Date su osnovne formule kinematike materijalna tačka, njihovo izvođenje i prikaz teorije.

Sadržaj

Vidi također: Primjer rješavanja problema (koordinatna metoda određivanja kretanja tačke)

Osnovne formule za kinematiku materijalne tačke

Predstavljamo osnovne formule za kinematiku materijalne tačke. Nakon toga dajemo njihov izvod i prikaz teorije.

Radijus vektor materijalne tačke M u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz :
,
gdje su jedinični vektori (orths) u smjeru x, y, z osa.

Brzina tačke:
;
.
.
Jedinični vektor u smjeru tangente na putanju točke:
.

Ubrzanje tačke:
;
;
;
; ;

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje:
;
;
.

Normalno ubrzanje:
;
;
.

Jedinični vektor usmjeren prema centru zakrivljenosti putanje točke (duž glavne normale):
.

.

Radijus vektor i putanja tačke

Razmotrimo kretanje materijalne tačke M. Biramo fiksni pravougaoni koordinatni sistem Oxyz sa centrom u nekoj fiksnoj tački O. Tada je pozicija tačke M jednoznačno određena njenim koordinatama (x, y, z). Ove koordinate su komponente radijus vektora materijalne tačke.

Radijus vektor tačke M je vektor povučen od početka fiksnog koordinatnog sistema O do tačke M.
,
gdje su jedinični vektori u smjeru osa x, y, z.

Kako se tačka kreće, koordinate se mijenjaju s vremenom. To jest, one su funkcije vremena. Zatim sistem jednačina
(1)
može se posmatrati kao jednačina krive date od parametarske jednačine. Takva kriva je putanja tačke.

Putanja materijalne tačke je linija duž koje se tačka kreće.

Ako se tačka kreće u ravni, tada možete odabrati ose i koordinatni sistem tako da leže u ovoj ravni. Tada je putanja određena s dvije jednačine

U nekim slučajevima, vrijeme se može isključiti iz ovih jednačina. Tada će jednačina putanje imati zavisnost od vrste:
,
gdje je neka funkcija. Ova zavisnost sadrži samo varijable i . Ne sadrži parametar.

Brzina materijalne tačke

Brzina materijalne tačke je vremenski izvod njenog vektora radijusa.

Prema definiciji brzine i definiciji derivacije:

Vremenski derivati ​​se u mehanici označavaju tačkom iznad simbola. Zamijenite ovdje izrazom za vektor radijusa:
,
gdje smo eksplicitno naznačili ovisnost koordinata o vremenu. Dobijamo:

,
gdje
,
,

- projekcije brzine na koordinatne ose. Dobivaju se diferenciranjem komponenti radijus vektora s obzirom na vrijeme
.

Na ovaj način
.
Modul brzine:
.

Tangenta na putanju

OD matematička poenta Sa stanovišta, sistem jednačina (1) se može posmatrati kao jednačina linije (krive) date parametarskim jednačinama. Vrijeme, u ovom razmatranju, igra ulogu parametra. Sa kursa matematička analiza poznato je da vektor smjera za tangentu na ovu krivu ima komponente:
.
Ali ovo su komponente vektora brzine tačke. tj brzina materijalne tačke je usmerena tangencijalno na putanju.

Sve ovo se može direktno demonstrirati. Neka u trenutku vremena tačka bude u poziciji sa radijus vektorom (vidi sliku). I u trenutku - u poziciji sa radijus vektorom. Nacrtajte pravu liniju kroz tačke. Po definiciji, tangenta je linija kojoj linija teži kada .
Hajde da uvedemo notaciju:
;
;
.
Tada se vektor usmjerava duž prave linije.

Kada se teži, prava linija teži tangenti, a vektor teži brzini tačke u trenutku:
.
Budući da je vektor usmjeren duž prave linije, a prava je na , tada je vektor brzine usmjeren duž tangente.
Odnosno, vektor brzine materijalne tačke je usmjeren duž tangente na putanju.

Hajde da se predstavimo vektor smjera tangente jedinične dužine:
.
Pokažimo da je dužina ovog vektora jednaka jedan. Zaista, pošto
, zatim:
.

Tada se vektor brzine tačke može predstaviti kao:
.

Ubrzanje materijalne tačke

Ubrzanje materijalne tačke je derivacija njene brzine u odnosu na vrijeme.

Slično kao i kod prethodnog, dobijamo komponente ubrzanja (projekcije ubrzanja na koordinatne ose):
;
;
;
.
Modul za ubrzanje:
.

Tangencijalna (tangencijalna) i normalna ubrzanja

Sada razmotrite pitanje smjera vektora ubrzanja u odnosu na putanju. Da biste to učinili, primijenite formulu:
.
Razlikujte ga s obzirom na vrijeme koristeći pravilo diferencijacije proizvoda:
.

Vektor je usmjeren tangencijalno na putanju. U kom smjeru je usmjerena njegova vremenska derivacija?

Za odgovor na ovo pitanje koristimo se činjenicom da je dužina vektora konstantna i jednaka jedinici. Tada je kvadrat njegove dužine također jednak jedan:
.
Ovdje i ispod, dva vektora u zagradama označavaju skalarni proizvod vektori. Razlikujte posljednju jednačinu s obzirom na vrijeme:
;
;
.
Pošto je skalarni proizvod vektora i jednak nuli, ovi vektori su okomiti jedan na drugi. Pošto je vektor tangentan na putanju, vektor je okomit na tangentu.

Prva komponenta naziva se tangencijalno ili tangencijalno ubrzanje:
.
Druga komponenta se zove normalno ubrzanje:
.
Tada je ukupno ubrzanje:
(2) .
Ova formula je dekompozicija ubrzanja na dvije međusobno okomite komponente - tangentu na putanju i okomitu na tangentu.

Jer, onda
(3) .

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje

Pomnožite obje strane jednačine (2) skalarno na:
.
Jer, onda. Onda
;
.
Ovdje stavljamo:
.
Odavde je to jasno tangencijalno ubrzanje jednaka je projekciji ukupnog ubrzanja na smjer tangente na putanju ili, što je isto, na smjer brzine tačke.

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje materijalne tačke je projekcija njenog punog ubrzanja na smjer tangente na putanju (ili na smjer brzine).

Simbol označava tangencijalni vektor ubrzanja usmjeren duž tangente na putanju. Tada je skalarna vrijednost jednaka projekciji ukupnog ubrzanja na smjer tangente. Može biti i pozitivno i negativno.

Zamjenom imamo:
.

Zamjena u formuli:
.
onda:
.
To jest, tangencijalno ubrzanje je jednako vremenskom izvodu modula brzine tačke. Na ovaj način, tangencijalno ubrzanje dovodi do promjene apsolutne vrijednosti brzine tačke. Kako se brzina povećava, tangencijalno ubrzanje je pozitivno (ili usmjereno duž brzine). Kako se brzina smanjuje, tangencijalno ubrzanje je negativno (ili suprotno brzini).

Sada pogledajmo vektor.

Razmislite jedinični vektor tangenta na putanju. Njegov početak stavljamo u početak koordinatnog sistema. Tada će kraj vektora biti na sferi jediničnog polumjera. Prilikom pomicanja materijalne tačke, kraj vektora će se kretati duž ove sfere. Odnosno, vrtiće se oko svog porekla. Neka je trenutna kutna brzina rotacije vektora u trenutku . Tada je njegova derivacija brzina kretanja kraja vektora. Usmjeren je okomito na vektor. Primijenimo formulu za rotaciono kretanje. Vektorski modul:
.

Sada razmotrite poziciju tačke za dva bliska vremena. Neka je u trenutku kada je tačka u poziciji , a u trenutku - u poziciji . Neka i budu jedinični vektori usmjereni tangencijalno na putanju u ovim tačkama. Kroz točke i nacrtati ravnine okomite na vektore i . Neka biti prava linija formirana presjekom ovih ravnina. Ispustite okomicu iz tačke na pravu. Ako su pozicije tačaka i dovoljno bliske, tada se kretanje tačke može smatrati rotacijom duž kružnice poluprečnika oko ose, koja će biti trenutna os rotacije materijalne tačke. Budući da su vektori i okomiti na ravnine i , kut između ovih ravnina jednak je kutu između vektora i . Tada je trenutna brzina rotacije tačke oko ose jednaka trenutnoj brzini rotacije vektora:
.
Ovdje je udaljenost između točaka i .

Tako smo pronašli modul vremenske derivacije vektora:
.
Kao što smo ranije istakli, vektor je okomit na vektor. Iz gornjeg obrazloženja može se vidjeti da je usmjerena prema trenutnom centru zakrivljenosti putanje. Ovaj pravac se naziva glavna normala.

Normalno ubrzanje

Normalno ubrzanje

usmjerena duž vektora. Kako smo saznali, ovaj vektor je usmjeren okomito na tangentu, prema trenutnom centru zakrivljenosti putanje.
Neka je jedinični vektor usmjeren od materijalne točke do trenutnog centra zakrivljenosti putanje (duž glavne normale). Onda
;
.
Budući da oba vektora i imaju isti smjer - prema centru zakrivljenosti putanje, onda
.

Iz formule (2) imamo:
(4) .
Iz formule (3) naći modul normalnog ubrzanja:
.

Pomnožite obje strane jednačine (2) skalarno na:
(2) .
.
Jer, onda. Onda
;
.
Ovo pokazuje da je modul normalnog ubrzanja jednak projekciji ukupnog ubrzanja na smjer glavne normale.

Normalno ubrzanje materijalne tačke je projekcija njenog punog ubrzanja na pravac okomit na tangentu putanje.

Hajde da zamenimo. Onda
.
Odnosno, normalno ubrzanje uzrokuje promjenu smjera brzine tačke, a povezano je s radijusom zakrivljenosti putanje.

Odavde možete pronaći radijus zakrivljenosti putanje:
.

Na kraju, napominjemo da je formula (4) može se prepisati u sljedećem obliku:
.
Ovdje smo primijenili formulu za vektorski proizvod tri vektora:
,
u koje su uokvirili
.

Tako smo dobili:
;
.
Izjednačimo module lijevog i desnog dijela:
.
Ali vektori i su međusobno okomiti. Zbog toga
.
Onda
.
Ovo je dobro poznata formula iz diferencijalne geometrije za zakrivljenost krive.

Vidi također:

Razmatran je primjer rješavanja problema sa složenim kretanjem tačke. Tačka se kreće pravolinijski duž ploče. Ploča se okreće fiksna osovina. Određuje se apsolutna brzina i apsolutno ubrzanje tačke.

Sadržaj

Zadatak

Pravokutna ploča rotira oko fiksne ose prema zakonu φ = 6 t 2 - 3 t 3. Pozitivan smjer očitavanja ugla φ prikazan je na slikama lučnom strelicom. Osa rotacije OO 1 leži u ravni ploče (ploča se rotira u prostoru).

Tačka M kreće se duž prave BD duž ploče. Dat je zakon njegovog relativnog kretanja, tj. zavisnost s = AM = 40 (t - 2 t 3) - 40(s - u centimetrima, t - u sekundama). Udaljenost b = 20 cm. Na slici je tačka M prikazana na poziciji gdje je s = AM > 0 (za s< 0 tačka M je na drugoj strani tačke A).

Odrediti apsolutnu brzinu i apsolutno ubrzanje tačke M u trenutku t 1 = 1 s.

Upute. Ovaj zadatak je složeno kretanje bodova. Za njegovo rješavanje potrebno je koristiti teoreme o sabiranju brzina i o sabiranju ubrzanja (Coriolisov teorem). Prije izvođenja svih proračuna, potrebno je prema uslovima zadatka odrediti gdje se tačka M nalazi na ploči u trenutku t 1 = 1 s, i nacrtajte tačku tačno u ovoj poziciji (a ne u proizvoljnoj prikazanoj na slici za problem).

Rješenje problema

Dato: b= 20 cm, φ = 6 t 2 - 3 t 3, s = |AM| = 40 (t - 2 t 3) - 40, t 1 = 1 s.

Naći: v abs , a abs

Određivanje položaja tačke

Odrediti položaj tačke u trenutku t = t 1 = 1 s.
s= 40(t 1 - 2 t 1 3) - 40 = 40 (1 - 2 1 3) - 40 \u003d -80 cm.
Jer s< 0 , tada je tačka M bliža tački B nego D.
|AM| = |-80| = 80 cm.
Pravimo crtež.

Prema teoremi sabiranja brzina, apsolutna brzina tačke je vektorska suma relativne i prenosive brzine:
.

Određivanje relativne brzine tačke

Odredite relativnu brzinu. Da bismo to učinili, pretpostavljamo da je ploča nepomična, a tačka M čini dano kretanje. To jest, tačka M se kreće duž prave BD. Diferencirajući s u odnosu na vrijeme t , nalazimo projekciju brzine na smjer BD :
.
U trenutku t = t 1 = 1 s,
cm/s.
Budući da je , tada je vektor usmjeren u smjeru suprotnom od BD . Odnosno, od tačke M do tačke B. Modul relativne brzine
v iz = 200 cm/s.

Određivanje brzine prijenosa tačke

Određivanje brzine nošenja. Da bismo to učinili, pretpostavljamo da je točka M kruto povezana s pločom, a ploča vrši zadano kretanje. To jest, ploča se rotira oko OO 1 ose. Diferencirajući φ u odnosu na vrijeme t, nalazimo kutnu brzinu rotacije ploče:
.
U trenutku t = t 1 = 1 s,
.
Pošto je , tada je vektor ugaone brzine usmeren prema pozitivnom uglu rotacije φ, odnosno od tačke O do tačke O 1 . Modul ugaone brzine:
ω = 3 s -1.
Na slici prikazujemo vektor ugaone brzine ploče.

Iz tačke M spuštamo okomitu HM na osu OO 1 .
Tokom translacionog kretanja, tačka M se kreće duž kružnice poluprečnika |HM| sa centrom u tački H.
|HM| = |HK| + |KM| = 3b + |AM| sin 30° = 60 + 80 0,5 = 100 cm;
Brzina nošenja:
v traka = ω|HM| = 3 100 = 300 cm/s.

Vektor je usmjeren tangencijalno na kružnicu u smjeru rotacije.

Određivanje apsolutne brzine tačke

Odredite apsolutnu brzinu. Apsolutna brzina tačke jednaka je vektorskom zbroju relativne i translacione brzine:
.
Nacrtajte ose fiksnog koordinatnog sistema Oxyz. Usmjerimo os z duž ose rotacije ploče. Neka je x-osa okomita na ploču u razmatranom trenutku vremena, y-osa leži u ravni ploče. Tada vektor relativne brzine leži u ravni yz. Vector prenosiva brzina usmjerena suprotno od x osi. Pošto je vektor okomit na vektor, onda je prema Pitagorinoj teoremi apsolutni modul brzine:
.

Određivanje apsolutnog ubrzanja tačke

Prema teoremi zbrajanja ubrzanja (Coriolisov teorem), apsolutno ubrzanje tačke je jednako vektorskom zbroju relativnog, translacijskog i Coriolisovog ubrzanja:
,
gdje
- Coriolisovo ubrzanje.

Definicija relativnog ubrzanja

Odredite relativno ubrzanje. Da bismo to učinili, pretpostavljamo da je ploča nepomična, a tačka M čini dano kretanje. To jest, tačka M se kreće duž prave BD. Razlikujući s dvaput u odnosu na vrijeme t, nalazimo projekciju ubrzanja na smjer BD:
.
U trenutku t = t 1 = 1 s,
cm/s 2 .
Budući da je , tada je vektor usmjeren u smjeru suprotnom od BD . Odnosno, od tačke M do tačke B. Modul relativnog ubrzanja
a iz = 480 cm/s 2.
Predstavljamo vektor na slici.

Definicija translacionog ubrzanja

Definirajte prijenosno ubrzanje. Tokom translacionog kretanja, tačka M je kruto povezana sa pločom, odnosno kreće se po kružnici poluprečnika |HM| sa centrom u tački H. Razložimo prijenosno ubrzanje na tangentu na kružnicu i normalno ubrzanje:
.
Diferencirajući φ dvaput u odnosu na vrijeme t, nalazimo projekciju ugaono ubrzanje ploče po osovini OO 1 :
.
U trenutku t = t 1 = 1 s,
sa -2.
Budući da je , tada je vektor ugaonog ubrzanja usmjeren u smjeru suprotnom od pozitivnog kuta rotacije φ, odnosno od tačke O 1 do tačke O. Modul kutnog ubrzanja:
ε = 6 s -2.
Na slici prikazujemo vektor kutnog ubrzanja ploče.

Prijenosno tangencijalno ubrzanje:
a τ traka = ε |HM| \u003d 6 100 \u003d 600 cm / s 2.
Vektor je tangentan na kružnicu. Kako je vektor ugaonog ubrzanja usmjeren u smjeru suprotnom od pozitivnog kuta rotacije φ, on je usmjeren u smjeru suprotnom od pozitivnog smjera rotacije φ. Odnosno, usmjeren je prema x-osi.

Prijenosno normalno ubrzanje:
a n traka = ω 2 |HM| = 3 2 100 = 900 cm/s 2.
Vektor je usmjeren prema centru kruga. Odnosno, u smjeru suprotnom od y osi.

Definicija Coriolisovog ubrzanja

Coriolisovo (rotaciono) ubrzanje:
.
Vektor ugaone brzine je usmeren duž ose z. Vektor relativne brzine je usmjeren duž prave linije |DB| . Ugao između ovih vektora je 150°. Svojstvom vektorskog proizvoda,
.
Smjer vektora je određen pravilom gimleta. Ako se ručka za okretanje okrene iz pozicije u poziciju, tada će se zavrtanj za okretanje kretati u smjeru suprotnom od x osi.

Definicija apsolutnog ubrzanja

Apsolutno ubrzanje:
.
Projektujmo ovu vektorsku jednačinu na osu xyz koordinatnog sistema.

;

;

.
Modul apsolutnog ubrzanja:

.

Apsolutna brzina;
apsolutno ubrzanje.

Mehaničko kretanje je promjena tokom vremena u položaju tačaka i tijela u prostoru u odnosu na bilo koje glavno tijelo s kojim je povezan referentni okvir. Studije kinematike mehaničko kretanje tačke i tijela, bez obzira na sile koje uzrokuju ova kretanja. Svako kretanje, kao i mirovanje, je relativno i zavisi od izbora referentnog okvira.

Putanja tačke je neprekidna linija opisana pokretnom tačkom. Ako je putanja prava linija, tada se kretanje tačke naziva pravolinijsko, a ako je kriva, onda je krivolinijsko. Ako je putanja ravna, tada se kretanje tačke naziva ravno.

Kretanje tačke ili tijela smatra se zadanim ili poznatim ako je za svaki trenutak vremena (t) moguće naznačiti položaj tačke ili tijela u odnosu na odabrani koordinatni sistem.

Položaj tačke u prostoru određen je zadatkom:

a) putanje tačke;

b) početak očitavanja udaljenosti O 1 duž putanje (slika 11): s = O 1 M - krivolinijska koordinata tačke M;

c) smjer pozitivnog očitavanja udaljenosti s;

d) jednadžba ili zakon kretanja tačke duž putanje: S = s(t)

Tačkasta brzina. Ako tačka prelazi jednake udaljenosti u jednakim vremenskim intervalima, tada se njeno kretanje naziva jednoliko. Brzina ravnomjernog kretanja mjeri se omjerom puta z koji je prešla tačka u određenom vremenskom periodu i vrijednosti ovog vremenskog perioda: v = s / 1. Ako tačka putuje nejednakim putanjama u jednakim vremenskim intervalima, tada se njeno kretanje naziva neravnomjernim. Brzina je u ovom slučaju također promjenjiva i funkcija je vremena: v = v(t). Razmotrimo tačku A koja se kreće duž date putanje prema određenom zakonu s = s(t) (slika 12):

Za vremenski period t t. A pomaknuo se u poziciju A 1 duž luka AA. Ako je vremenski interval Δt mali, tada se luk AA 1 može zamijeniti tetivom i, u prvoj aproksimaciji, može se naći prosječna brzina kretanja tačke v cp = Ds/Dt. Prosječna brzina je usmjerena duž tetive od t. A do t. A 1.

Prava brzina tačke je usmerena tangencijalno na putanju, a njena algebarska vrednost određena je prvim izvodom putanje u odnosu na vreme:

v = limΔs/Δt = ds/dt

Jedinica za tačku brzine: (v) = dužina/vrijeme, npr. m/s. Ako se tačka kreće u smjeru povećanja krivolinijske koordinate s, tada je ds > 0, a time i v > 0, inače ds< 0 и v < 0.

Ubrzanje tačke. Promjena brzine po jedinici vremena određena je ubrzanjem. Razmotrimo kretanje tačke A duž krivolinijske putanje u vremenu Δt od položaja A do položaja A 1 . U položaju A tačka je imala brzinu v , a u poziciji A 1 - brzinu v 1 (slika 13). one. brzina tačke se promijenila u veličini i smjeru. Nalazimo geometrijsku razliku, brzine Δv, konstruisanjem vektora v 1 iz tačke A.

Ubrzanje tačke naziva se vektor ", jednako prvom izvodu vektora brzine tačke u odnosu na vreme:

Pronađeni vektor ubrzanja a može se razložiti na dvije međusobno okomite komponente osim tangente i normale na putanju kretanja. Tangencijalno ubrzanje a 1 poklapa se u smjeru sa brzinom pri ubrzanom kretanju ili je suprotno njemu tijekom zamijenjenog kretanja. Karakterizira promjenu vrijednosti brzine i jednaka je vremenskom izvodu vrijednosti brzine

Vektor normalnog ubrzanja a usmjeren je duž normale (okomite) na krivulju prema udubljenosti putanje, a njegov modul jednak je omjeru kvadrata tačke brzine i polumjera krivine putanje u tački ispod razmatranje.

Normalno ubrzanje karakterizira promjenu brzine duž
smjer.

Vrijednost punog ubrzanja: , m/s 2

Vrste kretanja tačke u zavisnosti od ubrzanja.

Uniforma pravolinijsko kretanje (kretanje po inerciji) karakterizira činjenica da je brzina kretanja konstantna, a polumjer zakrivljenosti putanje jednak beskonačnosti.

To jest, r = ¥, v = const, tada ; i zbog toga . Dakle, kada se tačka kreće po inerciji, njeno ubrzanje je nula.

Pravolinijsko neujednačeno kretanje. Polumjer zakrivljenosti putanje je r = ¥, a n = 0, dakle, a = a t i a = a t = dv/dt.

Tačkasta brzina.

Pređimo na rješavanje drugog glavnog problema kinematike tačke - određivanje brzine i ubrzanja prema već datom vektoru, koordinati ili prirodnom kretanju.

1. Brzina tačke je vektorska veličina koja karakteriše brzinu i smer kretanja tačke. U SI sistemu brzina se mjeri u m/s.

a) Određivanje brzine vektorskom metodom zadavanja kretanja .

Neka je dato kretanje tačke vektorski način, tj. vektorska jednadžba (2.1) je poznata: .

Rice. 2.6. Odrediti brzinu tačke

Pustite na vreme Dt vektor radijusa tačke Mće se promijeniti do . Zatim prosječna brzina tačke M tokom Dt naziva se vektorska veličina

Podsjećajući na definiciju derivata, zaključujemo:

Ovdje iu daljem tekstu znak označava diferencijaciju s obzirom na vrijeme. Kada težite Dt na nulu vektor , i, posljedično, vektor , rotirati oko točke M a u granici se poklapaju sa tangentom putanje u ovoj tački. Na ovaj način, vektor brzine je jednak prvom izvodu vektora radijusa u odnosu na vrijeme i uvijek je usmjeren tangencijalno na putanju tačke.

b) Brzina tačke u koordinatni način zadaci kretanja.

Izvedemo formule za određivanje brzine koordinatnom metodom zadavanja kretanja. U skladu sa izrazom (2.5) imamo:

Pošto su derivacije jediničnih vektora konstantnih po veličini i pravcu jednake nuli, dobijamo

Vektor, kao i svaki vektor, može se izraziti u smislu njegovih projekcija:

Upoređujući izraze (2.6) i (2.7) vidimo da vremenske derivacije koordinata imaju dobro definisan geometrijsko značenje- oni su projekcije vektora brzine na koordinatne ose. Poznavajući projekcije, lako je izračunati modul i smjer vektora brzine (slika 2.7):

Rice. 2.7.Odrediti veličinu i smjer brzine

c) Određivanje brzine prirodnim načinom postavljanja kretanja.

Rice. 2.8. Brzina tačke sa postavkom prirodnog kretanja

Prema (2.4) ,

gdje je jedinični vektor tangente. Na ovaj način,

Vrijednost V=dS/dt naziva se algebarska brzina. Ako dS/dt>0, zatim funkciju S = S(t) raste i tačka se pomiče u smjeru povećanja koordinata luka S, one. tačka se kreće u pozitivnom smjeru dS/dt<0 , tada se tačka pomiče u suprotnom smjeru.

2. tačka ubrzanja

Ubrzanje je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene modula i smjer vektora brzine. U sistemu SI ubrzanje se mjeri u m/s 2 .

a) Određivanje ubrzanja vektorskom metodom zadavanja kretanja .

Pusti poentu M u to vrijeme t je na poziciji M(t) i ima brzinu V(t), i u trenutku vremena t + Dt je na poziciji M(t + Dt) i ima brzinu V(t + Dt)(Vidi sliku 2.9).

Rice. 2.9. Ubrzanja tačke vektorskom metodom zadavanja kretanja

Prosječno ubrzanje u određenom vremenskom periodu Dt je omjer promjene brzine prema Dt , one.

Limit at Dt ® 0 naziva se trenutnim (ili jednostavno ubrzanjem) tačke M u to vrijeme t

Prema (2.11), ubrzanje vektorskom metodom zadavanja kretanja jednako je vektorskom izvodu brzine u odnosu na vrijeme.

b). At ubrzanja sa koordinatnom metodom zadavanja kretanja .

Zamijenivši (2.6) u (2.11) i diferencirajući proizvode u zagradama, nalazimo:

S obzirom da su derivacije jediničnih vektora jednake nuli, dobijamo:

Vektor se može izraziti kroz njegove projekcije:

Poređenje (2.12) i (2.13) pokazuje da druge vremenske derivacije koordinata imaju dobro definisano geometrijsko značenje: jednake su projekcijama ukupnog ubrzanja na koordinatne ose, tj.

Poznavajući projekcije, lako je izračunati ukupni modul ubrzanja i kosinuse smjera koji određuju njegov smjer:

in). Ubrzanje tačke sa prirodnim načinom specificiranja kretanja

Predstavimo neke informacije iz diferencijalne geometrije potrebne za određivanje ubrzanja na prirodan način specificiranja kretanja.

Pusti poentu M kreće se duž neke prostorne krive. Svaka tačka ove krive povezana je sa tri međusobno ortogonalna pravca (tangencijalni, normalni i binormalni) koji jedinstveno karakterišu prostornu orijentaciju beskonačno malog elementa krive u blizini date tačke. Slijedi opis procesa za određivanje ovih pravaca.

Da nacrtate tangentu na krivu u tački M, povucite kroz njega i obližnju tačku M 1 secant MM 1.

Rice. 2.10. Definicija tangente na putanju tačke

Tangenta na krivu u tački M definisan kao granična pozicija sekante MM 1 dok stremi bodu M 1 do tačke M(Sl. 2.10). Jedinični tangentni vektor obično se označava grčkim slovom.

Nacrtajmo jedinične vektore tangenti na putanju u tačkama M I M 1. Pomerite vektor u tačku M(Sl. 2.11) i formiraju ravan koja prolazi kroz ovu tačku i vektore i . Ponavljanje procesa formiranja sličnih ravni uz težnju ka tački M 1 do tačke M, dobijamo u limitu ravan tzv susjedni avion.

Rice. 2.11. Definicija dodirne ravni

Očigledno, za ravnu krivu, dodirna ravan se poklapa sa ravninom u kojoj se nalazi ova kriva. Avion prolazi kroz tačku M i okomita na tangentu u toj tački se zove normalno avion. Presek susedne i normalne ravni čini pravu liniju tzv glavna normala (Sl. 2.12).

Putanja kretanja materijalne tačke kroz radijus vektor

Pošto sam zaboravio ovaj deo matematike, u mom sećanju jednačine kretanja materijalne tačke su uvek bile predstavljene korišćenjem zavisnosti koja je svima nama poznata y(x), a gledajući tekst zadatka, malo sam se zatekao kada sam vidio vektore. Pokazalo se da postoji prikaz putanje materijalne tačke pomoću radijus-vektor- vektor koji specificira položaj tačke u prostoru u odnosu na neku unapred fiksiranu tačku, koja se naziva ishodište.

Formula za putanju materijalne tačke, pored radijus vektora, opisana je na isti način orts- jedinični vektori i, j, k u našem slučaju se poklapa sa osama koordinatnog sistema. I, na kraju, razmotrimo primjer jednadžbe za putanju materijalne točke (u dvodimenzionalnom prostoru):

Šta je zanimljivo u ovom primjeru? Putanja kretanja tačke data je sinusima i kosinusima, šta mislite kako će graf izgledati u poznatom prikazu y(x)? „Vjerovatno jezivo“, pomislili ste, ali nije sve tako teško kao što se čini! Pokušajmo izgraditi putanju materijalne točke y(x), ako se kreće prema gore predstavljenom zakonu:

Ovdje sam primijetio kvadrat kosinusa, ako u bilo kojem primjeru vidite kvadrat sinusa ili kosinus, to znači da trebate primijeniti osnovni trigonometrijski identitet, što sam i uradio (druga formula) i transformirao koordinatnu formulu y da umjesto sinusa zamijenite formulu promjene x:

Kao rezultat toga, strašni zakon kretanja tačke pokazao se običnim parabolačije su grane usmjerene prema dolje. Nadam se da razumete približni algoritam za konstruisanje zavisnosti y(x) iz reprezentacije kretanja kroz vektor radijusa. A sada da pređemo na naše glavno pitanje: kako pronaći vektor brzine i ubrzanja materijalne tačke, kao i njihove module.

Vektor brzine materijalne tačke

Svima je poznato da je brzina materijalne tačke vrijednost udaljenosti koju tačka prijeđe u jedinici vremena, odnosno izvod formule za zakon kretanja. Da biste pronašli vektor brzine, morate uzeti derivaciju u odnosu na vrijeme. Pogledajmo konkretan primjer pronalaženja vektora brzine.

Primjer pronalaženja vektora brzine

Imamo zakon pomaka materijalne tačke:

Sada morate uzeti derivaciju ovog polinoma, ako ste zaboravili kako se to radi, onda ste tu. Kao rezultat, vektor brzine će izgledati ovako:

Ispostavilo se da je sve lakše nego što ste mislili, sada pronađite vektor ubrzanja materijalne tačke prema istom zakonu koji je gore predstavljen.

Kako pronaći vektor ubrzanja materijalne tačke

Vektor ubrzanja tačke ovo je vektorska veličina koja karakteriše promjenu modula i smjera brzine tačke tokom vremena. Da biste pronašli vektor ubrzanja materijalne tačke u našem primjeru, trebate uzeti derivaciju, ali iz formule vektora brzine predstavljene malo iznad:

Modul vektora brzine tačke

Sada pronađimo modul vektora brzine materijalne tačke. Kao što znate iz 9. razreda, modul vektora je njegova dužina, u pravokutnim dekartovskim koordinatama jednak je kvadratnom korijenu zbira kvadrata njegovih koordinata. A gdje tražite od vektora brzine koji smo dobili gore da uzmete njegove koordinate? Sve je vrlo jednostavno:

Sada je dovoljno samo zamijeniti vrijeme navedeno u zadatku i dobiti određenu brojčanu vrijednost.

Modul vektora ubrzanja

Kao što ste shvatili iz gore napisanog (i iz 9. razreda), pronalaženje modula vektora ubrzanja odvija se na isti način kao i modula vektora brzine: izvlačimo kvadratni korijen iz zbira kvadrata vektora koordinate, sve je jednostavno! Pa evo primjera za vas:

Kao što vidite, ubrzanje materijalne tačke prema gore datom zakonu ne zavisi od vremena i ima konstantnu veličinu i pravac.

Više primjera rješenja problema pronalaženja vektora brzine i ubrzanja

I ovdje možete pronaći primjere rješavanja drugih problema iz fizike. A za one koji baš i ne razumiju kako pronaći vektor brzine i ubrzanja, evo još par primjera iz mreže bez dodatnog objašnjenja, nadam se da će vam pomoći.

Ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u komentarima.