinu.

Rješenje.

Dovoljno je da izvršimo podjelu oba dijela izvorne jednadžbe vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, pa možemo izvršiti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto kao (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, i tako dalje (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , odakle . Tako smo dobili redukovanu kvadratnu jednačinu, koja je ekvivalentna originalnoj.

odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

U definiciji kvadratne jednačine postoji uslov a≠0. Ovaj uslov je neophodan da bi jednačina a x 2 +b x+c=0 bila tačno kvadratna, pošto sa a=0 zapravo postaje linearna jednačina oblika b x+c=0 .

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, kako odvojeno tako i zajedno. U ovim slučajevima, kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednačina a x 2 +b x+c=0 se zove nepotpuna, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Zauzvrat

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Ova imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz sljedeće rasprave.

Ako je koeficijent b jednak nuli, tada kvadratna jednačina ima oblik a x 2 +0 x+c=0 i ekvivalentna je jednačini a x 2 +c=0. Ako je c=0, odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +b x+0=0, onda se može prepisati kao a x 2 +b x=0. A sa b=0 i c=0 dobijamo kvadratnu jednačinu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednadžbe se razlikuju od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ili oboje. Otuda i njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednačine x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednačina, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz informacija iz prethodnog stava proizilazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

a x 2 =0, njemu odgovaraju koeficijenti b=0 i c=0;
a x 2 +c=0 kada je b=0;
i a x 2 +b x=0 kada je c=0 .

Analizirajmo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svakog od ovih tipova.

a x 2 \u003d 0

Počnimo sa rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno sa jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednačina a x 2 =0 je ekvivalentna jednačini x 2 =0, koja se dobija iz originala dijeljenjem oba dijela sa brojem a koji nije nula. Očigledno je da je korijen jednadžbe x 2 = 0 nula, budući da je 0 2 = 0. Ova jednadžba nema druge korijene, što je objašnjeno, zaista, za bilo koji broj p različit od nule, postoji nejednakost p 2 >0, što implicira da za p≠0, jednakost p 2 =0 nikada nije postignuta.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 = 0 ima jedan korijen x \u003d 0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4·x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0, njen jedini korijen je x = 0, stoga izvorna jednadžba također ima jednu korijensku nulu.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se izdati na sljedeći način:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sada razmotrite kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b jednak nuli, a c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da prenošenje člana s jedne strane jednačine na drugu sa suprotnim predznakom, kao i podjela obje strane jednačine brojem različitom od nule, daju ekvivalentnu jednačinu. Stoga se mogu izvesti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

pomjeriti c na desnu stranu, što daje jednačinu a x 2 =−c,
i podijeliti oba njegova dijela po a , dobivamo .

Rezultirajuća jednačina nam omogućava da izvučemo zaključke o njenim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, onda ) ili pozitivna, (na primjer, ako je a=−2 i c=6 , tada ), nije jednako nuli , jer po uslovu c≠0 . Zasebno ćemo analizirati slučajeve i .

Ako , tada jednadžba nema korijena. Ova izjava slijedi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , Tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , onda je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se prisjetimo, tada korijen jednadžbe odmah postaje očigledan, to je broj, pošto. Lako je pogoditi da je broj također korijen jednadžbe , zaista, . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može prikazati, na primjer, kontradikcijom. Hajde da to uradimo.

Označimo upravo naglašene korijene jednačine kao x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednačina ima još jedan korijen x 2 različit od navedenih korijena x 1 i −x 1 . Poznato je da zamjena u jednadžbu umjesto x njenih korijena pretvara jednačinu u pravu numeričku jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo , a za x 2 imamo . Svojstva numeričkih jednakosti nam omogućavaju da izvodimo oduzimanje po članu pravih brojčanih jednakosti, tako da oduzimanjem odgovarajućih dijelova jednakosti dobijemo x 1 2 − x 2 2 =0. Svojstva operacija sa brojevima nam omogućavaju da prepišemo rezultujuću jednakost kao (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Znamo da je proizvod dva broja jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz dobijene jednakosti slijedi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0 , što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 = −x 1 . Tako smo došli do kontradikcije, pošto smo na početku rekli da je korijen jednačine x 2 različit od x 1 i −x 1 . Ovo dokazuje da jednadžba nema druge korijene osim i .

Hajde da sumiramo informacije u ovom paragrafu. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi , koja

nema korijena ako ,
ima dva korijena i ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0 .

Počnimo s kvadratnom jednačinom 9 x 2 +7=0. Nakon prenošenja slobodnog člana na desnu stranu jednačine, on će poprimiti oblik 9·x 2 =−7. Dijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa 9 , dolazimo do . S obzirom da se na desnoj strani dobija negativan broj, ova jednadžba nema korijena, stoga originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7=0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednačinu −x 2 +9=0. Prenosimo devet na desnu stranu: -x 2 = -9. Sada podijelimo oba dijela sa −1, dobićemo x 2 =9. Desna strana sadrži pozitivan broj, iz čega zaključujemo da je ili . Nakon što zapišemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednačina −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje da se pozabavimo rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0 . Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 +b x=0 vam omogućavaju da riješite metoda faktorizacije. Očigledno možemo, smješteni na lijevoj strani jednačine, za što je dovoljno uzeti zajednički faktor x iz zagrada. Ovo nam omogućava da pređemo sa originalne nepotpune kvadratne jednačine na ekvivalentnu jednačinu oblika x·(a·x+b)=0. A ova jednačina je ekvivalentna skupu dvije jednačine x=0 i a x+b=0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednačina a x 2 +b x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.

Primjer.

Riješite jednačinu.

Rješenje.

Izvlačimo x iz zagrada, ovo daje jednačinu. To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Rješavamo rezultirajuću linearnu jednačinu: , i nakon dijeljenja mješovitog broja običnim razlomkom, nalazimo . Stoga su korijeni originalne jednadžbe x=0 i .

Nakon što ste dobili potrebnu praksu, rješenja ovakvih jednačina mogu se ukratko napisati:

odgovor:

x=0 , .

Diskriminant, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Hajde da zapišemo formula korijena kvadratne jednadžbe: , gdje D=b 2 −4 a c- takozvani diskriminanta kvadratne jednačine. Notacija u suštini znači da .

Korisno je znati kako je dobijena formula korijena i kako se primjenjuje u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Hajde da se pozabavimo ovim.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednačinu a·x 2 +b·x+c=0 . Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:

Možemo podijeliti oba dijela ove jednadžbe brojem različitom od nule a, kao rezultat dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu.
Sad odaberite cijeli kvadrat na njegovoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednačina će poprimiti oblik.
U ovoj fazi moguće je izvršiti prijenos posljednja dva člana na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
I transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednačine , koja je ekvivalentna originalnoj kvadratnoj jednačini a·x 2 +b·x+c=0 .

Jednadžbe slične forme već smo rješavali u prethodnim paragrafima kada smo analizirali . To nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

ako je , tada jednačina nema realnih rješenja;
ako , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojeg je vidljiv njen jedini korijen;
ako , onda ili , što je isto kao ili , To jest, jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisustvo ili odsustvo korijena jednadžbe, a time i originalne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza je određen predznakom brojilaca, pošto je imenilac 4 a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznak izraza b 2 −4 a c . Ovaj izraz b 2 −4 a c se zove diskriminanta kvadratne jednačine i označeno slovom D. Odavde je suština diskriminanta jasna - po njegovoj vrijednosti i predznaku se zaključuje da li kvadratna jednačina ima realne korijene, i ako ima, koji je njihov broj - jedan ili dva.

Vraćamo se na jednadžbu , prepisujemo je koristeći notaciju diskriminanta: . I zaključujemo:

ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ako je D=0, onda ova jednadžba ima jedan korijen;
konačno, ako je D>0, tada jednadžba ima dva korijena ili , koji se može prepisati u obliku ili , a nakon proširenja i svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, dobivamo .

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, izgledaju kao , gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D=b 2 −4 a c .

Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminanta jednaka nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena koja odgovara jedinom rješenju kvadratne jednadžbe. A s negativnim diskriminantom, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočavamo se s izvlačenjem kvadratnog korijena iz negativnog broja, što nas vodi dalje od i školski program. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par kompleksni konjugat korijene, koji se mogu naći korištenjem istih korijenskih formula koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena, pomoću koje možete izračunati njihove vrijednosti. Ali ovo je više o pronalaženju složenih korijena.

Međutim, u školskom kursu algebre obično ne govorimo o kompleksnim, već o realnim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju, preporučljivo je prvo pronaći diskriminanta prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, uvjeriti se da nije negativan (inače možemo zaključiti da jednačina nema realnih korijena), a nakon toga izračunaj vrijednosti korijena.

Gornje rezonovanje nam omogućava da pišemo algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe. Da biste riješili kvadratnu jednadžbu a x 2 + b x + c = 0, trebate:

koristeći diskriminantnu formulu D=b 2 −4 a c izračunati njegovu vrijednost;
zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravi korijen ako je diskriminanta negativna;
izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu ako je D=0 ;
pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminanta pozitivna.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminant jednak nuli, formula se također može koristiti, ona će dati istu vrijednost kao .

Možete prijeći na primjere primjene algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Razmotrimo rješenja tri kvadratne jednadžbe sa pozitivnim, negativnim i nultim diskriminantom. Nakon što smo se pozabavili njihovim rješenjem, po analogiji će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednačinu. Počnimo.

Primjer.

Naći korijene jednačine x 2 +2 x−6=0 .

Rješenje.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednačine: a=1, b=2 i c=−6. Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminanta, za to zamjenjujemo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Pošto je 28>0, odnosno diskriminanta veća od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Nađimo ih po formuli korijena , dobivamo , ovdje možemo pojednostaviti izraze dobivene tako što ćemo rastavljajući predznak korijena nakon čega slijedi smanjenje frakcije:

odgovor:

Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Rješenje.

Počinjemo od pronalaženja diskriminanta: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

odgovor:

x=3,5 .

Ostaje da razmotrimo rješenje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednačinu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Rješenje.

Evo koeficijenata kvadratne jednačine: a=5, b=6 i c=2. Zamjenom ovih vrijednosti u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema realne korijene.

Ako treba da navedete složeni koreni, zatim primjenjujemo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo akcije sa kompleksni brojevi :

odgovor:

nema pravih korena, kompleksni koreni su: .

Još jednom napominjemo da ako je diskriminanta kvadratne jednadžbe negativna, onda škola obično odmah zapiše odgovor, u kojem ukazuju da nema pravih korijena, i da ne nalaze kompleksne korijene.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje D=b 2 −4 ac vam omogućava da dobijete kompaktniju formulu koja vam omogućava da rješavate kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom na x (ili jednostavno s koeficijentom koji izgleda kao 2 n , na primjer, ili 14 ln5=2 7 ln5 ). Hajde da je izvedemo.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednačinu oblika a x 2 +2 n x + c=0 . Pronađimo njegove korijene koristeći nam poznatu formulu. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminanta D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo korijen formulu:

Označimo izraz n 2 − a c kao D 1 (ponekad se označava D"). Tada formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom 2 n poprima oblik , gdje je D 1 =n 2 −a c .

Lako je vidjeti da je D=4·D 1 , ili D 1 =D/4 . Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je predznak D 1 isti kao i znak D . Odnosno, znak D 1 je takođe indikator prisustva ili odsustva korena kvadratne jednačine.

Dakle, da biste riješili kvadratnu jednačinu sa drugim koeficijentom 2 n, trebate

Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ako je D 1 =0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu;
Ako je D 1 >0, pronađite dva realna korijena koristeći formulu.

Razmotrimo rješenje primjera koristeći formulu korijena dobivenu u ovom paragrafu.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednačinu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Rješenje.

Drugi koeficijent ove jednačine može se predstaviti kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati originalnu kvadratnu jednačinu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ovdje a=5 , n=−3 i c=−32 , i izračunati četvrti dio diskriminatorno: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Pošto je njena vrijednost pozitivna, jednačina ima dva realna korijena. Pronalazimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju bi se moralo obaviti više računskog rada.

odgovor:

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što se upustimo u izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi postaviti pitanje: „Da li je moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe“? Slažemo se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednačinu 11 x 2 −4 x −6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Obično se pojednostavljenje oblika kvadratne jednačine postiže množenjem ili dijeljenjem obje strane s nekim brojem. Na primjer, u prethodnom pasusu uspjeli smo postići pojednostavljenje jednačine 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100 .

Slična transformacija se provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju, oba dijela jednadžbe se obično dijele apsolutnim vrijednostima njenih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dijeljenjem obje strane originalne kvadratne jednačine sa 6 dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednačine 2 x 2 −7 x+8=0.

A množenje oba dijela kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se vrši na nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se oba dijela kvadratne jednadžbe pomnože sa LCM(6, 3, 1)=6, tada će poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4 x−18=0.

U zaključku ovog paragrafa, napominjemo da se skoro uvijek riješite minusa na najvećem koeficijentu kvadratne jednačine promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) oba dijela sa −1. Na primjer, obično iz kvadratne jednačine −2·x 2 −3·x+7=0 idemo na rješenje 2·x 2 +3·x−7=0 .

Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe u smislu njenih koeficijenata. Na osnovu formule korijena, možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i primjenjive formule iz Vietine teoreme su oblika i . Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a proizvod korijena je slobodni član. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x+22=0, možete odmah reći da je zbir njenih korijena 7/3, a proizvod korijena 22/3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe u smislu njenih koeficijenata: .

Bibliografija.

algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za učenike obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kvadratne jednadžbe. Opće informacije.

IN kvadratna jednačina u kvadratu mora biti x (zato se zove

"kvadrat"). Pored toga, u jednačini može postojati (ili ne mora biti!) samo x (do prvog stepena) i

samo broj (besplatni član). I ne bi trebalo biti x u stepenu većem od dva.

Algebarska jednadžba opšti pogled.

gdje x je slobodna varijabla, a, b, c su koeficijenti, i a≠0 .

Na primjer:

Izraz pozvao kvadratni trinom.

Elementi kvadratne jednadžbe imaju svoja imena:

koji se naziva prvi ili viši koeficijent,

se zove drugi ili koeficijent na ,

se naziva slobodnim članom.

Potpuna kvadratna jednadžba.

Ove kvadratne jednadžbe imaju cijeli skup pojmova na lijevoj strani. x na kvadrat

koeficijent ali, x na prvi stepen sa koeficijentom b I besplatno članod. IN svi koeficijenti

mora biti različit od nule.

Nepotpuno je kvadratna jednadžba u kojoj je barem jedan od koeficijenata, osim za

senior (ili drugi koeficijent ili slobodni termin) jednak je nuli.

Pretvarajmo se to b\u003d 0, - x će nestati u prvom stepenu. Ispada, na primjer:

2x 2 -6x=0,

itd. A ako oba koeficijenta b I c jednaki su nuli, onda je još jednostavnije, na primjer:

2x 2 = 0,

Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.

Zašto ali ne može biti nula? Tada x na kvadrat nestaje i jednačina postaje linearno .

I to se radi drugačije...

Rješavanje jednadžbi metodom "transfer".

Razmotrimo kvadratnu jednačinu

ax 2 + bx + c \u003d 0, gdje je a? 0.

Pomnožeći oba njegova dijela sa a, dobijamo jednačinu

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Neka je ax = y, odakle je x = y/a; onda dolazimo do jednačine

y 2 + by + ac = 0,

ekvivalentno ovom. Njegove korijene na 1 i na 2 nalazimo pomoću Vietine teoreme.

Konačno dobijamo x 1 = y 1 /a i x 1 = y 2 /a. Kod ove metode koeficijent a se množi slobodnim terminom, kao da se na njega „prenosi“, pa se naziva „transfer“ metoda. Ova metoda se koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe koristeći Vietin teorem i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

* Primjer.

Rješavamo jednačinu 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Rješenje. "Prebacimo" koeficijent 2 u slobodni član, kao rezultat dobijamo jednačinu

y 2 - 11y + 30 = 0.

Prema Vietinoj teoremi

y 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5

y 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Odgovor: 2,5; 3.

Svojstva koeficijenata kvadratne jednačine

ALI. Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0, gdje je a? 0.

1) Ako je a + b + c \u003d 0 (tj. zbroj koeficijenata je nula), tada je x 1 = 1,

Dokaz. Podijeliti obje strane jednačine sa a? 0, dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu

x 2 + b/a * x + c/a = 0.

Prema Vietinoj teoremi

x 1 + x 2 \u003d - b / a,

x 1 x 2 = 1*c/a.

Po uslovu a - b + c = 0, odakle je b = a + c. Na ovaj način,

x 1 + x 2 \u003d - a + b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 \u003d - 1 * (- c / a),

one. x 1 = -1 i x 2 = c / a, što je m trebalo dokazati.

* Primjeri.
1) Rešimo jednačinu 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Rješenje. Budući da je a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), onda

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Odgovor: 1; -208/345.

2) Riješite jednačinu 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Rješenje. Budući da je a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), onda

x 1 = 1, x 2 = c / a = 115/132.

Odgovor: 1; 115/132.

B. Ako je drugi koeficijent b = 2k paran broj, onda je formula korijena

* Primjer.

Rešimo jednačinu 3x2 - 14x + 16 = 0.

Rješenje. Imamo: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

Video lekcija 2: Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Predavanje: Kvadratne jednadžbe

Jednačina

Jednačina- ovo je vrsta jednakosti, u čijim se izrazima nalazi varijabla.

riješi jednačinu- znači pronaći takav broj umjesto varijable koja će ga dovesti do tačne jednakosti.

Jednačina može imati jedno rješenje, nekoliko rješenja ili nijedno rješenje.

Da biste riješili bilo koju jednačinu, trebalo bi je što je više moguće pojednostaviti do oblika:

linearno: a*x = b;

Kvadrat: a*x 2 + b*x + c = 0.

Odnosno, svaka jednačina prije rješavanja mora se pretvoriti u standardni oblik.

Bilo koja jednačina se može riješiti na dva načina: analitički i grafički.

Na grafu se rješenjem jednačine smatraju tačke u kojima graf siječe x-osu.

Kvadratne jednadžbe

Jednadžba se može nazvati kvadratnom ako, kada se pojednostavi, ima oblik:

a*x 2 + b*x + c = 0.

Gde a, b, c su koeficijenti jednačine koji se razlikuju od nule. ALI "X"- korijen jednačine. Vjeruje se da kvadratna jednadžba ima dva korijena ili da uopće nema rješenje. Rezultirajući korijeni mogu biti isti.

"ali"- koeficijent koji stoji ispred korijena u kvadratu.

"b"- stoji pred nepoznatim u prvom stepenu.

"od"- slobodni član jednačine.

Ako, na primjer, imamo jednačinu oblika:

2x 2 -5x+3=0

U njemu je "2" koeficijent na najvišem članu jednačine, "-5" je drugi koeficijent, a "3" je slobodni član.

Rješavanje kvadratne jednadžbe

Postoji mnogo načina za rješavanje kvadratne jednačine. Međutim, u školskom predmetu matematike rješenje se proučava korištenjem Vietine teoreme, kao i korištenjem diskriminanta.

Diskriminantno rješenje:

Prilikom rješavanja sa ovu metodu potrebno je izračunati diskriminanta prema formuli:

Ako tokom izračunavanja dobijete da je diskriminanta manja od nule, to znači da zadata jednačina nema rješenja.

Ako je diskriminanta nula, onda jednačina ima dva identična rješenja. U ovom slučaju, polinom se može skupiti prema skraćenoj formuli množenja u kvadrat zbira ili razlike. Zatim ga riješite kao linearnu jednačinu. Ili koristite formulu:

Ako je diskriminanta veća od nule, tada se mora koristiti sljedeća metoda:

Vietin teorem

Ako je jednadžba redukovana, odnosno koeficijent na najvišem članu jednak jedan, onda možete koristiti Vietin teorem.

Dakle, recimo da je jednadžba:

Korijeni jednadžbe se nalaze na sljedeći način:

Nepotpuna kvadratna jednadžba

Postoji nekoliko opcija za dobijanje nepotpune kvadratne jednačine, čiji oblik zavisi od prisustva koeficijenata.

1. Ako su drugi i treći koeficijent jednaki nuli (b=0, c=0), tada će kvadratna jednadžba izgledati ovako:

Ova jednačina će imati jedinstveno rješenje. Jednakost će biti istinita samo ako je rješenje jednadžbe nula.