Označavajući moment sile u odnosu na osi , i , možemo napisati:

gdje je , i moduli projekcija sila na ravni okomite na osu u odnosu na koju je određen moment; l - ramena jednake dužine

okomite od tačke preseka ose sa ravninom do projekcije ili njenog nastavka; znak plus ili minus se postavlja u zavisnosti od toga u kom pravcu se rame okreće l vektor projekcije, ako gledate na ravan projekcije iz pozitivnog smjera ose; kada vektor projekcije teži da rotira ruku u suprotnom smeru od kazaljke na satu, slažemo se da smatramo trenutak pozitivnim, i obrnuto.

shodno tome, moment sile oko ose naziva se algebarska (skalarna) veličina jednaka momentu projekcije sile na ravan okomitu na osu, u odnosu na tačku preseka ose sa ravninom.

Prethodna slika ilustrira redoslijed određivanja momenta sile oko ose Z. Ako je sila data i os je odabrana (ili specificirana), tada: a) odabire se ravan okomita na osu (ravninu XOY) ; b) sila F se projektuje na ovu ravan i određuje se modul te projekcije; c) iz tačke 0 preseka ose sa ravni, okomita OS na projekciju se spušta i određuje se rame l = OS; d) gledajući ravan XOU iz pozitivnog smjera ose Z (tj. u ovom slučaju, odozgo), vidimo da je OS rotiran vektorom u odnosu na sat, što znači

Moment sile oko ose je nula ako sila i os leže u istoj ravni: a) sila siječe os (u ovom slučaju l = 0);

b) sila je paralelna sa osi ();

c) sila djeluje duž ose ( l=0 i ).

Prostorni sistem proizvoljno lociranih sila.

Stanje ravnoteže

Prethodno je detaljno opisan proces dovođenja sila u tačku i dokazano da se svaki ravan sistem sila svodi na silu - glavni vektor i par čiji se moment naziva glavni moment, a sila i par ekvivalentan ovom sistemu sila djeluje u istoj ravni kao i dati sistem. Sta ako glavna tačka onda predstavljaju kao vektor glavni vektor i glavna poenta ravni sistem sile su uvek okomite jedna na drugu.

Slično argumentujući, može se dosledno dovesti do tačke sile prostornog sistema. Ali sada je glavni vektor vektor zatvaranja prostornog (a ne ravnog) poligona sile; glavni moment se više ne može dobiti algebarskim sabiranjem momenata ovih sila u odnosu na tačku redukcije. Kada se svedu na tačku prostornog sistema sila, vezani parovi djeluju u različitim ravnima, te je preporučljivo njihove momente prikazati u obliku vektora i geometrijski ih sabrati. Dakle, glavni vektor dobijen kao rezultat redukcije prostornog sistema sila ( geometrijski zbir sile sistema) i glavni moment (geometrijski zbir momenata sila u odnosu na tačku redukcije), uopšteno govoreći, nisu okomiti jedan na drugi.

Vektorske jednakosti i izražavaju potrebne i dovoljno stanje ravnoteža prostornog sistema proizvoljno lociranih sila.

Ako je glavni vektor jednak nuli, tada su i njegove projekcije na tri međusobno okomite ose jednake nuli. Ako je glavni moment jednak nuli, tada su tri njegove komponente na istoj osi jednake nuli.

To znači da je proizvoljan prostorni sistem sila statički odrediv samo ako broj nepoznatih ne prelazi šest.

Među problemima statike često se nalaze i oni u kojima na tijelo djeluje prostorni sistem sila paralelnih jedna s drugom.

IN prostorni sistem ne bi trebalo postojati više od tri paralelne nepoznate sile, inače problem postaje statički neodređen.

Poglavlje 6

Osnovni pojmovi kinematike

Grana mehanike koja se bavi proučavanjem kretanja materijalna tela ne uzimajući u obzir njihove mase i sile koje na njih djeluju, naziva se kinematika.

Kretanje- glavni oblik postojanja cjelokupnog materijalnog svijeta, mir i ravnotežu- posebni slučajevi.

Svako kretanje, uključujući mehaničko kretanje, događa se u prostoru i vremenu.

Sva tijela se sastoje od materijalnih tačaka. Da biste dobili ispravnu predstavu o kretanju tijela, morate početi proučavati s kretanjem tačke. Kretanje tačke u prostoru izražava se u metrima, kao i u višestrukim (cm, mm) ili višestrukim (km) jedinicama dužine, vrijeme - u sekundama. U praksi ili životnim situacijama, vrijeme se često izražava u minutama ili satima. Kada se razmatra jedno ili drugo kretanje tačke, vrijeme se računa od određenog, unaprijed određenog početnog trenutka ( t= 0).

Lokus položaja pokretne tačke u referentnom okviru koji se razmatra naziva se putanja. Prema vrsti putanje, kretanje tačke se deli na pravolinijski I krivolinijski. Putanja tačke se može definirati i unaprijed postaviti. Na primjer, putanje umjetni sateliti Zemaljske i međuplanetarne stanice se računaju unaprijed ili ako uzmemo autobuse koji se kreću po gradu materijalne tačke, tada su poznate i njihove putanje (rute). U takvim slučajevima, položaj tačke u svakom trenutku vremena je određen udaljenosti (koordinatom luka) S, tj. dužina dionice putanje, računana od nekih njenih fiksnih tačaka, uzeta kao ishodište. Brojanje udaljenosti od početka putanje može se vršiti u oba smjera, stoga se računanje u jednom smjeru uvjetno uzima kao pozitivno, a u

suprotno - za negativno , one. udaljenost S je algebarska veličina. Može biti pozitivan (S > 0) ili negativan (S<0).

Kada se kreće, tačka za određeni vremenski period prođe način L , koji se mjeri duž putanje u smjeru vožnje.

Ako bi se tačka počela kretati ne od početka O, već od pozicije na početnoj udaljenosti S o tada

Vektorska veličina koja u bilo kojem trenutku karakterizira smjer i brzinu kretanja točke naziva se brzina.

Brzina tačke u bilo kom trenutku njenog kretanja usmerena je tangencijalno na putanju.

Imajte na umu da ova vektorska jednakost karakterizira samo poziciju i modul prosječne brzine tokom vremena:

gdje je put koji pređe tačka u vremenu.

Modul prosječne brzine jednak je prijeđenoj udaljenosti podijeljenoj s vremenom za koje je ovaj put pređen.

Vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene smjera i numerička vrijednost brzine se naziva ubrzanje.

Kod ravnomjernog kretanja duž krivolinijske putanje, tačka ima i ubrzanje, jer se u ovom slučaju mijenja i smjer brzine.

Jedinica ubrzanja se obično uzima kao .

6.2. Metode za određivanje kretanja tačke

Postoje tri načina: prirodno, koordinata, vektor.

Prirodan način za određivanje kretanja tačke. Ako je pored putanje na kojoj je označen početak O, zavisnost

između udaljenosti S i vremena t, ova jednačina se zove zakon kretanja tačke duž date putanje.

Neka je, na primjer, dana neka putanja, kretanje tačke duž koje je određeno jednadžbom . Tada u vrijeme, tj. tačka je u početku O; u određenom trenutku, tačka je na udaljenosti; u određenom trenutku, tačka se nalazi na udaljenosti od početka O.

Koordinatni metod specificiranja kretanja tačke. Kada putanja tačke nije poznata unapred, položaj tačke u prostoru je određen sa tri koordinate: apscisa X, ordinata Y i aplikat Z.

Ili isključujući vrijeme.

Ove jednačine izražavaju zakon kretanja tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu (OXYZ).

U konkretnom slučaju, ako se tačka kreće u ravni, zakon kretanja tačke izražava se sa dve jednačine: ili .

Na primjer. Kretanje tačke u ravnom koordinatnom sistemu dato je jednadžbama i ( X I Y– cm, t – c). Zatim u vrijeme i , tj. tačka je na početku; u trenutku koordinate tačke , ; u trenutku koordinate tačke , itd.

Poznavajući zakon kretanja tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu, može se odrediti jednadžba putanje tačke.

Na primjer, eliminacijom vremena t iz gornjih jednačina i , dobijamo jednadžbu putanje . Kao što vidite, u ovom slučaju tačka se kreće duž prave linije koja prolazi kroz ishodište.

6.3. Određivanje brzine tačke na prirodan način
zadaci njenog kretanja

Neka se tačka A kreće duž date putanje prema jednačini , potrebno je odrediti brzinu tačke u trenutku t.

Tokom određenog vremenskog perioda, tačka je prešla put , vrijednost prosječne brzine duž ove putanje se naziva tangenta, ili tangencijalno ubrzanje. Tangencijalni modul ubrzanja

,

jednak derivatu brzine u datom trenutku vremena, ili, inače, drugom izvodu udaljenosti u vremenu, karakterizira brzinu promjene vrijednosti brzine.

Dokazano je da je vektor u svakom trenutku okomit na tangentu, pa se tako zove normalno ubrzanje.

To znači da je modul normalnog ubrzanja proporcionalan drugoj potenciji modula brzine u datom trenutku, obrnuto proporcionalan polumjeru krivine putanje u datoj tački i karakterizira brzinu promjene smjera brzine. .

Modul za ubrzanje

Moment sile oko ose je moment projekcije sile na ravan okomitu na osu, u odnosu na tačku preseka ose sa ovom ravninom

Moment oko ose je pozitivan ako sila teži da rotira ravan okomitu na osu suprotno od kazaljke na satu kada se gleda prema osi.

Moment sile oko ose je 0 u dva slučaja:

Ako je sila paralelna sa osom

Ako sila prelazi osu

Ako linija djelovanja i osa leže u istoj ravni, tada je moment sile oko ose 0.

27. Odnos između momenta sile oko ose i vektorskog momenta sile oko tačke.

Mz(F)=Mo(F)*cosαMoment sile, u odnosu na osu, jednak je projekciji vektora momenta sila, u odnosu na tačku ose, na ovu osu.

28. Glavna teorema statike o dovođenju sistema sila u dato središte (Poinsotova teorema). Glavni vektor i glavni moment sistema sila.

Svaki prostorni sistem sila u opštem slučaju može se zamijeniti ekvivalentnim sistemom koji se sastoji od jedne sile primijenjene u nekoj tački tijela (redukcionog centra) i jednake glavnom vektoru ovog sistema sila i jednog para sila, tj. čiji je moment jednak glavnom momentu svih sila u odnosu na odabrani referentni centar.

Glavni vektor sistema sila zove vektor R jednak vektorskom zbiru ovih sila:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F i .

Za ravan sistem sila, njegov glavni vektor leži u ravni djelovanja ovih sila.

Glavni momenat sistema sila oko centra O naziva se vektor L O , jednako zbroju vektorskih momenata ovih sila u odnosu na tačku O:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vector R ne zavisi od izbora centra O i vektora L O prilikom promjene položaja centra O se generalno može promijeniti.

Poinsotova teorema: proizvoljan prostorni sistem sila može se zamijeniti jednom silom sa glavnim vektorom sistema sila i parom sila sa glavnim momentom bez narušavanja stanja krutog tijela. Glavni vektor je geometrijski zbir svih sila koje djeluju na kruto tijelo i nalazi se u ravni djelovanja sila. Glavni vektor se razmatra kroz njegove projekcije na koordinatne ose.

Da bi se dovele sile u dato središte koje se primenjuju u nekoj tački krutog tela, potrebno je: 1) preneti silu na sebe paralelno datom centru bez promene modula sile; 2) u datom centru primijeniti par sila čiji je vektorski moment jednak vektorskom momentu prenesene sile relativnog novog centra, ovaj par se naziva vezani par.

Ovisnost glavnog momenta o izboru centra redukcije. Glavni moment u odnosu na novi centar redukcije jednak je geometrijskom zbroju glavnog momenta u odnosu na staro središte redukcije i vektorskog proizvoda radijus vektora koji povezuje novi centar redukcije sa starim, i glavnog vektora.

29 Posebni slučajevi redukcije prostornog sistema snaga

	Vrijednosti glavnog vektora i glavnog momenta	Rezultat glume
		Sistem sila se svodi na par sila čiji je moment jednak glavnom momentu (glavni moment sistema sila ne zavisi od izbora centra redukcije O).
		Sistem sila se svodi na rezultantu jednaku prolasku kroz centar O.
		Sistem sila je sveden na rezultantu jednaku glavnom vektoru i paralelnu s njim i odvojenu od njega na udaljenosti. Položaj linije djelovanja rezultante mora biti takav da se smjer njenog momenta u odnosu na centar redukcije O poklapa sa smjerom u odnosu na centar O.
	, a vektori nisu okomiti	Sistem sila se svodi na dinamo (motorni vijak) - kombinaciju sile i para sila koje leže u ravni okomitoj na ovu silu.
		Sistem sila primijenjenih na kruto tijelo je uravnotežen.

30. Svođenje na dinamiku. U mehanici, dinamo je takav skup sila i par sila () koje djeluju na kruto tijelo, u kojem je sila okomita na ravninu djelovanja para sila. Koristeći vektorski moment nekoliko sila, može se definirati i dinamo kao kombinacija sile i para čija je sila paralelna vektorskom momentu nekoliko sila.

Jednačina središnje spiralne ose Pretpostavimo da se u centru redukcije, uzetom za ishodište, dobije glavni vektor sa projekcijama na koordinatne ose i glavni moment sa projekcijama.Kada se sistem sila dovede u centar redukcije O 1 (slika 30) , dobija se dinamo sa glavnim vektorom i glavnim momentom , vektorima i kao formiranjem linama. su paralelni i stoga se mogu razlikovati samo za skalarni faktor k 0. Imamo, budući da .Glavni momenti i , zadovoljavaju odnos

Proučavanje svojstava para sila, koji je jedan od osnovnih elemenata statike, zahtijeva uvođenje važnog pojma momenta sile u odnosu na tačku.

Neka sila deluje na telo u tački A (slika 89). Odaberemo bilo koju tačku u prostoru O (obično se kao ova tačka bira ishodište koordinata) i izvučemo iz nje vektor radijusa koji ide do tačke primjene ove sile.

Vektorski moment sile u odnosu na tačku O naziva se slobodni vektor, određen unakrsnim proizvodom od

Označavajući to kroz imamo

Modul vektora jednak je dvostrukoj površini trokuta izgrađenog na vektorima i vektor je usmjeren okomito na ravan definiranu vektorima, tako da ako ovu ravninu pogledate s njenog kraja, tada će sila težiti rotaciji tijelo oko tačke O u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Obično se smatra da je vektor vezan za tačku. Ako je sila različita od nule, tada je vektorski moment jednak nuli samo ako tačka O leži na liniji djelovanja sile. U SI sistemu jedinica, dimenzija momenta sile u odnosu na tačku je

Iz definicije vektorskog momenta slijedi da se on ne mijenja ako se sila pomjeri duž linije njenog djelovanja. Zaista, u ovom slučaju, ravan definirana vektorima ne mijenja svoju

lokacija u prostoru, a površina trokuta izgrađenog na ovim vektorima se ne mijenja (Sl. 89).

Iz ovog svojstva slijedi da je koncept momenta vektora u odnosu na tačku usko povezan s konceptom kliznog vektora.

Algebarski moment sile

Ako se razmatra ravan sistem sila ili sila koje se nalaze u istoj ravni, onda je preporučljivo uvesti pojam algebarskog momenta sile.

Modul vektorskog momenta, kao što je naznačeno, jednak je dvostrukoj površini trougla izgrađenog na vektorima. Ako je ugao između vektora a, tada

Ali posao

je dužina okomice iz tačke O na liniju djelovanja sile. Vrijednost se naziva rame sile u odnosu na tačku O. Postavimo je u ravan definiranu vektorima i koordinatnim osa, dok će z osa biti smještena okomito na ovu ravan (slika 90). Algebarski moment sile je proizvod ramena sile i modula sile

Predznak algebarskog momenta će biti plus ako, za posmatrača koji se nalazi duž pozitivne z-ose, sila teži da se rotira oko tačke O u smeru suprotnom od kazaljke na satu. U suprotnom, predznak algebarskog momenta će biti negativan.

Moment sile oko ose

Koncept momenta sile oko tačke usko je povezan sa konceptom momenta sile oko ose.

Moment sile oko ose je projekcija momenta sile oko proizvoljne tačke na osi na osu.

Da bi ova definicija imala smisla, potrebno je dokazati da su projekcije na osu momenata sile u odnosu na dvije proizvoljne tačke na osi jednake.

Da bismo to dokazali, nacrtajmo ravan okomitu na osu (slika 91) i projicirajmo vektor na tu ravan.

Označimo sa a ugao koji formira vektor sa osom. Tada se moment vektora u odnosu na osu određuje formulom:

Dakle, pošto vrednost ne zavisi od položaja tačke O na osi (slika 92), onda

Formula koja određuje aksijalni moment omogućava vam da uspostavite geometrijsko pravilo za njegovo izračunavanje. Ovo pravilo je sljedeće: nacrtajte ravan okomitu na osu, projektirajte vektor na nju

Dvostruka površina trokuta formiranog ovom projekcijom i točka presjeka ose s ravninom određuje veličinu aksijalnog momenta.

Predznak momenta će biti pozitivan ako, za posmatrača koji se nalazi duž pozitivnog smera ose, projekcija vektora teži da se rotira oko tačke preseka ose sa ravninom u smeru suprotnom od kazaljke na satu; ako projekcija teži da se rotira u smjeru kazaljke na satu, tada će predznak trenutka biti negativan.

Formule za određivanje momenata kroz projekcije

Kao tačka O, u odnosu na koju se računa moment kliznog vektora, obično se bira ishodište koordinata. Tada će se moment sile primijeniti na ishodište koordinata i njegove projekcije na osu će biti odgovarajući aksijalni momenti. Iz definicije i geometrijskog pravila za izračunavanje aksijalnog momenta slijedi da će on biti jednak nuli ako je vektor paralelan s osi, ili njegova linija djelovanja siječe osu. Ako je sila data njenim projekcijama i poznate su projekcije vektora radijusa koji definiraju točku primjene sile (ili jednostavno koordinate ove tačke), tada je moment vektora u odnosu na tačku O i momenti

u odnosu na koordinatne ose, kao što sledi iz prethodne, određuju se formulom:

Moment para sila

Moment sile u odnosu na neku tačku (centar) je vektor brojčano jednak proizvodu modula sile i kraka, tj. najkraća udaljenost od navedene tačke do linije djelovanja sile, a usmjerena okomito na ravan koja prolazi kroz odabranu tačku i liniju djelovanja sile u smjeru iz kojeg se vrši "rotacija" koju vrši sila oko Čini se da se tačka pojavljuje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Moment sile karakteriše njeno rotaciono dejstvo.

Ako O- tačka u odnosu na koju se nalazi moment sile F, tada je moment sile označen simbolom M o (Ž). Pokažimo da ako je tačka primjene sile F određen radijus vektorom r, zatim odnos

M o (F)=r×F. (3.6)

Prema ovom omjeru moment sile je jednak vektorskom proizvodu vektora r vektoru F.

Zaista, modul unakrsnog proizvoda je

M o ( F)=RF sin= Fh, (3.7)

gdje h- ruka snage. Imajte na umu i da vektor M o (Ž) usmjeren okomito na ravan koja prolazi kroz vektore r I F, u smjeru iz kojeg je najkraći okret vektora r u pravcu vektora F izgleda suprotno od kazaljke na satu. Dakle, formula (3.6) u potpunosti određuje modul i smjer momenta sile F.

Ponekad je korisno napisati formulu (3.7) u formu

M o ( F)=2S, (3.8)

gdje S- površina trougla OAB.

Neka bude x, y, z su koordinate tačke primjene sile, i Fx, Fy, Fz su projekcije sila na koordinatne ose. Onda ako je poenta O lociran na početku, moment sile se izražava na sljedeći način:

Iz toga slijedi da su projekcije momenta sile na koordinatne ose određene formulama:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Hajde da sada uvedemo koncept projekcije sile na ravan.

Neka snaga bude data F i neki avion. Ispustimo okomite na ovu ravan s početka i kraja vektora sile.

Projekcija sile na ravan pozvao vektor , čiji se početak i kraj poklapaju sa projekcijom početka i projekcijom kraja sile na ovu ravan.

Ako uzmemo ravan kao razmatranu ravan hoy, zatim projekcija sile F na ovoj ravni će biti vektor Fhu.

Trenutak snage Fhu u odnosu na tačku O(tačke preseka ose z sa avionom hoy) može se izračunati po formuli (3.9) ako uzmemo z=0, Fz=0. Get

MO(Fhu)=(xF y -yF x)k.

Dakle, moment je usmjeren duž ose z, i njegovu projekciju na osu z tačno poklapa sa projekcijom na istu osu momenta sile F u odnosu na tačku O. Drugim riječima,

M Oz(F)=M Oz(Fhu)= xF y -yF x. (3.11)

Očigledno, isti rezultat se može dobiti projektovanjem sile F na bilo koju drugu ravan paralelnu sa hoy. U ovom slučaju, tačka preseka ose z sa ravninom će biti drugačije (novo presečnu tačku označavamo kroz O jedan). Međutim, sve veličine na desnoj strani jednakosti (3.11) X, at, F x, F ostaju nepromijenjeni i stoga možemo pisati

M Oz(F)=M O 1 z ( Fhu).

Drugim riječima, projekcija momenta sile oko tačke na osi koja prolazi kroz ovu tačku ne zavisi od izbora tačke na osi . Stoga, u nastavku, umjesto simbola M Oz(F) koristićemo simbol Mz(F). Ova projekcija trenutka se zove moment sile oko ose z. Proračun momenta sile oko ose se često pogodnije vrši projekcijom sile. F na ravan okomitu na osu i izračunavanje količine Mz(Fhu).

U skladu sa formulom (3.7) i uzimajući u obzir predznak projekcije dobijamo:

Mz(F)=Mz(Fhu)=± F xy h*. (3.12)

Evo h*- ruka snage Fhu u odnosu na tačku O. Ako posmatrač vidi sa strane pozitivnog smjera z-ose, to je sila Fhu teži da rotira tijelo oko ose z suprotno od kazaljke na satu, tada se uzima znak "+", au suprotnom - znak "-".

Formula (3.12) omogućava da se formuliše sledeće pravilo za izračunavanje momenta sile oko ose. Za ovo vam je potrebno:

odabrati proizvoljnu tačku na osi i konstruisati ravan okomitu na osu;

projektuje silu na ovu ravan;

Odrediti krak projekcije sile h*.

Moment sile oko ose jednak je proizvodu modula projekcije sile na njeno rame, uzet sa odgovarajućim predznakom (vidi gornje pravilo).

Iz formule (3.12) slijedi da moment sile oko ose je nula u dva slučaja:

· kada je projekcija sile na ravan okomitu na osu jednaka nuli, tj. kada su sila i osa paralelne ;

kada projekcija ramena h* jednako nuli, tj. kada linija akcije pređe osu .

Oba ova slučaja se mogu kombinovati u jedan: moment sile oko ose je nula ako i samo ako su linija dejstva sile i ose u istoj ravni .

Zadatak 3.1. Izračunajte u odnosu na tačku O momenta moći F primijenjen na tačku ALI i dijagonalno usmjereno lice kocke sa stranicom ali.

Prilikom rješavanja ovakvih zadataka preporučljivo je prvo izračunati momente sile F u odnosu na koordinatne ose x, y, z. Koordinate tačke ALI primjena sile Fće

Projekcije sile F na koordinatnoj osi:

Zamjenom ovih vrijednosti u jednakosti (3.10), nalazimo

, , .

Isti izrazi za momente sile F u odnosu na koordinatne ose može se dobiti pomoću formule (3.12). Da bismo to učinili, dizajniramo silu F na ravni okomitoj na osu X I at. Očigledno je da . Primjenom gornjeg pravila dobijamo, očekivano, iste izraze:

, , .

Modul momenta je određen jednakošću

.

Hajde da sada uvedemo koncept momenta para. Hajde da prvo pronađemo koliki je zbir momenata sila koje čine par, u odnosu na proizvoljnu tačku. Neka bude O je proizvoljna tačka u prostoru, i F I F"- sile koje čine par.

Onda M o (F)= OA × F, M o (F") = OV × F",

M o (F) + M o (F ") = OA × F+ OV × F",

ali pošto F= -F", onda

M o (F) + M o (F ") = OA × F- OV × F=(OA-OV)× F.

Uzimajući u obzir jednakost OA-OV=VA , konačno nalazimo:

M o (F) + M o (F ") = VA × F.

shodno tome, zbroj momenata sila koje čine par ne zavisi od položaja tačke u odnosu na koju se momenti uzimaju .

vektorski proizvod VA × F i pozvao par trenutak . Trenutak para je označen simbolom M(Ž, Ž"), i

M(Ž, Ž")=VA × F= AB × F",

ili, ukratko,

M=VA × F= AB × F". (3.13)

S obzirom na desnu stranu ove jednakosti, to primjećujemo moment para je vektor okomit na ravan para, jednak po apsolutnoj vrijednosti proizvodu modula jedne od sila para i kraka para (tj. najkraća udaljenost između linija djelovanje sila koje čine par) i usmjerene u smjeru iz kojeg se vidi da se "rotacija" para odvija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. . Ako h onda je rame para M(Ž, Ž")=h×F.

Iz same definicije se vidi da je moment para sila slobodan vektor, čija linija djelovanja nije definirana (dodatno opravdanje za ovu primjedbu slijedi iz teorema 2 i 3 ovog poglavlja).

Da bi par sila formirao uravnotežen sistem (sistem sila ekvivalentnih nuli), potrebno je i dovoljno da moment para bude jednak nuli. Zaista, ako je trenutak para nula, M=h×F, onda bilo F=0, tj. nema snage, niti ramena para h jednako nuli. Ali u ovom slučaju, snage para će djelovati u jednoj pravoj liniji; budući da su jednake po apsolutnoj vrijednosti i usmjerene u suprotnim smjerovima, onda će, na osnovu aksioma 1, činiti uravnotežen sistem. Obrnuto, ako dvije sile F1 I F2, koji čine par, su uravnoteženi, a zatim, na osnovu istog aksioma 1, djeluju duž jedne prave linije. Ali u ovom slučaju, poluga para h jednako nuli i stoga M=h×F=0.

Teoreme para

Dokažimo tri teoreme pomoću kojih ekvivalentne transformacije parova postaju moguće. U svim razmatranjima, treba imati na umu da se oni odnose na parove koji djeluju na bilo koje jedno čvrsto tijelo.

Teorema 1. Dva para koja leže u istoj ravni mogu se zamijeniti jednim parom koji leži u istoj ravni sa momentom jednakim zbiru momenata data dva para.

Da biste dokazali ovu teoremu, razmotrite dva para ( F1,Ž" 1) I ( F2,Ž" 2) i prenijeti tačke primjene svih sila duž linija njihovog djelovanja na tačke ALI I IN respektivno. Sabiranjem sila prema aksiomu 3, dobijamo

R=F1+F2 I R"=F" 1+Ž" 2,

ali F1=-Ž" 1 I F2=-Ž" 2.

shodno tome, R=-R", tj. snagu R I R" formiraju par. Nađimo trenutak ovog para koristeći formulu (3.13):

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F1+F2)=VA× F1+VA× F2. (3.14)

Kada se sile koje čine par prenose duž linija njihovog djelovanja, ne mijenjaju se ni krak ni smjer rotacije para, pa se stoga ne mijenja ni moment para. znači,

VA × F 1 \u003d M(F1,Ž" 1)=M 1, VA× F 2 \u003d M(F2,Ž" 2)=M 2

i formula (3.14) poprima oblik

M \u003d M 1 + M 2, (3.15)

što dokazuje valjanost gornje teoreme.

Navedimo dvije napomene o ovoj teoremi.

1. Linije djelovanja sila koje čine parove mogu se pokazati paralelnim. Teorema ostaje važeća i u ovom slučaju, ali za njeno dokazivanje treba koristiti pravilo sabiranja paralelnih sila.

2. Nakon sabiranja, može se ispostaviti da M(R, R")=0; Na osnovu ranije date napomene, ovo implicira da skup od dva para ( F1,Ž" 1, F2,Ž" 2)=0.

Teorema 2. Dva para koja imaju geometrijski jednake momente su ekvivalentna.

Pustite na tijelu u avionu I par ( F1,Ž" 1) sa momentom M 1. Pokažimo da se ovaj par može zamijeniti drugim parom ( F2,Ž" 2) koji se nalazi u avionu II, ako je samo trenutak M 2 jednaki M 1(prema definiciji (vidi 1.1) to će značiti da parovi ( F1,Ž" 1) I ( F2,Ž" 2) su ekvivalentni). Prije svega, napominjemo da su avioni I I II moraju biti paralelne, posebno se mogu poklapati. Zaista, iz paralelizma trenutaka M 1 I M 2(u našem slučaju M 1=M 2) slijedi da su ravni djelovanja parova, okomite na momente, također paralelne.

Hajde da predstavimo novi par ( F3,Ž" 3) i nanesite zajedno sa parom ( F2,Ž" 2) na tijelo, stavljajući oba para u ravan II. Da bismo to učinili, prema Aksiomu 2, moramo odabrati par ( F3,Ž" 3) sa momentom M 3 tako da primijenjeni sistem sila ( F2,Ž" 2, F3,Ž" 3) je bila uravnotežena. To se može učiniti, na primjer, na sljedeći način: postavljamo F3=-Ž" 1 I F" 3 =-F1 i kombinujmo tačke primene ovih sila sa projekcijama ALI 1 i IN 1 bod ALI I IN u avion II. Prema konstrukciji imaćemo: M 3 \u003d -M 1 ili s obzirom na to M 1 = M 2,

M 2 + M 3 = 0.

Uzimajući u obzir drugu napomenu na prethodnu teoremu, dobijamo ( F2,Ž" 2, F3,Ž" 3)=0. Dakle, parovi ( F2,Ž" 2) I ( F3,Ž" 3) su međusobno uravnoteženi i njihovo vezivanje za tijelo ne narušava njegovo stanje (aksiom 2), tako da

(F1,Ž" 1)= (F1,Ž" 1, F2,Ž" 2, F3,Ž" 3). (3.16)

S druge strane, sile F1 I F3, kao i Ž" 1 I Ž" 3 može se sabrati po pravilu sabiranja paralelnih sila usmjerenih u jednom smjeru. Sve ove sile su po modulu jednake jedna drugoj, dakle njihova rezultanta R I R" mora biti primijenjen na presjeku dijagonala pravokutnika ABB 1 ALI jedan ; osim toga, jednake su po apsolutnoj vrijednosti i usmjerene u suprotnim smjerovima. To znači da oni čine sistem ekvivalentan nuli. dakle,

(F1,Ž" 1, F3,Ž" 3)=(R, R")=0.

Sada možemo pisati

(F1,Ž" 1, F2,Ž" 2, F3,Ž" 3)=(F3,Ž" 3). (3.17)

Upoređujući relacije (3.16) i (3.17), dobijamo ( F1,Ž" 1)=(F2,Ž" 2), što je trebalo dokazati.

Iz ove teoreme slijedi da se par sila može pomjeriti u ravni svog djelovanja, prenijeti u paralelnu ravan; konačno, u paru, možete istovremeno mijenjati sile i rame, zadržavajući samo smjer rotacije para i modul njegovog momenta ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

U nastavku ćemo u velikoj mjeri koristiti takve ekvivalentne transformacije para.

Teorema 3. Dva para koja leže u ravninama koje se seku su ekvivalentne jednom paru čiji je moment jednak zbiru momenata dva data para.

Neka parovi ( F1,Ž" 1) I ( F2,Ž" 2) nalaze se u ravninama koje se seku I I II respektivno. Koristeći posljedicu teoreme 2, oba para svodimo na rame AB nalazi se na liniji presjeka ravnina I I II. Označite transformirane parove sa ( Q1,Q" 1) I ( Q2,Q" 2). U ovom slučaju, jednakosti

M 1 =M(Q1,Q" 1)=M(F1,Ž" 1) I M 2 =M(Q2,Q" 2)=M(F2,Ž" 2).

Dodajmo prema aksiomu 3 sile primijenjene u tačkama ALI I IN respektivno. Onda dobijamo R \u003d Q 1 + Q 2 I R"= Q" 1 +Q" 2. S obzirom na to Q" 1 = -Q 1 I Q" 2 \u003d -Q 2, dobijamo R=-R". Tako smo dokazali da je sistem od dva para ekvivalentan jednom paru ( R,R").

Nađimo trenutak M ovaj par. Na osnovu formule (3.13), imamo

M(R,R")=VA× (Q1+Q2)=VA× Q1+ VA× Q2=

=M(Q1,Q" 1)+M(Q2,Q" 2)=M(F1,Ž" 1)+M(F2,Ž" 2)

M \u003d M 1 + M 2,

one. teorema je dokazana.

Imajte na umu da dobijeni rezultat vrijedi i za parove koji leže u paralelnim ravnima. Teoremom 2 takvi se parovi mogu svesti na jednu ravan, a prema teoremi 1 mogu se zamijeniti jednim parom čiji je moment jednak zbiru momenata parova komponenti.

Gore dokazane teoreme para vode do važnog zaključka: moment para je slobodan vektor i u potpunosti određuje djelovanje para na apsolutno kruto tijelo . Zaista, već smo dokazali da ako dva para imaju iste momente (i stoga leže u istoj ravni ili u paralelnim ravnima), onda su oni jedan drugome ekvivalentni (teorema 2). S druge strane, dva para koja leže u ravninama koje se sijeku ne mogu biti ekvivalentne, jer bi to značilo da su jedan od njih i par suprotan drugome ekvivalentni nuli, što je nemoguće, jer je zbir momenata takvih parova različit. od nule.

Stoga je uvedeni koncept momenta para izuzetno koristan, jer u potpunosti odražava mehaničko djelovanje para na tijelo. U tom smislu možemo reći da momenat iscrpno predstavlja djelovanje para na kruto tijelo.

Za deformabilna tijela gornja teorija parova nije primjenjiva. Dva suprotna para, koja djeluju, na primjer, na krajevima štapa, jednaka su nuli sa stanovišta statike krutog tijela. U međuvremenu, njihovo djelovanje na deformabilni štap uzrokuje njegovu torziju, i što je više, to su veći moduli momenata.

Pređimo na rješavanje prvog i drugog problema statike, kada na tijelo djeluju samo parovi sila.