Linearni sistem se zove homogena ako su svi slobodni uslovi jednaki 0.

U matričnom obliku, homogeni sistem je zapisan:
.

Homogeni sistem (2) je uvijek konzistentan . Očigledno je da je skup brojeva
,
, …,
zadovoljava svaku jednačinu sistema. Rješenje
pozvao nula ili trivijalan odluka. Dakle, homogeni sistem uvijek ima nulto rješenje.

Pod kojim uslovima će homogeni sistem (2) imati različita od nule (netrivijalna) rješenja?

Teorema 1.3 Homogeni sistem (2) ima rješenja različita od nule ako i samo ako je rang r njegova glavna matrica manje od broja nepoznato n .

Sistem (2) - neodređeno
.

Posljedica 1. Ako je broj jednačina m homogeni sistem je manji od broja varijabli
, tada je sistem neodređen i ima skup rješenja različitih od nule.

Posljedica 2. Kvadratni homogeni sistem
ima rješenja različita od nule ako i ako je glavna matrica ovog sistema je degenerisan, tj. odrednica
.

Inače, ako je determinanta
, kvadratni homogeni sistem ima jedina stvar nulto rješenje
.

Neka je rang sistema (2)
tj. sistem (2) ima netrivijalna rješenja.

Neka bude I - pojedinačna rješenja ovog sistema, tj.
I
.

Svojstva rješenja za homogeni sistem

Zaista, .

Zaista, .

Kombinujući svojstva 1) i 2), možemo reći da ako

…,
- rješenja homogenog sistema (2), tada je svaka njihova linearna kombinacija ujedno i njegovo rješenje. Evo
su proizvoljni realni brojevi.

Može se naći
linearno nezavisna partikularna rješenja homogeni sistem (2), kojim se može dobiti bilo koje drugo posebno rješenje ovog sistema, tj. dobiti opće rješenje sistema (2).

Definicija 2.2 Agregat
linearno nezavisna partikularna rješenja

…,
homogeni sistem (2) takav da se svako rješenje sistema (2) može predstaviti kao njihova linearna kombinacija naziva se fundamentalni sistem odlučivanja (FSR) homogenog sistema (2).

Neka bude

…,
- fundamentalni sistem rješenja, onda se generalno rješenje homogenog sistema (2) može predstaviti kao:

Gdje

.

Komentar. Da biste dobili FSR, morate pronaći privatna rješenja

…,
, dajući zauzvrat bilo kojoj slobodnoj varijabli vrijednost "1", a svim ostalim slobodnim varijablama - vrijednost "0".

Get ,, …,- FSR.

Primjer. Naći opšte rešenje i osnovni sistem rešenja homogenog sistema jednačina:

Rješenje. Zapišimo proširenu matricu sistema, prvo stavljajući posljednju jednačinu sistema na prvo mjesto i svedemo je na postepeni oblik. Budući da su pravi dijelovi jednadžbe kao rezultat elementarne transformacije ne mijenjati, preostale nule, kolona

možda neće biti ispisana.

̴
̴
̴

Sistemski rang gdje
- broj varijabli. Sistem je neizvjestan i ima mnogo rješenja.

Osnovni mol sa varijablama
različito od nule:
izabrati
kao osnovne varijable, ostalo
- slobodne varijable (uzimaju bilo koje realne vrijednosti).

Poslednja matrica u lancu odgovara postupnom sistemu jednačina:

(3)

Izrazite osnovne varijable
preko slobodnih varijabli
(obrnuti tok Gaussove metode).

Iz posljednje jednačine koju izražavamo :
i zamijeniti u prvu jednačinu. Primit ćemo. Otvaramo zagrade, dajemo slične i izražavamo :
.

Pretpostavljam
,
,
, gdje
, pisati

je generalno rješenje sistema.

Hajde da pronađemo fundamentalni sistem rešenja

,,.

Tada se opšte rešenje homogenog sistema može zapisati kao:

Komentar. FSR bi se mogao naći i na drugi način, bez prethodnog pronalaženja opšteg rješenja sistema. Da bi se to postiglo, rezultujući sistem koraka (3) je trebalo tri puta riješiti, uz pretpostavku za :
; za :
; za :
.

Sistem m linearne jednačine c n nepoznato se zove sistem linearnih homogenih jednadžbe ako su svi slobodni članovi jednaki nuli. Takav sistem izgleda ovako:

gdje i ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - dati brojevi; x i- nepoznato.

Sistem linearnih homogenih jednačina je uvijek konzistentan, jer r(A) = r(). Uvijek ima najmanje nulu ( trivijalan) rješenje (0; 0; ...; 0).

Razmotrimo pod kojim uslovima homogeni sistemi imaju rješenja različita od nule.

Teorema 1. Sistem linearnih homogenih jednadžbi ima rješenja različita od nule ako i samo ako je rang njegove glavne matrice r manje nepoznatih n, tj. r < n.

□ jedan). Neka sistem linearnih homogenih jednačina ima rješenje različito od nule. Pošto rang ne može premašiti veličinu matrice, očigledno je da r ≤ n. Neka bude r = n. Zatim jedan od maloljetnika veličine n n različito od nule. Dakle, odgovarajući sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rešenje: , , . Dakle, nema drugih rješenja osim trivijalnih. Dakle, ako postoji netrivijalno rješenje, onda r < n.

2). Neka bude r < n. Tada je homogeni sistem, budući da je konzistentan, neodređen. Dakle, ima beskonačan broj rješenja, tj. također ima rješenja različita od nule. ■

Razmislite o homogenom sistemu n linearne jednačine c n nepoznato:

(2)

Teorema 2. homogeni sistem n linearne jednačine c n nepoznanica (2) ima rješenja različita od nule ako i samo ako je njena determinanta jednaka nuli: = 0.

□ Ako sistem (2) ima rješenje različito od nule, tada je = 0. Za at , sistem ima samo jedinstveno nulto rješenje. Ako je = 0, onda rang r glavna matrica sistema je manja od broja nepoznatih, tj. r < n. I, prema tome, sistem ima beskonačan broj rješenja, tj. također ima rješenja različita od nule. ■

Označimo rješenje sistema (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n kao niz .

Rješenja sistema linearnih homogenih jednačina imaju sljedeća svojstva:

1. Ako je niz je rješenje za sistem (1), tada je niz također rješenje za sistem (1).

2. Ako su linije i su rješenja sistema (1), tada za bilo koje vrijednosti od 1 i od 2 njihova linearna kombinacija je također rješenje za sistem (1).

Možete provjeriti valjanost ovih svojstava tako što ćete ih direktno zamijeniti u jednadžbe sistema.

Iz formulisanih svojstava proizilazi da je svaka linearna kombinacija rješenja sistema linearnih homogenih jednačina također rješenje ovog sistema.

Sistem linearno nezavisnih rješenja e 1 , e 2 , …, e r pozvao fundamentalno ako je svako rješenje sistema (1). linearna kombinacija ove odluke e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Ako rang r matrice koeficijenata za sistemske varijable linearne homogene jednadžbe (1) manji je od broja varijabli n, tada se svaki fundamentalni sistem rješenja sistema (1) sastoji od n–r rješenja.

Zbog toga zajednička odluka sistem linearnih homogenih jednadžbi (1) ima oblik:

gdje e 1 , e 2 , …, e r je bilo koji fundamentalni sistem rješenja sistema (9), od 1 , od 2 , …, sa str – proizvoljnim brojevima, R = n–r.

Teorema 4. Opće sistemsko rješenje m linearne jednačine c n nepoznanice jednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg sistema linearnih homogenih jednačina (1) i proizvoljnog partikularnog rešenja ovog sistema (1).

Primjer. Riješite sistem

Rješenje. Za ovaj sistem m = n= 3. Determinanta

prema teoremi 2, sistem ima samo trivijalno rješenje: x = y = z = 0.

Primjer. 1) Pronađite opšta i posebna rješenja sistema

2) Pronađite osnovni sistem rješenja.

Rješenje. 1) Za ovaj sistem m = n= 3. Determinanta

prema teoremi 2, sistem ima rješenja različita od nule.

Pošto postoji samo jedna nezavisna jednačina u sistemu

x + y – 4z = 0,

onda iz njega izražavamo x =4z- y. Odakle dobijamo beskonačan skup rješenja: (4 z- y, y, z) je opšte rješenje sistema.

At z= 1, y= -1, dobijamo jedno posebno rešenje: (5, -1, 1). Stavljanje z= 3, y= 2, dobijamo drugo posebno rešenje: (10, 2, 3), itd.

2) U opštem rješenju (4 z- y, y, z) varijable y I z su besplatni, a varijabla X- zavisi od njih. Da bismo pronašli osnovni sistem rješenja, dajemo besplatno varijabilne vrijednosti: kao prvo y = 1, z= 0, onda y = 0, z= 1. Dobijamo pojedinačna rješenja (-1, 1, 0), (4, 0, 1), koja čine osnovni sistem rješenja.

Ilustracije:

Rice. 1 Klasifikacija sistema linearnih jednačina

Rice. 2 Proučavanje sistema linearnih jednačina

Prezentacije:

SLAU rješenje_ matrična metoda

Rješenje SLAU_Cramerova metoda

Rješenje SLAE_Gaussova metoda

· Paketi za rješavanje matematičkih zadataka Mathematica: traženje analitičkog i numeričkog rješenja sistema linearnih jednačina

test pitanja:

1. Definirajte linearnu jednačinu

2. Kakav sistem radi m linearne jednadžbe sa n nepoznato?

3. Šta se naziva rješenjem sistema linearnih jednačina?

4. Koji se sistemi nazivaju ekvivalentnim?

5. Koji sistem se naziva nekompatibilnim?

6. Koji sistem se zove zglob?

7. Koji sistem se naziva definisanim?

8. Koji sistem se naziva neodređenim

9. Navedite elementarne transformacije sistema linearnih jednačina

10. Navedite elementarne transformacije matrica

11. Formulirajte teoremu o primjeni elementarnih transformacija na sistem linearnih jednačina

12. Koji se sistemi mogu riješiti matričnom metodom?

13. Koji sistemi se mogu riješiti Cramerovom metodom?

14. Koji sistemi se mogu riješiti Gaussovom metodom?

15. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom

16. Opisati matričnu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

17. Opišite Cramerovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

18. Opišite Gaussovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

19. Kojim sistemima se može riješiti inverzna matrica?

20. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sistema linearnih jednačina korištenjem Cramerove metode

Književnost:

1. višu matematiku za ekonomiste: Udžbenik za univerzitete / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 str.

2. Opšti kurs visoke matematike za ekonomiste: Udžbenik. / Ed. IN AND. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 str.

3. Zbirka zadataka iz visoke matematike za ekonomiste: Tutorial/ Pod uredništvom V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 str.

4. V. E. Gmurman, Vodič za rješavanje problema u teoriji vjerojatnosti i magmatskoj statistici. - M.: srednja škola, 2005. - 400 str.

5. Gmurman. VE Teorija vjerovatnoće i matematička statistika. - M.: Viša škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Viša matematika u vježbama i zadacima. Dio 1, 2. - M.: Oniks 21. vijek: Svijet i obrazovanje, 2005. - 304 str. dio 1; – 416 str. Dio 2

7. Matematika u ekonomiji: Udžbenik: Za 2 časa / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Finansije i statistika, 2006.

8. Shipachev V.S. Viša matematika: Udžbenik za studente. univerziteti - M.: Viša škola, 2007. - 479 str.

Slične informacije.

Razmislite homogeni sistem m linearnih jednadžbi sa n varijabli:

(15)

Sistem homogenih linearnih jednačina je uvijek kompatibilan, jer uvijek ima nulto (trivijalno) rješenje (0,0,…,0).

Ako je u sistemu (15) m=n i , tada sistem ima samo nulto rješenje, što slijedi iz teoreme i Cramerovih formula.

Teorema 1. Homogeni sistem (15) ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang njegove matrice manji od broja varijabli, tj. . r(A)< n.

Dokaz. Postojanje netrivijalnog rješenja sistema (15) je ekvivalentno linearnoj zavisnosti stupaca matrice sistema (tj. postoje takvi brojevi x 1 , x 2 ,…, xn , koji nisu svi jednaki nuli , da vrijede jednakosti (15).

Prema osnovnoj maloj teoremi, stupci matrice su linearno zavisni , kada nisu svi stupci ove matrice osnovni, tj.  kada je red r baznog minora matrice manji od broja n njenih stupaca. Ch.t.d.

Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalna rješenja  kada je |A|=0.

Teorema 2. Ako su kolone x (1), x (2), ..., x (s) rješenja homogenog sistema AX=0, onda je svaka njihova linearna kombinacija također rješenje ovog sistema.

Dokaz. Razmotrite bilo koju kombinaciju rješenja:

Tada je AX=A()===0. h.t.d.

Posljedica 1. Ako homogeni sistem ima netrivijalno rješenje, onda ima beskonačno mnogo rješenja.

To. potrebno je pronaći takva rješenja x (1), x (2), ..., x (s) sistema Ax = 0, tako da se svako drugo rješenje ovog sistema može predstaviti kao njihova linearna kombinacija i , štaviše, na jedinstven način.

Definicija. Sistem k=n-r (n je broj nepoznatih u sistemu, r=rg A) linearno nezavisnih rješenja x (1) ,x (2) ,…,x (k) sistema Ax=0 naziva se fundamentalni sistem odlučivanja ovaj sistem.

Teorema 3. Neka je dat homogeni sistem Ax=0 sa n nepoznatih i r=rg A. Tada postoji skup k=nr rješenja x (1) ,x (2) ,…,x (k) ovog sistema koji čine fundamentalni sistem rješenja.

Dokaz. Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da se bazni minor matrice A nalazi u gornjem levom uglu. Zatim, prema teoremi baznog malog, preostali redovi matrice A su linearne kombinacije baznih redova. To znači da ako vrijednosti x 1 ,x 2 ,…,x n zadovoljavaju prvih r jednačina, tj. jednadžbi koje odgovaraju redovima osnovnog minora), onda one zadovoljavaju i druge jednačine. Stoga se skup rješenja sistema neće promijeniti ako se odbace sve jednačine počevši od (r + 1)-og. Dobijamo sistem:

Pomerimo slobodne nepoznanice x r +1, x r +2 ,…,x n na desnu stranu, a osnovne x 1 , x 2 ,…, x r ostavimo na levoj strani:

(16)

Jer u ovom slučaju, svi b i =0, tada umjesto formula

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), dobijamo:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Ako su slobodnim nepoznanicama h r +1 ,h r +2 ,…,x n date proizvoljne vrijednosti, tada u odnosu na osnovne nepoznate dobijamo kvadratni SLAE sa nesingularnom matricom koja ima jedinstveno rješenje. Dakle, svako rješenje homogene SLAE je jednoznačno određeno vrijednostima slobodnih nepoznatih h r +1 ,h r +2 ,…,x n . Razmotrimo sljedeće k=n-r serije vrijednosti slobodnih nepoznanica:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Broj serije je označen superskriptom u zagradama, a nizovi vrijednosti su ispisani u kolonama. U svakoj seriji =1 ako je i=j i =0 ako je ij.

i-ti niz vrijednosti slobodnih nepoznanica jedinstveno odgovara vrijednostima ,,…, osnovnih nepoznanica. Vrijednosti slobodne i osnovne nepoznanice zajedno daju rješenja za sistem (17).

Pokažimo da su stupci e i =,i=1,2,…,k (18)

formiraju fundamentalni sistem rješenja.

Jer ovi stupci po konstrukciji su rješenja homogenog sistema Ax=0 i njihov broj je jednak k, tada ostaje dokazati linearnu nezavisnost rješenja (16). Neka postoji linearna kombinacija rješenja e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), jednako nultom stupcu:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Tada je lijeva strana ove jednakosti kolona čije su komponente s brojevima r+1,r+2,…,n jednake nuli. Ali (r+1)-ta komponenta je jednaka  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Slično, (r+2)-ta komponenta je jednaka  2 ,..., k-ta komponenta je jednaka  k . Stoga  1 =  2 = …= k =0, što znači linearnu nezavisnost rješenja e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Konstruirani fundamentalni sistem rješenja (18) naziva se normalno. Na osnovu formule (13) ima sljedeći oblik:

(20)

Posljedica 2. Neka bude e 1 , e 2 ,…, e k-normalan osnovni sistem rješenja homogenog sistema, tada se skup svih rješenja može opisati formulom:

x=c 1 e 1 + od 2 e 2 +…+s k e k (21)

gdje s 1 ,s 2 ,…,s k – uzimaju proizvoljne vrijednosti.

Dokaz. Prema teoremi 2, kolona (19) je rješenje homogenog sistema Ax=0. Ostaje dokazati da se svako rješenje ovog sistema može predstaviti u obliku (17). Razmotrite kolonu X=y r +1 e 1 +…+yn e k. Ovaj stupac se poklapa sa kolonom y u smislu elemenata s brojevima r+1,…,n i rješenje je (16). Stoga kolone X I at utakmicu, jer rješenja sistema (16) jednoznačno su određena skupom vrijednosti njegovih slobodnih nepoznanica x r +1 ,…,x n , i stupcima at I X ovi setovi se poklapaju. shodno tome, at=X= y r +1 e 1 +…+yn e k, tj. rješenje at je linearna kombinacija kolona e 1 ,…,y n normalan FSR. Ch.t.d.

Dokazana tvrdnja je tačna ne samo za normalni FSR, već i za proizvoljni FSR homogene SLAE.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - zajednička odluka sistemi linearnih homogenih jednačina

Gdje je H 1 ,H 2 ,…,H n - r bilo koji fundamentalni sistem rješenja,

c 1 ,c 2 ,…,s n - r su proizvoljni brojevi.

Primjer. (str. 78)

Uspostavimo vezu između rješenja nehomogene SLAE (1) i odgovarajući homogeni SLAE (15)

Teorema 4. Zbir bilo kojeg rješenja nehomogenog sistema (1) i odgovarajućeg homogenog sistema (15) je rješenje sistema (1).

Dokaz. Ako je c 1 ,…,cn rješenje za sistem (1), a d 1 ,…,dn rješenje za sistem (15), onda zamjenom u bilo koju (na primjer, i-tu) jednačinu sistema (1) umjesto nepoznatih brojeva c 1 +d 1 ,…,cn +dn , dobijamo:

B i +0=b i

Teorema 5. Razlika dva proizvoljna rješenja nehomogenog sistema (1) je rješenje homogenog sistema (15).

Dokaz. Ako su c 1 ,…,c n i c 1 ,…,c n rješenja sistema (1), tada se zamjenom u bilo koju (na primjer, i-tu) jednadžbu sistema (1) umjesto nepoznate brojevi c 1 -s 1 ,…,c n -s n , dobijamo:

B i -b i \u003d 0 h.t.d.

Iz dokazanih teorema slijedi da je opće rješenje sistema od m linearnih homogenih jednačina sa n varijabli jednako zbiru opšteg rješenja odgovarajućeg sistema homogenih linearnih jednačina (15) i proizvoljnog broja partikularnih rješenja ovog sistem (15).

X neod. =X ukupno jedan +X česte više od jedne (22)

Kao posebno rješenje nehomogenog sistema prirodno je uzeti njegovo rješenje, koje se dobija ako u formulama cj =(M j (bi)-cr +1 M j (ai , r +1)-…-cn M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) postaviti jednake nuli sve brojeve cr +1 ,…,cn , tj.

H 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Dodavanje ovog konkretnog rješenja općem rješenju X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r odgovarajući homogeni sistem, dobijamo:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)

Razmotrimo sistem od dvije jednačine sa dvije varijable:

u kojoj je najmanje jedan od koeficijenata aij 0.

Da bismo riješili, isključujemo x 2 tako što pomnožimo prvu jednačinu sa a 22, a drugu sa (-a 12) i saberemo ih: Eliminišemo x 1 množenjem prve jednačine sa (-a 21), a drugu sa 11 i dodajući ih: Izraz u zagradi - determinanta

Označavanje ,, tada će sistem poprimiti oblik:, tj. ako, onda sistem ima jedinstveno rješenje:,.

Ako je Δ=0, a (ili), onda je sistem nekonzistentan, jer svodi se na oblik Ako je Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, tada je sistem neizvjestan, jer doveden na pamet

Poziva se sistem linearnih jednačina u kojem su svi slobodni članovi jednaki nuli homogena :

Svaki homogeni sistem je uvek konzistentan, jer uvek jeste nula (trivijalan ) rješenje. Postavlja se pitanje pod kojim uslovima će homogeni sistem imati netrivijalno rešenje.

Teorema 5.2.Homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang osnovne matrice manji od broja njegovih nepoznanica.

Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalno rješenje ako i samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.

Primjer 5.6. Odredite vrijednosti parametra l za koje sistem ima netrivijalna rješenja i pronađite ova rješenja:

Rješenje. Ovaj sistem će imati netrivijalno rješenje kada je determinanta glavne matrice jednaka nuli:

Dakle, sistem je netrivijalan kada je l=3 ili l=2. Za l=3, rang glavne matrice sistema je 1. Zatim, ostavljajući samo jednu jednačinu uz pretpostavku da je y=a I z=b, dobijamo x=b-a, tj.

Za l=2, rang glavne matrice sistema je 2. Zatim, birajući kao osnovni minor:

dobijamo pojednostavljeni sistem

Odavde to nalazimo x=z/4, y=z/2. Pretpostavljam z=4a, dobijamo

Skup svih rješenja homogenog sistema ima vrlo važnu linearno svojstvo : ako je X kolona 1 i X 2 - rješenja homogenog sistema AX = 0, zatim bilo koja njihova linearna kombinacija a X 1+b X 2 će također biti rješenje ovog sistema. Zaista, jer SJEKIRA 1 = 0 I SJEKIRA 2 = 0 , onda A(a X 1+b X 2) = a SJEKIRA 1+b SJEKIRA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Zbog ove osobine, ako linearni sistem ima više od jednog rješenja, tada će ovih rješenja biti beskonačno mnogo.

Linearno nezavisne kolone E 1 , E 2 , E k, koji su rješenja homogenog sistema, naziva se fundamentalni sistem odlučivanja homogeni sistem linearnih jednadžbi ako se opšte rešenje ovog sistema može napisati kao linearna kombinacija ovih kolona:

Ako homogeni sistem ima n varijabli, a rang glavne matrice sistema je jednak r, onda k = n-r.

Primjer 5.7. Pronađite osnovni sistem rješenja sljedećeg sistema linearnih jednačina:

Rješenje. Pronađite rang glavne matrice sistema:

Dakle, skup rješenja ovog sistema jednačina formira linearni podprostor dimenzija n - r= 5 - 2 = 3. Biramo kao osnovni minor

Zatim, ostavljajući samo osnovne jednadžbe (ostale će biti linearna kombinacija ovih jednačina) i osnovne varijable (ostale, tzv. slobodne varijable prenosimo na desno), dobijamo pojednostavljeni sistem jednačina:

Pretpostavljam x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, mi nalazimo

Pretpostavljam a= 1, b=c= 0, dobijamo prvo osnovno rešenje; pod pretpostavkom b= 1, a = c= 0, dobijamo drugo osnovno rešenje; pod pretpostavkom c= 1, a = b= 0, dobijamo treće osnovno rešenje. Kao rezultat, normalan fundamentalni sistem rješenja poprima oblik

Koristeći osnovni sistem, opšte rešenje homogenog sistema može se zapisati kao

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . a

Napomenimo neka svojstva rješenja nehomogenog sistema linearnih jednačina AX=B i njihov odnos sa odgovarajućim homogenim sistemom jednačina AX = 0.

Opšte rješenje nehomogenog sistemajednak je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg homogenog sistema AX = 0 i proizvoljnog partikularnog rešenja nehomogenog sistema. Zaista, neka Y 0 je proizvoljno partikularno rješenje nehomogenog sistema, tj. AY 0 = B, And Y je opšte rješenje nehomogenog sistema, tj. AY=B. Oduzimanjem jedne jednakosti od druge, dobijamo
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 je opšte rješenje odgovarajućeg homogenog sistema SJEKIRA=0. shodno tome, Y-Y 0 = X, ili Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Neka bude heterogeni sistem ima oblik AX = B 1 + B 2 . Tada se opće rješenje takvog sistema može zapisati kao X = X 1 + X 2 , gdje je AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Ovo svojstvo izražava univerzalno svojstvo bilo kojeg linearnog sistema uopšte (algebarskog, diferencijalnog, funkcionalnog, itd.). U fizici se ovo svojstvo naziva princip superpozicije, u elektrotehnici i radiotehnici - princip preklapanja. Na primjer, u teoriji linearnih električnih kola, struja u bilo kojem kolu može se dobiti kao algebarski zbir struja uzrokovanih svakim izvorom energije posebno.

Primjer 1. Naći opće rješenje i neki fundamentalni sistem rješenja za sistem

Rješenje pronađite pomoću kalkulatora. Algoritam rješenja je isti kao i za sisteme linearnih nehomogenih jednačina.
Radeći samo sa redovima, nalazimo rang matrice, osnovni minor; proglašavamo zavisne i slobodne nepoznanice i pronalazimo opšte rešenje.

Prvi i drugi red su proporcionalni, jedan od njih će biti obrisan:

.
Zavisne varijable - x 2, x 3, x 5, slobodne - x 1, x 4. Iz prve jednačine 10x 5 = 0 nalazimo x 5 = 0, dakle
; .
Opšte rješenje izgleda ovako:

Pronalazimo osnovni sistem rješenja, koji se sastoji od (n-r) rješenja. U našem slučaju, n=5, r=3, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od dva rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno nezavisna. Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata redova bude jednak broju redova, odnosno 2. Dovoljno je dati slobodne nepoznate x 1 i x 4 vrijednosti iz redova determinante drugog reda, koja se razlikuje od nule, i izračunajte x 2 , x 3 , x 5 . Najjednostavnija determinanta koja nije nula je .
Dakle, prvo rješenje je: , drugi - .
Ove dvije odluke čine temeljni sistem odlučivanja. Imajte na umu da osnovni sistem nije jedinstven (odrednice koje nisu nule mogu se sastaviti koliko god želite).

Primjer 2. Naći opšte rešenje i osnovni sistem rešenja sistema
Rješenje.



,
slijedi da je rang matrice 3 i jednak je broju nepoznato. To znači da sistem nema slobodnih nepoznanica, pa stoga ima jedinstveno rješenje - trivijalno.

Zadatak . Istražite i riješite sistem linearnih jednačina.
Primjer 4

Zadatak . Pronađite opšta i posebna rješenja za svaki sistem.
Rješenje. Pišemo glavnu matricu sistema:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Dovodimo matricu u trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem različit od nule i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje drugoj jednačini, što ne mijenja rješenje sistema.
Pomnožite 2. red sa (-5). Dodajmo 2. red na 1.:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Pomnožite 2. red sa (6). Pomnožite treći red sa (-1). Dodajmo 3. red u 2.:
Pronađite rang matrice.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Ugledni maloljetnik ima najviši red(od mogućih minora) i različita je od nule (jednaka je proizvodu elemenata na recipročnoj dijagonali), pa je rang(A) = 2.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznato x 1, x 2, što znači da su nepoznati x 1, x 2 zavisni (osnovni), a x 3, x 4, x 5 su slobodni.
Transformišemo matricu, ostavljajući samo osnovni mol sa leve strane.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo netrivijalno rešenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1 ,x 2 kroz slobodne x 3 ,x 4 ,x 5 , tj. zajednička odluka:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Pronalazimo osnovni sistem rješenja, koji se sastoji od (n-r) rješenja.
U našem slučaju, n=5, r=2, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od 3 rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno nezavisna.
Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata redova bude jednak broju redova, tj. 3.
Dovoljno je dati slobodne nepoznanice x 3 ,x 4 ,x 5 vrijednosti iz redova determinante 3. reda različite od nule i izračunati x 1 ,x 2 .
Najjednostavnija determinanta koja nije nula je matrica identiteta.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Zadatak. Pronađite osnovni skup rješenja homogenog sistema linearnih jednačina.