Zbir brojeva u formuli geometrijske progresije. Geometrijska progresija u zadacima ispita iz matematike

Hajde da razmotrimo seriju.

7 28 112 448 1792...

Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata tačno četiri puta veća od prethodnog. Dakle, ova serija je napredak.

Geometrijska progresija je beskonačan niz brojeva čija je glavna karakteristika da se sljedeći broj dobije od prethodnog množenjem nekim određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

a z +1 =a z q, gdje je z broj odabranog elementa.

Prema tome, z ∈ N.

Period kada se izučava geometrijska progresija u školi je 9. razred. Primjeri će vam pomoći da shvatite koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na osnovu ove formule, nazivnik progresije se može naći na sljedeći način:

Ni q ni b z ne mogu biti nula. Takođe, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.

U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, trebate posljednji pomnožiti sa q.

Da biste specificirali ovu progresiju, morate specificirati njen prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od narednih članova i njihov zbir.

Sorte

Ovisno o q i a 1, ova progresija se dijeli na nekoliko tipova:

Ako su i 1 i q veći od jedan, onda je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer takvog je predstavljen u nastavku.

Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.

Onda numerički niz može se napisati ovako:

3 6 12 24 48 ...

Ako |q| manji od jedan, to jest, množenje njime je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima opadajuća geometrijska progresija. Primjer takvog je predstavljen u nastavku.

Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veći od jedan, q manji.

Tada se numerički niz može napisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji slijedi.

Varijabla sa znakom. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primjer: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametra su manja od nule.

Tada se niz može napisati ovako:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Za praktično korištenje geometrijskih progresija, postoji mnogo formula:

Formula z-tog člana. Omogućava vam da izračunate element pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.

Rješenje:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

Zbir prvih elemenata čiji je broj z. Omogućava vam da izračunate zbir svih elemenata niza doa zinkluzivno.

Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednak 1.

Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz broja koji se beskonačno ponavlja.

Suma geometrijska progresija, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunajte S 5 .

Rješenje:S 5 = 22 - obračun po formuli.

Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.

Rješenje:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Neke nekretnine:

karakteristično svojstvo. Ako je sledeći uslov izvedeno za bilo kojez, tada je dati niz brojeva geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

Također, kvadrat bilo kojeg broja geometrijske progresije nalazi se sabiranjem kvadrata bilo koja druga dva broja u datom nizu, ako su jednako udaljeni od ovog elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , gdjetje udaljenost između ovih brojeva.

Elementirazlikuju se u qjednom.
Logaritmi elemenata progresije također čine progresiju, ali već aritmetičku, odnosno svaki od njih je veći od prethodnog za određeni broj.

Primjeri nekih klasičnih problema

Da bismo bolje razumjeli što je geometrijska progresija, mogu pomoći primjeri sa rješenjem za 9. razred.

Uslovi:a 1 = 3, a 3 = 48. Nađiq.

Rješenje: svaki sljedeći element je veći od prethodnog uq jednom.Neophodno je izraziti neke elemente kroz druge pomoću nazivnika.

shodno tome,a 3 = q 2 · a 1

Prilikom zamjeneq= 4

Uslovi:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunajte S 6 .

Rješenje:Da biste to učinili, dovoljno je pronaći q, prvi element i zamijeniti ga u formulu.

a 3 = q· a 2 , Shodno tome,q= 2

a 2 = q a 1 ,zbog toga a 1 = 3

S 6 = 189

· a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: da biste to učinili, dovoljno je četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primjer primjene:

Klijent banke je položio depozit u iznosu od 10.000 rubalja, pod kojim svake godine klijent dodaje 6% na glavnicu. Koliko novca će biti na računu nakon 4 godine?

Rješenje: Početni iznos je 10 hiljada rubalja. Dakle, godinu dana nakon ulaganja, račun će imati iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Shodno tome, iznos na računu nakon još jedne godine biće iskazan na sledeći način:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije, koji je dat prvim elementom jednakim 10 hiljada, a imeniocem jednakim 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primjeri zadataka za izračunavanje sume:

U raznim problemima koristi se geometrijska progresija. Primjer za pronalaženje sume može se dati na sljedeći način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS5.

Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih trebate zamijeniti u formulu.

S 5 = 124

a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunajte zbir prvih šest elemenata.

Rješenje:

Geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno da biste izračunali zbir, morate znati elementa 1 i imenilacq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Slično tome, moramo pronaćia 1 , znajućia 2 Iq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Pa hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju njih). Koliko god brojeva da napišemo, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Numerički niz je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu ne postoje tri sekundarna broja. Drugi broj (kao i -ti broj) je uvijek isti.

Broj sa brojem naziva se -ti član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza - istim slovom sa indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Najčešći tipovi progresije su aritmetička i geometrijska. U ovoj temi ćemo govoriti o drugoj vrsti − geometrijska progresija.

Zašto nam je potrebna geometrijska progresija i njena istorija.

Još u antičko doba, italijanski matematičar, monah Leonardo iz Pize (poznatiji kao Fibonači), bavio se praktičnim potrebama trgovine. Monah je bio suočen sa zadatkom da odredi koji je najmanji broj utega koji se može koristiti za vaganje robe? U svojim spisima, Fibonači dokazuje da je takav sistem pondera optimalan: Ovo je jedna od prvih situacija u kojoj su ljudi morali da se suoče sa geometrijskom progresijom, za koju ste verovatno čuli i o kojoj imate barem opštu predstavu. Kada u potpunosti shvatite temu, razmislite zašto je takav sistem optimalan?

Trenutno se u životnoj praksi manifestuje geometrijska progresija pri ulaganju novca u banku, kada se iznos kamate obračunava na iznos akumuliran na računu za prethodni period. Drugim riječima, ako stavite novac na oročenje u štedionicu, onda će se za godinu dana depozit povećati od prvobitnog iznosa, tj. novi iznos će biti jednak doprinosu pomnoženom sa. U narednoj godini ovaj iznos će se povećati za, tj. iznos koji se tada dobije ponovo se množi sa i tako dalje. Slična situacija je opisana u problemima računanja tzv složena kamata- procenat se uzima svaki put od iznosa koji se nalazi na računu, uzimajući u obzir prethodnu kamatu. O ovim zadacima ćemo govoriti nešto kasnije.

Postoji mnogo jednostavnijih slučajeva u kojima se primjenjuje geometrijska progresija. Na primjer, širenje gripe: jedna osoba je zarazila osobu, ona je, zauzvrat, zarazila drugu osobu, tako da je drugi talas infekcije osoba, a oni su, zauzvrat, zarazili drugu ... i tako dalje.. .

Inače, finansijska piramida, isti MMM, je jednostavan i suv proračun prema svojstvima geometrijske progresije. Zanimljivo? Hajde da to shvatimo.

Geometrijska progresija.

Recimo da imamo niz brojeva:

Odmah ćete odgovoriti da je to lako i naziv takvog niza je s razlikom njegovih članova. Šta kažete na ovako nešto:

Oduzmete li prethodni broj od sljedećeg broja, tada ćete vidjeti da svaki put dobijete novu razliku (i tako dalje), ali niz definitivno postoji i lako ga je primijetiti - svaki sljedeći broj je puta veći od prethodnog. !

Ova vrsta niza se zove geometrijska progresija i označena je.

Geometrijska progresija ( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.

Ograničenja da prvi član ( ) nije jednak i nisu slučajni. Recimo da ih nema, a prvi član je i dalje jednak, a q je, hmm .. neka, onda ispada:

Slažete se da ovo nije napredak.

Kao što razumijete, dobit ćemo iste rezultate ako je to bilo koji broj osim nule, ali. U tim slučajevima jednostavno neće biti progresije, jer će cijeli niz brojeva biti ili sve nule, ili jedan broj, a sve ostale nule.

Hajde sada da razgovaramo detaljnije o nazivniku geometrijske progresije, odnosno o.

Opet, ovo je broj koliko puta se mijenja svaki naredni pojam geometrijska progresija.

Šta mislite da bi to moglo biti? Tako je, pozitivno i negativno, ali ne nula (o tome smo pričali malo više).

Recimo da imamo pozitivu. Neka u našem slučaju, a. Šta je drugi mandat i? Na to možete lako odgovoriti:

U redu. Prema tome, ako, onda svi naredni članovi progresije imaju isti predznak - oni pozitivno.

Šta ako je negativan? Na primjer, a. Šta je drugi mandat i?

To je sasvim druga priča

Pokušajte izbrojati trajanje ove progresije. Koliko si dobio? Imam. Dakle, ako, onda se znaci članova geometrijske progresije izmjenjuju. Odnosno, ako vidite progresiju sa naizmjeničnim predznacima u njenim članovima, tada je njen nazivnik negativan. Ovo znanje vam može pomoći da se testirate kada rješavate probleme na ovu temu.

Sada malo vježbajmo: pokušajmo odrediti koji su numerički nizovi geometrijska progresija, a koji aritmetički:

Jasno? Uporedite naše odgovore:

Geometrijska progresija - 3, 6.
Aritmetička progresija - 2, 4.
To nije ni aritmetička ni geometrijska progresija - 1, 5, 7.

Vratimo se na našu posljednju progresiju, ali pokušajmo pronaći njen termin na isti način kao u aritmetici. Kao što ste možda pretpostavili, postoje dva načina da ga pronađete.

Svaki član sukcesivno množimo sa.

Dakle, -ti član opisane geometrijske progresije je jednak.

Kao što već pogađate, sada ćete sami izvesti formulu koja će vam pomoći da pronađete bilo koji član geometrijske progresije. Ili ste to već sami iznijeli, opisujući kako da pronađete th člana u fazama? Ako je tako, onda provjerite ispravnost svog razmišljanja.

Ilustrirajmo ovo na primjeru pronalaženja -tog člana ove progresije:

Drugim riječima:

Pronađite sebi vrijednost člana date geometrijske progresije.

Desilo se? Uporedite naše odgovore:

Obratite pažnju da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo sukcesivno množili svaki prethodni član geometrijske progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - dovodimo je u opći oblik i dobivamo:

Izvedena formula vrijedi za sve vrijednosti - i pozitivne i negativne. Provjerite sami tako što ćete izračunati uslove geometrijske progresije sa sljedećim uvjetima: , a.

Jeste li brojali? Uporedimo rezultate:

Slažem se da bi bilo moguće pronaći člana progresije na isti način kao i člana, međutim, postoji mogućnost pogrešnog izračuna. A ako smo već pronašli th član geometrijske progresije, a, što bi onda moglo biti lakše nego koristiti „skraćeni“ dio formule.

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija.

Nedavno smo razgovarali o tome šta može biti ili veće ili manje od nule, međutim, postoje posebne vrijednosti za koje se naziva geometrijska progresija beskonačno opadajuća.

Šta mislite zašto ima takav naziv?
Za početak, zapišimo neku geometrijsku progresiju koja se sastoji od članova.
Recimo onda:

Vidimo da je svaki naredni pojam manji od prethodnog puta, ali hoće li biti ikakav broj? Odmah ćete odgovoriti sa „ne“. Zato beskonačno opadajuće - opada, opada, ali nikada ne postaje nula.

Da bismo jasno razumjeli kako ovo izgleda vizualno, pokušajmo nacrtati graf našeg napredovanja. Dakle, za naš slučaj, formula ima sljedeći oblik:

Na grafikonima smo navikli da gradimo zavisnost od:

Suština izraza se nije promijenila: u prvom unosu smo pokazali ovisnost vrijednosti člana geometrijske progresije od njegovog rednog broja, au drugom unosu jednostavno smo uzeli vrijednost člana geometrijske progresije za, i redni broj je označen ne kao, već kao. Sve što je preostalo je da nacrtate grafik.
Hajde da vidimo šta imaš. Evo grafikona koji sam dobio:

Vidiš? Funkcija se smanjuje, teži nuli, ali je nikada ne prelazi, tako da je beskonačno opadajuća. Označimo naše tačke na grafu, a ujedno i šta znače koordinate i:

Pokušajte shematski prikazati graf geometrijske progresije ako je i njegov prvi član jednak. Analizirajte u čemu je razlika s našim prethodnim grafikonom?

Jeste li uspjeli? Evo grafikona koji sam dobio:

Sada kada ste u potpunosti razumjeli osnove teme geometrijske progresije: znate šta je to, znate kako pronaći njen pojam, a znate i šta je beskonačno opadajuća geometrijska progresija, prijeđimo na njeno glavno svojstvo.

svojstvo geometrijske progresije.

Sjećate li se svojstva članova aritmetičke progresije? Da, da, kako pronaći vrijednost određenog broja progresije kada postoje prethodne i sljedeće vrijednosti članova ove progresije. Zapamtite? Ovo:

Sada smo suočeni sa potpuno istim pitanjem za termine geometrijske progresije. Da bismo izveli takvu formulu, počnimo crtati i zaključivati. Vidjet ćete, vrlo je lako, a ako zaboravite, možete to sami izvaditi.

Uzmimo još jednu jednostavnu geometrijsku progresiju u kojoj znamo i. Kako pronaći? Uz aritmetičku progresiju, ovo je lako i jednostavno, ali kako je ovdje? U stvari, ni u geometriji nema ništa komplicirano - samo trebate obojiti svaku vrijednost koja nam je data prema formuli.

Pitate se, a šta ćemo sad s tim? Da, vrlo jednostavno. Za početak, oslikajmo ove formule na slici i pokušajmo s njima napraviti razne manipulacije kako bismo došli do vrijednosti.

Apstrahujemo od brojeva koji su nam dati, fokusiraćemo se samo na njihov izraz kroz formulu. Moramo pronaći vrijednost označenu narandžastom bojom, znajući termine koji su uz nju. Pokušajmo s njima izvesti razne radnje, kao rezultat kojih možemo dobiti.

Dodatak.
Pokušajmo dodati dva izraza i dobićemo:

Iz ovog izraza, kao što vidite, nećemo moći da izrazimo na bilo koji način, stoga ćemo pokušati drugu opciju - oduzimanje.

Oduzimanje.

Kao što vidite, ni iz ovoga ne možemo izraziti, pa ćemo pokušati da ove izraze pomnožimo jedni s drugima.

Množenje.

Sada pažljivo pogledajte šta imamo, množeći termine geometrijske progresije koja nam je data u poređenju sa onim što treba pronaći:

Pogodite o čemu pričam? Ispravno, da bismo ga pronašli, moramo uzeti kvadratni korijen brojeva geometrijske progresije koji su susjedni željenom broju međusobno pomnoženih:

Izvoli. Sami ste zaključili svojstvo geometrijske progresije. Pokušajte da napišete ovu formulu u opštem obliku. Desilo se?

Kada ste zaboravili stanje? Razmislite zašto je to važno, na primjer, pokušajte sami izračunati, na. Šta se dešava u ovom slučaju? Tako je, potpuna glupost, jer formula izgleda ovako:

Shodno tome, ne zaboravite ovo ograničenje.

Sada izračunajmo šta je

Tačan odgovor - ! Ako pri računanju niste zaboravili drugu moguću vrijednost, onda ste odličan momak i možete odmah krenuti sa treningom, a ako ste zaboravili pročitajte šta je analizirano u nastavku i obratite pažnju zašto u odgovoru moraju biti zapisana oba korijena .

Nacrtajmo obje naše geometrijske progresije - jednu s vrijednošću, a drugu s vrijednošću i provjerimo imaju li obje pravo na postojanje:

Da bismo provjerili postoji li takva geometrijska progresija ili ne, potrebno je vidjeti da li je ista između svih njenih zadatih članova? Izračunajte q za prvi i drugi slučaj.

Vidite zašto moramo napisati dva odgovora? Jer predznak traženog člana zavisi od toga da li je pozitivan ili negativan! A pošto ne znamo šta je to, moramo da napišemo oba odgovora sa plusom i minusom.

Sada kada ste savladali glavne tačke i zaključili formulu za svojstvo geometrijske progresije, pronađite, znajući i

Uporedite svoje odgovore sa tačnim:

Što mislite, što ako nam nisu date vrijednosti članova geometrijske progresije koji su susjedni željenom broju, već jednako udaljeni od njega. Na primjer, trebamo pronaći, i dati i. Možemo li koristiti formulu koju smo izveli u ovom slučaju? Pokušajte potvrditi ili opovrgnuti ovu mogućnost na isti način, opisujući od čega se svaka vrijednost sastoji, kao što ste to učinili kada ste prvobitno izveli formulu.
šta si dobio?

Sada ponovo pažljivo pogledajte.
i shodno tome:

Iz ovoga možemo zaključiti da formula funkcionira ne samo sa susedima sa željenim terminima geometrijske progresije, ali i sa jednako udaljena od onoga što članovi traže.

Dakle, naša originalna formula postaje:

Odnosno, ako smo u prvom slučaju to rekli, sada kažemo da može biti jednako bilo kojem prirodnom broju koji je manji. Glavna stvar je da budu isti za oba data broja.

Vježbajte na konkretnim primjerima, samo budite izuzetno oprezni!

, . Naći.
, . Naći.
, . Naći.

Odlučili? Nadam se da ste bili izuzetno pažljivi i da ste primijetili malu zamku.

Upoređujemo rezultate.

U prva dva slučaja mirno primjenjujemo gornju formulu i dobivamo sljedeće vrijednosti:

U trećem slučaju, pažljivim razmatranjem serijskih brojeva brojeva koji su nam dati, shvatamo da oni nisu jednako udaljeni od broja koji tražimo: to je prethodni broj, ali uklonjen na poziciju, tako da nije moguće da primeni formulu.

Kako to riješiti? Zapravo i nije tako teško kao što se čini! Hajde da zapišemo sa vama od čega se sastoji svaki broj koji nam je dat i željeni broj.

Dakle, imamo i. Hajde da vidimo šta možemo sa njima. Predlažem razdvajanje. Dobijamo:

Svoje podatke zamjenjujemo u formulu:

Sljedeći korak koji možemo pronaći - za to trebamo uzeti kubni korijen rezultirajućeg broja.

Pogledajmo sada ponovo šta imamo. Imamo, ali moramo pronaći, a to je, zauzvrat, jednako:

Pronašli smo sve potrebne podatke za izračun. Zamjena u formuli:

Naš odgovor: .

Pokušajte sami riješiti još jedan isti problem:
Dato: ,
Naći:

Koliko si dobio? Imam - .

Kao što vidite, u stvari, trebate zapamtite samo jednu formulu- . Sve ostalo možete sami povući bez ikakvih poteškoća u bilo koje vrijeme. Da biste to učinili, jednostavno napišite najjednostavniju geometrijsku progresiju na komad papira i zapišite čemu je, prema gornjoj formuli, jednak svaki njegov broj.

Zbir članova geometrijske progresije.

Sada razmotrite formule koje nam omogućavaju da brzo izračunamo zbir članova geometrijske progresije u datom intervalu:

Da bismo izveli formulu za zbir članova konačne geometrijske progresije, množimo sve dijelove gornje jednadžbe sa. Dobijamo:

Pogledajte pažljivo: šta je zajedničko poslednje dve formule? Tako je, zajednički članovi, na primjer i tako dalje, osim prvog i posljednjeg člana. Pokušajmo da oduzmemo 1. jednačinu od 2. jednačine. šta si dobio?

Sada izrazite kroz formulu člana geometrijske progresije i zamijenite rezultirajući izraz u našoj posljednjoj formuli:

Grupirajte izraz. Trebali biste dobiti:

Sve što ostaje da se uradi je da izrazimo:

Shodno tome, u ovom slučaju.

Šta ako? Koja formula onda radi? Zamislite geometrijsku progresiju na. Kakva je ona? Tačno niz identičnih brojeva, odnosno, formula će izgledati ovako:

Kao i kod aritmetičke i geometrijske progresije, postoje mnoge legende. Jedna od njih je legenda o Setu, tvorcu šaha.

Mnogi ljudi znaju da je igra šaha izmišljena u Indiji. Kada ju je hinduistički kralj upoznao, bio je oduševljen njenom duhovitošću i raznolikošću mogućih pozicija u njoj. Saznavši da ga je izmislio jedan od njegovih podanika, kralj je odlučio da ga lično nagradi. Pozvao je pronalazača k sebi i naredio mu da traži šta god želi, obećavajući da će ispuniti i najvještiju želju.

Seta je tražio vremena za razmišljanje, a kada se sledećeg dana Seta pojavio pred kraljem, iznenadio je kralja neviđenom skromnošću svog zahteva. Tražio je zrno pšenice za prvo polje šahovske ploče, pšenicu za drugo, za treće, za četvrto i tako dalje.

Kralj je bio ljut i otjerao Seta, rekavši da je molba sluge nedostojna kraljevske velikodušnosti, ali je obećao da će sluga dobiti svoje žito za sve ćelije odbora.

A sada se postavlja pitanje: koristeći formulu za zbir članova geometrijske progresije, izračunajte koliko zrna Set treba da dobije?

Počnimo s raspravom. Pošto je, prema uslovu, Set tražio zrno pšenice za prvu ćeliju šahovske table, za drugu, za treću, za četvrtu itd., vidimo da je problem oko geometrijske progresije. Šta je jednako u ovom slučaju?
U redu.

Ukupan broj ćelija šahovske ploče. Odnosno, . Imamo sve podatke, ostaje samo da ih zamijenimo u formulu i izračunamo.

Da bismo predstavili barem približno "skale" datog broja, transformiramo koristeći svojstva stepena:

Naravno, ako želite, možete uzeti kalkulator i izračunati kakav ćete broj dobiti, a ako ne, morate mi vjerovati na riječ: konačna vrijednost izraza će biti.
tj.:

kvintilion kvadrilion trilion milijardi miliona hiljada.

Fuh) Ako želite da zamislite ogromnu veličinu ovog broja, onda procijenite kolika bi ambara bila potrebna da primi cjelokupnu količinu žita.
Sa visinom štale od m i širinom od m, njena dužina bi se morala protezati na km, tj. duplo dalje nego od Zemlje do Sunca.

Da je kralj jak u matematici, mogao bi da ponudi i samog naučnika da prebroji zrna, jer da bi prebrojao milion zrna, trebao bi mu najmanje dan neumornog brojanja, a s obzirom da je potrebno prebrojati kvintilione, zrna bi se morala brojati ceo život.

A sada ćemo riješiti jednostavan problem o zbiru pojmova geometrijske progresije.
Vasja, učenik 5. razreda, razbolio se od gripe, ali nastavlja da ide u školu. Vasya svakoga dana zarazi dvije osobe koje, zauzvrat, zaraze još dvije osobe i tako dalje. Samo jedna osoba u razredu. Za koliko dana će ceo razred dobiti grip?

Dakle, prvi član geometrijske progresije je Vasja, odnosno osoba. član geometrijske progresije, to su dvije osobe koje je zarazio prvog dana svog dolaska. Ukupan zbir članova progresije jednak je broju učenika 5A. Shodno tome, govorimo o progresiji u kojoj:

Zamijenimo naše podatke u formulu za zbir članova geometrijske progresije:

Cijeli razred će se razboljeti za nekoliko dana. Ne vjerujete u formule i brojeve? Pokušajte sami dočarati "zarazu" učenika. Desilo se? Pogledajte kako to kod mene izgleda:

Izračunajte sami koliko bi dana đaci dobili grip ako bi svi zarazili osobu, a u razredu je bila osoba.

Koju vrijednost ste dobili? Ispostavilo se da su svi počeli da se razboljevaju nakon jednog dana.

Kao što vidite, takav zadatak i crtež za njega podsjećaju na piramidu, u kojoj svaki sljedeći "donosi" nove ljude. Međutim, prije ili kasnije dođe trenutak kada ovo drugo ne može nikoga privući. U našem slučaju, ako zamislimo da je klasa izolirana, osoba iz zatvara lanac (). Dakle, ako je osoba uključena u finansijsku piramidu u kojoj je dat novac ako dovedete još dva učesnika, tada ta osoba (ili u općenitom slučaju) ne bi dovela nikoga, odnosno izgubila bi sve što je uložila u ovu finansijsku prevaru .

Sve što je gore rečeno odnosi se na opadajuću ili rastuću geometrijsku progresiju, ali, kao što se sjećate, imamo posebnu vrstu - beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju. Kako izračunati zbir njegovih članova? I zašto ova vrsta progresije ima određene karakteristike? Hajde da to shvatimo zajedno.

Dakle, za početak, pogledajmo ponovo ovu sliku beskonačno opadajuće geometrijske progresije iz našeg primjera:

A sada pogledajmo formulu za sumu geometrijske progresije, izvedenu malo ranije:
ili

čemu težimo? Tako je, grafikon pokazuje da teži nuli. Odnosno, kada će biti gotovo jednako, odnosno, kada izračunamo izraz, dobićemo skoro. S tim u vezi, smatramo da se pri izračunavanju sume beskonačno opadajuće geometrijske progresije ova zagrada može zanemariti, jer će biti jednaka.

- formula je zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

BITAN! Koristimo formulu za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije samo ako uvjet eksplicitno kaže da trebamo pronaći zbir beskrajno broj članova.

Ako je naveden određeni broj n, tada koristimo formulu za zbir n članova, čak i ako je ili.

A sada vježbajmo.

Nađi zbir prvih članova geometrijske progresije sa i.
Naći zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa i.

Nadam se da ste bili veoma oprezni. Uporedite naše odgovore:

Sada znate sve o geometrijskoj progresiji i vrijeme je da pređete s teorije na praksu. Najčešći eksponencijalni problemi koji se nalaze na ispitu su problemi složenih kamata. O njima ćemo govoriti.

Problemi za obračun složene kamate.

Sigurno ste čuli za takozvanu formulu složene kamate. Da li razumete šta ona misli? Ako ne, hajde da to shvatimo, jer kada ste shvatili sam proces, odmah ćete shvatiti kakve veze ima geometrijska progresija s tim.

Svi idemo u banku i znamo da postoje različiti uslovi za depozite: ovo je i rok, i dodatno održavanje, i kamate sa dva različita načina obračuna - jednostavnim i složenim.

OD obična kamata sve je manje-više jasno: kamata se obračunava jednokratno na kraju roka oročenja. Odnosno, ako govorimo o ulaganju 100 rubalja godišnje, onda će oni biti kreditirani tek na kraju godine. U skladu s tim, do kraja depozita, dobit ćemo rublje.

Složena kamata je opcija u kojoj kapitalizacija kamata, tj. njihovo dodavanje na iznos depozita i naknadni obračun prihoda ne od početnog, već od akumuliranog iznosa depozita. Kapitalizacija se ne dešava stalno, već sa određenom periodičnošću. Po pravilu, takvi periodi su jednaki i banke najčešće koriste mjesec, kvartal ili godinu.

Recimo da stavljamo sve iste rublje godišnje, ali sa mjesečnom kapitalizacijom depozita. šta dobijamo?

Razumijete li sve ovdje? Ako ne, idemo korak po korak.

Doneli smo rublje u banku. Do kraja mjeseca bi na našem računu trebao imati iznos koji se sastoji od naših rubalja plus kamate na njih, odnosno:

Slažem se?

Možemo ga izvaditi iz zagrade i tada dobijamo:

Slažem se, ova formula je već sličnija onoj koju smo napisali na početku. Ostaje da se pozabavimo procentima

U stanju problema, rečeno nam je o godišnjem. Kao što znate, mi ne množimo sa - procente pretvaramo u decimale, odnosno:

zar ne? Sada pitate odakle vam broj? Veoma jednostavno!
Ponavljam: stanje problema govori o ANNUAL obračunate kamate MJESEČNO. Kao što znate, za godinu dana u mjesecu, banka će nam naplatiti dio godišnje kamate mjesečno:

Realized? Sada pokušajte da napišete kako bi izgledao ovaj dio formule kada bih rekao da se kamata obračunava dnevno.
Jeste li uspjeli? Uporedimo rezultate:

Dobro urađeno! Vratimo se našem zadatku: napišite koliko će biti kreditirano na naš račun za drugi mjesec, vodeći računa da se na akumulirani iznos depozita obračunava kamata.
Evo šta mi se desilo:

Ili, drugim riječima:

Mislim da ste već primijetili uzorak i vidjeli geometrijsku progresiju u svemu tome. Napišite koliko će biti jednak njen član ili, drugim riječima, koliko ćemo novca dobiti na kraju mjeseca.
Gotovo? Provjeravam!

Kao što vidite, ako stavite novac u banku godinu dana uz prostu kamatu, onda ćete dobiti rublje, a ako ga stavite po složenoj stopi, dobit ćete rublje. Korist je mala, ali to se dešava samo tokom 1. godine, ali na duži period kapitalizacija je mnogo isplativija:

Razmotrite drugu vrstu problema složenih kamata. Nakon onoga što ste shvatili, bit će vam elementarno. Dakle, zadatak je:

Zvezda je počela da ulaže u industriju 2000. godine sa dolarskim kapitalom. Svake godine od 2001. godine ostvaruje profit jednak kapitalu prethodne godine. Koliko će dobiti Zvezdina kompanija na kraju 2003. godine, ako dobit nije povučena iz prometa?

Kapital kompanije Zvezda 2000. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2001. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2002. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2003. godine.

Ili možemo ukratko napisati:

Za naš slučaj:

2000, 2001, 2002 i 2003.

odnosno:
rublja
Imajte na umu da u ovom zadatku nemamo podjelu ni po ni po, jer se procenat daje GODIŠNJE i izračunava se GODIŠNJE. Odnosno, prilikom čitanja problema za složenu kamatu obratite pažnju na to koji je procenat dat, iu kom periodu se naplaćuje, pa tek onda pređite na obračun.
Sada znate sve o geometrijskoj progresiji.

Trening.

Nađi član geometrijske progresije ako je to poznato, i
Naći zbir prvih članova geometrijske progresije, ako je to poznato, i
MDM Capital je počeo da investira u industriju 2003. godine sa dolarskim kapitalom. Svake godine od 2004. ostvarivala je profit jednak kapitalu prethodne godine. Kompanija "MSK Cash Flows" počela je da ulaže u industriju 2005. godine u iznosu od 10.000 dolara, počevši da ostvaruje profit u 2006. godini u iznosu od 10.000 dolara. Za koliko dolara kapital jedne kompanije premašuje kapital druge na kraju 2007. godine, ako profit nije povučen iz opticaja?

odgovori:

Budući da uvjet zadatka ne kaže da je progresija beskonačna i da je potrebno pronaći zbir određenog broja njegovih članova, proračun se vrši prema formuli:
Kompanija "MDM Capital":
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- povećava se za 100%, odnosno 2 puta.
odnosno:
rublja
MSK Novčani tokovi:
2005, 2006, 2007.
- povećava se za, odnosno puta.
odnosno:
rublja
rublja

Hajde da sumiramo.

1) Geometrijska progresija ( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.

2) Jednačina članova geometrijske progresije -.

3) može imati bilo koju vrijednost, osim i.

ako, onda svi naredni članovi progresije imaju isti predznak - oni pozitivno;
ako, onda svi naredni članovi progresije alternativni znakovi;
at - progresija se naziva beskonačno opadajućom.

4) , at je svojstvo geometrijske progresije (susjedni članovi)

ili
, at (jednako udaljeni pojmovi)

Kada ga nađete, nemojte to zaboraviti trebalo bi da postoje dva odgovora..

Na primjer,

5) Zbir članova geometrijske progresije izračunava se po formuli:
ili

ili

BITAN! Koristimo formulu za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije samo ako uslov eksplicitno kaže da je potrebno pronaći zbir beskonačnog broja članova.

6) Zadaci za složenu kamatu obračunavaju se i po formuli th člana geometrijske progresije, pod uslovom da sredstva nisu povučena iz opticaja:

GEOMETRIJSKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Geometrijska progresija( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se zove imenilac geometrijske progresije.

Imenilac geometrijske progresije može uzeti bilo koju vrijednost osim za i.

Ako, onda svi naredni članovi progresije imaju isti predznak - oni su pozitivni;
ako, onda svi sljedeći članovi progresije zamjenjuju znakove;
at - progresija se naziva beskonačno opadajućom.

Jednadžba članova geometrijske progresije - .

Zbir članova geometrijske progresije izračunato po formuli:
ili

Ako je progresija beskonačno opadajuća, tada:

PREOSTALE 2/3 ČLANKA DOSTUPNE SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!

Postanite student YouClevera,

Pripremite se za OGE ili USE iz matematike po cijeni "šoljica kafe mjesečno",

I također dobijte neograničen pristup udžbeniku "YouClever", programu obuke "100gia" (knjiga rješenja), neograničenom probnom USE i OGE, 6000 zadataka sa analizom rješenja i drugim YouClever i 100gia servisima.

Geometrijska progresija je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki sljedeći član jednak je prethodnom članu pomnoženom istim brojem koji nije nula. Geometrijska progresija se označava sa b1,b2,b3, …, bn, …

Svojstva geometrijske progresije

Odnos bilo kog člana geometrijske greške u odnosu na prethodni član jednak je istom broju, to jest, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Ovo direktno slijedi iz definicije aritmetičke progresije. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije. Obično se nazivnik geometrijske progresije označava slovom q.

Jedan od načina za postavljanje geometrijske progresije je postavljanje njenog prvog člana b1 i nazivnika geometrijske greške q. Na primjer, b1=4, q=-2. Ova dva uslova daju geometrijsku progresiju od 4, -8, 16, -32, … .

Ako je q>0 (q nije jednako 1), onda je progresija monotoni niz. Na primjer, niz, 2, 4,8,16,32, ... je monotono rastući niz (b1=2, q=2).

Ako je nazivnik q=1 u geometrijskoj grešci, tada će svi članovi geometrijske progresije biti međusobno jednaki. U takvim slučajevima se kaže da je napredovanje konstantan niz.

Formula n-tog člana progresije

Da bi brojčani niz (bn) bio geometrijska progresija, potrebno je da svaki njegov član, počevši od drugog, bude geometrijska sredina susjednih članova. Odnosno, potrebno je ispuniti sljedeću jednačinu - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), za bilo koje n>0, gdje n pripada skupu prirodni brojevi N.

Formula za n-ti član geometrijske progresije je:

bn=b1*q^(n-1), pri čemu n pripada skupu prirodnih brojeva N.

Razmotrite jednostavan primjer:

U geometrijskoj progresiji b1=6, q=3, n=8 naći bn.

Koristimo formulu n-tog člana geometrijske progresije.

Povezana lekcija "Beskonačno opadajuća geometrijska progresija"

Svrha lekcije: upoznavanje učenika sa novom vrstom niza – beskonačno opadajućom geometrijskom progresijom.

Zadaci:

formulacija početne ideje granice numeričkog niza; upoznavanje sa drugim načinom pretvaranja beskonačnih periodičnih razlomaka u obične pomoću formule za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije;

razvoj intelektualnih kvaliteta ličnosti školaraca, kao npr logičko razmišljanje, sposobnost evaluacije, generalizacije;

vaspitanje aktivnosti, uzajamna pomoć, kolektivizam, interesovanje za predmet.

Oprema: kompjuterska klasa, projektor, platno.

Vrsta lekcije: lekcija - učenje nova tema.

Tokom nastave

I . Org. momenat. Poruka o temi i svrsi lekcije.

II . Ažuriranje znanja učenika.1. Provjera domaćeg zadatka.

1) Provjera osnovnih formula vezanih za aritmetičke i geometrijske progresije. Dva učenika zapisuju formule na tabli.

2) Ostali učenici to rade matematički diktat na temu "Formule zbira".

Zadaci:

№1. Pronađite zbroj prvih pet članova aritmetičke progresije ako je njen prvi član 6 (1. opcija), -20 (2. opcija), a peti član je -6 (1. opcija), 20 (2. opcija).

№2. Pronađite zbir prvih pet članova aritmetičke progresije ako je njen prvi član -20 (1. opcija), 6 (2. opcija), a razlika je 10 (1. opcija), -3 (2. opcija).

№3. Pronađite zbir prvih pet članova geometrijske progresije ako je njen prvi član 1 (1. opcija), -1 (2. opcija), a imenilac je -2 (1. opcija), 2 (2. opcija).

Na kraju diktata, selektivno, rad dva učenika se provjerava za ocjenu, ostali obavljaju samoprovjeru prema rješenja po sistemu ključ u ruke napisano na reverima daske.

rješenja:

Zadaci

1. Aritmetička progresija je data formulom a n = 7 – 4 n. Nađi a 10 . (-33)

2. Aritmetička progresija a 3 = 7 I a 5 = 1 . Nađi a 4 . (4)

3. Aritmetička progresija a 3 = 7 I a 5 = 1 . Nađi a 17 . (-35)

4. Aritmetička progresija a 3 = 7 I a 5 = 1 . Nađi S 17 . (-187)

5. Za geometrijsku progresiju
pronađite peti član.

6. Za geometrijsku progresiju
naći n-th član.

7. Eksponencijalno b 3 = 8 I b 5 = 2 . Nađi b 4 . (4)

8. Eksponencijalno b 3 = 8 I b 5 = 2 . Nađi b 1 I q .

9. Eksponencijalno b 3 = 8 I b 5 = 2 . Nađi S 5 . (62)

III . Istraživanje nove teme(demonstracijska prezentacija).

Razmotrimo kvadrat sa stranicom jednakom 1. Nacrtajmo još jedan kvadrat čija je stranica polovina prvog kvadrata, zatim još jedan, čija je strana polovina drugog, zatim sljedeći, i tako dalje. Svaki put je stranica novog kvadrata upola manja od prethodne.

Kao rezultat, dobili smo niz stranica kvadrata formiranje geometrijske progresije sa nazivnikom.

I, što je vrlo važno, što više gradimo takvih kvadrata, to će biti manja stranica kvadrata. Na primjer,

One. kako se broj n povećava, termini progresije se približavaju nuli.

Uz pomoć ove slike može se razmotriti još jedan niz.

Na primjer, redoslijed površina kvadrata:

. I opet, ako n raste neograničeno, tada se područje proizvoljno približava nuli.

Razmotrimo još jedan primjer. Jednakostranični trokut sa stranicom od 1 cm. Konstruiramo sljedeći trokut sa vrhovima u sredinama stranica 1. trougla, prema teoremi o srednja linija trougao - stranica 2. jednaka je polovini stranice prve, stranica 3. je polovina stranice 2. itd. Ponovo dobijamo niz dužina stranica trouglova.

at
.

Ako uzmemo u obzir geometrijsku progresiju sa negativnim nazivnikom.

Zatim, opet, sa sve većim brojem n uslovi progresije se približavaju nuli.

Obratimo pažnju na nazivnike ovih nizova. Svugdje su imenioci bili manji od 1 modula.

Možemo zaključiti: geometrijska progresija će biti beskonačno opadajuća ako je modul njenog nazivnika manji od 1.

Front work.

definicija:

Za geometrijsku progresiju se kaže da je beskonačno opadajuća ako je modul njenog nazivnika manji od jedan.
.

Uz pomoć definicije moguće je riješiti pitanje da li je geometrijska progresija beskonačno opadajuća ili ne.

Zadatak

Da li je niz beskonačno opadajuća geometrijska progresija ako je dat formulom:

;
.

Rješenje:

. Hajde da nađemo q .

;
;
;
.

ova geometrijska progresija je beskonačno opadajuća.

b) ovaj niz nije beskonačno opadajuća geometrijska progresija.

Razmotrite kvadrat sa stranom jednakom 1. Podijelite ga na pola, jednu od polovina ponovo na pola, i tako dalje. površine svih rezultujućih pravokutnika formiraju beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju:

Zbir površina svih pravokutnika dobijenih na ovaj način bit će jednak površini 1. kvadrata i jednak 1.

Ali na lijevoj strani ove jednakosti je zbir beskonačnog broja članova.

Razmotrimo zbir prvih n članova.

Prema formuli za zbir prvih n članova geometrijske progresije, ona je jednaka .

Ako n onda se povećava na neodređeno vreme

ili
. Zbog toga
, tj.
.

Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije postoji ograničenje sekvence S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Na primjer, za napredovanje
,

Jer

Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije može se pronaći pomoću formule
.

III . Refleksija i konsolidacija(završetak zadataka).

Zadatak broj 2. Naći zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa prvim članom 3, drugim 0,3.

Rješenje:

Zadatak broj 3. udžbenik, str.160, broj 433(1)

Nađi zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije:

Rješenje:

Zadatak broj 4. Napišite beskonačnu periodiku decimalni 0,(5) kao običan razlomak.

1. način. Neka je x = 0, (5) = 0,555 ... / 10 2. metoda. 0,(5)=0,555…=

Zadatak broj 5. udžbenik, str.162, broj 445(3) ( nezavisno rešenje)

Zapišite beskonačan periodični decimalni razlomak 0,(12) kao običan razlomak.

Odgovor: 0,(12)=4/33.

IV . Rezimirajući.

Koju ste sekvencu danas upoznali?

Definirajte beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju.

Kako dokazati da je geometrijska progresija beskonačno opadajuća?

Dajte formulu za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

V . Zadaća.

Geometrijska progresija je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki sljedeći član jednak je prethodnom članu pomnoženom istim brojem koji nije nula.

Geometrijska progresija je označena b1,b2,b3, …, bn, … .

Monotoni i konstantni niz

Ako je q>0 (q nije jednako 1), onda je progresija monotoni niz. Na primjer, niz, 2, 4,8,16,32, ... je monotono rastući niz (b1=2, q=2).

Ako je nazivnik q=1 u geometrijskoj grešci, tada će svi članovi geometrijske progresije biti međusobno jednaki. U takvim slučajevima se kaže da je napredovanje konstantan niz.

Formula n-tog člana geometrijske progresije

Da bi brojčani niz (bn) bio geometrijska progresija, potrebno je da svaki njegov član, počevši od drugog, bude geometrijska sredina susjednih članova. Odnosno, potrebno je ispuniti sljedeću jednačinu
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), za bilo koje n>0, gdje n pripada skupu prirodnih brojeva N.

Formula za n-ti član geometrijske progresije je:

bn=b1*q^(n-1),

gdje n pripada skupu prirodnih brojeva N.

Formula za zbir prvih n članova geometrijske progresije

Formula za zbir prvih n članova geometrijske progresije je:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) gdje q nije jednako 1.

Razmotrite jednostavan primjer:

U geometrijskoj progresiji b1=6, q=3, n=8 naći Sn.

Da bismo pronašli S8, koristimo formulu za zbir prvih n članova geometrijske progresije.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.