Na isti način kao i za jednu materijalna tačka, izvodimo teoremu o promjeni količine kretanja za sistem u različitim oblicima.
Transformišemo jednačinu (teorema o kretanju centra mase mehanički sistem)
na sljedeći način:
;
Rezultirajuća jednačina izražava teoremu o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema u diferencijalnom obliku: vremenski izvod impulsa mehaničkog sistema jednak je glavnom vektoru spoljne sile djelujući na sistem .
U projekcijama na kartezijanske koordinatne ose:
; 
; 
.
Uzimajući integrale oba dijela posljednje jednačine u vremenu, dobijamo teoremu o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema u integralnom obliku: promjena količine gibanja mehaničkog sistema jednaka je impulsu glavnog vektora spoljne sile koje deluju na sistem .
.
Ili u projekcijama na kartezijanske koordinatne ose:
; 
; 
.
Posljedice iz teoreme (zakoni održanja impulsa)
Zakon održanja impulsa dobijen je kao posebni slučajevi teoreme o promjeni impulsa za sistem u zavisnosti od karakteristika sistema vanjskih sila. Unutrašnje sile mogu biti bilo koje, jer ne utiču na promjene momenta.
Moguća su dva slučaja:
1. Ako vektorska suma svih vanjskih sila primijenjenih na sistem jednak je nuli, tada je impuls sistema konstantan po veličini i smjeru
2. Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju koordinatnu osu i/ili i/ili jednaka nuli, tada je projekcija količine kretanja na iste ose konstantna vrijednost, tj. i/ili i/ili respektivno.
Slični zapisi se mogu napraviti za materijalnu tačku i za materijalnu tačku.
Zadatak. Iz pištolja čija masa M, projektil mase izleti u horizontalnom smjeru m sa brzinom v. Pronađite brzinu V puške nakon pucanja.
Rješenje. Sve vanjske sile koje djeluju na mehanički sistem top-projektil su vertikalne. Dakle, na osnovu posledica teoreme o promjeni količine kretanja sistema, imamo: .
Količina kretanja mehaničkog sistema prije metka:
Količina kretanja mehaničkog sistema nakon metka:
.
Izjednačavanjem pravih delova izraza dobijamo to
.
Znak "-" u rezultirajućoj formuli označava da će se nakon pucnja pištolj otkotrljati u smjeru suprotnom od osi Ox.
PRIMJER 2. Mlaz tekućine gustine izlazi brzinom V iz cijevi poprečnog presjeka F i udara u vertikalni zid pod uglom. Odredite pritisak tečnosti na zidu.
RJEŠENJE. Teoremu o promjeni impulsa u integralnom obliku primjenjujemo na zapreminu tekućine s masom m udara u zid tokom određenog vremenskog perioda t.
JEDNAČINA MEŠČERSKOG
(osnovna jednadžba dinamike tijela promjenljive mase)
U modernoj tehnologiji nastaju slučajevi kada masa tačke i sistema ne ostaje konstantna u procesu kretanja, već se mijenja. Tako, na primjer, tokom leta svemirskih raketa, zbog izbacivanja produkata izgaranja i pojedinačnih nepotrebnih dijelova raketa, promjena mase dostiže 90-95% ukupne početne vrijednosti. Ali ne samo svemirska tehnologija može biti primjer dinamike kretanja promjenjive mase. U tekstilnoj industriji dolazi do značajne promjene u masi raznih vretena, kalemova, rolni pri savremenim mašinskim i mašinskim brzinama.
Razmotrite glavne karakteristike povezane s promjenom mase, koristeći primjer kretanje napred tela promenljive mase. Osnovni zakon dinamike ne može se direktno primijeniti na tijelo promjenljive mase. Dakle, dobijamo diferencijalne jednadžbe kretanje tačke promenljive mase, primenom teoreme o promeni količine kretanja sistema.
Neka tačka mase m+dm kreće se brzinom. Zatim dolazi do odvajanja od tačke neke čestice sa masom dm krećući se brzinom.
Količina kretanja tijela prije odvajanja čestice:
Količina kretanja sistema koji se sastoji od tijela i odvojene čestice nakon njenog odvajanja:
Tada je promjena momenta:
Na osnovu teoreme o promjeni impulsa sistema:
Označimo vrijednost - relativnu brzinu čestice:
Označite 
vrijednost R nazvana reaktivna sila. Mlazna sila je potisak motora, zbog ispuštanja plina iz mlaznice.
Konačno dobijamo
-
Ova formula izražava osnovnu jednačinu dinamike tijela promjenljive mase (formula Meščerskog). Iz posljednje formule slijedi da diferencijalne jednadžbe kretanja tačke promjenjive mase imaju isti oblik kao i za tačku konstantne mase, osim dodatne reaktivne sile koja se primjenjuje na tačku zbog promjene mase.
Osnovna jednadžba dinamike tijela promjenljive mase ukazuje da se ubrzanje ovog tijela ne formira samo zbog vanjskih sila, već i zbog reaktivne sile.
Reaktivna sila je sila slična onoj koju osjeća osoba koja puca - kada puca iz pištolja, osjeti se rukom; pri pucanju iz puške percipira se po ramenu.
Prva formula Ciolkovskog (za jednostepenu raketu)
Neka se tačka promenljive mase ili raketa kreće pravolinijski pod dejstvom samo jedne reaktivne sile. Budući da za mnoge moderne mlazne motore 
, gdje je maksimalna reaktivna sila dozvoljena konstrukcijom motora (potisak motora); je sila gravitacije koja djeluje na motor zemljine površine. One. gore navedeno omogućava da se zanemari komponenta u jednadžbi Meščerskog i da se za dalju analizu prihvati ova jednačina u obliku: ,
označiti:
Rezerva goriva (za mlazne motore na tečno gorivo - suha masa rakete (njena preostala masa nakon što sve gorivo izgori);
Masa čestica odvojenih od rakete; smatra se varijabla koja varira od do .
Hajde da napišemo jednačinu pravolinijsko kretanje tačke promenljive mase u sledećem obliku
.
Pošto je formula za određivanje promenljive mase rakete
Dakle, jednačine kretanja tačke 
Uzimajući integrale oba dijela, dobijamo
gdje - karakteristična brzina- ovo je brzina koju raketa postiže pod dejstvom potiska nakon erupcije svih čestica iz rakete (za mlazne motore na tečno gorivo - nakon što je sve gorivo izgorelo).
Izvađeno iz integralnog znaka (što se može uraditi na osnovu poznatog višu matematiku teorema srednje vrijednosti) je prosječna brzinačestice izbačene iz rakete.
Koji se sastoji od n materijalne tačke. Izdvojimo neku tačku iz ovog sistema Mj sa masom mj. Poznato je da na ovu tačku djeluju vanjske i unutrašnje sile.
Nanesite na tačku Mj rezultat svega unutrašnje sile F j i i rezultanta svih vanjskih sila F j e(Slika 2.2). Za odabranu materijalnu tačku Mj(kao za slobodnu tačku) pišemo teoremu o promjeni impulsa u diferencijalnom obliku (2.3):
Slične jednačine pišemo za sve tačke mehaničkog sistema (j=1,2,3,…,n).
Slika 2.2
Hajde da sve spojimo n jednadžbe:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j i. (2.10)
Evo ∑mj ×Vj =Q je impuls mehaničkog sistema;
∑ F j e = R e je glavni vektor svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sistem;
∑ F j i = R i =0- glavni vektor unutrašnjih sila sistema (prema svojstvu unutrašnjih sila jednak je nuli).
Konačno, za mehanički sistem dobijamo
dQ/dt = Re. (2.11)
Izraz (2.11) je teorema o promjeni impulsa mehaničkog sistema u diferencijalnom obliku (u vektorskom izrazu): vremenski izvod vektora zamaha mehaničkog sistema jednak je glavnom vektoru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.
Projektovanjem vektorske jednakosti (2.11) na kartezijanske koordinatne ose, dobijamo izraze za teoremu o promeni momenta kretanja mehaničkog sistema u koordinatnom (skalarnom) izrazu:
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
one. vremenski izvod projekcije momenta kretanja mehaničkog sistema na bilo koju osu jednak je projekciji na ovu osu glavnog vektora svih vanjskih sila koje djeluju na ovaj mehanički sistem.
Množenje obje strane jednakosti (2.12) sa dt, dobijamo teoremu u drugom diferencijalnom obliku:
dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)
one. diferencijal impulsa mehaničkog sistema jednak je elementarnom impulsu glavnog vektora (zbir elementarnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.
Integrisanje jednakosti (2.13) unutar vremenskog raspona od 0 do t, dobijamo teoremu o promjeni impulsa mehaničkog sistema u konačnom (integralnom) obliku (u vektorskom izrazu):
Q - Q 0 \u003d S e,
one. promjena količine kretanja mehaničkog sistema u konačnom vremenskom periodu jednaka je ukupnom impulsu glavnog vektora (zbir ukupnih impulsa) svih vanjskih sila koje djeluju na sistem u istom vremenskom periodu.
Projektovanjem vektorske jednakosti (2.14) na kartezijanske koordinatne ose, dobijamo izraze za teoremu u projekcijama (u skalarnom izrazu):
one. promjena projekcije impulsa mehaničkog sistema na bilo koju osu tokom konačnog vremenskog perioda jednaka je projekciji na istu osu ukupnog impulsa glavnog vektora (zbir ukupnih impulsa) svih vanjskih sila djelujući na mehanički sistem u istom vremenskom periodu.
Iz razmatrane teoreme (2.11) - (2.15) slijede sljedeće posljedice:
- Ako a R e = ∑ F j e = 0, onda Q = konst– imamo zakon održanja vektora momenta mehaničkog sistema: ako je glavni vektor Re svih vanjskih sila koje djeluju na mehanički sistem jednaka je nuli, tada vektor momenta ovog sistema ostaje konstantan po veličini i smjeru i jednak svojoj početnoj vrijednosti Q0, tj. Q = Q0.
- Ako a R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), onda Q x = konst- imamo zakon održanja projekcije na osu momenta kretanja mehaničkog sistema: ako je projekcija glavnog vektora svih sila koje djeluju na mehanički sistem na bilo koju osu jednaka nuli, tada je projekcija na istu os vektor momenta ovog sistema će biti konstantna vrijednost i jednak projekciji na ovu osu inicijalnog vektora momenta, tj. Qx = Q0x.
Diferencijalni oblik teoreme promjene momenta materijalni sistem ima važne i zanimljive primjene u mehanici kontinuuma. Iz (2.11) može se dobiti Ojlerova teorema.
Količina kretanja sistema, kao vektorska veličina, određena je formulama (4.12) i (4.13).
Teorema. Vremenski izvod impulsa sistema je geometrijski zbir sve spoljne sile koje deluju na njega.
U projekcijama kartezijanskih osa dobijamo skalarne jednadžbe.
Možete napisati vektor
(4.28)
i skalarne jednačine
Koje izražavaju teoremu o promjeni količine gibanja sistema u integralnom obliku: promjena impulsa sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa za isti vremenski period. Prilikom rješavanja zadataka češće se koriste jednačine (4.27).
Zakon održanja impulsa
Promjena teorema ugaoni moment
Teorema o promjeni ugaonog momenta tačke u odnosu na centar: vremenski izvod ugaonog momenta tačke u odnosu na fiksni centar jednak je vektorskom momentu koji djeluje na tačku sile u odnosu na isti centar.
ili 
(4.30)
Upoređujući (4.23) i (4.30), vidimo da su momenti vektora i povezani istom zavisnošću kao i sami vektori i povezani (slika 4.1). Ako projektiramo jednakost na osu koja prolazi kroz centar O, dobićemo
(4.31)
Ova jednakost izražava teoremu momenta momenta momenta tačke oko ose.
|
(4.32)
Ako projiciramo izraz (4.32) na osu koja prolazi kroz centar O, onda ćemo dobiti jednakost koja karakterizira teoremu o promjeni ugaonog momenta oko ose.
(4.33)
Zamjenom (4.10) u jednakost (4.33) možemo napisati diferencijalnu jednačinu rotirajuće čvrsto telo(točkovi, osovine, osovine, rotori, itd.) u tri oblika.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Stoga je preporučljivo koristiti teoremu o promjeni kinetičkog momenta za proučavanje kretanja krutog tijela, što je vrlo uobičajeno u tehnici, njegova rotacija oko fiksne ose.
Zakon održanja ugaonog momenta sistema
1. Neka u izrazu (4.32) .
Tada iz jednačine (4.32) slijedi da , tj. ako je zbir momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sistem relativan ovaj centar je jednak nuli, tada će ugaoni moment sistema u odnosu na ovaj centar biti numerički i u pravcu će biti konstantan.
2. Ako , onda . Dakle, ako je zbir momenata vanjskih sila koje djeluju na sistem u odnosu na neku osu jednak nuli, tada će kinetički moment sistema u odnosu na ovu osu biti konstantna vrijednost.
Ovi rezultati izražavaju zakon održanja ugaonog momenta.
U slučaju rotirajućeg krutog tijela, iz jednakosti (4.34) slijedi da ako , onda . Odavde dolazimo do sljedećih zaključaka:
Ako je sistem nepromjenjiv (apsolutno kruto tijelo), onda, shodno tome, i i kruto tijelo rotira oko fiksne ose sa konstantnom ugaonom brzinom.
Ako je sistem promjenjiv, onda . Sa povećanjem (tada se pojedini elementi sistema udaljavaju od ose rotacije), ugaona brzina opada, jer , a raste sa smanjenjem, pa je u slučaju promjenljivog sistema, uz pomoć unutrašnjih sila, moguće promijeniti ugaonu brzinu.
Drugi zadatak D2 kontrolni rad je posvećena teoremi o promjeni kinetičkog momenta sistema oko ose.
Zadatak D2
Homogena horizontalna platforma (okrugla poluprečnika R ili pravougaona sa stranicama R i 2R, gde je R = 1,2 m) mase kg rotira ugaonom brzinom oko vertikalne ose z, koja je udaljena od težišta C platforme na a rastojanje OC = b (sl. D2.0 – D2.9, tabela D2); dimenzije za sve pravougaone platforme prikazane su na sl. D2.0a (pogled odozgo).
U trenutku, teret D mase kg počinje da se kreće duž platforme (pod dejstvom unutrašnjih sila) prema zakonu, gde je s izraženo u metrima, t u sekundama. U isto vrijeme, par sila s momentom M (datim u njutonometrima) počinje djelovati na platforme; na M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Odrediti, zanemarujući masu osovine, zavisnost tj. ugaona brzina platforme kao funkcija vremena.
Na svim slikama, opterećenje D je prikazano na poziciji gdje je s > 0 (kada je s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Upute. Zadatak D2 - o primjeni teoreme o promjeni ugaonog momenta sistema. Kada se teorema primjenjuje na sistem koji se sastoji od platforme i tereta, ugaoni moment sistema oko z-ose definira se kao zbir momenata platforme i opterećenja. U ovom slučaju treba uzeti u obzir da je apsolutna brzina tereta zbir relativne i prenosive brzine, tj. . Dakle, količina kretanja ovog tereta 
. Tada možemo koristiti Varignonovu teoremu (statiku), prema kojoj ; ovi momenti se računaju na isti način kao i momenti sila. Tok rješenja je detaljnije objašnjen u primjeru D2.
Prilikom rješavanja problema korisno je na pomoćnom crtežu prikazati pogled na platformu odozgo (sa kraja z), kao što je urađeno na sl. D2.0,a - D2.9,a.
Moment inercije ploče mase m oko ose Cz, okomite na ploču i koja prolazi kroz njeno središte mase, jednak je: za pravokutnu ploču sa stranicama i
;
Za okrugli umetak poluprečnika R
| Broj uslova | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Primjer D2. Homogena horizontalna platforma (pravokutna sa stranicama 2l i l), koja ima masu, čvrsto je pričvršćena na okomitu osovinu i rotira se s njom oko osi z sa ugaonom brzinom (slika E2a ). U tom trenutku na osovinu počinje djelovati obrtni moment M, usmjeren suprotno ; istovremeno teret D masa koja se nalazi u oluku AB u tački OD, počinje da se kreće duž žlijeba (pod dejstvom unutrašnjih sila) po zakonu s = CD = F(t).
Dato: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l\u003d 0,5 m, \u003d 2, s \u003d 0,4t 2 (s - u metrima, t - u sekundama), M= kt, gdje k=6 Nm/s. Definirati: - zakon promjene ugaona brzina platforme.
Rješenje. Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od platforme i tereta D. Da bismo odredili w, primjenjujemo teoremu o promjeni ugaonog momenta sistema oko ose z:
(1)
Opišimo vanjske sile koje djeluju na sistem: sile gravitacije reakcije i moment M. Pošto su sile i paralelne sa osom z, a reakcije sijeku ovu os, njihovi momenti oko z ose su jednaki nula. Zatim, uzimajući u obzir pozitivan smjer za trenutak (tj. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), dobijamo 
i jednačina (1) će poprimiti ovaj oblik.
Razmotrimo sistem koji se sastoji od materijalnih tačaka. Sastavimo diferencijalne jednadžbe kretanja (13) za ovaj sistem i dodajmo ih član po član. Onda dobijamo
Posljednji zbir po svojstvu unutrašnjih sila jednak je nuli. osim toga,
Konačno pronalazimo
Jednačina (20) izražava teoremu o promjeni količine gibanja sistema u diferencijalnom obliku: vremenski izvod impulsa sistema jednak je geometrijskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem. U projekcijama na koordinatne ose bice:
Nađimo još jedan izraz teoreme. Neka je u trenutku momenta impuls sistema jednak i u trenutku postaje jednak . Zatim, množenjem obe strane jednakosti (20) sa i integrisanjem, dobijamo
pošto integrali na desnoj strani daju impulse vanjskih sila.
Jednačina (21) izražava teoremu o promjeni količine gibanja sistema u integralnom obliku: promjena impulsa sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa koji djeluju na sistem vanjskih sila preko isti vremenski period.
U projekcijama na koordinatne ose to će biti:
Istaknimo vezu između dokazane teoreme i teoreme o kretanju centra masa. Pošto , dakle, zamjenom ove vrijednosti u jednakost (20) i uzimajući u obzir da dobijemo , tj. jednačinu (16).
Dakle, teorema o kretanju centra mase i teorema o promjeni količine gibanja sistema su, u suštini, dvije različite forme istu teoremu. U slučajevima kada se proučava kretanje krutog tijela (ili sistema tijela), bilo koji od ovih oblika se jednako može koristiti, a jednačina (16) je obično pogodnija za korištenje. Za kontinualni medij (tečnost, gas) pri rešavanju zadataka obično koriste teoremu o promeni količine kretanja sistema. Ova teorema također ima važnu primjenu u teoriji udara (vidi poglavlje XXXI) iu proučavanju mlazni pogon(vidi § 114).
Neka se materijalna tačka kreće pod dejstvom sile F. Potrebno je odrediti kretanje ove tačke u odnosu na pokretni sistem Oxyz(cm. složeno kretanje materijalna tačka), koja se kreće na poznati način u odnosu na fiksni sistem O 1 x 1 y 1 z 1 .
Osnovna jednadžba dinamike u stacionarnom sistemu
Apsolutno ubrzanje tačke pišemo prema Coriolisovom teoremu
gdje a abs– apsolutno ubrzanje;
a rel– relativno ubrzanje;
a lane– prijenosno ubrzanje;
a jezgro je Coriolisovo ubrzanje.
Prepišimo (25) uzimajući u obzir (26)
Hajde da uvedemo notaciju 
- prenosiva sila inercije, 
je Coriolisova sila inercije. Tada jednačina (27) poprima oblik
Osnovna jednadžba dinamike za proučavanje relativnog kretanja (28) napisana je na isti način kao i za apsolutno kretanje, samo se silama koje djeluju na tačku moraju dodati translatorne i Coriolisove sile inercije.
Opće teoreme dinamike materijalne tačke
Prilikom rješavanja mnogih zadataka možete koristiti unaprijed napravljene blanke dobivene na osnovu Newtonovog drugog zakona. Takve metode rješavanja problema su objedinjene u ovom odeljku.
Teorema o promjeni impulsa materijalne tačke
Predstavimo sljedeće dinamičke karakteristike:
1. Količina kretanja materijalne tačke je vektorska veličina jednaka proizvodu mase tačke i vektora njene brzine
.
(29)
2. Impuls sile
Impuls elementarne sile- vektorska veličina jednaka proizvodu vektora sile na elementarni vremenski interval
(30).
Onda puni impuls
.
(31)
At F=const dobijamo S=ft.
Ukupni impuls u konačnom vremenskom periodu može se izračunati samo u dva slučaja, kada je sila koja djeluje na tačku konstantna ili ovisi o vremenu. U drugim slučajevima, potrebno je izraziti silu kao funkciju vremena.
Jednakost dimenzija impulsa (29) i impulsa (30) omogućava uspostavljanje kvantitativnog odnosa između njih.
Razmotrimo kretanje materijalne tačke M pod dejstvom proizvoljna sila F proizvoljnom putanjom.
O 
UD: 
.
(32)
Odvajamo varijable u (32) i integrišemo
.
(33)
Kao rezultat, uzimajući u obzir (31), dobijamo
.
(34)
Jednačina (34) izražava sljedeću teoremu.
Teorema: Promjena količine gibanja materijalne tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je impulsu sile koja djeluje na tačku u istom vremenskom intervalu.
Prilikom rješavanja zadataka jednačina (34) se mora projicirati na koordinatne ose
Ovu teoremu je zgodno koristiti kada se među datim i nepoznatim veličinama nalaze masa tačke, njena početna i konačna brzina, sile i vrijeme kretanja.
Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke
M 
moment impulsa materijalne tačke u odnosu na centar jednak je proizvodu modula momenta tačke i kraka, tj. najkraća udaljenost (okomita) od centra do linije koja se poklapa sa vektor brzine
,
(36)
.
(37)
Odnos između momenta sile (uzroka) i momenta impulsa (posledice) utvrđuje se sljedećom teoremom.
Neka tačka M date mase m kretanje pod uticajem sile F.
,
,
,
(38)
.
(39)
Izračunajmo derivaciju (39)
.
(40)
Kombinujući (40) i (38), konačno dobijamo
.
(41)
Jednačina (41) izražava sljedeću teoremu.
Teorema: Vremenski izvod vektora ugaonog momenta materijalne tačke u odnosu na neki centar jednak je momentu sile koja deluje na tačku u odnosu na isto središte.
Prilikom rješavanja zadataka jednačina (41) se mora projicirati na koordinatne ose
U jednadžbi (42) momenti momenta momenta i sile se računaju u odnosu na koordinatne ose.
Iz (41) slijedi zakon održanja ugaonog momenta (Keplerov zakon).
Ako je moment sile koja djeluje na materijalnu tačku u odnosu na bilo koje središte jednak nuli, tada ugaoni moment tačke u odnosu na ovo središte zadržava svoju veličinu i smjer.
Ako a 
, onda 
.
Teorema i zakon održanja koriste se u zadacima na krivolinijsko kretanje, posebno pod dejstvom centralnih snaga.