18-19. oktobar 2010
Tema: "ZAKONI ARITHMETIČKIH AKCIJA"
Cilj: upoznati učenike sa zakonima aritmetičkih operacija.
Ciljevi lekcije:
na konkretnim primjerima otkriti komutativne i asocijativne zakone sabiranja i množenja, naučiti ih primjenjivati pri uprošćavanju izraza;
formirati sposobnost pojednostavljivanja izraza;
rad na razvoju logičkog mišljenja i govora djece;
negovati samostalnost, radoznalost, interesovanje za predmet.
UUD: sposobnost djelovanja sa znakovno-simboličkim simbolima,
mogućnost izbora osnova, kriterijuma za poređenje, poređenje, vrednovanje i klasifikaciju objekata.
Oprema: udžbenik, TOO, prezentacija
Rice. 30 Fig. 31
Koristeći sliku 30, objasnite zašto je ta jednakost tačna
a + b = b + a.
Ova jednakost izražava dobro poznato svojstvo sabiranja. Pokušajte zapamtiti koji.
Provjerite sami:
Iznos se ne mijenja promjenom mjesta uslova
Ova nekretnina je komutativni zakon sabiranja.
Koja se jednakost može napisati na slici 31? Koje svojstvo sabiranja izražava ovu jednakost?
Testirajte se.
Iz slike 31 slijedi da je (a + b) + c = a + (b + c): ako se trećem članu doda zbir dva člana, onda će se dobiti isti broj kao i zbrojem drugog i trećeg člana prvom članu.
Umjesto (a + b) + c, baš kao | umjesto a + (b + c), možete jednostavno napisati a + b + c.
Ova nekretnina je asocijativni zakon sabiranja.
U matematici su zakoni aritmetičkih operacija zapisani kao u | | verbalnom obliku, a u obliku jednakosti pomoću slova:
Objasnite kako, koristeći zakone sabiranja, možete pojednostaviti sljedeće proračune i izvesti ih:
212.
a) 48 + 56 + 52; e) 25 + 65 + 75;
b) 34 + 17 + 83; f) 35 + 17 + 65 + 33;
c) 56 + 24 + 38 + 62; g) 27 + 123 + 16 + 234;
d) 88 + 19 + 21 + 12; h) 156 + 79 + 21 + 44.
213. Koristeći sliku 32, objasnite zašto je ta jednakost tačna ab = b ali.
Jeste li pogodili koji zakon ilustruje ovu jednakost? Može li se to tvrditi
Važe li isti zakoni za množenje kao i za sabiranje? Pokušajte ih formulirati
a onda se testiraj:
Koristeći zakon množenja, usmeno izračunajte vrijednosti sljedećih izraza:
214. a) 76 5 2; c) 69 125 8; e) 8 941 125; B C
b) 465 25 4; d) 4 213 5 5; f) 2 5 126 4 25.
215. Pronađite površinu pravougaonika A B C D(Sl. 33) na dva načina.
216. Koristeći sliku 34, objasnite zašto je tačna jednačina: a(b + c) = ab + ac.
Rice. 34 Koje svojstvo aritmetičkih operacija izražava?
Testirajte se. Ova jednakost ilustruje sljedeće svojstvo: kada množite broj sa zbrojem, ovaj broj možete pomnožiti sa svakim članom i sabrati rezultate.
Ovo svojstvo se može formulisati na drugi način: zbir dva ili više proizvoda koji sadrže isti faktor može se zamijeniti umnoškom ovog faktora i zbirom ostalih faktora.
Ovo svojstvo je još jedan zakon aritmetičkih operacija - distributivni. Kao što vidite, verbalna formulacija ovog zakona je veoma glomazna, a matematički jezik je sredstvo koje ga čini sažetim i razumljivim:
Razmislite kako da usmeno izvršite proračune u zadacima br. 217 - 220 i uradite ih.
217. a) 15 13; b) 26 22; c) 34 12; d) 27 21.
218. a) 44 52; b) 16 42; c) 35 33; d) 36 26.
219. a) 43 16 + 43 84; e) 62 16 + 38 16;
b) 85 47 + 53 85; f) 85 44 + 44 15;
c) 54 60 + 460 6. g) 240 710 + 7100 76;
d) 23 320 + 230 68; h) 38 5800 + 380 520.
220. a) 4 63 + 4 79 + 142 6; c) 17 27 + 23 17 + 50 19;
b) 7 125 + 3 62 + 63 3; d) 38 46 + 62 46 + 100 54.
221. Nacrtaj u svoju bilježnicu da dokažeš jednakost. ali ( b - c) = a b - as
222. Izračunajte usmeno primjenom distributivnog zakona: a) 6 28; b) 18 21; c) 17 63; d) 19 98.
223. Izračunajte usmeno: a) 34 84 - 24 84; c) 51 78 - 51 58;
b) 45 40 - 40 25; d) 63 7 – 7 33
224 Izračunajte: a) 560 188 - 880 56; c) 490 730 - 73 900;
b) 84 670 - 640 67; d) 36 3400 - 360 140.
Izračunajte usmeno koristeći tehnike koje su vam poznate:
225. a) 13 5 + 71 5; c) 87 5 - 23 5; e) 43 25 + 25 17;
b) 58 5 - 36 5; d) 48 5 + 54 5; f) 25 67 - 39 25.
226. Bez izvođenja proračuna, uporedite vrijednosti izraza:
a) 258 (764 + 548) i 258 764 + 258 545; c) 532 (618 – 436) i 532 618 –532 436;
b) 751 (339 + 564) i 751 340 + 751 564; d) 496 (862 - 715) i 496 860 - 496 715.
227.
Popunite tabelu:
Da li ste morali da izvršite bilo kakve kalkulacije da biste popunili drugi red?
228. Kako će se ovaj proizvod promijeniti ako se faktori promijene na sljedeći način:
229. Zapišite koji se prirodni brojevi nalaze na koordinatnoj zraci:
a) lijevo od broja 7; c) između brojeva 2895 i 2901;
b) između brojeva 128 i 132; d) desno od broja 487, ali lijevo od broja 493.
230. Ubacite znakove akcije da dobijete tačnu jednakost: a) 40 + 15? 17 = 72; c) 40? 15 ? 17 = 8;
b) 40? 15 ? 17 = 42; d) 120? 60? 60 = 0.
231 . Jedna kutija sadrži plave čarape, a druga kutija sadrži bijele čarape. Plavih čarapa ima 20 pari više nego bijelih, a u dvije kutije ima samo 84 lare čarapa. Koliko pari čarapa svake boje?
232 . U prodavnici se nalaze tri vrste žitarica: heljda, biserni ječam i pirinač, ukupno 580 kg. Kada bi se prodalo 44 kg heljde, 18 kg ječma i 29 kg pirinča, tada bi masa žitarica svih vrsta postala ista. Koliko kilograma svake vrste žitarica je dostupno u prodavnici.
Svrha: provjeriti formiranje vještina za izvođenje proračuna pomoću formula; upoznati djecu sa komutativnim, asocijativnim i distributivnim zakonima aritmetičkih operacija.
- uvesti doslovnu notaciju zakona sabiranja i množenja; naučiti kako primijeniti zakone aritmetičkih operacija za pojednostavljenje računanja i literalnih izraza;
- razvijati logičko razmišljanje, mentalne sposobnosti, voljne navike, matematički govor, pamćenje, pažnja, interesovanje za matematiku, praktičnost;
- neguju poštovanje jedni prema drugima, osećaj drugarstva, poverenja.
Vrsta lekcije: kombinovana.
- provjeru prethodno stečenog znanja;
- priprema učenika za učenje novog gradiva
- prezentacija novog materijala;
- percepcija i svijest učenika o novom gradivu;
- primarna konsolidacija proučenog materijala;
- sumiranje lekcije i postavljanje domaće zadaće.
Oprema: kompjuter, projektor, prezentacija.
Plan:
1. Organizacioni momenat.
2. Provjera prethodno proučenog materijala.
3. Učenje novog gradiva.
4. Primarna provera savladanosti znanja (rad sa udžbenikom).
5. Kontrola i samoprovjera znanja (samostalni rad).
6. Sumiranje lekcije.
7. Refleksija.
Tokom nastave
1. Organizacioni momenat
Učitelj: Dobar dan, djeco! Počinjemo našu lekciju pjesmom - riječi za rastanak. Obratite pažnju na ekran. (1 slajd). Aneks 2 .
Matematika, prijatelji,
Apsolutno svima treba.
Naporno radite na času
I uspjeh vas čeka!
2. Ponavljanje gradiva
Pogledajmo šta smo naučili. Pozivam učenika na ekran. Zadatak: pomoću pokazivača povežite napisanu formulu sa njenim imenom i odgovorite na pitanje šta se još može pronaći pomoću ove formule. (2 slajda).
Otvorite sveske, potpišite broj, razredni rad. Obratite pažnju na ekran. (3. slajd).
Na sljedećem slajdu radimo usmeno. (5 slajdova).
12 + 5 + 8 25 10 250 – 50 200 – 170 30 + 15 45: 3 15 + 30 45 – 17 28 25 4
Zadatak: pronaći značenje izraza. (Jedan učenik radi za ekranom.)
- Koje ste zanimljivosti uočili rješavajući primjere? Na koje primjere treba obratiti posebnu pažnju? (Odgovori djece.)
Problemska situacija
Iz kojih osobina sabiranja i množenja znate osnovna škola? Možete li ih zapisati koristeći doslovne izraze? (Odgovori djece).
3. Učenje novog gradiva
- I tako, tema današnje lekcije je "Zakoni aritmetičkih operacija" (6 slajdova).
- Zapišite temu lekcije u svoju svesku.
Koje nove stvari treba da naučimo na lekciji? (Zajedno sa decom formulišu se ciljevi časa).
- Pogledaj ekran. (7 slajdova).
Vidite zakone sabiranja napisane u doslovnom obliku i primjerima. (Analiza primjera).
– Sljedeći slajd (8 slajdova).
Razumijevanje zakona množenja.
- Hajde da se sada upoznamo sa veoma važnim distributivnim zakonom (9 slajdova).
- Sumiraj. (10 slajdova).
Zašto trebate znati zakone aritmetike? Da li će biti od koristi u daljim studijama, u proučavanju kojih predmeta? (Odgovori djece.)
- Zapišite pravila u svoju svesku.
4. Učvršćivanje materijala
- Otvorite udžbenik i usmeno pronađite broj 212 (a, b, e).
br. 212 (c,d,g,h) pismeno na tabli i u sveskama. (Ispitivanje).
– Usmeno radimo na broju 214.
– Izvršavamo zadatak broj 215. Kojim zakonom se rješava ovaj broj? (Odgovori djece).
- Zapišite odgovor na karticu i uporedite svoje rezultate sa svojim kolegom. A sada pažnja na ekran. (11 slajd).(Provjera samostalnog rada).
6. Sažetak lekcije
- Pažnja na ekran. (12 slajdova). Završi rečenicu.
Ocjene na nastavi.
7. Domaći
§13, broj 227, 229.
8. Refleksija
Tema broj 1.
Realni brojevi.Numerički izrazi. Pretvaranje numeričkih izraza
I. Teorijski materijal
Osnovni koncepti
· Integers
· Decimalni zapis brojevi
Suprotni brojevi
· Cijeli brojevi
・Obični razlomak
Racionalni brojevi
Beskonačna decimala
Period broja, periodični razlomak
iracionalni brojevi
· Realni brojevi
· Aritmetičke operacije
Numerički izraz
Vrijednost izraza
Pretvaranje decimale u običan razlomak
Pretvaranje običnog razlomka u decimalu
Pretvaranje periodičnog razlomka u običan razlomak
Zakoni aritmetičkih operacija
Znakovi djeljivosti
Brojevi koji se koriste prilikom brojanja objekata ili za označavanje serijskog broja objekta među homogenim objektima nazivaju se prirodno. Bilo koji prirodni broj može se napisati sa deset brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ova notacija se zove decimalni.
Na primjer: 24; 3711; 40125.
Skup prirodnih brojeva se obično označava N.
Pozivaju se dva broja koja se razlikuju samo po predznaku suprotno brojevi.
Na primjer, brojevi 7 i - 7.
Prirodni brojevi, njihove suprotnosti i broj nula čine skup cijeli Z.
Na primjer: – 37; 0; 2541.
Broj obrasca, gdje m- cijeli broj, n- prirodni broj se zove običan broj pucao. Imajte na umu da se svaki prirodni broj može predstaviti kao razlomak sa nazivnikom 1.
Na primjer: , .
Unija skupova cijelih i razlomanih brojeva (pozitivnih i negativnih) čini skup racionalno brojevi. Obično se pominje Q.
Na primjer: ; – 17,55; .
Neka je zadan decimalni razlomak. Njegova vrijednost se neće promijeniti ako je bilo koji broj nula dodijeljen desno.
Na primjer: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .
Takva decimala se naziva beskonačna decimala.
Svaki obični razlomak se može predstaviti kao beskonačna decimala.
Poziva se grupa cifara koja se uzastopno ponavlja iza decimalnog zareza u unosu broja period, a beskonačni decimalni razlomak koji ima takav period u svojoj notaciji naziva se periodični. Radi kratkoće, uobičajeno je da se tačka piše jednom, stavljajući je u zagrade.
Na primjer: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).
2,73000… = 2,73(0).
Zovu se beskonačni decimalni razlomci koji se ne ponavljaju iracionalno brojevi.
Unija skupova racionalnih i ir racionalni brojevičini mnoge validan brojevi. Obično se pominje R.
Na primjer: ; 0,(23); 41,3574…
Broj 
je iracionalan.
Za sve brojeve definisane su akcije tri koraka:
Radnje koraka I: sabiranje i oduzimanje;
Radnje koraka II: množenje i dijeljenje;
Radnje koraka III: eksponencijacija i ekstrakcija korijena.
Izraz sastavljen od brojeva, aritmetičkih znakova i zagrada se naziva numerički.
Na primjer: 
; .
Poziva se broj dobijen kao rezultat izvođenja radnji vrijednost izraza.
Numerički izraz nema smisla ako sadrži dijeljenje sa nulom.
Kada se pronađe vrijednost izraza, akcije III faze, II faze i na kraju akcije I faze se izvode uzastopno. U ovom slučaju potrebno je voditi računa o postavljanju zagrada u numeričkom izrazu.
Transformacija numeričkog izraza sastoji se u sekvencijalnom izvršavanju aritmetičkih operacija nad brojevima koji su u njemu uključeni koristeći odgovarajuća pravila (pravilo za sabiranje običnih razlomaka s različitim nazivnicima, množenje decimalnih razlomaka itd.). Zadaci za pretvaranje numeričkih izraza u nastavna sredstva nalaze se u sljedećim formulacijama: “Pronađi vrijednost numeričkog izraza”, “Pojednostavi numerički izraz”, “Izračunaj” itd.
Prilikom pronalaženja vrijednosti nekih numeričkih izraza, morate izvršiti radnje s razlomcima različite vrste: obični, decimalni, periodični. U ovom slučaju, možda će biti potrebno pretvoriti obični razlomak u decimalni ili izvršiti suprotnu radnju - zamijeniti periodični razlomak običnim.
Skrenuti decimalni na običan, dovoljno je u brojiocu razlomka napisati broj iza decimalnog zareza, a u nazivniku jedan sa nulama, a nula treba biti onoliko koliko je cifara desno od decimalnog zareza.
Na primjer: ; .
Skrenuti obični razlomak u decimalni, potrebno je njegov brojilac podijeliti sa nazivnikom prema pravilu dijeljenja decimalnog razlomka cijelim brojem.
Na primjer: 
;
;
.
Skrenuti periodični razlomak u obični razlomak, potrebno:
1) od broja pre druge trećine oduzmite broj pre prve trećine;
2) ovu razliku zapisati kao brojilac;
3) u imenilac upiši broj 9 onoliko puta koliko ima cifara u periodu;
4) dodati onoliko nula u nazivnik koliko ima cifara između decimalnog zareza i prve tačke.
Na primjer: 
; 
.
Zakoni aritmetičkih operacija na realni brojevi
1. displaceable(komutativni) zakon sabiranja: vrijednost sume se ne mijenja preuređivanjem članova:
2. displaceable(komutativni) zakon množenja: vrijednost proizvoda se ne mijenja preraspoređivanjem faktora:
3. Asocijativno(asocijativni) zakon sabiranja: vrijednost zbroja se neće promijeniti ako se bilo koja grupa pojmova zamijeni njihovim zbirom:
4. Asocijativno(asocijativni) zakon množenja: vrijednost proizvoda se neće promijeniti ako se bilo koja grupa faktora zamijeni njihovim proizvodom:
.
5. distribucija(distributivni) zakon množenja u odnosu na sabiranje: da biste zbroj pomnožili brojem, dovoljno je svaki član pomnožiti ovim brojem i dodati dobijene proizvode:
Svojstva 6 - 10 nazivaju se zakonima apsorpcije 0 i 1.
Znakovi djeljivosti
Svojstva koja omogućavaju u nekim slučajevima, bez dijeljenja, da se utvrdi da li je jedan broj djeljiv drugim, nazivaju se znakove djeljivosti.
Znak djeljivosti sa 2. Broj je djeljiv sa 2 ako i samo ako se zapis broja završava na čak broj. To jest, 0, 2, 4, 6, 8.
Na primjer: 12834; –2538; 39,42.
Znak djeljivosti sa 3. Broj je djeljiv sa 3 ako i samo ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3.
Na primjer: 2742; –17940.
Deljivost sa 4 znaka. Broj sa najmanje tri cifre djeljiv je sa 4 ako i samo ako je dvocifreni broj koji čine posljednje dvije cifre datog broja djeljiv sa 4.
Na primjer: 15436; –372516.
Znak djeljivosti sa 5. Broj je djeljiv sa 5 ako i samo ako je njegova posljednja znamenka 0 ili 5.
Na primjer: 754570; –4125.
Znak djeljivosti sa 9. Broj je djeljiv sa 9 ako i samo ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.
Na primjer: 846; –76455.
U budućnosti, kada proučavamo radnje na brojeve, predstavljene brojevima ili slovima (nije važno), morat ćemo se u mnogim zaključcima oslanjati na zakone radnji koje su proučavane u aritmetici. Zbog važnosti ovih zakona, oni se nazivaju osnovnim zakonima akcije.
Podsjetimo ih.
1. Komutativni zakon sabiranja.
Suma se ne mijenja promjenom redoslijeda termina.
Ovaj zakon je već napisan u § 1 u obliku jednakosti:
gdje su a i bilo koji brojevi.
Iz aritmetike je poznato da je komutativni zakon tačan za zbir bilo kojeg broja članova.
2. Kombinacijski zakon sabiranja.
Zbir nekoliko članova neće se promijeniti ako se bilo koja grupa susjednih članova zamijeni njihovim zbirom.
Za zbir tri člana imamo:
Na primjer, zbir se može izračunati na dva načina:
Asocijativni zakon važi za bilo koji broj pojmova.
Dakle, u zbiru četiri člana, susjedni pojmovi se mogu proizvoljno kombinirati u grupe i ovi pojmovi se mogu zamijeniti njihovim zbirom:
Na primjer, dobit ćemo isti broj 16, bez obzira kako grupiramo susjedne pojmove:
Komutativni i asocijativni zakoni se često koriste u mentalnim proračunima, slažući brojeve tako da ih je lakše sabrati u umu.
Zamenivši poslednja dva člana, dobijamo:
Postavljanje brojeva tim redoslijedom bilo je mnogo lakše.
Obično se pojmovi u novom poretku ne prepisuju, već se pomiču u umu: mentalno preuređujući 67 i I, odmah dodaju 89 i 11, a zatim dodaju 67.
Da biste lakše sabrali ove brojeve u mislima, promijenite redoslijed pojmova na sljedeći način:
Koristeći zakon kombinacije, zadnja dva člana stavljamo u zagrade:
Dodavanje brojeva u zagradama je jednostavno, dobijamo:
3. Komutativni zakon množenja.
Proizvod se ne mijenja promjenom redoslijeda faktora:
gdje su brojevi.
Iz aritmetike je poznato da je komutativni zakon tačan za proizvod bilo kojeg broja faktora.
4. Asocijativni zakon množenja.
Proizvod nekoliko faktora neće se promijeniti ako se bilo koja grupa susjednih faktora zamijeni njihovim proizvodom.
Za proizvod tri faktora imamo:
Na primjer, proizvod tri faktora 5-3-4 može se izračunati na sljedeći način:
Za proizvod četiri faktora imamo:
Na primjer, isti broj 20 će se dobiti s bilo kojim grupiranjem susjednih faktora:
Upotreba komutativnih i asocijativnih zakona množenja često uvelike pojednostavljuje proračune.
Množenje 25 sa 37 nije lako. Pomerimo poslednja dva faktora:
Sada se množenje može lako obaviti u umu.