Proučavanje funkcije za kontinuitet u nekoj tački provodi se prema već umotanoj rutinskoj shemi, koja se sastoji od provjere tri uvjeta kontinuiteta:

Primjer 1

Rješenje:

1) Jedina tačka pada ispod nišana, gde funkcija nije definisana.

Jednostrane granice su konačne i jednake.

Stoga, u jednom trenutku, funkcija trpi diskontinuitet koji se može prekinuti.

Kako izgleda graf ove funkcije?

Želio bih da napravim pojednostavljenje, a čini se da je to obična parabola. ALI originalna funkcija nije definirana u točki , pa je potrebno sljedeće upozorenje:

Izradimo crtež:

Odgovori: funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim u tački u kojoj trpi diskontinuitet.

Funkcija se može redefinirati na dobar ili ne tako dobar način, ali to uvjet ne zahtijeva.

Kažete da je primjer nategnut? Ne sve. Desilo se na desetine puta u praksi. Gotovo svi zadaci stranice proizlaze iz stvarnog samostalnog i kontrolnog rada.

Hajde da raščlanimo naše omiljene module:

Primjer 2

Istražite funkciju za kontinuitet. Odredite prirodu prekida funkcije, ako ih ima. Izvršite crtež.

Rješenje: iz nekog razloga, studenti se boje i ne vole funkcije sa modulom, iako u njima nema ništa komplikovano. Takvih stvari smo se već malo dotakli u lekciji. Geometrijske transformacije dijagrama. Pošto je modul nenegativan, on se proširuje na sljedeći način: , gdje je "alfa" neki izraz. U ovom slučaju, , i naša funkcija bi trebala potpisati po komadima:

Ali razlomci oba komada moraju se smanjiti za . Smanjenje, kao iu prethodnom primjeru, neće proći bez posljedica. Originalna funkcija nije definirana u tački jer nazivnik nestaje. Prema tome, sistem treba dodatno specificirati uslov , i učiniti prvu nejednakost strogom:

Sada za VEOMA KORISAN trik: prije finalizacije zadatka na nacrtu, korisno je napraviti crtež (bez obzira da li to uvjet zahtijeva ili ne). Ovo će vam pomoći, prvo, da odmah vidite tačke kontinuiteta i tačke prekida, i, drugo, 100% će vas spasiti od grešaka pri pronalaženju jednostranih granica.

Hajde da uradimo trik. Prema našim proračunima, lijevo od tačke potrebno je nacrtati fragment parabole (plavo), a desno - komadić parabole (crveno), dok funkcija nije definirana u samoj tački :

Kada ste u nedoumici, uzmite nekoliko x, uključite ih u funkciju (sjetite se da će modul uništiti mogući minus znak) i provjerite graf.

Analitički istražujemo funkciju za kontinuitet:

1) Funkcija nije definirana u tački , pa možemo odmah reći da nije kontinuirana u njoj.

2) Ustanovimo prirodu diskontinuiteta, za to izračunavamo jednostrane granice:

Jednostrane granice su konačne i različite, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 1. vrste sa skokom u tački . Imajte na umu da nije važno da li je funkcija na tački prekida definirana ili ne.

Sada ostaje prenijeti crtež iz nacrta (napravljen je, takoreći, uz pomoć istraživanja ;-)) i završiti zadatak:

Odgovori: funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim u tački u kojoj dolazi do prekida prve vrste sa skokom.

Ponekad je potrebno dodatno naznačiti skok diskontinuiteta. Izračunava se elementarno - lijeva granica se mora oduzeti od desne granice: , odnosno u tački prekida naša funkcija je skočila 2 jedinice naniže (o čemu nam govori znak minus).

Primjer 3

Istražite funkciju za kontinuitet. Odredite prirodu prekida funkcije, ako ih ima. Napravite crtež.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, primjer rješenja na kraju lekcije.

Prijeđimo na najpopularniju i najčešću verziju zadatka, kada se funkcija sastoji od tri dijela:

Primjer 4

Istražite funkciju za kontinuitet i nacrtajte graf funkcije

Rješenje: očito je da su sva tri dijela funkcije kontinuirana na odgovarajućim intervalima, pa ostaje provjeriti samo dvije "spojne" točke između dijelova. Prvo, napravimo crtež na nacrtu, dovoljno sam detaljno komentirao tehniku ​​gradnje u prvom dijelu članka. Jedina stvar je da pažljivo pratimo naše singularne tačke: zbog nejednakosti vrijednost pripada pravoj liniji (zelena tačka), a zbog nejednakosti vrijednost pripada paraboli (crvena tačka):

Pa, u principu, sve je jasno =) Ostaje da se donese odluka. Za svaku od dvije tačke "gužnjaka" standardno provjeravamo 3 uvjeta kontinuiteta:

ja)

Jednostrane granice su konačne i različite, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 1. vrste sa skokom u tački .

Izračunajmo skok diskontinuiteta kao razliku između desne i lijeve granice:
, odnosno grafikon je skočio za jednu jedinicu gore.

II) Ispitujemo tačku za kontinuitet

1) - funkcija je definirana u datoj tački.

2) Pronađite jednostrane granice:

Jednostrane granice su konačne i jednake, tako da postoji zajednička granica.

U završnoj fazi crtež prenosimo na čistu kopiju, nakon čega stavljamo završni akord:

Odgovori: funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, osim na mjestu gdje pretrpi diskontinuitet prve vrste sa skokom.

Primjer 5

Istražite funkciju za kontinuitet i izgradite njen graf.

Ovo je primjer za samostalno rješenje, kratko rješenje i približan uzorak problema na kraju lekcije.

Može se steći utisak da u jednom trenutku funkcija mora nužno biti kontinuirana, au drugoj tački nužno mora postojati diskontinuitet. U praksi to nije uvijek slučaj. Pokušajte ne zanemariti preostale primjere - bit će nekoliko zanimljivih i važnih karakteristika:

Primjer 6

Zadata funkcija. Istražite funkciju za kontinuitet u točkama . Napravite graf.

Rješenje: i ponovo odmah izvršite crtež na nacrtu:

Posebnost ovog grafa je u tome što je funkcija po komadima data jednadžbom apscisne ose. Ovo područje je prikazano ovdje u zelenoj boji, a u bilježnici je obično podebljano jednostavnom olovkom. I, naravno, ne zaboravite na naše ovnove: vrijednost se odnosi na tangentnu granu (crvena tačka), a vrijednost pripada pravoj liniji.

Iz crteža je sve jasno - funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, ostaje da se nacrta rješenje koje se doslovno nakon 3-4 slična primjera dovodi do punog automatizma:

ja) Ispitujemo tačku za kontinuitet

1) - funkcija je definirana u datoj tački.

2) Izračunajte jednostrane granice:

Dakle, postoji opšta granica.

Ovdje je došlo do malog zaokreta. Činjenica je da sam stvorio mnogo materijala o granicama funkcije, i nekoliko puta sam htio, ali nekoliko puta sam zaboravio na jednu jednostavno pitanje. I tako sam se nevjerovatnim naporom volje natjerao da ne izgubim misao =) Najvjerovatnije, neki čitaoci-"budali" sumnjaju: koja je granica konstante? Granica konstante jednaka je samoj konstanti. U ovom slučaju, granica nule jednaka je samoj nuli (lijevi limit).

3) - granica funkcije u tački jednaka je vrijednosti ove funkcije u datoj tački.

Dakle, funkcija je neprekidna u tački prema definiciji funkcije koja je kontinuirana u tački.

II) Ispitujemo tačku za kontinuitet

1) - funkcija je definirana u datoj tački.

2) Pronađite jednostrane granice:

I ovdje, u desnoj granici - granica jedinice jednaka je samoj jedinici.

Postoji opšta granica.

3) - granica funkcije u tački jednaka je vrijednosti ove funkcije u datoj tački.

Dakle, funkcija je neprekidna u tački prema definiciji funkcije koja je kontinuirana u tački.

Kao i obično, nakon studije, naš crtež prenosimo u čistu kopiju.

Odgovori: funkcija je kontinuirana u točkama .

Napominjemo da u tom stanju nismo pitali ništa o proučavanju cijele funkcije za kontinuitet, te se smatra dobrom matematičkom formom za formulisanje precizno i ​​jasno odgovor na postavljeno pitanje. Usput, ako prema uslovu nije potrebno graditi graf, onda imate pravo da ga ne gradite (iako vas kasnije nastavnik može natjerati da to učinite).

Mali matematički "patter" za samostalno rješenje:

Primjer 7

Zadata funkcija.

Istražite funkciju za kontinuitet u točkama . Klasifikujte prelomne tačke, ako ih ima. Izvršite crtež.

Pokušajte ispravno "izgovoriti" sve "riječi" =) I nacrtajte grafikon preciznije, tačnost, neće svugdje biti suvišno ;-)

Kao što se sjećate, preporučio sam vam da odmah nacrtate nacrt, ali s vremena na vrijeme naiđete na takve primjere u kojima ne možete odmah shvatiti kako grafikon izgleda. Stoga je u velikom broju slučajeva korisno prvo pronaći jednostrane granice pa tek onda, na osnovu studije, prikazati grane. U zadnja dva primjera naučit ćemo i tehniku ​​izračunavanja nekih jednostranih granica:

Primjer 8

Istražite funkciju za kontinuitet i izgradite njen šematski graf.

Rješenje: loše tačke su očigledne: (okreće imenilac eksponenta na nulu) i (okreće na nulu imenilac celog razlomka). Nije jasno kako izgleda graf ove funkcije, što znači da je bolje prvo provesti studiju:

ja) Ispitujemo tačku za kontinuitet

2) Pronađite jednostrane granice:

obratite pažnju na tipična metoda za izračunavanje jednostrane granice: u funkciji umjesto "X" zamjenjujemo . U nazivniku nema zločina: "sabitak" "minus nula" ne igra ulogu, a ispada "četiri". Ali u brojniku postoji mali triler: prvo ubijemo -1 i 1 u nazivniku indikatora, kao rezultat toga dobijemo . jedinica podijeljena sa , je jednako "minus beskonačnost", dakle: . I konačno, "dva" u beskonačno velika negativan stepen jednako nuli: . Ili, detaljnije: .

Izračunajmo desnu granicu:

I ovdje - umjesto "x" zamjenjujemo . U nazivniku "aditiv" opet ne igra ulogu: . U brojiocu se izvode radnje slične prethodnoj granici: uništavamo suprotne brojeve i dijelimo jedinicu sa :

Desna granica je beskonačna, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 2. vrste u tački .

II) Ispitujemo tačku za kontinuitet

1) Funkcija nije definirana u ovom trenutku.

2) Izračunajte lijevu granicu:

Metoda je ista: zamjenjujemo u funkciju umjesto "x". Nema ništa zanimljivo u brojiocu - ispada konačan pozitivan broj. A u nazivniku otvaramo zagrade, uklanjamo "trojke", a "aditiv" igra odlučujuću ulogu.

Kao rezultat, konačni pozitivan broj podijeljen sa beskonačno mali pozitivan broj, daje "plus beskonačnost": .

Desna granica, kao kod brata blizanca, sa jedinim izuzetkom koji se pojavljuje u nazivniku beskonačno mali negativan broj:

Jednostrane granice su beskonačne, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 2. vrste u tački .

Dakle, imamo dve tačke prekida i, očigledno, tri grane grafa. Za svaku granu preporučljivo je izvršiti konstrukciju tačka po tačku, tj. uzmite nekoliko vrijednosti "x" i zamijenite ih u . Imajte na umu da uvjet dozvoljava izradu šematskog crteža, a takvo opuštanje je prirodno za ručni rad. Gradim grafikone pomoću programa, tako da nemam takvih poteškoća, evo prilično tačne slike:

Direktni su vertikalne asimptote za graf ove funkcije.

Odgovori: funkcija je neprekidna na cijeloj brojevnoj pravoj, osim u mjestima gdje trpi diskontinuitete 2. vrste.

Jednostavnija funkcija za rješenje uradi sam:

Primjer 9

Istražite funkciju za kontinuitet i napravite šematski crtež.

Uzorak rješenja na kraju koji se ukrao neprimijećen.

Vidimo se uskoro!

Rješenja i odgovori:

Primjer 3:Rješenje : transformirajte funkciju: . S obzirom na pravilo proširenja modula i činjenica da , prepisujemo funkciju u obliku po komadima:

Istražujemo funkciju za kontinuitet.

1) Funkcija nije definirana u tački .

Jednostrane granice su konačne i različite, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 1. vrste sa skokom u tački . Izradimo crtež:

Odgovori: funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim na tački , u kojem trpi diskontinuitet prve vrste sa skokom. Skok u razmak: (dvije jedinice više).

Primjer 5:Rješenje : svaki od tri dijela funkcije je kontinuiran na svom intervalu.
ja)
1)

2) Izračunajte jednostrane granice:

, tako da postoji zajednička granica.
3) - granica funkcije u tački jednaka je vrijednosti ove funkcije u datoj tački.
Dakle, funkcija kontinuirano u tački po definiciji kontinuiteta funkcije u tački.
II) Ispitujemo tačku za kontinuitet

1) - funkcija je definirana u datoj tački. funkcija trpi diskontinuitet 2. vrste, u tački

Kako pronaći opseg funkcije?

Primjeri rješenja

Ako negdje nešto nedostaje, onda negdje nešto postoji

Nastavljamo sa proučavanjem sekcije "Funkcije i grafovi", a sljedeća stanica našeg putovanja je Opseg funkcije. Aktivna diskusija ovaj koncept počela na prvoj lekciji o grafovima funkcija gdje sam pregledao elementarne funkcije, a posebno njihove domene definicije. Stoga, preporučam lutkama da počnu s osnovama teme, jer se neću više zadržavati na nekim osnovnim točkama.

Pretpostavlja se da čitalac poznaje oblasti definisanja glavnih funkcija: linearne, kvadratne, kubne funkcije, polinome, eksponent, logaritam, sinus, kosinus. Oni su definisani na . Za tangente, arksinuse, neka bude, opraštam ti =) Rijetki grafovi se ne pamte odmah.

Čini se da je domen definicije jednostavna stvar i postavlja se prirodno pitanje o čemu će članak biti? U ovoj lekciji ću razmotriti uobičajene zadatke za pronalaženje domena funkcije. Osim toga, ponovićemo nejednakosti sa jednom promenljivom, vještine za rješavanje koje će biti potrebne u drugim zadacima višu matematiku. Materijal je, inače, sav školski, tako da će biti od koristi ne samo učenicima, već i učenicima. Informacija, naravno, ne pretenduje da bude enciklopedijska, ali s druge strane, ovdje nema nategnutih “mrtvih” primjera, već pečenih kestena, koji su preuzeti iz stvarnih praktičnih radova.

Počnimo sa ekspresnim presecanjem teme. Ukratko o glavnoj stvari: govorimo o funkciji jedne varijable. Njegov domen definicije je skup "x" vrijednosti, za koji postoje značenje "igre". Razmotrimo hipotetički primjer:

Domen ove funkcije je unija intervala:
(za one koji su zaboravili: - ikona spajanja). Drugim riječima, ako uzmemo bilo koju vrijednost "x" iz intervala , ili iz , ili iz , tada će za svaki takav "x" postojati vrijednost "y".

Grubo govoreći, tamo gdje je domen definicije, postoji graf funkcije. Ali poluinterval i tačka “ce” nisu uključeni u područje definicije, tako da tamo nema grafikona.

Da, usput, ako nešto nije jasno iz terminologije i/ili sadržaja prvih pasusa, bolje je vratiti se na članak Grafovi i svojstva elementarnih funkcija.

Predavanje 4

Kontinuitet funkcija

1. Kontinuitet funkcije u tački

Definicija 1. Neka funkcija y=f(x) je definiran u tački X 0 iu nekom susjedstvu ove tačke. Funkcija y=f(x) se zove kontinuirano na x 0 , ako postoji granica funkcije u ovoj tački i ona je jednaka vrijednosti funkcije u ovoj tački, tj.

Dakle, uslov za kontinuitet funkcije y=f(x) u tački X 0 je li to:

Jer
, tada se jednakost (32) može zapisati kao

(33)

 To znači da kada nalaženje granice neprekidne funkcijef(x) može se prijeći do granice pod znakom funkcije, tj. u funkciju f(x) umjesto argumenta X zamijeniti njegovu graničnu vrijednost X 0 .

lim sin x=sin(lim x);

lim arctg x= arctg (lim x); (34)

lim log x= log (lim x).

Zadatak. Pronađite ograničenje: 1)
; 2)
.

Hajde da damo definiciju kontinuiteta funkcije, zasnovanu na konceptima inkrementa argumenta i funkcije.

Jer uslovi
I
su isti (slika 4), tada jednakost (32) ima oblik:

ili
.

Definicija 2. Funkcija y=f(x) se zove kontinuirano na x 0 , ako je definisan u tački X 0 i njegovu okolinu, a beskonačno mali prirast argumenta odgovara beskonačno malom inkrementu funkcije.

Zadatak. Istražite kontinuitet funkcije y=2X 2 1.

Svojstva funkcija kontinuiranih u tački

1. Ako funkcije f(x) I φ (x) su kontinuirani u tački X 0 , zatim njihov zbir
, posao
i privatno
(pod uslovom
) su funkcije kontinuirane u tački X 0 .

2. Ako funkcija at=f(x) je kontinuiran u tački X 0 i f(x 0)>0, tada postoji susjedstvo tačke X 0 , u kojem f(x)>0.

3. Ako funkcija at=f(u) je kontinuirana u tački u 0 , a funkcija u= φ (x) je kontinuiran u tački u 0 = φ (x 0 ), onda složena funkcija y=f[φ (x)] je kontinuiran u tački X 0 .

2. Kontinuitet funkcije u intervalu i na intervalu

Funkcija y=f(x) se zove kontinuirano u intervalu (a; b) ako je kontinuirano u svakoj tački ovog intervala.

Funkcija y=f(x) se zove kontinuirano na segmentu [a; b] ako je kontinuirano u intervalu ( a; b), i u tački X=ali kontinuirano na desnoj strani (tj.
), i u tački x=b je kontinuirano na lijevoj strani (tj.
).

3. Prelomne tačke funkcije i njihova klasifikacija

Pozivaju se tačke u kojima se prekida kontinuitet funkcije prelomne tačke ovu funkciju.

Ako X=X 0  tačka prekida funkcije y=f(x), tada barem jedan od uvjeta prve definicije kontinuiteta funkcije u njemu nije zadovoljen.

Primjer.

1.
. 2.

3)
4)
.

▼Prelomna tačka X 0 se zove tačka prekida prva vrsta funkcije y=f(x) ako u ovoj tački postoje konačne granice funkcije s lijeve i desne strane (jednostrane granice), tj.
I
. pri čemu:

Vrijednost | A 1 -A 2 | pozvao funkcija skoka na tački diskontinuiteta prve vrste. ▲

▼Prelomna tačka X 0 se zove tačka prekida druga vrsta funkcije y=f(x) ako barem jedna od jednostranih granica (lijeva ili desna) ne postoji ili je jednaka beskonačnosti. ▲

Zadatak. Pronađite prijelomne točke i saznajte njihov tip za funkcije:

1)
; 2)
.

4. Osnovne teoreme o kontinuiranim funkcijama

Teoreme kontinuiteta za funkcije slijede direktno iz odgovarajućih graničnih teorema.

Teorema 1. Zbir, proizvod i količnik dvije kontinuirane funkcije je kontinuirana funkcija (za količnik, osim za one vrijednosti argumenta u kojima djelitelj nije jednak nuli).

Teorema 2. Neka funkcije u=φ (x) je kontinuiran u tački X 0 i funkciju y=f(u) je kontinuiran u tački u=φ (x 0 ). Zatim kompleksna funkcija f(φ (x)) koji se sastoji od kontinuiranih funkcija je kontinuiran u tački X 0 .

Teorema 3. Ako je funkcija y=f(x) je kontinuiran i striktno monoton na [ a; b] osa Oh, zatim inverzna funkcija at=φ (x) je također kontinuiran i monoton na odgovarajućem segmentu [ c;d] osa OU.

Svaka elementarna funkcija je kontinuirana u svakoj tački u kojoj je definirana.

5. Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu

Weierstrassova teorema. Ako je funkcija kontinuirana na segmentu, tada dostiže maksimalnu i minimalnu vrijednost na ovom segmentu.

Posljedica. Ako je funkcija kontinuirana na intervalu, onda je ograničena na interval.

Bolzano-Cauchy teorema. Ako je funkcija y=f(x) je kontinuiran na segmentu [ a; b] i uzima nejednake vrijednosti na svojim krajevima f(a)=A I f(b)=B,
, onda bez obzira na broj OD između ALI I IN, postoji poenta
takav da f(c)=C.

Geometrijski teorema je očigledna. Za bilo koji broj OD između ALI I IN, postoji tačka c unutar ovog segmenta tako da f(OD)=C. Pravo at=OD siječe graf funkcije barem u jednoj tački.

Posljedica. Ako je funkcija y=f(x) je kontinuiran na segmentu [ a; b] i uzima vrijednosti različitih predznaka na svojim krajevima, zatim unutar segmenta [ a; b] postoji barem jedna tačka od, u kojem je funkcija y=f(x) nestaje: f(c)=0.

Geometrijski značenje teoreme: ako graf neprekidne funkcije prolazi s jedne strane ose Oh na drugu, tada prelazi osu Oh.

Ovaj članak je o kontinuiranom numerička funkcija. Za kontinuirana preslikavanja u različitim granama matematike, pogledajte kontinuirano mapiranje.

kontinuirana funkcija- funkcija bez "skokova", to jest ona u kojoj male promjene u argumentu dovode do malih promjena u vrijednosti funkcije.

Kontinuirana funkcija, općenito govoreći, je sinonim za koncept kontinuiranog preslikavanja, međutim, najčešće se ovaj izraz koristi u užem smislu - za preslikavanja između brojevnih prostora, na primjer, na realnoj liniji. Ovaj članak je posebno posvećen kontinuiranim funkcijama definiranim na podskupu realni brojevi i preuzimanje stvarnih vrednosti.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ Kontinuitet funkcije i tačke prekida funkcije

✪ 15 Kontinuirana funkcija

✪ Kontinuirane karakteristike

✪ Matematička analiza, Lekcija 5, Kontinuitet funkcije

✪ Kontinuirano slučajna vrijednost. funkcija distribucije

Titlovi

Definicija

Ako "ispravimo" funkciju f (\displaystyle f) na tački diskontinuiteta i staviti f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), tada dobijamo funkciju koja je kontinuirana u ovoj tački. Takva operacija nad funkcijom se zove proširenje funkcije na kontinuirano ili proširenje funkcije kontinuitetom, što opravdava naziv tačke, kao tačke za jednokratnu upotrebu jaz.

Jump point

Do "skoka" diskontinuiteta dolazi ako

lim x → a − 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)\neq \lim \limits _(x) \to a+0)f(x)).

Prelomna tačka "stub"

Do diskontinuiteta "pola" dolazi ako je jedna od jednostranih granica beskonačna.

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty ) ili lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]

Značajna tačka prekida

U tački značajnog diskontinuiteta jedna od jednostranih granica je potpuno odsutna.

Klasifikacija izolovanih singularnih tačaka u R n , n>1

Za funkcije f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(n)) I f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) ) nema potrebe da radite sa tačkama prekida, ali često morate da radite sa posebnim tačkama (tačke gde funkcija nije definisana). Klasifikacija je slična.

Nedostaje koncept "skoka". Šta je unutra R (\displaystyle \mathbb (R) ) se smatra skokom, u višedimenzionalnim prostorima je bitna singularna tačka.

Svojstva

Lokalno

• Funkcija kontinuirana u jednoj tački a (\displaystyle a), je ograničen u nekom susjedstvu ove tačke.
• Ako je funkcija f (\displaystyle f) kontinuirano u tački a (\displaystyle a) I f (a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(ili f(a)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), onda f (x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(ili f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) za sve x (\displaystyle x), dovoljno blizu a (\displaystyle a).
• Ako funkcije f (\displaystyle f) I g (\displaystyle g) kontinuirano u tački a (\displaystyle a), zatim funkcije f+g (\displaystyle f+g) I f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g) su takođe kontinuirani u tački a (\displaystyle a).
• Ako funkcije f (\displaystyle f) I g (\displaystyle g) kontinuirano u tački a (\displaystyle a) i gde g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), zatim funkciju f / g (\displaystyle f/g) je takođe kontinuiran u tački a (\displaystyle a).
• Ako je funkcija f (\displaystyle f) kontinuirano u tački a (\displaystyle a) i funkciju g (\displaystyle g) kontinuirano u tački b = f (a) (\displaystyle b=f(a)), zatim njihov sastav h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f) kontinuirano u tački a (\displaystyle a).

Global

• kompaktni skup) jednoliko je kontinuiran na njemu.
• Funkcija koja je kontinuirana na segmentu (ili bilo kojem drugom kompaktnom skupu) je ograničena i na njemu dostiže maksimalnu i minimalnu vrijednost.
• Raspon funkcija f (\displaystyle f), kontinuirano na segmentu , je segment [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\ \max f],) gdje su minimum i maksimum uzeti duž segmenta [ a , b ] (\displaystyle).
• Ako je funkcija f (\displaystyle f) kontinuirano na segmentu [ a , b ] (\displaystyle) I f(a) ⋅ f(b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} onda postoji tačka u kojoj f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
• Ako je funkcija f (\displaystyle f) kontinuirano na segmentu [ a , b ] (\displaystyle) i broj φ (\displaystyle \varphi ) zadovoljava nejednakost f(a)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi ili nejednakosti f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),) onda postoji poenta ξ ∈ (a, b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),) pri čemu f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi ).
• Kontinuirano preslikavanje iz segmenta u realnu liniju je injektivno ako i samo ako datu funkciju je striktno monotona na intervalu.
• Monotona funkcija na segmentu [ a , b ] (\displaystyle) je kontinuiran ako i samo ako je njegov opseg segment sa krajevima f (a) (\displaystyle f(a)) I f (b) (\displaystyle f(b)).
• Ako funkcije f (\displaystyle f) I g (\displaystyle g) kontinuirano na segmentu [ a , b ] (\displaystyle), i f(a)< g (a) {\displaystyle f(a) I f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),) onda postoji poenta ξ ∈ (a, b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),) pri čemu f (ξ) = g (ξ) . (\displaystyle f(\xi)=g(\xi).) Iz ovoga, posebno, slijedi da svako kontinuirano preslikavanje segmenta u sebe ima barem jednu fiksnu tačku.

Primjeri

Elementarne funkcije

Ova funkcija je kontinuirana u svakoj tački x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0).

Tačka je prelomna tačka prva vrsta, štaviše

lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \ograničava _(x\do 0+)f(x)),

dok funkcija nestaje u samoj tački.

step funkcija

Funkcija koraka definirana kao

f (x) = ( 1 , x ≥ 0 0 , x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

je kontinuirano svuda osim u jednoj tački x = 0 (\displaystyle x=0), gdje funkcija trpi diskontinuitet prve vrste. Međutim, u trenutku x = 0 (\displaystyle x=0) postoji desna granica koja se poklapa sa vrijednošću funkcije u datoj tački. Dakle, ova funkcija je primjer kontinuirano pravo funkcije u cijelom domenu definicije.

Slično, funkcija koraka definirana kao

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ≤ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( slučajevi)),\quad x\in \mathbb (R) )

je primjer kontinuirano lijevo funkcije u cijelom domenu definicije.

Dirichletova funkcija

f (x) = ( 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ R ∖ Q (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x\in \mathbb (Q) \\0,&x\in \ mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) \end(case)

Kontinuitet funkcije u tački

Neka je funkcija f(x) definirana u nekom susjedstvu O(x0) tačke x0 (uključujući i samu tačku x0).

Funkcija f(x) naziva se kontinuiranom u tački x0 ako postoji limx → x0 f(x) jednaka vrijednosti funkcije f(x) u ovoj tački: lim

f(x) = f(x0), (1)

one. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) X f(x) O O(f(x0)) .

Komentar. Jednakost (1) se može zapisati kao: lim

one. pod znakom kontinuirane funkcije, može se prijeći do granice.

Neka je Δx = x − x0 prirast argumenta, Δy = f(x) − f(x0) odgovarajući prirast funkcije.

Neophodan i dovoljno stanje kontinuitet funkcije u tački

Funkcija y = f(x) je kontinuirana na x0 ako i samo ako

Komentar. Uslov (2) se može tumačiti kao druga definicija kontinuiteta funkcije u tački. Obje definicije su ekvivalentne.

Neka je funkcija f(x) definirana u intervalu .

Kaže se da je funkcija f(x) ostavljena kontinuirano u tački x0 ako postoji jednostrani granični lim

Kontinuitet zbira, proizvoda i količnika dvije kontinuirane funkcije

Teorema 1. Ako su funkcije f(x) i g(x) kontinuirane u tački x0, tada su f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) kontinuirane u ovoj tačka

Kontinuitet složene funkcije

Teorema 2. Ako je funkcija u(x) neprekidna u tački x0, a funkcija f(u) je kontinuirana u odgovarajućoj tački u0 = f(x0), tada je kompozitna funkcija f(u(x)) kontinuirana u tački x0.

Sve elementarne funkcije su kontinuirane u svakoj tački svog domena.

Lokalna svojstva kontinuiranih funkcija

Teorema 3 (ograničenost kontinuirane funkcije). Ako je funkcija f(x) kontinuirana u tački x0, tada postoji susjedstvo O(x0) u kojem je f(x) ograničeno.

Dokaz slijedi iz tvrdnje da je funkcija koja ima granicu ograničena.

Teorema 4 (stabilnost predznaka kontinuirane funkcije). Ako je funkcija f(x) kontinuirana u tački x0 i f(x0) ≠ 0, tada postoji susjedstvo tačke x0 gdje je f(x) ≠ 0, a predznak f(x) u tom susjedstvu se poklapa sa predznakom f(x0).

Klasifikacija tačaka prekida

Uslov (1) kontinuiteta funkcije f(x) u tački x0 je ekvivalentan uslovu f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)

gdje je f(x 0 − 0) = lim

f(x) i f(x0 + 0) = lim

f(x) - jednostrane granice funkcije f(x) u tački x0.

Ako je uvjet (3) povrijeđen, tačka x0 se naziva tačka diskontinuiteta funkcije f(x). U zavisnosti od vrste kršenja uslova (3), tačke prekida imaju različit karakter i klasifikuju se na sledeći način:

1. Ako u tački x0 postoje jednostrane granice f(x0 − 0), f (x0 + 0), i

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0), tada se tačka x0 naziva tačka diskontinuiteta funkcije f(x) (slika 1).

Komentar. U tački x0 funkcija možda nije definirana.

2. Ako u tački x0 postoje jednostrane granice f(x0 − 0), f (x0 + 0), i

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0), tada se tačka x0 naziva tačka diskontinuiteta sa konačnim skokom funkcije f(x) (slika 2).

Komentar. U tački diskontinuiteta sa konačnim skokom, vrijednost funkcije može biti bilo koja ili ne mora biti definirana.

Tačke uklonjivog diskontinuiteta i konačnog skoka nazivaju se diskontinuitetne tačke 1. vrste. Njihova odlika je postojanje konačnih jednostranih granica f(x0 − 0) i

3. Ako je u tački x0 barem jedna od jednostranih granica f(x0 − 0), f (x0 + 0) jednaka beskonačnosti ili ne postoji, tada
x0 naziva se tačka diskontinuiteta 2. vrste (slika 3).

Ako je barem jedna od jednostranih granica f(x0 − 0), f (x0 + 0) jednaka beskonačnosti, tada se prava x = x 0 naziva vertikalna asimptota grafa funkcije y = f( x).

Definicija. Funkcija f(x) definirana u susjedstvu neke tačke x0 naziva se kontinuiranom u tački x0 ako su granica funkcije i njena vrijednost u ovoj tački jednaki, tj.

Ista činjenica se može drugačije napisati:

Definicija. Ako je funkcija f(x) definirana u nekom susjedstvu točke x0, ali nije kontinuirana u samoj tački x0, onda se naziva diskontinuirana funkcija, a tačka x0 se naziva diskontinuitetna tačka.

Definicija. Funkcija f(x) se naziva kontinuiranom u tački x0 ako postoji pozitivan broj e>0 postoji takav broj D>0 da za bilo koje x koje zadovoljava uslov

istinska nejednakost.

Definicija. Funkcija f(x) se naziva kontinuiranom u tački x = x0 ako je prirast funkcije u tački x0 infinitezimalna vrijednost.

f(x) = f(x0) + a(x)

gdje je a(x) beskonačno mali za x®x0.

Svojstva kontinuiranih funkcija.

1) Zbir, razlika i proizvod funkcija kontinuiranih u tački x0 je funkcija kontinuirana u tački x0.

2) Kvocijent dvije neprekidne funkcije je kontinuirana funkcija pod uvjetom da g(x) nije jednak nuli u tački x0.

3) Superpozicija kontinuiranih funkcija je kontinuirana funkcija.

Ovo svojstvo se može napisati na sljedeći način:

Ako su u = f(x), v = g(x) kontinuirane funkcije u tački x = x0, tada je funkcija v = g(f(x)) također kontinuirana funkcija u ovoj tački.

Validnost gornjih svojstava može se lako dokazati korištenjem graničnih teorema

Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu.

Svojstvo 1: (Prva Weierstrassova teorema (Weierstrass Karl (1815-1897) - njemački matematičar)). Funkcija koja je kontinuirana na intervalu je ograničena na ovaj interval, tj. uslov –M £ f(x) £ M je zadovoljen na intervalu.

Dokaz ovog svojstva zasniva se na činjenici da je funkcija koja je kontinuirana u tački x0 ograničena u nekoj njenoj okolini, a ako segment podijelimo na beskonačan broj segmenata koji se "sažimaju" u tačku x0, tada formira se određena okolina tačke x0.

Svojstvo 2: Funkcija koja je kontinuirana na intervalu poprima svoje maksimalne i minimalne vrijednosti.

One. postoje vrijednosti x1 i x2 takve da je f(x1) = m, f(x2) = M, i

Napominjemo ove maksimalne i minimalne vrijednosti koje funkcija može poprimiti na segmentu i nekoliko puta (na primjer, f (x) = sinx).

Razlika između najveće i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu naziva se oscilacija funkcije na segmentu.

Svojstvo 3: (Druga Bolzano–Cauchyjeva teorema). Funkcija koja je kontinuirana na segmentu preuzima na ovom segmentu sve vrijednosti između dvije proizvoljne vrijednosti.

Svojstvo 4: Ako je funkcija f(x) kontinuirana u tački x = x0, tada postoji neka okolina tačke x0 u kojoj funkcija zadržava svoj predznak.

Svojstvo 5: (Prva Bolzanova teorema (1781-1848) - Cauchy). Ako je funkcija f(x) kontinuirana na segmentu i ima vrijednosti suprotnih predznaka na krajevima segmenta, tada postoji tačka unutar ovog segmenta u kojoj je f(x) = 0.

One. ako je sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), onda je $ x0: f(x0) = 0.

Definicija. Funkcija f(x) naziva se uniformno kontinuiranom na segmentu ako za bilo koje e>0 postoji D>0 takvo da je za bilo koje tačke x1O i x2O takve da

h2 – h1p< D

nejednakost ïf(x2) – f(x1)ï< e

Razlika između uniformnog kontinuiteta i „običnog“ kontinuiteta je u tome što za bilo koje e postoji svoj D koji ne zavisi od x, dok za „običan“ kontinuitet D zavisi od e i x.

Svojstvo 6: Kantorova teorema (Kantor Georg (1845-1918) - njemački matematičar). Funkcija koja je neprekidna na segmentu je uniformno neprekidna na njemu.

(Ovo svojstvo vrijedi samo za segmente, ne za intervale i poluintervale.)

Definicija kontinuiteta

Funkcija f (x) naziva se kontinuiranom u tački a ako je: f () pp

1) funkcija f(x) je definirana u tački a,

2) ima konačnu granicu kao x→ a 2) ima konačnu granicu kao x→ a,

3) ova granica je jednaka vrijednosti funkcije u ovoj tački:

Kontinuitet na intervalu

Funkcija f (x) se naziva kontinuiranom na intervalu X ako je f () pp py

Ona je kontinuirana u svakoj tački ovog intervala.

Izjava. Sve elementarne funkcije su kontinuirane u

Područja njihove definicije.

ograničena funkcija

Funkcija se naziva ograničenom na segment if

postoji broj M takav da je za sve x ∈

nejednakost:| f(x)| ≤M.

Dvije Weierstrassove teoreme

Weierstrassova prva teorema. Ako je funkcija f (x p p p fu f (

je kontinuiran na segmentu , onda je ograničen na ovaj segment

Druga Weierstrassova teorema. Ako je funkcija f(x

je kontinuiran na segmentu , onda mora doći do ovog segmenta

najmanja vrijednost m i najveća vrijednost M.

Bolzano-Cauchy teorema

Ako je funkcija f (x) kontinuirana na intervalu i na fu f () pp p

na krajevima ovog segmenta f(a) i f(b) imaju suprotne predznake,

tada unutar segmenta postoji tačka c∈ (a,b) takva da je f (c) = 0. ur p () f ()