Od davnina je bilo potrebno uspoređivati vrijednosti i količine u rješavanju praktičnih problema. Istovremeno su se pojavile riječi više i manje, više i niže, lakše i teže, tiše i glasnije, jeftinije i skuplje itd. koje označavaju rezultate poređenja homogenih količina.
Koncepti više i manje nastali su u vezi sa brojanjem predmeta, mjerenjem i poređenjem veličina. Na primjer, matematičari antičke Grčke znali su da je stranica bilo kojeg trokuta manja od zbira druge dvije strane i da veća strana trokuta leži nasuprot većeg kuta. Arhimed je, računajući obim kruga, otkrio da je obim svakog kruga jednak trostrukom prečniku sa viškom koji je manji od jedne sedme prečnika, ali veći od deset sedamdeset i prve prečnika.
Simbolično zapišite odnose između brojeva i veličina pomoću znakova > i b. Unosi u kojima su dva broja povezana jednim od znakova: > (veći od), Sreli ste se i sa brojčanim nejednakostima u razredima osnovne škole. Znate da nejednakosti mogu, ali ne moraju biti tačne. Na primjer, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) je važeća numerička nejednakost, 0,23 > 0,235 je nevažeća numerička nejednakost.
Nejednakosti koje uključuju nepoznanice mogu biti istinite za neke vrijednosti nepoznatih i lažne za druge. Na primjer, nejednakost 2x+1>5 je tačna za x = 3, ali netačna za x = -3. Za nejednakost s jednom nepoznatom možete postaviti zadatak: riješite nejednakost. Problemi rješavanja nejednačina u praksi se postavljaju i rješavaju ništa manje od problema rješavanja jednačina. Na primjer, mnogi ekonomski problemi se svode na proučavanje i rješavanje sistema linearnih nejednakosti. U mnogim granama matematike, nejednakosti su češće nego jednačine.
Neke nejednakosti služe kao jedino pomoćno sredstvo za dokazivanje ili opovrgavanje postojanja određenog objekta, na primjer, korijena jednadžbe.
Numeričke nejednakosti
Možete li uporediti cijele brojeve? decimale. Poznavati pravila za poređenje običnih razlomaka sa istim nazivnicima, ali različitim brojnicima; sa istim brojnicima ali različitim nazivnicima. Ovdje ćete naučiti kako uporediti bilo koja dva broja tako što ćete pronaći znak njihove razlike.
Poređenje brojeva se široko koristi u praksi. Na primjer, ekonomista upoređuje planirane pokazatelje sa stvarnim, doktor upoređuje temperaturu pacijenta sa normalnom, strugar upoređuje dimenzije obrađenog dijela sa standardom. U svim takvim slučajevima upoređuju se neki brojevi. Kao rezultat poređenja brojeva, nastaju numeričke nejednakosti.
Definicija. Broj a više broja b ako razlika a-b pozitivno. Broj a manje od broja b ako je razlika a-b negativna.
Ako je a veće od b, onda pišu: a > b; ako je a manje od b, onda pišu: a Dakle, nejednakost a > b znači da je razlika a - b pozitivna, tj. a - b > 0. Nejednakost a Za bilo koja dva broja a i b iz sljedeće tri relacije a > b, a = b, a Teorema. Ako je a > b i b > c, onda je a > c.
Teorema. Ako se na obje strane nejednakosti doda isti broj, onda se predznak nejednakosti ne mijenja.
Posljedica. Bilo koji pojam se može prenijeti iz jednog dijela nejednakosti u drugi promjenom predznaka ovog člana na suprotan.
Teorema. Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa istim pozitivan broj, tada se predznak nejednakosti neće promijeniti. Ako se obje strane nejednakosti pomnože sa istim negativnim brojem, onda će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.
Posljedica. Ako se oba dijela nejednakosti podijele sa istim pozitivnim brojem, onda se predznak nejednakosti ne mijenja. Ako su oba dijela nejednakosti podijeljena istim negativnim brojem, onda će se predznak nejednakosti promijeniti u suprotan.
Znate da se numeričke jednakosti mogu sabirati i množiti član po član. Zatim ćete naučiti kako izvoditi slične radnje s nejednakostima. Mogućnost sabiranja i množenja nejednakosti pojam se često koristi u praksi. Ove radnje vam pomažu u rješavanju problema evaluacije i poređenja vrijednosti izraza.
Prilikom rješavanja raznih zadataka često je potrebno sabrati ili pomnožiti pojam lijevi i desni dio nejednačina. Ponekad se kaže da se nejednakosti sabiraju ili množe. Na primjer, ako je turista prvog dana prepješačio više od 20 km, a drugog dana više od 25 km, onda se može tvrditi da je za dva dana prešao više od 45 km. Slično, ako je dužina pravokutnika manja od 13 cm, a širina manja od 5 cm, onda se može tvrditi da je površina ovog pravokutnika manja od 65 cm2.
Razmatrajući ove primjere, sljedeće teoreme o sabiranju i množenju nejednačina:
Teorema. Sabiranjem nejednakosti istog predznaka dobijamo nejednakost istog predznaka: ako je a > b i c > d, onda je a + c > b + d.
Teorema. Množenjem nejednačina istog predznaka, kod kojih su lijeva i desna strana pozitivne, dobije se nejednakost istog predznaka: ako su a > b, c > d i a, b, c, d pozitivni brojevi, tada je ac > bd.
Nejednakosti sa predznakom > (veće od) i 1/2, 3/4 b, c Uz stroge znakove nejednakosti > i Na isti način, nejednakost \(a \geq b \) znači da je broj a veći veći ili jednak b, tj. i ne manji od b.
Nejednačine koje sadrže znak \(\geq \) ili znak \(\leq \) nazivaju se nestrogim. Na primjer, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nisu stroge nejednakosti.
Sva svojstva strogih nejednakosti vrijede i za nestroge nejednakosti. Štaviše, ako bi se za stroge nejednakosti predznaci > smatrali suprotnim, a znate da za rješavanje niza primijenjenih problema morate izraditi matematički model u obliku jednačine ili sistema jednačina. Zatim ćete to saznati matematički modeli za rješavanje mnogih problema su nejednakosti sa nepoznanicama. Upoznat ćemo pojam rješavanja nejednakosti i pokazati kako provjeriti da li dati broj rješenje određene nejednakosti.
Nejednakosti oblika
\(ax > b, \quad ax gdje su a i b dati brojevi, a x je nepoznat, naziva se linearne nejednakosti sa jednom nepoznatom.
Definicija. Rješenje nejednakosti s jednom nepoznanicom je vrijednost nepoznate za koju se ova nejednakost pretvara u pravu numeričku nejednakost. Riješiti nejednakost znači pronaći sva njena rješenja ili utvrditi da ih nema.
Rešili ste jednadžbe tako što ste ih sveli na najjednostavnije jednačine. Slično, pri rješavanju nejednačina, teži se da ih se uz pomoć svojstava svede na oblik najjednostavnijih nejednačina.
Rješenje nejednakosti drugog stepena sa jednom varijablom
Nejednakosti oblika
\(ax^2+bx+c >0 \) i \(ax^2+bx+c gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi i \(a \neq 0 \) se nazivaju nejednakosti drugog stepena sa jednom promenljivom.
Rješavanje nejednakosti
\(ax^2+bx+c >0 \) ili \(ax^2+bx+c \) se može smatrati pronalaženjem praznina gdje funkcija \(y= ax^2+bx+c \) uzima pozitivnu vrijednost ili negativne vrijednosti Da biste to učinili, dovoljno je analizirati kako se graf funkcije \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) nalazi u koordinatnoj ravni: gdje su grane parabole usmjerene - gore ili dolje , da li parabola siječe x osu i ako se siječe, u kojim tačkama.
Algoritam za rešavanje nejednakosti drugog stepena sa jednom promenljivom:
1) pronaći diskriminant kvadratnog trinoma \(ax^2+bx+c\) i saznati da li trinom ima korijen;
2) ako trinom ima korijene, onda ih označite na x osi i nacrtajte shematsku parabolu kroz označene tačke, čije su grane usmjerene prema gore na a > 0 ili prema dolje na 0 ili niže na a 3) pronađite praznine na x os za koju se parabole tačaka nalaze iznad x-ose (ako rešavaju nejednakost \(ax^2+bx+c >0 \)) ili ispod x-ose (ako rešavaju nejednakost
\(ax^2+bx+c Rješenje nejednačina metodom intervala
Razmotrite funkciju
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Domen ove funkcije je skup svih brojeva. Nule funkcije su brojevi -2, 3, 5. Oni dijele domenu funkcije na intervale \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) i \( (5; +\infty) \)
Hajde da saznamo koji su predznaci ove funkcije u svakom od naznačenih intervala.
Izraz (x + 2)(x - 3)(x - 5) je proizvod tri faktora. Znak svakog od ovih faktora u razmatranim intervalima prikazan je u tabeli:
Općenito, neka je funkcija data formulom
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
gdje je x varijabla, a x 1 , x 2 , ..., x n nisu jednaki brojevi. Brojevi x 1 , x 2 , ..., x n su nule funkcije. U svakom od intervala na koje je domen definicije podijeljen nulama funkcije, predznak funkcije je sačuvan, a pri prolasku kroz nulu njen predznak se mijenja.
Ovo svojstvo se koristi za rješavanje nejednakosti oblika
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) gdje x 1 , x 2 , ..., x n nisu jednaki brojevi
Razmatrana metoda rješavanje nejednačina naziva se metoda intervala.
Navedimo primjere rješavanja nejednačina metodom intervala.
Riješite nejednačinu:
\(x(0.5-x)(x+4) Očigledno, nule funkcije f(x) = x(0.5-x)(x+4) su tačke \frac(1)(2) , \; x=-4 \)Nacrtamo nule funkcije na realnoj osi i izračunamo predznak na svakom intervalu:
Odaberemo one intervale na kojima je funkcija manja ili jednaka nuli i zapišemo odgovor.
odgovor:
\(x \in \levo(-\infty; \; 1 \desno) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Na youtube kanal naše stranice stranice da budete upoznati sa svim novim video lekcijama.
Prvo, prisjetimo se osnovnih formula stupnjeva i njihovih svojstava.
Proizvod broja a dešava na sebi n puta, ovaj izraz možemo zapisati kao a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Snaga ili eksponencijalne jednačine - ovo su jednadžbe u kojima su varijable u stepenu (ili eksponentima), a baza je broj.
Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:
U ovom primjeru, broj 6 je baza, uvijek je na dnu i varijabla x stepen ili mera.
Navedimo više primjera eksponencijalnih jednačina.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
Pogledajmo sada kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?
Uzmimo jednostavnu jednačinu:
2 x = 2 3
Takav primjer se može riješiti čak i u mislima. Može se vidjeti da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate staviti broj 3 umjesto x.
Sada da vidimo kako treba donijeti ovu odluku:
2 x = 2 3
x = 3
Da bismo riješili ovu jednačinu, uklonili smo iste osnove(odnosno dvojke) i zapisao ono što je ostalo, to su stepeni. Dobili smo odgovor koji smo tražili.
Sada da sumiramo naše rješenje.
Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto da li su osnove jednadžbe na desnoj i na lijevoj strani. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što su baze iste, izjednačiti stepena i riješiti rezultirajuću novu jednačinu.
Sada da riješimo neke primjere:
Počnimo jednostavno.
Osnove na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da možemo odbaciti bazu i izjednačiti njihove stupnjeve.
x+2=4 Pokazala se najjednostavnija jednačina.
x=4 - 2
x=2
Odgovor: x=2
U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite, to su 3 i 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Za početak prenosimo devetku na desnu stranu, dobijamo:
Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2 . Koristimo formulu snage (a n) m = a nm .
3 3x = (3 2) x + 8
Dobijamo 9 x + 8 = (3 2) x + 8 = 3 2 x + 16
3 3x = 3 2x + 16 sada je jasno da su baze na lijevoj i desnoj strani iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stupnjeve.
3x=2x+16 dobijamo najjednostavniju jednačinu
3x-2x=16
x=16
Odgovor: x=16.
Pogledajmo sljedeći primjer:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Prije svega, gledamo baze, baze su različite dvije i četiri. I mi treba da budemo isti. Transformišemo četvorku prema formuli (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
A koristimo i jednu formulu a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Dodajte u jednačinu:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali smetaju nam drugi brojevi 10 i 24. Šta da radimo s njima? Ako bolje pogledate, možete vidjeti da na lijevoj strani ponavljamo 2 2x, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Izračunajmo izraz u zagradama:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Cijelu jednačinu podijelimo sa 6:
Zamislite 4=2 2:
2 2x \u003d 2 2 baze su iste, odbacite ih i izjednačite stupnjeve.
Pokazalo se da je 2x = 2 najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.
Rešimo jednačinu:
9 x - 12*3 x +27= 0
transformirajmo:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dobijamo jednačinu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Naše baze su iste, jednake su 3. U ovom primeru je jasno da prva trojka ima stepen dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju možete odlučiti metoda zamjene. Broj s najmanjim stepenom zamjenjuje se sa:
Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Zamijenjujemo sve stupnjeve sa x-ovima u jednadžbi sa t:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Dobijamo kvadratnu jednačinu. Rešavamo kroz diskriminant, dobijamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Povratak na varijablu x.
Uzimamo t 1:
t 1 = 9 = 3 x
To je,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugog, od t 2:
t 2 \u003d 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Na stranici možete u rubrici POMOĆI ODLUČITI postaviti pitanja koja vas zanimaju, mi ćemo vam svakako odgovoriti.
Pridružite se grupi
Kvadratne jednačine se izučavaju u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplikovano. Sposobnost njihovog rješavanja je neophodna.
Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a , b i c proizvoljnim brojevima, i a ≠ 0.
Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:
- Nemaju korijene;
- Imaju tačno jedan koren;
- Imaju dva različita korijena.
Ovo je bitna razlika kvadratne jednačine od linearnih, gde koren uvek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednačina? Postoji divna stvar za ovo - diskriminatorno.
Diskriminantno
Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminanta jednostavno broj D = b 2 − 4ac .
Ova formula se mora znati napamet. Odakle dolazi sada nije važno. Još jedna stvar je važna: po znaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. naime:
- Ako je D< 0, корней нет;
- Ako je D = 0, postoji tačno jedan korijen;
- Ako je D > 0, postojaće dva korena.
Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kako iz nekog razloga mnogi misle. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:
Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Zapisujemo koeficijente za prvu jednačinu i nalazimo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednačina ima dva različita korijena. Na isti način analiziramo i drugu jednačinu:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Diskriminant je negativan, nema korijena. Ostaje posljednja jednačina:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminant je jednak nuli - korijen će biti jedan.
Imajte na umu da su za svaku jednačinu ispisani koeficijenti. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete mešati šanse i nećete praviti glupe greške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitet.
Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati sve koeficijente. Takve operacije ćete izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednačina - općenito, ne toliko.
Korijeni kvadratne jednadžbe
Sada idemo na rješenje. Ako je diskriminanta D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:
Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe
Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobijate isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Hajde da ih pronađemo:
Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Hajde da ih nađemo
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]
Konačno, treća jednačina:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ jednačina ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:
Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se greške javljaju kada se negativni koeficijenti zamijene u formulu. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: doslovno pogledajte formulu, obojite svaki korak - i riješite se grešaka vrlo brzo.
Nepotpune kvadratne jednadžbe
Dešava se da je kvadratna jednačina nešto drugačija od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Lako je vidjeti da jedan od članova nedostaje u ovim jednačinama. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: ne moraju čak ni izračunati diskriminanta. Pa hajde da predstavimo novi koncept:
Jednačina ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednačina ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.
Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednadžba poprima oblik ax 2 = 0. Očigledno, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.
Hajde da razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada ćemo dobiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c = 0. Lagano je transformirajmo:
Zbog aritmetike Kvadratni korijen postoji samo od nenegativan broj, zadnja jednakost ima smisla samo za (−c /a ) ≥ 0. Zaključak:
- Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednakost (−c / a ) ≥ 0, postojaće dva korijena. Formula je data gore;
- Ako (−c / a )< 0, корней нет.
Kao što vidite, diskriminanta nije bila potrebna - u nepotpunim kvadratnim jednačinama nema složene proračune. Zapravo, nije potrebno čak ni zapamtiti nejednakost (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta se nalazi na drugoj strani znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.
Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:
Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagradeProizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potiču korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednačina:
Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
y (x) = e x, čiji je izvod jednak samoj funkciji.Eksponent je označen kao , ili .
e broj
Osnova stepena eksponenta je e broj. to iracionalan broj. To je približno jednako
e ≈ 2,718281828459045...
Broj e je određen kroz granicu niza. Ova tzv druga divna granica:
.
Takođe, broj e se može predstaviti kao niz:
.
Shema izlagača
Grafikon eksponenta, y = e x .Grafikon prikazuje eksponent, e u meri u kojoj X.
y (x) = e x
Grafikon pokazuje da eksponent monotono raste.
Formule
Osnovne formule su iste kao za eksponencijalna funkcija sa bazom e.
;
;
;
Izraz eksponencijalne funkcije sa proizvoljnom bazom stepena a kroz eksponent:
.
Privatne vrijednosti
Neka y (x) = e x. Onda
.
Svojstva eksponenta
Eksponent ima svojstva eksponencijalne funkcije sa osnovom stepena e > 1 .
Domen definicije, skup vrijednosti
Eksponent y (x) = e x definisano za sve x .
Njegov obim je:
- ∞ < x + ∞
.
Njegov skup značenja:
0
< y < + ∞
.
Ekstremi, povećanje, smanjenje
Eksponent je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tabeli.
Inverzna funkcija
Recipročna vrijednost eksponenta je prirodni logaritam.
;
.
Derivat eksponenta
Derivat e u meri u kojoj X je jednako e u meri u kojoj X
:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >
Integral
Kompleksni brojevi
Radnje sa kompleksni brojevi sprovedeno kroz Eulerove formule:
,
gdje je imaginarna jedinica:
.
Izrazi u terminima hiperboličkih funkcija
;
;
.
Izrazi u terminima trigonometrijskih funkcija
;
;
;
.
Proširenje serije snaga
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta "kvadratna nejednakost"? Nije pitanje!) Ako uzmete bilo koji kvadratnu jednačinu i promijenite predznak u njoj "=" (jednako) bilo kojoj ikoni nejednakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobijamo kvadratnu nejednakost. Na primjer:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Pa, shvatili ste...)
Ovdje sam svjesno povezao jednačine i nejednakosti. Činjenica je da je to prvi korak u rješavanju bilo koji kvadratna nejednakost - riješiti jednačinu iz koje je ova nejednakost napravljena. Iz tog razloga - nemogućnost rješavanja kvadratnih jednačina automatski dovodi do potpunog neuspjeha u nejednačinama. Je li nagovještaj jasan?) Ako ništa drugo, pogledajte kako riješiti bilo koju kvadratnu jednačinu. Tamo je sve detaljno. I u ovoj lekciji ćemo se pozabaviti nejednakostima.
Nejednačina spremna za rješenje ima oblik: lijevo - kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, desno - nula. Znak nejednakosti može biti apsolutno bilo šta. Prva dva primjera su ovdje spremni za odluku. Treći primjer tek treba pripremiti.
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)
možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.