Dat je dokaz Weierstrassove teoreme o granici monotonog niza. Razmatraju se slučajevi ograničenih i neograničenih nizova. Razmatran je primjer u kojem je potrebno, koristeći Weierstrassov teorem, dokazati konvergenciju niza i pronaći njegovu granicu.

Sadržaj

Vidi također: Granice monotonih funkcija

Bilo koji monotoni ograničeni niz ( x n ) ima konačnu granicu jednaku tačnoj gornjoj granici, sup ( x n ) za neopadajuću i tačnu donju granicu, inf ( x n ) za nerastući niz.
Bilo koji monotoni neograničeni niz ima beskonačnu granicu koja je jednaka plus beskonačnosti za neopadajuću sekvencu i minus beskonačnost za nerastuću sekvencu.

Dokaz

1) neopadajući ograničeni niz.

(1.1) .

Pošto je niz ograničen, on ima konačnu tačnu gornju granicu
.
to znači da:

• za sve n,
  (1.2) ;
• za bilo koga pozitivan broj, postoji broj koji zavisi od ε takav da
  (1.3) .

.
Ovdje smo također koristili (1.3). Kombinujući sa (1.2), nalazimo:
u .
Od tada
,
ili
u .
Prvi dio teoreme je dokazan.

2) Sada neka bude redosled nerastući ograničeni niz:
(2.1) za sve n.

Pošto je niz ograničen, on ima konačnu tačnu donju granicu
.
To znači sljedeće:

• za sve n vrijede sljedeće nejednakosti:
  (2.2) ;
• za bilo koji pozitivan broj , postoji broj koji zavisi od ε za koji
  (2.3) .

.
Ovdje smo također koristili (2.3). Uzimajući u obzir (2.2), nalazimo:
u .
Od tada
,
ili
u .
To znači da je broj granica niza.
Drugi dio teoreme je dokazan.

Sada razmotrite neograničene nizove.
3) Neka red bude neograničen neopadajući niz.

Kako je niz neopadajući, sljedeće nejednakosti vrijede za sve n:
(3.1) .

Pošto je niz neopadajući i neograničen, on je neograničen na desnoj strani. Tada za bilo koji broj M postoji broj koji zavisi od M za koji
(3.2) .

Pošto je niz neopadajući, onda za imamo:
.
Ovdje smo također koristili (3.2).

.
To znači da je granica niza plus beskonačnost:
.
Treći dio teoreme je dokazan.

4) Konačno, razmotrite slučaj kada neograničen niz koji se ne povećava.

Kao što je gore navedeno, pošto je niz nerastući, onda
(4.1) za sve n.

Pošto je niz nerastući i neograničen, on je neograničen na lijevoj strani. Tada za bilo koji broj M postoji broj koji zavisi od M za koji
(4.2) .

Pošto je niz nerastući, onda za imamo:
.

Dakle, za bilo koji broj M postoji prirodan broj koji zavisi od M, tako da za sve brojeve vrijede sljedeće nejednakosti:
.
To znači da je granica niza minus beskonačnost:
.
Teorema je dokazana.

Primjer rješenja problema

Svi primjeri Koristeći Weierstrassovu teoremu dokazati konvergenciju niza:
, , . . . , , . . .
Zatim pronađite njegovu granicu.

Hajde da predstavimo niz u obliku ponavljajućih formula:
,
.

Dokažimo da je dati niz odozgo ograničen vrijednošću
(P1) .
Dokaz se vrši metodom matematičke indukcije.
.
Neka . Onda
.
Nejednakost (A1) je dokazana.

Dokažimo da je niz monotono rastući.
;
(P2) .
Budući da , tada su nazivnik razlomka i prvi faktor u brojniku pozitivni. Budući da su članovi niza ograničeni nejednakošću (P1), drugi faktor je također pozitivan. Zbog toga
.
To jest, slijed se striktno povećava.

Pošto je niz rastući i ograničen odozgo, to je ograničen niz. Stoga, prema Weierstrassovom teoremu, ima granicu.

Hajde da pronađemo ovu granicu. Označimo to sa:
.
Hajde da iskoristimo šta
.
Ovo primjenjujemo na (P2) koristeći aritmetička svojstva granica konvergentnih nizova:
.
Koren zadovoljava uslov.

Vidi također:

Definicija: ako svi n є N, poravnato x n є N, onda to kažu

formu numerički podsekvenca.

- članovi sekvence

- general član sekvence

Gornja definicija implicira da bilo koji numerički niz mora biti beskonačan, ali ne znači da svi članovi moraju biti različiti brojevi.

Uzima se u obzir brojčani niz dato, ako je specificiran zakon po kojem se može pronaći bilo koji član niza.

Članovi ili elementi niza (1) sve numerisano prirodni brojevi rastućim redoslijedom brojeva. Za n+1 > n-1, termin slijedi (prethodi) pojmu, bez obzira da li je sam broj veći, manji ili čak jednak broju.

Definicija: Varijabla x koja uzima neki niz (1) vrijednosti, mi ćemo - slijedeći Ch. Meraya - zvati opcija.

U školskom kursu matematike možete pronaći varijable upravo ovog tipa, kao što su opcije.

Na primjer, sekvenca poput

(aritmetički) ili u obliku

(geometrijska progresija)

Varijabilni termin ove ili one progresije je opcija.

U vezi sa definicijom obima kruga, obično se razmatra obim pravilnog poligona upisanog u krug, dobijen iz šesterokuta sukcesivnim udvostručavanjem broja stranica. Dakle, ova varijanta uzima niz vrijednosti:

Pominjemo i decimalnu aproksimaciju (po nedostatku) do, sa sve većom preciznošću. Potrebno je niz vrijednosti:

i takođe predstavlja opciju.

Varijabla x koja prolazi kroz niz (1) često se označava sa, identifikujući je sa promenljivim („uobičajenim“) članom ove sekvence.

Ponekad je varijanta x n data onim što izraz za x n direktno ukazuje; dakle, u slučaju aritmetike ili geometrijska progresija imamo, respektivno, x n =a+(n-1) d ili x n =aq n-1 . Koristeći ovaj izraz, možete odmah izračunati bilo koju vrijednost varijanti prema njenom datom broju, bez izračunavanja prethodnih vrijednosti.

Za obim pravilnog upisanog mnogougla, opšti izraz moguće samo ako unesete broj p; općenito, obim p m pravilnog upisanog m-ugla je dat formulom

Definicija 1: Numerički niz ( x n ) naziva se ograničenim odozgo (odozdo) ako takav broj postoji M (t) da za bilo koji element ovog niza postoji nejednakost, dok se broj M (m) naziva top (niže) rub.

Definicija 2: Numerički niz (x n ) naziva se ograničenim ako je omeđen i iznad i odozdo, tj. postoje M, m takvi da za bilo koje

Označimo A = max (|M|, |m|), tada je očito da će numerički niz biti ograničen ako jednakost |x n |?A vrijedi za bilo koje, posljednja nejednakost je uvjet za ograničenost numeričkog niza .

Definicija 3: poziva se brojčani niz beskonačno veliki niz, ako za bilo koji A>0, možete specificirati broj N takav da je za sve n>N, ||>A istinito.

Definicija 4: poziva se numerički niz (b n ). beskonačno mala niz, ako za bilo koji unaprijed specificirani e > 0, možete specificirati takav broj N(e) da za bilo koji n > N(e) nejednakost | b n |< е.

Definicija 5: poziva se brojčani niz ( x n ). konvergirajući, ako postoji takav broj a da je niz (x n - a) beskonačno mali niz. Istovremeno, a - limit početni numerički sekvence.

Iz ove definicije slijedi da su svi infinitezimalni nizovi konvergentni i da je granica tih nizova = 0.

Zbog činjenice da je koncept konvergentnog niza vezan za koncept beskonačnog mala sekvenca, tada se definicija konvergentnog niza može dati u drugom obliku:

Definicija 6: poziva se numerički niz ( x n ). konvergirajući na broj a ako za bilo koji proizvoljno mali postoji takav da je za sve n > N nejednakost

a - granica sekvence

Jer je ekvivalentno, a to znači da pripada intervalu x n ê (a - e; a + e) ​​ili, što je isto, pripada e - susjedstvu tačke a. Tada možemo dati još jednu definiciju konvergentnog numeričkog niza.

Definicija 7: poziva se brojčani niz ( x n ). konvergirajući, ako postoji tačka a takva da u bilo kojoj dovoljno maloj e-susedstvu ove tačke postoje proizvoljni elementi ovog niza, počevši od nekog broja N.

Napomena: prema definicijama (5) i (6), ako je a granica niza (x n ), onda je x n - a element beskonačno malog niza, tj. x n - a = b n , gdje je b n element infinitezimalnog niza. Dakle, x p \u003d a + b n, a onda imamo pravo tvrditi da ako numerički niz (x n) konvergira, onda se uvijek može predstaviti kao zbir njegove granice i elementa beskonačno malog niza.

I obrnuto: ako se bilo koji element niza (x n) može predstaviti kao zbir konstantnog broja i elementa beskonačno malog niza, onda je to konstanta i limit dato sekvence.

Definicija 8. Slijed ne povećava (ne smanjuje se), ako za.

Definicija 9. Slijed povećava (smanjuje se), ako za.

Definicija 10. Zove se striktno rastući ili striktno opadajući niz monotono sekvenca.