Teorema dokazana u § 89 važi za bilo koju tačku sistema. Stoga, ako uzmemo u obzir bilo koju tačku sistema sa masom koja ima brzinu, onda će to biti i za ovu tačku
gde su elementarni radovi spoljašnjeg i unutrašnje sile. Sastavljajući takve jednačine za svaku od tačaka sistema i zbrajajući ih član po član, nalazimo to
Jednakost (49) izražava teoremu o promjeni kinetičke energije sistema u diferencijalnom obliku. Integrirajući oba dijela ove jednakosti unutar granica koje odgovaraju kretanju sistema sa neke početne pozicije, gdje je kinetička energija jednaka poziciji gdje vrijednost kinetičke energije postaje jednaka , dobijamo
Ova jednačina izražava teoremu o promjeni kinetičke energije u drugačijem (integralnom) obliku: promjena kinetičke energije sistema sa nekim pomakom jednaka je zbiru rada na ovom pomaku svih vanjskih i unutrašnjih sila primijenjenih na sistem.
Za razliku od prethodnih teorema, unutrašnje sile u jednačinama (49) ili (50) nisu isključene. Zaista, ako - sile interakcije između tačaka sistema (Sl. 309), onda
Ali u isto vrijeme, tačka se može kretati prema, a tačka - prema k. Rad svake od sila će tada biti pozitivan i zbir rada neće biti nula. Na primjer, kada se ispali (vidi problem 127 u § 112), sile pritiska barutnih gasova, koje su unutrašnje za sistem projektila - kotrljajućih dijelova, vrše rad i daju brzinu tijelima sistema.
Razmotrimo dva važna specijalna slučaja.
1. Nepromjenjivi sistem. Mehanički sistem ćemo nazvati nepromjenjivim, u kojem rastojanje između svake dvije interakcijske tačke ostaje konstantno tokom kretanja.
Razmotrimo dvije tačke nepromjenjivog sistema glumački prijatelj na prijatelja sa snagama (vidi sliku 309). Zatim, pošto bi kretanje segmenta trebalo da bude (vidi § 55), tada i pošto su, respektivno, brzine i elementarna pomeranja tačaka. Kao rezultat, za zbir elementarnog rada ovih sila, dobijamo
Isto će se desiti i sa svim ostalim interakcionim tačkama sistema. Kao rezultat, dolazimo do zaključka da je u slučaju nepromjenjivog sistema zbir rada svih unutrašnjih sila jednak nuli i jednačine (49) ili (50) imaju oblik
2. Sistem sa idealnim priključcima. Razmotrimo sistem na koji su nametnuta ograničenja koja se ne mijenjaju s vremenom. Podijelimo sve vanjske i unutrašnje sile koje djeluju na tačke sistema na aktivne i reakcije veza. Tada se jednačina (49) može predstaviti kao
gdje je elementarni rad vanjskih i unutrašnjih aktivnih sila koje djeluju na tačku sistema, a elementarni rad reakcija nametnutih na istoj tački vanjskih i unutrašnjih veza.
Kao što vidite, promjena kinetičke energije sistema ovisi o radu i aktivnim silama i reakcijama veza. Međutim, moguće je uvesti koncept takvih "idealnih" mehaničkih sistema, u kojima prisustvo veza ne utiče na promenu kinetičke energije sistema tokom njegovog kretanja. Za takve veze, očigledno, uslov
Ako je za veze koje se ne mijenjaju s vremenom, zbir rada svih reakcija pri elementarnom pomjeranju sistema jednak nuli, onda su takve veze idealne.Označimo nekoliko vrsta idealnih veza koje su nam poznate.
U § 89 je utvrđeno da ako je veza fiksna površina (ili kriva), trenje na kojoj se može zanemariti, onda kada tijela klize duž takve površine (krive), rad reakcije N jednak je nuli. Zatim, u § 122, pokazano je da ako zanemarimo deformacije, onda kada se tijelo kotrlja bez klizanja po gruboj površini, rad normalne reakcije N i sile trenja (tj. tangencijalna komponenta reakcije) je jednak na nulu. Nadalje, rad reakcije R šarke (vidi slike 10 i 11), ako se zanemari trenje, također će biti jednak nuli, jer tačka primjene sile R ostaje nepokretna za vrijeme bilo kakvog kretanja sistema. Konačno, ako je na Sl. 309 smatrajte materijalne tačke povezane krutom (nerasteznom) šipkom, tada će sile biti reakcije štapa; rad svake od ovih reakcija pri pomeranju sistema nije jednak nuli, ali zbir tih radova, prema onome što je dokazano, daje nulu. Stoga se svi navedeni linkovi mogu smatrati idealnim, uzimajući u obzir napravljene rezervacije.
Za mehanički sistem, na kojem se nameću samo idealne veze koje se ne mijenjaju s vremenom
Dakle, promena kinetičke energije sistema sa idealnim vezama koje se ne menjaju tokom vremena ni pri jednom od njegovih pomeranja jednaka je zbiru rada na ovom pomeranju spoljašnjih i unutrašnjih aktivnih sila primenjenih na sistem.
Sve prethodne teoreme su omogućile da se unutrašnje sile isključe iz jednačina kretanja, ali su sve vanjske sile, uključujući i ranije nepoznate reakcije vanjskih ograničenja, sačuvane u jednačinama. Praktična vrijednost teoreme o promjeni kinetičke energije leži u činjenici da nam, sa idealnim ograničenjima koja se ne mijenjaju s vremenom, omogućava da iz jednačina kretanja isključimo sve ranije nepoznate reakcije ograničenja.
Pogledaj: ovaj članak je pročitan 49915 puta
Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski
Kratka recenzija
Kompletan materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika
Dva slučaja konverzije mehaničko kretanje materijalna tačka ili sistemi bodova:
- mehaničko kretanje se prenosi sa jednog mehaničkog sistema na drugi kao mehaničko kretanje;
- mehaničko kretanje se pretvara u drugi oblik kretanja materije (u formu potencijalna energija, toplota, struja itd.).
Kada se razmatra transformacija mehaničkog kretanja bez njegovog prelaska u drugi oblik kretanja, mjera mehaničkog kretanja je vektor momenta materijalne tačke ili mehaničkog sistema. Mjera djelovanja sile u ovom slučaju je vektor momenta sile.
Kada se mehaničko kretanje transformiše u drugi oblik kretanja materije, kinetička energija materijalne tačke ili mehaničkog sistema deluje kao mera mehaničkog kretanja. Mjera djelovanja sile u transformaciji mehaničkog kretanja u drugi oblik kretanja je rad sile
Kinetička energija
Kinetička energija je sposobnost tijela da savlada prepreke dok se kreće.
Kinetička energija materijalne tačke
Kinetička energija materijalne tačke naziva se skalarna veličina, koja je jednaka polovini proizvoda mase tačke i kvadrata njene brzine.
Kinetička energija:
- karakterizira translacijske i rotacijske pokrete;
- ne zavisi od smera kretanja tačaka sistema i ne karakteriše promene u ovim smerovima;
- karakterizira djelovanje i unutrašnjih i vanjskih sila.
Kinetička energija mehaničkog sistema
Kinetička energija sistema jednaka je zbiru kinetičkih energija tela sistema. Kinetička energija zavisi od vrste kretanja tela sistema.
Određivanje kinetičke energije čvrstog tijela pri različite vrste pokreti kretanja.
Kinetička energija translatornog kretanja
U translatornom kretanju, kinetička energija tijela je jednaka T=m V2/2.
Mjera inercije tijela u translatornom kretanju je masa.
Kinetička energija rotacionog kretanja tijela
Prilikom rotacionog kretanja tijela, kinetička energija jednaka je polovini umnoška momenta inercije tijela oko ose rotacije i kvadrata njegove ugaone brzine.
Mjera inercije tijela tokom rotacionog kretanja je moment inercije.
Kinetička energija tijela ne ovisi o smjeru rotacije tijela.
Kinetička energija ravnoparalelnog kretanja tijela
Kod ravnoparalelnog kretanja tijela kinetička energija je jednaka
Prisilni rad
Rad sile karakterizira djelovanje sile na tijelo pri nekom pomaku i određuje promjenu modula brzine pokretne tačke.
Elementarni rad sile
Elementarni rad sile definira se kao skalarna vrijednost jednaka umnošku projekcije sile na tangentu na putanju, usmjerenu u smjeru kretanja tačke, i beskonačno malog pomaka tačke, usmjerene duž ove tangente .
Rad sile na konačnom pomaku
Rad sile na konačnom pomaku jednak je zbiru njenog rada na elementarnim presjecima.
Rad sile na konačnom pomaku M 1 M 0 jednak je integralu duž ovog pomaka od elementarni rad.
Rad sile na pomaku M 1 M 2 prikazan je površinom figure omeđene osom apscise, krivuljom i ordinatama koje odgovaraju tačkama M 1 i M 0.
Jedinica mjere za rad sile i kinetičke energije u SI sistemu je 1 (J).
Teoreme o radu sile
Teorema 1. Rad rezultantne sile na određenom pomaku jednak je algebarskom zbiru rada komponentnih sila na istom pomaku.
Teorema 2. Rad konstantne sile na rezultirajućem pomaku jednak je algebarskom zbiru rada ove sile na pomacima komponenti.
Snaga
Snaga je veličina koja određuje rad sile u jedinici vremena.
Jedinica za napajanje je 1W = 1 J/s.
Slučajevi utvrđivanja rada snaga
Rad unutrašnjih snaga
Zbir rada unutrašnjih sila krutog tijela na bilo koji njegov pomak jednak je nuli.
Rad gravitacije
Rad elastične sile
Rad sile trenja
Rad sila primijenjenih na tijelo koje se rotira
Elementarni rad sila primijenjenih na kruto tijelo koje rotira oko fiksne ose jednak je proizvodu glavnog momenta vanjskih sila oko ose rotacije i prirasta ugla rotacije.
otpor kotrljanja
U zoni kontakta između stacionarnog cilindra i ravnine dolazi do lokalne deformacije kontaktne kompresije, naponi su raspoređeni prema eliptičnom zakonu, a linija djelovanja rezultanta N ovih napona poklapa se s linijom djelovanja sile opterećenja na cilindar Q. Kada se cilindar kotrlja, raspodjela opterećenja postaje asimetrična s maksimumom pomjerenim prema kretanju. Rezultanta N je pomaknuta za vrijednost k - krak sile trenja kotrljanja, koja se naziva i koeficijent trenja kotrljanja i ima dimenziju dužine (cm)
Teorema o promjeni kinetičke energije materijalne tačke
Promjena kinetičke energije materijalne tačke pri nekom njenom pomaku jednaka je algebarskom zbiru svih sila koje djeluju na tačku pri istom pomaku.
Teorema o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema
Promjena kinetičke energije mehaničkog sistema pri određenom pomaku jednaka je algebarskom zbiru unutrašnjih i vanjskih sila koje djeluju na materijalne tačke sistema pri istom pomaku.
Teorema o promjeni kinetičke energije krutog tijela
Promjena kinetičke energije krutog tijela (promjenjivog sistema) pri određenom pomaku jednaka je zbiru vanjskih sila robota koje djeluju na tačke sistema pri istom pomaku.
efikasnost
Sile koje djeluju u mehanizmima
Sile i parovi sila (momenata) koji se primjenjuju na mehanizam ili mašinu mogu se podijeliti u grupe:
1. Pogonske sile i momenti koji vrše pozitivan rad (primijenjeni na pogonske karike, na primjer, pritisak plina na klip u motoru s unutrašnjim sagorijevanjem).
2. Sile i momenti otpora koji vrše negativan rad:
- korisni otpor (obavljaju rad koji je potreban od stroja i primjenjuju se na pogonske karike, na primjer, otpor tereta koji podiže mašina),
- sile otpora (na primjer, sile trenja, otpor zraka, itd.).
3. Sile gravitacije i elastične sile opruga (i pozitivan i negativan rad, dok je rad za puni ciklus nula).
4. Sile i momenti primijenjeni na tijelo ili stalak sa vanjske strane (reakcija temelja i sl.), a koji ne rade.
5. Sile interakcije između karika koje djeluju u kinematičkim parovima.
6. Sile inercije karika, zbog mase i kretanja karika sa ubrzanjem, mogu obavljati pozitivan, negativan rad, a ne raditi.
Rad sila u mehanizmima
U stacionarnom stanju mašine, njena kinetička energija se ne menja i zbir rada pokretačkih sila i sila otpora primenjenih na nju je nula.
Rad na pokretanju mašine troši se na savladavanje korisnih i štetnih otpora.
efikasnost mehanizma
Mehanička efikasnost u ravnomjernom kretanju jednaka je omjeru korisnog rada mašine i rada utrošenog na pokretanje mašine:
Elementi mašine mogu biti povezani serijski, paralelno i mešano.
Efikasnost u serijskoj vezi
Kada su mehanizmi povezani u seriju, ukupna efikasnost je manja od najniže efikasnosti pojedinačnog mehanizma.
Efikasnost u paralelnom povezivanju
Kada su mehanizmi povezani paralelno, ukupna efikasnost je veća od najmanje i manja od najveće efikasnosti posebnog mehanizma.
Format: pdf
Jezik: ruski, ukrajinski
Primjer proračuna cilindričnog zupčanika
Primjer proračuna cilindričnog zupčanika. Proveden je izbor materijala, proračun dopuštenih naprezanja, proračun kontaktne i savijajuće čvrstoće.
Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su nacrtani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen je opasan presjek i odabran I-greda. U zadatku je analizirana konstrukcija dijagrama koristeći diferencijalne zavisnosti, komparativna analiza različiti poprečni presjeci grede.
Primjer rješavanja problema torzije osovine
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine za dati promjer, materijal i dopuštena naprezanja. U toku rješavanja grade se dijagrami momenta, posmičnih napona i uglova uvijanja. Vlastita težina osovine se ne uzima u obzir
Primjer rješavanja problema zatezanja-kompresije štapa
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične šipke pri zadanim dopuštenim naprezanjima. Tokom rješavanja grade se dijagrami uzdužnih sila, normalnih napona i pomaka. Vlastita težina šipke se ne uzima u obzir
Primjena teoreme o očuvanju kinetičke energije
Primjer rješavanja problema primjene teoreme o očuvanju kinetičke energije mehaničkog sistema
Skalarna vrijednost T, jednaka zbiru kinetičkih energija svih tačaka sistema, naziva se kinetička energija sistema.
Kinetička energija je karakteristika translacionog i rotacionog kretanja sistema. Na njegovu promjenu utiče djelovanje vanjskih sila, a kako je skalarno, ne zavisi od smjera kretanja dijelova sistema.
Nađimo kinetičku energiju za različite slučajeve kretanja:
1.translatorno kretanje
Brzine svih tačaka sistema jednake su brzini centra mase. Onda
Kinetička energija sistema tokom translatornog kretanja jednaka je polovini proizvoda mase sistema i kvadrata brzine centra mase.
2. rotaciono kretanje(Sl. 77)
Brzina bilo koje tačke tijela: . Onda
ili koristeći formulu (15.3.1):
Kinetička energija tijela pri rotaciji jednaka je polovini umnoška momenta inercije tijela oko ose rotacije i kvadrata njegove ugaone brzine.
3. Ravnoparalelno kretanje
Uz dato kretanje, kinetička energija je zbir energije translacijskog i rotacijskog kretanja
Opći slučaj kretanja daje formulu sličnu prethodnoj za izračunavanje kinetičke energije.
Definiciju rada i snage dali smo u paragrafu 3 Poglavlja 14. Ovdje ćemo razmotriti primjere izračunavanja rada i snage sila koje djeluju na mehanički sistem.
1.Rad gravitacije. Neka su koordinate početnog i konačnog položaja tačke k tijela. Rad sile gravitacije koja djeluje na ovu česticu težine će biti 
. Tada je kompletan posao:
gde je P težina sistema materijalnih tačaka, vertikalno pomeranje centra gravitacije C.
2. Rad sila primijenjenih na tijelo koje se rotira.
Prema relaciji (14.3.1), možemo napisati , ali se ds prema slici 74, zbog beskonačne malenosti, može predstaviti kao 
- beskonačno mali ugao rotacije tela. Onda
Vrijednost 
koji se zove obrtni moment.
Formula (19.1.6) se može prepisati kao
Elementarni rad jednak je proizvodu obrtnog momenta i elementarne rotacije.
Kada se okrenemo na konačni ugao, imamo:
Ako je obrtni moment konstantan, onda
a snaga je određena iz relacije (14.3.5)
kao proizvod obrtnog momenta i ugaone brzine tela.
Teorema o promjeni kinetičke energije dokazane za tačku (§ 14.4) vrijedit će za bilo koju tačku u sistemu
Sastavljajući takve jednačine za sve tačke sistema i zbrajajući ih pojam po član dobijamo:
ili, prema (19.1.1):
što je izraz teoreme o kinetičkoj energiji sistema u diferencijalnom obliku.
Integracijom (19.2.2) dobijamo:
Teorema o promjeni kinetičke energije u konačnom obliku: promjena kinetičke energije sistema sa nekim njegovim konačnim pomakom jednaka je zbiru rada obavljenog na ovom pomaku svih vanjskih i unutrašnjih sila primijenjenih na sistem .
Ističemo da unutrašnje snage nisu isključene. Za nepromenljiv sistem, zbir rada svih unutrašnjih sila je nula i
Ako se veze nametnute sistemu ne mijenjaju s vremenom, tada se sile, i vanjske i unutrašnje, mogu podijeliti na aktivne i reakcije veza, te se sada može napisati jednačina (19.2.2):
U dinamici se uvodi koncept kao što je "idealan" mehanički sistem. To je takav sistem, prisustvo veza u kojem ne utiče na promjenu kinetičke energije, tj
Takve veze koje se ne mijenjaju s vremenom i čiji je zbir rada na elementarnom pomaku jednak nuli nazivaju se idealnim, a jednačina (19.2.5) će se napisati:
Potencijalna energija materijalne tačke u datom položaju M je skalarna vrijednost P, jednaka radu koji će sile polja obaviti kada se tačka pomjeri iz položaja M u nulu
P = A (mj.) (19.3.1)
Potencijalna energija zavisi od položaja tačke M, odnosno od njenih koordinata
P = P(x, y, z) (19.3.2)
Objasnimo ovdje da je polje sila dio prostornog volumena, u čijoj svakoj tački na česticu djeluje sila određena u apsolutnoj vrijednosti i smjeru, ovisno o položaju čestice, odnosno na koordinatama x , y, z. Na primjer, gravitacijsko polje Zemlje.
Poziva se funkcija U koordinata čiji je diferencijal jednak radu funkcija snage. Poziva se polje sile za koje postoji funkcija sile potencijalno polje sile, i sile koje djeluju u ovom polju, - potencijalne sile.
Neka se nulte tačke za dvije funkcije sile P(h,u,z) i U(x,y,z) poklapaju.
Formulom (14.3.5) dobijamo , tj. dA = dU(x,y,z) i
gdje je U vrijednost funkcije sile u tački M. Dakle
P(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)
Potencijalna energija u bilo kojoj tački polja sila jednaka je vrijednosti funkcije sile u ovoj tački, uzete sa suprotnim predznakom.
To jest, kada se razmatraju svojstva polja sila, umjesto funkcije sile, može se uzeti u obzir potencijalna energija, a posebno će se jednadžba (19.3.3) prepisati kao
Rad potencijalne sile jednak je razlici između vrijednosti potencijalne energije pokretne tačke u početnoj i krajnjoj poziciji.
Konkretno, rad gravitacije:
Neka sve sile koje djeluju na sistem budu potencijalne. Tada je za svaku tačku k sistema rad jednak
Tada će za sve sile, i vanjske i unutrašnje, biti
gdje je potencijalna energija cijelog sistema.
Ove sume zamjenjujemo u izraz za kinetičku energiju (19.2.3):
ili konačno:
Kada se kreće pod dejstvom potencijalnih sila, zbir kinetičke i potencijalne energije sistema u svakom od njegovih položaja ostaje konstantan. Ovo je zakon održanja mehaničke energije.
Opterećenje od 1 kg čini slobodne vibracije prema zakonu x = 0,1 sinl0t. Konstanta opruge c = 100 N/m. Odredite ukupnu mehaničku energiju opterećenja na x = 0,05m, ako je na x = 0 potencijalna energija nula 
. (0,5)
Teret mase m = 4 kg, padajući, uz pomoć konca, rotira cilindar poluprečnika R = 0,4 m. Moment inercije cilindra oko ose rotacije je I = 0,2. Odrediti kinetičku energiju sistema tijela u trenutku kada je brzina tereta v = 2m/s 
. (10,5)
Primjer rješavanja zadatka korištenjem teoreme o promjeni kinetičke energije sistema s krutim tijelima, blokovima, remenicama i oprugom.
SadržajZadatak
Mehanički sistem se sastoji od utega 1 i 2, stepenaste remenice 3 sa poluprečnikom stepenica R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m i radijus rotacije u odnosu na os rotacije ρ 3 = 0,2 m, blok 4 poluprečnika R 4 = 0,2 m i pokretni blok 5. Blok 5 se smatra kontinuiranim homogenim cilindrom. Koeficijent trenja tereta 2 o ravni f = 0,1 . Tijela sistema su međusobno povezana nitima prebačenim preko blokova i namotanim na remenicu 3. Presjeci navoja su paralelni sa odgovarajućim ravnima. Na pokretni blok 5 je pričvršćena opruga sa koeficijentom krutosti c = 280 N/m.
Pod dejstvom sile F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, u zavisnosti od pomaka s tačke njegove primjene, sistem dolazi u pokret iz stanja mirovanja. Deformacija opruge u trenutku početka kretanja jednaka je nuli. Kada se kreće, remenica 3 je izložena konstantnom momentu M = 1,6 Nm sile otpora (od trenja u ležajevima). Mase tijela: m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg.
Odrediti vrijednost centra mase tijela 5 V C 5 u trenutku kada pomak s tereta 1 postane jednak s 1 = 0,2 m.
indikacija. Kada rješavate problem, koristite teorema o promjeni kinetičke energije.
Rješenje problema
Dato: R 3 = 0,3 m, r 3 = 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg, F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, s 1 = 0,2 m.
Naći: VC 5 .
Varijabilna notacija
R 3 , r 3- radijusi stepenica remenice 3;
ρ 3
- radijus inercije remenice 3 u odnosu na osu rotacije;
R 5
- poluprečnik bloka 5;
V 1
, V 2
- brzine tijela 1 i 2;
ω 3
- ugaona brzina rotacije remenice 3;
VC 5
- brzina centra mase C 5
blok 5;
ω 5
- ugaona brzina rotacije bloka 5;
s 1
, s 2
- kretanje tijela 1 i 2;
φ 3
- ugao rotacije remenice 3;
s C 5
- pomeranje centra mase C 5
blok 5;
s A , s B - pomjeranje tačaka A i B.
Uspostavljanje kinematičkih odnosa
Uspostavimo kinematičke odnose. Budući da su težine 1 i 2 povezane jednom niti, njihove brzine su jednake:
V 2 = V1.
Budući da je uteg za spajanje navoja 1 i 2 namotan na vanjski stepenik remenice 3, točke vanjskog stepenika remenice 3 kreću se brzinom V 2 = V1. Tada je kutna brzina rotacije remenice:
.
Centar masene brzine V C 5
blok 5 jednak je brzini točaka unutrašnjeg stupnja remenice 3:
.
Brzina tačke K je nula. Dakle, to je trenutni centar brzina bloka 5. Ugaona brzina rotacije bloka 5:
.
Brzina tačke B - slobodnog kraja opruge - jednaka je brzini tačke A:
.
Izrazimo brzine u terminima V C 5
.
;
;
.
Sada instalirajmo odnose između pokreta tijela i uglova rotacije remenica i blok. Budući da su brzine i ugaone brzine vremenski derivati pomaka i uglova rotacije
,
tada će iste veze biti između pomaka i uglova rotacije:
s 2 = s1;
;
;
.
Određivanje kinetičke energije sistema
Nađimo kinetičku energiju sistema. Cargo 2 se obavezuje kretanje napred brzinom V 2
. Remenica 3 se predaje rotaciono kretanje sa ugaonom brzinom ω 3
. Blok 5 izvodi ravno-paralelno kretanje. Rotira se ugaonom brzinom ω 5
a centar mase mu se kreće brzinom V C 5
. Kinetička energija sistema:
.
Budući da je zadan polumjer rotacije remenice u odnosu na os rotacije, moment inercije remenice u odnosu na os rotacije određuje se formulom:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Pošto je blok 5 čvrst homogeni cilindar, njegov moment inercije oko centra mase je
.
Koristeći kinematičke relacije, sve brzine izražavamo u terminima V C 5
i zamijenite izraze za momente inercije u formulu za kinetičku energiju.
,
gdje smo uveli konstantu
kg.
Dakle, našli smo zavisnost kinetičke energije sistema od brzine centra mase V C 5
pokretni blok:
, gdje je m = 75
kg.
Određivanje zbira rada vanjskih sila
Uzmite u obzir vanjske sile djelujući na sistem.
U ovom slučaju ne razmatramo sile zatezanja niti, jer su niti nerastavljive i stoga ne proizvode rad. Iz tog razloga, ne razmatramo unutrašnja naprezanja koji djeluju u telima, jer su apsolutno čvrsta.
Na tijelo 1 (sa nultom masom) djeluje data sila F.
Na teret 2 djeluje sila gravitacije P 2 = m 2 g 2
i sila trenja F T .
Remenica 3 je pod uticajem gravitacije P 3 = m 3 g, sila pritiska N ose 3
i moment sile trenja M .
Remenica 4 (sa nultom masom) je izložena sili pritiska ose N 4
.
Na pokretni blok 5 djeluje gravitacija P 5 = m 5 g, sila opruge F y i sila zatezanja konca T K u tački K .
Rad koji sila obavi pri pomicanju tačke njene primjene na mali pomak jednak je skalarnom proizvodu vektora, odnosno proizvodu modula vektora F i ds i kosinusa ugla između njih. Set Force, primijenjen na tijelo 1, paralelan je s kretanjem tijela 1. Prema tome, rad koji izvrši sila pri kretanju tijela 1 na udaljenosti s 1
je jednako:
J.
Uzmite u obzir opterećenje 2. Na njega utiče gravitacija P 2
, površinska sila pritiska N 2
, sile zatezanja niti T 23
, T 24
i sila trenja F T . Budući da se teret ne kreće u okomitom smjeru, projekcija njegovog ubrzanja na okomitu os je nula. Dakle, zbir projekcija sila na vertikalnu os je nula:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 \u003d P 2 \u003d m 2 g.
Sila trenja:
F T = f N 2 = f m 2 g.
P-sile 2
i N 2
okomito na pomak s 2
tako da ne rade nikakav posao.
Rad sile trenja:
J.
Ako posmatramo opterećenje 2 kao izolovani sistem, onda moramo uzeti u obzir rad koji obavljaju sile zatezanja niti T 23 i T 24 . Međutim, zanima nas ceo sistem koji se sastoji od tela 1, 2, 3, 4 i 5. Za takav sistem, sile zatezanja niti su unutrašnje sile. A pošto su niti nerastavljive, zbir njihovog rada je nula. U slučaju opterećenja 2 potrebno je uzeti u obzir i sile zatezanja niti koje djeluju na remenicu 3 i blok 4. One su po veličini jednake i suprotne po smjeru silama T. 23 i T 24 . Prema tome, rad sila zatezanja navoja 23 i 24 nad opterećenjem 2 jednak je po veličini i suprotnog predznaka radu koji vrše sile zatezanja ovih navoja nad koloturom 3 i blokom 4. Kao rezultat toga, zbir rada koji vrše sile zatezanja niti je nula.
Razmotrimo remenicu 3. Pošto se njeno središte mase ne pomiče, rad gravitacije P 3
jednako nuli.
Od C-ose 3
je stacionarna, tada je sila pritiska N ose 3
ne proizvodi rad.
Rad koji proizvodi moment sila izračunava se slično kao rad koji proizvodi sila:
.
U našem slučaju, vektori momenta sila trenja i kuta rotacije remenice usmjereni su duž osi rotacije remenice, ali suprotno u smjeru. Dakle, rad momenta sila trenja:
J.
Razmotrite blok 5.
Pošto je brzina tačke K jednaka nuli, tada sila T K ne proizvodi rad.
Težište bloka C 5
premjestio na udaljenost s C 5
gore. Dakle, rad koji vrši gravitacija bloka je:
J.
Rad elastične sile opruge jednak je promjeni potencijalne energije opruge sa predznakom minus. Pošto opruga u početku nije deformisana, onda
J.
Zbir rada svih sila:
J.
Primjena teoreme o promjeni kinetičke energije sistema
Teoremu o promjeni kinetičke energije sistema primjenjujemo u integralnom obliku.
.
Pošto je sistem na početku mirovao, njegova kinetička energija na početku kretanja
T 0 = 0
.
Onda
.
Odavde
gospođa.
Kinetička energija mehaničkog sistema je zbir kinetičkih energija svih njegovih tačaka:
Razlikujući svaki dio ove jednakosti s obzirom na vrijeme, dobijamo
Koristeći osnovni zakon dinamike za to-ta tačka sistema m k 2i k= Fj., dolazimo do jednakosti
Zove se skalarni proizvod sile F i brzine v tačke njene primene moć sile i označiti R:
Koristeći ovu novu notaciju, predstavljamo (11.6) u sljedećem obliku:
Rezultirajuća jednakost izražava diferencijalni oblik teoreme o promjeni kinetičke energije: brzina promjene kinetičke energije mehaničkog sistema jednaka je zbiru j snaga svih cm koji djeluju na sistem.
Predstavljanje izvedenice f u (8.5) u obliku razlomka -- i radi
zatim razdvajanjem varijabli, dobijamo:
gdje dT- diferencijal kinetičke energije, tj. njegova promjena u beskonačno malom vremenskom intervalu dr, dr k = k dt - elementarni pomak do- tačku sistema, tj. kretanje u vremenu dt.
Skalarni proizvod sile F i elementarnog pomaka dr njegove tačke primjene se nazivaju elementarni rad snage i predstavljaju dA:
Korištenje svojstava tačkasti proizvod elementarni rad sile se takođe može predstaviti u obliku
Evo ds = dr- dužina luka putanje tačke primjene sile, koja odgovara njenom elementarnom pomaku c/g; a - ugao između pravaca vektora sile F i vektora elementarnog pomaka c/r; F „ F y , F,- projekcije vektora sile F na kartezijanske ose; dx, dy, dz projekcije na kartezijanske ose vektora elementarnog pomaka s/r.
Uzimajući u obzir notaciju (11.9), jednakost (11.8) se može predstaviti u sljedećem obliku:
one. diferencijal kinetičke energije sistema jednak je zbiru elementarnih radova svih sila koje djeluju na sistem. Ova jednakost, poput (11.7), izražava diferencijalni oblik teoreme o promjeni kinetičke energije, ali se razlikuje od (11.7) po tome što ne koristi derivate, već infinitezimalne priraštaje - diferencijale.
Izvodeći pojam integraciju jednakosti (11.12), dobijamo
gdje se kao granice integracije koriste: 7 0 - kinetička energija sistema u trenutku? 0; 7) - kinetička energija sistema u trenutku vremena t x .
Definitivni integrali po vremenskom intervalu ili A(F):
Napomena 1. Za izračunavanje rada ponekad je zgodnije koristiti nelučnu parametrizaciju putanje Gospođa), i koordinata M(x(t), y(/), z(f)). U ovom slučaju, prirodno je uzeti prikaz (11.11) za elementarni rad, i krivolinijski integral prisutan u obliku:
Uzimajući u obzir oznaku (11.14) rada na konačnom pomaku, jednakost (11.13) ima oblik
i predstavlja konačni oblik teoreme o promjeni kinetičke energije mehaničkog sistema.
Teorema 3. Promjena kinetičke energije mehaničkog sistema kada se kreće iz početne pozicije u konačnu jednaka je zbiru rada svih sila koje djeluju na tačke sistema pri tom kretanju.
Komentar 2. Desna strana jednakosti (11.16) uzima u obzir radove sve snage djelujući na sistem, vanjski i unutrašnji. Ipak, postoje takvi mehanički sistemi za koje je ukupan rad svih unutrašnjih sila jednak nuli. Ego tzv nepromjenjivi sistemi, za koje se udaljenosti između materijalnih tačaka u interakciji ne mijenjaju. Na primjer, sistem čvrste materije povezani šarkama bez trenja ili savitljivim nerastezljivim nitima. Za takve sisteme, u jednakosti (11.16) dovoljno je uzeti u obzir samo rad vanjskih sila, tj. teorema (11.16) ima oblik: 