Grafička metoda. Koordinatna ravan (x;y)

Jednačine sa parametrom uzrokuju ozbiljne logičke poteškoće. Svaka takva jednadžba je u suštini skraćenica za porodicu jednačina. Jasno je da je nemoguće zapisati svaku jednačinu iz beskonačne porodice, ali, ipak, svaka od njih mora biti riješena. Najlakši način da to učinite je da grafički prikažete ovisnost varijable o parametru.

Na ravni, funkcija definira porodicu krivulja ovisno o parametru. Zanimaće nas koja transformacija ravni se može koristiti za prelazak na druge krive porodice (vidi , , , , , , ).

Paralelni prijenos

Primjer. Za svaku vrijednost parametra odredite broj rješenja jednadžbe.

Rješenje. Napravimo graf funkcije.

Razmislite. Ova linija je paralelna sa x-osom.

Odgovori. Ako, onda nema rješenja;

ako, onda 3 rješenja;

ako, onda 2 rješenja;

ako, 4 rješenja.

Okreni se

Odmah treba napomenuti da izbor porodice krivulja nije ujednačen (za razliku od samih problema), odnosno isti je: u svim problemima - prave linije. Štaviše, centar rotacije pripada liniji.

Primjer. Za koje vrijednosti parametra jednadžba ima jedinstveno rješenje?

Rješenje. Razmotrimo funkciju i. Grafikon druge funkcije je polukrug sa centrom u tački sa koordinatama i radijusom =1 (slika 2).

Arc AB.

Sve zrake koje prolaze između OA i OB seku se u jednoj tački, a OB i OM se seku u jednoj tački (tangenta). Ugaoni koeficijenti OA i OB su jednaki. Nagib tangente je jednak. Lako se otkrije iz sistema

Dakle, direktne porodice imaju samo jednu zajedničku tačku u sa lukom.

Odgovori. .

Primjer. Za koju jednačinu ima rješenje?

Rješenje. Razmotrimo funkciju. Ispitujući je na monotonost, otkrivamo da se u intervalu povećava i smanjuje. Point - je maksimalni poen.

Funkcija je porodica linija koje prolaze kroz tačku. Okrenimo se slici 2. Grafikon funkcije je luk AB. Prave koje će biti između pravih OA i OB zadovoljavaju uslov problema. Koeficijent nagiba prave OA je broj, a OB je .

Odgovori. Kada jednačina ima 1 rješenje;

za ostale vrijednosti parametra ne postoje rješenja.

Homotetija. Kompresija u pravu liniju

Primjer. Pronađite sve vrijednosti parametra, za svaku od kojih jednačina ima tačno 8 rješenja.

Rješenje. Imamo. Razmotrimo funkciju. Prvi od njih definiše porodicu polukružnica centriranih u tački sa koordinatama, a druga porodica pravih linija paralelnih sa x-osi.

Broj korijena će odgovarati broju 8 kada je polumjer polukruga veći i manji, tj. Imajte na umu da postoji.

Odgovori. ili.

Grafička metoda. Koordinatna ravan (x;a)

Općenito, jednačine, koji sadrže parametar, nisu opremljeni jasnim, metodički dizajniranim sistemom rješenja. Ove ili druge vrijednosti parametra moraju se tražiti dodirom, nabrajanjem, rješavanjem velikog broja međujednačina. Takav pristup ne osigurava uvijek uspjeh u pronalaženju svih vrijednosti parametra za koje jednačina nema rješenja, ima jedno, dva ili više rješenja. Često se neke od vrijednosti parametara izgube ili se pojavljuju dodatne vrijednosti. Da bi se ovo potonje ostvarilo, potrebno je provesti posebnu studiju, što može biti prilično teško.

Razmotrimo metodu koja pojednostavljuje rad na rješavanju jednačina s parametrom. Metoda je sljedeća

1. Iz jednadžbe s promjenljivom x i parametar a izraziti parametar kao funkciju od x: .

2. U koordinatnoj ravni x O a izgraditi graf funkcije.

3. Razmotrite linije i odaberite te intervale ose O a, na kojoj ove prave zadovoljavaju sljedeće uslove: a) ne siječe grafik funkcije, b) siječe grafik funkcije u jednoj tački, c) u dvije tačke, d) u tri tačke, i tako dalje.

4. Ako je zadatak pronaći vrijednosti x, onda izražavamo x preko a za svaki od pronađenih intervala vrijednosti a odvojeno.

Pogled parametra kao jednake varijable se ogleda u grafičkim metodama. Dakle, postoji koordinatna ravan. Čini se da je tako beznačajan detalj kao što je odbacivanje tradicionalne oznake koordinatne ravnine slovima x I y definiše jednu od najefikasnijih metoda za rješavanje problema s parametrima.

Opisana metoda je vrlo jasna. Osim toga, gotovo svi osnovni koncepti kursa algebre i počeci analize nalaze primjenu u njemu. Uključen je čitav skup znanja vezanih za proučavanje funkcije: primjena derivacije za određivanje tačaka ekstrema, pronalaženje granice funkcije, asimptote itd.. itd. (vidi , , ).

Primjer. Na kojim vrijednostima parametra da li jednadžba ima dva korijena?

Rješenje. Prelazimo na ekvivalentni sistem

Grafikon pokazuje da kada jednačina ima 2 korijena.

Odgovori. Kada jednačina ima dva korijena.

Primjer. Pronađite skup svih brojeva, za svaki od kojih jednačina ima samo dva različita korijena.

Rješenje. Prepišimo ovu jednačinu u sljedećem obliku:

Sada je važno da to ne propustite, i - samo su dati korijeni originalne jednadžbe. Obratimo pažnju na činjenicu da je prikladnije izgraditi graf na koordinatnoj ravni. Na slici 5, željeni graf je unija punih linija. Ovdje se odgovor "čita" po vertikalnim linijama.

Odgovori. Na, ili, ili.

PREDAVANJE 6-7. Elementi analitičke geometrije.

Površine i njihove jednačine.

Primjer 1

Sfera

Primjer 2

F(x,y,z)=0(*),

Ovo - jednačina površine

Primjeri:

x 2 + y 2 - z 2 \u003d 0 (konus)

Avion.

Jednadžba ravni koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor.

Zamislite avion u svemiru. Neka je M 0 (x 0, y 0, z 0) data tačka ravni R i vektor okomit na ravan ( normalni vektor avioni).

(1) je vektorska jednačina ravnine.

U koordinatnoj formi:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Dobili smo jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku.

Opća jednačina ravnine.

Otvorimo zagrade u (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 - By 0 - Cz 0) = 0 ili

Ax + By + Cz + D = 0 (3)

Rezultirajuća ravan jednadžba linearno, tj. Jednačina 1. stepena u odnosu na koordinate x, y, z. Dakle, avion površina prvog reda .

Izjava: Bilo koja jednačina koja je linearna po x, y, z definira ravan.

Svaki avion može biti dato jednačinom (3), koja se zove opšta jednačina ravnine.

Posebni slučajevi opće jednadžbe.

a) D=0: Ax + By + Cz = 0. koordinate tačke O(0, 0, 0) zadovoljavaju ovu jednačinu, tada ravan koja njome prolazi prolazi kroz početak.

b) S=0: Ax + By + D = 0. U ovom slučaju, vektor normale ravni , pa je ravan data jednadžbom paralelna sa OZ osom.

c) C=D=0: Ax + By = 0. Ravan je paralelna sa OZ osom (jer je C=0) i prolazi kroz ishodište (jer je D=0). Dakle, ide kroz OZ osu.

d) B=C=0: Ax + D = 0 ili . Vektor, tj. i . Dakle, ravan je paralelna sa osama OY i OZ, tj. je paralelna sa ravninom YOZ i prolazi kroz tačku .

Razmotrite slučajeve sami: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Jednačina ravni koja prolazi kroz tri date tačke.

Jer sve četiri tačke pripadaju ravni, tada su ovi vektori komplanarni, tj. njihov mješoviti proizvod je nula:

Dobili smo jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke u vektorskom obliku.

U koordinatnoj formi:

(7)

Ako otvorimo determinantu, dobijamo jednačinu ravnine u obliku:

Ax + By + Cz + D = 0.

Primjer. Napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke M 1 (1, -1,0);

M 2 (-2.3.1) i M 3 (0.0.1).

, (x - 1) 3 - (y + 1)(-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z - 1 = 0.

Jednačina ravnine u segmentima

Neka je data opšta jednačina ravni Ax + By + Cz + D = 0 i D ≠ 0, tj. ravan ne prolazi kroz ishodište. Podijelite oba dijela sa -D: i označavaju: ; ; . Onda

primljeno jednačina ravnine u segmentima .

gdje su a, b, c vrijednosti segmenata odsječenih ravninom na koordinatnoj osi.

Primjer 1 Napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke A(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) i C(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3 , ili 2x + 3y - 2z - 6 = 0.

Primjer 2 Pronađite vrijednosti segmenata koji odsijecaju ravan

4x – y – 3z – 12 = 0 na koordinatnim osa.

4x-y-3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Normalna jednačina ravnine.

Neka je data neka ravan Q. Iz ishodišta povlačimo okomitu OP na ravan. Neka su |OP|=r i vektor : dati. Uzmimo trenutnu tačku M(x, y, z) ravnine i izračunajmo skalarni proizvod vektora i : .

Ako projiciramo tačku M u pravcu , tada ćemo doći do tačke P. T.o., dobićemo jednačinu

(9).

Postavljanje linije u prostoru.

Prava L u prostoru se može definirati kao sjecište dvije površine. Neka tačka M(x, y, z) koja leži na pravoj L pripada i površini P1 i površini P2. Tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačine obje površine. Stoga, pod jednadžba prave L u prostoru razumjeti skup dvije jednačine, od kojih je svaka jednačina odgovarajuće površine:

Prava L pripada onim i samo onim tačkama čije koordinate zadovoljavaju obje jednačine u (*). Kasnije ćemo pogledati druge načine definiranja linija u prostoru.

Gomila aviona.

Plane bundle je skup svih ravnina koje prolaze kroz datu pravu liniju - os grede.

Za definiranje snopa ravnina dovoljno je navesti njegovu os. Neka jednačina ove prave linije bude data u opštem obliku:

.

Napišite jednačinu grede– znači sastaviti jednačinu iz koje je moguće dobiti, pod dodatnim uslovom, jednačinu bilo koje ravni grede, osim b.m. jedan. Pomnožimo II jednačinu sa l i dodamo je I jednačini:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2) = 0 (1) ili

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l - parametar - broj koji može uzeti realne vrijednosti. Za bilo koju odabranu vrijednost l, jednačine (1) i (2) su linearne, tj. ovo su jednadžbe neke ravni.

1. Hajde da pokažemo da ova ravan prolazi kroz os grede L. Uzmimo proizvoljnu tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) L. Dakle, M 0 R 1 i M 0 R 2 . znači:

Prema tome, ravan opisana jednadžbom (1) ili (2) pripada gredi.

2. Možete dokazati i suprotno.: svaka ravan koja prolazi kroz pravu L opisuje se jednadžbom (1) sa odgovarajućim izborom parametra l.

Primjer 1. Sastaviti jednačinu za ravan koja prolazi linijom presjeka ravnina x + y + 5z - 1 = 0 i 2x + 3y - z + 2 = 0 i kroz tačku M (3, 2, 1).

Zapisujemo jednačinu grede: x + y + 5z - 1 + l (2x + 3y - z + 2) = 0. Da bismo pronašli l, uzimamo u obzir da M R:

Svaka površina u prostoru može se smatrati lokusom tačaka sa nekim svojstvom zajedničkim za sve tačke.

Primjer 1

Sfera - skup tačaka jednako udaljenih od date tačke C (centar). S(x 0, y 0, z 0). Po definiciji |CM|=R ili ili . Ova jednačina vrijedi za sve tačke sfere i samo za njih. Ako je x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0, onda .

Na sličan način se može formulisati jednačina za bilo koju površinu ako je odabran koordinatni sistem.

Primjer 2 x=0 je jednadžba ravni YOZ.

Izražavajući geometrijsku definiciju površine u smislu koordinata njene trenutne tačke i sabirajući sve članove u jedan dio, dobijamo jednakost oblika

F(x,y,z)=0(*),

Ovo - jednačina površine , ako koordinate svih tačaka na površini zadovoljavaju ovu jednakost, ali koordinate tačaka koje ne leže na površini ne.

Dakle, svaka površina u odabranom koordinatnom sistemu ima svoju jednačinu. Međutim, ne odgovara svaka jednačina oblika (*) površini u smislu definicije.

Primjeri:

2x - y + z - 3 = 0 (ravan)

x 2 + y 2 - z 2 \u003d 0 (konus)

x 2 + y 2 +3 = 0 - koordinate bilo koje tačke ne zadovoljavaju.

x 2 + y 2 + z 2 =0 je jedina tačka (0,0,0).

x 2 \u003d 3y 2 \u003d 0 - ravna linija (OZ os).

Kanonske jednadžbe prave linije u prostoru su jednačine koje definiraju pravu liniju koja prolazi kroz datu tačku kolinearno do vektora smjera.

Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj l samo ako su vektori i kolinearni, tj. zadovoljavaju uslov:

.

Gore navedene jednadžbe su kanonske jednačine prave.

Brojevi m , n I str su projekcije vektora pravca na koordinatne ose. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može biti nula u isto vrijeme. Ali jedan ili dva od njih mogu biti nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dozvoljena je sljedeća notacija:

,

što znači da su projekcije vektora na ose Oy I Oz jednaki su nuli. Dakle, i vektor i prava linija date kanonskim jednadžbama su okomiti na osi Oy I Oz, odnosno avioni yOz .

Primjer 1 Sastaviti jednadžbe prave linije u prostoru okomitoj na ravan i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz .

Rješenje. Pronađite tačku preseka date ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednadžbi ravnine x=y= 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka date ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga vektor normale može poslužiti kao usmjeravajući vektor prave linije dati avion.

Sada pišemo željene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke

Prava linija se može definirati sa dvije tačke koje leže na njoj I U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik

.

Gore navedene jednačine definiraju pravu liniju koja prolazi kroz dvije date tačke.

Primjer 2 Napišite jednadžbu prave linije u prostoru koja prolazi kroz točke i .

Rješenje. Zapisujemo željene jednačine prave u gore navedenom obliku u teorijskoj referenci:

.

Budući da je , tada je željena linija okomita na os Oy .

Prava kao linija preseka ravnina

Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine

Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.

Primjer 3 Sastaviti kanonske jednadžbe prave linije u prostoru zadanom općim jednačinama

Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave linije ili, što je isto, jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke, potrebno je pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj liniji. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .

Tačka presjeka prave sa ravninom yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavivši u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:

Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željene linije. Pretpostavljajući tada u datom sistemu jednačina y= 0, dobijamo sistem

Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .

Sada pišemo jednačine prave linije koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:

,