Moment inercije krutog tijela. Moment inercije matematičke tačke, tela u odnosu na nepokretnu osu (o kojoj zavisi) Aksijalni moment inercije tela

Prilikom proučavanja rotacije krutih tijela koristit ćemo koncept momenta inercije.

Podijelimo tijelo na tako male dijelove da se svaki od njih može smatrati materijalnom tačkom. Neka m i- težina ja- th materijalna tačka, r i je njegova udaljenost do neke ose O.

Vrijednost jednaka umnošku mase materijalne tačke na kvadrat njene najkraće udaljenosti do date ose naziva se momentom inercije materijalne tačke oko ose:

Zove se zbir momenata inercije svih materijalnih tačaka tijela moment inercije tela oko neke ose:

Moment inercije čvrsto telo zavisi, kao što je lako videti, od raspodele masa u odnosu na osu koja nas zanima.

Ako je tijelo obruč mase m, čija je debljina mala u odnosu na radijus R, tada je njegov moment inercije oko ose koja prolazi kroz centar i okomita na ravan obruča jednak

Za tijela preko složenog oblika zbrajanje izraza (5.2) vrši se metodama integralnog računa prema formuli

gdje se integracija vrši po cijelom volumenu tijela. Vrijednost r
u ovom slučaju postoji funkcija položaja tačke sa koordinatama x,y,z.

Kao primjer, pronađimo moment inercije homogenog diska oko ose koja je okomita na ravan diska i koja prolazi kroz njegovo središte. Podijelimo disk na prstenaste slojeve debljine d r.

Sve tačke jednog sloja biće na istoj udaljenosti od ose, jednakoj r. Zapremina takvog sloja je jednaka:

gdje b je debljina diska. Pošto je disk homogen, njegova gustina je ista u svim tačkama i

gdje d m- masa prstenastog sloja.

Sada, koristeći formulu (5.4), nalazimo moment inercije

gdje R je radijus diska;

Konačno, uvođenjem mase diska m jednak proizvodu gustine i zapremine diska, dobijamo

Momenti inercije nekih homogenih čvrstih tijela oko ose, prolazeći kroz centar mase tela, date su u tabeli. 5.1.

Tabela 5.1

Ako je poznat moment inercije tijela oko ose koja prolazi kroz njegovo središte mase, tada je moguće pronaći moment inercije oko bilo kojeg drugog paralelna osa. Za ovo morate koristiti Huygens-Steinerova teorema:

moment inercije tela I u odnosu na proizvoljnu osu jednako je njenom momentu inercije I c u odnosu na osu paralelnu sa njom koja prolazi kroz centar mase C tijelo dodano proizvodu tjelesne mase m po kvadratnoj udaljenosti a između osovina:

Nađimo odnos između momenata inercije tijela oko dvije paralelne ose, od kojih jedna prolazi kroz centar mase. Naći moment inercije tijela oko ose z paralelna osa z C. Osa z C prolazi kroz centar mase tela. Podelimo mentalno telo na čestice mase m i, gdje i- serijski broj. Odredimo položaj svake čestice u odnosu na ose z i z C. U skladu sa definicijom momenta inercije, gde je najkraća udaljenost do ose rotacije (poluprečnik kružnice koju tačka opisuje dok se kreće oko ose rotacije).

Na sl. 5.3 vidi se da je tada moment inercije tačke sa masom m i oko ose z jednak je: , a za cijelo tijelo moment inercije oko ose zjednak je zbiru momenti inercije svih čestica tijela oko iste ose:

(5.7)

Po definiciji je moment inercije tijela oko ose z C prolazak kroz centar mase tijela; , onda . Izraz može se konvertovati . Vrijednost jednaka određuje položaj centra mase tijela u odnosu na osu z C. Iz slike se vidi da, jer centar mase leži na osi z C.

Onda dobijamo

(5.8)

- moment inercije Iz tijelo u odnosu na proizvoljnu osu jednako je zbiru momenta inercije tijela u odnosu na osu paralelnu s njom z C prolazeći kroz centar mase, i količine ma 2 , gdje m- tjelesna masa, a- razmak između osovina.

Primjer. Moment inercije tanke šipke (mas m i dužina ) u odnosu na osu okomitu na štap i koja prolazi kroz njegov kraj, jednaka je.

Moment inercije – karakteristika inercijskih svojstava tokom rotacionog kretanja. Karakterizira raspodjelu mase u odnosu na os rotacije.

su bodovi

(ovo nije "ze" engleski, već takav znak).

Aksijalni momenti inercije nekih tijela:

Lopta - , puna osovina cilindra , šuplja osovina cilindra - , ravna tanka šipka - .

Steinerova teorema - Da biste pronašli moment inercije oko proizvoljne ose, potrebno je da dodate moment inercije ovog tijela oko ose koja prolazi kroz centar mase tijela paralelnog osi koja se razmatra, i proizvod od masa tijela kvadratom udaljenosti između osa.

Jednadžba dinamike rotacijskog kretanja krutog tijela u odnosu na nepokretnu osu.

Moment sile određuje brzinu promjene ugaonog momenta.

Moment sile F u odnosu na fiksnu tačku O pozvao fizička količina, definisano vektorski proizvod radijus-vektor r izvučeno iz tačke O upravo ALI primjena sile, sila F :

Evo M pseudoktor, njegov smjer je isti kao kretanje napred desnog zavrtnja dok se rotira od r do F. Modul momenta sile

gdje je a ugao između r i F; r sina = l- najkraća udaljenost između linije djelovanja sile i tačke O -rame snage.

Moment sile u odnosu na fiksnu osu z pozvao skalar magnitude M z , jednaka projekciji na ovu osu vektora M momenta sile, definisanog u odnosu na proizvoljnu tačku O data z-osa. Vrijednost obrtnog momenta Mz ne zavisi od izbora pozicije tačke O na z-osi.

(18.3)

Jednačina (18.3) je jednadžba dinamike rotacionog kretanja krutog tijela oko fiksne ose.

Zakon održanja ugaonog momenta.

U zatvorenim sistemima, ugaoni moment pojedinačnih delova se ne menja tokom vremena.

(preko svega L trebamo vektor „strelice“).

U zatvorenom sistemu, moment spoljnih sila

Ovdje ćemo demonstrirati zakon održanja ugaonog momenta koristeći klupu Žukovskog. Osoba koja sjedi na klupi, rotira oko vertikalne ose i drži bučice u ispruženim rukama (slika 2), rotira se pomoću vanjskog mehanizma ugaonom brzinom ω 1 . Ako osoba pritisne bučice na tijelo, tada će se moment inercije sistema smanjiti. Ali moment vanjskih sila jednak je nuli, ugaoni moment sistema je očuvan i ugaona brzina rotacije ω 2 raste. Slično, gimnastičar, skačući preko glave, privlači ruke i noge uz tijelo kako bi smanjio svoj moment inercije i time povećao kutnu brzinu rotacije.

Povezane informacije:

Statički moment presjeka oko ose koja prolazi kroz težište presjeka će biti
U zavisnosti od toga gde su pojasevi pričvršćeni i položaja tela radnika u trenutku utovara, različiti sigurnosni pojasevi imaju različite prednosti.

Neka postoji kruto tijelo. Odaberimo neku pravu OO (sl.6.1), koju ćemo nazvati osa (prava OO može biti i izvan tijela). Podijelimo tijelo na elementarne dijelove (materijalne tačke) po masama
, koji se nalazi na udaljenosti od ose
respektivno.

Moment inercije materijalne tačke oko ose (OO) je proizvod mase materijalne tačke i kvadrata njene udaljenosti od ove ose:

. (6.1)

Moment inercije (MI) tijela u odnosu na osu (OO) je zbir proizvoda masa elementarnih presjeka tijela i kvadrata njihove udaljenosti do ose:

. (6.2)

Kao što vidite, moment inercije tijela je aditivna veličina - moment inercije cijelog tijela oko određene ose jednak je zbroju momenata inercije njegovih pojedinačnih dijelova oko iste ose.

U ovom slučaju

Moment inercije se mjeri u kgm 2 . Jer

, (6.3)

gdje je  je gustina materije,
- volumen i- onda sekcija

ili, prelazeći na beskonačno male elemente,

. (6.4)

Formula (6.4) je pogodna za izračunavanje MI homogenih tijela pravilnog oblika u odnosu na osu simetrije koja prolazi kroz centar mase tijela. Na primjer, za MI cilindar u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase paralelno sa generatricom, ova formula daje

gdje t- težina; R je poluprečnik cilindra.

Steinerova teorema je od velike pomoći u izračunavanju MI tijela u odnosu na neke ose: MI tijela I u odnosu na bilo koju osu jednak je zbiru MI ovog tijela I c u odnosu na osu koja prolazi kroz centar mase tijela i paralelna sa datim, i proizvod mase tijela na kvadrat udaljenosti d između navedenih osa:

. (6.5)

Moment sile oko ose

Neka sila djeluje na tijelo F. Pretpostavimo radi jednostavnosti da je sila F leži u ravni okomitoj na neku pravu OO (slika 6.2, a), koju ćemo nazvati osom (na primjer, ovo je os rotacije tijela). Na sl. 6.2, a ALI- tačka primene sile F,
- tačka preseka ose sa ravninom u kojoj leži sila; r- radijus vektor koji definiše poziciju tačke ALI u odnosu na tačku O"; O"B = b - rame snage. Rame sile u odnosu na osu je najmanja udaljenost od ose do prave linije na kojoj leži vektor sile F(dužina okomice povučene iz tačke na ovu liniju).

Moment sile oko ose je vektorska veličina definisana jednakošću

. (6.6)

Modul ovog vektora je . Ponekad, stoga, kažu da je moment sile oko ose proizvod sile na njenom ramenu.

Ako snaga F je usmjeren proizvoljno, onda se može razložiti na dvije komponente; i (sl.6.2, b), tj.
+, gdje je komponenta usmjerena paralelno sa OO osi, i leži u ravni okomitoj na osu. U ovom slučaju, pod momentom sile F u odnosu na OO osu razumjeti vektor

. (6.7)

U skladu sa izrazima (6.6) i (6.7), vektor M usmjerena duž ose (vidi Sl.6.2, a,b).

Ugaoni moment kretanja tijela oko ose rotacije

P neka se tijelo rotira oko neke ose OO ugaonom brzinom
. Razbijmo ovo tijelo mentalno na elementarne dijelove sa masama
, koji se nalaze od ose, odnosno na udaljenostima
i rotiraju u krugovima, imaju linearne brzine
Poznato je da je vrijednost
- postoji zamah i-plot. ugaoni moment i-presek (materijalna tačka) u odnosu na osu rotacije naziva se vektor (tačnije, pseudovektor)

, (6.8)

gdje r i je radijus vektor koji definira poziciju i- površina u odnosu na osu.

Ugaoni moment cijelog tijela oko ose rotacije naziva se vektor

(6.9)

čiji modul
.

U skladu sa izrazima (6.8) i (6.9), vektori
i usmjerena duž ose rotacije (slika 6.3). Lako je pokazati da je ugaoni impuls tijela L u odnosu na os rotacije i moment inercije I ovog tijela u odnosu na istu osu povezane su relacijom

. (6.10)

1.10. JEDNAČINA DINAMIKA ROTACIJSKOG KRETANJA

Kruto tijelo kao sistem materijalnih tačaka. Kretanje centra inercije krutog tijela. Kinetička energija rotirajućeg tijela. Koncept momenta inercije oko fiksne ose. Steinerova teorema. Trenuci inercije nekih najjednostavnija tela. Jednadžba dinamike rotacijskog kretanja u odnosu na fiksnu osu.

Kretanje krutog tijela općenito je određeno dvije vektorske jednačine. Jedna od njih je jednačina kretanja centra mase (4.11), druga je jednačina momenata u OD-sistem (6.24):

(10 . 1 )

Poznavajući zakone spoljašnjih sila koje deluju, tačke njihove primene i početne uslove, moguće je pomoću ovih jednačina pronaći i brzinu i položaj svake tačke krutog tela u bilo kom trenutku, tj. u potpunosti riješiti problem kretanja tijela. Međutim, uprkos prividnoj jednostavnosti jednadžbi (10.1), njihovo rješenje u opštem slučaju je veoma težak problem. To je prvenstveno zbog činjenice da je odnos između odgovarajućeg ugaonog momenta i brzina pojedinih tačaka krutog tijela u OD-sistem se pokazao složenim, sa izuzetkom nekoliko posebnih slučajeva. Ovaj problem nećemo razmatrati u opštem obliku (rješava se u toku teorijske mehanike) iu budućnosti ćemo se ograničiti na pojedinačne posebne slučajeve.

Ako sile pomjerimo u pravcu njihovog djelovanja, onda je jasno da se neće promijeniti ni njihova rezultanta ni njihov ukupni moment. U ovom slučaju se jednačine (10.1) također neće promijeniti, pa se stoga neće promijeniti ni kretanje krutog tijela. Stoga se tačke primjene vanjskih sila mogu prenositi duž smjera djelovanja sila - zgodna tehnika za rješavanje problema, koja se stalno koristi.

Razmotrimo sada koncept rezultantne sile. U slučajevima kada je ukupni moment svih vanjskih sila okomit na rezultujuću silu, tj. spoljne sile može se svesti na jedan sila koja djeluje duž određene prave linije. Zaista, ako se tiče neke tačke O ukupni moment, onda uvek možete pronaći takav vektor (slika 10.1) da za date i

Štoviše, izbor je dvosmislen: dodajući mu bilo koji vektor,

paralelno neće promijeniti posljednju jednakost. A to znači da ta jednakost ne određuje tačku "primjena" sile, već liniju njenog djelovanja. Poznavanje modula M i F odgovarajućim vektorima, može se pronaći rame l sile (sl.6.14): .

Dakle, ako je , sistem sila koje djeluju na pojedinačne točke krutog tijela može se zamijeniti jednim rezultujuća sila - sila koja je jednaka rezultanti i stvara moment jednak ukupnom momentu svih vanjskih sila.

Takav slučaj je djelovanje jednoobraznog polja sila, na primjer, gravitacijskog polja, u kojem sila koja djeluje na svaku česticu ima oblik . U ovom slučaju, ukupan moment gravitacije oko bilo koje tačke O jednaki

Zbir u zagradi je gdje je masa tijela vektor radijusa njegovog centra mase u odnosu na tačku O. Zbog toga

To znači da rezultanta gravitacije prolazi kroz centar mase tijela. Obično se kaže da se rezultanta gravitacije primjenjuje na centar mase tijela ili na njegovo težište. Moment ove sile u odnosu na centar mase tijela jednak je nuli.

Sada prelazimo na razmatranje pojedinih slučajeva kretanja krutog tijela.

Rotacija oko fiksne ose.

Razmotrimo rotaciju krutog tijela oko fiksne ose. Nađimo izraz za ugaoni moment krutog tijela oko ose 00" (Sl. 6.15). Ugaoni moment čestice može se zapisati kao

gdje su i masa i udaljenost od ose rotacije čestice čvrstog tijela, njena ugaona brzina. Označavajući vrijednost u zagradama sa I, dobijamo

(10 .2)

Moment inercije materijalne tačke u odnosu na os rotacije je proizvod mase ove tačke i kvadrata najkraće udaljenosti od ose.

Moment inercije sistema (tijelo) oko ose rotacije naziva se fizička veličina jednaka zbiru proizvoda masa n materijalne tačke sistema u kvadrate njihovih udaljenosti do razmatrane ose.

Moment inercije krutog tijela ovisi o raspodjeli masa u odnosu na osu koja nas zanima i aditivna je veličina. Proračun momenta inercije tijela vrši se prema formuli

gdje su dm i dV masa i zapremina elementa tijela koji se nalazi na udaljenosti od z-ose koja nas zanima, je gustina tijela u datoj tački.

Momenti inercije nekih homogenih čvrstih tijela oko ose koja prolazi kroz centar mase tijela dati su u sljedećoj tabeli (ovdje je m masa tijela):

Tip krutog tijela	Položaj osovine	Moment inercije
Tanka dužina štapa L	Okomito na šipku
Puni cilindar poluprečnika R	Poklapa se sa osom cilindra
Tanak disk radijusa R	Odgovara prečniku diska
Kugla poluprečnika R	Prolazi kroz centar lopte

Proračun momenta inercije krutog tijela proizvoljnog oblika u odnosu na jednu ili drugu osu je, općenito govoreći, prilično mukotrpan matematički zadatak. Međutim, u nekim slučajevima, pronalaženje momenta inercije je uvelike pojednostavljeno upotrebom Steinerova teorema : moment inercije I u odnosu na proizvoljnu osu z jednak momentu inercije oko ose koja je paralelna datoj i koja prolazi kroz centar mase OD tijelo, plus proizvod mase t tijela po kvadratnoj udaljenosti a između osovina:

(10 . 4 )

Dakle, ako je poznat moment inercije, onda pronalaženje momenta inercije I osnovno. Na primjer, moment inercije tanke šipke (mas t i dužina l) u odnosu na osu okomitu na štap i koja prolazi kroz njegov kraj jednaka je

Kinetička energijarotaciono kretanje- energija tijela povezana s njegovom rotacijom. Dobijmo izraz za kinetičku energiju rotirajućeg krutog tijela s fiksnom osom rotacije. Uzimajući u obzir odnos između brzine čestice rotirajućeg krutog tijela i ugaone brzine, pišemo

ili, kraće

gdje je moment inercije tijela oko ose rotacije koja prolazi kroz njegovo središte mase, je ugaona brzina tijela, m je njegova masa, je brzina centra inercije tijela u K-okviru reference . Na ovaj način, kinetička energija krutog tijela tokom ravninskog kretanja je zbir energije rotacije u C-sistemu i energije povezane s kretanjem centra mase.

Hajde da zapišemo osnovna jednačina dinamike rotacije krutog tijela With fiksna osa rotacije. Ovu jednačinu je lako dobiti, kao posledicu jednačine momenta za materijalnu tačku, ako diferenciramo (10.2) s obzirom na vreme, onda

(10 . 7 )

gdje je ukupni moment svih vanjskih sila u odnosu na os rotacije, projekcija kutnog ubrzanja na os rotacije. Iz ove jednačine se posebno može vidjeti da je moment inercije I određuje inercijska svojstva krutog tijela tokom rotacije: za istu vrijednost momenta sila tijelo sa velikim momentom inercije dobija manji ugaono ubrzanje. Momenti sila oko ose su algebarske veličine: njihovi predznaci zavise i od izbora pozitivnog smera ose. z, koji se poklapa sa osom rotacije, i iz pravca

"rotacije" odgovarajućeg momenta sile. Na primjer, odabir pozitivnog smjera ose z, kao što je prikazano na sl. 10.3, time postavljamo i pozitivan smjer očitavanja ugla - oba ova smjera su povezana pravilom desnog zavrtnja. Vjeruje se da ako se određeni moment "okreće" u pozitivnom smjeru kuta, onda se smatra pozitivnim, i obrnuto. A znak ukupnog momenta, zauzvrat, određuje znak - projekciju vektora kutnog ubrzanja na os z.

Integracija jednačine (10.7) uzimajući u obzir početni uslovi-vrijednosti ugaone brzine i ugla i početnog momenta vremena - omogućava vam da u potpunosti rešite problem rotacije krutog tela oko fiksne ose, odnosno da pronađete vremensku zavisnost ugaone brzine i ugla rotacija.

Imajte na umu da jednačina (10.7) vrijedi u bilo koji referentni sistem, kruto povezan sa osom rotacije. Međutim, ako je referentni sistem neinercijalan, onda se mora imati na umu da moment sila uključuje ne samo momente sila interakcije s drugim tijelima, već i momente sila inercije.