66.1. Relacija (65.11), koja određuje gustinu verovatnoće transformisane varijable kroz gustinu originalne slučajne varijable, može se generalizovati na slučaj transformacije slučajne varijable. Neka slučajne varijable imaju zajedničku gustoću, a funkcije i varijable su date. Potrebno je pronaći zajedničku gustinu vjerovatnoće slučajnih varijabli:

Ovaj problem se razlikuje od opšte tvrdnje, tačka 6.4., uslovom da je broj početnih slučajnih varijabli jednak broju transformisanih varijabli. Transformacija inverzna (66.1) nalazi se kao rješenje sistema jednačina u odnosu na varijable. Svaki od njih zavisi. Skup takvih funkcija formira inverznu transformaciju. U opštem slučaju, inverzna transformacija je dvosmislena. Neka - - I grana inverzne transformacije, tada je relacija tačna:

gdje je zbir uzet za sve grane inverzne transformacije,

Jakobijanska transformacija iz slučajnih varijabli u slučajne varijable.

Ako se slučajne varijable dobiju iz svakog skupa slučajnih varijabli, tada se formula (66.2) može koristiti dopunom sistema slučajnim varijablama, na primjer, sa takvim varijablama. Ako su, međutim, slučajne varijable iz skupa funkcionalno povezane sa ostalim veličinama, dakle - dimenzionalna gustoća će sadržavati delta funkcije.

Relacije (64.4), (64.6) i (66.2) definiraju dvije metode za rješavanje problema izračunavanja gustine skupa slučajnih varijabli dobijenih funkcionalnom transformacijom originalnih slučajnih varijabli sa zajedničkom gustinom vjerovatnoće. Glavna poteškoća u primjeni prve metode je izračunavanje -dimenzionalnog integrala nad kompleksnom domenom. U drugoj metodi, glavna poteškoća je pronalaženje svih grana inverzne transformacije.

66.2. Razmotrimo jednostavan primjer izračunavanja gustoće vjerovatnoće sume dvije slučajne varijable i sa gustinom prema formuli (66.2). Očigledno, kao prvu konvertovanu vrijednost treba odabrati zbir: , a kao drugu (iako možete uzeti i). Dakle, funkcionalna transformacija od, do, data je sistemom jednačina:

Inverzna transformacija je rješenje sistema jednačina u odnosu na, :

Inverzna transformacija je jedinstvena, pa se u (66.2) zbir sastoji od jednog člana. Pronađite Jakobijan transformacije:

Sada (66.2) for poprima oblik:

Funkcija je zajednička gustoća vjerovatnoće slučajnih varijabli i. Odavde se gustina vjerovatnoće sume nalazi iz uslova konzistentnosti:

Razmotrimo prvu metodu za rješavanje istog problema. Iz (64.4) slijedi:

Problem se svodi na transformaciju integrala preko područja definisanog uslovom. Ovaj integral se može predstaviti kao:

Otuda i gustina vjerovatnoće:

Otuda i gustina vjerovatnoće:

što se poklapa sa formulom (66.7).

Hi - kvadrat distribucije vjerovatnoće

67.1. Hi-kvadrat distribucija sa stepenima slobode naziva se distribucija verovatnoće slučajne varijable, gde su nezavisne slučajne varijable i sve su Gausove sa matematičkim očekivanjem i varijansom. U skladu sa formulom (64.3), funkcija raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable je jednaka

gdje je zajednička gustina vjerovatnoće veličina. Po uslovu su nezavisni, pa je jednak proizvodu jednodimenzionalnih gustina:

Iz (67.1), (67.2) slijedi da je gustina vjerovatnoće slučajne varijable određena izrazom:

Analiza ovog izraza je, po svemu sudeći, najjednostavniji način pronalaženja, jer se ovdje i (67.3) mogu predstaviti kao:

Ovdje je integral jednak volumenu područja - dimenzionalnog prostora zatvorenog između dvije hipersfere: - radijusa i - poluprečnika. Pošto je zapremina hipersfere poluprečnika proporcionalna, tj. , onda

Zapremina između dvije hipersfere poluprečnika i, koja određuje integral (67.4) do faktora. Zatim zamijenite (67.5) u (67.4).

gdje je konstanta koja se može odrediti iz uslova normalizacije:

Zatim zamijenite (67.6) u (67.7).

Neka je onda integral (67.8)

gdje je - gama funkcija argumenta. Iz (67.8) i (67.9) određuje se konstanta čijom zamjenom u (67.6) dolazi do rezultata

67.2. Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable. Od (67.11)

Slično, srednja kvadratna vrijednost je

Iz (67.12), (67.13) disperzija

67.3. U problemima matematičke statistike, distribucije vjerovatnoće povezane sa normalnom distribucijom su od velike važnosti. Prije svega, to su - distribucija (Pearsonova distribucija), - distribucija (Studentova distribucija) i - distribucija (Fisherova distribucija). Distribucija je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable

gdje su nezavisni i sve.

Studentova distribucija (ili - distribucija) je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable

gdje su i nezavisne slučajne varijable, i.

Fisherova raspodjela (-distribucija) sa stupnjevima slobode je raspodjela vjerovatnoće slučajne varijable

Hi - kvadrat raspodjela i Maxwellova raspodjela brzina

Maksvelova raspodela po brzinama molekula gasa je gustina raspodele verovatnoće modula brzine i određena je relacijom

gdje je broj molekula plina, broj molekula čiji modul brzine leži u intervalu, plinska konstanta, apsolutna temperatura plina. Omjer je vjerovatnoća da modul brzine molekula leži u intervalu, zatim je gustina vjerovatnoće modula brzine.

Distribucija (68.1) se može dobiti na osnovu sljedeće dvije jednostavne vjerovatnoće koje definiraju model idealnog plina. jedan). Projekcije brzine na osovinama Kartezijanski sistem koordinate su nezavisne slučajne varijable. 2). Svaka projekcija brzine je Gausova slučajna varijabla sa nultom srednjom vrijednosti i varijansom. Parametar se postavlja na osnovu eksperimentalnih podataka.

Hajde da definišemo gustinu verovatnoće slučajne varijable

Očigledno ima hi-kvadrat distribuciju sa tri stepena slobode. Stoga je njegova gustina vjerovatnoće određena formulom (67.11) za:

ukoliko. Dakle, (68.3) je gustina vjerovatnoće kvadrata relativne brzine.

Sljedeći korak je promjena sa distribucije kvadrata brzine na distribuciju njegovog modula, . Funkcionalna transformacija ima oblik: , i inverzna, za, . Dakle, inverzna transformacija je jednoznačna. Stoga, prema (65.1), gustina raspodjele modula ima oblik

Poslednji korak je prelazak sa slučajne varijable na novu slučajnu promenljivu

Inverzna transformacija je jednoznačna, stoga, gustina vjerovatnoće slučajne varijable, prema (65.1), poprima oblik

što se poklapa sa formulom (68.1).

Relacija (68.5), koja određuje odnos između relativne i apsolutne brzine u, proizilazi iz treće pozicije modela idealnog gasa, koji je čisto fizičko stanje, za razliku od prva dva probabilistička uslova. Treći uslov se može formulisati kao tvrdnja o vrednosti prosečne kinetičke energije jednog molekula u obliku jednakosti

gdje je Boltzmannova konstanta i predstavlja, u stvari, eksperimentalnu činjenicu. Neka je gdje je konstanta, koja je dalje određena uslovom (68.7). Da bismo pronašli, iz (68.4) određujemo srednji kvadrat relativne brzine:

Zatim prosjek kinetička energija molekula, gdje je masa molekula, a uzimajući u obzir (68.7) , ili.

Zadatak uspostavljanja zakona raspodjele funkcije slučajnih varijabli prema datom zakonu raspodjele argumenata je glavni. Opća shema rezoniranja ovdje je sljedeća. Neka je zakon raspodjele. Tada očito imamo gdje je puna inverzna slika poluintervala, tj. skup onih vrijednosti vektora £ iz CG za koji. Posljednja vjerovatnoća se može lako pronaći, jer je poznat zakon raspodjele slučajnih varijabli ξ. Slično, u principu, zakon raspodjele i vektorska funkcija slučajni argumenti. Složenost implementacije kola zavisi samo od specifičnog tipa funkcije (p) i zakona distribucije argumenata Ovo poglavlje je posvećeno implementaciji kola u specifičnim situacijama koje su važne za aplikacije. § 1. Funkcije jedne varijable Neka je £ slučajna varijabla čiji je zakon distribucije zadan funkcijom distribucije F( (x), rj = Ako je F4(y) funkcija distribucije slučajne varijable rj, onda gornja razmatranja daju FUNKCIJE SLUČAJNIH Varijabli gdje y) označava punu inverznu sliku poluprave (-oo, y). Relacija (I) je očigledna posljedica (*) i za slučaj koji razmatramo ilustrovana je na slici 1. Monotonska transformacija slučajnog varijabla Neka je (p(t) kontinuirano monotonska funkcija(za određenost - monotono nerastuća) i r) = - Za funkciju raspodjele Fn(y) dobijamo (ovdje - funkciju čije je inverzno postojanje osigurano monotonošću i kontinuitetom. Za monotono neopadajuću) slični proračuni daju Posebno , ako je - linearno, onda za a > 0 (slika 2) Linearne transformacije ne mijenjaju prirodu distribucije, već samo utiču na njene parametre. Linearna transformacija slučajna varijabla uniformna na [a, b] Neka Linearna transformacija normalne slučajne varijable Neka i općenito, ako je neka, na primjer, 0. Iz (4) zaključujemo da u posljednji integral stavljamo Ova zamjena daje važan identitet, koji je izvor mnogih zanimljivih aplikacija, može se dobiti iz relacije (3) sa lemom. Ako je slučajna varijabla sa kontinuirana funkcija distribucija F^(x), tada je slučajna varijabla r) = - uniformna na . Imamo - ne opada monotono i nalazi se unutar o Stoga, FUNKCIJE SLUČAJNIH PROMJENJIVIH Na intervalu, dobijamo da je dovoljno da možemo dobiti vrijednosti ujednačene na )