Imajte na umu da elementi matrice ne mogu biti samo brojevi. Zamislite da opisujete knjige koje se nalaze na vašoj polici. Neka vaša polica bude uredna i sve knjige stoje na strogo određenim mjestima. Tabela koja će sadržavati opis vaše biblioteke (prema policama i redoslijedu knjiga na polici) također će biti matrica. Ali takva matrica neće biti numerička. Još jedan primjer. Umjesto brojeva, postoje različite funkcije koje su međusobno povezane nekom ovisnošću. Rezultirajuća tabela će se takođe zvati matrica. Drugim riječima, Matrix je bilo koji pravokutni sto sastavljen od homogena elementi. Ovdje i u nastavku ćemo govoriti o matricama sastavljenim od brojeva.

Umjesto zagrada, matrice se pišu uglastim zagradama ili ravnim dvostrukim okomitim linijama.

(2.1*)

Definicija 2. Ako u izrazu(1) m = n , onda pričaju o tome kvadratna matrica, i ako , nešto o tome pravougaona.

Ovisno o vrijednostima m i n, postoje neke posebne vrste matrica:

Najvažnija karakteristika kvadrat matrica je njegova odrednica ili odrednica, koji se sastoji od matričnih elemenata i označava se

Očigledno, D E =1; .

Definicija 3. Ako , zatim matrica A pozvao nedegenerisan ili nije posebno.

Definicija 4. Ako detA = 0 , zatim matrica A pozvao degenerisati ili poseban.

Definicija 5. Dvije matrice A I B pozvao jednaka i pisati A=B ako su iste dimenzije i njihovi odgovarajući elementi su jednaki, tj..

Na primjer, matrice i su jednake, jer jednake su veličine i svaki element jedne matrice jednak je odgovarajućem elementu druge matrice. Ali matrice se ne mogu nazvati jednakim, iako su determinante obje matrice jednake, a dimenzije matrica su iste, ali nisu svi elementi na istim mjestima jednaki. Matrice su različite jer imaju različite veličine. Prva matrica je 2x3, a druga 3x2. Iako je broj elemenata isti - 6 i sami elementi su isti 1, 2, 3, 4, 5, 6, ali se nalaze na različitim mjestima u svakoj matrici. Ali matrice i su jednake, prema definiciji 5.

Definicija 6. Ako popravimo određeni broj stupaca matrice A i isti broj njegovih redova, tada elementi na presjeku navedenih stupaca i redova formiraju kvadratnu matricu n- reda, čija je odrednica pozvao minor k- matrica th reda A.

Primjer. Napišite tri minora drugog reda matrice

Matrica je pravokutna tablica ispunjena nekim matematičkim objektima. Uglavnom ćemo razmatrati matrice sa elementima iz nekog polja, iako mnoge tvrdnje ostaju važeće ako elemente asocijativnog (ne nužno komutativnog) prstena smatramo elementima matrica.

Najčešće se elementi matrice označavaju jednim slovom sa dva indeksa koji označavaju "adresu" elementa - prvi indeks daje broj reda koji sadrži element, drugi - broj kolone. Dakle, matrica (dimenzija ) je zapisana u obliku

Matrice umetnute iz brojeva prirodno nastaju kada se razmatraju sistemi linearne jednačine

Ulaz za ovaj problem je skup koeficijenata koji prirodno formiraju matricu

i skup slobodnih termina koji formiraju matricu koja ima samo jedan stupac. Željeni je skup vrijednosti nepoznatih, koji je, kako se ispostavilo, također zgodno predstaviti u obliku matrice koja se sastoji od jednog stupca.

Važnu ulogu igraju takozvane dijagonalne matrice. Ovaj naziv se odnosi na kvadratne matrice koje imaju sve elemente jednake nuli, osim elemenata glavne dijagonale, odnosno elemenata na pozicijama

Označava se dijagonalna matrica D sa dijagonalnim unosima

Matrica sastavljena od elemenata koji se nalaze na sjecištima nekoliko odabranih redova matrice A i nekoliko odabranih stupaca naziva se podmatrica za matricu A. Ako su brojevi odabranih redova i brojevi odabranih stupaca, tada je odgovarajuća podmatrica

Konkretno, redovi i stupci matrice mogu se smatrati njenim podmatricama.

Matrice su prirodno povezane sa linearnom supstitucijom ( linearna transformacija) varijable. Ovaj naziv se odnosi na prelazak sa originalnog sistema varijabli na drugi, novi, povezan formulama

Linearna zamjena varijabli je data matricom koeficijenata

Među sistemima linearnih jednačina najveća vrijednost imaju sisteme u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznanica. Među linearnim zamjenama varijabli, glavnu ulogu imaju zamjene kod kojih je broj početnih i novih varijabli isti. U ovim situacijama, matrica koeficijenata ispada kvadratna, tj. ima isti broj redova i kolona; ovaj broj se zove red kvadratne matrice.

Umjesto da kažu "matrica koja se sastoji od jednog reda" i "matrica koja se sastoji od jednog stupca", kažu ukratko: red, kolona.

Matrix Dimenzija se naziva pravougaona tabela, koja se sastoji od elemenata raspoređenih u m linije i n kolone.

Elementi matrice (prvi indeks i− broj reda, drugi indeks j− broj kolone) mogu biti brojevi, funkcije itd. Matrice se označavaju velikim slovima latinice.

Matrica se zove kvadrat ako je njegov broj redova jednak broju kolona ( m = n). U ovom slučaju, broj n se naziva red matrice, a sama matrica se naziva matrica n-th red.

Elementi sa istim indeksom formu glavna dijagonala kvadratnu matricu i elemente (to jest, koji imaju zbir indeksa jednak n+1) − sekundarna dijagonala.

Samica matrica pozvao kvadratna matrica, čiji su svi elementi glavne dijagonale jednaki 1, a preostali elementi jednaki 0. Označava se slovom E.

Zero matricu je matrica čiji su svi elementi jednaki 0. Nulta matrica može biti bilo koje veličine.

Na broj linearne operacije na matricama vezati:

1) dodavanje matrice;

2) množenje matrica brojem.

Operacija sabiranja matrice definirana je samo za matrice iste dimenzije.

Zbir dvije matrice ALI I IN zove se matrica OD, čiji su svi elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrice ALI I IN:

.

Matrični proizvod ALI po broju k zove se matrica IN, čiji su svi elementi jednaki odgovarajućim elementima date matrice ALI pomnoženo brojem k:

Operacija množenja matrica uvodi se za matrice koje zadovoljavaju uvjet: broj stupaca prve matrice jednak je broju redova druge.

Matrični proizvod ALI dimenzije na matricu IN dimenzija se naziva matrica OD dimenzija, element i-ti red i jčiji je stupac jednak zbiru proizvoda elemenata i th red matrice ALI na relevantne elemente j-ti stupac matrice IN:

Proizvod matrica (za razliku od proizvoda realnih brojeva) ne poštuje komutativni zakon, tj. Uglavnom ALI IN IN ALI.

1.2. Odrednice. Svojstva kvalifikatora

Koncept determinante uveden samo za kvadratne matrice.

Determinanta matrice drugog reda je broj izračunat prema sljedećem pravilu

.

Determinanta matrice 3. reda je broj izračunat prema sljedećem pravilu:

Prvi od pojmova sa znakom “+” je proizvod elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali matrice (). Druga dva sadrže elemente koji se nalaze na vrhovima trouglova sa osnovom paralelnom sa glavnom dijagonalom(ama). Sa znakom "-" uključeni su proizvodi elemenata sekundarne dijagonale () i elemenata koji tvore trokute s bazama paralelnim s ovom dijagonalom (i).

Ovo pravilo za izračunavanje determinante trećeg reda naziva se pravilo trouglova (ili Sarrusovo pravilo).

Svojstva kvalifikatora Razmotrimo primjer determinanti trećeg reda.

1. Prilikom zamjene svih redova determinante kolonama sa istim brojevima kao i redovi, determinanta ne mijenja svoju vrijednost, tj. redovi i kolone determinante su jednaki

.

2. Kada se dva reda (kolone) zamijene, determinanta mijenja svoj predznak.

3. Ako su svi elementi određenog reda (kolone) nule, tada je determinanta 0.

4. Zajednički faktor svih elemenata reda (kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante.

5. Odrednica koja sadrži dva identična reda (kolone) je 0.

6. Determinanta koja sadrži dva proporcionalna reda (kolone) jednaka je nuli.

7. Ako svaki element određenog stupca (reda) determinante predstavlja zbir dva člana, onda je determinanta jednaka zbroju dvije determinante od kojih jedna sadrži prve članove u istom stupcu (redu), a druga - drugi. Preostali elementi obje determinante su isti. dakle,

.

8. Determinanta se ne mijenja ako se odgovarajući elementi druge kolone (reda) pomnožene istim brojem dodaju elementima bilo koje od njenih kolona (redova).

Sljedeće svojstvo determinante vezano je za koncepte minora i algebarskog komplementa.

Minor element determinante je determinanta dobijena iz datog brisanjem reda i kolone na čijem se preseku nalazi ovaj element.

Na primjer, manji element determinante naziva se determinanta.

Algebarsko sabiranje element determinante naziva se njegov minor pomnožen sa gdje i− broj reda, j− broj kolone na čijem se presjeku element nalazi. Algebarski komplement se obično označava. Za determinantni element 3. reda, algebarski komplement

9. Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda (kolone) i njihovih odgovarajućih algebarskih sabiraka.

Na primjer, determinanta se može proširiti na elemente prvog reda

,

ili druga kolona

Svojstva determinanti koriste se za njihovo izračunavanje.

Ova tema će pokriti operacije kao što su sabiranje i oduzimanje matrica, množenje matrice brojem, množenje matrice matricom, transpozicija matrice. Svi simboli koji se koriste na ovoj stranici preuzeti su iz prethodne teme.

Sabiranje i oduzimanje matrica.

Zbir $A+B$ matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m \times n) =(c_(ij))$, gdje je $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline( 1,n) $.

Slična definicija je uvedena za razliku matrica:

Razlika $AB$ matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\times n)=( c_(ij))$, gdje je $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1, n)$.

Objašnjenje za unos $i=\overline(1,m)$: show\hide

Unos "$i=\overline(1,m)$" znači da se parametar $i$ mijenja sa 1 na m. Na primjer, unos $i=\overline(1,5)$ kaže da parametar $i$ uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.

Vrijedi napomenuti da su operacije sabiranja i oduzimanja definirane samo za matrice iste veličine. Općenito, sabiranje i oduzimanje matrica su operacije koje su intuitivno jasne, jer zapravo znače samo zbrajanje ili oduzimanje odgovarajućih elemenata.

Primjer #1

Date su tri matrice:

$$ A=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \desno)\;\; B=\left(\begin(niz) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(niz) \desno); \;\; F=\left(\begin(niz) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(niz) \desno). $$

Da li je moguće pronaći matricu $A+F$? Pronađite matrice $C$ i $D$ ako je $C=A+B$ i $D=A-B$.

Matrica $A$ sadrži 2 reda i 3 kolone (drugim riječima, veličina matrice $A$ je $2\puta 3$), a matrica $F$ sadrži 2 reda i 2 stupca. Dimenzije matrice $A$ i $F$ se ne poklapaju, pa ih ne možemo dodati, tj. operacija $A+F$ za ove matrice nije definirana.

Veličine matrica $A$ i $B$ su iste, tj. matrični podaci sadrže jednak iznos redove i kolone, tako da je operacija sabiranja primjenjiva na njih.

$$ C=A+B=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \right)+ \left(\begin(niz) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(niz) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(niz) \desno) $$

Pronađite matricu $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(niz) \desno)- \left(\begin(niz) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(niz) \right)=\\= \left(\begin(niz) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(niz) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(niz) \desno) $$

Odgovori: $C=\left(\begin(niz) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Množenje matrice brojem.

Proizvod matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i broja $\alpha$ je matrica $B_(m\times n)=(b_(ij))$, gdje je $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Jednostavno rečeno, pomnožiti matricu nekim brojem znači pomnožiti svaki element date matrice tim brojem.

Primjer #2

Zadana matrica: $ A=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \right)$. Pronađite matrice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ i $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \desno) =\left(\begin( niz) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(niz) \desno).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(niz) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(niz) \desno). $$

Oznaka $-A$ je skraćenica za $-1\cdot A$. To jest, da biste pronašli $-A$, trebate pomnožiti sve elemente matrice $A$ sa (-1). U stvari, to znači da će se predznak svih elemenata matrice $A$ promijeniti u suprotno:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(niz) \right)= \ lijevo(\begin(niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(niz) \desno) $$

Odgovori: $3\cdot A=\left(\begin(niz) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(niz) \desno);\; -5\cdot A=\left(\begin(niz) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(niz) \desno);\; -A=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(niz) \right)$.

Proizvod dvije matrice.

Definicija ove operacije je glomazna i, na prvi pogled, nerazumljiva. Stoga ću prvo istaći opšta definicija, a zatim ćemo detaljno analizirati šta to znači i kako s njim raditi.

Proizvod matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i matrice $B_(n\times k)=(b_(ij))$ je matrica $C_(m\times k )=(c_( ij))$ za koji je svaki element $c_(ij)$ jednak zbroju proizvoda odgovarajućeg i-ti elementi redovi matrice $A$ po elementima j-te kolone matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj ), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Korak po korak, analizirat ćemo množenje matrica koristeći primjer. Međutim, odmah treba obratiti pažnju da se sve matrice ne mogu pomnožiti. Ako želimo da pomnožimo matricu $A$ sa matricom $B$, onda prvo moramo biti sigurni da je broj kolona matrice $A$ jednak broju redova matrice $B$ (takve matrice se često nazivaju pristao). Na primjer, matrica $A_(5\times 4)$ (matrica sadrži 5 redova i 4 stupca) ne može se pomnožiti sa matricom $F_(9\times 8)$ (9 redova i 8 kolona), pošto je broj stupaca matrica $A $ nije jednaka broju redova matrice $F$, tj. $4\neq 9$. Ali moguće je pomnožiti matricu $A_(5\times 4)$ sa matricom $B_(4\times 9)$, pošto je broj stupaca matrice $A$ jednak broju redova matrice $A$. matrica $B$. U ovom slučaju, rezultat množenja matrica $A_(5\times 4)$ i $B_(4\times 9)$ je matrica $C_(5\times 9)$, koja sadrži 5 redova i 9 stupaca:

Primjer #3

Zadate matrice: $ A=\left(\begin(niz) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (niz) \desno)$ i $ B=\left(\begin(niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(niz) \desno) $. Pronađite matricu $C=A\cdot B$.

Za početak, odmah određujemo veličinu matrice $C$. Pošto matrica $A$ ima veličinu $3\puta 4$, a matrica $B$ ima veličinu $4\puta 2$, veličina matrice $C$ je $3\puta 2$:

Dakle, kao rezultat proizvoda matrica $A$ i $B$, trebali bismo dobiti matricu $C$, koja se sastoji od tri reda i dva stupca: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(niz) \desno)$. Ako oznake elemenata pokreću pitanja, onda možete pogledati prethodnu temu: "Matrice. Vrste matrica. Osnovni pojmovi", na čijem početku je objašnjeno označavanje elemenata matrice. Naš cilj je pronaći vrijednosti svih elemenata matrice $C$.

Počnimo s elementom $c_(11)$. Da biste dobili element $c_(11)$, potrebno je pronaći zbir proizvoda elemenata prvog reda matrice $A$ i prve kolone matrice $B$:

Da biste pronašli sam element $c_(11)$, potrebno je da pomnožite elemente prvog reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima prve kolone matrice $B$, tj. prvi element na prvi, drugi na drugi, treći na treći, četvrti na četvrti. Sumiramo dobijene rezultate:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Nastavimo s rješenjem i nađimo $c_(12)$. Da biste to učinili, morate pomnožiti elemente prvog reda matrice $A$ i drugog stupca matrice $B$:

Slično kao i prethodni, imamo:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Pronađeni su svi elementi prvog reda matrice $C$. Prelazimo na drugi red, koji počinje elementom $c_(21)$. Da biste ga pronašli, morate pomnožiti elemente drugog reda matrice $A$ i prvog stupca matrice $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Sljedeći element $c_(22)$ nalazi se množenjem elemenata drugog reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima drugog stupca matrice $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Da bismo pronašli $c_(31)$, pomnožimo elemente trećeg reda matrice $A$ sa elementima prvog stupca matrice $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

I, konačno, da biste pronašli element $c_(32)$, morate pomnožiti elemente trećeg reda matrice $A$ sa odgovarajućim elementima druge kolone matrice $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Svi elementi matrice $C$ su pronađeni, ostaje samo da zapišemo da je $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array ) \desno)$ . Ili, da napišem u cijelosti:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(niz) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(niz) \desno). $$

Odgovori: $C=\left(\begin(niz) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(niz) \right)$.

Inače, često nema razloga da se detaljno opiše lokacija svakog elementa matrice rezultata. Za matrice čija je veličina mala, možete učiniti sljedeće:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \\ -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(niz) \desno) =\left(\begin(niz) (cc) 6\cdot(4)+3\cdot(-6) & 6\cdot(9)+3\cdot(90 ) \\ -17\cdot(4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(niz) \desno) =\lijevo (\begin(niz) (cc) 6 & 324 \\ -56 & -333 \end(niz) \desno) $$

Također je vrijedno napomenuti da množenje matrice nije komutativno. To znači da općenito $A\cdot B\neq B\cdot A$. Samo za neke vrste matrica koje se nazivaju permutacijski(ili commuting), jednakost $A\cdot B=B\cdot A$ je tačna. Zasnovan je na nekomutativnosti množenja da je potrebno naznačiti kako tačno množimo izraz jednom ili drugom matricom: desno ili lijevo. Na primjer, fraza "pomnoži obje strane jednakosti $3EF=Y$ sa matricom $A$ na desnoj strani" znači da želite da dobijete sljedeću jednakost: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponirana u odnosu na matricu $A_(m\times n)=(a_(ij))$ je matrica $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, za elemente gdje je $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Jednostavno rečeno, da biste dobili transponovanu matricu $A^T$, trebate zamijeniti stupce u originalnoj matrici $A$ odgovarajućim redovima prema ovom principu: postojao je prvi red - prvi stupac će postati; postojao je drugi red - druga kolona će postati; postojao je treći red - postojaće i treći stupac i tako dalje. Na primjer, pronađimo transponiranu matricu u matricu $A_(3\times 5)$:

Prema tome, ako je originalna matrica imala veličinu $3\put 5$, onda transponovana matrica ima veličinu $5\puta 3$.

Neka svojstva operacija nad matricama.

Ovdje se pretpostavlja da su $\alpha$, $\beta$ neki brojevi, a $A$, $B$, $C$ matrice. Za prva četiri svojstva naveo sam imena, ostala se mogu imenovati po analogiji sa prva četiri.