kao što je poznato, slučajna varijabla naziva se varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označavaju velika slova Latinski alfabet (X, Y, Z), a njihove vrijednosti su u odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.
Diskretna slučajna varijabla pozvao slučajna vrijednost, koji uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.
1 . Zakon distribucije se može dati u tabeli:
gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .
u) korišćenjem funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).
Svojstva funkcije F(x)
3 . Zakon raspodjele može se postaviti grafički – distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3).
Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima, dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji najviše odražavaju važne karakteristike zakon o distribuciji. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.
Main numeričke karakteristike diskretna slučajna varijabla :
- Matematičko očekivanje
(srednja vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ - Disperzija
diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2) − 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ - Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).
Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"
Zadatak 1.
Izdato je 1.000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, a 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću.
Rješenje. Prema uslovu zadatka, moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.
Broj tiketa bez dobitka je 1000 - (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Slično, nalazimo sve ostale vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Rezultirajući zakon predstavljamo u obliku tabele:
Hajde da nađemo očekivanu vrijednost vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Zadatak 3.
Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, izgraditi poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable.
Rješenje. 1. Diskretna slučajna varijabla X=(broj neuspješnih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 =0 (nijedan od elemenata uređaja nije uspio), x 2 =1 (jedan element nije uspio), x 3 =2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 \u003d 3 (tri elementa nisu uspjela).
Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su međusobno jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula
. S obzirom da pod uslovom, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo verovatnoće vrednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik:
Na osi apscise iscrtavamo moguće vrijednosti x i, a na osi ordinata odgovarajuće vjerovatnoće r i. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezujući ove tačke sa segmentima, dobijamo željeni poligon distribucije.
3. Pronađite funkciju raspodjele F(x) = P(X
Za x ≤ 0 imamo F(x) = P(X<0) = 0;za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 biće F(x) = 1, jer događaj je siguran.
 |
Grafikon funkcije F(x)
4.
Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Možemo izdvojiti najčešće zakone distribucije diskretnih slučajnih varijabli:
- Zakon binomne distribucije
- Poissonov zakon distribucije
- Geometrijski zakon raspodjele
- Hipergeometrijski zakon raspodjele
Za date distribucije diskretnih slučajnih varijabli izračunavanje vjerovatnoće njihovih vrijednosti, kao i numeričkih karakteristika (matematičko očekivanje, varijansa, itd.) vrši se prema određenim "formulama". Stoga je veoma važno poznavati ove vrste distribucija i njihova osnovna svojstva.
1. Zakon binomne distribucije.
Diskretna slučajna varijabla $X$ podliježe binomnoj raspodjeli vjerovatnoće ako uzima vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. U stvari, slučajna varijabla $X$ je broj pojavljivanja događaja $A$ u $n$ nezavisnim pokusima. Zakon raspodjele vjerovatnoće za slučajnu varijablu $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\lijevo(0\desno) & P_n\lijevo(1\desno) & \tačke & P_n\lijevo(n\desno) \\
\hline
\end(niz)$
Za takvu slučajnu varijablu, očekivanje je $M\left(X\right)=np$, varijansa je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Primjer . U porodici ima dvoje djece. Uz pretpostavku da su vjerovatnoće rođenja dječaka i djevojčice jednake $0,5$, pronađite zakon raspodjele slučajne varijable $\xi $ - broj dječaka u porodici.
Neka je slučajna varijabla $\xi $ broj dječaka u porodici. Vrijednosti koje $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ može uzeti. Vjerovatnoće ovih vrijednosti mogu se naći po formuli $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, gdje je $n =2$ - broj nezavisnih pokušaja, $p=0,5$ - vjerovatnoća pojave događaja u seriji od $n$ pokušaja. Dobijamo:
$P\left(\xi =0\desno)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$
$P\left(\xi =1\desno)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\desno)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$
Tada je zakon raspodjele slučajne varijable $\xi $ korespondencija između vrijednosti $0,\ 1,\ 2$ i njihovih vjerovatnoća, tj.:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(niz)$
Zbir vjerovatnoća u zakonu raspodjele mora biti jednak $1$, tj. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 =$1.
Očekivanje $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varijansa $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, standardna devijacija $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\približno 0.707 $.
2. Poissonov zakon distribucije.
Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti samo nenegativnu cjelobrojnu vrijednost $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Komentar. Posebnost ove distribucije je u tome što na osnovu eksperimentalnih podataka nalazimo procjene $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ako su dobijene procjene bliske jedna drugoj, onda imaju razloga da tvrde da je slučajna varijabla podložna Poissonovom zakonu raspodjele.
Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje podliježu Poissonovom zakonu distribucije mogu biti: broj automobila koje će sutra servisirati benzinska pumpa; broj neispravnih artikala u proizvedenom proizvodu.
Primjer . Fabrika je poslala 500$ proizvoda u bazu. Vjerovatnoća oštećenja proizvoda u transportu je 0,002$. Naći zakon raspodjele slučajne varijable $X$ jednak broju oštećenih proizvoda; što je jednako $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
Neka je diskretna slučajna varijabla $X$ broj oštećenih stavki. Takva slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu raspodjele sa parametrom $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Vjerojatnosti vrijednosti su $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\lijevo(X=0\desno)=((1^0)\preko (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\lijevo(X=1\desno)=((1^1)\preko (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\lijevo(X=2\desno)=((1^2)\preko (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\lijevo(X=3\desno)=((1^3)\preko (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\lijevo(X=4\desno)=((1^4)\preko (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\lijevo(X=5\desno)=((1^5)\preko (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\lijevo(X=6\desno)=((1^6)\preko (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\levo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Zakon distribucije slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & ((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(niz)$
Za takvu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje i varijansa su međusobno jednake i jednake su parametru $\lambda $, tj. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.
3. Geometrijski zakon raspodjele.
Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti samo prirodne vrijednosti $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ sa vjerovatnoćama $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) desno)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, onda kažemo da takva slučajna varijabla $X$ podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerovatnoće. U stvari, čini se da je geometrijska distribucija Bernulijeva pokušaja do prvog uspjeha.
Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje imaju geometrijsku distribuciju mogu biti: broj hitaca prije prvog pogotka u metu; broj testova uređaja prije prvog kvara; broj bacanja novčića prije prvog heads up-a i tako dalje.
Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable koja podliježe geometrijskoj distribuciji su $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.
Primjer . Na putu kretanja ribe do mjesta mrijesta nalazi se brava od 4$. Vjerovatnoća da riba prođe kroz svaku bravu je $p=3/5$. Konstruirajte seriju distribucije slučajne varijable $X$ - broj brava koje je riba prošla prije prvog zaustavljanja na bravi. Pronađite $M\left(X\desno),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Neka slučajna varijabla $X$ bude broj otvora koje je riba prošla prije prvog zaustavljanja na otvoru. Takva slučajna varijabla podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerovatnoće. Vrijednosti koje slučajna varijabla $X može uzeti su: 1, 2, 3, 4. Vjerovatnoće ovih vrijednosti se izračunavaju po formuli: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, gdje je: $ p=2/5$ - vjerovatnoća da će riba biti uhvaćena kroz prevodnicu, $q=1-p=3/5$ - vjerovatnoća da će riba proći kroz prevodnicu, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^0=((2)\ preko(5))=0.4;$
$P\left(X=2\desno)=((2)\preko (5))\cdot ((3)\preko (5))=((6)\preko (25))=0,24; $
$P\left(X=3\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^2=((2)\ preko (5))\cdot ((9)\preko (25))=((18)\preko (125))=0,144;$
$P\left(X=4\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\left(((3)\preko (5))\desno))^3+(\left(( (3)\preko (5))\desno))^4=((27)\preko (125))=0,216.$
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\lijevo(X_i\desno) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(niz)$
Očekivana vrijednost:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
disperzija:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ lijevo(1-2,176\desno))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\desno))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\desno))^2+$
$+\ 0,216\cdot (\levo(4-2,176\desno))^2\približno 1,377.$
Standardna devijacija:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\cca 1,173.$
4. Hipergeometrijski zakon raspodjele.
Ako postoji $N$ objekata, među kojima $m$ objekti imaju dato svojstvo. Nasumično, bez zamjene, izdvajaju se $n$ objekata, među kojima ima $k$ objekata koji imaju dato svojstvo. Hipergeometrijska distribucija omogućava procjenu vjerovatnoće da tačno $k$ objekata u uzorku imaju dato svojstvo. Neka slučajna varijabla $X$ bude broj objekata u uzorku koji imaju dato svojstvo. Tada su vjerovatnoće vrijednosti slučajne varijable $X$:
$P\levo(X=k\desno)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\preko (C^n_N))$
Komentar. Statistička funkcija HYPERGEOMET čarobnjaka za funkcije Excel $f_x$ omogućava vam da odredite vjerovatnoću da će određeni broj pokušaja biti uspješan.
$f_x\u $ statistički$\to $ HYPERGEOMET$\to $ uredu. Pojavit će se dijaloški okvir koji trebate popuniti. U grafikonu Broj_uspjeha_u_uzorku navedite vrijednost $k$. veličina uzorka jednako $n$. U grafikonu Broj_uspjeha_u_populaciji navedite vrijednost $m$. Population_size jednako $N$.
Matematičko očekivanje i varijansa diskretne slučajne varijable $X$ koja podliježe geometrijskom zakonu raspodjele su $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) (1 -((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno))\preko (N-1))$.
Primjer . U kreditnom odjelu banke zaposleno je 5 specijalista sa višom finansijskom spremom i 3 specijalista sa višom pravnom spremom. Rukovodstvo banke je odlučilo da pošalje 3 stručnjaka na usavršavanje, birajući ih nasumično.
a) Napravite distribucijsku seriju broja specijalista sa višom finansijskom spremom koji se mogu uputiti na usavršavanje;
b) Pronađite numeričke karakteristike ove distribucije.
Neka je slučajna varijabla $X$ broj specijalista sa visokim finansijskim obrazovanjem među tri odabrana. Vrijednosti koje $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ može uzeti. Ova slučajna varijabla $X$ se distribuira prema hipergeometrijskoj distribuciji sa sljedećim parametrima: $N=8$ - veličina populacije, $m=5$ - broj uspjeha u populaciji, $n=3$ - veličina uzorka, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - broj uspjeha u uzorku. Tada se vjerovatnoće $P\left(X=k\desno)$ mogu izračunati pomoću formule: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ preko C_( N)^(n) ) $. Imamo:
$P\left(X=0\desno)=((C^0_5\cdot C^3_3)\preko (C^3_8))=((1)\preko (56))\približno 0,018;$
$P\left(X=1\desno)=((C^1_5\cdot C^2_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (56))\približno 0,268;$
$P\left(X=2\desno)=((C^2_5\cdot C^1_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (28))\približno 0,536;$
$P\left(X=3\desno)=((C^3_5\cdot C^0_3)\preko (C^3_8))=((5)\preko (28))\približno 0,179.$
Zatim serija distribucije slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(niz)$
Izračunajmo numeričke karakteristike slučajne varijable $X$ koristeći opšte formule hipergeometrijske distribucije.
$M\left(X\desno)=((nm)\preko (N))=((3\cdot 5)\preko (8))=((15)\preko (8))=1,875.$
$D\lijevo(X\desno)=((nm\lijevo(1-((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\preko (8))\desno)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\desno))\preko (8-1))=((225)\preko (448))\cca 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\približno 0,7085.$
Definicija.disperzija (raspršenje) Diskretna slučajna varijabla naziva se matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:
Primjer. Za gornji primjer nalazimo
Matematičko očekivanje slučajne varijable je:
Moguće vrijednosti kvadratne devijacije:
; 
;
Disperzija je:
Međutim, u praksi je ova metoda izračunavanja varijanse nezgodna, jer dovodi do glomaznih proračuna za veliki broj vrijednosti slučajne varijable. Stoga se koristi druga metoda.
Izračun varijance
Teorema. Varijanca je jednaka razlici između matematičkog očekivanja kvadrata slučajne varijable X i kvadrata njenog matematičkog očekivanja:
Dokaz. Uzimajući u obzir činjenicu da su matematičko očekivanje i kvadrat matematičkog očekivanja konstantne vrijednosti, možemo napisati:
Primijenimo ovu formulu na gornji primjer:
| X | ||||||
| x2 | ||||||
| str | 0,0778 | 0,2592 | 0,3456 | 0,2304 | 0,0768 | 0,0102 |
Svojstva disperzije
1) Disperzija konstantne vrijednosti je nula:
2) Konstantni faktor se može izvući iz znaka disperzije kvadriranjem:
.
3) Varijanca zbira dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbroju varijansi ovih varijabli:
4) Varijanca razlike dvije nezavisne slučajne varijable jednaka je zbiru varijansi ovih varijabli:
Valjanost ove jednakosti proizlazi iz svojstva 2.
Teorema. Varijanca broja pojavljivanja događaja A u n nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih je vjerovatnoća nastanka događaja konstantna, jednaka je umnošku broja pokušaja sa vjerovatnoćom nastanka i vjerovatnoćom događaja ne pojavljuje u svakom ispitivanju:
Primjer. Fabrika proizvodi 96% proizvoda prvog razreda i 4% proizvoda drugog razreda. 1000 stavki se bira nasumično. Neka X- broj proizvoda prvog razreda u ovom uzorku. Naći zakon raspodjele, matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable.
Dakle, zakon raspodjele se može smatrati binomnim.
Primjer. Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable X– broj pojavljivanja događaja ALI u dva nezavisna pokusa, ako su vjerovatnoće pojave ovog događaja u svakom ogledu jednake i poznato je da
Jer slučajna vrijednost X raspoređeno prema binomskom zakonu, dakle
Primjer. Nezavisni testovi se izvode sa istom vjerovatnoćom nastanka događaja ALI u svakom testu. Pronađite vjerovatnoću da se neki događaj dogodi ALI ako je varijansa broja pojavljivanja događaja u tri nezavisna ispitivanja 0,63.
Prema formuli disperzije binomnog zakona dobijamo:
;
Primjer. Testira se uređaj koji se sastoji od četiri uređaja koji nezavisno rade. Vjerojatnosti kvara svakog od uređaja su jednake ; ; . Pronađite matematičko očekivanje i varijansu broja neispravnih uređaja.
Uzimajući broj neispravnih uređaja kao slučajnu varijablu, vidimo da ova slučajna varijabla može poprimiti vrijednosti 0, 1, 2, 3 ili 4.
Da bi se napravio zakon raspodjele za ovu slučajnu varijablu, potrebno je odrediti odgovarajuće vjerovatnoće. Hajde da prihvatimo.
1) Nijedan uređaj nije pokvario:
2) Jedan od uređaja nije uspio.
Primjeri rješavanja zadataka na temu "Slučajne varijable".
Zadatak 1 . U lutriji je izdato 100 tiketa. Odigrana je jedna pobeda od 50 USD. i deset pobjeda od po 10$. Naći zakon raspodjele vrijednosti X - trošak mogućeg dobitka.
Rješenje. Moguće vrijednosti X: x 1 = 0; x 2 = 10 i x 3 = 50. Pošto postoji 89 „praznih“ karata, onda str 1 = 0,89, vjerovatnoća dobitka je 10 c.u. (10 ulaznica) – str 2 = 0,10 i za dobitak od 50 c.u. –str 3 = 0,01. Na ovaj način:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Jednostavna kontrola: .
Zadatak 2. Vjerovatnoća da se kupac unaprijed upoznao sa reklamom proizvoda je 0,6 (p = 0,6). Selektivnu kontrolu kvaliteta reklamiranja vrši se anketiranjem kupaca prije prvog koji je unaprijed proučio oglas. Napravite seriju distribucije broja intervjuisanih kupaca.
Rješenje. Prema uslovu zadatka p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Zamjenom ovih vrijednosti dobijamo: i konstruisati seriju distribucije:
|
pi |
0,24 |
Zadatak 3. Računar se sastoji od tri nezavisno operativna elementa: sistemske jedinice, monitora i tastature. Sa jednim naglim povećanjem napona, vjerovatnoća kvara svakog elementa je 0,1. Na osnovu Bernoullijeve distribucije, sastaviti zakon distribucije za broj neispravnih elemenata tokom napona u mreži.
Rješenje. Razmislite Bernulijeva distribucija(ili binom): vjerovatnoća da u n testovima, događaj A će se pojaviti tačno k jednom: 
, ili:
|
q n |
str n |
AT vratimo se zadatku.
Moguće vrijednosti X (broj kvarova):
x 0 =0 - nijedan element nije uspio;
x 1 =1 - kvar jednog elementa;
x 2 =2 - kvar dva elementa;
x 3 =3 - kvar svih elemenata.
Pošto je po uslovu p = 0,1, onda je q = 1 – p = 0,9. Koristeći Bernoullijevu formulu, dobijamo
, ,
, .
Kontrola: .
Dakle, željeni zakon distribucije:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Zadatak 4. Proizvedeno 5000 metaka. Verovatnoća da je jedan kertridž neispravan 
. Kolika je vjerovatnoća da će u cijeloj seriji biti tačno 3 neispravna kertridža?
Rješenje. Primjenjivo Poissonova distribucija: ova distribucija se koristi za određivanje vjerovatnoće da, s obzirom na vrlo veliku
broj pokušaja (masovnih pokušaja), u svakom od kojih je vjerovatnoća događaja A vrlo mala, događaj A će se dogoditi k puta: 
, gdje .
Ovdje n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Nalazimo , zatim željenu vjerovatnoću: 
.
Zadatak 5. Prilikom pucanja prije prvog pogotka sa vjerovatnoćom pogotka p = 0,6 za hitac, potrebno je pronaći vjerovatnoću da će se pogodak dogoditi pri trećem udarcu.
Rješenje. Primijenimo geometrijsku raspodjelu: neka se izvode neovisni ogledi u kojima je vjerovatnoća da će se događaj A pojaviti p (i da se ne dogodi q = 1 - p). Probe se završavaju čim se dogodi događaj A.
Pod takvim uslovima, verovatnoća da će se događaj A desiti na k-tom testu određena je formulom: . Ovdje je p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k = 3. Dakle, .
Zadatak 6. Neka je zadan zakon distribucije slučajne varijable X:
Pronađite matematičko očekivanje.
Rješenje. .
Imajte na umu da je vjerovatnoća značenja matematičkog očekivanja prosječna vrijednost slučajne varijable.
Zadatak 7. Pronađite varijansu slučajne varijable X sa sljedećim zakonom raspodjele:
Rješenje. Evo .
Zakon raspodjele kvadrata X 2 :
|
X 2 |
|||
Potrebna varijansa: .
Disperzija karakteriše stepen odstupanja (rasipanja) slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Zadatak 8. Neka je slučajna varijabla data distribucijom:
|
10m |
|||
Pronađite njegove numeričke karakteristike.
Rješenje: m, m 2 ,
M 2 , m.
Za slučajnu varijablu X, može se reći bilo šta - njeno matematičko očekivanje je 6,4 m sa varijansom od 13,04 m 2 , ili - njegovo matematičko očekivanje je 6,4 m sa devijacijom od m. Druga formulacija je očito jasnija.
Zadatak 9.
Slučajna vrijednost X dato funkcijom distribucije: 
.
Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, vrijednost X poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu 
.
Rješenje. Vjerovatnoća da će X uzeti vrijednost iz datog intervala jednaka je prirastu integralne funkcije u ovom intervalu, tj. . U našem slučaju i , dakle
.
Zadatak 10. Diskretna slučajna varijabla X dato zakonom o distribuciji:
Pronađite funkciju distribucije F(x ) i izgradi njegov graf.
Rješenje. Budući da je funkcija distribucije
za 
, onda
at ;
at ;
at ;
at ;
Relevantan grafikon:
Zadatak 11. Kontinuirana slučajna varijabla X dato diferencijalnom funkcijom distribucije: 
.
Pronađite vjerovatnoću udaranja X u interval
Rješenje. Imajte na umu da je ovo poseban slučaj zakona eksponencijalne raspodjele.
Koristimo formulu: 
.
Zadatak 12. Pronađite numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable X date zakonom distribucije:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
je Laplaceova funkcija.Slučajna varijabla Naziva se veličina koja, kao rezultat ispitivanja sprovedenih pod istim uslovima, poprima različite, uopšteno govoreći, vrednosti, u zavisnosti od slučajnih faktora koji se ne uzimaju u obzir. Primjeri slučajnih varijabli: broj bodova ispuštenih na kocku, broj neispravnih predmeta u seriji, odstupanje tačke udara projektila od mete, vrijeme rada uređaja, itd. Razlikujte diskretno i kontinuirano slučajne varijable. Diskretno Poziva se slučajna varijabla čije se moguće vrijednosti formiraju prebrojiv skup, konačan ili beskonačan (tj. skup čiji se elementi mogu numerisati).
kontinuirano Poziva se slučajna varijabla čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju neki konačni ili beskonačni interval numeričke ose. Broj vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je uvijek beskonačan.
Slučajne varijable će biti označene velikim slovima na kraju latinice: X, Y, . ; vrijednosti slučajne varijable - malim slovima: X, y. . Na ovaj način, X Označava cijeli skup mogućih vrijednosti slučajne varijable, i X - Neko specifično značenje.
zakon o distribuciji Diskretna slučajna varijabla je korespondencija data u bilo kojem obliku između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća.
Neka su moguće vrijednosti slučajne varijable X Are . Kao rezultat testa, slučajna varijabla će uzeti jednu od ovih vrijednosti, tj. Dogodit će se jedan događaj iz kompletne grupe parno nekompatibilnih događaja.
Neka budu poznate i vjerovatnoće ovih događaja:
Zakon distribucije slučajne varijable X Može se napisati u obliku tabele tzv Blizu distribucije Diskretna slučajna varijabla:
slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla.
Očekivana vrijednost
Drugi dio na teorija vjerovatnoće posvećeno slučajne varijable , koji nas je nevidljivo pratio bukvalno u svakom tekstu na tu temu. I došlo je vrijeme da jasno artikulišemo šta je to:
Slučajno pozvao vrijednost, koji će kao rezultat testa polagati jedan i jedini numerička vrijednost koja ovisi o slučajnim faktorima i nije unaprijed predvidljiva.
Slučajne varijable su obično odrediti kroz * , i njihove vrijednosti odgovarajućim malim slovima sa indeksima, na primjer, .
* Ponekad se koriste i grčka slova
Naišli smo na primjer na prva lekcija iz teorije verovatnoće, gdje smo zapravo razmatrali sljedeću slučajnu varijablu:
- broj bodova koji će ispasti nakon bacanja kocke.
Ovaj test će rezultirati jedan i jedini linija, koja nije predvidljiva (trikovi se ne uzimaju u obzir); u ovom slučaju, slučajna varijabla može uzeti jednu od sljedećih vrijednosti:
- broj dječaka među 10 novorođenčadi.
Sasvim je jasno da se taj broj ne zna unaprijed, a u narednih deset rođene djece može biti:
Ili momci - jedan i jedini od navedenih opcija.
I, kako biste ostali u formi, malo fizičkog vaspitanja:
- daljina skoka u dalj (u nekim jedinicama).
Ni majstor sporta to nije u stanju da predvidi 🙂
Međutim, koje su vaše hipoteze?
Čim skup realnih brojeva beskonačno, onda slučajna varijabla može uzeti beskonačno mnogo vrijednosti iz nekog intervala. I to je njegova fundamentalna razlika u odnosu na prethodne primjere.
Na ovaj način, preporučljivo je podijeliti slučajne varijable u 2 velike grupe:
1) Diskretno (isprekidano) slučajna varijabla - uzima odvojeno uzete, izolovane vrijednosti. Broj ovih vrijednosti svakako ili beskonačno ali prebrojivo.
... nacrtani su nerazumljivi pojmovi? Hitno ponovi osnove algebre!
2) Kontinuirana slučajna varijabla - uzima sve numeričke vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog raspona.
Bilješka : skraćenice DSV i NSV su popularne u obrazovnoj literaturi
Prvo, analizirajmo diskretnu slučajnu varijablu, a zatim - kontinuirano.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
- ovo je udobnost između mogućih vrijednosti ove veličine i njihovih vjerovatnoća. Zakon je najčešće zapisan u tabeli:
Termin je prilično uobičajen red
distribucija, ali u nekim situacijama zvuči dvosmisleno i zato ću se pridržavati "zakona".
I sada veoma važna tačka: od slučajne varijable obaveznoće prihvatiti jedna od vrednosti, zatim se formiraju odgovarajući događaji puna grupa a zbir vjerovatnoća njihovog pojavljivanja jednak je jedan:
ili, ako je napisano presavijeno:
Tako, na primjer, zakon raspodjele vjerovatnoća bodova na kocki ima sljedeći oblik:
Možda ste pod utiskom da diskretna slučajna varijabla može poprimiti samo "dobre" cjelobrojne vrijednosti. Razbijmo iluziju - mogu biti bilo šta:
Neke igre imaju sljedeći zakon o raspodjeli isplata:
...vjerovatno dugo sanjate o takvim zadacima 🙂 Reći ću vam jednu tajnu - i ja. Pogotovo nakon završetka radova teorija polja.
Rješenje: budući da slučajna varijabla može uzeti samo jednu od tri vrijednosti, formiraju se odgovarajući događaji puna grupa, što znači da je zbir njihovih vjerovatnoća jednak jedan:
Izlažemo "partizan":
– dakle, vjerovatnoća osvajanja konvencionalnih jedinica je 0,4.
Kontrola: šta treba da budete sigurni.
Odgovori:
Nije neuobičajeno kada zakon o raspodjeli treba samostalno sastaviti. Za ovu upotrebu klasična definicija vjerovatnoće, teoreme množenja/sabiranja za vjerovatnoće događaja i drugi čips tervera:
U kutiji se nalazi 50 lutrijskih listića, od kojih je 12 dobitnih, a 2 od njih osvajaju po 1000 rubalja, a ostale - po 100 rubalja. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable - veličinu dobitka, ako se iz kutije nasumično izvuče jedan listić.
Rješenje: kao što ste primijetili, uobičajeno je da se vrijednosti slučajne varijable stavljaju u rastući red. Stoga počinjemo s najmanjim dobicima, odnosno rubljama.
Ukupno ima 50 - 12 = 38 takvih karata, a prema klasična definicija:
je vjerovatnoća da slučajno izvučeni listić neće pobijediti.
Ostali slučajevi su jednostavni. Vjerovatnoća osvajanja rublja je:
I za:
Provjera: - a ovo je posebno prijatan trenutak ovakvih zadataka!
Odgovori: zakon o potrebnoj raspodjeli isplata:
Sljedeći zadatak za samostalnu odluku:
Vjerovatnoća da će strijelac pogoditi metu je . Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu - broj pogodaka nakon 2 hica.
... Znala sam da ti nedostaje 🙂 Sjećamo se teoreme množenja i sabiranja. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.
Zakon distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu, ali u praksi je korisno (a ponekad i korisnije) znati samo dio nje. numeričke karakteristike .
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable
Jednostavno rečeno, ovo prosječna očekivana vrijednost sa ponovljenim testiranjem. Neka slučajna varijabla uzima vrijednosti sa vjerovatnoćama, respektivno. Tada je matematičko očekivanje ove slučajne varijable jednako zbir radova sve njegove vrijednosti prema odgovarajućim vjerovatnoćama:
ili u presavijenom obliku:
Izračunajmo, na primjer, matematičko očekivanje slučajne varijable - broj bodova ispuštenih na kocki:
Koje je vjerovatno značenje dobijenog rezultata? Ako bacite kockicu dovoljno puta, onda znači pali bodovi će biti blizu 3,5 - i što više testova uradite, to je bliže. Zapravo, o ovom efektu sam već govorio detaljno u lekciji o statistička vjerovatnoća.
Sada se prisjetimo naše hipotetičke igre:
Postavlja se pitanje: da li je uopće isplativo igrati ovu igru? ...ko ima kakve utiske? Dakle, ne možete reći "nasumično"! Ali na ovo pitanje se lako može odgovoriti izračunavanjem matematičkog očekivanja, u suštini - prosjećna težina vjerovatnoce pobjede:
Dakle, matematičko očekivanje ove igre gubljenje.
Ne vjerujte utiscima - vjerujte brojevima!
Da, ovdje možete pobijediti 10 ili čak 20-30 puta uzastopno, ali dugoročno ćemo neminovno biti uništeni. I ne bih vam savjetovao da igrate takve igrice 🙂 Pa, možda samo za zabavu.
Iz svega navedenog proizilazi da matematičko očekivanje NIJE SLUČAJNA vrijednost.
Kreativni zadatak za samostalno istraživanje:
G. X igra evropski rulet po sledećem sistemu: stalno kladi 100 rubalja na crveno. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable - njenu isplatu. Izračunajte matematičko očekivanje dobitaka i zaokružite ga na kopejke. Kako prosjek gubi li igrač za svakih sto opklada?
Referenca : Evropski rulet sadrži 18 crvenih, 18 crnih i 1 zeleni sektor ("nula"). U slučaju ispadanja "crvenog" igraču se plaća dupla opklada, u suprotnom ide u prihod kasina
Postoje mnogi drugi sistemi ruleta za koje možete kreirati sopstvene tabele verovatnoće. Ali to je slučaj kada nam nisu potrebni nikakvi zakoni distribucije i tabele, jer je sigurno utvrđeno da će matematička očekivanja igrača biti potpuno ista. Samo promjene od sistema do sistema disperzija, o čemu ćemo učiti u drugom dijelu lekcije.
Ali prije toga, bit će korisno ispružiti prste na tipkama kalkulatora:
Slučajna varijabla je data vlastitim zakonom raspodjele vjerovatnoće:
Pronađite da li je poznato da . Provjeri.
Zatim prelazimo na studiju disperzija diskretne slučajne varijable i ako je moguće, UPRAVO SADA!!- da ne izgubim nit teme.
Rješenja i odgovori:
Primjer 3 Rješenje: po uslovu - vjerovatnoća pogađanja mete. onda:
je vjerovatnoća promašaja.
Napravimo - zakon raspodjele pogodaka na dva udarca:
- ni jedan pogodak. By teorema množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
- jedan pogodak. By teoreme sabiranja vjerovatnoća nespojivih i množenja nezavisnih događaja:
- dva pogotka. Prema teoremi množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:
Provjerite: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1
Odgovori :
Bilješka : bilo je moguće koristiti oznake - to nije važno.
Primjer 4 Rješenje: igrač osvaja 100 rubalja u 18 slučajeva od 37, te stoga zakon raspodjele njegovog dobitka ima sljedeći oblik:
Izračunajmo matematičko očekivanje:
Dakle, na svakih sto okladenih igrača, igrač u prosjeku gubi 2,7 rubalja.
Primjer 5 Rješenje: po definiciji matematičkog očekivanja:
Zamenimo delove i napravimo pojednostavljenja:
ovako:
hajde da proverimo:
, što je trebalo provjeriti.
Odgovori :
(Idi na glavnu stranicu)
Kvalitetan rad bez plagijata - Zaochnik.com
www.mathprofi.ru
Diskretne slučajne varijable
Slučajna varijabla naziva se varijabla koja, kao rezultat svakog testa, poprima jednu prethodno nepoznatu vrijednost, ovisno o slučajnim uzrocima. Slučajne varijable su označene velikim latiničnim slovima: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Po svom tipu, slučajne varijable mogu biti diskretno i kontinuirano.
Diskretna slučajna varijabla- ovo je takva slučajna varijabla, čije vrijednosti mogu biti samo prebrojive, odnosno konačne ili prebrojive. Prebrojivost znači da se vrijednosti slučajne varijable mogu nabrojati.
Primjer 1 . Navedimo primjere diskretnih slučajnih varijabli:
a) broj pogodaka u metu sa $n$ hitaca, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) broj grbova koji su ispali pri bacanju novčića, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) broj brodova koji su stigli na brod (prebrojiv skup vrijednosti).
d) broj poziva koji pristižu na centralu (prebrojiv skup vrijednosti).
1. Zakon distribucije vjerovatnoće diskretne slučajne varijable.
Diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ sa vjerovatnoćama $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Korespondencija između ovih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća naziva se zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Po pravilu, ova korespondencija se navodi pomoću tabele, u čijem su prvom redu navedene vrijednosti $x_1,\dots,\ x_n$, a u drugom redu vjerovatnoće koje odgovaraju ovim vrijednostima su $ p_1,\dots ,\ p_n$.
$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$
Primjer 2 . Neka slučajna varijabla $X$ bude broj bačenih poena kada se baci kocka. Takva slučajna varijabla $X$ može imati sljedeće vrijednosti $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Vjerovatnoće svih ovih vrijednosti su jednake $1/6$. Zatim zakon raspodjele vjerovatnoće za slučajnu varijablu $X$:
$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
Komentar. Pošto događaji $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ čine kompletnu grupu događaja u zakonu distribucije diskretne slučajne varijable $X$, zbir vjerovatnoća mora biti jednak jedan, tj. $\sum
2. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.
Matematičko očekivanje slučajne varijable specificira njegovu "centralnu" vrijednost. Za diskretnu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje se izračunava kao zbir proizvoda vrijednosti $x_1,\dots,\ x_n$ i vjerovatnoća $p_1,\dots,\ p_n$ koje odgovaraju ovim vrijednostima, tj.: $M\levo(X\desno)=\suma ^n_
Expectation Properties$M\lijevo(X\desno)$:
- $M\left(X\right)$ je između najmanje i najveće vrijednosti slučajne varijable $X$.
- Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti, tj. $M\lijevo(C\desno)=C$.
- Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Primjer 3 . Nađimo matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.
Možemo primijetiti da se $M\left(X\right)$ nalazi između najmanje ($1$) i najveće ($6$) vrijednosti slučajne varijable $X$.
Primjer 4 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=2$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $3X+5$.
Koristeći gornja svojstva, dobijamo $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
Primjer 5 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=4$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $2X-9$.
Koristeći gornja svojstva, dobijamo $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Disperzija diskretne slučajne varijable.
Moguće vrijednosti slučajnih varijabli s jednakim matematičkim očekivanjima mogu se različito raspršiti oko svojih prosječnih vrijednosti. Na primjer, u dvije grupe studenata prosječna ocjena na ispitu iz teorije vjerovatnoće je bila 4, ali u jednoj grupi su se svi pokazali kao dobri učenici, au drugoj samo studenti C i odlični učenici. Stoga postoji potreba za takvom numeričkom karakteristikom slučajne varijable koja bi pokazala širenje vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Ova karakteristika je disperzija.
Disperzija diskretne slučajne varijable$X$ je:
U engleskoj literaturi koristi se oznaka $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Vrlo često se varijansa $D\left(X\right)$ izračunava po formuli $D\left(X\right)=\sum^n_
Svojstva disperzije$D\lijevo(X\desno)$:
- Disperzija je uvijek veća ili jednaka nuli, tj. $D\levo(X\desno)\ge 0$.
- Disperzija iz konstante je jednaka nuli, tj. $D\lijevo(C\desno)=0$.
- Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije, pod uslovom da je kvadriran, tj. $D\left(CX\desno)=C^2D\left(X\right)$.
- Varijanca zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi, tj. $D\lijevo(X+Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
- Varijanca razlike nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi, tj. $D\lijevo(X-Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
Primjer 6 . Izračunajmo varijansu slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.
Primjer 7 . Poznato je da je varijansa slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=2$. Pronađite varijansu slučajne varijable $4X+1$.
Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ lijevo(X\desno)=16\cdot 2=32$.
Primjer 8 . Poznato je da je varijansa $X$ jednaka $D\left(X\right)=3$. Pronađite varijansu slučajne varijable $3-2X$.
Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ lijevo(X\desno)=4\cdot 3=12$.
4. Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable.
Metoda predstavljanja diskretne slučajne varijable u obliku distributivnog niza nije jedina, i što je najvažnije, nije univerzalna, jer se kontinuirana slučajna varijabla ne može specificirati pomoću distributivnog niza. Postoji još jedan način predstavljanja slučajne varijable - funkcija distribucije.
funkcija distribucije slučajna varijabla $X$ je funkcija $F\left(x\right)$, koja određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla $X$ poprimi vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti $x$, tj. $F\left(x\ desno)$ )=P\levo(X 6$, zatim $F\levo(x\desno)=P\levo(X=1\desno)+P\levo(X=2\desno)+P\levo( X=3 \desno)+P\levo(X=4\desno)+P\levo(X=5\desno)+P\levo(X=6\desno)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.
Grafikon funkcije distribucije $F\left(x\right)$:
Osnovni zakoni distribucije
1. Zakon binomne distribucije.
Zakon binomne distribucije opisuje vjerovatnoću pojave događaja A m puta u n nezavisnih pokušaja, pod uslovom da je vjerovatnoća p pojave događaja A u svakom pokušaju konstantna.
Na primjer, odjel prodaje željezare primi u prosjeku jednu narudžbu za kupovinu televizora u 10 poziva. Napišite zakon raspodjele vjerovatnoće za kupovinu m televizora. Konstruirajte poligon distribucije vjerovatnoće.
U tabeli, m je broj narudžbi koje je kompanija primila za kupovinu TV prijemnika. C n m je broj kombinacija m TV-a po n, p je vjerovatnoća pojave događaja A, tj. naručivanja TV-a, q je vjerovatnoća da se događaj A neće dogoditi, tj. ne naručiti TV, P m,n je vjerovatnoća naručivanja m televizora od n. Slika 1 prikazuje poligon distribucije vjerovatnoće.
2.Geometrijska raspodjela.
Geometrijska distribucija slučajne varijable ima sljedeći oblik:
P m je vjerovatnoća pojave događaja A u probnom broju m.
p je vjerovatnoća pojave događaja A u jednom ispitivanju.
q = 1 - str
Primjer. Kompanija za popravku kućnih aparata dobila je seriju od 10 zamjenskih jedinica za mašine za pranje rublja. Postoje slučajevi kada serija sadrži 1 neispravan blok. Provjera se vrši dok se ne pronađe neispravan blok. Potrebno je izraditi zakon raspodjele za broj provjerenih blokova. Vjerovatnoća da blok može biti neispravan je 0,1. Konstruirajte poligon distribucije vjerovatnoće.
Iz tabele se može vidjeti da se povećanjem broja m smanjuje vjerovatnoća da će se neispravan blok otkriti. Poslednji red (m=10) kombinuje dve verovatnoće: 1 - da se deseti blok pokazao neispravnim - 0,038742049, 2 - da su svi provereni blokovi ispravni - 0,34867844. Budući da je vjerovatnoća neuspjeha bloka relativno mala (p=0,1), vjerovatnoća posljednjeg događaja P m (10 testiranih blokova) je relativno visoka. Fig.2.
3. Hipergeometrijska raspodjela.
Hipergeometrijska distribucija slučajne varijable ima sljedeći oblik:
Na primjer, da se napravi zakon raspodjele 7 pogodnih brojeva od 49. U ovom primjeru uklonjeni su ukupni brojevi N=49, n=7 brojeva, M je ukupni brojevi koji imaju dato svojstvo, tj. ispravno pogodenih brojeva, m je broj ispravno pogodenih brojeva među povučenim brojevima.
Tabela pokazuje da je vjerovatnoća pogađanja jednog broja m=1 veća nego kada je m=0. Međutim, tada vjerovatnoća počinje naglo opadati. Dakle, vjerovatnoća pogađanja 4 broja je već manja od 0,005, a 5 je zanemarljiva.
4. Poissonov zakon distribucije.
Slučajna varijabla X ima Poissonovu distribuciju ako njen zakon raspodjele ima oblik:
Np = konst
n je broj pokušaja koji teži beskonačnosti
p je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi, koja teži nuli
m je broj pojavljivanja događaja A
Na primjer, u prosjeku, jedna TV kuća dnevno primi oko 100 poziva. Vjerovatnoća naručivanja televizora marke A je 0,08; B - 0,06 i C - 0,04. Napraviti zakon raspodjele narudžbi za kupovinu TV aparata marki A, B i C. Konstruirati poligon raspodjele vjerovatnoće.
Iz uslova imamo: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 =4 (?10)
(tabela nije kompletna)
Ako je n dovoljno veliko da ide u beskonačnost, a vrijednost p ide na nulu, tako da proizvod np ide na konstantan broj, onda je ovaj zakon aproksimacija binomnom zakonu raspodjele. Iz grafikona se vidi da što je veća vjerovatnoća p, to je kriva bliža m osi, tj. nežnije. (Sl.4)
Treba napomenuti da binomski, geometrijski, hipergeometrijski i Poissonovi zakoni distribucije izražavaju distribuciju vjerovatnoće diskretne slučajne varijable.
5. Jedinstveni zakon o raspodjeli.
Ako je gustina vjerovatnoće? (x) konstantna vrijednost na određenom intervalu, tada se zakon raspodjele naziva uniformnim. Na slici 5 prikazani su grafovi funkcije raspodjele vjerovatnoće i gustine vjerovatnoće uniformnog zakona raspodjele.
6. Zakon normalne raspodjele (Gaussov zakon).
Među zakonima raspodjele kontinuiranih slučajnih varijabli, najčešći je zakon normalne distribucije. Slučajna varijabla se distribuira u skladu sa zakonom normalne distribucije ako njena gustina vjerovatnoće ima oblik:
gdje
a je matematičko očekivanje slučajne varijable
? - standardna devijacija
Grafikon gustine vjerovatnoće slučajne varijable sa zakonom normalne raspodjele je simetričan u odnosu na pravu liniju x=a, tj. x jednako matematičkom očekivanju. Dakle, ako je x=a, tada kriva ima maksimum jednak:
Kada se vrijednost matematičkog očekivanja promijeni, kriva će se pomjeriti duž ose Ox. Grafikon (slika 6) pokazuje da pri x=3 kriva ima maksimum, jer matematičko očekivanje je 3. Ako matematičko očekivanje ima drugačiju vrijednost, na primjer, a=6, tada će kriva imati maksimum na x=6. Govoreći o standardnoj devijaciji, kao što možete vidjeti iz grafikona, što je veća standardna devijacija, to je manja maksimalna vrijednost gustine vjerovatnoće slučajne varijable.
Funkcija koja izražava distribuciju slučajne varijable na intervalu (-?, x) i koja ima normalan zakon raspodjele, izražava se kroz Laplaceovu funkciju prema sljedećoj formuli:
One. vjerovatnoća slučajne varijable X sastoji se od dva dijela: vjerovatnoće gdje x uzima vrijednosti od minus beskonačnosti do a, jednake 0,5, a drugi dio je od a do x. (Sl.7)
Učimo zajedno
Korisni materijali za studente, diplomski i seminarski radovi po narudžbi
Lekcija: zakon raspodjele diskretne slučajne varijable
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je korespondencija između mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća. Može se specificirati tabelarno, grafički i analitički.
O tome šta je slučajna varijabla raspravlja se u ovoj lekciji.
Kod tabelarnog načina postavljanja, prvi red tabele sadrži moguće vrijednosti, a drugi njihove vjerovatnoće, tj.
Ova količina se naziva serija distribucije. diskretna slučajna varijabla.
X=x1, X=x2, X=xn čine kompletnu grupu, jer će u jednom pokušaju slučajna varijabla uzeti jednu i samo jednu moguću vrijednost. Stoga je zbir njihovih vjerovatnoća jednak jedan, odnosno p1 + p2 + pn = 1 ili
Ako je skup vrijednosti X beskonačan, onda 
Primjer 1. U gotovinskoj lutriji je izdato 100 tiketa. Igra se jedna pobeda od 1000 rubalja i 10 od 100 rubalja. Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable X - cijenu mogućeg dobitka za vlasnika jedne srećke.
Željeni zakon raspodjele ima oblik:
Kontrola; 0,01+0,1+0,89=1.
Grafičkom metodom postavljanja zakona raspodjele tačke se grade na koordinatnoj ravni (Xi:Pi), a zatim se spajaju pravim segmentima. Rezultirajuća izlomljena linija se zove distributivni poligon. Na primjer 1, poligon distribucije prikazan je na slici 1.
U analitičkoj metodi postavljanja zakona distribucije, naznačena je formula koja povezuje vjerovatnoće slučajne varijable sa njenim mogućim vrijednostima.
Primjeri diskretnih distribucija
Binomna distribucija
Neka se napravi n pokušaja, u svakom od kojih se događaj A događa sa konstantnom vjerovatnoćom p, dakle, ne događa se sa konstantnom vjerovatnoćom q = 1- str. Uzmite u obzir slučajnu varijablu X- broj pojavljivanja događaja A u ovih n ispitivanja. Moguće vrijednosti X su x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Vjerovatnoća ovih mogućih
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable naziva se Windows XP Word 2003 Excel 2003 Zakoni distribucije diskretnih slučajnih varijabli Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je svaki odnos koji uspostavlja odnos između mogućih vrijednosti slučajne varijable i […]