Uputstvo

Naučite kako pretvoriti decimale u razlomke. Izbrojite koliko je znakova odvojeno zarezom. Jedna cifra desno od decimalnog zareza znači da je nazivnik 10, dvije cifre su 100, tri su 1000, itd. Na primjer, decimalni 6,8 kao "šest zarez osam". Kada ga pretvarate, prvo napišite broj cijelih jedinica - 6. U nazivnik upišite 10. U brojniku će biti broj 8. Ispada da je 6,8 \u003d 6 8/10. Zapamtite pravila skraćenica. Ako su brojnik i nazivnik djeljivi istim brojem, tada se razlomak može smanjiti za zajednički djelitelj. U ovom slučaju, taj broj je 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Pokušajte dodati decimale. Ako ovo radite u koloni, budite oprezni. Cifre svih brojeva moraju biti strogo jedna ispod druge - ispod zareza. Pravila za sabiranje su potpuno ista kao i za operaciju sa . Dodajte istom broju 6,8 još jedan decimalni razlomak - na primjer, 7,3. Napišite trojku ispod osmice, zarez ispod zareza i sedam ispod šestice. Počnite sa dodavanjem od posljednje cifre. 3+8=11, odnosno zapišite 1, zapamtite 1. Zatim dodajte 6 + 7, dobijete 13. Dodajte ono što vam je ostalo na umu i zapišite rezultat - 14.1.

Oduzimanje se vrši na isti način. Upišite cifre jednu ispod druge, zarez - ispod zareza. Uvijek se fokusirajte na to, posebno ako je broj cifara iza njega u smanjenom broju manji nego u oduzetom. Oduzmite od datog broja, na primjer, 2,139. Napišite dva ispod šestice, jedan ispod osmice, preostala dva broja ispod sljedećih cifara, koje možemo označiti nulama. Ispostavilo se da minus nije 6.8, već 6.800. Nakon završetka ove akcije, dobit ćete ukupno 4.661.

Operacije s negativnim decimalima izvode se na isti način kao i s cijelim brojevima. Prilikom sabiranja minus se izvlači iz zagrade, a dati brojevi se upisuju u zagrade, a između njih se stavlja plus. Rezultat je negativan broj. Odnosno, dodavanjem -6,8 i -7,3 dobit ćete isti rezultat od 14,1, ali sa "-" ispred njega. Ako je oduzimanje veći od minusa, onda se i minus izvlači iz zagrade, iz više manji se oduzima. Oduzmi -7,3 od 6,8. Transformirajte izraz na sljedeći način. 6,8 - 7,3 \u003d - (7,3 - 6,8) \u003d -0,5.

Za množenje decimala, zaboravite na zarez na neko vrijeme. Pomnožite ih kao da su cijeli brojevi. Nakon toga izbrojite broj cifara desno iza decimalnog zareza u oba faktora. Odvojite isti broj likova u djelu. Množenjem 6,8 i 7,3 dobijete 49,64. Odnosno, desno od zareza imat ćete 2 cifre, dok je u množitelju i množitelju bilo po jedna.

Podijelite dati razlomak nekim cijelim brojem. Ova radnja se izvodi na isti način kao i kod cijelih brojeva. Glavna stvar je da ne zaboravite na zarez i stavite 0 na početak ako broj cijelih jedinica nije djeljiv djeliteljem. Na primjer, pokušajte podijeliti isto 6,8 sa 26. Stavite 0 na početak, jer je 6 manje od 26. Odvojite ga zarezom, desetine i stotinke će ići dalje. Rezultat će biti otprilike 0,26. Zapravo, u ovom slučaju se dobija beskonačan neperiodični razlomak, koji se može zaokružiti na željeni stepen tačnosti.

Prilikom dijeljenja dva decimalna razlomka koristite svojstvo da se pri množenju dividende i djelitelja istim brojem, količnik ne mijenja. To jest, pretvorite oba razlomka u cijele brojeve, ovisno o tome koliko decimalnih mjesta ima. Ako želite podijeliti 6,8 sa 7,3, dovoljno je da oba broja pomnožite sa 10. Ispada da trebate podijeliti 68 sa 73. Ako u jednom od brojeva ima više cifara iza decimalne zapete, prvo ga pretvorite u cijeli broj, a zatim drugi broj. Pomnožite ga istim brojem. Odnosno, kada podijelite 6,8 sa 4,136, povećajte dividendu i djelitelj ne za 10, već za 1000 puta. Deljenjem 6800 sa 1436 dobijate 4.735.

Uobičajeni razlomak (ili mješoviti broj) čiji je imenilac jedan iza kojeg slijedi jedna ili više nula (tj. 10, 100, 1000, itd.):

može se napisati u jednostavnijem obliku: bez nazivnika, odvajajući cijeli broj i razlomak jedan od drugog zarezom (u ovom slučaju se vjeruje da je cijeli broj pravilnog razlomka 0). Prvo se upisuje cijeli broj, zatim se stavlja zarez, a nakon njega upisuje se razlomak.:

Zovu se obični razlomci (ili mješoviti brojevi) napisani u ovom obliku decimale.

Čitanje i pisanje decimala

Decimalni razlomci se pišu po istim pravilima po kojima se prirodni brojevi zapisuju u decimalnom brojevnom sistemu. To znači da u decimalama, kao iu prirodnim brojevima, svaka cifra izražava jedinice koje su deset puta veće od susjednih jedinica s desne strane.

Razmotrite sljedeći unos:

Broj 8 označava jednostavne jedinice. Broj 3 označava jedinice koje su 10 puta manje od prostih jedinica, odnosno desetina. 4 znači stotinke, 2 znači hiljaditi, itd.

Pozivaju se brojevi desno iza decimalnog zareza decimalna mjesta.

Decimalni razlomci se čitaju na sljedeći način: prvo se poziva cijeli dio, a zatim razlomak. Prilikom čitanja cjelobrojnog dijela uvijek mora odgovoriti na pitanje: koliko cjelobrojnih jedinica ima u cijelom dijelu? . Odgovoru se dodaje riječ cjelina (ili cjelina), ovisno o broju cijelih jedinica. Na primjer, jedan cijeli broj, dva cijela broja, tri cijela broja itd. Prilikom čitanja razlomka naziva se broj udjela i na kraju se dodaju nazivi onih dionica kojima se završava razlomak:

3:1 glasi: tri boda jedna desetina.

2.017 glasi ovako: dva zareza sedamnaest hiljaditih.

Da biste bolje razumjeli pravila za pisanje i čitanje decimalnih razlomaka, razmotrite tablicu znamenki i primjere pisanja brojeva date u njoj:

Imajte na umu da nakon decimalnog zareza u decimalnom razlomku postoji onoliko znamenki koliko ima nula u nazivniku odgovarajućeg običnog razlomka:

Ovaj materijal ćemo posvetiti tako važnoj temi kao što su decimalni razlomci. Prvo, definirajmo osnovne definicije, damo primjere i zadržimo se na pravilima decimalnog zapisa, kao i na tome koje su znamenke decimalnih razlomaka. Zatim ističemo glavne vrste: konačni i beskonačni, periodični i neperiodični razlomci. U završnom dijelu ćemo pokazati kako se na koordinatnoj osi nalaze tačke koje odgovaraju razlomcima.

Šta je decimalni zapis za razlomke

Takozvani decimalni zapis za razlomke se može koristiti i za prirodne i za razlomke. Izgleda kao skup od dva ili više brojeva sa zarezom između njih.

Decimalna tačka se koristi za odvajanje celog dela od razlomka. Po pravilu, posljednja znamenka decimale nikada nije nula, osim ako je decimalni zarez odmah iza prve nule.

Koji su neki primjeri razlomaka u decimalnim zapisima? Može biti 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 itd.

U nekim udžbenicima možete pronaći upotrebu tačke umjesto zareza (5.67, 6789.1011, itd.) Ova opcija se smatra ekvivalentnom, ali je tipičnija za izvore na engleskom jeziku.

Definicija decimala

Na osnovu gornjeg koncepta decimalnog zapisa, možemo formulirati sljedeću definiciju decimalnih razlomaka:

Definicija 1

Decimale su razlomci u decimalnom zapisu.

Zašto trebamo pisati razlomke u ovom obliku? To nam daje neke prednosti u odnosu na obične, na primjer, kompaktniji zapis, posebno u slučajevima kada je nazivnik 1000, 100, 10, itd. ili mješoviti broj. Na primjer, umjesto 6 10 možemo specificirati 0 , 6 , umjesto 25 10000 - 0 , 0023 , umjesto 512 3 100 - 512 , 03 .

Kako pravilno predstaviti obične razlomke sa desetinama, stotinama, hiljadama u nazivniku u decimalnom obliku, biće opisano u posebnom materijalu.

Kako pravilno čitati decimale

Postoje neka pravila za čitanje decimala. Dakle, oni decimalni razlomci koji odgovaraju njihovim redovnim običnim ekvivalentima čitaju se gotovo isto, ali sa dodatkom riječi "nula desetih" na početku. Dakle, unos 0 , 14 , koji odgovara 14 100 , čita se kao "nulta tačka četrnaest stotinki".

Ako se decimalni razlomak može povezati s mješovitim brojem, onda se čita na isti način kao i ovaj broj. Dakle, ako imamo razlomak 56, 002, što odgovara 56 2 1000, takav unos čitamo kao "pedeset šest zareza dvije hiljaditinke."

Vrijednost cifre u decimalnom zapisu ovisi o tome gdje se nalazi (baš kao u slučaju prirodnih brojeva). Dakle, u decimalnom razlomku 0, 7, sedam je desetine, u 0, 0007 je deset hiljaditih, a u razlomku 70.000, 345 znači sedam desetina hiljada celih jedinica. Dakle, u decimalnim razlomcima postoji i koncept cifre broja.

Imena cifara koje se nalaze ispred zareza su slična onima koje postoje u prirodnim brojevima. Nazivi onih koji se nalaze iza su jasno predstavljeni u tabeli:

Uzmimo primjer.

Primjer 1

Imamo decimalni broj 43, 098. Ona ima četvorku na mjestu desetica, trojku na mjestu jedinica, nulu na desetom mjestu, 9 na stotom mjestu i 8 na hiljaditom mjestu.

Uobičajeno je razlikovati znamenke decimalnih razlomaka prema starešini. Ako se krećemo kroz brojeve s lijeva na desno, onda ćemo ići s visokih na niske cifre. Ispostavilo se da su stotine starije od desetina, a milioniti su mlađi od stotih. Ako uzmemo taj konačni decimalni razlomak, koji smo gore naveli kao primjer, onda će u njemu najviša, odnosno najviša, biti znamenka stotine, a najniža, ili najniža, biti cifra od 10 hiljaditih.

Bilo koji decimalni razlomak može se razložiti na zasebne znamenke, odnosno predstaviti kao zbir. Ova operacija se izvodi na isti način kao i za prirodne brojeve.

Primjer 2

Pokušajmo razlomak 56, 0455 proširiti na znamenke.

Moći ćemo:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Ako se prisjetimo svojstava sabiranja, ovaj razlomak možemo predstaviti u drugim oblicima, na primjer, kao zbir 56 + 0, 0455 ili 56, 0055 + 0, 4, itd.

Šta su zadnje decimale

Svi razlomci o kojima smo gore govorili su decimale na kraju. To znači da je broj cifara iza decimalnog zareza konačan. Hajde da dobijemo definiciju:

Definicija 1

Završne decimale su tip decimale koja ima konačan broj znamenki iza zareza.

Primjeri takvih razlomaka mogu biti 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49, itd.

Bilo koji od ovih razlomaka može se pretvoriti ili u mješoviti broj (ako je vrijednost njihovog razlomka različita od nule), ili u običan razlomak (ako je cijeli broj nula). Kako se to radi, posvetili smo poseban materijal. Istaknimo samo nekoliko primjera ovdje: na primjer, konačni decimalni razlomak 5 , 63 možemo dovesti u oblik 5 63 100 , a 0 , 2 odgovara 2 10 (ili bilo kojem drugom jednakom razlomku, na primjer, 4 20 ili 1 5 .)

Ali obrnuti proces, tj. pisanje običnog razlomka u decimalnom obliku ne može se uvijek izvesti. Dakle, 5 13 se ne može zamijeniti jednakim razlomkom sa nazivnikom 100, 10 itd., što znači da konačni decimalni razlomak neće uspjeti iz njega.

Glavne vrste beskonačnih decimalnih razlomaka: periodični i neperiodični razlomci

To smo gore naznačili konačnih razlomaka tako se nazivaju jer imaju konačan broj cifara iza decimalnog zareza. Međutim, može biti beskonačan, u kom slučaju će se i sami razlomci zvati beskonačnim.

Definicija 2

Beskonačne decimale su one koje imaju beskonačan broj cifara iza decimalnog zareza.

Očigledno je da se takvi brojevi jednostavno ne mogu napisati u potpunosti, pa naznačimo samo dio njih, a zatim stavimo tri tačke. Ovaj znak označava beskonačan nastavak niza decimalnih mjesta. Primjeri beskonačnih decimala bi bili 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152. itd.

U "repu" takvog razlomka mogu postojati ne samo naizgled nasumični nizovi brojeva, već i stalno ponavljanje istog znaka ili grupe znakova. Razlomci s izmjenom nakon decimalne točke nazivaju se periodični.

Definicija 3

Periodični decimalni razlomci su takvi beskonačni decimalni razlomci u kojima se jedna cifra ili grupa od nekoliko cifara ponavlja iza decimalnog zareza. Ponavljajući dio naziva se period razlomka.

Na primjer, za razlomak 3, 444444 ... . period će biti broj 4, a za 76, 134134134134 ... - grupa 134.

Šta minimalni iznos Da li je dozvoljeno ostavljati znakove u zapisu periodičnog razlomka? Za periodične razlomke bit će dovoljno cijeli period napisati jednom u zagradi. Dakle, razlomak je 3, 444444 ... . biće ispravno pisati kao 3, (4) i 76, 134134134134 ... - kao 76, (134) .

Općenito, unosi s više tačaka u zagradama imat će potpuno isto značenje: na primjer, periodični razlomak 0,677777 je isti kao 0,6 (7) i 0,6 (77), itd. Unosi poput 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) i drugi su također dozvoljeni.

Kako bismo izbjegli greške, uvodimo uniformnost notacije. Hajde da se dogovorimo da napišemo samo jednu tačku (najkraći mogući niz cifara), koja je najbliža decimalnoj zarezi, i stavimo je u zagrade.

Odnosno, za gornji razlomak ćemo unos 0, 6 (7) smatrati glavnim, a, na primjer, u slučaju razlomka 8, 9134343434, pisaćemo 8, 91 (34) .

Ako nazivnik običnog razlomka sadrži proste faktore koji nisu jednaki 5 i 2, onda će se, kada se pretvore u decimalni zapis, ispostaviti da su beskonačni razlomci.

U principu, bilo koji konačni razlomak možemo zapisati kao periodični. Da bismo to učinili, samo trebamo dodati beskonačan broj nula s desne strane. Kako to izgleda u zapisniku? Recimo da imamo konačni razlomak 45, 32. U periodičnom obliku, to će izgledati kao 45 , 32 (0) . Ova radnja je moguća jer dodavanje nula desno od bilo kojeg decimalnog razlomka daje nam kao rezultat jednak razlomak.

Odvojeno, treba se zadržati na periodičnim razlomcima s periodom od 9, na primjer, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Oni su alternativna oznaka za slične razlomke s periodom od 0, pa se često zamjenjuju kada se piše razlomcima s nultom tačkom. Istovremeno se na vrijednost sljedeće znamenke dodaje jedan, a (0) je naznačeno u zagradama. Jednakost rezultirajućih brojeva je lako provjeriti predstavljanjem ih kao obične razlomke.

Na primjer, razlomak 8, 31 (9) može se zamijeniti odgovarajućim razlomkom 8, 32 (0) . Ili 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Odnosi se na beskonačne decimalne periodične razlomke racionalni brojevi. Drugim riječima, svaki periodični razlomak se može predstaviti kao običan razlomak, i obrnuto.

Postoje i razlomci u kojima nema niza koji se beskonačno ponavlja iza decimalnog zareza. U ovom slučaju nazivaju se neperiodični razlomci.

Definicija 4

Neperiodični decimalni razlomci uključuju one beskonačne decimalne razlomke koji ne sadrže tačku nakon decimalne zareze, tj. ponavljajuća grupa brojeva.

Ponekad neperiodični razlomci izgledaju vrlo slično periodičnim. Na primjer, 9 , 03003000300003 ... na prvi pogled izgleda da ima tačku, ali detaljna analiza decimalnih mjesta potvrđuje da je to još uvijek neperiodični razlomak. Morate biti veoma oprezni sa ovakvim brojevima.

Neperiodični razlomci su iracionalni brojevi. Oni se ne pretvaraju u obične razlomke.

Osnovne operacije sa decimalama

Sa decimalnim razlomcima se mogu izvoditi sljedeće operacije: poređenje, oduzimanje, sabiranje, dijeljenje i množenje. Analizirajmo svaku od njih posebno.

Uspoređivanje decimala može se svesti na poređenje običnih razlomaka koji odgovaraju originalnim decimalima. Ali beskonačni neperiodični razlomci ne mogu se svesti na ovaj oblik, a pretvaranje decimalnih razlomaka u obične često je naporan zadatak. Kako brzo izvršiti radnju poređenja ako to trebamo uraditi u toku rješavanja problema? Pogodno je porediti decimalne razlomke po ciframa na isti način kao što poredimo prirodne brojeve. Ovoj metodi ćemo posvetiti poseban članak.

Da biste dodali jedan decimalni razlomak drugom, zgodno je koristiti metodu sabiranja stupaca, kao i za prirodne brojeve. Da biste dodali periodične decimalne razlomke, prvo ih morate zamijeniti običnim i računati prema standardnoj shemi. Ako, prema uslovima zadatka, treba da saberemo beskonačne neperiodične razlomke, onda ih prvo moramo zaokružiti na određenu cifru, a zatim sabrati. Što je manja cifra na koju zaokružujemo, to će biti veća tačnost izračuna. Za oduzimanje, množenje i dijeljenje beskonačnih razlomaka potrebno je i prethodno zaokruživanje.

Pronalaženje razlike decimalnih razlomaka suprotno je sabiranju. Zapravo, uz pomoć oduzimanja možemo pronaći broj čiji će nam zbir sa oduzetim razlomkom dati smanjeni. O tome ćemo detaljnije govoriti u posebnom članku.

Množenje decimalnih razlomaka vrši se na isti način kao i za prirodne brojeve. Metoda izračunavanja po koloni je također pogodna za to. Ovu radnju s periodičnim razlomcima opet svodimo na množenje običnih razlomaka prema već proučavanim pravilima. Beskonačni razlomci, kao što se sjećamo, moraju se zaokružiti prije brojanja.

Proces dijeljenja decimala je obrnut od procesa množenja. Prilikom rješavanja problema koristimo i brojanje stupaca.

Možete postaviti tačnu korespondenciju između krajnje decimale i točke na koordinatnoj osi. Hajde da shvatimo kako označiti tačku na osi koja će tačno odgovarati traženom decimalnom razlomku.

Već smo proučavali kako konstruirati tačke koje odgovaraju običnim razlomcima, a decimalni razlomci se mogu svesti na ovaj oblik. Na primjer, obični razlomak 14 10 je isti kao 1 , 4 , tako da će tačka koja joj odgovara biti uklonjena iz ishodišta u pozitivnom smjeru za potpuno istu udaljenost:

Možete bez zamjene decimalnog razlomka običnim, a kao osnovu uzeti metodu proširenja znamenki. Dakle, ako treba da označimo tačku čija će koordinata biti jednaka 15 , 4008 , onda ćemo ovaj broj prvo predstaviti kao zbir 15 + 0 , 4 + , 0008 . Za početak, odlažemo 15 cijelih brojeva od početka pojedinačni segmenti u pozitivnom smjeru, zatim 4 desetine jednog segmenta, a zatim 8 desethiljaditih dijela jednog segmenta. Kao rezultat, dobit ćemo koordinatnu tačku, koja odgovara razlomku 15, 4008.

Za beskonačni decimalni razlomak, bolje je koristiti ovu metodu, jer vam omogućava da se željenoj tački približite koliko god želite. U nekim slučajevima moguće je izgraditi tačnu korespondenciju beskonačnog razlomka na koordinatnoj osi: na primjer, 2 = 1, 41421. . . , a ovaj razlomak se može povezati s točkom na koordinatni snop, uklonjeno od 0 po dužini dijagonale kvadrata, čija će stranica biti jednaka jednom jediničnom segmentu.

Ako pronađemo ne tačku na osi, već decimalni razlomak koji joj odgovara, tada se ova radnja naziva decimalno mjerenje segmenta. Hajde da vidimo kako da to uradimo kako treba.

Pretpostavimo da treba da dođemo od nule do date tačke na koordinatnoj osi (ili da se što više približimo u slučaju beskonačnog razlomka). Da bismo to učinili, postupno odvajamo jedinične segmente od početka koordinata dok ne dođemo do željene točke. Nakon cijelih segmenata, po potrebi mjerimo desetine, stotinke i manje dijelove kako bi korespondencija bila što preciznija. Kao rezultat, dobili smo decimalni razlomak, koji odgovara dati poen na koordinatnoj osi.

Iznad smo dali sliku sa tačkom M. Pogledajte ponovo: da biste došli do ove tačke, morate izmjeriti jedan jedinični segment od nule i četiri desetine, jer ova tačka odgovara decimalnom razlomku 1, 4.

Ako ne možemo pogoditi tačku u procesu decimalnog mjerenja, onda to znači da joj odgovara beskonačan decimalni razlomak.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovom članku ćemo razumjeti šta je decimalni razlomak, koje karakteristike i svojstva ima. Idi! 🙂

Decimalni razlomak je poseban slučaj običnih razlomaka (u kojima je nazivnik višekratnik 10).

Definicija

Decimale su razlomci čiji su imenioci brojevi koji se sastoje od jedan i određenog broja nula iza njega. Odnosno, to su razlomci sa nazivnikom 10, 100, 1000 itd. Inače, decimalni razlomak se može okarakterisati kao razlomak sa nazivnikom 10 ili jednim od stepena desetice.

Primjeri razlomaka:

, ,

Decimalni razlomak se piše drugačije nego obični razlomak. Operacije s ovim razlomcima također se razlikuju od operacija s običnim. Pravila za operacije nad njima su u velikoj mjeri bliska pravilima za operacije nad cijelim brojevima. To posebno određuje njihovu relevantnost u rješavanju praktičnih problema.

Predstavljanje razlomka u decimalnom zapisu

U decimalnom zapisu nema nazivnika, on prikazuje broj brojioca. IN opšti pogled Decimalni razlomak se piše na sljedeći način:

gdje je X cijeli broj razlomka, Y je njegov razlomak, "," je decimalni zarez.

Za ispravan prikaz običnog razlomka kao decimale potrebno je da bude ispravan, odnosno da ima istaknuti cijeli broj (ako je moguće) i brojnik manji od nazivnika. Zatim, u decimalnom zapisu, cijeli broj se upisuje prije decimalnog zareza (X), a brojnik običnog razlomka se upisuje nakon decimalnog zareza (Y).

Ako brojilac predstavlja broj sa brojem cifara manjim od broja nula u nazivniku, tada se u dijelu Y broj cifara koji nedostaju u decimalnom zapisu popunjava nulama ispred cifara brojilaca.

primjer:

Ako je obični razlomak manji od 1, tj. nema cijeli broj, tada je 0 zapisano u decimalnom obliku za X.

U razlomku (Y), nakon posljednje značajne (osim nule) cifre, može se unijeti proizvoljan broj nula. Ne utiče na vrijednost razlomka. I obrnuto: sve nule na kraju razlomka decimalnog razlomka mogu se izostaviti.

Čitanje decimala

Dio X čita se u opštem slučaju na sljedeći način: "X cijelih brojeva."

Y dio se čita prema broju u nazivniku. Za imenilac 10 treba da čitate: "Y desetine", za imenilac 100: "Y stotinke", za imenilac 1000: "Y hiljaditih" i tako dalje... 😉

Drugi pristup čitanju smatra se ispravnijim, zasnovan na brojanju broja znamenki razlomka. Da biste to učinili, morate razumjeti da se razlomke nalaze u zrcalnoj slici u odnosu na znamenke cijelog dijela razlomka.

Nazivi za pravilno čitanje dati su u tabeli:

Na osnovu toga, očitavanje treba da se zasniva na korespondenciji sa nazivom kategorije poslednje cifre razlomka.

• 3.5 glasi "tri tačke pet"
• 0,016 glasi kao "nula tačka šesnaest hiljaditih"

Pretvaranje proizvoljnog običnog razlomka u decimalu

Ako je nazivnik običnog razlomka 10 ili neki stepen desetice, tada se razlomak pretvara kao što je gore opisano. U drugim situacijama potrebne su dodatne transformacije.

Postoje 2 načina za prevođenje.

Prvi način prevođenja

Brojilac i imenilac moraju se pomnožiti sa takvim cijelim brojem da imenilac bude 10 ili jedan od stepena desetice. I tada je razlomak predstavljen decimalnim zapisom.

Ova metoda je primjenjiva za razlomke čiji se nazivnik razlaže samo na 2 i 5. Dakle, u prethodnom primjeru . Ako postoje drugi primarni faktori u ekspanziji (na primjer, ), tada ćete morati pribjeći 2. metodi.

Drugi način prevođenja

Drugi metod je da se brojilac podijeli sa nazivnikom u koloni ili na kalkulatoru. Cjelobrojni dio, ako postoji, nije uključen u transformaciju.

Pravilo dugog dijeljenja koje rezultira decimalnim razlomkom opisano je u nastavku (pogledajte Dijeljenje decimala).

Pretvorite decimalni u običan

Da biste to učinili, njegov razlomak (desno od zareza) treba napisati kao brojilac, a rezultat čitanja razlomka treba napisati kao odgovarajući broj u nazivniku. Dalje, ako je moguće, trebate smanjiti rezultirajuću frakciju.

Kraj i beskonačni decimalni

Decimalni razlomak se naziva konačnim, čiji se razlomak sastoji od konačnog broja znamenki.

Svi gornji primjeri sadrže tačno konačne decimalne razlomke. Međutim, ne može se svaki obični razlomak predstaviti kao konačna decimala. Ako 1. metoda prevođenja za dati razlomak nije primjenjiva, a 2. metoda pokazuje da se dijeljenje ne može završiti, tada se može dobiti samo beskonačan decimalni razlomak.

Nemoguće je napisati beskonačan razlomak u punom obliku. U nepotpunom obliku, takvi razlomci se mogu predstaviti:

1. kao rezultat smanjenja na željeni broj decimalnih mjesta;
2. u obliku periodičnog razlomka.

Razlomak se naziva periodičnim, u kojem se nakon decimalnog zareza može razlikovati niz cifara koji se beskonačno ponavlja.

Preostali razlomci se nazivaju neperiodični. Za neperiodične razlomke dozvoljena je samo 1. metoda predstavljanja (zaokruživanje).

Primjer periodičnog razlomka: 0,8888888 ... Ovdje postoji cifra 8 koja se ponavlja, koja će se, očito, ponavljati beskonačno, jer nema razloga za pretpostavku drugačije. Ovaj broj se zove period razlomka.

Periodični razlomci su čisti i mješoviti. Decimalni razlomak je čist, u kojem period počinje odmah nakon decimalnog zareza. Mješoviti razlomak ima 1 ili više znamenki prije decimalnog zareza.

54,33333 ... - periodični čisti decimalni razlomak

2,5621212121 ... - periodična mješovita frakcija

Primjeri pisanja beskonačnih decimala:

Drugi primjer pokazuje kako pravilno formirati period u periodičnom razlomku.

Pretvaranje periodičnih decimala u obične

Da biste čisti periodični razlomak pretvorili u običan period, upišite ga u brojilac, a u nazivnik upišite broj koji se sastoji od devetki u iznosu jednakom broju cifara u periodu.

Mješovita ponavljajuća decimala se prevodi na sljedeći način:

1. potrebno je da formirate broj koji se sastoji od broja iza decimalnog zareza prije tačke i prve tačke;
2. od rezultirajućeg broja oduzmite broj iza decimalnog zareza prije tačke. Rezultat će biti brojnik običnog razlomka;
3. u nazivnik treba da unesete broj koji se sastoji od broja devetki jednakog broju cifara perioda, nakon čega slijede nule, čiji je broj jednak broju cifara broja iza decimalnog zareza ispred 1. period.

Decimalno poređenje

Decimalni razlomci se u početku upoređuju po cijelim dijelovima. Veći je razlomak koji ima veći cijeli broj.

Ako su cijeli brojevi isti, tada se upoređuju znamenke odgovarajućih cifara razlomaka, počevši od prve (od desetih). Ovdje se primjenjuje isti princip: veći od razlomaka, koji ima veći rang desetina; ako su cifre desetine jednake, upoređuju se cifre stotih dela, i tako dalje.

Ukoliko

, budući da sa jednakim cijelim dijelovima i jednakim desetinama u razlomkom dijelu, 2. razlomak ima više stotinki.

Sabiranje i oduzimanje decimala

Decimale se sabiraju i oduzimaju na isti način kao i cijeli brojevi, pišu odgovarajuće cifre jednu ispod druge. Da biste to učinili, morate imati decimalne točke jedna ispod druge. Tada će se poklapati jedinice (desetice, itd.) cijelog broja, kao i desetine (stotine, itd.) razlomka. Cifre koje nedostaju u razlomku su ispunjene nulama. Direktno Proces sabiranja i oduzimanja izvodi se na isti način kao i za cijele brojeve.

Decimalno množenje

Da biste pomnožili decimalne razlomke, morate ih napisati jedan ispod drugog, poravnati sa posljednjom znamenkom i ne obraćajući pažnju na lokaciju decimalnih zareza. Zatim morate pomnožiti brojeve na isti način kao i kod množenja cijelih brojeva. Nakon što dobijete rezultat, trebali biste ponovo izračunati broj znamenki nakon decimalnog zareza u oba razlomka i odvojiti ukupan broj razlomaka u rezultirajućem broju zarezom. Ako nema dovoljno cifara, one se zamjenjuju nulama.

Množenje i dijeljenje decimala sa 10 n

Ove radnje su jednostavne i svode se na pomicanje decimalnog zareza. P Prilikom množenja, zarez se pomiče udesno (razlomak se povećava) za broj znakova, jednak broju nule u 10 n, gdje je n proizvoljni cijeli broj. Odnosno, određeni broj cifara se prenosi iz razlomka u cijeli broj. Prilikom dijeljenja, odnosno, zarez se prenosi lijevo (broj se smanjuje), a neke od znamenki se prenose iz cijelog broja u razlomak. Ako nema dovoljno cifara za prijenos, cifre koje nedostaju se popunjavaju nulama.

Već u osnovna škola učenici se bave razlomcima. I onda se pojavljuju u svakoj temi. Nemoguće je zaboraviti radnje sa ovim brojevima. Stoga morate znati sve informacije o običnim i decimalnim razlomcima. Ovi koncepti su jednostavni, glavna stvar je razumjeti sve po redu.

Zašto su razlomci potrebni?

Svijet oko nas sastoji se od cijelih objekata. Dakle, nema potrebe za dionicama. Ali svakodnevni život stalno tjera ljude na rad s dijelovima predmeta i stvari.

Na primjer, čokolada se sastoji od nekoliko kriški. Razmotrite situaciju u kojoj je njegova pločica formirana od dvanaest pravokutnika. Ako ga podijelite na dva, dobit ćete 6 dijelova. Biće dobro podeljen na tri. Ali petorica neće moći dati cijeli broj kriški čokolade.

Usput, ove kriške su već razlomci. A njihova daljnja podjela dovodi do pojave složenijih brojeva.

Šta je "razlomak"?

Ovo je broj koji se sastoji od dijelova jednog. Izvana izgleda kao dva broja odvojena vodoravnom ili kosom crtom. Ova karakteristika se naziva razlomkom. Broj napisan na vrhu (lijevo) naziva se brojilac. Onaj dole (desno) je imenilac.

U stvari, ispada da je razlomak znak dijeljenja. To jest, brojnik se može nazvati dividenda, a imenilac djelitelj.

Šta su razlomci?

U matematici postoje samo dvije vrste njih: obični i decimalni razlomci. Prvo se upoznaju školarci osnovna škola, nazivajući ih jednostavno "razlomcima". Drugi uči u 5. razredu. Tada se pojavljuju ova imena.

Obični razlomci su svi oni koji su zapisani kao dva broja odvojena crtom. Na primjer, 4/7. Decimala je broj u kojem razlomak ima oznaku položaja i odvojen je od cijelog broja zarezom. Na primjer, 4.7. Učenicima treba biti jasno da su dva navedena primjera potpuno različiti brojevi.

Svaki prosti razlomak se može zapisati kao decimalni. Ova izjava je skoro uvek tačna u obrnuti smjer. Postoje pravila koja vam omogućavaju da zapišete decimalni razlomak kao običan razlomak.

Koje podvrste imaju ove vrste frakcija?

Bolje je početi od kronološkim redom dok se proučavaju. Obični razlomci su prvi. Među njima se može razlikovati 5 podvrsta.

tacno. Njegov brojilac je uvijek manji od nazivnika.

Pogrešno. Njegov brojilac je veći ili jednak nazivniku.

Smanjivo / nesvodljivo. Može biti ispravno ili pogrešno. Još jedna stvar je važna, da li brojilac i imenilac imaju zajedničke faktore. Ako postoje, onda bi trebalo da podijele oba dijela razlomka, odnosno da ga smanje.

Miješano. Cijeli broj se dodjeljuje njegovom uobičajenom ispravnom (netačnom) razlomku. I uvijek stoji na lijevoj strani.

Kompozitni. Formira se od dvije frakcije podijeljene jedna na drugu. Odnosno, ima tri razlomka odjednom.

Decimale imaju samo dvije podvrste:

konačni, odnosno onaj u kojem je razlomak ograničen (ima kraj);

beskonačan - broj čije se cifre iza decimalnog zareza ne završavaju (mogu se pisati beskonačno).

Kako pretvoriti decimalni u običan?

Ako je ovo konačan broj, onda se primjenjuje asocijacija na osnovu pravila - kako čujem, tako i pišem. Odnosno, morate ga ispravno pročitati i zapisati, ali bez zareza, ali s razlomkom.

Kao nagoveštaj o traženom nazivniku, zapamtite da je to uvek jedan i nekoliko nula. Potonjih treba napisati onoliko koliko je cifara u razlomku dotičnog broja.

Kako pretvoriti decimalne razlomke u obične ako im cijeli dio nedostaje, odnosno jednak nuli? Na primjer, 0,9 ili 0,05. Nakon primjene navedenog pravila, ispada da trebate napisati nula cijelih brojeva. Ali to nije naznačeno. Ostaje zapisati samo razlomke. Za prvi broj imenilac će biti 10, za drugi - 100. To jest, navedeni primjeri će imati brojeve kao odgovore: 9/10, 5/100. Štaviše, pokazalo se da je ovo posljednje moguće smanjiti za 5. Stoga, rezultat za njega mora biti napisan 1/20.

Kako od decimale napraviti običan razlomak ako je njegov cijeli dio različit od nule? Na primjer, 5,23 ili 13,00108. Oba primjera čitaju cijeli broj i zapisuju njegovu vrijednost. U prvom slučaju, ovo je 5, u drugom 13. Zatim morate prijeći na razlomak. S njima je potrebno izvršiti istu operaciju. Prvi broj ima 23/100, drugi ima 108/100000. Drugu vrijednost treba ponovo smanjiti. Odgovor je mješoviti razlomci: 5 23/100 i 13 27/25000.

Kako pretvoriti beskonačnu decimalu u običan razlomak?

Ako nije periodično, onda se takva operacija ne može izvesti. Ova činjenica je zbog činjenice da se svaki decimalni razlomak uvijek pretvara u konačni ili periodični.

Jedina stvar koja se može učiniti s takvim razlomkom je zaokružiti ga. Ali tada će decimala biti približno jednaka toj beskonačnosti. Već se može pretvoriti u običnu. Ali obrnuti proces: pretvaranje u decimalni - nikada neće dati početnu vrijednost. To jest, beskonačni neperiodični razlomci se ne prevode u obične razlomke. Ovo se mora zapamtiti.

Kako napisati beskonačan periodični razlomak u obliku običnog?

U ovim brojevima, jedna ili više cifara se uvijek pojavljuju iza decimalnog zareza, koje se ponavljaju. Zovu se periodi. Na primjer, 0,3(3). Ovdje "3" u periodu. Oni su klasifikovani kao racionalni, jer se mogu pretvoriti u obične razlomke.

Oni koji su se susreli sa periodičnim razlomcima znaju da oni mogu biti čisti ili mješoviti. U prvom slučaju tačka počinje odmah od zareza. U drugom, razlomak počinje bilo kojim brojevima, a zatim počinje ponavljanje.

Pravilo po kojem trebate napisati beskonačnu decimalu u obliku običnog razlomka bit će različito za ove dvije vrste brojeva. Prilično je lako zapisati čiste periodične razlomke kao obične razlomke. Kao i kod konačnih, potrebno ih je pretvoriti: upišite period u brojilac, a broj 9 će biti imenilac, ponavljajući onoliko puta koliko ima cifara u periodu.

Na primjer, 0,(5). Broj nema cijeli broj, tako da morate odmah prijeći na razlomak. U brojilac upiši 5, a u nazivnik 9. To jest, odgovor će biti razlomak 5/9.

Pravilo o tome kako napisati uobičajeni decimalni razlomak koji je mješoviti razlomak.

Pogledajte dužinu perioda. Toliko 9 će imati imenilac.

Zapišite imenilac: prvo devetke, zatim nule.

Da biste odredili brojilac, morate napisati razliku dva broja. Sve cifre iza decimalnog zareza će se smanjiti, zajedno sa tačkom. Može se oduzeti - bez tačke.

Na primjer, 0,5(8) - zapišite periodični decimalni razlomak kao običan razlomak. Razlomak ispred tačke je jednocifreni. Dakle, nula će biti jedan. Takođe postoji samo jedna cifra u periodu - 8. To jest, postoji samo jedna devetka. Odnosno, potrebno je da u imenilac upišete 90.

Da biste odredili brojilac od 58, trebate oduzeti 5. Ispada 53. Na primjer, morat ćete napisati 53/90 kao odgovor.

Kako se obični razlomci pretvaraju u decimale?

Najjednostavnija opcija je broj čiji je imenilac broj 10, 100 i tako dalje. Tada se nazivnik jednostavno odbacuje, a između razlomka i cijelog broja stavlja se zarez.

Postoje situacije kada se imenilac lako pretvara u 10, 100 itd. Na primjer, brojevi 5, 20, 25. Dovoljno ih je pomnožiti sa 2, 5 i 4. Samo je potrebno pomnožiti ne samo imenilac, već i brojnik istim brojem.

Za sve ostale slučajeve dobro će doći jednostavno pravilo: podijelite brojilac sa nazivnikom. U ovom slučaju možete dobiti dva odgovora: konačni ili periodični decimalni razlomak.

Operacije sa običnim razlomcima

Sabiranje i oduzimanje

Učenici ih upoznaju ranije od ostalih. I u početku razlomci imaju iste nazivnike, a zatim različite. Opća pravila se mogu svesti na takav plan.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika.

Napišite dodatne faktore svim običnim razlomcima.

Pomnožite brojioce i nazivnike sa faktorima koji su za njih definisani.

Dodajte (oduzmite) brojioce razlomaka, a zajednički imenilac ostavite nepromijenjen.

Ako je brojnik minusa manji od oduzetog, onda morate saznati imamo li mješoviti broj ili pravi razlomak.

U prvom slučaju, cijeli broj treba uzeti jedan. Dodajte imenilac brojiocu razlomka. I onda uradite oduzimanje.

U drugom - potrebno je primijeniti pravilo oduzimanja sa manjeg broja na veći. Odnosno, oduzmite modul minuenda od modula oduzetog i stavite znak "-" kao odgovor.

Pažljivo pogledajte rezultat sabiranja (oduzimanja). Ako dobijete nepravilan razlomak, onda bi trebalo odabrati cijeli dio. Odnosno, podijelite brojilac sa nazivnikom.

Množenje i dijeljenje

Za njihovu implementaciju, razlomke nije potrebno svesti na zajednički nazivnik. Ovo olakšava poduzimanje radnje. Ali i dalje moraju poštovati pravila.

Prilikom množenja običnih razlomaka potrebno je uzeti u obzir brojeve u brojiocima i nazivnicima. Ako bilo koji brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor, onda se mogu smanjiti.

Pomnožite brojioce.

Pomnožite nazivnike.

Ako dobijete razlomak koji se može reducirati, onda bi on trebao biti ponovo pojednostavljen.

Prilikom dijeljenja prvo morate zamijeniti dijeljenje množenjem, a djelitelj (drugi razlomak) recipročnim (zamijeniti brojilac i imenilac).

Zatim nastavite kao kod množenja (počevši od tačke 1).

U zadacima gdje trebate pomnožiti (dijeliti) cijelim brojem, potonji bi trebao biti zapisan kao nepravilan razlomak. Odnosno, sa nazivnikom 1. Zatim nastavite kako je gore opisano.



Operacije sa decimalama

Sabiranje i oduzimanje

Naravno, uvijek možete pretvoriti decimalu u običan razlomak. I postupite po već opisanom planu. Ali ponekad je zgodnije djelovati bez ovog prijevoda. Tada će pravila za njihovo sabiranje i oduzimanje biti potpuno ista.

Izjednačite broj cifara u razlomku broja, odnosno iza decimalnog zareza. Dodijelite mu broj nula koji nedostaje.

Zapišite razlomke tako da zarez bude ispod zareza.

Dodajte (oduzmite) kao prirodne brojeve.

Uklonite zarez.

Množenje i dijeljenje

Važno je da ovdje ne morate dodavati nule. Razlomke treba ostaviti onako kako su dati u primjeru. I onda po planu.

Za množenje morate napisati razlomke jedan ispod drugog, ne obraćajući pažnju na zareze.

Množi se kao prirodni brojevi.

Stavite zarez u odgovor, računajući od desnog kraja odgovora onoliko cifara koliko ih ima u razlomcima oba faktora.

Da biste podijelili, prvo morate pretvoriti djelitelj: napravite ga prirodni broj. Odnosno, pomnožite ga sa 10, 100, itd., ovisno o tome koliko je cifara u razlomku djelitelja.

Pomnožite dividendu istim brojem.

Podijelite decimalu prirodnim brojem.

Stavite zarez u odgovor u trenutku kada se podjela cijelog dijela završi.



Što ako postoje obje vrste razlomaka u jednom primjeru?

Da, u matematici često postoje primjeri u kojima morate izvršiti operacije nad običnim i decimalnim razlomcima. Postoje dva moguća rješenja za ove probleme. Potrebno je objektivno odmjeriti brojke i odabrati najbolju.

Prvi način: predstavljanje običnih decimala

Pogodno je ako se pri dijeljenju ili pretvaranju dobiju konačni razlomci. Ako barem jedan broj daje periodični dio, onda je ova tehnika zabranjena. Stoga, čak i ako ne volite raditi s običnim razlomcima, morat ćete ih prebrojati.

Drugi način: zapišite decimalne razlomke kao obične

Ova tehnika je zgodna ako u dijelu nakon decimalnog zareza ima 1-2 znamenke. Ako ih ima više, može se pojaviti vrlo veliki obični razlomak, a decimalni unosi će vam omogućiti da brže i lakše izračunate zadatak. Stoga je uvijek potrebno trezveno procijeniti zadatak i odabrati najjednostavniji način rješenja.