Neka je funkcija y=f(x) kontinuirana na segmentu . Kao što je poznato, takva funkcija dostiže svoj maksimum. i imenovanje vrijednosti. Funkcija može uzeti ove vrijednosti ili u unutrašnjoj tački segmenta, ili na granici segmenta, tj. sa =a ili =b. Ako je , tada točku treba tražiti među kritičnim točkama date funkcije.

Dobijamo sljedeće pravilo za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na:

1) naći kritične tačke funkcije na intervalu (a,b);

2) izračunati vrednosti funkcije u pronađenim kritičnim tačkama;

3) izračunati vrijednosti funkcije na krajevima segmenta, tj. u tačkama x=a i x=b;

4) među svim izračunatim vrijednostima funkcije odaberite najveću i najmanju.

napomene:

1. Ako funkcija y=f(x) na segmentu ima samo jednu kritičnu tačku i to je maksimalna (minimalna) tačka, tada funkcija u ovoj tački zauzima najveću (najmanju) vrijednost.

2. Ako funkcija y=f(x) na segmentu nema kritičnih tačaka, to znači da se funkcija na njemu monotono povećava ili smanjuje. Stoga, njegova najveća vrijednost(M) funkcija zauzima jedan kraj segmenta, a najmanja (m) - na drugom.

60. Kompleksni brojevi. Moivre formule.
kompleksni broj ime izraz kao z = x + iy, gdje su x i y realni brojevi, a i je tzv. imaginarna jedinica, . Ako je x=0, tada se poziva broj 0+iy=iy. imaginarni broj; ako je y=0, tada se broj x+i0=x poistovjećuje sa realnim brojem x, što znači da je skup R svih važeći. brojevi yavl. podskup skupa C svih kompleksni brojevi, tj. . Broj x ime. pravi deo z, . Dva kompleksna broja i nazivaju se jednaki (z1=z2) ako i samo ako su im realni dijelovi jednaki, a imaginarni dijelovi jednaki: x1=x2, y1=y2. Konkretno, kompleksni broj Z=x+iy jednak je nuli ako i samo ako je x=y=0. Koncepti "veće od" i "manje od" za kompleksne brojeve se ne uvode. Dva kompleksna broja z=x+iy i , koji se razlikuju samo po predznaku imaginarnog dijela, nazivaju se konjugiranim.

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva.

Bilo koji kompleksni broj z = x + iy može se predstaviti tačkom M(x,y) Oxy ravni tako da je x=Re z, y=Im z. I obrnuto, svaka tačka M(x;y) koordinatna ravan može se posmatrati kao slika kompleksnog broja z = x + iy. Ravan na kojoj su prikazani kompleksni brojevi naziva se kompleksna ravan, jer na njemu leže realni brojevi z = x + 0i = x. Y-osa se naziva imaginarna osa, jer na njoj leže čisto imaginarni kompleksni brojevi z = 0 + iy. Kompleksni broj Z=x+iy se može specificirati korištenjem radijus vektora r=OM=(x,y). Dužina vektora r koji predstavlja kompleksni broj z naziva se modulom ovog broja i označava se sa |z| ili r. Ugao između pozitivnih Smjer realne ose i vektor r koji predstavlja kompleksni broj naziva se argument ovog kompleksnog broja, označen sa Arg z ili . Argument kompleksnog broja Z=0 je nedefiniran. Argument kompleksnog broja je viševrijedna vrijednost i određuje se do termina gdje je arg z glavna vrijednost argumenta sadržanog u intervalu (), tj. - (ponekad se vrijednost koja pripada intervalu (0; ) uzima kao glavna vrijednost argumenta).

Zapisivanje broja z u obliku z=x+iy se zove algebarski oblik kompleksni broj.

Operacije nad kompleksnim brojevima

Dodatak. Zbir dva kompleksna broja z1=x1+iy1 i z2=x2+iy2 je kompleksan broj definisan jednakošću: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Sabiranje kompleksnih brojeva ima komutativna i asocijativna svojstva: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Oduzimanje. Oduzimanje se definiše kao inverzno sabiranju. Razlika kompleksnih brojeva z1 i z2 je takav kompleksan broj z, koji kada se doda z2 daje broj z1, tj. z=z1-z2 ako je z+z2=z1. Ako je z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, onda je lako dobiti z iz ove definicije: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Množenje. Proizvod kompleksnih brojeva z1=x1+iy1 i z2=x2+iy2 je kompleksni broj definisan jednakošću z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Otuda, posebno, slijedi: . Ako su dati brojevi trigonometrijski oblik: .

Kada se kompleksni brojevi množe, njihovi moduli se množe i argumenti se zbrajaju. Formula De Moivre(ako ima n faktora i svi su isti): .

U julu 2020. NASA pokreće ekspediciju na Mars. Letelica će na Mars isporučiti elektronski nosač sa imenima svih registrovanih članova ekspedicije.

Registracija učesnika je otvorena. Nabavite kartu za Mars na ovom linku.

Ako je ova objava riješila vaš problem ili vam se jednostavno svidjela, podijelite link do nje sa svojim prijateljima na društvenim mrežama.

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kod vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka I ili odmah nakon oznake . Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava svježe verzije Mathjax. Ako unesete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako zalijepite drugi kod, stranice će se sporije učitavati, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način za povezivanje MathJax-a je u Blogger-u ili WordPress-u: u kontrolnu ploču web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za učitavanje prikazanu iznad u njega i postavite widget bliže na početak šablona (usput, to uopće nije potrebno, pošto se MathJax skripta učitava asinhrono). To je sve. Sada naučite MathML, LaTeX i ASCIIMathML sintaksu označavanja i spremni ste da ugradite matematičke formule u svoje web stranice.

Još jedna novogodišnja noć... mrazno vrijeme i pahulje na prozoru... Sve me to natjeralo da ponovo pišem o... fraktalima, i šta Wolfram Alpha zna o njima. Ovom prilikom tamo zanimljiv članak, koji sadrži primjere dvodimenzionalnih fraktalnih struktura. Ovdje ćemo pogledati više složeni primjeri trodimenzionalni fraktali.

Fraktal se može vizualno predstaviti (opisati) kao geometrijska figura ili tijelo (što znači da su oboje skup, u ovom slučaju skup tačaka), čiji detalji imaju isti oblik kao i sama originalna figura. Odnosno, radi se o samosličnoj strukturi, s obzirom na detalje čije ćemo detalje, kada se uveća, vidjeti isti oblik kao bez povećanja. Dok u slučaju uobičajenog geometrijska figura(ne fraktal), kada zumirate, vidjet ćemo detalje koji imaju jednostavniji oblik od same originalne figure. Na primjer, pri dovoljno velikom povećanju, dio elipse izgleda kao segment prave linije. To se ne dešava sa fraktalima: sa svakim njihovim povećanjem, ponovo ćemo videti isti složeni oblik, koji će se sa svakim povećanjem ponavljati iznova i iznova.

Benoit Mandelbrot, osnivač nauke o fraktalima, u svom članku Fraktali i umjetnost za nauku napisao je: "Fraktali su geometrijski oblici koji su složeni u svojim detaljima koliko i u svom cjelokupnom obliku. To jest, ako dio fraktala hoće bude uvećan na veličinu cjeline, izgledat će kao cjelina, ili tačno, ili možda sa malom deformacijom.

Ekstremum funkcije je svojstvo lokalnog, lokalnog karaktera(vidi definiciju). Ne biste trebali miješati maksimum (minimum) s najvećom (najmanjom) vrijednošću funkcije u zatvorenom prostoru D.

Definicija. Recimo funkciju z = f(x, y) je definiran i kontinuiran u nekom domenu D, ima konačne parcijalne izvode u ovoj regiji. Zatim u ovoj regiji postoje tačke do kojih funkcija doseže najveći i najmanji vrijednosti drugih vrijednosti. Ove tačke mogu ležati unutar regiona ili na njegovoj granici.

Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije u zatvorenom području, trebate:

1) Pronađite stacionarne tačke koje se nalaze unutar regije i izračunajte vrijednosti funkcije u tim tačkama.

Komentar. Spojite stacionarnim tačkama tačke u kojima su derivacije beskonačne ili ne postoje (ako ih ima).

2) Pronađite stacionarne tačke na granici regiona i izračunajte vrednosti funkcije u tim tačkama.

3) Pronađite vrijednosti funkcije na uglovima - tačkama preseka graničnih linija.

4) Od svih pronađenih vrijednosti odaberite najveću i najmanju.

Primjer 1.22. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

z= 2x 2 – xy ++ y 2 + 7x u zatvorenom prostoru D: –3 x 3, –3 y 3 (sl. 1.3).

Rice. 1.3. Područje studija D

Rješenje. 1) Pronađite stacionarne tačke

Odavde at = –1, X= –2, stacionarna tačka M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Istražujemo funkciju na granici regije koja se sastoji od segmenata AB, DC, CB, AD.

a) u pravoj liniji AB: at= 3, a funkcija ima oblik

z = 2x 2 + 3x + 9 + 7x =

= 2x 2 + 10x + 9, x [–3, 3].

Ovo je funkcija jedne nezavisne varijable.

Odredimo stacionarne tačke ove funkcije:

shodno tome, X = –2,5.

Mi definišemo z at X = –2,5, kao i na krajevima segmenta [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

pa = 3,5, a = 57.

b) Razmotrite segment Ned:X = 3.

z = y 2 – 3y + 39; at [–3, 3],

= 2y - 3; 2y - 3 = 0 y= 3/2.

Mi nalazimo z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) na segmentu CD: y= 3, z= 2x 2 + 4x + 9; at [–3, 3],

= –4x + 4 = 0 Þ x = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Teorema 1.5 Neka je zatvoreno područje D funkcija je data z=z(x,y) , koji ima kontinuirane parcijalne izvode prvog reda. Granica G oblasti D je glatka na komade (tj. sastoji se od komadića "glatkih na dodir" krivih ili ravnih linija). Zatim u oblasti D funkcija z (x,y) dostiže svoj maksimum M i najmanje m vrijednosti.

Bez dokaza.

Možete predložiti sljedeći plan za pronalaženje M I m .
1. Izrađujemo crtež, odabiremo sve dijelove granice područja D i pronađite sve "ugaone" tačke granice.
2. Pronađite stacionarne točke unutra D .
3. Pronađite stacionarne tačke na svakoj od granica.
4. Računamo na svim stacionarnim i kutnim tačkama, a zatim biramo najveću M i najmanje m vrijednosti.

Primjer 1.14 Pronađite najveći M i najmanje m vrijednosti funkcije z = 4x2-2xy+y2-8x u zatvorenom prostoru D , ograničeno: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Izgradimo područje D (Sl. 1.5) na ravni Ohu .

kutne tačke: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Granica G oblasti D sastoji se od tri dijela:

2. Pronađite stacionarne tačke unutar područja D :

3. Stacionarne tačke na granicama l 1 , l 2 , l 3 :

4. Izračunajte šest vrijednosti:

Primjeri

Primjer 1

Ova funkcija definirano za sve vrijednosti varijabli x I y , osim ishodišta, gdje imenilac nestaje.

Polinom x2+y2 je kontinuirano svuda, i stoga je kvadratni korijen kontinuirane funkcije također kontinuiran.

Razlomak će biti neprekidan svuda osim u tačkama u kojima je imenilac jednak nuli. Odnosno, razmatrana funkcija je kontinuirana na cijeloj koordinatnoj ravni Ohu isključujući porijeklo.

Primjer 2

Istražite kontinuitet funkcije z=tg (x,y) . Tangenta je definirana i kontinuirana za sve konačne vrijednosti argumenta, osim za vrijednosti jednake neparnom broju veličine π /2 , tj. osim tačaka u kojima

Za svaki fiksni "k" jednačina (1.11) definira hiperbolu. Dakle, u pitanju je funkcija kontinuirana funkcija x i y , isključujući tačke koje leže na krivuljama (1.11).

Primjer 3

Pronađite parcijalne derivate funkcija u=z-xy , z > 0 .

Primjer 4

Pokažite tu funkciju

zadovoljava identitet:

– ova jednakost važi za sve tačke M(x; y; z) , osim tačke M 0 (a; b; c) .

Razmotrimo funkciju z=f(x, y) dvije nezavisne varijable i skup geometrijsko značenje privatne varijable z"x=f"x (x, y) I z" y=f" y (x, y) .

U ovom slučaju, jednačina z=f (x, y) je jednačina neke površine (sl.1.3). Nacrtaj avion y = konst . U presjeku ove ravnine površine z=f (x, y) nabavi neku liniju l 1 raskrsnica, duž koje se mijenjaju samo količine X I z .

Parcijalni derivat z" x (njegovo geometrijsko značenje proizilazi direktno iz poznatog geometrijskog značenja derivacije funkcije jedne varijable) numerički je jednako tangenti ugla α nagib, u odnosu na osu Oh , tangenta L1 do krivine l 1 , dobijen u poprečnom presjeku površine z=f (x, y) avion y = konst u tački M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

U poprečnom presjeku površine z=f (x, y) avion X = konst dobiti liniju raskrsnice l 2 , uz koje su samo količine at I z . Zatim parcijalni izvod z" y brojčano jednak tangentu ugla β nagib u odnosu na osu OU , tangenta L2 na navedenu liniju l 2 tačka raskrsnice M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Primjer 5

Koji ugao čini sa osom Oh tangenta na pravu:

u tački M(2,4,5) ?

Koristimo geometrijsko značenje parcijalnog izvoda u odnosu na varijablu X (pri konstantnoj at ):

Primjer 6

Prema (1.31):

Primjer 7

Pod pretpostavkom da je jednadžba

implicitno definira funkciju

naći z" x , z" y .

dakle, prema (1.37), dobijamo odgovor.

Primjer 8

Istražite do ekstrema:

1. Pronađite stacionarne tačke rješavanjem sistema (1.41):

odnosno pronađene su četiri stacionarne tačke.
2.

prema teoremi 1.4 u tački je minimum.

I

4. Izračunajte šest vrijednosti:

Od šest dobijenih vrijednosti biramo najveću i najmanju.

Bibliografija:

ü Belko I. V., Kuzmich K. K. višu matematiku za ekonomiste. I semestar: Ekspresni kurs. - M.: Novo znanje, 2002. - 140 str.

ü Gusak A. A.. Matematička analiza i diferencijalne jednadžbe - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 str.

ü Gusak A. A. Viša matematika. Tutorial za studente u 2 toma. - Mn., 1998. - 544 str. (1 tom), 448 str. (2 tone).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Viša matematika za ekonomiste: Udžbenik za srednje škole / Ed. prof. N. Sh. Kremer - M.: UNITI, 2002. - 471 str.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. i dr. Viša matematika. Opšti kurs: Udžbenik / Pod op. ed. S. A. Samalya.– Mn.: Vysh. škola, 2000. - 351 str.

Neka je funkcija $z=f(x,y)$ definirana i kontinuirana u nekom ograničenom zatvorenom domenu $D$. Neka data funkcija ima konačne parcijalne izvode prvog reda u ovom području (s mogućim izuzetkom konačnog broja tačaka). Da biste pronašli najveću i najmanju vrijednost funkcije dvije varijable u datom zatvorenom području, potrebna su tri koraka jednostavnog algoritma.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije $z=f(x,y)$ u zatvorenom domenu $D$.

1. Pronađite kritične tačke funkcije $z=f(x,y)$ koje pripadaju području $D$. Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama.
2. Istražite ponašanje funkcije $z=f(x,y)$ na granici područja $D$ pronalaženjem tačaka mogućih maksimalnih i minimalnih vrijednosti. Izračunajte vrijednosti funkcije u dobivenim tačkama.
3. Od vrijednosti funkcije dobijenih u prethodna dva paragrafa odaberite najveću i najmanju.

Šta su kritične tačke? prikaži/sakrij

Ispod kritične tačke impliciraju tačke u kojima su oba parcijalna izvoda prvog reda jednaka nuli (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ i $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ili barem jedan parcijalni izvod ne postoji.

Često se nazivaju tačke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli stacionarne tačke. Dakle, stacionarne tačke su podskup kritičnih tačaka.

Primjer #1

Pronađite maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije $z=x^2+2xy-y^2-4x$ u zatvorenom području ograničenom linijama $x=3$, $y=0$ i $y=x +1$.

Pratićemo gore navedeno, ali prvo ćemo se pozabaviti crtanjem date površine, koju ćemo označiti slovom $D$. Dato nam je jednačine tri prave linije, koje ograničavaju ovu oblast. Prava linija $x=3$ prolazi kroz tačku $(3;0)$ paralelnu sa y-osom (osa Oy). Prava linija $y=0$ je jednačina apscisne ose (Ox osa). Pa, da bismo konstruisali pravu liniju $y=x+1$, hajde da nađemo dve tačke kroz koje povlačimo ovu pravu liniju. Možete, naravno, zamijeniti nekoliko proizvoljnih vrijednosti umjesto $x$. Na primjer, zamjenom $x=10$, dobijamo: $y=x+1=10+1=11$. Pronašli smo tačku $(10;11)$ koja leži na pravoj $y=x+1$. Međutim, bolje je pronaći one tačke u kojima se prava $y=x+1$ siječe sa linijama $x=3$ i $y=0$. Zašto je bolje? Zato što ćemo jednim udarcem položiti par golubova: dobićemo dve tačke za konstruisanje prave $y=x+1$ i istovremeno saznati u kojim tačkama ova prava seče druge prave koje ograničavaju datu području. Prava $y=x+1$ seče pravu $x=3$ u tački $(3;4)$, a prava $y=0$ - u tački $(-1;0)$. Kako ne bih zatrpao tok rješenja pomoćnim objašnjenjima, pitanje dobivanja ove dvije točke stavit ću u napomenu.

Kako su dobijene tačke $(3;4)$ i $(-1;0)$? prikaži/sakrij

Počnimo od tačke preseka pravih $y=x+1$ i $x=3$. Koordinate željene tačke pripadaju i prvoj i drugoj liniji, tako da da biste pronašli nepoznate koordinate, morate riješiti sistem jednadžbi:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & x=3. \end(poravnano) \desno. $$

Rješenje takvog sistema je trivijalno: zamjenom $x=3$ u prvu jednačinu imat ćemo: $y=3+1=4$. Tačka $(3;4)$ je željena tačka preseka pravih $y=x+1$ i $x=3$.

Sada hajde da nađemo tačku preseka pravih $y=x+1$ i $y=0$. Ponovo sastavljamo i rješavamo sistem jednačina:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & y=0. \end(poravnano) \desno. $$

Zamjenom $y=0$ u prvu jednačinu dobijamo: $0=x+1$, $x=-1$. Tačka $(-1;0)$ je željena tačka preseka pravih $y=x+1$ i $y=0$ (os apscisa).

Sve je spremno za izradu crteža koji će izgledati ovako:

Pitanje bilješke izgleda očigledno, jer se sve vidi sa slike. Međutim, vrijedi zapamtiti da crtež ne može poslužiti kao dokaz. Slika je samo ilustracija radi jasnoće.

Naše područje je postavljeno pomoću jednačina linija koje ga ograničavaju. Očigledno je da ove linije definišu trougao, zar ne? Ili nije sasvim očigledno? Ili nam je možda dato drugačije područje, ograničeno istim linijama:

Naravno, uslov kaže da je prostor zatvoren, pa je prikazana slika pogrešna. Ali da bi se izbjegle takve nejasnoće, bolje je definirati regije prema nejednakostima. Zanima nas dio ravnine koji se nalazi ispod prave $y=x+1$? Ok, dakle $y ≤ x+1$. Naša oblast treba da se nalazi iznad linije $y=0$? Odlično, dakle $y ≥ 0$. Inače, posljednje dvije nejednačine se lako kombinuju u jednu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(poravnano) \desno. $$

Ove nejednakosti definiraju domenu $D$ i definiraju je jedinstveno, bez ikakvih nejasnoća. Ali kako nam to pomaže u pitanju na početku fusnote? Također će pomoći :) Moramo provjeriti da li tačka $M_1(1;1)$ pripada regionu $D$. Zamenimo $x=1$ i $y=1$ u sistem nejednakosti koje definišu ovo područje. Ako su obe nejednakosti zadovoljene, onda se tačka nalazi unutar regiona. Ako barem jedna od nejednakosti nije zadovoljena, onda tačka ne pripada regiji. dakle:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno.$$

Obje nejednakosti su tačne. Tačka $M_1(1;1)$ pripada regionu $D$.

Sada je red da se istraži ponašanje funkcije na granici domene, tj. idi. Počnimo sa pravom linijom $y=0$.

Prava linija $y=0$ (os apscisa) ograničava područje $D$ pod uslovom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamijenite $y=0$ u datu funkciju$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Rezultirajuća funkcija zamjene jedne varijable $x$ će biti označena kao $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sada za funkciju $f_1(x)$ trebamo pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Nađite derivaciju ove funkcije i izjednačite je sa nulom:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vrijednost $x=2$ pripada segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, tako da na listu tačaka dodajemo i $M_2(2;0)$. Osim toga, izračunavamo vrijednosti funkcije $z$ na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. u tačkama $M_3(-1;0)$ i $M_4(3;0)$. Usput, ako tačka $M_2$ ne pripada segmentu koji se razmatra, onda, naravno, ne bi bilo potrebe da se izračunava vrijednost funkcije $z$ u njoj.

Dakle, izračunajmo vrijednosti funkcije $z$ u tačkama $M_2$, $M_3$, $M_4$. Možete, naravno, zamijeniti koordinate ovih tačaka u originalnom izrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Na primjer, za tačku $M_2$ dobijamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Međutim, proračuni se mogu malo pojednostaviti. Da biste to učinili, vrijedi zapamtiti da na segmentu $M_3M_4$ imamo $z(x,y)=f_1(x)$. Napisat ću to detaljno:

\begin(poravnano) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (poravnano)

Naravno, obično nema potrebe za tako detaljnim unosima, a u budućnosti ćemo sve proračune početi zapisivati ​​na kraći način:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sada se okrenimo pravoj liniji $x=3$. Ova linija ograničava domen $D$ pod uslovom $0 ≤ y ≤ 4$. Zamijenite $x=3$ u datu funkciju $z$. Kao rezultat takve zamjene, dobijamo funkciju $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Za funkciju $f_2(y)$ potrebno je pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $0 ≤ y ≤ 4$. Nađite derivaciju ove funkcije i izjednačite je sa nulom:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vrijednost $y=3$ pripada segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, tako da dodajemo $M_5(3;3)$ na ranije pronađene tačke. Osim toga, potrebno je izračunati vrijednost funkcije $z$ u tačkama na krajevima segmenta $0 ≤ y ≤ 4$, tj. u tačkama $M_4(3;0)$ i $M_6(3;4)$. U tački $M_4(3;0)$ već smo izračunali vrijednost $z$. Izračunajmo vrijednost funkcije $z$ u tačkama $M_5$ i $M_6$. Da vas podsjetim da na segmentu $M_4M_6$ imamo $z(x,y)=f_2(y)$, dakle:

\begin(poravnano) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (poravnano)

I, konačno, razmotrite posljednju granicu $D$, tj. red $y=x+1$. Ova linija ograničava područje $D$ pod uslovom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamjenom $y=x+1$ u funkciju $z$, imat ćemo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Još jednom imamo funkciju jedne varijable $x$. I opet, morate pronaći najveću i najmanju vrijednost ove funkcije na segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$. Pronađite derivaciju funkcije $f_(3)(x)$ i izjednačite je sa nulom:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vrijednost $x=1$ pripada intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Ako je $x=1$, onda je $y=x+1=2$. Dodajmo $M_7(1;2)$ na listu tačaka i saznamo koja je vrijednost funkcije $z$ u ovoj tački. Tačke na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. tačke $M_3(-1;0)$ i $M_6(3;4)$ su razmatrane ranije, već smo pronašli vrijednost funkcije u njima.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi korak rješenja je završen. Dobili smo sedam vrijednosti:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Hajde da se okrenemo. Odabirom najveće i najmanje vrijednosti od onih brojeva koji su dobijeni u trećem paragrafu, imat ćemo:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Problem je riješen, ostaje samo da se zapiše odgovor.

Odgovori: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Primjer #2

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=x^2+y^2-12x+16y$ u području $x^2+y^2 ≤ 25$.

Prvo napravimo crtež. Jednačina $x^2+y^2=25$ (ovo je granična linija date oblasti) definiše kružnicu sa centrom u početku (tj. u tački $(0;0)$) i poluprečnikom od 5. Nejednakost $x^2 +y^2 ≤ 25$ zadovoljava sve tačke unutar i na pomenutom krugu.

Mi ćemo djelovati. Nađimo parcijalne izvode i saznajmo kritične tačke.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Ne postoje tačke u kojima pronađeni parcijalni izvod ne postoje. Hajde da saznamo u kojim tačkama su oba parcijalna izvoda istovremeno jednaka nuli, tj. pronađite stacionarne tačke.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(poravnano) \desno \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & x =6;\\ & y=-8.\end(poravnano) \desno.$$

Dobili smo stacionarnu tačku $(6;-8)$. Međutim, pronađena tačka ne pripada regionu $D$. To je lako prikazati bez pribjegavanja crtanju. Provjerimo da li vrijedi nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$, koja definira našu domenu $D$. Ako je $x=6$, $y=-8$, onda je $x^2+y^2=36+64=100$, tj. nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$ nije zadovoljena. Zaključak: tačka $(6;-8)$ ne pripada regionu $D$.

Dakle, nema kritičnih tačaka unutar $D$. Idemo dalje, do. Moramo istražiti ponašanje funkcije na granici datog područja, tj. na krugu $x^2+y^2=25$. Možete, naravno, izraziti $y$ u terminima $x$, a zatim zamijeniti rezultirajući izraz u našu funkciju $z$. Iz jednačine kružnice dobijamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ ili $y=-\sqrt(25-x^2)$. Zamjenom, na primjer, $y=\sqrt(25-x^2)$ u datu funkciju, imat ćemo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Dalje rješenje će biti potpuno identično proučavanju ponašanja funkcije na granici područja u prethodnom primjeru br. 1. Međutim, čini mi se da je u ovoj situaciji razumnije primijeniti Lagrangeovu metodu. Nas zanima samo prvi dio ove metode. Nakon primjene prvog dijela Lagrangeove metode, dobijamo tačke u kojima ispitujemo funkciju $z$ za minimalnu i maksimalnu vrijednost.

Sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Pronalazimo parcijalne izvode Lagrangeove funkcije i sastavljamo odgovarajući sistem jednačina:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (poravnano) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(poravnano) \ desno. \;\; \levo \( \begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( poravnato)\desno.$$

Da bismo riješili ovaj sistem, hajde da odmah naznačimo da je $\lambda\neq -1$. Zašto $\lambda\neq -1$? Pokušajmo zamijeniti $\lambda=-1$ u prvu jednačinu:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Rezultirajuća kontradikcija $0=6$ kaže da je vrijednost $\lambda=-1$ nevažeća. Izlaz: $\lambda\neq -1$. Izrazimo $x$ i $y$ u terminima $\lambda$:

\begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end (poravnano)

Vjerujem da ovdje postaje očigledno zašto smo posebno odredili uvjet $\lambda\neq -1$. Ovo je urađeno kako bi se izraz $1+\lambda$ uklopio u nazivnike bez smetnji. To jest, da budemo sigurni da je imenilac $1+\lambda\neq 0$.

Zamenimo dobijene izraze za $x$ i $y$ u treću jednačinu sistema, tj. u $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iz rezultirajuće jednakosti slijedi da je $1+\lambda=2$ ili $1+\lambda=-2$. Dakle, imamo dvije vrijednosti parametra $\lambda$, i to: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. U skladu s tim, dobijamo dva para vrijednosti $x$ i $y$:

\begin(poravnano) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (poravnano)

Dakle, dobili smo dvije tačke mogućeg uslovnog ekstremuma, tj. $M_1(3;-4)$ i $M_2(-3;4)$. Pronađite vrijednosti funkcije $z$ u tačkama $M_1$ i $M_2$:

\begin(poravnano) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (poravnano)

Trebalo bi izabrati najveću i najmanju vrijednost od onih koje smo dobili u prvom i drugom koraku. Ali u ovom slučaju izbor je mali :) Imamo:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odgovori: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.