Količina kretanja sistema nazovimo geometrijski zbir količina kretanja svih materijalnih tačaka sistema

Za pojašnjenje fizičkog čula(70) izračunaj derivaciju (64)

. (71)

Rješavajući (70) i (71) zajedno, dobijamo

. (72)

dakle, vektor momenta mehaničkog sistema određen je proizvodom mase sistema i brzine njegovog centra mase.

Izračunajmo derivaciju (72)

. (73)

Rješavajući (73) i (67) zajedno, dobijamo

. (74)

Jednačina (74) izražava sljedeću teoremu.

Teorema: Vremenski izvod vektora zamaha sistema jednak je geometrijskom zbiru svih vanjskih sila sistema.

Prilikom rješavanja zadataka, jednačina (74) se mora projicirati na koordinatne osi:

. (75)

Analiza (74) i (75) implicira sljedeće zakon održanja impulsa sistema: Ako je zbir svih sila sistema jednak nuli, tada njegov vektor momenta zadržava svoju veličinu i smjer.

Ako a
, onda
,Q = konst . (76)

U konkretnom slučaju, ovaj zakon se može ispuniti duž jedne od koordinatnih osa.

Ako a
, onda, Q z = konst. (77)

Preporučljivo je koristiti teoremu promjene momenta u slučajevima kada tečna i plinovita tijela ulaze u sistem.

Teorema o promjeni ugaonog momenta mehaničkog sistema

Količina kretanja karakterizira samo translacijsku komponentu kretanja. Da bi se okarakterisalo rotaciono kretanje tela, koncept glavnog momenta veličina kretanja sistema u odnosu na ovaj centar(kinetički moment).

Zamah sistema o ovom centru se zove geometrijski zbir momente impulsa svih njegovih tačaka oko istog centra

. (78)

Projektovanjem (22) na koordinatne ose može se dobiti izraz za ugaoni moment u odnosu na koordinatne ose

. (79)

Ugaoni moment kretanja tijela oko osi jednak je proizvodu momenta inercije tijela oko ove ose na ugaonu brzinu tijela

. (80)

Iz (80) proizilazi da kinetički moment karakteriše samo rotacionu komponentu kretanja.

Karakteristika rotacijskog djelovanja sile je njen moment u odnosu na os rotacije.

Teorema promjene zamaha uspostavlja odnos između karakteristike rotacijskog kretanja i sile koja uzrokuje ovo kretanje.

Teorema: Vremenski izvod vektora ugaonog momenta sistema u odnosu na neki centar jednak je geometrijskom zbiru momenata svih spoljnih sila sistema u odnosu naisti centar

. (81)

Prilikom rješavanja inženjerskih zadataka (81) potrebno je projektirati na koordinatne osi

Njihova analiza (81) i (82) implicira zakon održanja momenta: Ako je zbir momenata svih vanjskih sila oko centra (ili ose) jednak nuli, tada kinetički moment sistema oko ovog centra (ili ose) zadržava svoju veličinu i smjer.

ili

Ugaoni moment se ne može promijeniti djelovanjem unutrašnjih sila sistema, ali je zbog tih sila moguće promijeniti moment inercije, a time i ugaonu brzinu.

Neka se materijalna tačka kreće pod dejstvom sile F. Potrebno je odrediti kretanje ove tačke u odnosu na pokretni sistem Oxyz(cm. složeno kretanje materijalna tačka), koja se kreće na poznati način u odnosu na fiksni sistem O 1 x 1 y 1 z 1 .

Osnovna jednadžba dinamike u stacionarnom sistemu

Apsolutno ubrzanje tačke pišemo prema Coriolisovom teoremu

gdje a abs– apsolutno ubrzanje;

a rel– relativno ubrzanje;

a lane– prijenosno ubrzanje;

a jezgro je Coriolisovo ubrzanje.

Prepišimo (25) uzimajući u obzir (26)

Hajde da uvedemo notaciju
- prenosiva sila inercije,
je Coriolisova sila inercije. Tada jednačina (27) poprima oblik

Osnovna jednadžba dinamike za proučavanje relativno kretanje(28) se piše na isti način kao i za apsolutno kretanje, samo se silama koje djeluju na tačku moraju dodati translatorne i Coriolisove sile inercije.

Opće teoreme dinamike materijalne tačke

Prilikom rješavanja mnogih zadataka možete koristiti unaprijed napravljene blanke dobivene na osnovu Newtonovog drugog zakona. Takve metode rješavanja problema su objedinjene u ovom odeljku.

Teorema o promjeni impulsa materijalne tačke

Predstavimo sljedeće dinamičke karakteristike:

1. Količina kretanja materijalne tačke je vektorska veličina jednaka proizvodu mase tačke i vektora njene brzine

. (29)

2. Impuls sile

Impuls elementarne sile- vektorska veličina jednaka proizvodu vektora sile na elementarni vremenski interval

(30).

Onda puni impuls

. (31)

At F=const dobijamo S=ft.

Ukupni impuls u konačnom vremenskom periodu može se izračunati samo u dva slučaja, kada je sila koja djeluje na tačku konstantna ili ovisi o vremenu. U drugim slučajevima, potrebno je izraziti silu kao funkciju vremena.

Jednakost dimenzija impulsa (29) i impulsa (30) omogućava uspostavljanje kvantitativnog odnosa između njih.

Razmotrimo kretanje materijalne tačke M pod dejstvom proizvoljna sila F proizvoljnom putanjom.

O UD:
. (32)

Odvajamo varijable u (32) i integrišemo

. (33)

Kao rezultat, uzimajući u obzir (31), dobijamo

. (34)

Jednačina (34) izražava sljedeću teoremu.

Teorema: Promjena količine gibanja materijalne tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je impulsu sile koja djeluje na tačku u istom vremenskom intervalu.

Prilikom rješavanja zadataka jednačina (34) se mora projicirati na koordinatne ose

Ovu teoremu je pogodno koristiti kada date i nepoznate veličine uključuju masu tačke, njenu početnu i konačnu brzinu, sile i vrijeme kretanja.

Teorema o promjeni ugaonog momenta materijalne tačke

M
moment impulsa materijalne tačke u odnosu na centar jednak je proizvodu modula momenta tačke i kraka, tj. najkraća udaljenost (okomita) od centra do linije koja se poklapa sa vektor brzine

, (36)

. (37)

Odnos između momenta sile (uzroka) i momenta impulsa (posledice) utvrđuje se sljedećom teoremom.

Neka tačka M date mase m kretanje pod uticajem sile F.

,
,

, (38)

. (39)

Izračunajmo derivaciju (39)

. (40)

Kombinujući (40) i (38), konačno dobijamo

. (41)

Jednačina (41) izražava sljedeću teoremu.

Teorema: Vremenski izvod vektora ugaonog momenta materijalne tačke u odnosu na neki centar jednak je momentu sile koja deluje na tačku u odnosu na isto središte.

Prilikom rješavanja zadataka jednačina (41) se mora projektovati na koordinatne ose

U jednadžbi (42) momenti momenta momenta i sile se računaju u odnosu na koordinatne osi.

Iz (41) slijedi zakon održanja ugaonog momenta (Keplerov zakon).

Ako je moment sile koja djeluje na materijalnu tačku u odnosu na bilo koje središte jednak nuli, tada ugaoni moment tačke u odnosu na ovo središte zadržava svoju veličinu i smjer.

Ako a
, onda
.

Teorema i zakon održanja koriste se u zadacima na krivolinijsko kretanje, posebno pod dejstvom centralnih snaga.

Broj pokreta po mjeri mehaničko kretanje, ako se mehanički pokret pretvori u mehanički. Na primjer, mehaničko kretanje bilijarske lopte (slika 22) prije udara prelazi u mehaničko kretanje lopti nakon udara. Za tačku, impuls je jednak proizvodu.

Mjera djelovanja sile u ovom slučaju je impuls sile

. (9.1)

Zamah određuje djelovanje sile na određeno vrijeme . Za materijalnu tačku, teorema promjene momenta može se koristiti u diferencijalnom obliku
(9.2) ili integralni (konačan) oblik
. (9.3)

Promjena količine gibanja materijalne tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je impulsu svih sila koje se primjenjuju na tačku u isto vrijeme.

Slika 22

Prilikom rješavanja zadataka teorema (9.3) se češće koristi u projekcijama na koordinatne ose
;

; (9.4)

Koristeći teoremu o promjeni količine gibanja tačke moguće je riješiti probleme u kojima je na tačku ili tijelo koje se translatorno kreće podvrgnuto konstantnim ili promjenjivim silama koje ovise o vremenu, te broju zadanih i traženih vrijednosti. uključuje vrijeme kretanja i brzinu na početku i na kraju kretanja. Zadaci korištenjem teoreme rješavaju se sljedećim redoslijedom:

1. izabrati koordinatni sistem;

2. prikazati sve date (aktivne) sile i reakcije koje djeluju na tačku;

3. zapisati teoremu o promjeni količine gibanja tačke u projekcijama na odabrane koordinatne ose;

4. odrediti željene vrijednosti.

PRIMJER 12.

Čekić težine G=2t pada sa visine h=1m na radni komad za vrijeme t=0.01s i štanca dio (sl. 23). Odredite prosječnu silu čekića na radni komad.

ODLUKA.

1. Gravitacija čekića djeluje na radni predmet i reakcija podrške . Vrijednost reakcija podrške mijenja se s vremenom, pa razmotrite njegovu prosječnu vrijednost
.

2. usmjeriti koordinatnu os y okomito prema dolje i primijeniti teoremu o promjeni količine gibanja tačke u projekciji na ovu osu:
, (1) gdje - brzina čekića na kraju udarca;

- početna brzina čekića u trenutku kontakta sa obratkom.

3. Odrediti brzinu komponovati diferencijalna jednadžba kretanje čekića u projekciji na y-osu:

. (2)

Odvojite varijable, integrirajte jednačinu (2) dvaput:
;

;

. Integracijske konstante C 1 , C 2 nalazimo iz početni uslovi. Pri t=0 V y =0, tada je C 1 =0; y = 0, zatim C 2 = 0. Dakle, čekić se kreće u skladu sa zakonom
, (3) i brzina čekića se mijenja u skladu sa zakonom
. (4) Izrazit ćemo vrijeme kretanja čekića iz (3) i zamijeniti ga u (4)
;
. (5)

4. Projekciju momenta kretanja vanjskih sila na y-osu nalazimo po formuli:
. (6) Zamijenite (5) i (6) u (1):
, odakle nalazimo reakciju oslonca, a samim tim i željeni pritisak čekića na radni predmet
t.

Slika 24

gdje je M masa sistema, V c je brzina centar gravitacije. Teorema o promjeni impulsa mehaničkog sistema može se napisati u diferencijalnom i konačnom (integralnom) obliku:
;

. (9.7)

Količina kretanja mehaničkog sistema može se definisati kao zbir količina kretanja tačaka sistema

. (9.5) Količina kretanja sistema ili krutog tijela može se odrediti znajući masu sistema i brzinu centra mase

, (9.6)

Promjena količine kretanja mehaničkog sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa vanjskih sila koje djeluju za isto vrijeme. Ponekad je zgodnije koristiti teoremu o promjeni momenta kretanja u projekciji na koordinatne osi
; (9.8)
. (9.9)

Zakon održanja količine gibanja utvrđuje da u odsustvu vanjskih sila, impuls mehaničkog sistema ostaje konstantan. Djelovanje unutrašnjih sila ne može promijeniti zamah sistema. Jednačina (9.6) pokazuje da za
,
.

Ako a
, onda
ili
.

propeler ili propeler mlazni pogon. Lignje se kreću u trzajima, izbacujući vodu iz mišićne vreće po principu vodenog topa (Sl. 25). Odbijena voda ima poznatu količinu kretanja unazad. Lignja dobija odgovarajuću brzinu kretanje naprijed zbog reaktivnog potiska , jer prije nego lignja iskoči, sila uravnotežena gravitacijom .

rad zakona održanja količine gibanja mehaničkog sistema može se ilustrovati na primjeru fenomena trzaja ili prevrtanja pri pucanju, radu

Primjena teoreme promjene momenta omogućava da se iz razmatranja izuzmu sve unutrašnje sile.

PRIMJER 13.

Na željezničkom peronu, slobodno stojećem na šinama, postavljeno je vitlo A sa bubnjem polumjera r (sl. 26). Vitlo je dizajnirano za kretanje po platformi tereta B mase m 1 . Težina platforme sa vitlom m 2 . Bubanj vitla se okreće u skladu sa zakonom
. U početnom trenutku, sistem je bio mobilan. Zanemarujući trenje, pronađite zakon promjene brzine platforme nakon uključivanja vitla.

R ODLUKA.

1. Razmotrite platformu, vitlo i teret kao jednu jedinicu mehanički sistem, koji je pogođen spoljne sile: gravitacija opterećenja i platforme i reakcije i
.

2. Kako su sve vanjske sile okomite na osu x, tj.
, primjenjujemo zakon održanja impulsa mehaničkog sistema u projekciji na x-osu:
. U početnom trenutku, sistem je bio stacionaran, dakle,

Izrazimo količinu kretanja sistema u proizvoljnom trenutku. Platforma se kreće naprijed velikom brzinom , teret vrši složeno kretanje, koje se sastoji od relativnog kretanja duž platforme brzinom i prenosivi pokret zajedno sa platformom sa brzinom ., gdje
. Platforma će se kretati u smjeru suprotnom od relativnog kretanja tereta.

PRIMJER 14.

ODLUKA.

1. Primijeniti teoremu o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema u projekciji na x-osu. Pošto su sve vanjske sile koje djeluju na sistem vertikalne, onda
, onda
, gdje
. (1)

2. Izražavamo projekciju količine kretanja na x-osu za razmatrani mehanički sistem
,

Mehanički sistem se sastoji od pravougaone vertikalne ploče 1 mase m 1 =18kg, koja se kreće duž horizontalnih vođica i tereta D mase m 2 =6kg. U trenutku t 0 =0, kada se ploča kretala brzinom u 0 =2m/s, teret je počeo da se kreće duž žlijeba u skladu sa jednačinom S=AD=0,4sin(

t 2) (S-u metrima, t-u sekundama), (Sl. 26). Odrediti brzinu ploče u trenutku t 1 =1s, koristeći teoremu o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema.

gdje ,
-- količina pomaka ploče i opterećenja, respektivno.

;
, gdje --apsolutna brzina opterećenjaD. Iz jednakosti (1) slijedi da je K 1x + K 2x \u003d C 1 ili m 1 u x + m 2 V Dx = C 1. (2) Da bismo odredili V Dx, smatramo kretanje tereta D složenim, smatrajući njegovo kretanje u odnosu na ploču relativnim, a kretanje same ploče prenosivim, tada
, (3)
; ili u projekciji na x-osu: . (4) Zamijenite (4) u (2):
. (5) Integraciona konstanta C 1 određena je iz početnih uslova: pri t=0 u=u 0 ; (m 1 +m 2)u 0 \u003d C 1. (6) Zamjenom vrijednosti konstante C 1 u jednačinu (5) dobijamo

gospođa.

Razmotrimo sistem koji se sastoji od materijalnih tačaka. Sastavimo diferencijalne jednadžbe kretanja (13) za ovaj sistem i dodajmo ih član po član. Onda dobijamo

Posljednji zbir prema svojstvu unutrašnjih sila jednak je nuli. osim toga,

Konačno pronalazimo

Jednačina (20) izražava teoremu o promjeni količine gibanja sistema u diferencijalnom obliku: vremenski izvod impulsa sistema jednak je geometrijskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem. U projekcijama na koordinatne ose to će biti:

Nađimo još jedan izraz teoreme. Neka je u trenutku momenta impuls sistema jednak i u trenutku postaje jednak . Zatim, množenjem obe strane jednakosti (20) sa i integracijom, dobijamo

pošto integrali na desnoj strani daju impulse vanjskih sila.

Jednačina (21) izražava teoremu o promjeni količine gibanja sistema u integralnom obliku: promjena količine kretanja sistema u određenom vremenskom periodu jednaka je zbiru impulsa koji djeluju na sistem vanjskih sila preko isti vremenski period.

U projekcijama na koordinatne ose to će biti:

Istaknimo vezu između dokazane teoreme i teoreme o kretanju centra mase. Pošto , dakle, zamjenom ove vrijednosti u jednakost (20) i uzimajući u obzir da dobijemo , tj. jednačinu (16).

Dakle, teorema o kretanju centra mase i teorema o promjeni količine gibanja sistema su, u suštini, dvije različite forme istu teoremu. U slučajevima kada se proučava kretanje krutog tijela (ili sistema tijela), bilo koji od ovih oblika se jednako može koristiti, a jednačina (16) je obično pogodnija za korištenje. Za kontinualni medij (tečnost, gas) pri rešavanju zadataka obično koriste teoremu o promeni količine kretanja sistema. Ova teorema takođe ima važnu primenu u teoriji udara (videti poglavlje XXXI) iu proučavanju mlaznog pogona (videti § 114).

Količina kretanja materijalne tačke naziva se vektorska veličina mv, jednak proizvodu mase tačke i vektora njene brzine. Vector mV pričvršćen za pokretnu tačku.

Količina kretanja sistema naziva se vektorska veličina Q, jednako geometrijskom zbroju (glavnom vektoru) impulsa svih tačaka sistema:

Vector Q je slobodan vektor. U SI sistemu jedinica, modul impulsa se mjeri u kg m/s ili N s.

Po pravilu, brzine svih tačaka sistema su različite (vidi, na primer, distribuciju brzina tačaka kotrljajućeg točka prikazanu na slici 6.21), a samim tim i direktno zbrajanje vektora na desnoj strani jednakosti (17.2) je teško. Nađimo formulu uz pomoć koje se određuje količina Q mnogo lakše izračunati. Iz jednakosti (16.4) slijedi da

Uzimajući vremensku derivaciju oba dijela, dobijamo Dakle, uzimajući u obzir jednakost (17.2), nalazimo da

tj. količina kretanja sistema jednaka je proizvodu mase cijelog sistema i brzine njegovog centra mase.

Imajte na umu da vektor Q, kao i glavni vektor sila u statici, je neki generalizovani vektor karakterističan za kretanje čitavog mehaničkog sistema. U opštem slučaju kretanja sistema, njegov impuls je Q može se smatrati karakteristikom translacionog dijela kretanja sistema zajedno sa njegovim centrom mase. Ako za vrijeme kretanja sistema (tijela) centar mase miruje, tada će impuls sistema biti jednak nuli. Takav je, na primjer, impuls tijela koje rotira oko fiksne ose koja prolazi kroz njegovo središte mase.

Primjer. Odredite količinu kretanja mehaničkog sistema (slika 17.1, a) koji se sastoji od tereta ALI težina t A - 2 kg, homogeni blok AT težine 1 kg i točkovima D težina mD-4 kg. Cargo ALI krećući se brzinom V A - 2 m/s, točak D kotrlja bez klizanja, konac je nerastegljiv i bestežinski. Odluka. Količina pokreta tjelesnog sistema

Tijelo ALI kreće naprijed i Q A \u003d m A V A(brojčano Q A= 4 kg m/s, vektorski smjer Q A poklapa se sa pravcem VA). Blokiraj AT obavezuje rotaciono kretanje oko fiksne ose koja prolazi kroz njegovo središte mase; dakle, QB- 0. Wheel D pravi ravan paralelu

kretanje; njegov trenutni centar brzina je u tački To, pa je brzina njegovog centra mase (tačke E) je jednako V E = V A /2= 1 m/s. Broj pokreta kotača Q D - m D V E - 4 kg m/s; vektor Q D usmjerena horizontalno na lijevo.

Prikaz vektora Q A i Q D na sl. 17.1, b, pronađite zamah Q sistema prema formuli (a). Uzimajući u obzir smjerove i numeričke vrijednosti veličina, dobijamo Q ~^Q A +Q E=4l/2~kg m/s, vektorski pravac Q prikazano na sl. 17.1, b.

S obzirom na to a-dV/dt, jednačina (13.4) osnovnog zakona dinamike može se predstaviti kao

Jednačina (17.4) izražava teoremu o promjeni količine gibanja tačke u diferencijalnom obliku: u svakom trenutku vremena, vremenski izvod impulsa tačke jednak je sili koja djeluje na tačku. (U suštini, ovo je još jedna formulacija osnovnog zakona dinamike, bliska onoj koju je dao Newton.) Ako više sila djeluje na tačku, tada će na desnoj strani jednakosti (17.4) biti rezultanta sila primijenjen na materijalnu tačku.

Ako se obje strane jednačine pomnože sa dt, onda dobijamo

Vrijednost vektora na desnoj strani ove jednakosti karakterizira djelovanje sile na tijelo u elementarnom vremenskom periodu dt ova vrijednost je označena dS i nazovi elementarni impuls sile, tj.

Puls S snagu F u konačnom vremenskom intervalu /, - / 0 se definiše kao granica integralnog zbira odgovarajućih elementarnih impulsa, tj.

U posebnom slučaju, ako je sila F konstanta u modulu i smjeru, dakle S = F(t| -/0) i S- F(t l -/ 0). U opštem slučaju, modul impulsa sile može se izračunati iz njegovih projekcija na koordinatne ose:

Sada, integrirajući obje strane jednakosti (17.5) sa t= const, dobijamo

Jednačina (17.9) izražava teoremu o promjeni impulsa tačke u konačnom (integralnom) obliku: promjena količine gibanja tačke u određenom vremenskom periodu jednaka je impulsu sile koja djeluje na tačku (ili impulsu rezultante svih sila primijenjenih na nju) za isti vremenski period.

Prilikom rješavanja zadataka, jednadžbe ove teoreme koriste se u projekcijama na koordinatne ose

Sada razmotrite mehanički sistem koji se sastoji od P materijalne tačke. Tada za svaku tačku možemo primijeniti teoremu promjene momenta u obliku (17.4), uzimajući u obzir vanjske i unutrašnje sile primijenjene na tačke:

Zbrajajući ove jednakosti i uzimajući u obzir da je zbir izvoda jednak izvodu zbira, dobijamo

Pošto svojstvom unutrašnjih sila H.F.k=0 i po definiciji impulsa ^fn k V/ c = Q, onda konačno nalazimo

Jednačina (17.11) izražava teoremu o promjeni impulsa sistema u diferencijalnom obliku: u svakom trenutku vremena, vremenski izvod impulsa sistema jednak je geometrijskom zbiru svih vanjskih sila koje djeluju na sistem.

Projektovanjem jednakosti (17.11) na koordinatne ose dobijamo

Množenje obje strane (17.11) sa dt i integracijom, dobijamo

gdje je 0, Q0 - količina kretanja sistema u vremenima, respektivno, i / 0 .

Jednačina (17.13) izražava teoremu o promjeni impulsa sistema u integralnom obliku: promjena impulsa sistema tokom bilo kojeg vremena jednaka je zbiru impulsa svih vanjskih sila koje djeluju na sistem tokom istog vremena.

U projekcijama na koordinatne ose, dobijamo

Iz teoreme o promjeni impulsa sistema mogu se dobiti sljedeće bitne posljedice koje se izražavaju zakon održanja impulsa sistema.

1. Ako je geometrijski zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli (LF k=0), onda iz jednačine (17.11) slijedi da u ovom slučaju Q= const, tj. vektor momenta sistema će biti konstantan po veličini i pravcu.
2. Ako su vanjske sile koje djeluju na sistem takve da je zbir njihovih projekcija na bilo koju osu jednak nuli (npr. I e kx = 0), onda iz jednačina (17.12) slijedi da u ovom slučaju Q x = const, tj. projekcija količine kretanja sistema na ovu osu ostaje nepromijenjena.

Imajte na umu da unutrašnje sile sistema ne učestvuju u jednačini teoreme o promjeni impulsa sistema. Ove sile, iako utiču na impuls pojedinih tačaka sistema, ne mogu promeniti impuls sistema u celini. S obzirom na ovu okolnost, pri rješavanju problema je svrsishodno odabrati sistem koji se razmatra tako da nepoznate sile (sve ili dio njih) budu unutrašnje.

Zakon održanja impulsa pogodan je za primjenu u slučajevima kada je promjena brzine jednog dijela sistema neophodna da bi se odredila brzina drugog dijela sistema.

Problem 17.1. To vaganje kolica t x- 12 kg kreće se po glatkoj horizontalnoj ravni, u tački ALIštap bez težine pričvršćen je uz pomoć cilindrične šarke AD dužina /= 0,6 m sa teretom D težina t 2 - 6 kg na kraju (sl. 17.2). U vrijeme / 0 = 0, kada je brzina kolica i () - 0,5 m/s, štap AD počinje da se okreće oko ose ALI, okomito na ravninu crteža, prema zakonu φ \u003d (tg / 6) (3 ^ 2 - 1) rad (/- u sekundama). definirati: u=f.

§ 17.3. Teorema o kretanju centra masa

Teorema o promjeni količine gibanja mehaničkog sistema može se izraziti u drugom obliku, koji se naziva teorema o kretanju centra mase.

Zamjenjujući u jednačinu (17.11) jednakost Q=MV C , dobijamo

Ako masa M sistem je konstantan, dobijamo

gdje i sa - ubrzanje centra mase sistema.

Jednačina (17.15) izražava teoremu o kretanju centra mase sistema: proizvod mase sistema i ubrzanja njegovog centra mase jednak je geometrijskom zbiru svih spoljnih sila koje deluju na sistem.

Projektovanjem jednakosti (17.15) na koordinatne ose dobijamo

gdje x c , y c , z c - koordinate centra mase sistema.

Ove jednadžbe su diferencijalne jednadžbe gibanja centra mase u projekcijama na os Kartezijanski sistem koordinate.

Hajde da razgovaramo o rezultatima. Preliminarno se podsjetimo da je centar mase sistema geometrijska tačka, koja se ponekad nalazi izvan geometrijskih granica tijela. Sile koje djeluju na mehanički sistem (vanjske i unutrašnje) primjenjuju se na sve materijalne tačke sistema. Jednačine (17.15) omogućavaju određivanje kretanja centra mase sistema bez određivanja kretanja njegovih pojedinačnih tačaka. Upoređujući jednačine (17.15) teoreme o kretanju centra mase i jednačine (13.5) drugog Newtonovog zakona za materijalnu tačku, dolazimo do zaključka: centar mase mehaničkog sistema kreće se kao materijalna tačka čija je masa jednaka masi čitavog sistema i kao da se sve vanjske sile koje djeluju na sistem primjenjuju na ovu tačku. Dakle, rješenja koja dobijamo razmatranjem dato telo kao materijalnu tačku odrediti zakon kretanja centra mase ovog tijela.

Konkretno, ako se tijelo kreće naprijed, tada su kinematičke karakteristike svih tačaka tijela i njegovog centra mase iste. Dakle tijelo koje se progresivno kreće uvijek se može smatrati materijalnom tačkom s masom, jednaka masi celog tela.

Kao što se vidi iz (17.15), unutrašnje sile koje deluju na tačke sistema ne utiču na kretanje centra mase sistema. Unutrašnje sile mogu uticati na kretanje centra mase u onim slučajevima kada se spoljašnje sile menjaju pod njihovim uticajem. Primjeri ovoga bit će dati u nastavku.

Iz teoreme o kretanju centra masa mogu se dobiti sledeće važne posledice koje izražavaju zakon održanja kretanja centra mase sistema.

1. Ako je geometrijski zbir svih vanjskih sila koje djeluju na sistem jednak nuli (LF k=0), onda iz jednačine (17.15) slijedi

o čemu a c = 0 ili V c = const, odnosno centar mase ovog sistema

kreće se konstantnom brzinom po veličini i smjeru (inače, ravnomjerno i pravolinijsko). U posebnom slučaju, ako je na početku centar mase mirovao ( Vc=0), tada će ostati u mirovanju; gdje

track predviđa da se njegov položaj u prostoru neće promeniti, tj. rc = konst.

2. Ako su vanjske sile koje djeluju na sistem takve da je zbir njihovih projekcija na neku osu (npr. X) nula (?F e kx= 0), onda iz jednačine (17.16) slijedi da u ovom slučaju x s=0 ili V Cx \u003d x c \u003d const, tj. projekcija brzine centra mase sistema na ovu osu je konstantna vrijednost. U posebnom slučaju, ako u početnom trenutku Vex= 0, tada će u svakom narednom trenutku ova vrijednost biti sačuvana, a iz toga slijedi da je koordinata x s centar mase sistema se neće promeniti, tj. x s - konst.

Razmotrimo primjere koji ilustruju zakon kretanja centra mase.

Primjeri. 1. Kao što je navedeno, kretanje centra mase zavisi samo od spoljašnjih sila, unutrašnje sile ne mogu promeniti položaj centra mase. Ali unutrašnje sile sistema mogu uzrokovati vanjske utjecaje. Dakle, kretanje osobe po horizontalnoj površini nastaje pod djelovanjem sila trenja između potplata njegovih cipela i površine ceste. Čovjek se snagom mišića (unutrašnje sile) nogama odguruje od površine puta, što uzrokuje silu trenja (vanjsku za osobu) na mjestima dodira s cestom, usmjerenu u pravcu njegovog kretanja.

2. Auto se kreće na isti način. Unutrašnje sile pritiska u njegovom motoru teraju točkove da se rotiraju, ali pošto potonji imaju vuču, sile trenja koje nastaju "guraju" automobil napred (kao rezultat toga, točkovi se ne okreću, već se kreću ravnoparalelno) . Ako je put apsolutno gladak, tada će centar mase automobila biti nepomičan (pri nultoj početnoj brzini), a kotači će, u nedostatku trenja, kliziti, tj. rotirati.
3. Kretanje uz pomoć propelera, propelera, vesala nastaje usled odbacivanja određene mase vazduha (ili vode). Ako odbačenu masu i pokretno tijelo posmatramo kao jedan sistem, onda sile interakcije između njih, kao unutrašnje, ne mogu promijeniti ukupni impuls ovog sistema. Međutim, svaki od dijelova ovog sistema će se kretati, na primjer, čamac naprijed, a voda koju bacaju vesla će se kretati unazad.
4. U bezvazdušnom prostoru, kada se raketa kreće, „odbačenu masu“ treba „poneti sa sobom“: mlazni motor obaveštava raketu o kretanju izbacujući nazad produkte sagorevanja goriva kojim je raketa napunjena.
5. Kada se spuštate padobranom, možete kontrolisati kretanje centra mase sistema čovjek-padobran. Ako osoba mišićnim naporom povuče uže padobrana na način da se promijeni oblik njegove nadstrešnice ili napadni ugao strujanja zraka, to će uzrokovati promjenu vanjskog utjecaja strujanja zraka, a time i utjecati na kretanje čitavog sistema.

Problem 17.2. AT zadatak 17.1 (vidi sliku 17.2) odrediti: 1) zakon kretanja kolica X (= /)(/), ako je poznato da je u početnom trenutku vremena t 0 = O sistemu je mirovao i koordinata x 10 = 0; 2) zakon promene sa vremenom ukupne vrednosti normalne reakcije N(N = N" + N") horizontalna ravan, tj. N=f 2 (t).

Odluka. Ovdje, kao iu problemu 17.1, razmatramo sistem koji se sastoji od kolica i tereta D, u proizvoljnom položaju pod dejstvom spoljnih sila koje se primenjuju na njega (vidi sliku 17.2). Koordinatne ose Ohu nacrtajte tako da je x-osa horizontalna, a x-osa at prošao kroz tačku A 0 , tj. lokaciju tačke ALI u to vrijeme t-t 0 - 0.

1. Određivanje zakona kretanja kolica. Za određivanje x, = /, (0 koristimo teoremu o kretanju centra mase sistema. Sastavimo diferencijalnu jednačinu njegovog kretanja u projekciji na osu x:

Pošto su sve vanjske sile vertikalne, onda T, F e kx = 0, i stoga

Integracijom ove jednačine nalazimo to Mx c \u003d B, tj. projekcija brzine centra mase sistema na x-osu je konstantna vrijednost. Pošto u početnom trenutku vremena

Integriranje jednadžbe Mx s= 0, dobijamo

tj koordinata x s centar mase sistema je konstantan.

Hajde da napišemo izraz Mx s za proizvoljan položaj sistema (vidi sliku 17.2), uzimajući u obzir to x A - x { , x D - x 2 i x 2 - x ( - I sin f. U skladu sa formulom (16.5), koja određuje koordinate centra mase sistema, u ovom slučaju Mx s - t(x( + t 2 x 2".

za proizvoljan trenutak u vremenu

za vremensku tačku / () = 0, X (= 0 i

U skladu sa jednakošću (b), koordinata x s centar mase čitavog sistema ostaje nepromijenjen, tj. x c (t). Dakle, izjednačavanjem izraza (c) i (d), dobijamo zavisnost x koordinate od vremena.

odgovor: X - 0,2 m, gdje t- u sekundi.

2. Definicija reakcije N. Za utvrđivanje N=f 2 (t) sastavljamo diferencijalnu jednačinu kretanja centra mase sistema u projekciji na vertikalnu osu at(vidi sliku 17.2):

Dakle, označavanje N=N+N", dobijamo

Prema formuli koja određuje ordinatu u s centar mase sistema, Mu s = t (y x + t 2 y 2, gdje je y, = na C1,u 2= yD = Ata ~ 1 cos F» dobijamo

Razlikovanje ove jednakosti dvaput s obzirom na vrijeme (uzimajući u obzir da na C1 i kod A veličine su konstantne i, shodno tome, njihovi derivati su jednaki nuli), nalazimo

Zamjenom ovog izraza u jednačinu (e) određujemo traženu zavisnost N od t.

odgovor: N- 176,4 + 1,13,

gdje je φ \u003d (i / 6) (3 / -1), t- u sekundi N- u njutnima.

Problem 17.3. Masa elektromotora t x pričvršćen na horizontalnu površinu temelja vijcima (sl. 17.3). Na osovini motora pod pravim uglom u odnosu na os rotacije, na jednom kraju je pričvršćena bestežinska šipka dužine l, a na drugom kraju šipke je postavljena točkasta teg. ALI težina t 2 . Osovina se ravnomjerno rotira ugaonom brzinom o. Pronađite horizontalni pritisak motora na vijke. Odluka. Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od motora i točkaste težine ALI, u proizvoljnom položaju. Opišimo vanjske sile koje djeluju na sistem: gravitaciju R x, R 2, reakcija temelja u obliku vertikalne sile N i horizontalna sila R. Hajde da potrošimo koordinatna osa x horizontalno.

Za određivanje horizontalnog pritiska motora na vijke (i on će biti numerički jednak reakciji R i usmjerena suprotno od vektora R ), sastavljamo jednačinu teoreme o promjeni količine gibanja sistema u projekciji na horizontalnu osu x:

Za sistem koji se razmatra u njegovom proizvoljnom položaju, s obzirom da je količina kretanja kućišta motora nula, dobijamo Qx = - t 2 U A kol. Uzimajući to u obzir V A = a s/, φ = ω/ (ujednačena rotacija motora), dobijamo Q x - - m 2 co/cos co/. razlikovanje Qx u vremenu i zamjenom u jednakost (a), nalazimo R- m 2 co 2 /sin co/.

Imajte na umu da su upravo takve sile te koje prisiljavaju (vidi § 14.3), kada djeluju, prisilne vibracije strukture.

Vježbe za samostalan rad

1. Šta se naziva impulsom tačke i mehaničkog sistema?
2. Kako se mijenja impuls tačke koja se ravnomjerno kreće po kružnici?
3. Šta karakteriše impuls sile?
4. Da li unutrašnje sile sistema utiču na njegov impuls? O kretanju njegovog centra mase?
5. Kako par sila primijenjenih na njega utječe na kretanje centra mase sistema?
6. Pod kojim uslovima centar mase sistema miruje? kreće se ravnomjerno i pravolinijski?

7. U mirnom čamcu, u nedostatku vode, odrasla osoba sjedi na krmi, a dijete sjedi na pramcu čamca. U kom smjeru će se čamac kretati ako zamijene mjesta?

U kom slučaju će deplasmanski modul čamca biti veliki: 1) ako dijete ide odrasloj osobi na krmi; 2) ako odrasla osoba ide djetetu na pramcu čamca? Koliki će biti pomaci centra mase sistema „čamac i dvoje ljudi“ tokom ovih kretanja?