Uvod

Teorija vjerovatnoće je matematička nauka koja proučava obrasce u slučajnim pojavama. Danas je to punopravna nauka, koja ima veliku praktična vrijednost.

Istorija teorije verovatnoće seže do XVII vijeka, kada su učinjeni prvi pokušaji sistematskog proučavanja problema vezanih za masovne slučajne pojave, i odgovarajućih matematički aparat. Od tada su razvijeni i produbljeni mnogi temelji za aktuelne koncepte, otkriveni su drugi važni zakoni i zakonitosti. Mnogi naučnici su radili i rade na problemima teorije vjerovatnoće.

Među njima ne može se ne obratiti pažnja na radove Simeona Denisa Poissona ((1781–1840) - francuskog matematičara), koji je dokazao opštiju formu zakona velikih brojeva od Jacoba Bernoullija, a takođe i po prvi put primijenio teoriju vjerovatnoće na probleme pucanja. Poissonovo ime je povezano s jednim od zakona distribucije, koji igra važnu ulogu u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama.

Broj pojavljivanja određenog slučajnog događaja u jedinici vremena, kada činjenica pojave ovog događaja u datom eksperimentu ne zavisi od toga koliko se puta i u kom trenutku dogodio u prošlosti, i ne utiče budućnost. Testovi se provode u stacionarni uslovi, onda se Poissonov zakon obično koristi za opisivanje distribucije takve slučajne varijable (ovu distribuciju je prvi predložio i objavio ovaj naučnik 1837. godine).

Ovaj zakon se također može opisati kao granični slučaj binomske distribucije, kada je vjerovatnoća p pojave događaja koji nas zanima u jednom eksperimentu vrlo mala, ali je broj eksperimenata m izvedenih po jedinici vremena dovoljno velik , naime, takav da u procesu p

0 i m proizvod mp teži nekoj pozitivnoj konstanti (tj. mp).

Stoga se Poissonov zakon često naziva i zakonom rijetkih događaja.

Poissonova raspodjela u teoriji vjerovatnoće

Funkcija i distribucijski niz

Poissonova raspodjela je poseban slučaj binomske distribucije (sa n>> 0 i at str–> 0 (rijetki događaji)).

Iz matematike je poznata formula koja vam omogućava da grubo izračunate vrijednost bilo kojeg člana binomne distribucije:

gdje a = n · str je Poissonov parametar (matematičko očekivanje), a varijansa je jednaka matematičkom očekivanju. Predstavimo matematičke proračune koji objašnjavaju ovu tranziciju. Zakon binomne distribucije

pm = C n m · pm· (jedan - str)n – m

može se napisati ako stavimo str = a/n, as

As str veoma mali, samo brojke treba uzeti u obzir m, mali u odnosu na n. Posao

veoma blizu jedinstva. Isto vrijedi i za veličinu

veoma blizu e –a. Odavde dobijamo formulu:

Eulerov broj (2,71...). ,

Za funkciju generiranja

imamo:

Funkcija vjerovatnoće kumulativne distribucije je

Klasičan primjer slučajne varijable raspoređene Poissonom je broj automobila koji prolaze kroz bilo koji dio puta u datom vremenskom periodu. Također možete primijetiti takve primjere kao što su broj zvijezda na dijelu neba određene veličine, broj grešaka u tekstu određene dužine, broj telefonskih poziva u pozivnom centru ili broj posjeta web server u datom vremenskom periodu.

Red distribucije slučajne varijable X, distribuiran prema Poissonovom zakonu, izgleda ovako:

x m	0	1	2	…	m	…
pm	e-a			…		…

Na sl. 1 prikazuje poligone distribucije slučajne varijable X prema Poissonovom zakonu, što odgovara različitim vrijednostima parametra a.

Prvo, uvjerimo se da niz vjerovatnoća može biti niz distribucije, tj. da je zbir svih vjerovatnoća Rm je jednako jedan.

Koristimo proširenje funkcije e x u Maclaurin seriji:

Poznato je da ovaj niz konvergira za bilo koju vrijednost X, dakle, uzimanje x=a, dobijamo

dakle

Numeričke karakteristike odredbe o Poissonovoj raspodjeli

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća.

Po definiciji, kada se pojavi diskretna slučajna varijabla prebrojiv skup vrijednosti:

Prvi član sume (odgovarajući m=0 ) jednaka je nuli, pa se sabiranje može početi od m=1 :

Dakle, parametar a nije ništa drugo do matematičko očekivanje slučajne varijable X.

Osim matematičko očekivanje, položaj slučajne varijable karakteriziraju mod i medijan.

Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost.

Za kontinualnu količinu, mod se naziva tačka lokalni maksimum funkcije gustoće vjerovatnoće. Ako poligon ili kriva distribucije ima jedan maksimum (slika 2 a), tada se distribucija naziva unimodalna, ako postoji više od jednog maksimuma, multimodalna je (posebno, distribucija koja ima dva moda naziva se bimodalna). Distribucija koja ima minimum naziva se antimodalna (slika 2b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Najvjerovatnija vrijednost slučajne varijable je način koji daje globalni maksimum vjerovatnoće za diskretnu slučajnu varijablu ili gustinu distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu.

Medijan je vrijednost x l koja dijeli područje ispod grafika gustine vjerovatnoće na pola, tj. medijan je bilo koji korijen jednadžbe. Matematičko očekivanje možda ne postoji, ali medijana uvijek postoji i može biti dvosmislena.

Medijan slučajne varijable

njegova vrijednost = x med se naziva tako da je P (< x med) = Р ( >x med) = .

Numeričke karakteristike širenja

Disperzija slučajne varijable X naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.

U mnogim praktičnim problemima treba se baviti slučajnim varijablama raspoređenim prema posebnom zakonu, koji se zove Poissonov zakon.

Razmotrite diskontinuiranu slučajnu varijablu, koja može uzeti samo cijele, nenegativne vrijednosti:

a redoslijed ovih vrijednosti je teoretski neograničen.

Za slučajnu varijablu se kaže da je raspoređena prema Poissonovom zakonu ako je vjerovatnoća da je potrebna određenu vrijednost, izražava se formulom

gdje je a neka pozitivna vrijednost, nazvana parametar Poissonovog zakona.

Red distribucije slučajne varijable, raspoređen prema Poissonovom zakonu, ima oblik:

Uvjerimo se prije svega da niz vjerovatnoća dat formulom (5.9.1) može biti red raspodjele, tj. da je zbir svih vjerovatnoća jednak jedinici. Imamo:

.

Na sl. 5.9.1 prikazuje poligone distribucije slučajne varijable raspoređene prema Poissonovom zakonu, koji odgovaraju različitim vrijednostima parametra. Tabela 8 u dodatku navodi vrijednosti za različite .

Hajde da definišemo glavne karakteristike - matematičko očekivanje i varijansu - slučajne varijable distribuirane prema Poissonovom zakonu. Po definiciji matematičkog očekivanja

.

Prvi član sume (koji odgovara ) jednak je nuli, stoga se zbrajanje može započeti od:

Označimo ; onda

. (5.9.2)

Dakle, parametar nije ništa drugo do matematičko očekivanje slučajne varijable.

Da bismo odredili disperziju, prvo pronalazimo drugi početni moment količine:

Prema prethodno dokazanom

osim toga,

Dakle, disperzija slučajne varijable distribuirane prema Poissonovom zakonu jednaka je njenom matematičkom očekivanju.

Ovo svojstvo Poissonove distribucije se često koristi u praksi da bi se odlučilo da li je hipoteza da je slučajna varijabla distribuirana prema Poissonovom zakonu vjerodostojna. Da biste to učinili, iz iskustva odredite statističke karakteristike - matematičko očekivanje i varijansu - slučajne varijable. Ako su njihove vrijednosti bliske, onda to može poslužiti kao argument u korist hipoteze Poissonove distribucije; oštra razlika u ovim karakteristikama, naprotiv, svjedoči protiv hipoteze.

Za slučajnu varijablu distribuiranu prema Poissonovom zakonu, hajde da odredimo vjerovatnoću da će uzeti vrijednost ne manju od date. Označimo ovu vjerovatnoću:

Očigledno, vjerovatnoća se može izračunati kao zbir

Međutim, mnogo je lakše odrediti to iz vjerovatnoće suprotnog događaja:

(5.9.4)

Konkretno, vjerovatnoća da će vrijednost poprimiti pozitivnu vrijednost izražava se formulom

(5.9.5)

Već smo spomenuli da mnogi praktični zadaci vode do Poissonove distribucije. Razmotrite jedan od tipičnih problema ove vrste.

Neka su tačke nasumično raspoređene na x-osi Ox (slika 5.9.2). Pretpostavimo to slučajna distribucija bodova ispunjava sljedeće uslove:

1. Vjerovatnoća pogađanja određenog broja tačaka na segmentu zavisi samo od dužine ovog segmenta, ali ne zavisi od njegovog položaja na x-osi. Drugim riječima, tačke su raspoređene na x-osi sa istom prosječnom gustinom. Označimo ovu gustinu (tj. matematičko očekivanje broja tačaka po jedinici dužine) kao .

2. Tačke su raspoređene na x-osi nezavisno jedna od druge, tj. vjerovatnoća da se postigne jedan ili drugi broj bodova na datom segmentu ne zavisi od toga koliko ih je palo na bilo koji drugi segment koji se ne preklapa s njim.

3. Vjerovatnoća da se pogodi malo područje od dva ili više tačaka je zanemarljiva u odnosu na vjerovatnoću pogađanja jedne tačke (ovaj uvjet znači praktičnu nemogućnost podudarnosti dvije ili više tačaka).

Izdvojimo određeni segment dužine na osi apscise i razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu - broj tačaka koje padaju na ovaj segment. Moguće vrijednosti količine će biti

Pošto tačke padaju na segment nezavisno jedna od druge, teoretski je moguće da će ih biti proizvoljno veliki broj, tj. serija (5.9.6) se nastavlja u nedogled.

Dokažimo da slučajna varijabla ima Poissonov zakon raspodjele. Da bismo to učinili, izračunavamo vjerovatnoću da tačno tačke padnu na segment.

Hajde da prvo riješimo jednostavniji problem. Razmotrimo mali presek na osi Ox i izračunaj verovatnoću da će bar jedna tačka pasti na ovaj presek. Mi ćemo argumentirati na sljedeći način. Matematičko očekivanje broja tačaka koje padaju na ovu sekciju je očigledno jednako (jer ima tačaka u prosjeku po jedinici dužine). Prema uslovu 3, za mali segment se može zanemariti mogućnost da dvije ili više tačaka padnu na njega. Prema tome, matematičko očekivanje broja tačaka koje padaju na mjesto bit će približno jednako vjerovatnoći da jedna tačka padne na to mjesto (ili, što je ekvivalentno u našim uvjetima, barem jedna).

Dakle, do beskonačno malog višeg reda, kada možemo uzeti u obzir vjerovatnoću da će jedna (barem jedna) tačka pasti na mjesto jednaka , i vjerovatnoću da nijedna neće pasti jednaka .

Upotrijebimo ovo da izračunamo vjerovatnoću da pogodimo tačno tačke na segmentu. Podijelite segment na jednake dijelove dužine. Dogovorimo se da elementarni segment nazovemo "prazan" ako ne sadrži ni jednu tačku, i "zauzet" ako je barem jedna upala u njega. Prema navedenom, vjerovatnoća da će segment biti "zauzet" približno je jednaka; vjerovatnoća da će biti "prazan" je . Pošto su, prema uslovu 2, pogoci tačaka u segmentima koji se ne preklapaju nezavisni, onda se naših n segmenata može smatrati nezavisnim "eksperimentima", u svakom od kojih segment može biti "zauzet" sa verovatnoćom . Pronađite vjerovatnoću da će među segmentima biti tačno "zauzeto". Prema teoremi ponavljanja, ova vjerovatnoća je jednaka

ili, označavajući

(5.9.7)

Za dovoljno veliku vrijednost, ova vjerovatnoća je približno jednaka vjerovatnoći pogađanja tačno tačaka na segmentu, jer pogodak dvije ili više tačaka na segmentu ima zanemarljivu vjerovatnoću. Da bismo pronašli tačnu vrijednost , potrebno je u izrazu (5.9.7) ići na granicu na :

(5.9.8)

Transformirajmo izraz pod znakom granice:

(5.9.9)

Prvi razlomak i imenilac posljednjeg razlomka u izrazu (5.9.9) pri očito teže jedinici. Izraz ne zavisi od. Brojač posljednjeg razlomka može se pretvoriti na sljedeći način:

(5.9.10)

Kada i izraz (5.9.10) teži ka . Dakle, dokazano je da je vjerovatnoća da tačno tačke padaju u segment izražena formulom

gdje , tj. veličina X se raspoređuje prema Poissonovom zakonu sa parametrom .

Imajte na umu da je značenje vrijednosti prosječan broj bodova po segmentu.

Vrijednost (vjerovatnoća da će vrijednost X poprimiti pozitivnu vrijednost) u ovom slučaju izražava vjerovatnoću da će barem jedna tačka pasti na segment:

Tako smo se pobrinuli da se Poissonova distribucija javlja gdje neke tačke (ili drugi elementi) zauzimaju nasumični položaj nezavisno jedna od druge, a broj tih tačaka koje spadaju u neku oblast se računa. U našem slučaju, takva "oblast" je bila segment na x-osi. Međutim, naš zaključak se lako može proširiti na slučaj raspodjele tačaka u ravni (slučajno ravno polje tačaka) iu prostoru (slučajno prostorno polje tačaka). Lako je dokazati da ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1) tačke su statistički ravnomerno raspoređene u polju sa prosečnom gustinom;

2) tačke padaju nezavisno u regione koji se ne preklapaju;

3) tačke se pojavljuju pojedinačno, a ne u parovima, trojkama itd., tada se broj bodova koji spadaju u bilo koju oblast (ravnu ili prostornu) raspoređuju prema Poissonovom zakonu:

gdje je prosječan broj bodova koji spadaju u područje .

Za ravno kućište

gdje je površina regije; za prostorne

gdje je zapremina regije.

Imajte na umu da za Poissonovu distribuciju broja tačaka koje spadaju u segment ili region, uslov konstantne gustine () nije bitan. Ako su druga dva uslova ispunjena, onda Poissonov zakon i dalje postoji, samo parametar a u njemu dobija drugačiji izraz: ne dobija se jednostavnim množenjem gustine dužinom, površinom ili zapreminom regiona, već integracijom promjenljiva gustina na segmentu, površini ili volumenu. (Za više o ovome, pogledajte br. 19.4)

Prisustvo nasumičnih tačaka rasutih na liniji, ravni ili volumenu nije jedini uslov pod kojim se javlja Poissonova distribucija. Može se, na primjer, dokazati da je Poissonov zakon ograničavajući za binomsku distribuciju:

, (5.9.12)

ako istovremeno usmjerimo broj eksperimenata u beskonačnost, a vjerovatnoću na nulu, a njihov proizvod ostane konstantan:

Zaista, ovo ograničavajuće svojstvo binomske distribucije može se zapisati kao:

. (5.9.14)

Ali iz uslova (5.9.13) slijedi da

Zamjenom (5.9.15) u (5.9.14) dobijamo jednakost

, (5.9.16)

što smo mi upravo dokazali drugom prilikom.

Ovo ograničavajuće svojstvo binomskog zakona se često koristi u praksi. Recimo da je proizveden veliki broj nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih događaj ima vrlo malu vjerovatnoću. Zatim, da biste izračunali vjerovatnoću da će se događaj dogoditi tačno jednom, možete koristiti približnu formulu:

, (5.9.17)

gdje je parametar tog Poissonovog zakona, koji približno zamjenjuje binomnu distribuciju.

Iz ove osobine Poissonovog zakona - da se izrazi binomna distribucija sa velikim brojem eksperimenata i malom vjerovatnoćom događaja - dolazi i njegov naziv, koji se često koristi u udžbenicima statistike: zakon rijetkih fenomena.

Pogledajmo nekoliko primjera vezanih za Poissonovu distribuciju iz različitih područja prakse.

Primer 1: Automatska telefonska centrala prima pozive sa prosečnom gustinom poziva po satu. Uz pretpostavku da je broj poziva u bilo kojem vremenskom periodu raspoređen prema Poissonovom zakonu, naći vjerovatnoću da će tačno tri poziva stići na stanicu za dva minuta.

Odluka. Prosječan broj poziva u dvije minute je:

m2 Da biste pogodili metu, dovoljan je barem jedan fragment da se pogodi. Odrediti vjerovatnoću pogađanja mete za datu poziciju tačke diskontinuiteta.

Odluka. . Koristeći formulu (5.9.4), nalazimo vjerovatnoću da ćemo pogoditi barem jedan fragment:

(Za izračunavanje vrijednosti eksponencijalna funkcija koristite tabelu 2 u dodatku).

Primjer 7. Prosječna gustina patogenih mikroba u jednom kubni metar zraka je 100. Za uzorak se uzima 2 kubna metra. dm air. Pronađite vjerovatnoću da će se u njemu naći barem jedan mikrob.

Odluka. Prihvatajući hipotezu o Poissonovoj raspodjeli broja mikroba u volumenu, nalazimo:

Primjer 8. 50 nezavisnih hitaca je ispaljeno u neku metu. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,04. Iskorištavanje ograničavanje imovine binomna distribucija (formula (5.9.17)), pronađite približno vjerovatnoću da će meta pogoditi: bez projektila, jedan projektil, dva projektila.

Odluka. Imamo . Prema tabeli 8 aplikacije, nalazimo vjerovatnoće.

U mnogim praktično važnim aplikacijama, Poissonova distribucija igra važnu ulogu. Mnoge numeričke diskretne veličine su implementacije Poissonovog procesa, koji ima sljedeća svojstva:

• Zanima nas koliko puta se događaj dogodi u datom rasponu mogućih ishoda slučajnog eksperimenta. Područje mogućih ishoda može biti vremenski interval, segment, površina i tako dalje.
• Vjerovatnoća datog događaja je ista za sva područja mogućih ishoda.
• Broj događaja koji se dešavaju u jednoj oblasti mogućih ishoda ne zavisi od broja događaja koji se dešavaju u drugim oblastima.
• Vjerovatnoća da se određeni događaj dogodi više puta u istom rasponu mogućih ishoda teži nuli kako se raspon mogućih ishoda smanjuje.

Da bismo stekli dublje razumevanje značenja Poissonovog procesa, pretpostavimo da ispitamo broj klijenata koji posećuju filijalu banke koja se nalazi u centralnom poslovnom okrugu za vreme ručka, tj. od 12 do 13 sati. Pretpostavimo da želite da odredite broj kupaca koji dolaze u minuti. Ima li ova situacija gore navedene karakteristike? Prvo, događaj koji nas zanima je dolazak klijenta, a raspon mogućih ishoda je interval od jedne minute. Koliko klijenata će doći u banku u minuti - nijedan, jedan, dva ili više? Drugo, razumno je pretpostaviti da je vjerovatnoća da će kupac doći u roku od jednog minuta ista za sve jednominutne intervale. Treće, dolazak jednog klijenta tokom bilo kojeg jednominutnog intervala je nezavisan od dolaska bilo kojeg drugog klijenta tokom bilo kojeg drugog jednominutnog intervala. I, konačno, vjerovatnoća da će više klijenata doći u banku teži nuli ako, na primjer, vremenski interval teži nuli, postaje manji od 0,1 s. Dakle, broj klijenata koji dođu u banku tokom ručka u roku od jedne minute opisuje se Poissonovom distribucijom.

Poissonova distribucija ima jedan parametar, označen simbolom λ (grčko slovo "lambda") - prosječan broj uspješnih pokušaja u datom rasponu mogućih ishoda. Varijanca Poissonove distribucije je također λ i njena standardna devijacija je . Broj uspješnih pokušaja X Poissonova slučajna varijabla varira od 0 do beskonačnosti. Poissonova distribucija je opisana formulom:

gdje P(X)- vjerovatnoća X uspješnih pokušaja, λ je očekivani broj uspjeha, e- osnova prirodnog logaritma, jednaka 2,71828, X- broj uspjeha po jedinici vremena.

Vratimo se našem primjeru. Recimo da u pauzi za ručak u banku u prosjeku dođu tri klijenta u minuti. Kolika je vjerovatnoća da će dva klijenta doći u banku u datom trenutku? Kolika je vjerovatnoća da će više od dva klijenta doći u banku?

Primijenimo formulu (1) sa parametrom λ = 3. Tada je vjerovatnoća da će dva klijenta doći u banku tokom datog minuta jednaka

Vjerovatnoća da će više od dva klijenta doći u banku je P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = ∞) . Kako bi zbir svih vjerovatnoća trebao biti jednak 1, članovi niza na desnoj strani formule predstavljaju vjerovatnoću dodavanja događaja X ≤ 2. Drugim riječima, zbir ovog niza je 1 - P (X ≤ 2). Dakle, P(X> 2) = 1 - P(X≤2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Sada, koristeći formulu (1), dobijamo:

Tako je vjerovatnoća da u minutu u banku ne dođe više od dva klijenta 0,423 (ili 42,3%), a vjerovatnoća da će više od dva klijenta doći u banku u roku od 0,577 (ili 57,7%).

Takvi proračuni mogu izgledati zamorno, posebno ako je parametar λ dovoljno velik. Izbjeći složene proračune, mnoge Poissonove vjerovatnoće mogu se naći u posebnim tabelama (slika 1). Na primjer, vjerovatnoća da dva klijenta dođu u banku u datom minutu, ako u prosjeku tri klijenta dođu u banku u minuti, je na raskrsnici linije X= 2 i kolona λ = 3. Dakle, jednako je 0,2240 ili 22,4%.

Rice. 1. Poissonova vjerovatnoća za λ = 3

Sada je malo verovatno da će neko koristiti tabele ako je Excel pri ruci sa svojom funkcijom =POISSON.DIST() (slika 2). Ova funkcija ima tri parametra: broj uspješnih pokušaja X, prosječan očekivani broj uspješnih pokušaja λ, parametar Integral, koji uzima dvije vrijednosti: FALSE - u ovom slučaju se izračunava vjerovatnoća broja uspješnih pokušaja X(samo X), TRUE - u ovom slučaju, vjerovatnoća broja uspješnih pokušaja od 0 do X.

Rice. 2. Izračunavanje u Excel-u vjerovatnoće Poissonove distribucije za λ = 3

Aproksimacija binomne distribucije korištenjem Poissonove distribucije

Ako broj n veliki i broj R- mala, binomna raspodjela se može aproksimirati korištenjem Poissonove raspodjele. Kako više broja n i manji broj R, to je veća tačnost aproksimacije. Sljedeći Poissonov model se koristi za aproksimaciju binomske distribucije.

gdje P(X)- vjerovatnoća X uspjeh sa zadatim parametrima n i R, n- veličina uzorka, R- prava vjerovatnoća uspjeha, e je baza prirodnog logaritma, X- broj uspjeha u uzorku (X = 0, 1, 2, …, n).

Teoretski, slučajna varijabla koja ima Poissonovu distribuciju uzima vrijednosti od 0 do ∞. Međutim, u onim situacijama kada se Poissonova distribucija koristi za aproksimaciju binomske distribucije, Poissonova slučajna varijabla je broj uspjeha među n zapažanja - ne može premašiti broj n. Iz formule (2) proizilazi da sa povećanjem broja n i smanjenje broja R vjerovatnoća pronalaženja velikog broja uspjeha opada i teži nuli.

Kao što je gore spomenuto, matematičko očekivanje µ i varijansa σ 2 Poissonove distribucije jednaki su λ. Stoga, kada se aproksimira binomna distribucija korištenjem Poissonove distribucije, treba koristiti formulu (3) za aproksimaciju matematičkog očekivanja.

(3) µ = E(H) = λ =np

Formula (4) se koristi za aproksimaciju standardne devijacije.

Imajte na umu da standardna devijacija izračunata formulom (4) teži ka standardna devijacija u binomnom modelu, kada je vjerovatnoća uspjeha str teži nuli, a shodno tome i vjerovatnoća neuspjeha 1 - str teži jedinstvu.

Pretpostavimo da je 8% guma proizvedenih u određenom pogonu neispravno. Da bismo ilustrirali upotrebu Poissonove distribucije za aproksimaciju binomne distribucije, izračunavamo vjerovatnoću pronalaska jedne neispravne gume u uzorku od 20 guma. Primjenjujemo formulu (2), dobijamo

Ako bismo izračunali pravu binomnu distribuciju, a ne njenu aproksimaciju, dobili bismo sljedeći rezultat:

Međutim, ove kalkulacije su prilično zamorne. U isto vrijeme, ako koristite Excel za izračunavanje vjerovatnoća, tada korištenje aproksimacije Poissonove distribucije postaje suvišno. Na sl. 3 pokazuje da je složenost proračuna u Excel-u ista. Međutim, ovaj dio je, po mom mišljenju, koristan za razumijevanje da pod određenim uvjetima binomna distribucija i Poissonova distribucija daju bliske rezultate.

Rice. 3. Poređenje složenosti proračuna u Excelu: (a) Poissonova distribucija; (b) binomna distribucija

Dakle, u ovoj i dvije prethodne napomene, razmatrane su tri diskretne numeričke raspodjele: , i Poisson. Da bismo bolje razumjeli kako su ove distribucije međusobno povezane, predstavljamo malo stablo pitanja (slika 4).

Rice. 4. Klasifikacija diskretne distribucije vjerovatnoće

Korišteni su materijali iz knjige Levin i dr. Statistika za menadžere. - M.: Williams, 2004. - str. 320–328

Razmotrite Poissonovu distribuciju, izračunajte njeno matematičko očekivanje, varijansu, mod. Koristeći MS EXCEL funkciju POISSON.DIST(), crtamo grafove funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Procijenimo parametar distribucije, njegovo matematičko očekivanje i standardnu ​​devijaciju.

Prvo dajemo suhu formalnu definiciju distribucije, zatim dajemo primjere situacija u kojima Poissonova distribucija(engleski) Poissondistribucija) je adekvatan model za opisivanje slučajne varijable.

Ako se slučajni događaji dogode u datom vremenskom periodu (ili u određenoj zapremini materije) sa prosječnom frekvencijom λ( lambda), zatim broj događaja x, dogodio u ovom vremenskom periodu će imati Poissonova distribucija.

Primjena Poissonove distribucije

Primjeri kada Poissonova distribucija je adekvatan model:

• broj poziva koje je telefonska centrala primila za određeni vremenski period;
• broj čestica koje su bile podvrgnute radioaktivnom raspadu u datom vremenskom periodu;
• broj nedostataka na komadu tkanine fiksne dužine.

Poissonova distribucija je adekvatan model ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

• događaji se dešavaju nezavisno jedan od drugog, tj. vjerovatnoća narednog događaja ne zavisi od prethodnog;
• prosječna učestalost događaja je konstantna. Kao posljedica toga, vjerovatnoća događaja je proporcionalna dužini intervala posmatranja;
• dva događaja se ne mogu dogoditi u isto vrijeme;
• broj događaja mora imati vrijednost 0; jedan; 2…

Bilješka: Dobar trag koji posmatrana slučajna varijabla ima distribucija otrova, je činjenica da je približno jednako (vidi dolje).

Slijede primjeri situacija u kojima Poissonova distribucija ne mogu primijeniti:

• broj studenata koji napuste univerzitet u roku od sat vremena (jer prosječan protok studenata nije konstantan: ima malo studenata tokom nastave, a broj studenata naglo raste između časova);
• broj potresa sa amplitudom od 5 bodova godišnje u Kaliforniji (jer jedan potres može uzrokovati ponovljene potrese slične amplitude - događaji nisu nezavisni);
• broj dana koje pacijenti provode u jedinici intenzivne njege (jer je broj dana koje pacijenti provode u jedinici intenzivne njege uvijek veći od 0).

Bilješka: Poissonova distribucija je aproksimacija preciznijih diskretnih distribucija: i .

Bilješka: O vezi Poissonova distribucija i Binomna distribucija može se pročitati u članku. O vezi Poissonova distribucija i Eksponencijalna distribucija možete pronaći u članku o .

Poissonova distribucija u MS EXCEL-u

U MS EXCEL-u, počevši od verzije 2010, za Distribucije Poisson postoji funkcija POISSON.DIST() , engleski naziv je POISSON.DIST(), koja vam omogućava da izračunate ne samo vjerovatnoću da će se u određenom vremenskom periodu dogoditi X događaji (funkcija gustina vjerovatnoće p(x), vidi gornju formulu), ali takođe (vjerovatnoća da će barem u datom vremenskom periodu x događaji).

Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkciju POISSON(), koja vam također omogućava da izračunate funkcija distribucije i gustina vjerovatnoće p(x). POISSON() je ostavljen u MS EXCEL 2010 radi kompatibilnosti.

Datoteka primjera sadrži grafikone gustina raspodjele vjerovatnoće i integralna funkcija distribucije.

Poissonova distribucija ima nakošen oblik (dugački rep na desnoj strani funkcije vjerovatnoće), ali kako se parametar λ povećava, postaje sve simetričniji.

Bilješka: Prosječna i disperzija(kvadrat) jednaki su parametru Poissonova distribucija– λ (vidi primjer lista datoteke Primjer).

Zadatak

Tipična primjena Poissonove distribucije u kontroli kvaliteta, predstavlja model broja nedostataka koji se mogu pojaviti u uređaju ili uređaju.

Na primjer, ako je prosječan broj defekata u čipu λ (lambda) 4, vjerovatnoća da će slučajno odabrani čip imati 2 ili manje defekata jednaka je: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0,2381

Treći parametar u funkciji je postavljen = TRUE, tako da će se funkcija vratiti integralna funkcija distribucije, odnosno vjerovatnoća da broj slučajni događaji biće u rasponu od 0 do 4 uključujući.

Izračuni se u ovom slučaju vrše prema formuli:

Vjerovatnoća da će slučajno odabran čip imati tačno 2 defekta je: POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465

Treći parametar u funkciji je postavljen = FALSE, tako da će funkcija vratiti gustinu vjerovatnoće.

Vjerovatnoća da će slučajno odabrani čip imati više od 2 defekta jednaka je: \u003d 1-POISSON.DIST (2, 4, TRUE) \u003d 0,8535

Bilješka: Ako a x nije cijeli broj, onda kada se izračunava formula . Formule =POISSON.DIST( 2 ; 4; FALSE) i =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; FALSE)će vratiti isti rezultat.

Generisanje slučajnih brojeva i λ procjena

Za vrijednosti λ >15 , Poissonova distribucija dobro aproksimirano normalna distribucija sa sljedećim parametrima: μ =λ , σ 2 =λ .

Više o odnosu između ovih distribucija možete pročitati u članku. Navedeni su i primjeri aproksimacije, a objašnjeni su uslovi kada je to moguće i sa kojom tačnošću.

SAVJET: O ostalim distribucijama MS EXCEL-a možete pročitati u članku.

9. Poissonov i Gaussov zakon raspodjele

Poissonov zakon. Drugi naziv za njega je zakon ra-determinacije rijetkih događaja. Poissonov zakon (P.P.) se primjenjuje u slučajevima kada je to malo vjerovatno, pa stoga primjena P/C/R nije primjerena.

Prednosti zakona su: pogodnost u proračunu, mogućnost izračunavanja vjerovatnoće u datom vremenskom periodu, mogućnost zamjene vremena drugim kontinuirana vrijednost, na primjer, linearne dimenzije.

Poissonov zakon ima sljedeći oblik:

i glasi kako slijedi: vjerovatnoća pojave događaja A u m puta u n nezavisnih pokušaja izražava se formulom oblika (59), gdje je a = pr prosječna vrijednost p(A), a a je jedini parametar u Poissonovom zakonu.

Zakon normalna distribucija(Gaussov zakon). Praksa stalno potvrđuje da se zakoni raspodjele grešaka pridržavaju Gaussovog zakona s dovoljnom aproksimacijom pri mjerenju širokog spektra parametara: od linearnih i kutnih dimenzija do karakteristika glavnih mehaničkih svojstava čelika.

Gustina vjerovatnoće zakona normalne distribucije (u daljem tekstu N. R.) ima oblik

gdje je x 0 prosječna vrijednost slučajne varijable;

? je standardna devijacija iste slučajne varijable;

e \u003d 2,1783 ... - osnova prirodnog logaritma;

W je parametar koji zadovoljava uslov.

Razlog za široku upotrebu zakona normalne distribucije teoretski je određen Ljapunovljevom teoremom.

Sa poznatim X 0 i? ordinate krive funkcije f(x) mogu se izračunati po formuli

gdje je t normalizirana varijabla,

(t) gustina vjerovatnoće z. Ako zamijenimo z i (t) u formulu, onda slijedi:

Kriva Z.N.R. često nazivan Gaussovom krivom, ovaj zakon opisuje mnoge pojave u prirodi.

Iz knjige Kreativnost kao egzaktna nauka [Teorija inventivnog rješavanja problema] autor Altshuller Heinrich Saulovich

6. Zakon prelaska u supersistem Pošto su iscrpljene mogućnosti razvoja, sistem je uključen u supersistem kao jedan od njegovih delova; pri čemu dalji razvoj odvija se na nivou supersistema. O ovom zakonu smo već govorili. Pređimo na dinamiku. To uključuje zakone koji

Iz knjige Interface: New Directions in Computer System Design autor Ruskin Jeff

Iz knjige Instrumentation autor Babaev M A

4.4.1. Fitsov zakon Zamislimo da pomerate kursor na dugme prikazano na ekranu. Dugme je cilj ovog poteza. Dužina prave linije koja povezuje početnu poziciju kursora i najbližu ciljnu tačku definirana je Fittsovim zakonom kao udaljenost. Na

Iz knjige Toplotna tehnika autor Burkhanova Natalia

4.4.2. Hikov zakon Prije pomjeranja kursora na cilj ili izvođenja bilo koje druge radnje iz skupa opcija, korisnik mora odabrati taj objekt ili radnju. Hikov zakon kaže da kada postoji n opcija za izbor, vrijeme za odabir je

Iz knjige Računalna lingvistika za sve: mitovi. Algoritmi. Jezik autor Anisimov Anatolij Vasiljevič

6. Statistika distribucije slučajne varijable Glavne karakteristike slučajnih varijabli.1. Mere položaja. To se nazivaju (smatrane) tačke oko kojih fluktuiraju karakteristike veličina. Zbir proizvoda empirijskih vrednosti slučajne varijable xi po

Iz knjige Fenomen nauke [Kibernetički pristup evoluciji] autor Turčin Valentin Fedorovič

10. Binomni i polinomski zakoni distribucije. Jednoverovatna distribucija. Zakon raspodjele ekscentriciteta 1. Zakon binomne raspodjele. Ovaj zakon je matematički izražen formulom ekspanzije za binom (q + p)2 u sljedećem obliku gdje je n! - čitaj

Iz knjige Nanotehnologija [Nauka, inovacije i prilike] autor Foster Lynn

11. Drugi zakoni o distribuciji U tehničkoj industriji, uključujući izradu instrumenata, koriste se i neki drugi tipovi zakona o distribuciji, pored onih o kojima se raspravljalo gore. U ovom slučaju, distribucija slučajnih varijabli je već prema njihovim najrazličitijim parametrima.

Iz knjige Istorija elektrotehnike autor Tim autora

22. Boyle-Mariotteov zakon Jedan od zakona idealnog gasa je Boyle-Mariotteov zakon, koji kaže: proizvod pritiska P i zapremine V gasa je konstantan pri konstantnoj masi i temperaturi gasa. Ova se jednakost naziva jednadžba izoterme. Izoterma je prikazana

Iz knjige Istorija izuzetnih otkrića i izuma (elektrotehnika, elektroprivreda, radioelektronika) autor Šnajberg Jan Abramovič

23. Gay-Lussacov zakon Gay-Lussacov zakon kaže: odnos zapremine gasa i njegove temperature pri konstantnom pritisku gasa i njegove mase je konstantna V / T = m / MO R / P = const pri P = const, m = konst. naziv jednadžbe izobare. Izobara je prikazana na PV dijagramu ravnom linijom,

Iz knjige autora

24. Charlesov zakon Charlesov zakon kaže da je odnos tlaka plina i njegove temperature konstantan ako su volumen i masa plina nepromijenjeni: P / T = m / MO R / V = ​​const pri V = const, m = konst.. Izohora je prikazana na PV dijagramu kao prava linija, paralelna osa P, a

Iz knjige autora

30. Zakon održanja i transformacije energije Prvi zakon termodinamike zasniva se na univerzalnom zakonu održanja i transformacije energije, koji utvrđuje da energija ne nastaje niti nestaje.Tela koja učestvuju u termodinamičkom procesu međusobno deluju.

Iz knjige autora

PRINCEZA ŽABA I ZAKON STABILNOSTI Kao što je već ranije naglašeno (zakon apstrakcije), primitivno mišljenje je bilo u stanju da analizira konkretne pojave i sintetiše nove apstraktne sisteme. Budući da se svaki predmet koji je konstruirala svijest doživljava kao živi i živi

Iz knjige autora

1.1. Osnovni zakon evolucije U procesu evolucije života, koliko nam je poznato, oduvijek je bilo i sada postoji povećanje ukupne mase žive tvari i usložnjavanje njene organizacije. Komplicirajući organizaciju bioloških formacija, priroda djeluje prema metodi ispitivanja i

Iz knjige autora

4.2. Moorov zakon U svom najjednostavnijem obliku, Moorov zakon je izjava da se gustina tranzistorskog kola udvostručuje svakih 18 mjeseci. Autorstvo zakona pripisuje se jednom od osnivača poznate kompanije Intel, Gordonu Muru. Strogo govoreći, in