Šta je matematički model?

Koncept matematičkog modela.

Matematički model je vrlo jednostavan koncept. I veoma važno. Matematički modeli su ti koji povezuju matematiku i stvarni život.

razgovor običan jezik, matematički model je matematički opis bilo koje situacije. I to je to. Model može biti primitivan, može biti super složen. Kakva je situacija, kakav je model.)

U bilo kom (ponavljam - u bilo kom!) posao, gdje treba nešto izračunati i izračunati - bavimo se matematičkim modeliranjem. Čak i ako to ne znamo.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Ovaj zapis će biti matematički model troškova za naše kupovine. Model ne uzima u obzir boju pakovanja, rok trajanja, ljubaznost blagajnika itd. Zato ona model, nije prava kupovina. Ali troškovi, tj. šta nam treba- znaćemo sigurno. Naravno, ako je model ispravan.

Korisno je zamisliti šta je matematički model, ali to nije dovoljno. Najvažnije je da budete u mogućnosti da napravite ove modele.

Kompilacija (konstrukcija) matematičkog modela problema.

Sastaviti matematički model znači prevesti uslove problema u matematički oblik. One. pretvoriti riječi u jednačinu, formulu, nejednakost itd. Štaviše, okrenite ga tako da ova matematika striktno odgovara originalnom tekstu. U suprotnom, na kraju ćemo dobiti matematički model nekog drugog nama nepoznatog problema.)

Tačnije, trebate

Na svijetu postoji beskonačan broj zadataka. Stoga, predložiti jasan upute korak po korak na izradi matematičkog modela bilo koji zadaci su nemogući.

Ali postoje tri glavne tačke na koje morate obratiti pažnju.

1. U svakom zadatku postoji tekst, što je čudno.) Ovaj tekst, po pravilu, ima eksplicitne, otvorene informacije. Brojevi, vrijednosti itd.

2. U bilo kojem zadatku postoji skrivene informacije. Ovo je tekst koji pretpostavlja prisustvo dodatnog znanja u glavi. Bez njih - ništa. Osim toga, matematičke informacije su često skrivene iza jednostavnim rečima i ... izmiče pažnju.

3. U svakom zadatku mora biti dato komunikacija između podataka. Ova veza može biti data u jasnom tekstu (nešto je jednako nečemu), ili može biti skrivena iza jednostavnih riječi. Ali jednostavne i jasne činjenice se često zanemaruju. A model nije sastavljen ni na koji način.

Odmah moram reći da je za primjenu ove tri tačke problem potrebno pročitati (i pažljivo!) nekoliko puta. Uobičajena stvar.

A sada - primjeri.

Počnimo sa jednostavnim problemom:

Petrović se vratio sa pecanja i ponosno predstavio svoj ulov porodici. Pažljivijim ispitivanjem ispostavilo se da 8 riba dolazi iz sjevernih mora, 20% svih riba dolazi iz južnih mora, a niti jedna iz lokalne rijeke u kojoj je Petrovič pecao. Koliko je ribe Petrović kupio u prodavnici morskih plodova?

Sve ove riječi treba pretvoriti u neku vrstu jednačine. Da biste to uradili, ponavljam, uspostaviti matematičku vezu između svih podataka problema.

Gdje početi? Prvo ćemo izdvojiti sve podatke iz zadatka. Počnimo redom:

Hajde da se fokusiramo na prvu tačku.

Šta je ovde eksplicitno matematičke informacije? 8 riba i 20%. Ne puno, ali nam ne treba puno.)

Obratimo pažnju na drugu tačku.

Tražite prikriveno informacije. Ona je ovde. ovo su riječi: „20% sve ribe". Ovdje treba shvatiti koji su procenti i kako se računaju. Inače, zadatak nije riješen. Upravo to je dodatna informacija koja bi trebala biti u glavi.

Ima i ovdje matematički informacije koje su potpuno nevidljive. Ovo pitanje zadatka: "Koliko ste ribe kupili... To je takođe broj. A bez toga, nijedan model neće biti sastavljen. Stoga, označimo ovaj broj slovom "X". Još ne znamo čemu je x jednako, ali će nam takva oznaka biti vrlo korisna. Za više informacija o tome šta uzeti za x i kako to riješiti, pogledajte lekciju Kako riješiti matematičke probleme? Hajde da to napišemo odmah:

x komada - ukupan broj riba.

U našem problemu južne ribe su date u procentima. Moramo ih prevesti u komade. Zašto? Šta je onda unutra bilo koji zadatak modela bi trebao biti u istim količinama. Komadi - tako da je sve u komadima. Ako nam se daju, recimo sati i minute, sve prevedemo u jednu stvar - ili samo sate, ili samo minute. Nije bitno šta. Važno je da sve vrijednosti su bile iste.

Nazad na otkrivanje. Ko ne zna koliki je postotak, nikad neće otkriti, da... A ko zna, odmah će reći da su ovdje dati procenti od ukupnog broja riba. Ne znamo ovaj broj. Ništa neće biti od toga!

Ukupan broj riba (u komadima!) nije uzalud sa slovom "X" određen. Neće uspjeti prebrojati južnu ribu u komadima, ali možemo li je zapisati? Volim ovo:

0,2 x komada - broj riba iz južnih mora.

Sada smo preuzeli sve informacije iz zadatka. I eksplicitne i skrivene.

Obratimo pažnju na treću tačku.

Tražite matematička veza između podataka zadatka. Ova veza je toliko jednostavna da je mnogi ne primećuju... Ovo se često dešava. Ovdje je korisno skupljene podatke jednostavno zapisati u gomilu, pa vidjeti šta je šta.

šta imamo? Tu je 8 komada sjeverne ribe, 0,2 x komada- južna riba i x riba- ukupan iznos. Da li je moguće te podatke nekako povezati? Yes Easy! ukupan broj riba jednaki zbir južnog i sjevernog! Pa, ko bi pomislio ...) Pa zapisujemo:

x = 8 + 0,2x

Ovo će biti jednačina matematički model našeg problema.

Imajte na umu da u ovom problemu od nas se ne traži ništa da preklopimo! Mi smo sami, van glave, shvatili da će nam zbir južne i sjeverne ribe dati ukupan broj. Stvar je toliko očigledna da izmiče iz pažnje. Ali bez ovog dokaza, matematički model se ne može sastaviti. Volim ovo.

Sada možete primijeniti svu snagu matematike da riješite ovu jednačinu). Za to je dizajniran matematički model. Rješavamo ovu linearnu jednačinu i dobijamo odgovor.

odgovor: x=10

Hajde da napravimo matematički model drugog problema:

Petroviča su pitali: "Koliko novca imate?" Petrović je zaplakao i odgovorio: "Da, samo malo. Ako potrošim polovinu novca, a polovinu ostatka, onda će mi ostati samo jedna vreća novca..." Koliko novca ima Petrović?

Opet, radimo tačku po tačku.

1. Tražimo eksplicitne informacije. Nećete ga odmah pronaći! Eksplicitna informacija je jedan torba za novac. Ima još nekih polovina... Pa, sredićemo to u drugom pasusu.

2. Tražimo skrivene informacije. Ovo su polovice. Šta? Nije baš jasno. Tražim više. Postoji još jedan problem: "Koliko novca ima Petrović?" Označimo iznos novca slovom "X":

X- sav novac

I ponovo pročitajte problem. Već znam da je Petrović X novac. Ovdje polovice rade! Zapisujemo:

0,5 x- pola novca.

Ostatak će također biti polovina, tj. 0,5 x. A polovina polovine se može napisati ovako:

0,5 0,5 x = 0,25x- polovina ostatka.

Sada se otkrivaju i snimaju sve skrivene informacije.

3. Tražimo vezu između snimljenih podataka. Ovdje možete jednostavno pročitati Petrovičeve patnje i matematički ih zapisati):

Ako potrošim pola novca...

Hajde da zapišemo ovaj proces. Sav novac - X. pola - 0,5 x. Potrošiti znači oduzeti. Fraza postaje:

x - 0,5 x

i pola ostalo...

Od ostatka oduzmite drugu polovinu:

x - 0,5 x - 0,25 x

onda će mi ostati samo jedna vreća novca...

I postoji jednakost! Nakon svih oduzimanja ostaje jedna vreća novca:

x - 0,5 x - 0,25x \u003d 1

Evo ga, matematički model! Ovo je opet linearna jednadžba, rješavamo, dobijamo:

Pitanje za razmatranje. Četiri je šta? Rublja, dolar, juan? A u kojim jedinicama imamo novca u matematičkom modelu? U vrećama! Dakle četiri torba Petrovičev novac. Nije ni loše.)

Zadaci su, naravno, elementarni. Ovo je posebno da bi se uhvatila suština izrade matematičkog modela. U nekim zadacima može biti mnogo više podataka u kojima se lako možete zbuniti. To se često dešava u tzv. zadaci kompetencije. Kako izvući matematički sadržaj iz gomile riječi i brojeva prikazano je na primjerima

Još jedna napomena. Kod klasičnih školskih zadataka (cijeve pune bazen, čamci negdje plove itd.) svi podaci se po pravilu biraju vrlo pažljivo. Postoje dva pravila:
- ima dovoljno informacija u problemu da ga se riješi,
- u zadatku nema dodatnih informacija.

Ovo je nagoveštaj. Ako postoji neka neiskorištena vrijednost u matematičkom modelu, razmislite da li postoji greška. Ako na bilo koji način nema dovoljno podataka, najvjerovatnije nisu otkrivene i zabilježene sve skrivene informacije.

U kompetenciji i drugim životnim zadacima ova pravila se ne poštuju striktno. Nemam nagoveštaja. Ali i takvi problemi se mogu riješiti. Osim, naravno, ako ne vježbate na klasiku.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Kao sistem jednadžbi, ili aritmetičkih relacija, ili geometrijskih figura, ili kombinacija i jednog i drugog, čije proučavanje pomoću matematike treba da odgovori na postavljena pitanja o svojstvima određenog skupa svojstava objekta iz stvarnog svijeta, kao skup matematičkih odnosa, jednačina, nejednačina koji opisuju osnovne obrasce svojstvene procesu, objektu ili sistemu koji se proučava.

U automatizovanim sistemima upravljanja, matematički model se koristi za određivanje algoritma rada regulatora. Ovaj algoritam određuje kako se kontrolna akcija treba mijenjati ovisno o promjeni u masteru da bi se postigao kontrolni cilj.

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često izgrađen u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je:

itd. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mešoviti tipovi: koncentrisani u jednom pogledu (u smislu parametara), distribuirani modeli u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je objekat predstavljen

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

• Strukturni ili funkcionalni modeli

Model-hipoteze u nauci ne mogu se dokazati jednom za svagda, može se govoriti samo o njihovom opovrgavanju ili nepobijanju kao rezultatu eksperimenta.

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je on privremeno prepoznat kao istinit i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Fenomenološki model

Drugi tip je fenomenološki model ( “ponašamo se kao da…”), sadrži mehanizam za opisivanje fenomena, iako ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili je slabo u skladu s dostupnim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat, a potraga za "istinskim mehanizmima" se mora nastaviti. Peierls odnosi, na primjer, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica na drugi tip.

Uloga modela u istraživanju može se vremenom mijenjati, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se promovišu u status hipoteze. Slično, nova saznanja mogu postepeno doći u sukob s modelima-hipotezama prvog tipa, a mogu se prenijeti i na drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici je nastao kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije prešao u prvi tip. Ali eterski modeli su prešli iz tipa 1 u tip 2, i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Aproksimacija

Treći tip modela su aproksimacije ( "nešto se smatra veoma velikim ili veoma malim"). Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer- Ohmov zakon.

misaoni eksperiment

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

gdje x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) znači drugi derivat od x (\displaystyle x) po vremenu: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj obrazac se naziva "harmonički oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke (o odsustvu spoljne sile, odsustvo trenja, malenkost odstupanja itd.), što u stvarnosti možda neće biti ispunjeno.

U odnosu na stvarnost, najčešće se radi o modelu tipa 4. pojednostavljenje(„izostavljamo neke detalje radi jasnoće“), budući da su neke bitne univerzalne karakteristike (na primjer, disipacija) izostavljene. U nekoj aproksimaciji (recimo, sve dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, sa malim trenjem, ne predugo i podložan određenim drugim uslovima), takav model prilično dobro opisuje pravi mehanički sistem, jer odbačeni faktori imaju zanemariv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom.

Međutim, kada se model usavrši, složenost njegovog matematičkog proučavanja može se značajno povećati i učiniti model praktično beskorisnim. Često vam jednostavniji model omogućava bolje i dublje istraživanje stvarnog sistema nego složeniji (i, formalno, „ispravniji“) model.

Ako model harmonijskog oscilatora primenimo na objekte koji su daleko od fizike, njegov značajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerovatnije ga treba pripisati tipu 6 analogija(„Uzmimo u obzir samo neke karakteristike“).

Tvrdi i mekani modeli

Harmonski oscilator je primjer takozvanog "tvrdog" modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Svojstva harmonijskog oscilatora kvalitativno se mijenjaju malim perturbacijama. Na primjer, ako na desnu stranu dodamo mali pojam − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(trenje) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- neki mali parametar), tada ćemo dobiti eksponencijalno prigušene oscilacije ako promijenimo predznak dodatnog člana (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x)))) tada će se trenje pretvoriti u pumpanje i amplituda oscilacija će se eksponencijalno povećati.

Da bismo riješili pitanje primjenjivosti rigidnog modela, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Potrebno je istražiti meke modele dobijene malom perturbacijom krutog. Za harmonijski oscilator, oni se mogu dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

Evo f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\dot (x))))- neka funkcija koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stepenu njenog istezanja. Eksplicitni oblik funkcije f (\displaystyle f) trenutno nismo zainteresovani.

Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog modela (bez obzira na eksplicitni oblik remetilačkih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače, primjena rezultata dobivenih u proučavanju krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja.

Ako sistem zadrži svoje kvalitativno ponašanje pod malom perturbacijom, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog (nehrapavog) sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenim vremenskim intervalima.

Univerzalnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo univerzalnost: fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije u nivou tekućine u U (\displaystyle U)- posuda u obliku ili promjena jačine struje u oscilatornom krugu. Dakle, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom čitavu klasu fenomena opisanih njime. To je taj izomorfizam zakona izražen matematičkim modelima u različitim segmentima naučna saznanja, podvig Ludwiga von Bertalanffyja u stvaranju "opće teorije sistema".

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo, potrebno je osmisliti osnovnu shemu objekta koji se modelira, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Dakle, vagon se pretvara u sistem ploča i složenijih tijela napravljenih od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustina, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednačine, duž način na koji se neki detalji odbacuju kao beznačajni, vrše se proračuni, upoređuju sa mjerenjima, model se rafinira, itd. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne sastavne elemente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan problem: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je proučavanje modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje most može izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog zadatka. Postavljanje ispravnog direktnog problema (postavljanje ispravnog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je napravljen dobar model za njegovo ponašanje. Dakle, 1879. godine u Velikoj Britaniji, metalni željeznički most srušio se preko Firth of Tay, čiji su dizajneri izgradili model mosta, izračunali ga za 20-struku marginu sigurnosti za nosivost, ali su zaboravili na vjetrove koji stalno duvaju. ta mjesta. I nakon godinu i po dana je propao.

U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.

Inverzni problem: postoji mnogo mogućih modela, morate odabrati specifičan model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati u dodatnim empirijskim podacima, ili u zahtjevima za objekt ( projektantski zadatak). Dodatni podaci mogu doći bez obzira na proces rješavanja inverznog problema ( pasivno posmatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tokom rješenja ( aktivni nadzor).

Jedan od prvih primjera virtuoznog rješenja inverznog problema uz što potpuniju upotrebu dostupnih podataka bila je Newtonova metoda za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.

Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je razvoj metoda za snimanje, opisivanje i analizu opservacionih i eksperimentalnih podataka u cilju izgradnje verovatnosnih modela masovnih nasumičnih pojava. Odnosno, skup mogućih modela je ograničen vjerojatnosnim modelima. U specifičnim problemima, skup modela je ograničeniji.

Sistemi kompjuterske simulacije

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom simulacija. Block Models su predstavljeni blokovima (najčešće grafičkim), čiji je skup i veza specificirani dijagramom modela.

Dodatni primjeri

Malthusov model

Prema modelu koji je predložio Malthus, stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije, odnosno opisuje se diferencijalnom jednadžbom:

x ˙ = α x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha x),

gdje α (\displaystyle \alpha )- neki parametar određen razlikom između nataliteta i stope smrtnosti. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Ako natalitet premašuje stopu smrtnosti ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), veličina populacije je neograničena i raste vrlo brzo. U stvarnosti, to se ne može dogoditi zbog ograničenih resursa. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Prečišćavanje Malthusovog modela može poslužiti kao logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\right)x),

gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti x s (\displaystyle x_(s)), a ovo ponašanje je strukturno stabilno.

sistem grabežljivac-plijen

Recimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi (jedu biljke) i lisice (jedu zečeve). Neka broj zečeva x (\displaystyle x), broj lisica y (\displaystyle y). Koristeći Malthusov model sa potrebnim korekcijama, uzimajući u obzir ishranu zečeva lisicama, dolazimo do sljedećeg sistema koji nosi naziv Model tacne - Volterra:

( x ˙ = (α − cy) xy ˙ = (− β + dx) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y) ))=(-\beta +dx)y\end(slučajevi)))

Ponašanje ovog sistema nije strukturno stabilno: mala promjena u parametrima modela (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja.

Za neke vrijednosti parametara ovaj sistem ima ravnotežno stanje kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do postepenog prigušenja fluktuacija u broju zečeva i lisica.

Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Na pitanje koji se od ovih scenarija implementira, Volterra-Lotka model ne daje odgovor: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

vidi takođe

Bilješke

1. "Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izdanje, ispravljeno. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A. G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A. G. Sevostyanov, P. A. Sevostyanov. - M.: Lako i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
7. Rotach V.Ya. Teorija automatskog upravljanja. - 1. - M. : CJSC "Izdavačka kuća MPEI", 2008. - S. 333. - 9 str. - ISBN 978-5-383-00326-8.
8. Pristupi redukcije modela i krupnog zrna za fenomene više razmjera(engleski) . Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4. Pristupljeno 18. 6. 2013. Arhivirano iz originala 18. 6. 2013.
9. „Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom, koja god da je linearna ili nelinearna – matematički aparat, koje - linearne ili nelinearne - matematičke modele koristi. ... ne poričući ovo drugo. Moderni fizičar, ako bi slučajno redefinirao tako važan entitet kao što je nelinearnost, najvjerovatnije bi postupio drugačije, i, preferirajući nelinearnost kao važniju i uobičajeniju od dvije suprotnosti, definisao bi linearnost kao „ne-ne- linearnost”. Danilov Yu. A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Sinergetika: od prošlosti do serije budućnosti. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
10. „Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se pauširani ili tačkasti sistemi. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Jedan te isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su diferencijalne jednadžbe u parcijalnim izvodima, integralne jednadžbe ili obične jednačine sa odloženom raspravom. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka.
    Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, br. 11, str. 77-84.
11. “U zavisnosti od prirode proučavanih procesa u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje prikazuje determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. … Statičko modeliranje se koristi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, dok dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje služi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno, kontinuirano modeliranje vam omogućava da odražavate kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve u kojima želite istaknuti prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa.
    Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
12. Obično matematički model odražava strukturu (uređaj) objekta koji se modelira, svojstva i međusobne veze komponenti ovog objekta koje su bitne za potrebe proučavanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnom ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D., Elementi teorije matematički modeli. - 3. izd., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 str.

U članku na koji vam je skrenuta pažnja nudimo primjere matematičkih modela. Pored toga, obratićemo pažnju na faze kreiranja modela i analizirati neke od problema vezanih za matematičko modeliranje.

Još jedno naše pitanje su matematički modeli u ekonomiji, čije ćemo primjere razmotriti malo kasnije. Predlažemo da započnemo naš razgovor sa samim konceptom „modela“, ukratko razmotrimo njihovu klasifikaciju i pređemo na naša glavna pitanja.

Koncept "modela"

Često čujemo riječ "model". Šta je? Ovaj pojam ima mnogo definicija, evo samo tri od njih:

• određeni objekt koji je kreiran za primanje i pohranjivanje informacija, koje odražavaju neka svojstva ili karakteristike, i tako dalje, originala ovog objekta (ovaj specifični objekt može se izraziti u drugačija forma: mentalno, opis pomoću znakova i tako dalje);
• model također znači prikaz bilo koje specifične situacije, života ili upravljanja;
• mala kopija objekta može poslužiti kao model (kreirani su za detaljnije proučavanje i analizu, jer model odražava strukturu i odnose).

Na osnovu svega što je ranije rečeno, možemo izvući mali zaključak: model vam omogućava da detaljno proučavate složen sistem ili objekt.

Svi modeli se mogu klasificirati prema nizu karakteristika:

• po oblasti upotrebe (obrazovne, eksperimentalne, naučno-tehničke, igre, simulacije);
• po dinamici (statička i dinamička);
• po grani znanja (fizička, hemijska, geografska, istorijska, sociološka, ​​ekonomska, matematička);
• prema načinu prezentacije (materijalni i informativni).

Informacijski modeli se, pak, dijele na znakovne i verbalne. I ikona - na kompjuteru i ne-kompjuteru. Sada pređimo na detaljno razmatranje primjera matematičkog modela.

Matematički model

Kao što možete pretpostaviti, matematički model odražava neke karakteristike objekta ili fenomena koristeći posebne matematičke simbole. Matematika je potrebna za modeliranje zakona svijeta na svom specifičnom jeziku.

Metoda matematičkog modeliranja nastala je prilično davno, prije više hiljada godina, zajedno sa pojavom ove nauke. Međutim, poticaj za razvoj ovu metodu modeliranjem su nastali kompjuteri (elektronski kompjuteri).

Pređimo sada na klasifikaciju. Može se izvesti i prema nekim znakovima. Oni su predstavljeni u tabeli ispod.

Predlažemo da se zaustavimo i pobliže pogledamo posljednju klasifikaciju, jer ona odražava opće obrasce modeliranja i ciljeve modela koji se kreiraju.

Deskriptivni modeli

U ovom poglavlju predlažemo da se detaljnije zadržimo na deskriptivnim matematičkim modelima. Da bi sve bilo vrlo jasno, dat će se primjer.

Za početak, ovaj pogled se može nazvati deskriptivnim. To je zbog činjenice da jednostavno radimo kalkulacije i prognoze, ali ne možemo ni na koji način utjecati na ishod događaja.

Upečatljiv primjer deskriptivnog matematičkog modela je proračun putanje leta, brzine, udaljenosti od Zemlje komete koja je napala prostranstva našeg Solarni sistem. Ovaj model je deskriptivan, jer nas svi dobijeni rezultati mogu samo upozoriti na neku vrstu opasnosti. Nažalost, ne možemo uticati na ishod događaja. Međutim, na osnovu dobijenih proračuna moguće je poduzeti bilo kakve mjere za očuvanje života na Zemlji.

Optimizacijski modeli

Sada ćemo malo govoriti o ekonomskim i matematičkim modelima, čiji primjeri mogu biti različite situacije. U ovom slučaju govorimo o modelima koji pomažu u pronalaženju pravog odgovora u određenim uvjetima. Moraju imati neke parametre. Da bi bilo vrlo jasno, razmotrite primjer iz agrarnog dijela.

Imamo žitnicu, ali se žito vrlo brzo pokvari. U tom slučaju moramo odabrati pravi temperaturni režim i optimizirati proces skladištenja.

Dakle, možemo definisati pojam "optimizacionog modela". U matematičkom smislu, ovo je sistem jednadžbi (linearnih i ne), čije rješenje pomaže u pronalaženju optimalnog rješenja u određenoj ekonomskoj situaciji. Razmotrili smo primjer matematičkog modela (optimizacije), ali bih dodao još jednu stvar: ovaj tip spada u klasu ekstremnih problema, oni pomažu da se opiše funkcionisanje ekonomskog sistema.

Napominjemo još jednu nijansu: modeli mogu biti različite prirode (pogledajte donju tabelu).

Višekriterijumski modeli

Sada vas pozivamo da malo popričamo o matematičkom modelu višeciljne optimizacije. Prije toga dali smo primjer matematičkog modela za optimizaciju procesa po bilo kom kriterijumu, ali šta ako ih ima mnogo?

Upečatljiv primjer višekriterijumskog zadatka je organizacija pravilne, zdrave i istovremeno ekonomične ishrane velikih grupa ljudi. Ovakvi zadaci se često susreću u vojsci, školskim menzama, letnjim kampovima, bolnicama i tako dalje.

Koji su nam kriterijumi dati u ovom zadatku?

1. Hrana treba da bude zdrava.
2. Troškove hrane treba svesti na minimum.

Kao što vidite, ovi ciljevi se uopšte ne poklapaju. To znači da je prilikom rješavanja problema potrebno tražiti optimalno rješenje, balans između dva kriterija.

Modeli igara

Govoreći o modelima igara, potrebno je razumjeti pojam „teorije igara“. Jednostavno rečeno, ovi modeli odražavaju matematičke modele stvarnih sukoba. Vrijedi samo razumjeti da, za razliku od pravog sukoba, matematički model igre ima svoja specifična pravila.

Sada ću dati minimum informacija iz teorije igara, koje će vam pomoći da shvatite šta je model igre. I tako, u modelu nužno postoje stranke (dvije ili više), koje se obično nazivaju igračima.

Svi modeli imaju određene karakteristike.

Model igre može biti uparen ili višestruki. Ako imamo dva subjekta, onda je sukob uparen, ako više - višestruki. Može se razlikovati i antagonistička igra, koja se naziva i igra sa nultom sumom. Ovo je model u kojem je dobitak jednog od učesnika jednak gubitku drugog.

simulacijski modeli

IN ovaj odjeljak skrenućemo pažnju na simulacione matematičke modele. Primjeri zadataka su:

• model dinamike broja mikroorganizama;
• model molekularnog kretanja i tako dalje.

U ovom slučaju govorimo o modelima koji su što je moguće bliži stvarnim procesima. Uglavnom, imitiraju bilo koju manifestaciju u prirodi. U prvom slučaju, na primjer, možemo modelirati dinamiku broja mrava u jednoj koloniji. U ovom slučaju možete promatrati sudbinu svakog pojedinca. U ovom slučaju, matematički opis se rijetko koristi, češće postoje pisani uvjeti:

• nakon pet dana ženka polaže jaja;
• nakon dvadeset dana mrav umire i tako dalje.

Stoga se koriste za opisivanje velikog sistema. Matematički zaključak je obrada primljenih statističkih podataka.

Zahtjevi

Vrlo je važno znati da postoje neki zahtjevi za ovu vrstu modela, među kojima su i oni navedeni u tabeli ispod.

Svestranost	Ovo svojstvo vam omogućava da koristite isti model kada opisujete grupe objekata istog tipa. Važno je napomenuti da su univerzalni matematički modeli potpuno nezavisni od fizičke prirode objekta koji se proučava.
Adekvatnost	Ovdje je važno shvatiti da ovo svojstvo omogućava najispravniju reprodukciju stvarnih procesa. U operativnim problemima ovo svojstvo matematičkog modeliranja je veoma važno. Primjer modela je proces optimizacije korištenja plinskog sistema. U tom slučaju se upoređuju izračunati i stvarni pokazatelji, kao rezultat toga, provjerava se ispravnost sastavljenog modela.
Preciznost	Ovaj zahtjev podrazumijeva podudarnost vrijednosti koje dobijemo prilikom izračunavanja matematičkog modela i ulaznih parametara našeg stvarnog objekta
ekonomija	Zahtjev ekonomičnosti za bilo koji matematički model karakteriziraju troškovi implementacije. Ako se rad s modelom izvodi ručno, tada je potrebno izračunati koliko će vremena biti potrebno za rješavanje jednog problema pomoću ovog matematičkog modela. Ako govorimo o kompjuterskom projektovanju, onda se izračunavaju indikatori vremena i memorije računara

Koraci modeliranja

Ukupno, uobičajeno je razlikovati četiri faze u matematičkom modeliranju.

1. Formulacija zakona koji povezuju dijelove modela.
2. Proučavanje matematičkih problema.
3. Pronalaženje podudarnosti praktičnih i teorijskih rezultata.
4. Analiza i modernizacija modela.

Ekonomsko-matematički model

U ovom dijelu ćemo ukratko istaknuti problem. Primjeri zadataka mogu biti:

• formiranje proizvodnog programa za proizvodnju mesnih prerađevina, čime se osigurava maksimalni profit proizvodnje;
• maksimiziranje profita organizacije izračunavanjem optimalnog broja stolova i stolica koje treba proizvesti u fabrici namještaja, itd.

Ekonomsko-matematički model odražava ekonomsku apstrakciju koja se izražava upotrebom matematički termini i znakove.

Računarski matematički model

Primjeri kompjuterskog matematičkog modela su:

• hidraulički zadaci koji koriste dijagrame toka, dijagrame, tabele i tako dalje;
• zadaci za mehaničare čvrsto telo, itd.

Kompjuterski model je slika objekta ili sistema, predstavljena kao:

• stolovi;
• blok dijagrami;
• dijagrami;
• grafika i tako dalje.

Istovremeno, ovaj model odražava strukturu i međusobne veze sistema.

Izgradnja ekonomsko-matematičkog modela

Već smo govorili o tome šta je ekonomsko-matematički model. Sada ćemo razmotriti primjer rješavanja problema. Moramo analizirati proizvodni program kako bismo identifikovali rezervu za povećanje profita sa pomakom u asortimanu.

Nećemo u potpunosti razmatrati problem, već ćemo samo izgraditi ekonomski i matematički model. Kriterijum našeg zadatka je maksimizacija profita. Tada funkcija ima oblik: L=r1*h1+r2*h2… teži maksimumu. U ovom modelu, p je profit po jedinici, x je broj proizvedenih jedinica. Dalje, na osnovu konstruisanog modela potrebno je izvršiti proračune i sumirati.

Primjer izgradnje jednostavnog matematičkog modela

Zadatak. Ribar se vratio sa sljedećim ulovom:

• 8 riba - stanovnici sjevernih mora;
• 20% ulova - stanovnici južnih mora;
• nije pronađena ni jedna riba iz lokalne rijeke.

Koliko je ribe kupio u radnji?

Dakle, primjer konstruiranja matematičkog modela ovog problema je sljedeći. Ukupan broj riba označavamo sa x. Slijedeći uvjet, 0,2x je broj riba koje žive u južnim geografskim širinama. Sada kombinujemo sve dostupne informacije i dobijamo matematički model problema: x=0,2x+8. Rješavamo jednačinu i dobijamo odgovor glavno pitanje: 10 riba koje je kupio u prodavnici.

Još ne postoji standardizovana terminologija i malo je verovatno da će se pojaviti, budući da je u čitavoj istoriji matematičkog modeliranja bilo veoma veliki broj naučnici su se bavili ovom temom.

Matematičko modeliranje se koristi u različitim sferama ljudskog života. Kao što su, na primjer: matematika, biohemija, medicina i tako dalje.

Definicija matematičkog modela koju je dao A.D. Mishkis.

Ispitajmo ukupnu vrijednost S svojstava određenog objekta A (objekat: sistem, situacija, pojava, proces itd.). Zašto gradimo matematički objekat A" - aritmetičku relaciju, geometrijska figura, sistem jednačina i tako dalje, čije proučavanje pomoću matematike treba da pruži odgovore na postavljena pitanja o svojstvima S. U ovom slučaju, matematički objekat A se naziva matematički model objekta A u odnosu na na skup svojstava S. U definiciji je jasno ne samo da objekti A i A" imaju drugačiju prirodu, već i činjenicu da je A" određen ne samo originalnim A, već i samim ukupnost njegovih proučavanih svojstava S. Tada ako izvršimo dvije studije istog objekta A u odnosu na dva različita skupa S1 i S2 njegovih svojstava, tada odgovarajući matematički modeli " i " A1 A2 mogu biti potpuno različiti. Iz ove studije, slijedi prvo svojstvo matematičkih modela - njihova višestrukost.Napominjemo da ovdje ne mislimo samo na višestrukost modela povezanih sa njihovom hijerarhijom, već i na rezultat generiran potrebom proučavanja sistema, ... S1 S2 njegovih svojstava.

Na primjer, jedan te isti masivni kumulusni oblak može se smatrati i sa stanovišta stvaranja silazne zračne struje, koja se dalje distribuira po površini zemlje i koju mi ​​percipiramo kao nalet vjetra prije početka jake kiše. , i kao zona visoke električne aktivnosti atmosfere. Sva ova manifestacija objekta predstavlja veliku opasnost za let zrakoplova. Silazni gaz je opasan tokom faza poletanja i sletanja, zbog značajne promene veličine podzemne sile krila aviona (nagla promena smera brzine vetra od glave do repa). Jaka električna polja može stvoriti pražnjenje atmosferski elektricitet(munja), čiji udar na vazduhoplov može dovesti do potpunog ili delimičnog kvara radio-elektronske opreme u avionu. Jasno je da se u prvom slučaju za model koriste jednačine aerohidrodinamike i proučava polje brzina strujanja zraka (matematički model s obzirom na skup karakteristika S1). U drugom slučaju proučava se električna struktura oblaka i konstruiše se elektrodinamički model (s obzirom na skup karakteristika S2).

Drugo, najvažnije svojstvo je jedinstvo matematičkih modela. Istaknuta činjenica je da su različiti stvarni sistemi ili njihovi sadržajni modeli mogu imati isti matematički model.

Značajno u teoriji matematičkog modeliranja je stalna koordinacija svih aspekata izgradnje modela sa zadacima i ciljevima studije. Stoga ističemo neke karakteristike koje su bitne za istraživanje mehanički sistemi i procesi.

Prvo, faktori koji određuju takve objekte karakterišu se kao mjerljive veličine – parametri.

Drugo, takvi modeli su zasnovani na jednačinama koje opisuju fundamentalne zakone prirode (mehanike) kojima nije potrebna revizija i usavršavanje. Čak i gotovi privatni modeli pojedinačnih pojava koji se koriste u pripremi opštijih dobro su formulisani i opisani u smislu uslova i oblasti primene.

Treće, ogromna prepreka u razvoju modela mehaničkih sistema i procesa je opis nepouzdanih poznate karakteristike objekta, funkcionalnog i numeričkog.

Četvrto, trenutni zahtjevi za takvim modelima dovode do potrebe da se uzmu u obzir mnogi faktori koji utiču na ponašanje objekta, a ne samo oni koji su povezani sa poznatim zakonima prirode. Sve ove karakteristike dovode do toga da modeli mehaničkih sistema i procesa uglavnom pripadaju klasi matematičkih.

Matematički modeli se zasnivaju na matematičkom opisu objekta. Matematički opis, naravno, prije svega uključuje odnos parametara objekta, koji karakterizira njegove karakteristike funkcioniranja. Takvi odnosi se mogu predstaviti kao:

Slika 2.1.1 - Odnosi parametara objekta

Prva četiri od ovih tipova imaju opšti naziv: analitičke zavisnosti.

Matematički opis uključuje ne samo odnos elemenata i parametara objekta (regularnosti i zakonitosti), već i kompletan skup funkcionalnih i numeričkih podataka objekta (karakteristike; početni, granični, konačni uslovi; ograničenja), kao i kao metode za izračunavanje izlaznih parametara modela. To jest, matematički opis je kompletan skup funkcija, metoda, proračunskih podataka koji vam omogućavaju da dobijete rezultat.

Međutim, matematički model možda ne sadrži dio matematičkog opisa (najčešće neke početne podatke), ali osim njega, opise svih pretpostavki korištenih za njegovu izgradnju, kao i algoritme za prijenos početnih i izlaznih podataka iz model prema originalu i obrnuto, mora biti sadržan.

Slika 2.1.2 – Matematički opis modela

Kao dodatak klasifikaciji, matematički modeli, ovisno o prirodi objekta, zadacima koji se rješavaju i korištenim metodama, mogu se razlikovati u sljedećim vrstama:

- proračun (algoritmi, nomogrami, formule, grafikoni, tabele);

– relevantno (primjer: model u aerotunel i stvarni let aviona u atmosferi);

– slični (proporcionalni odgovarajući parametri i identični matematički opisi);

- nelinearne i linearne (opisane funkcijama koje sadrže glavne parametre samo na stepen 0 i 1, ili bilo kojim vrste funkcija),

– nestacionarni i stacionarni (ovisno ili neovisno o vremenu),

- diskretno ili kontinuirano,

- stohastički ili deterministički (vjerovatni, nedvosmisleni ili egzaktni: modeli čekanja, simulacija, itd.),

– nejasno i jasno (primjeri rasplinuti skupovi: oko 10; duboko ili plitko; dobro ili loše).

Na osnovu istorijskih događaja Dogodilo se da pod matematičkim modelom ponekad misle samo na jednu posebna vrsta modeli koji sadrže samo nedvosmislen direktan matematički opis u obliku računskih algoritama ili analitičkih zavisnosti – odnosno deterministički matematički model, uz pomoć kojih se uz iste početne podatke može dobiti samo jedan te isti rezultat. Deterministički modeli koji uspostavljaju vezu sa parametrima originala koristeći koeficijente proporcionalnosti, koji su svi istovremeno jednaki jedan, postali su široko rasprostranjeni. Prirodno je matematički opis koji koristi takav model smatrati opisom samog originala - ova izjava je tačna: u ovom slučaju, model i original imaju jedan zajednički matematički opis. U uslovima takve prividne jednostavnosti, neiskusni inženjer takođe ne doživljava model više kao model, već kao original. Međutim, takav matematički model je samo model sa svim pojednostavljenjima, konvencijama, apstrakcijama, pretpostavkama na kojima se temelji. Postoji želja da se "pojednostavi" proces visokokvalitetnog modeliranja, što je općenito nemoguće, jer model ili odgovara originalu, ili ga uopće nema. Nemaran odnos prema tome dovodi do mnogih pogrešnih zaključaka u primijenjenim istraživanjima, a dobijeni rezultati ne odgovaraju stvarnom stanju stvari.

Simulacijski modeli su predstavljeni kao antipod determinističkih modela.

Simulacijski modeli (stohastički) su matematički modeli takvih originala, za čije pojedine elemente ne postoji analitički oblik matematičkog opisa. Matematički opis simulacionih modela sadrži opis slučajnih procesa (stohastički). Kao takav opis prikazani su različiti oblici zakona distribucije, koji se na osnovu njih mogu sastaviti statistička obrada rezultati posmatranja originala.

U matematičkom opisu simulacionih modela, pored zakona distribucije slučajne varijable, koji opisuju fenomen, mogu uključivati ​​opis odnosa slučajnih varijabli (na primjer, korištenjem modela teorije čekanja), kao i statistički test algoritam (Monte Carlo metoda za implementaciju elementarnih slučajni događaji). Iz toga proizilazi da simulacijski modeli koriste matematički aparat teorije vjerovatnoće: matematičku statistiku, teoriju čekanja i metodu statističkih testova.

Definicija matematičkog modela

Važan faktor koji određuje ulogu matematike u različitim aplikacijama je sposobnost da se jezikom matematičkih simbola i odnosa opišu najbitnije karakteristike i svojstva predmeta koji se proučava. Takav opis naziva se matematičko modeliranje ili formalizacija.

Definicija 1.matematički model stvarni predmet (fenomen) je njegova pojednostavljena, idealizirana shema, sastavljena uz pomoć matematičkih simbola i operacija (omjera).

Za izgradnju matematičkog modela određenog ekonomskog zadatka (problema), preporučuje se izvršiti sljedeći redoslijed rada:

1. Definisanje poznatih i nepoznatih vrednosti, kao i postojećih uslova i preduslova (šta je dato, a šta treba pronaći?);

2. Identifikacija kritični faktori Problemi;

3. Identifikacija upravljanih i neupravljanih parametara;

4. Matematički opis pomoću jednačina, nejednačina, funkcija i drugih odnosa odnosa između elemenata modela (parametara, varijabli), na osnovu sadržaja problema koji se razmatra.

Razmatraju se poznati parametri problema u odnosu na njegov matematički model vanjski(dato a priori, tj. prije izgradnje modela). U ekonomskoj literaturi se nazivaju egzogene varijable. Vrijednost početno nepoznatih varijabli izračunava se kao rezultat proučavanja modela, pa se u odnosu na model razmatraju interni. U ekonomskoj literaturi se nazivaju endogene varijable.

Sa stanovišta svrhe, može se razlikovati deskriptivni modeli I modeli donošenja odluka. Deskriptivni modeli odražavaju sadržaj i osnovna svojstva privrednih objekata kao takvih. Uz njihovu pomoć izračunavaju se numeričke vrijednosti ekonomskih faktora i pokazatelja.

Modeli odlučivanja pomažu u pronalaženju najboljih opcija za planirane indikatore ili upravljačke odluke. Među njima su najmanje složeni modeli optimizacije, koji opisuju (simuliraju) zadatke tipa planiranja, a najsloženiji su modeli igara koji opisuju probleme konfliktne prirode, uzimajući u obzir ukrštanje različitih interesa. Ovi modeli se razlikuju od deskriptivnih po tome što imaju mogućnost odabira vrijednosti kontrolnih parametara (što nije slučaj u deskriptivnim modelima).

Stablo općih odluka

U matematičkoj ekonomiji, teško je precijeniti ulogu modela odlučivanja. Najčešće se koriste oni koji početne probleme optimalnog planiranja proizvodnje, racionalne raspodjele ograničenih resursa i efikasnog djelovanja privrednih subjekata svode na ekstremne probleme, probleme optimalnog upravljanja i probleme igre. Šta je opšta struktura takvi modeli?

Svaki zadatak donošenja odluka karakteriše prisustvo osobe ili osoba koje teže određenim ciljevima i imaju određene mogućnosti za to. Stoga je za identifikaciju glavnih elemenata modela odlučivanja potrebno odgovoriti na sljedeća pitanja:

dž ko donosi odluku?

dž Koji su ciljevi donošenja odluka?

dž Šta je donošenje odluka?

dž šta je komplet opcije postizanje cilja?

dž pod kojim uslovima se odluka donosi?

Dakle, pred nama je određeni opšti zadatak donošenja odluke. Da bismo konstruisali njegovu formalnu šemu (model), uvodimo opštu notaciju.

pismo N označavaju skup svih strana koje donose odluke. Neka bude N=(1,2,...,n), one. ima ukupno n učesnika identifikovanih samo brojevima. Svaki element se naziva donosilac odluke (DM). (na primjer, pojedinac, firma, plansko tijelo velikog koncerna, vlade, itd.).

Pretpostavimo da je skup svih izvodljivih rješenja (alternativa, strategija) svakog donosioca odluka prethodno proučen i matematički opisan (na primjer, u obliku sistema nejednakosti). Označimo ih sa X 1 , X 2 ,..., X n . Nakon toga, proces odlučivanja svih donosilaca odluka svodi se na sljedeći formalni čin: svaki donosilac odluke bira određeni element iz svog dopuštenog skupa odluka,..., . Rezultat je skup x = (x1,...,xn) odabranih rješenja, koje nazivamo situacijom.

Za procjenu situacije x sa stanovišta ciljeva kojima teži donosilac odluke, konstruiraju se funkcije f 1 ,..., f n (zvane funkcije cilja ili kriterijumi kvaliteta) koje svakoj situaciji dodeljuju x brojčane ocene f 1 (x),..., f n (x)(na primjer, prihod firmi u situaciji x, ili njihovi troškovi, itd.). Onda gol i donosilac odluke je formaliziran na sljedeći način: odaberite svoje rješenje tako da u situaciji x = (x 1 ,...,X n ) broj f i (X) biti što veći (ili što manji). Međutim, postizanje ovog cilja ovisi o njemu dijelom i zbog prisustva drugih strana koje utiču opšta situacija x kako bi postigli svoje ciljeve. Ova činjenica ukrštanja interesa (konflikta) ogleda se u činjenici da funkcija f i osim toga x i zavisi od drugih varijabli x j (j i). Stoga, u modelima donošenja odluka s mnogo sudionika, njihovi ciljevi moraju biti formalizirani drugačije od maksimiziranja ili minimiziranja vrijednosti funkcije f i (X). Konačno, budimo u mogućnosti da matematički opišemo sve uslove pod kojima se odluka donosi. (opis odnosa između kontrolisanih i nekontrolisanih varijabli, opis uticaja slučajnih faktora, razmatranje dinamičkih karakteristika itd.). Radi jednostavnosti, ukupnost svih ovih uslova će biti označena jednim simbolom.

Dakle, opća shema problema odlučivanja može izgledati ovako:

Specificirajući elemente modela (1.6.1.), specificirajući njihove karakteristike i svojstva, može se dobiti jedna ili druga specifična klasa modela odlučivanja. Dakle, ako u (1.6.1.) N sastoji se od samo jednog elementa (n=1), a svi uslovi i preduslovi originalnog realnog problema mogu se opisati kao skup izvodljivih rešenja za ovog pojedinačnog donosioca odluke, tada iz (1.6.1.) dobijamo strukturu optimizacijskog (ekstremalnog) problema:< Х, f >. U ovoj šemi, donosilac odluka se može smatrati tijelom za planiranje. Koristeći ovu šemu, možete napisati ekstremne probleme dvije vrste:

Ako je faktor vremena eksplicitno uzet u obzir u ekstremnom problemu, onda se to naziva problem optimalnog upravljanja. Ako je n 2 , tada je (1.6.1.). opšta šema zadaci donošenja odluka u sukobu, odnosno u onim situacijama kada postoji ukrštanje interesa dvije ili više strana.

Često donosilac odluke nema jedan, već nekoliko ciljeva. U ovom slučaju, iz (1) dobijamo shemu u kojoj su sve funkcije f 1 (x),..., f n (x) definirani su na istom skupu X. Takvi problemi se nazivaju problemi višeobjektivne optimizacije.

Postoje klase problema donošenja odluka koje su dobile svoja imena na osnovu svoje svrhe: sistemi čekanja, problemi upravljanja zalihama, problemi mreže i rasporeda, teorija pouzdanosti, itd.

Ako elementi modela (1) ne zavise eksplicitno o vremenu, tj. proces donošenja odluke se svodi na trenutni čin izbora tačke iz datog skupa, tada se problem naziva statički. U suprotnom, tj. kada je donošenje odluka višestepeni diskretni ili vremenski kontinuirani proces, zadatak se naziva dinamičan. Ako elementi modela (1) ne sadrže slučajne varijable i probabilističke pojave, onda se problem naziva determinističkim, inače - stohastičkim.