Apsolutno je nemoguće riješiti fizičke probleme ili primjere iz matematike bez znanja o derivatu i metodama za njegovo izračunavanje. Derivat je jedan od najvažnijih pojmova matematička analiza. Odlučili smo posvetiti današnji članak ovoj temeljnoj temi. Šta je derivat, šta je njegov fizički i geometrijskom smislu kako izračunati derivaciju funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice

Neka postoji funkcija f(x) , dato u nekom intervalu (a,b) . Točke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija izvedenice:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha u pronalaženju takve granice? ali koji:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.

fizičko značenje derivat: vremenski izvod puta jednak je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . prosječna brzina za neko vreme:

Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: izbacite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Prilikom rješavanja primjera iz matematike uzmite po pravilu - ako možete pojednostaviti izraz, budite sigurni da ste ga pojednostavili .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Rješenje:

Ovdje je važno reći o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat složena funkcija jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument na derivaciju međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo razmatramo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim množimo derivacijom samog međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: Derivat količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo razgovarati o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što zvuči, pa budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najtežu kontrolu i da se nosite sa zadacima, čak i ako se nikada prije niste bavili proračunom izvedenica.

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definiranih pravila diferencijacije. . Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bili su prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli derivaciju bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalji derivati elementarne funkcije nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, zbira i količnika - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije date su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "X" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Diferenciramo kao derivaciju sume, u kojoj se drugi član sa konstantnim faktorom može izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako i dalje postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona, po pravilu, postaju jasna nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo do njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratni korijen
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentni izvod
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arc tangente
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački , a zatim u istoj točki funkcije

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački , onda je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

one. derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbiru proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciran.u/v , i

one. izvod količnika dviju funkcija jednak je razlomku čiji je brojilac razlika umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojioca .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja izvoda proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o ovim izvodnicama ima u članku."Derivat proizvoda i količnika".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegova derivacija je jednaka nuli, a u slučaju konstantnog faktora vađena je iz predznaka izvoda. Ovo tipična greška, što se javlja u početnoj fazi proučavanja derivacija, ali kako je rješenje nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera već napravljeno, prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i stoga će cijeli član biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) .

Druga uobičajena greška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećeno posebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Akcije sa moćima i korijenima I Radnje sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivate s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa stepenom i korijenima".

Ako imate zadatak kao , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće vrijednosti derivata:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

I možete provjeriti rješenje problema na izvedenici na .

Primjer 4 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za razlikovanje količnika: derivacija količnika dvije funkcije jednaka je razlomku čiji je brojilac razlika između umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo i da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku, uzet sa predznakom minus u trenutnom primjeru:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima morate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobrodosli na cas "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, sa čijom smo se derivacijom upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Možete provjeriti rješenje problema izvoda na kalkulator izvedenica online .

Primjer 6 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojiocu, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Prilikom izvođenja prve formule tablice, polazit ćemo od definicije derivacije funkcije u tački. Hajde da uzmemo gde x- bilo koji pravi broj, tj. x– bilo koji broj iz područja definicije funkcije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na:

Treba napomenuti da se pod znakom granice dobija izraz, koji nije nesigurnost nule podijeljene sa nulom, jer brojnik ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije je uvijek nula.

Na ovaj način, derivacija konstantne funkcijejednaka je nuli na cijelom domenu definicije.

Derivat funkcije stepena.

Formula za izvod funkcije stepena ima oblik , gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Hajde da prvo dokažemo formulu za prirodni eksponent, odnosno za p = 1, 2, 3, ...

Koristićemo definiciju derivata. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

Da bismo pojednostavili izraz u brojiocu, okrećemo se Newtonovoj binomnoj formuli:

shodno tome,

Ovo dokazuje formulu za izvod funkcije stepena za prirodni eksponent.

Derivat eksponencijalne funkcije.

Izvodimo formulu derivata na osnovu definicije:

Došao u neizvjesnost. Da bismo ga proširili, uvodimo novu varijablu , i za . Onda . U posljednjem prijelazu koristili smo formulu za prijelaz na novu bazu logaritma.

Izvršimo zamjenu u originalnom limitu:

Ako se prisjetimo druge izvanredne granice, dolazimo do formule za izvod eksponencijalne funkcije:

Derivat logaritamske funkcije.

Dokažimo formulu za izvod logaritamske funkcije za sve x iz opsega i svih važećih osnovnih vrijednosti a logaritam. Po definiciji derivacije, imamo:

Kao što ste primijetili, u dokazu su transformacije provedene korištenjem svojstava logaritma. Jednakost vrijedi zbog drugog značajnog ograničenja.

Derivati ​​trigonometrijskih funkcija.

Da bismo izveli formule za izvode trigonometrijskih funkcija, morat ćemo se prisjetiti nekih trigonometrijskih formula, kao i prve izvanredne granice.

Po definiciji derivacije za sinusnu funkciju, imamo .

Koristimo formulu za razliku sinusa:

Ostaje da se okrenemo prvoj izuzetnoj granici:

Dakle, derivacija funkcije sin x jesti cos x.

Formula za kosinusni derivat je dokazana na potpuno isti način.

Dakle, derivacija funkcije cos x jesti –sin x.

Izvođenje formula za tablicu izvoda za tangentu i kotangens vršit će se korištenjem dokazanih pravila diferencijacije (derivacija razlomka).

Derivati ​​hiperboličkih funkcija.

Pravila diferencijacije i formula za izvod eksponencijalne funkcije iz tabele izvoda omogućavaju nam da izvedemo formule za izvode hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Derivat inverzne funkcije.

Kako ne bi bilo zabune u prezentaciji, označimo u donjem indeksu argument funkcije kojom se vrši diferencijacija, odnosno derivacija funkcije f(x) on x.

Sada formulišemo pravilo za pronalaženje derivacije inverzne funkcije.

Neka funkcije y = f(x) I x = g(y) međusobno inverzne, definisane na intervalima i respektivno. Ako u nekoj tački postoji konačan izvod funkcije koji nije nula f(x), tada u točki postoji konačan izvod inverzne funkcije g(y), i . U drugom unosu .

Ovo pravilo se može preformulisati za bilo koje x iz intervala , onda dobijamo .

Provjerimo valjanost ovih formula.

Nađimo inverznu funkciju za prirodni logaritam (ovdje y je funkcija, i x- argument). Rješavanje ove jednadžbe za x, dobijamo (ovde x je funkcija, i y njen argument). tj. i međusobno inverzne funkcije.

Iz tabele derivata to vidimo I .

Uvjerimo se da nas formule za pronalaženje izvoda inverzne funkcije dovode do istih rezultata:

Kao što vidite, dobili smo iste rezultate kao u tabeli derivata.

Sada imamo znanje da dokažemo formule za izvode inverznih trigonometrijskih funkcija.

Počnimo s derivacijom arcsinusa.

. Tada, po formuli za izvod inverzne funkcije, dobijamo

Ostaje da se izvrši transformacija.

Pošto je raspon arksinusa interval , onda (pogledajte odjeljak o osnovnim elementarnim funkcijama, njihovim svojstvima i grafovima). Stoga, ne razmatramo.

shodno tome, . Područje definicije derivacije arcsinusa je interval (-1; 1) .

Za arkosinus, sve se radi na potpuno isti način:

Pronađite izvod tangente luka.

Jer inverzna funkcija je .

Tangens luka izražavamo kroz arc kosinus da bismo pojednostavili rezultujući izraz.

Neka bude arctanx = z, onda

shodno tome,

Slično, nalazi se derivacija inverzne tangente:

Dajemo bez dokaza formulu za izvode osnovnih elementarnih funkcija:

1. Funkcija snage: (x n)` =nx n -1 .

2. Eksponencijalna funkcija: (a x)` = a x lna (posebno, (e x)` = e x).

3. Logaritamska funkcija: (posebno, (lnx)` = 1/x).

4. Trigonometrijske funkcije:

(cosx)` = -sinx

(tgh)` = 1/cos 2 x

(ctgh)` = -1/sin 2 x

5. Inverzne trigonometrijske funkcije:

Može se dokazati da je za diferenciranje eksponencijalne funkcije stepena potrebno dva puta koristiti formulu za izvod kompleksne funkcije, odnosno diferencirati je kao kompleksnu funkciju funkcija snage, i kao kompleksnu eksponencijalnu, i dodajte rezultate: (f(x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  ( x) *lnf(x)*(x)`.

Derivati ​​višeg reda

Budući da je derivacija funkcije sama po sebi funkcija, ona također može imati izvod. Koncept derivata, o kojem je gore bilo riječi, odnosi se na derivat prvog reda.

derivatn-th red naziva se derivat derivacije (n-1)-tog reda. Na primjer, f``(x) = (f`(x))` - derivat drugog reda (ili drugi izvod), f```(x) = (f``(x))` - derivat trećeg reda ( ili treći derivat) itd. Ponekad se rimski arapski brojevi u zagradama koriste za označavanje viših derivata, na primjer, f (5) (x) ili f (V) (x) za derivat petog reda.

Fizičko značenje derivata višeg reda definirano je na isti način kao i za prvi izvod: svaki od njih predstavlja stopu promjene izvedenice prethodnog reda. Na primjer, drugi izvod je stopa promjene prvog, tj. brzina brzina. Za pravolinijsko kretanje, to znači ubrzanje jedne po jedne tačke.

Funkcija elastičnosti

Funkcija elastičnosti E x (y) je granica omjera relativnog priraštaja funkcije y i relativnog priraštaja argumenta x s posljednjim koji teži nuli:
.

Elastičnost funkcije pokazuje otprilike za koliko posto će se promijeniti funkcija y = f (x) kada se nezavisna varijabla x promijeni za 1%.

U ekonomskom smislu, razlika između ovog pokazatelja i derivata je u tome što derivat ima mjerne jedinice, te stoga njegova vrijednost zavisi od jedinica u kojima se varijable mjere. Na primjer, ako je ovisnost obima proizvodnje od vremena izražena u tonama, odnosno mjesecima, tada će derivat pokazati granični porast obima u tonama mjesečno; ako se, međutim, ovi pokazatelji mjere, na primjer, u kilogramima i danima, tada će i sama funkcija i njen derivat biti drugačiji. Elastičnost je u suštini bezdimenzionalna vrijednost (mjerena u procentima ili frakcijama) i stoga ne zavisi od skale indikatora.

Osnovne teoreme o diferencijabilnim funkcijama i njihove primjene

Fermatova teorema. Ako funkcija diferencibilna na intervalu dostigne svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost u unutrašnjoj tački ovog intervala, tada je derivacija funkcije u ovoj tački jednaka nuli.

Bez dokaza.

Geometrijsko značenje Fermatove teoreme je da je u tački najveće ili najmanje vrijednosti postignute unutar jaza, tangenta na graf funkcije paralelna s osom apscise (slika 3.3).

Rolleova teorema. Neka funkcija y \u003d f (x) zadovoljava sljedeće uvjete:

2) diferencibilan na intervalu (a, b);

3) uzima jednake vrijednosti na krajevima segmenta, tj. f(a)=f(b).

Tada postoji barem jedna tačka unutar segmenta u kojoj je derivacija funkcije jednaka nuli.

Bez dokaza.

Geometrijsko značenje Rolleove teoreme je da postoji barem jedna tačka u kojoj će tangenta na graf funkcije biti paralelna sa x-osom (na primjer, postoje dvije takve tačke na slici 3.4).

Ako je f(a) =f(b) = 0, onda se Rolleova teorema može drugačije formulirati: između dvije uzastopne nule diferencijabilne funkcije postoji barem jedna nula derivacije.

Rolleova teorema je poseban slučaj Lagrangeove teoreme.

Lagrangeova teorema. Neka funkcija y \u003d f (x) zadovoljava sljedeće uvjete:

1) je kontinuiran na segmentu [a, b];

2) je diferencijabilna na intervalu (a, b).

Tada unutar segmenta postoji barem jedna takva tačka c u kojoj je derivacija jednaka količniku prirasta funkcija podijeljenim prirastom argumenta na ovom segmentu:
.

Bez dokaza.

Da bismo razumjeli fizičko značenje Lagrangeove teoreme, primjećujemo to
nije ništa drugo do prosječna brzina promjene funkcije na cijelom intervalu [a, b]. Dakle, teorema kaže da unutar segmenta postoji barem jedna tačka u kojoj je "trenutačna" brzina promjene funkcije jednaka prosječnoj brzini njene promjene u cijelom segmentu.

Geometrijsko značenje Lagrangeove teoreme ilustrovano je na slici 3.5. Imajte na umu da izraz
je nagib prave na kojoj leži tetiva AB. Teorema kaže da postoji barem jedna tačka na grafu funkcije u kojoj će tangenta na nju biti paralelna sa ovom tetivom (tj. nagib tangente - derivacije - će biti isti).

Posljedica: ako je derivacija funkcije jednaka nuli na nekom intervalu, tada je funkcija identično konstantna na ovom intervalu.

U stvari, uzmimo interval na ovom intervalu. Prema Lagrangeovom teoremu, postoji tačka c u ovom intervalu za koju
. Otuda f(a) - f(x) = f`(s)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = konst.

L'Hopitalovo pravilo. Granica omjera dvije beskonačno male ili beskonačno velike funkcije jednaka je granici omjera njihovih derivacija (konačnih ili beskonačnih), ako ova druga postoji u navedenom smislu.

Drugim riječima, ako postoji nesigurnost forme
, onda
.

Bez dokaza.

Primjena L'Hospitalovog pravila za pronalaženje granica biće obrađena u praktičnim vježbama.

Dovoljan uslov za povećanje (smanjenje) funkcije. Ako je izvod diferencijabilne funkcije pozitivan (negativan) unutar nekog intervala, tada funkcija raste (opada) na tom intervalu.

Dokaz. Razmotrimo dvije vrijednosti x 1 i x 2 iz datog intervala (neka je x 2 > x 1). Prema Lagrandovom teoremu, na [x 1 , x 2 ] postoji tačka c u kojoj
. Dakle, f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Tada je za f`(c) > 0, lijeva strana nejednakosti pozitivna, tj. f(x 2) > f(x 1), a funkcija raste. na f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

Teorema je dokazana.

Geometrijska interpretacija uvjeta monotonosti funkcije: ako su tangente na krivulju u određenom intervalu usmjerene pod oštrim uglovima na osu apscise, tada se funkcija povećava, a ako je pod tupim uglovima, onda se smanjuje (vidi sliku 3.6) .

Napomena: nužni uslov za monotonost je slabiji. Ako funkcija raste (opada) na određenom intervalu, onda je derivacija nenegativna (nepozitivna) na ovom intervalu (tj. u nekim točkama derivacija monotone funkcije može biti jednaka nuli).

Izračunavanje derivata se često nalazi u USE zadacima. Ova stranica sadrži listu formula za pronalaženje izvoda.

Pravila diferencijacije

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivat kompleksne funkcije. Ako je y=F(u) i u=u(x), onda se funkcija y=f(x)=F(u(x)) naziva kompleksnom funkcijom od x. Jednako je y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivat implicitne funkcije. Funkcija y=f(x) naziva se implicitna funkcija data relacijom F(x,y)=0 ako je F(x,f(x))≡0.
6. Derivat inverzne funkcije. Ako je g(f(x))=x, onda se funkcija g(x) naziva inverznom funkcijom za funkciju y=f(x).
7. Derivat parametarski zadane funkcije. Neka su x i y dati kao funkcije varijable t: x=x(t), y=y(t). Kaže se da je y=y(x) parametarski definirana funkcija na intervalu x∈ (a;b) ako se na tom intervalu jednačina x=x(t) može izraziti kao t=t(x) i funkcija y=y(t(x))=y(x).
8. Derivat eksponencijalne funkcije. Nalazi se uzimanjem logaritma u bazu prirodnog logaritma.

Savjetujemo vam da sačuvate vezu, jer ova tabela može biti potrebna mnogo puta.