Zbir uglova trougla- važna, ali prilično jednostavna tema, koja se uči u 7. razredu geometrije. Tema se sastoji od teoreme, kratkog dokaza i nekoliko logičkih posljedica. Poznavanje ove teme pomaže u rješavanju geometrijskih problema u kasnijem proučavanju predmeta.

Teorema - koliki su uglovi proizvoljnog trougla presavijenog zajedno?

Teorema kaže - ako uzmete bilo koji trougao, bez obzira na njegovu vrstu, zbir svih uglova će uvek biti 180 stepeni. To se dokazuje na sljedeći način:

• na primjer, uzmite trokut ABC, povucite ravnu liniju kroz tačku B koja se nalazi na vrhu i označite je kao "a", dok je prava linija "a" strogo paralelna sa stranicom AC;
• između prave linije "a" i stranica AB i BC označavaju uglove, označavajući ih brojevima 1 i 2;
• ugao 1 je prepoznat kao jednak kutu A, a ugao 2 jednak kutu C, jer se smatra da ovi uglovi leže poprečno;
• dakle, zbir između uglova 1, 2 i 3 (koji je naznačen umesto ugla B) se priznaje kao jednak proširenom uglu sa vrhom B - i iznosi 180 stepeni.

Ako je zbir uglova označenih brojevima 180 stepeni, tada se zbir uglova A, B i C smatra jednakim 180 stepeni. Ovo pravilo važi za bilo koji trougao.

Ono što slijedi iz geometrijske teoreme

Uobičajeno je izdvojiti nekoliko posljedica iz gornje teoreme.

• Ako problem razmatra trougao sa pravim uglom, onda će jedan od njegovih uglova podrazumevano biti 90 stepeni, a zbir oštrih uglova će takođe biti 90 stepeni.
• Ako govorimo o pravokutnom jednakokračnom trokutu, tada će njegovi oštri uglovi, ukupno 90 stepeni, pojedinačno biti jednaki 45 stepeni.
• Jednakostranični trougao sastoji se od tri jednaka ugla, odnosno svaki od njih će biti jednak 60 stepeni, a ukupno će biti 180 stepeni.
• Vanjski ugao bilo kojeg trokuta bit će jednak zbroju dva unutrašnja ugla koji nisu susjedni njemu.

Možemo zaključiti sljedeće pravilo - u bilo kojem od trouglova postoje najmanje dva oštra ugla. U nekim slučajevima trokut se sastoji od tri oštra ugla, a ako postoje samo dva, onda će treći ugao biti tup ili pravi.

Dokaz

Neka ABC" je proizvoljan trougao. Hajdemo preko vrha B prava linija paralelna pravoj liniji AC (takva prava linija se zove euklidska prava linija). Označite tačku na njemu D tako da tačke A i D leže na suprotnim stranama prave linije BC.Uglovi DBC i ACB jednako kao i unutrašnji krst koji leži, formiran sekantom BC sa paralelnim linijama AC i BD. Dakle, zbir uglova trougla na vrhovima B i OD jednaka uglu ABD.Zbir sva tri ugla trougla jednak je zbiru uglova ABD i BAC. Pošto su ovi uglovi unutrašnji jednostrani za paralelu AC i BD na secantu AB, tada je njihov zbir 180°. Teorema je dokazana.

Posljedice

Iz teoreme slijedi da svaki trougao ima dva oštra ugla. Zaista, primjenjujući dokaz kontradiktorno, pretpostavimo da trokut ima samo jedan oštar ugao ili ga uopće nema. Tada ovaj trougao ima najmanje dva ugla, od kojih je svaki najmanje 90°. Zbir ovih uglova nije manji od 180°. Ali to je nemoguće, jer je zbir svih uglova trougla 180°. Q.E.D.

Generalizacija na teoriju simpleksa

Gdje je ugao između i i j strana simpleksa.

Bilješke

• Na sferi, zbir uglova trokuta uvek prelazi 180°, razlika se naziva sferni višak i proporcionalna je površini trokuta.
• U ravni Lobačevskog, zbir uglova trougla je uvek manji od 180°. Razlika je također proporcionalna površini trokuta.

vidi takođe

Wikimedia fondacija. 2010 .

• Taylor
• Donji Labudov most

Pogledajte šta je "Teorema o zbiru uglova trougla" u drugim rečnicima:

Teorema o sumi uglova poligona- Svojstvo poligona u euklidskoj geometriji: Zbir uglova n poligona je 180°(n 2). Sadržaj 1 Dokaz 2 Napomena ... Wikipedia

Pitagorina teorema- Pitagorina teorema je jedna od osnovnih teorema euklidske geometrije, koja uspostavlja odnos između stranica pravouglog trougla. Sadržaj 1 ... Wikipedia

Površina trougla

Pitagorina teorema- Pitagorina teorema je jedna od osnovnih teorema euklidske geometrije, koja uspostavlja odnos između stranica pravouglog trougla. Sadržaj 1 Izjave 2 Dokazi ... Wikipedia

Kosinus teorema- Teorema kosinusa je generalizacija Pitagorine teoreme. Kvadrat stranice trokuta jednak je zbiru kvadrata njegove druge dvije stranice bez udvostručenja umnožaka ovih stranica kosinusom ugla između njih. Za ravan trougao sa stranicama a, b, c i uglom α ... ... Wikipedia

Trougao- Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Trougao (značenja). Trougao (u Euklidskom prostoru) je geometrijska figura formirana od tri segmenta koji spajaju tri nelinearne tačke. Tri tačke, ... ... Wikipedia

Znakovi jednakosti trouglova- Standardna notacija Trougao je najjednostavniji poligon koji ima 3 vrha (ugla) i 3 strane; dio ravni omeđen sa tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji i tri segmenta koji povezuju ove tačke u paru. Vrhovi trougla ... Wikipedia

Euclid- starogrčki matematičar. Radio u Aleksandriji u III veku. BC e. Glavno djelo "Počeci" (15 knjiga), koje sadrži osnove antičke matematike, elementarne geometrije, teorije brojeva, opće teorije odnosa i metode za određivanje površina i volumena, ... ... enciklopedijski rječnik

EUCLID- (umro između 275. i 270. pne) starogrčki matematičar. Podaci o vremenu i mjestu njegovog rođenja nisu stigli do nas, ali se zna da je Euklid živio u Aleksandriji, a vrhunac njegove aktivnosti pada na vladavinu Ptolomeja I u Egiptu ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

NEEUKLIDANSKA GEOMETRIJA- geometrija slična geometriji Euklida po tome što definira kretanje figura, ali se razlikuje od euklidske geometrije po tome što je jedan od njenih pet postulata (drugi ili peti) zamijenjen njegovom negacijom. Poricanje jednog od euklidskih postulata ... ... Collier Encyclopedia

dokaz:

• Dat je trougao ABC.
• Povucite pravu DK kroz vrh B paralelno sa bazom AC.
• \ugao CBK= \ugao C kao unutrašnji poprečno ležeći sa paralelnim DK i AC, i sekantom BC.
• \ugao DBA = \ugao Unutrašnji poprečno leži u DK \paraleli AC i sekanti AB. Ugao DBK je ravan i jednak je
• \ugao DBK = \ugao DBA + \ugao B + \ugao CBK
• Pošto je pravi ugao 180 ^\circ , i \ugao CBK = \ugao C i \ugao DBA = \ugao A , dobijamo 180 ^\circ = \ugao A + \ugao B + \ugao C.

Teorem dokazan

Posljedice iz teoreme o zbiru uglova trougla:

1. Zbir oštrih uglova pravouglog trougla je 90°.
2. U jednakokračnom pravokutnom trokutu svaki oštar ugao je 45°.
3. U jednakostraničnom trouglu svaki ugao je 60°.
4. U bilo kojem trouglu, ili su svi uglovi oštri, ili su dva oštra, a treći je tup ili pravi.
5. Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja ugla koji mu nisu susjedni.

Teorema o vanjskom kutu trougla

Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva preostala ugla trougla koji nisu susjedni tom vanjskom kutu.

dokaz:

• Dat je trougao ABC, gdje je BCD vanjski ugao.
• \ugao BAC + \ugao ABC +\ugao BCA = 180^0
• Od jednakosti, ugao \ugao BCD + \ugao BCA = 180^0
• Dobijamo \ugao BCD = \ugao BAC+\ugao ABC.

Zbir unutrašnjih uglova trougla je 180 0 . Ovo je jedan od osnovnih aksioma Euklidove geometrije. Studenti izučavaju tu geometriju. Geometrija se definiše kao nauka koja proučava prostorne oblike stvarnog sveta.

Šta je podstaklo stare Grke da razviju geometriju? Potreba za mjerenjem njiva, livada - površina zemljine površine. Istovremeno, stari Grci su prihvatili da je površina Zemlje horizontalna, ravna. Imajući na umu ovu pretpostavku, kreirani su Euklidovi aksiomi, uključujući zbir unutrašnjih uglova trougla na 180 0 .

Aksiom je izjava koja ne zahtijeva dokaz. Kako ovo treba shvatiti? Izražava se želja koja odgovara osobi, a zatim se potvrđuje ilustracijama. Ali sve što nije dokazano je fikcija, nešto što nije u stvarnosti.

Uzimajući zemljinu površinu horizontalno, stari Grci su automatski poprimili oblik Zemlje kao ravnu, ali ona je drugačija - sferna. U prirodi uopće ne postoje horizontalne ravni i prave linije, jer gravitacija savija prostor. Prave linije i horizontalne ravni nalaze se samo u mozgu ljudske glave.

Stoga je Euklidova geometrija, koja objašnjava prostorne forme fiktivnog svijeta, simulakrum – kopija koja nema original.

Jedan od Euklidovih aksioma kaže da je zbir unutrašnjih uglova trougla 180 0 . U stvari, u stvarnom zakrivljenom prostoru, ili na sfernoj površini Zemlje, zbir unutrašnjih uglova trougla je uvek veći od 180 0 .

Razmišljamo ovako. Bilo koji meridijan na globusu seče sa ekvatorom pod uglom od 90 0 . Da biste dobili trougao, morate odmaknuti još jedan meridijan od meridijana. Zbir uglova trougla između meridijana i strane ekvatora biće 180 0 . Ali i dalje će postojati ugao na polu. Kao rezultat, zbir svih uglova i bit će veći od 180 0.

Ako se stranice sijeku na polu pod uglom od 90 0, tada će zbir unutrašnjih uglova takvog trokuta biti 270 0. Dva meridijana koja se sijeku s ekvatorom pod pravim uglom u ovom trouglu bit će paralelna jedan s drugim, a na polu, koji se sijeku jedan s drugim pod uglom od 90 0, postaće okomiti. Ispostavilo se da dvije paralelne prave na istoj ravni ne samo da se sijeku, već mogu biti i okomite na pol.

Naravno, stranice takvog trokuta neće biti ravne linije, već konveksne, ponavljajući sferni oblik globusa. Ali, upravo takav pravi svijet svemira.

Geometrija realnog prostora, uzimajući u obzir njegovu zakrivljenost sredinom XIX veka. razvio njemački matematičar B. Riemann (1820-1866). Ali studentima se o tome ne govori.

Dakle, euklidska geometrija, koja ima oblik ravne Zemlje sa horizontalnom površinom, što zapravo nije slučaj, je simulakrum. Nootic - Rimanova geometrija koja uzima u obzir zakrivljenost prostora. Zbir unutrašnjih uglova trougla u njemu je veći od 180 0 .

Odjeljci: Matematika

Prezentacija . (Slajd 1)

Vrsta lekcije: lekcija učenje novog gradiva.

Ciljevi lekcije:

• Obrazovni:
  • razmotrimo teoremu o zbiru uglova trougla,
  • pokazati primjenu teoreme u rješavanju problema.
• Obrazovni:
  • negovanje pozitivnog stava učenika prema znanju,
  • uliti povjerenje učenicima putem časa.
• Obrazovni:
  • razvoj analitičkog mišljenja,
  • razvoj "vještina za učenje": korištenje znanja, vještina i sposobnosti u obrazovnom procesu,
  • razvoj logičkog mišljenja, sposobnost da jasno artikulišu svoje misli.

Oprema: interaktivna tabla, prezentacija, kartice.

TOKOM NASTAVE

I. Organizacioni momenat

- Danas ćemo se na času prisjetiti definicija pravouglog, jednakokrakog, jednakostraničnog trougla. Ponovimo svojstva uglova trouglova. Koristeći svojstva unutrašnjih jednostranih i unutrašnjih unakrsno ležećih uglova, dokazaćemo teoremu o zbiru uglova trougla i naučiti kako da je primenimo u rešavanju zadataka.

II. Oralno(Slajd 2)

1) Pronađite pravougaone, jednakokračne, jednakostranične trouglove na figurama.
2) Definišite ove trouglove.
3) Formulirajte svojstva uglova jednakostraničnog i jednakokračnog trougla.

4) Na slici KE II NH. (slajd 3)

– Odredite sekante za ove linije
– Nađi unutrašnje jednostrane uglove, unutrašnje poprečno ležeće uglove, imenuj njihova svojstva

III. Objašnjenje novog materijala

Teorema. Zbir uglova trougla je 180o

Prema formulaciji teoreme, momci grade crtež, zapisuju uslov, zaključak. Odgovarajući na pitanja, samostalno dokazati teoremu.

Dato: dokazati:

dokaz:

1. Povucite pravu BD II AC kroz vrh B trougla.
2. Odredite sekante za paralelne prave.
3. Šta se može reći o uglovima CBD i ACB? (napravi zapisnik)
4. Šta znamo o uglovima CAB i ABD? (napravi zapisnik)
5. Zamijenite ugao CBD sa uglom ACB
6. Donesite zaključak.

IV. Završi ponudu.(Slajd 4)

1. Zbir uglova trougla je ...
2. U trouglu, jedan od uglova je jednak, drugi, treći ugao trougla je jednak ...
3. Zbir oštrih uglova pravouglog trougla je ...
4. Uglovi jednakokrakog pravouglog trougla jednaki su ...
5. Uglovi jednakostraničnog trougla su jednaki...
6. Ako je ugao između stranica jednakokračnog trougla 1000, onda su uglovi u osnovi ...

V. Malo istorije.(Slajdovi 5-7)

Dokaz teoreme o zbiru uglova trougla "Zbir unutrašnjosti uglovi trokuta su jednaki dvama pravim uglama" pripisuje Pitagori (580-500 pne)
Starogrčki učenjak Proklo (410-485 n.e.),