i Saveljeva.

Kod translacionog kretanja tela (§ 60 u udžbeniku E. M. Nikitina), sve njegove tačke se kreću po istim putanjama i u svakom trenutku imaju jednake brzine i jednaka ubrzanja.

Stoga je translacijsko kretanje tijela određeno kretanjem bilo koje tačke, obično pomjeranjem centra gravitacije.

Uzimajući u obzir u bilo kojem zadatku kretanje automobila (zadatak 147) ili dizel lokomotive (zadatak 141), zapravo razmatramo kretanje njihovih centara gravitacije.

rotaciono kretanje telo (E. M. Nikitin, § 61) ne može se poistovetiti sa kretanjem bilo koje njegove tačke. Osa bilo kog rotirajućeg tela (dizel zamašnjak, rotor elektromotora, vreteno mašine, lopatice ventilatora itd.) u procesu kretanja zauzima isto mesto u prostoru u odnosu na okolna nepokretna tela.

Kretanje materijalne tačke ili kretanje napred tijela karakteriziraju ovisno o vremenu linearne veličine s (put, udaljenost), v (brzina) i a (ubrzanje) sa komponentama a t i a n .

rotaciono kretanje tijela u zavisnosti od vremena t karakteriziraju ugaone vrednosti: φ (ugao rotacije u radijanima), ω (ugaona brzina u rad/s) i ε (ugaono ubrzanje u rad/s 2).

Zakon rotacionog kretanja tijela izražava se jednačinom
φ = f(t).

Ugaona brzina - vrijednost koja karakterizira brzinu rotacije tijela, definirana je u općem slučaju kao derivacija ugla rotacije u odnosu na vrijeme
ω \u003d dφ / dt \u003d f "(t).

Kutno ubrzanje- vrijednost koja karakterizira brzinu promjene ugaone brzine, definisana je kao derivacija ugaone brzine
ε = dω/dt = f"" (t).

Prilikom počinjanja rješavanja zadataka za rotacijsko kretanje tijela, mora se imati na umu da se u tehničkim proračunima i problemima, u pravilu, ugaoni pomaci ne izražavaju u radijanima φ, već u okretajima φ rev.

Stoga je potrebno biti u mogućnosti preći s broja okretaja na radijansko mjerenje kutnog pomaka i obrnuto.

Pošto jedna potpuna revolucija odgovara 2π rad, onda
φ = 2πφ rev i φ rev = φ/(2π).

Ugaona brzina u tehničkim proračunima se vrlo često mjeri u obrtajima proizvedenim u jednoj minuti (rpm), pa se mora jasno shvatiti da ω rad/sec i n rpm izražavaju isti koncept - brzinu rotacije tijela (kutnu brzinu), ali u različitim jedinicama - u rad / sec ili u rpm.

Prijelaz iz jedne jedinice kutne brzine u drugu vrši se prema formulama
ω = πn/30 i n = 30ω/π.

Za vrijeme rotacijskog kretanja tijela, sve njegove točke kreću se po kružnicama čiji su centri smješteni na jednoj fiksnoj pravoj liniji (osi rotirajućeg tijela). Vrlo je važno pri rješavanju zadataka datih u ovom poglavlju jasno razumjeti odnos između ugaonih veličina φ, ω i ε, koje karakteriziraju rotacijsko kretanje tijela, i linearnih veličina s, v, a t i a n, koje karakteriziraju kretanje raznih tačaka ovog tela (Sl. 205).

Ako je R rastojanje od geometrijske ose rotirajućeg tela do bilo koje tačke A (na slici 205 R=OA), onda je odnos između φ - ugla rotacije tela i s - udaljenosti koju pređe tačka tijelo u isto vrijeme, izražava se na sljedeći način:
s = φR.

Odnos između ugaone brzine tela i brzine tačke u bilo kom trenutku izražava se jednakošću
v = ωR.

Tangencijalno ubrzanje tačke zavisi od ugaonog ubrzanja i određeno je formulom
a t = εR.

Normalno ubrzanje tačke zavisi od ugaone brzine tela i određeno je zavisnošću
a n = ω 2 R.

Prilikom rješavanja problema datog u ovom poglavlju, potrebno je jasno razumjeti da se rotacija naziva kretanjem čvrsto telo, ne tačke. Pojedinačna materijalna tačka se ne rotira, već se kreće u krug – ona vrši krivolinijsko kretanje.

§ 33. Ravnomerno rotaciono kretanje

Ako je ugaona brzina ω=const, tada se rotacijsko kretanje naziva ravnomjerno.

Jednačina jednolične rotacije ima oblik
φ = φ 0 + ωt.

U posebnom slučaju, kada je početni ugao rotacije φ 0 =0,
φ = ωt.

Ugaona brzina ravnomjerno rotirajućeg tijela
ω = φ/t
može se izraziti i ovako:
ω = 2π/T,
gdje je T period rotacije tijela; φ=2π - ugao rotacije za jedan period.

§ 34. Jednako promenljivo rotaciono kretanje

Rotaciono kretanje sa promenljivom ugaonom brzinom naziva se neujednačeno (videti § 35 ispod). Ako je kutno ubrzanje ε=const, tada se naziva rotacijsko kretanje podjednako varijabilna. Dakle, jednako promjenjiva rotacija tijela je poseban slučaj neravnomjernog rotacijskog kretanja.

Jednačina rotacije jednake varijable
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
i jednadžba koja izražava ugaonu brzinu tijela u bilo kojem trenutku,
(2) ω = ω 0 + εt
predstavljaju skup osnovnih formula za rotaciju ravnomerno kretanje tijelo.

Ove formule uključuju samo šest veličina: tri konstante za ovaj problem φ 0 , ω 0 i ε i tri varijable φ, ω i t. Stoga, uvjet svakog problema za jednako promjenjivu rotaciju mora sadržavati najmanje četiri date vrijednosti.

Radi lakšeg rješavanja nekih problema, jednadžbe (1) i (2) se mogu koristiti za dobivanje još dvije pomoćne formule.

Isključimo iz (1) i (2) ugaono ubrzanje ε:
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Isključimo iz (1) i (2) vrijeme t:
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

U konkretnom slučaju ravnomjerno ubrzane rotacije, koja je započela iz stanja mirovanja, φ 0 =0 i ω 0 =0. Stoga, gornje glavne i pomoćne formule imaju sljedeći oblik:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Neravnomjerno rotaciono kretanje

Razmotrimo primjer rješavanja problema u kojem je dato neujednačeno rotacijsko kretanje tijela.

Kinematika krutog tijela

Za razliku od kinematike tačke, u kinematici krutih tijela rješavaju se dva glavna zadatka:

Određivanje kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika tijela u cjelini;

Određivanje kinematičkih karakteristika tjelesnih tačaka.

Metode za postavljanje i određivanje kinematičkih karakteristika zavise od vrste kretanja tijela.

U ovom priručniku razmatraju se tri tipa kretanja: translacijsko, rotaciono okolo fiksna osovina i ravnoparalelno kretanje krutog tijela

Translacijsko kretanje krutog tijela

Translacijsko je kretanje u kojem prava linija povučena kroz dvije tačke tijela ostaje paralelna svom prvobitnom položaju (slika 2.8).

Dokazana teorema: u translatornom kretanju, sve tačke tijela kreću se duž istih putanja i u svakom trenutku imaju istu brzinu i ubrzanje u apsolutnoj vrijednosti i smjeru (slika 2.8).

zaključak: Translatorno kretanje krutog tijela određeno je kretanjem bilo koje njegove tačke, pa se stoga zadatak i proučavanje njegovog kretanja svodi na kinematiku tačke.

Rice. 2.8 Sl. 2.9

Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose.

Rotacija oko fiksne ose je kretanje krutog tela, pri čemu dve tačke koje pripadaju telu ostaju nepokretne tokom čitavog vremena kretanja.

Položaj tijela je određen uglom rotacije (slika 2.9). Jedinica mjere za ugao je radijani. (Radijan je središnji ugao kruga čija je dužina luka jednaka poluprečniku, puni ugao kruga sadrži 2 radijana.)

Zakon rotacionog kretanja tijela oko fiksne ose = (t). Ugaona brzina i kutno ubrzanje tijela odredit će se metodom diferencijacije

Ugaona brzina, rad/s; (2.10)

Kutno ubrzanje, rad/s 2 (2.11)

Kada se tijelo rotira oko fiksne ose, njegove točke koje ne leže na osi rotacije kreću se po kružnicama sa središtem na osi rotacije.

Ako tijelo presečemo ravninom okomitom na osu, izaberemo tačku na osi rotacije With i proizvoljna tačka M, onda pokažite Mće opisati oko tačke With krug radijusa R(Sl. 2.9). Tokom dt dolazi do elementarne rotacije kroz ugao, dok se tačka Mće se kretati duž putanje za određenu udaljenost Definirajte modul linearna brzina:

tačka ubrzanja M jer je poznata putanja određena njenim komponentama, vidi (2.8)

Zamjenom izraza (2.12) u formule dobijamo:

gdje je: - tangencijalno ubrzanje,

Normalno ubrzanje.

Ravnoparalelno kretanje krutog tijela

Ravnoparalelno je kretanje krutog tijela, u kojem se sve njegove tačke kreću u ravnima paralelnim s jednom fiksnom ravninom (slika 2.10). Za proučavanje kretanja tijela dovoljno je proučiti kretanje jednog dijela S ovo tijelo ravninom koja je paralelna fiksnoj ravni. Pokret sekcije S u svojoj ravni može se smatrati složenim, koji se sastoji od dva elementarna kretanja: a) translacionog i rotacionog; b) rotacijski u odnosu na mobilni (trenutni) centar.

U prvoj varijanti kretanje presjeka može se dati jednačinama kretanja jedne od njegovih tačaka (pola) i rotacije presjeka oko pola (slika 2.11). Bilo koja tačka preseka može se uzeti kao stub.

Rice. 2.10 Sl. 2.11

Jednačine kretanja će biti zapisane kao:

X A = X ALI (t)

Y ALI = Y ALI (t) (2.14)

ALI = ALI (t)

Kinematske karakteristike pola određuju se iz jednačina njegovog kretanja.

Brzina bilo koje tačke ravne figure koja se kreće u svojoj ravni je zbir brzine pola (proizvoljno odabranog u presjeku tačke ALI) i brzinu rotacije oko pola (rotacija tačke AT oko tačke ALI).

Ubrzanje tačke ravne figure koja se kreće je zbir ubrzanja pola u odnosu na fiksni referentni okvir i ubrzanja zbog rotacionog kretanja oko pola.

U drugoj varijanti kretanje sekcije se smatra rotacijskim oko pokretnog (trenutnog) centra P(Sl. 1.12). U ovom slučaju, brzina bilo koje tačke B presjeka će biti određena formulom za rotacijsko kretanje

Ugaona brzina oko trenutnog centra R može se odrediti ako je poznata brzina bilo koje tačke odsjeka, na primjer, tačke A.

Sl.2.12

Položaj trenutnog centra rotacije može se odrediti na osnovu sljedećih svojstava:

Vektor brzine tačke je okomit na radijus;

Modul brzine tačke je proporcionalan udaljenosti od tačke do centra rotacije ( V=R) ;

Brzina u centru rotacije je nula.

Razmotrimo neke slučajeve određivanja položaja trenutnog centra.

1. Smjerovi brzina dviju tačaka ravne figure su poznati (slika 2.13). Nacrtajmo linije radijusa. Trenutni centar rotacije P nalazi se na presjeku okomica povučenih na vektore brzina.

2. Brzine tačaka A i B su poznate, a vektori i su međusobno paralelni, a prava AB okomito (sl. 2. 14). U ovom slučaju, trenutni centar rotacije leži na liniji AB. Da bismo ga pronašli, povlačimo liniju proporcionalnosti brzina na osnovu zavisnosti V=R.

3. Telo se kotrlja bez klizanja po fiksnoj površini drugog tijela (slika 2.15). Tačka dodira tijela u ovom trenutku ima brzinu nula, dok brzine ostalih tačaka tijela nisu jednake nuli. Tačka tangente P će biti trenutno središte rotacije.

Rice. 2.13 Sl. 2.14 Sl. 2.15

Pored razmatranih opcija, brzina tačke preseka može se odrediti na osnovu teoreme o projekcijama brzina dve tačke krutog tela.

Teorema: projekcije brzina dviju tačaka krutog tijela na pravu liniju povučenu kroz ove tačke su jednake i jednako usmjerene.

Dokaz: udaljenost AB ne može se promeniti, dakle

V A cos ne može biti više ili manje V U cos (slika 2.16).

Rice. 2.16

Zaključak: V ALI cos = V AT cos. (2.19)

Složeno kretanje tačke

U prethodnim paragrafima razmatrali smo kretanje tačke u odnosu na fiksni referentni okvir, tzv. apsolutno kretanje. U praksi postoje problemi u kojima je poznato kretanje tačke u odnosu na koordinatni sistem, koja se kreće u odnosu na fiksni sistem. U ovom slučaju potrebno je odrediti kinematičke karakteristike tačke u odnosu na fiksni sistem.

Uobičajeno je da se zove: kretanje tačke u odnosu na sistem koji se kreće - relativno, kretanje tačke zajedno sa pokretnim sistemom - prenosiv, kretanje tačke u odnosu na fiksni sistem - apsolutno. Prema tome, brzine i ubrzanja se nazivaju:

- figurativni; -apsolutno.

Prema teoremu sabiranja brzina, apsolutna brzina tačke je jednaka vektorska suma relativne i prenosive brzine (sl.).

Apsolutna vrijednost brzine određena je zakonom kosinusa

Sl.2.17

Ubrzanje prema pravilu paralelograma određuje se pomoću samo u translatornom kretanju

Kod netranslacionog prijenosnog kretanja pojavljuje se treća komponenta ubrzanja, nazvana rotacijski ili Coriolis.

Coriolisovo ubrzanje je numerički jednako

gdje je ugao između vektora i

Pogodno je odrediti smjer Coriolisovog vektora ubrzanja prema N.E. Žukovski: projektovati vektor na ravan okomitu na osu translacione rotacije, rotirati projekciju za 90 stepeni u pravcu translacione rotacije. Dobiveni smjer će odgovarati smjeru Coriolisovog ubrzanja.

Pitanja za samokontrolu u odjeljku

1. Koji su glavni zadaci kinematike? Navedite kinematičke karakteristike.

2. Imenujte metode za određivanje kretanja tačke i određivanje kinematičkih karakteristika.

3. Dajte definiciju translacijskog, rotacijskog oko fiksne ose, ravno-paralelnog kretanja tijela.

4. Kako se određuje kretanje krutog tijela pri translacijskom, rotacijskom oko fiksne ose i ravnoparalelnom kretanju tijela i kako se određuje brzina i ubrzanje tačke pri tim kretanjima tijela?

Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose je takvo kretanje u kojem bilo koje dvije točke koje pripadaju tijelu (ili su mu uvijek povezane) ostaju nepomične tijekom cijelog kretanja.(Sl. 2.2) .

Slika 2.2

prolazeći kroz fiksne tačke ALI i AT prava linija se zove osa rotacije. Budući da rastojanje između tačaka krutog tijela mora ostati nepromijenjeno, očito je da će pri rotacijskom kretanju sve tačke koje pripadaju osi biti fiksirane, a sve ostale će opisivati ​​kružnice čije su ravni okomite na os rotacije, a centri leže na ovoj osi. Da bismo odredili položaj rotirajućeg tijela, povlačimo kroz os rotacije duž koje je os usmjerena Az, pola aviona І - fiksne i poluravne ІІ ugrađen u samo tijelo i rotirajući s njim. Tada je položaj tijela u bilo kojem trenutku jedinstveno određen uglom uzetim s odgovarajućim predznakom φ između ovih aviona, koje ćemo nazvati ugao tela. Razmotrićemo ugao φ pozitivno ako se kasni iz fiksne ravnine u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (za posmatrača koji gleda s pozitivnog kraja ose Az), ali negativan ako je u smjeru kazaljke na satu. izmjeriti ugao φ će biti u radijanima. Da biste znali položaj tijela u bilo kojem trenutku, morate znati ovisnost ugla φ od vremena t, tj.

.

Ova jednačina izražava zakon rotacije krutog tijela oko fiksne ose.

Glavne kinematičke karakteristike rotacionog kretanja krutog tijela su njegova ugaona brzina ω i ugaono ubrzanje ε.

9.2.1. Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tijela

Vrijednost koja karakterizira brzinu promjene ugla rotacije φ tokom vremena naziva se ugaona brzina.

Ako na određeno vrijeme
telo se okreće
, tada će numerički prosječna ugaona brzina tijela za ovaj vremenski period biti
. U limitu na
dobijamo

dakle, brojčana vrijednost ugaone brzine tijela u datom trenutku jednaka je prvom izvodu ugla rotacije u odnosu na vrijeme.

Pravilo znakova: kada je rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ω> 0, a kada je u smjeru kazaljke na satu, tada ω< 0.

ili, pošto je radijan bezdimenzionalna veličina,
.

U teorijskim proračunima pogodnije je koristiti vektor ugaone brzine , čiji je modul jednak a koji je usmjeren duž ose rotacije tijela u smjeru iz kojeg je vidljiva rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Ovaj vektor odmah određuje modul ugaone brzine, i os rotacije, i smer rotacije oko ove ose.

Količina koja karakterizira brzinu promjene ugaone brzine tokom vremena naziva se ugaono ubrzanje tijela.

Ako na određeno vrijeme
prirast ugaone brzine je jednak
, zatim omjer
, tj. određuje vrijednost prosječnog ubrzanja rotirajućeg tijela tokom vremena
.

Kada težite
dobijamo vrednost ugaonog ubrzanja u ovom trenutku t:

dakle, brojčana vrijednost ugaonog ubrzanja tijela u datom trenutku jednaka je prvom izvodu ugaone brzine ili drugom izvodu ugla rotacije tijela u vremenu.

Jedinica mjere je obično ili, što je takođe
.

Ako se modul ugaone brzine povećava s vremenom, naziva se rotacija tijela ubrzano, a ako se smanji, - sporo. Kada količine ω i ε imaju iste predznake, tada će se rotacija ubrzati, kada su različiti - usporiti. Po analogiji sa ugaonom brzinom, ugaono ubrzanje se takođe može predstaviti kao vektor usmjerena duž ose rotacije. Gde

.

Ako se tijelo okreće ubrzanim smjerom poklapa se sa , i suprotno tokom spore rotacije.

Ako ugaona brzina tijela ostane konstantna tokom kretanja ( ω= konst), tada se naziva rotacija tijela uniforma.

Od
imamo
. Dakle, pod pretpostavkom da je u početnom trenutku vremena
injekcija
, i uzimajući integrale lijevo od prije , a desno od 0 do t, konačno dobijamo

.

Sa ravnomjernom rotacijom, kada =0,
i
.

Brzina ujednačene rotacije često je određena brojem okretaja u minuti, označavajući ovu vrijednost kao n rpm Hajde da pronađemo odnos između n rpm i ω 1/s. Sa jednim obrtajem, telo će se rotirati za 2π, i sa n okretaja po 2π n; ovo okretanje se radi za 1 min, tj. t= 1min=60s. Iz toga slijedi

.

Ako ugaona ubrzanja tijela ostane konstantna tijekom cijelog kretanja (ε = konst), tada se zove rotacija podjednako varijabilna.

U početnom trenutku vremena t=0 ugao
, i ugaona brzina
(- početna ugaona brzina).
;
=ε
. Integracija lijeve strane prije , a desna od 0 do t, nađi

Ugaona brzina ω ove rotacije
. Ako ω i ε imaju iste predznake, rotacija će biti ravnomerno ubrzan, i ako je drugačije podjednako sporo.

U prirodi i tehnologiji često se susrećemo s manifestacijom rotacijskog kretanja čvrstih tijela, poput osovina i zupčanika. Kako je ova vrsta kretanja opisana u fizici, koje formule i jednadžbe se koriste za to, ova i druga pitanja obrađena su u ovom članku.

Šta je rotacija?

Svako od nas intuitivno zamišlja o kakvom pokretu je riječ. Rotacija je proces u kojem se tijelo ili materijalna točka kreće duž kružne putanje oko neke ose. Sa geometrijske tačke gledišta, kruto tijelo je prava linija čija udaljenost ostaje nepromijenjena tokom kretanja. Ova udaljenost se naziva radijus rotacije. U nastavku ćemo ga označavati slovom r. Ako osa rotacije prolazi kroz centar mase tijela, onda se to naziva vlastitom osom. Primjer rotacije oko vlastite ose je odgovarajuće kretanje planeta Solarni sistem.

Da bi došlo do rotacije, mora postojati centripetalno ubrzanje, što je zbog centripetalne sile. Ova sila je usmjerena od centra mase tijela prema osi rotacije. Priroda centripetalne sile može biti vrlo različita. Dakle, na kosmičkoj skali, njegovu ulogu igra gravitacija, ako je tijelo fiksirano niti, tada će sila napetosti potonjeg biti centripetalna. Kada se tijelo rotira oko svoje ose, ulogu centripetalne sile igra unutrašnja elektrohemijska interakcija između elemenata (molekula, atoma) koji čine tijelo.

Mora se shvatiti da će se bez prisustva centripetalne sile tijelo kretati pravolinijski.

Fizičke veličine koje opisuju rotaciju

Prvo, to su dinamičke karakteristike. To uključuje:

• ugaoni moment L;
• moment inercije I;
• moment sile M.

Drugo, ovo su kinematičke karakteristike. Nabrojimo ih:

• ugao rotacije θ;
• ugaona brzina ω;
• kutno ubrzanje α.

Hajde da ukratko opišemo svaku od ovih veličina.

Ugaoni moment određen je formulom:

Gdje je p linearni impuls, m je masa materijalne tačke, v je njena linearna brzina.

Moment inercije materijalne tačke izračunava se pomoću izraza:

Za bilo koje tijelo složenog oblika, vrijednost I se izračunava kao integralni zbir momenata inercije materijalnih tačaka.

Moment sile M izračunava se na sljedeći način:

Ovdje je F vanjska sila, d je udaljenost od tačke njene primjene do ose rotacije.

Fizičko značenje svih veličina, u čijem je imenu prisutna riječ "trenutak", slično je značenju odgovarajućih linearnih veličina. Na primjer, moment sile pokazuje mogućnost primijenjene sile da informiše sistem rotirajućih tijela.

Kinematičke karakteristike su matematički određene sledeće formule:

Kao što se vidi iz ovih izraza, ugaone karakteristike su po značenju slične linearnim (brzine v i ubrzanje a), samo što su primjenjive na kružnu putanju.

Dinamika rotacije

U fizici se proučavanje rotacijskog kretanja krutog tijela provodi uz pomoć dvije grane mehanike: dinamike i kinematike. Počnimo s dinamikom.

Dinamika proučava vanjske sile koje djeluju na sistem rotirajućih tijela. Zapišimo odmah jednačinu rotacionog kretanja krutog tijela, a zatim ćemo analizirati njegove sastavne dijelove. Dakle, ova jednadžba izgleda ovako:

Koja djeluje na sistem koji ima moment inercije I, uzrokuje pojavu ugaonog ubrzanja α. Što je manja vrijednost I, lakše je uz pomoć određenog momenta M u kratkim vremenskim intervalima pokrenuti sistem do velikih brzina. Na primjer, metalnu šipku je lakše rotirati duž svoje ose nego okomito na nju. Međutim, isti štap se lakše okreće oko ose koja je okomita na nju i koja prolazi kroz centar mase nego kroz njen kraj.

Zakon održanja L

Ova veličina je uvedena gore, naziva se ugaoni moment. Jednačina rotacionog kretanja krutog tijela, predstavljena u prethodnom pasusu, često se piše u drugačijem obliku:

Ako trenutak spoljne sile M deluje na sistem za vreme dt, a zatim izaziva promenu ugaonog momenta sistema za iznos dL. Prema tome, ako je moment sila jednak nuli, onda je L = const. Ovo je zakon održanja vrijednosti L. Za njega, koristeći odnos između linearne i ugaone brzine, možemo napisati:

L \u003d m * v * r \u003d m * ω * r 2 \u003d I * ω.

Dakle, u odsustvu momenta sila, proizvod ugaone brzine i momenta inercije je konstantna vrednost. Ovo fizički zakon koje klizači koriste u svojim nastupima ili umjetni sateliti, koje je potrebno rotirati oko vlastite ose otvoreni prostor.

centripetalno ubrzanje

Iznad, kada se proučava rotacijsko kretanje krutog tijela, ova veličina je već opisana. Zabilježena je i priroda centripetalnih sila. Ovdje ćemo samo dopuniti ove podatke i dati odgovarajuće formule za izračunavanje ovog ubrzanja. Označimo to sa c .

Budući da je centripetalna sila usmjerena okomito na osu i prolazi kroz nju, ona ne stvara moment. Odnosno, ova sila nema apsolutno nikakav utjecaj na kinematičke karakteristike rotacije. Međutim, stvara centripetalno ubrzanje. Evo dvije formule za njegovu definiciju:

Dakle, što je veća ugaona brzina i poluprečnik, to je veća sila koja se mora primeniti da se telo zadrži na kružnoj putanji. Odličan primjer ovoga fizički proces je proklizavanje vozila tokom skretanja. Do klizanja dolazi ako centripetalna sila, čiju ulogu igra sila trenja, postane manja od centrifugalne sile (inercijalna karakteristika).

Tri glavne kinematičke karakteristike su navedene gore u članku. čvrsto tijelo opisuje se sljedećim formulama:

θ = ω*t => ω = konst., α = 0;

θ = ω 0 *t + α*t 2 /2 => ω = ω 0 + α*t, α = konst.

Prvi red sadrži formule za ravnomjernu rotaciju, koja pretpostavlja odsustvo vanjskog momenta sila koje djeluju na sistem. Drugi red sadrži formule za ravnomerno ubrzano kretanje oko obima.

Imajte na umu da se rotacija može dogoditi ne samo s pozitivnim ubrzanjem, već i s negativnim. U ovom slučaju, u formulama drugog reda treba staviti znak minus ispred drugog člana.

Primjer rješenja problema

Moment sile od 1000 N*m djelovao je na metalnu osovinu 10 sekundi. Znajući da je moment inercije osovine 50 kg*m 2, potrebno je odrediti ugaonu brzinu koju je navedeni moment sile dao osovini.

Primjenjujući osnovnu jednadžbu rotacije, izračunavamo ubrzanje osovine:

Budući da je ovo kutno ubrzanje djelovalo na osovinu za vrijeme t = 10 sekundi, koristimo formulu za ravnomjerno ubrzano kretanje za izračunavanje kutne brzine:

ω = ω 0 + α*t = M/I*t.

Ovdje je ω 0 = 0 (osovina se nije rotirala do momenta sila M).

Zamenimo numeričke vrednosti veličina u jednakost, dobićemo:

ω = 1000/50 * 10 \u003d 200 rad / s.

Da biste ovaj broj preveli u uobičajene okretaje u sekundi, trebate ga podijeliti sa 2 * pi. Nakon završetka ove radnje, dobivamo da će se osovina okretati frekvencijom od 31,8 o/min.

Ovaj članak opisuje važan dio fizike - "Kinematika i dinamika rotacijskog kretanja".

Osnovni pojmovi kinematike rotacionog kretanja

Rotacijsko kretanje materijalne točke oko fiksne ose je takvo kretanje, čija je putanja kružnica koja se nalazi u ravnini okomitoj na os, a centar joj leži na osi rotacije.

Rotaciono kretanje krutog tela je kretanje u kome se sve tačke tela kreću po koncentričnim (čiji centri leže na istoj osi) kružnicama u skladu sa pravilom za rotaciono kretanje materijalne tačke.

Neka proizvoljno kruto tijelo T vrši rotacije oko ose O, koja je okomita na ravan figure. Hajde da izaberemo ovo tijelo tačka M. Tokom rotacije, ova tačka će opisivati ​​krug oko ose O sa radijusom r.

Nakon nekog vremena, radijus će se rotirati u odnosu na svoju prvobitnu poziciju za ugao Δφ.

Smjer desnog vijka (kazaljke na satu) uzima se kao pozitivan smjer rotacije. Promjena ugla rotacije s vremenom naziva se jednadžba rotacijskog kretanja krutog tijela:

φ = φ(t).

Ako se φ mjeri u radijanima (1 rad je ugao koji odgovara luku dužine jednake njegovom poluprečniku), tada je dužina kružnog luka ΔS, kojim će materijalna tačka M proći za vrijeme Δt, jednaka:

∆S = ∆φr.

Glavni elementi kinematike ravnomjernog rotacionog kretanja

Mjera kretanja materijalne tačke u kratkom vremenskom periodu dt služi kao elementarni vektor rotacije dφ.

Ugaona brzina materijalne tačke ili tijela je fizička količina, koji je određen omjerom elementarnog vektora zaokreta i trajanja ovog okreta. Smjer vektora se može odrediti pravilom desnog vijka duž ose O. U skalarnom obliku:

ω = dφ/dt.

Ako a ω = dφ/dt = const, onda se takvo kretanje naziva jednoliko rotaciono kretanje. Uz to, kutna brzina je određena formulom

ω = φ/t.

Prema preliminarnoj formuli, dimenzija ugaone brzine

[ω] = 1 rad/s.

Ujednačeno rotacijsko kretanje tijela može se opisati periodom rotacije. Period rotacije T je fizička veličina koja određuje vrijeme potrebno tijelu da izvrši jednu punu rotaciju oko ose rotacije ([T] = 1 s). Ako u formuli za ugaonu brzinu uzmemo t = T, φ = 2 π (puni jedan okret polumjera r), tada

ω = 2π/T,

Stoga je period rotacije definiran na sljedeći način:

T = 2π/ω.

Broj okretaja koje tijelo napravi u jedinici vremena naziva se frekvencija rotacije ν, koja je jednaka:

ν = 1/T.

Jedinice frekvencije: [ν] = 1 / c = 1 c -1 \u003d 1 Hz.

Upoređujući formule za ugaonu brzinu i frekvenciju rotacije, dobijamo izraz koji povezuje ove veličine:

ω = 2πν.

Glavni elementi kinematike neujednačenog rotacionog kretanja

Neravnomjerno rotacijsko kretanje krutog tijela ili materijalne točke oko fiksne ose karakterizira njegovu ugaonu brzinu, koja se mijenja s vremenom.

Vector ε koji karakteriše brzinu promene ugaone brzine naziva se vektor ugaonog ubrzanja:

ε = dω/dt.

Ako se tijelo rotira, ubrzavajući, tj dω/dt > 0, vektor ima smjer duž ose u istom smjeru kao i ω.

Ako je rotacijski pokret usporen - dω/dt< 0 , tada su vektori ε i ω suprotno usmjereni.

Komentar. Kada dođe do neravnomjernog rotacijskog kretanja, vektor ω se može promijeniti ne samo po veličini, već iu smjeru (kada se os rotacije rotira).

Odnos između veličina koje karakteriziraju translacijsko i rotacijsko kretanje

Poznato je da je dužina luka sa uglom rotacije poluprečnika i njegova vrednost povezana relacijom

∆S = ∆φr.

Zatim linearna brzina materijalne tačke koja izvodi rotaciono kretanje

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Normalno ubrzanje materijalne tačke koja vrši rotacijsko translacijsko gibanje definira se na sljedeći način:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Dakle, u skalarnom obliku

a = ω 2 r.

Tangencijalna ubrzana materijalna tačka koja vrši rotaciono kretanje

a = εr.

Ugaoni moment materijalne tačke

Vektorski proizvod radijus-vektora putanje materijalne tačke sa masom m i i njenog momenta se naziva ugaoni moment ove tačke oko ose rotacije. Smjer vektora se može odrediti pomoću pravila desnog zavrtnja.

Ugaoni moment materijalne tačke ( L i) je usmjeren okomito na ravan povučenu kroz r i i υ i , i formira s njima desnu trojku vektora (tj. kada se kreće od kraja vektora r i to υ i desni vijak će pokazati smjer vektora L i).

U skalarnom obliku

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Uzimajući u obzir da pri kretanju u krug, radijus vektor i vektor linearne brzine za i-ti materijal tačke su međusobno okomite,

sin(υ i , r i) = 1.

Tako će ugaoni moment materijalne tačke za rotaciono kretanje poprimiti oblik

L = m i υ i r i .

Moment sile koja djeluje na i-tu materijalnu tačku

Vektorski proizvod radijus-vektora, koji je povučen u tačku primjene sile, a ta sila se naziva momentom sile koja djeluje na i-tu materijalnu tačku u odnosu na os rotacije.

U skalarnom obliku

M i = r i F i sin(r i , F i).

S obzirom na to r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Vrijednost l i , jednak dužini okomice spuštene iz točke rotacije u smjer sile, naziva se krak sile F i.

Dinamika rotacije

Jednačina za dinamiku rotacijskog kretanja je zapisana na sljedeći način:

M = dL/dt.

Formulacija zakona je sljedeća: brzina promjene ugaonog momenta tijela koje rotira oko fiksne ose jednaka je rezultirajućem momentu oko ove ose svih vanjskih sila primijenjenih na tijelo.

Moment zamaha i moment inercije

Poznato je da je za i-tu materijalnu tačku ugaoni moment u skalarnom obliku dan formulom

L i = m i υ i r i .

Ako umjesto linearne brzine zamijenimo njen izraz ugaonom:

υ i = ωr i ,

tada će izraz za ugaoni moment poprimiti oblik

L i = m i r i 2 ω.

Vrijednost I i = m i r i 2 se naziva momentom inercije oko osi i-th materijalna tačka apsolutno krutog tijela koja prolazi kroz njegovo središte mase. Zatim zapisujemo ugaoni moment materijalne tačke:

L i = I i ω.

Zapisujemo ugaoni moment apsolutno krutog tijela kao zbir ugaonog momenta materijalnih tačaka koje čine ovo tijelo:

L = Iω.

Moment sile i moment inercije

Zakon rotacije kaže:

M = dL/dt.

Poznato je da se ugaona količina gibanja tijela može predstaviti kao moment inercije:

L = Iω.

M = Idω/dt.

S obzirom da je kutno ubrzanje određeno izrazom

ε = dω/dt,

dobijamo formulu za moment sile, predstavljen kroz moment inercije:

M = tj.

Komentar. Moment sile smatra se pozitivnim ako je ugaona akceleracija kojom je uzrokovana veća od nule, i obrnuto.

Steinerova teorema. Zakon sabiranja momenata inercije

Ako os rotacije tijela ne prolazi kroz njegovo središte mase, tada se njegov moment inercije može pronaći u odnosu na ovu os pomoću Steinerove teoreme:
I \u003d I 0 + ma 2,

gdje I 0- početni moment inercije tijela; m- tjelesna masa; a- razmak između osovina.

Ako se sistem koji rotira oko fiksne ose sastoji od n tijela, tada će ukupan moment inercije ovog tipa sistema biti jednak zbiru momenata njegovih komponenti (zakon sabiranja momenata inercije).