Odjeljci: Osnovna škola
klasa: 2
Osnovni ciljevi:
1) da formiraju predstavu o svojstvu oduzimanja zbira od broja, sposobnost da se ovo svojstvo koristi za racionalizaciju proračuna;
2) osposobljavaju veštine usmenog brojanja, sposobnost samostalne analize i rešavanja složenih problema;
3) neguju tačnost.
Demo materijal:
1) slika Dunno. <Рисунок1 >
2) kartice sa tvrdnjom: želja - lajanje - uspjeh - hov.
3) pješčani sat.
4) standard za oduzimanje zbira od broja.
a-(b+c) = (a-b)-c = (a-c)-b
5) standard redosleda radnji. a-(b+c)
6) uzorak za samotestiranje za korak 6:
7) uzorak za samopregled za 7. stepen.
1) 45 -15 = 30 (m) - lijevo sa Denisom
2) 30 - 13 =17 (m)
Odgovor: Denisu je ostalo 17 maraka.
brošura:
1) bež kartica sa individualnim zadatkom za fazu 2 za svakog učenika:
2) kartica Zelena boja sa individualnim zadatkom za fazu 5.
3) samostalni rad za fazu 6.
4) semafori: crveno, žuto, zeleno.
Tokom nastave:
I. Samoopredjeljenje u aktivnostima učenja.
1) motivisati na aktivnost na času kroz uvođenje lika iz bajke;
2) odrediti sadržaj lekcije: oduzimanje iznosa od broja.
Organizacija obrazovni proces u fazi I.
Šta ste radili na prošloj lekciji? (Dodatna svojstva)
Koja svojstva sabiranja su ponovljena? (pomak i asocijativ)
Zašto moramo znati svojstva sabiranja? (Prikladnije je rješavati primjere)
Danas imamo junaka iz bajke Neznam .<Рисунок1 >
Pripremio je mnogo zanimljivih zadataka i gledaće kako radimo na lekciji. Spreman?
II. Aktuelizacija znanja i fiksiranje poteškoća u aktivnostima.
1) trening mentalne operacije - generalizacija;
2) ponoviti pravila redosleda radnji u izrazima sa zagradama;
3) organizovati teškoću u individualnoj aktivnosti i njeno fiksiranje od strane učenika u glasnom govoru.
Organizacija obrazovnog procesa na II stepenu.
1) Usmeni iskaz.
Pogledajte tablu i uradite radnje usmeno. <Приложение 1 >
Ako ih ispravno ispunimo, tada ćemo pročitati želju koju nam je Dunno šifrirao:
(Dodaj 19 na 27, dobićeš 46;
Oduzmite 24 od 46 da biste dobili 22;
Dodajte 38 na 22 da dobijete 60;
Oduzmite 5 od 60 da dobijete 55)
Povećaj 55 za 200. (200+55=255)
Opišite broj 255. (255 je trocifreni broj, sadrži dvije stotine, pet desetica i pet jedinica. Prethodni broj je 254, sljedeći je 256, zbir bitnih članova je 200 + 50 + 5 , zbir cifara je 12).
Izrazite broj 255 u različitim obračunskim jedinicama. (255=2s 5d 5ed = 25d 5ed = 2s 55ed)
Izrazite 255 cm u različitim jedinicama. (255=2m 5dm 5cm=25dm 5cm=2m 55cm)
2) Ponavljanje pravila redosleda radnji u izrazima sa zagradama. <Приложение 2 >
Po čemu su izrazi slični? (Po komponentama akcije, isti red radnji)
Po čemu se izrazi razlikuju? (Razne franšize)
Kako su predstavljeni subtrahends? (Oduzeti su predstavljeni zbirom dva broja)
Šta smo ponavljali kada smo pronašli značenje izraza? (Procedura).
Zašto ponavljati proceduru?
Gdje možemo ponoviti pravilo redoslijeda operacija? (U udžbeniku ili standardima <Приложение 3 > )
3) Individualni zadatak.
Uzmite olovku i komad bež papira. <Приложение 4 >
Pogledajmo sada neke primjere. Na moju naredbu, zaustavite svoju odluku.
Pažnja! Počelo! …
Digni ruku, ko je riješio sve primjere?
Dignite ruku, ko je riješio jedan primjer?
Predložite standard po kojem ste riješili primjere. (Ne znamo standard).
Ko nije riješio primjere?
III Identifikacija uzroka poteškoća i postavljanje cilja aktivnosti.
1) utvrdi i utvrdi mjesto i uzrok teškoće;
2) dogovorite se o svrsi i temi časa.
Organizacija obrazovnog procesa na III stepenu.
Ponavljam, koji je bio zadatak?
Zašto je došlo do problema? (Malo vremena, nema odgovarajuće imovine)
šta da radim? (dječija pretpostavka). Ostavite listove sa strane.
Pokušajte formulirati svrhu lekcije.
Formulirajte temu lekcije.
Tema lekcije: Oduzimanje zbira od broja. Govorite temu lekcije u sebi, tiho. (Tema lekcije je napisana na tabli)
IV. Izrada projekta izlaza iz teškoća.
1) organizovati konstruisanje od strane dece novog načina delovanja, koristeći vodeći dijalog;
2) simbolički i u govoru popraviti novi način djelovanja.
Organizacija obrazovnog procesa na IV stepenu.
Pogledajte i pročitajte izraz: 87 - (7 + 15).
Koji je član zgodnije prvi oduzeti? (Zgodnije je oduzeti prvi član - 7)
Oduzeli smo prvi član, a trebamo oduzeti dva člana. Šta treba učiniti? (Oduzmi drugi član)
Nastavnik piše na tabli. <Приложение5 >
Gledajte, zamijenit ću broj 87 slovom a, broj 7 slovom b, broj 15 slovom c, dobićemo jednakost. <Приложение 6 >
da vidimo. Pročitaj izraz: 87 - (15 + 7)
Šta je zgodnije oduzeti pojam od broja 87? (Zgodnije je oduzeti drugi član 7)
Nastavnik piše na tabli.
Oduzeli smo drugi član, a trebamo oduzeti dva člana. Šta treba učiniti? (Oduzmi prvi član)
Nastavnik piše na tabli. <Приложение 7 >
da vidimo. Zameniću broj 87 slovom a, broj 7 slovom b, broj 15 slovom c, dobijamo jednakost. <Приложение 8 >
Saznajte kako možete oduzeti zbroj od broja. (Čuju se odgovori djece)
Gdje možemo provjeriti da li smo donijeli prave zaključke? (u udžbeniku)
Otvorite udžbenik na stranici 44. Pročitajte pravilo. <Приложение 9 >
V. Primarna konsolidacija u vanjskom govoru.
Svrha: stvoriti uslove za fiksiranje proučavanog načina djelovanja u vanjskom govoru.
Organizacija obrazovnog procesa na V.
Ko će ponoviti pravilo?
Zašto je došlo do problema? (Nismo mogli brzo da odlučimo)
A sada možemo?
Šta nam je pomoglo? (Pravilo za oduzimanje zbira od broja)
Uzmite zeleni list i na moju naredbu riješite primjere. <Приложение10 >
Pažnja! Počelo! Stani!
front poll.
Koliko je ispalo u prvom primjeru?
Ko tako diže ruku.
Ko ima grešku?
Koliko je ispalo u drugom primjeru?
Ko tako diže ruku.
Ko ima grešku?
Kako ste se odlučili? Gdje je greška? Šta je razlog?
Možete li reći da ste naučili rješavati? (da)
Šta je pomoglo? (Znamo pravilo, brzina rješenja se povećala)
Gdje možemo primijeniti novu tehniku? (Prilikom rješavanja zadataka, primjeri).
Kod kuće riješite na strani 44 zadatak broj 4 za novo pravilo. Smislite i zapišite svoj primjer. (Zadatak je napisan na tabli). <Приложение11 >
Ko će zapamtiti pravilo?
VI. Samostalan rad uz samoprovjeru.
1) organizuje samostalnu realizaciju od strane učenika tipični zadaci na novi način djelovanja sa samopregledom prema modelu;
2) organizovati samoocenjivanje od strane dece ispravnosti zadatka.
Organizacija obrazovnog procesa u fazi VI.
A sada će Dunno pogledati kako smo naučili primijeniti novo pravilo.
Samostalan rad. <Приложение12 >
Zašto sami radimo svoj posao? (Saznaj poteškoće i savladaj ih, testiraj svoju snagu)
Koji su načini za oduzimanje sume od broja? (Zgodno je oduzeti jedan član, pa drugi)
Uzmi bijeli list. Po mojoj komandi počinjemo da odlučujemo.
Started...Stop.
Uzmite jednostavnu olovku i provjerite s uzorkom. <Приложение13 >
Ko je tako, stavi "+".
Ko ima grešku, stavi “-”.
Podigni ruku, ko je to uradio?
Podigni ruku, ko ima bubu? Gdje je nastala poteškoća? (računarski prijem)
Uradili ste divan posao.
Šta ste naučili na lekciji? (naučio zgodan način za oduzimanje iznosa od broja)
Napravite zaključak. (odgovori djece)
Fizminutka.
VII. Uključivanje u sistem znanja i ponavljanja.
Svrha: ponoviti rješenje problema, pronaći pogodan način za njegovo rješavanje.
Organizacija obrazovnog procesa na VII stepenu.
Gdje možete primijeniti naučena pravila? (Prilikom rješavanja zadataka, primjeri)
Pogledajte i pročitajte problem #3 u sebi.
Izvršite analizu zadatka. (U zadatku se zna da je Denis imao 45 maraka. Petji je dao 15, a Kolji 13 maraka. Moramo saznati koliko mu je maraka ostalo.
Da bismo odgovorili na pitanje zadatka, potrebno je od ukupnog broja maraka oduzeti broj maraka koje je Denis dao Petyi i Kolyi. Ne možemo odmah odgovoriti na pitanje problema, jer ne znamo koliko je ukupno maraka Denis dao Peti i Kolji. A to možemo saznati dodavanjem broja maraka koje je dao Petyi broju maraka koje je dao Kolji).
U slučaju poteškoća u analizi problema, nastavnik pomaže sa pitanjima koja su predstavljena u nastavku:
Šta se zna o problemu?
Šta treba da znate?
Kako odgovoriti na pitanje zadatka?
Možemo li odmah odgovoriti na pitanje problema? Zašto?
Možemo li saznati? Kako?
Recite plan za rješavanje problema. (U prvom koraku ćemo saznati koliko je ukupno maraka Denis dao, a zatim ćemo odgovoriti na pitanje zadatka). <Приложение 14 >
Ko je drugačije riješio problem? (Da bismo odgovorili na pitanje zadatka, potrebno je od ukupnog broja maraka oduzeti broj maraka koje je Denis dao Peti, a zatim broj maraka koje je dao Kolji)
Ispričajte plan za rješavanje problema na drugi način. (Prvi korak je da saznamo koliko je maraka Denisu ostalo nakon što je dao Petyu, a zatim saznamo koliko mu je maraka ostalo nakon što je Kolji dao 13 maraka i odgovorimo na pitanje zadatka). <Приложение15 >
Koji je najbolji način za rješavanje problema? Zašto? (Drugo, zgodnije je oduzeti jedan dio od cjeline, a zatim drugi dio)
Zapišite rješenje problema na prikladan način. Uzorak samotestiranja. <Приложение16 >
VIII. Odraz aktivnosti.
1) fiksirati u govoru novu metodu radnje koja se proučava na lekciji: oduzimanje iznosa od broja;
2) otkloniti preostale poteškoće i načine za njihovo prevazilaženje;
3) evaluiraju sopstvene aktivnosti na času, usklađuju domaći zadatak.
Organizacija obrazovnog procesa na VIII stepenu.
Dakle, danas u lekciji, našem znanju je dodato još jedno pravilo, zapamtite ga. (Danas u lekciji smo naučili kako da oduzmemo iznos od broja. Da biste oduzeli iznos od broja, prvo možete oduzeti jedan član, a zatim drugi)
Ko ima problema?
Jeste li uspjeli da ih savladate? Kako?
Na čemu još treba poraditi?
Ocjenjivanje od strane nastavnika za rad na času.
Domaći zadatak: str.44, br.4. Osmislite i riješite vlastiti primjer na novu temu.
Književnost
1) Udžbenik „Matematika 2. razred, 2. dio“; L.G. Peterson. Izdavačka kuća "Yuventa", 2008.
3) L.G. Peterson, I.G. Lipatnikova "Usmene vježbe na časovima matematike 2. razred". M.: “Škola 2000…”
Koncept oduzimanja najbolje je razumjeti na primjeru. Odlučili ste da popijete čaj sa slatkišima. U vazi je bilo 10 bombona. Pojeo si 3 bombona. Koliko bombona je ostalo u vazi? Ako od 10 oduzmemo 3, u vazi će ostati 7 slatkiša. Zapišimo problem matematički:
Pogledajmo pobliže unos:
10 je broj od kojeg oduzimamo ili koji smanjujemo, stoga se zove smanjena.
3 je broj koji oduzimamo. Stoga se zove deductible.
7 je rezultat oduzimanja ili se također naziva razlika. Razlika pokazuje koliko je prvi broj (10) veći od drugog broja (3) ili koliko je drugi broj (3) manji od prvog broja (10).
Ako ste u nedoumici da li ste ispravno pronašli razliku, morate to učiniti verifikacija. Dodajte drugi broj razlici: 7+3=10
Prilikom oduzimanja l, minus ne može biti manji od oduzetog.
Izvlačimo zaključak iz rečenog. Oduzimanje- ovo je radnja uz pomoć koje se drugi član nalazi zbirom i jednim od članova.
U doslovnom obliku, ovaj izraz će izgledati ovako:
a -b=c
a - smanjeno,
b - oduzeto,
c je razlika.
Svojstva oduzimanja zbira od broja.
13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6
Primjer se može riješiti na dva načina. Prvi način je da pronađete zbir brojeva (3 + 4), a zatim oduzmete od ukupnog broja (13). Drugi način je da oduzmete prvi član (3) od ukupnog broja (13), a zatim oduzmete drugi član (4) od nastale razlike.
U doslovnom obliku, svojstvo za oduzimanje sume od broja će izgledati ovako:
a - (b + c) = a - b - c
Svojstvo oduzimanja broja od zbira.
(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8
Da biste oduzeli broj od zbira, ovaj broj možete oduzeti od jednog člana, a zatim rezultatu razlike dodati drugi član. Pod uslovom, član će biti veći od oduzetog broja.
U doslovnom obliku, svojstvo za oduzimanje broja od sume će izgledati ovako:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(a +b) —c=a + (b - c), pod uslovom b > c
(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) - c \u003d (a - c) + b, pod uslovom a > c
Svojstvo oduzimanja sa nulom.
10 — 0 = 10
a - 0 = a
Ako od broja oduzmete nulu onda će to biti isti broj.
10 — 10 = 0
a -a = 0
Ako od broja oduzmete isti broj onda će biti nula.
Povezana pitanja:
U primjeru 35 - 22 = 13 imenovati minus, oduzetak i razliku.
Odgovor: 35 - smanjeno, 22 - oduzeto, 13 - razlika.
Ako su brojevi isti, koja je njihova razlika?
Odgovor: nula.
Provjerite oduzimanje 24 - 16 = 8?
Odgovor: 16 + 8 = 24
tablica oduzimanja prirodni brojevi od 1 do 10.
Primjeri zadataka na temu "Oduzimanje prirodnih brojeva."
Primjer #1:
Unesite broj koji nedostaje: a) 20 - ... = 20 b) 14 - ... + 5 = 14
Odgovor: a) 0 b) 5
Primjer #2:
Da li je moguće oduzeti: a) 0 - 3 b) 56 - 12 c) 3 - 0 d) 576 - 576 e) 8732 - 8734
Odgovor: a) ne b) 56 - 12 = 44 c) 3 - 0 = 3 d) 576 - 576 = 0 e) ne
Primjer #3:
Pročitaj izraz: 20 - 8
Odgovor: “Od dvadeset oduzmi osam” ili “od dvadeset oduzmi osam”. Pravilno izgovarajte riječi
Za potpunu analizu teme članka uvodimo pojmove i definicije, označavamo značenje radnje oduzimanja i izvodimo pravilo prema kojem radnja oduzimanja može dovesti do radnje sabiranja. Pogledajmo praktične primjere. I također razmotrite akciju oduzimanja u geometrijskoj interpretaciji - na koordinatnoj liniji.
Općenito, osnovni pojmovi koji se koriste za opisivanje operacije oduzimanja su isti za bilo koju vrstu broja.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1
Minuend je cijeli broj od kojeg treba oduzeti.
Subtrahend je cijeli broj koji treba oduzeti.
Razlika je rezultat izvršene operacije oduzimanja.
Za označavanje same radnje koristi se znak minus, koji se stavlja između minusa i subtrahenda. Svi sastavni dijelovi gore spomenute radnje napisani su u obliku jednakosti. To jest, ako su dati cijeli brojevi a i b, a kada se oduzme od prve sekunde, dobije se broj c, akcija oduzimanja će se napisati na sljedeći način: a - b \u003d c.
Kao razlika će biti označen i izraz oblika a - b, kao i sama konačna vrijednost ovog izraza.
Značenje celobrojnog oduzimanja
U temi oduzimanja prirodnih brojeva uspostavljen je odnos između operacija sabiranja i oduzimanja, što je omogućilo da se oduzimanje definiše kao traženje jednog od pojmova po poznatom zbiru i drugom članu. Pretpostavljamo da oduzimanje cijelih brojeva ima isto značenje: drugi član je određen datim zbrojem i jednim od članova.
Navedeno značenje akcije oduzimanja cijelih brojeva omogućava da se tvrdi da su c - b = a i c - a = b, ako su a + b = c, gdje su a, b, c cijeli brojevi.
Razmotrite jednostavne primjere kako biste konsolidirali teoriju:
Neka znamo da je - 5 + 11 = 6, tada je razlika 6 - 11 = - 5;
Pretpostavimo da je poznato da je - 13 + (- 5) = - 18, zatim - 18 - (- 5) \u003d - 13 i - 18 - (- 13) = - 5.
Pravilo oduzimanja cijelog broja
Gore navedeno značenje akcije oduzimanja ne ukazuje na konkretan način izračunavanja razlike. One. možemo tvrditi da je jedan od poznatih pojmova rezultat oduzimanja drugog poznatog člana od zbira. Ali, ako se pokaže da je jedan od pojmova nepoznat, onda ne možemo znati kolika će biti razlika između zbira i poznatog pojma. Stoga, da bismo izvršili akciju oduzimanja, potrebno nam je pravilo oduzimanja cijelog broja:
Definicija 1
Da bi se utvrdila razlika između dva broja, potrebno je minusu dodati broj suprotan oduzetom, tj. a - b = a + (- b) , gdje su a i b cijeli brojevi; b i – b su suprotni brojevi.
Dokažimo naznačeno pravilo oduzimanja, tj. Dokažimo valjanost jednakosti naznačene u pravilu. Da bismo to učinili, prema značenju oduzimanja cijelih brojeva, dodamo a + (- b) oduzeto b i vodimo računa da kao rezultat dobijemo smanjeno a, tj. provjeriti valjanost jednakosti (a + (- b)) + b = a . Na osnovu svojstava sabiranja cijelih brojeva, možemo napisati lanac jednakosti: (a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = a , to će biti dokaz pravila za oduzimanje cijelih brojeva.
Razmotrimo primjenu pravila za oduzimanje cijelih brojeva na konkretnim primjerima.
Oduzimanje pozitivnog cijelog broja, primjeri
Primjer 1Od cijelog broja 15 potrebno je oduzeti cijeli pozitivni broj 45 .
Rješenje
Prema pravilu, da bi se od zadanog broja 15 oduzeo cijeli broj pozitivan broj 45, potrebno je na smanjenih 15 dodati broj - 45, tj. suprotno datoj 45 . Dakle, željena razlika će biti jednaka zbroju cijelih brojeva 15 i - 45 . Izračunavši traženi zbir brojeva sa suprotnim predznacima, dobijamo broj - 30. One. rezultat oduzimanja broja 45 od broja 15 bit će broj - 30. Napišimo cijelo rješenje u jednom redu: 15 - 45 = 15 + (- 45) = - 30 .
Odgovor: 15 - 45 = - 30.
Primjer 2
Potrebno je od negativnog cijelog broja - 150 oduzeti cijeli pozitivan broj 25 .
Rješenje
Prema pravilu, dodajmo opadajućem broju - 150 broj - 25 (tj. suprotno od datog oduzetog 25). Nađite zbroj negativnih cijelih brojeva: - 150 + (- 25) = - 175 . Dakle, željena razlika je jednaka. Cijelo rješenje pišemo ovako: - 150 - 25 \u003d - 150 + (- 25) \u003d - 175.
Odgovor: - 150 - 25 = - 175.
Primjeri nulte oduzimanja
Pravilo oduzimanja celog broja omogućava da se izvede princip oduzimanja nule od celog broja - oduzimanje nule od bilo kog celog broja ne menja ovaj broj, tj. a - 0 = a, gdje je a proizvoljan cijeli broj.
Hajde da objasnimo. Prema pravilu oduzimanja, oduzimanje nule je dodavanje minusa broja suprotnog nuli. Nula je broj suprotan samom sebi, tj. oduzimanje nule je isto kao i dodavanje nule. Na osnovu povezanog svojstva sabiranja, dodavanje nule bilo kojem cijelom broju ne mijenja taj broj. Na ovaj način,
a - 0 = a + (- 0) = a + 0 = a .
Razmotrimo jednostavne primjere oduzimanja nule od raznih cijelih brojeva. Na primjer, razlika 61 - 0 je 61. Ako od negativnog cijelog broja - 874 oduzmete nulu, dobit ćete - 874. Ako od nule oduzmemo nulu, dobićemo nulu.
Oduzimanje negativnog cijelog broja, primjeri
Primjer 3Od cijelog broja 0 potrebno je oduzeti negativan cijeli broj - 324 .
Rješenje
Prema pravilu oduzimanja, određivanje razlike 0 - (- 324) mora se izvršiti tako što se opadajućem broju 0 doda broj suprotan oduzetom - 324. Zatim: 0 - (- 324) = 0 + 324 = 324
Odgovor: 0 - (- 324) = 324
Primjer 4
Odredite razliku - 6 - (- 13) .
Rješenje
Oduzmimo od negativnog cijelog broja - 6 negativan cijeli broj - 13 . Da bismo to učinili, izračunavamo zbir dva broja: smanjenog - 6 i broja 13 (to jest, suprotno od datog oduzetog - 13). Dobijamo: - 6 - (- 13) \u003d - 6 + 13 \u003d 7.
Odgovor: - 6 - (- 13) = 7 .
Oduzimanje jednakih cijelih brojeva
Ako su dati minuend i subtrahend jednaki, tada će njihova razlika biti jednaka nuli, tj. a - a = 0, gdje je a bilo koji cijeli broj.
Hajde da objasnimo. Prema pravilu za oduzimanje cijelih brojeva a - a = a + (- a) = 0, što znači: da biste oduzeli cijeli broj jednak njemu, potrebno je ovom broju dodati broj koji je suprotan njemu, što će rezultat je nula.
Na primjer, razlika jednakih cijelih brojeva - 54 i - 54 jednaka je nuli; izvodeći radnju oduzimanja broja 513 od broja 513, dobijamo nulu; oduzimanjem nule od nule, dobijamo i nulu.
Provjera rezultata oduzimanja cijelih brojeva
Potrebna provjera se izvodi pomoću akcije dodavanja. Da bismo to učinili, rezultujućoj razlici dodajemo oduzimanje: kao rezultat, trebali bismo dobiti broj jednak onom koji se smanjuje.
Primjer 5
Od cijelog broja - 300 oduzet je cijeli broj - 112 i dobijena je razlika - 186. Da li je oduzimanje bilo ispravno?
Rješenje
Provjerimo prema gore navedenom principu. Dodajmo oduzimanje datoj razlici: - 186 + (- 112) \u003d - 298. Dobili smo broj različit od zadatog umanjenog, pa je napravljena greška pri izračunavanju razlike.
Odgovor: Ne, oduzimanje je urađeno pogrešno.
U zaključku, razmotrite geometrijsku interpretaciju akcije oduzimanja cijelih brojeva. Nacrtajmo horizontalnu koordinatnu liniju usmjerenu udesno:
Iznad smo izveli pravilo za izvođenje akcije oduzimanja, prema njemu: a - b \u003d a + (- b), tada će se geometrijska interpretacija oduzimanja brojeva a i b poklopiti s geometrijskom smislu zbrajanje cijelih brojeva a i - b. Iz ovoga slijedi da je za oduzimanje cijelog broja b od cijelog broja a potrebno:
Pomaknite se od tačke sa koordinatom a za b jediničnih segmenata ulijevo, ako je b pozitivan broj;
Pomaknite se od točke s koordinatom a do | b | (modul broja b) jedinične segmente desno, ako je b negativan broj;
Ostanite u tački sa koordinatom a ako je b = 0.
Razmotrimo primjer koristeći grafičku sliku:
Neka je potrebno od celog broja - 2 oduzeti pozitivan ceo broj 2 . Da biste to učinili, prema gornjoj shemi, pomaknite se ulijevo za 2 pojedinačni segment, čime se dolazi do tačke sa koordinatom - 4 , tj. - 2 - 2 = - 4 .
Drugi primjer: oduzimamo od cijelog broja 2 negativan cijeli broj - 3. Zatim, prema šemi, pomaknite se udesno za | - 3 | = 3 jedinična segmenta, čime se dolazi do tačke sa koordinatom 5 . Dobijamo jednakost: 2 - (- 3) = 5 i ilustraciju za to:
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
oduzimanje), inverzno sabiranju. Označava se znakom minus "-". Ovo je radnja kojom se zbir i jedan od pojmova mogu koristiti za pronalaženje drugog člana.Poziva se broj od kojeg treba oduzeti minuend, a broj koji treba oduzeti je subtrahend. Rezultat operacija oduzimanja se zove razlika.
Javite nam: zbir 2 broja c i b jednaki a, dakle razlika a−c bice b, i razlika a−b bice c.
Najprikladnije je oduzimati metodom „u stupcu“.
tablica oduzimanja.
Za lakše i brže savladavanje procesa oduzimanja pogledajte i zapamtite tablicu oduzimanja do deset za 2. razred:
Svojstva oduzimanja prirodnih brojeva.
- Oduzimanje, kao proces, NEMA komutativno svojstvo: a−b≠b−a.
- Razlika identičnih brojeva jednaka je nuli: a−a=0.
- Oduzimanje zbira 2 cijela broja od cijelog broja: a−(b+c)=(a−b)−c.
- Oduzimanje broja od zbira 2 broja: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c).
- Distributivno svojstvo množenja u odnosu na oduzimanje: a (b−c)=a b−a c i (a−b) c=a c−b c.
- I sva ostala svojstva oduzimanja cijelih brojeva (prirodni brojevi).
Razmotrimo neke od njih:
Svojstvo oduzimanja dva jednaka prirodna broja.
Razlika 2 identična prirodna broja jednaka je nuli.
a−a=0,
gdje a- bilo koji prirodni broj.
Oduzimanje prirodnih brojeva NEMA komutativno svojstvo.
Iz gore opisanog svojstva može se vidjeti da za 2 identična prirodna broja funkcionira komutativno svojstvo oduzimanja. U svim ostalim slučajevima (ako je minus ≠ oduzet), oduzimanje prirodnih brojeva nema komutativno svojstvo. Ili, drugačije rečeno, minuend i subtrahend se ne zamjenjuju.
Kada je minuend veći od oduzetog i odlučimo ih zamijeniti, tada ćemo od prirodnog broja, koji je manji, oduzeti prirodni broj koji je veći. Ovaj sistem ne odgovara suštini oduzimanja prirodnih brojeva.
Ako a a i b nejednaki prirodni brojevi a−b≠b−a. Na primjer, 45−21≠21−45.
Svojstvo oduzimanja zbira dva broja od prirodnog broja.
Za oduzimanje od navedenog prirodnog broja traženi zbir 2 prirodna broja je isti, ako se od navedenog prirodnog broja oduzme 1. član traženog zbira, onda se od izračunate razlike oduzima 2. član.
Može se izraziti slovima kao što su:
a−(b+c)=(a−b)−c,
gdje a, b i c- prirodni brojevi, uslovi moraju biti ispunjeni a>b+c ili a=b+c.
Svojstvo oduzimanja prirodnog broja od zbira dva broja.
Oduzimanje prirodnog broja od zbira 2 broja je isto kao i oduzimanje broja od jednog od članova, a zatim dodavanje razlike i drugog člana. Oduzeti broj NE može biti veći od člana od kojeg se ovaj broj oduzima.
Neka a, b i c- cijeli brojevi. Sta ako a više ili jednako c, jednakost (a+b)−c=(a−c)+b biće istina, i ako b više ili jednako c, zatim: (a+b)−c=a+(b−c). Kada i a i b više ili jednako c, tako da vrijede obje posljednje jednakosti i mogu se napisati ovako:
(a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c).
razlika cijelih brojeva nenegativni brojevi a ib je broj elemenata u komplementu skupa B skupu A, pod uslovom dan(A)= a, n(B)= b, BA, tj. a -b = n(A B). To je zbog činjenice da je A \u003d B (AB), tj.n(A)= n(B) + n(A B).
Dokažimo to. Pošto prema uslovu AT- vlastiti podskup skupa ALI, onda se mogu predstaviti kao na sl. 3.
Oduzimanje prirodnih (nenegativnih cijelih) brojeva definira se kao inverzna operacija sabiranja: a -b = c () b + c = a.
Razlika AB osenčeno na ovoj slici. Vidimo da setovi AT i AB ne seku i njihova unija je jednaka ALI. Dakle, broj elemenata u skupu ALI može se pronaći pomoću formule n(A)=n(B) + n(AB), odakle, po definiciji oduzimanja kao operacije, inverzno sabiranje, dobijamo n(AB) = a -b.
Slično tumačenje se daje oduzimanju nule, kao i oduzimanju a od a. Jer A=A AA=, onda a - 0= a i a - a = 0.
Razlika a -b nenegativni cijeli brojevi postoje ako i samo ako .
Radnja kojom se pronalazi razlika a -b, zove se oduzimanje, broj a- smanjeno, b- oduzeti.
Koristeći definicije, pokazat ćemo da je 8 - 5 = 3 . Neka su data dva skupa takva da n(A) = 8, n(B) = 5. I neka mnoštvo AT je podskup skupa ALI. Na primjer, A ={a, s, d, f, g, h, j, k} , B={a, s, d, f, g} .
Nađi dopunu skupa AT mnogo A: AB ={h, j, k). Shvatili smo to n(AB) = 3.
Shodno tome , 8 - 5 = 3.
Odnos između oduzimanja brojeva i oduzimanja skupova omogućava nam da opravdamo izbor radnje pri rješavanju tekstualnih zadataka. Hajde da otkrijemo zašto se sljedeći zadatak rješava oduzimanjem i riješimo ga: „U školi je raslo 7 stabala, od kojih su 3 bila breze, ostalo su lipe. Koliko je lipa raslo u blizini škole?
Predstavimo stanje problema vizuelno, prikazujući svako drvo zasađeno u blizini škole u krug (slika 4). Među njima su 3 breze - na slici ćemo ih istaknuti šrafiranjem. Onda su ostalo drveće - ne zasjenjeni krugovi - lipe. Odnosno, ima ih onoliko koliko će se od 7 oduzeti 3 , tj. . 4.
Problem razmatra tri skupa: skup ALI svo drveće, mnogo AT- breze, što je podskup ALI, i set OD usne - to je dodatak kompletu AT prije ALI. Zadatak je pronaći broj elemenata u ovom dodatku.
Po stanju n(A) = 7, n(B)= 3 i BA. Neka A ={a, b, c, d, e, f, g} , B={a, b, c} . Nađi dopunu skupa ALI prije AT: AB={d, e, f, g) i n(AB) = 4.
znači, n(C) = n(AB) = n(A) - n(B)= 7 - 3 = 4.
Tako su u blizini škole rasle 4 lipe.
Razmatrani pristup sabiranju i oduzimanju nenegativnih cijelih brojeva omogućava nam da interpretiramo različita pravila sa pozicija teorijske skupove.
Pravilo za oduzimanje broja od zbira: da se od zbira oduzme broj, dovoljno je da se od jednog od članova oduzme ovaj broj i dobijenom rezultatu doda još jedan član, tj. at as imamo to (a+b)-c=(a-c)+b; at bc imamo to (a+b)-c=a+(b-c); at ac i bc može se koristiti bilo koja od ovih formula.
Hajde da saznamo značenje ovog pravila: Neka A, B, C su skupovi takvi da n(A)=a, n(B)=b i AB= , SA(Sl.5).
Lako je dokazati uz pomoć Eulerovih krugova da jednakost vrijedi za ove skupove.
Desna strana jednakosti izgleda ovako:
Lijeva strana jednakosti ima oblik: Dakle (a + b) - c = (a - c) + b,at pod uslovom da a>c.
Pravilo za oduzimanje zbira od broja : da se od broja oduzme zbir brojeva, dovoljno je da se od tog broja oduzmu sukcesivno svaki član jedan za drugim, tj. pod uslovom da a b+c, imamo a - (b + c) = (a - b) - c.
Hajde da saznamo značenje ovog pravila. Za ove skupove vrijedi jednakost.
Tada dobijamo da desna strana jednakosti ima oblik:. Lijeva strana jednakosti ima oblik: .
Shodno tome (a + b) - c = (a - c) + b, at pod uslovom da a>c.
Pravilo za oduzimanje razlike od broja:
oduzeti od a razlika b-c, dovoljno za dati broj add subtrahend With i oduzmite minus od rezultata b; at a > b moguće je od broja a oduzeti smanjeno b, a dobijenom rezultatu dodati oduzeto c, tj. a - (b - c) = (a + c) - b = (a - b) + c.
znači, A(BC) = .
shodno tome, n(A(BC)) = n( ) i a - (b - c) = (a + c) - b.
Pravilo za oduzimanje broja od razlike: da oduzmemo treći broj od razlike dva broja, dovoljno je od smanjenog oduzeti zbir druga dva broja, tj. (a -b) - c = a - (b + c). Dokazuje se slično kao pravilo za oduzimanje zbira od broja.
Primjer. Na koji način se može pronaći razlika: a) 15 - (5 + 6); b) (12 + 6) - 2?
Rješenje. a) Koristimo pravilo za oduzimanje zbira od broja: 15 - (5 + 6) = (15 - 5) - 6 = 10 - 6 = 4.
Ili 15 - (5 + 6) = (15 - 6) - 5 = 9 - 4 = 4.
Ili 15 - (5 + 6) = 15 - 11= 4 .
b) Koristimo pravilo za oduzimanje broja od zbira: (12 + 6) - 2 = (12 - 2) + 6 = 10 + 6 = 16.
Ili (12 + 6) - 2 = 12 + (6 - 2) = 12 + 4 = 16 .
Ili (12 + 6) - 2 = 18 - 2 = 16.
Ova pravila pojednostavljuju proračune i široko se koriste u primarni kurs matematike.