Funkcija y=f(x) pozvao beskonačno mali at x→a ili kada x→∞ ako ili , tj. beskonačno mala funkcija je funkcija čija je granica u datoj tački jednaka nuli.

Primjeri.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 je beskonačno malo za x→1, budući da (vidi sliku).

2. Funkcija f(x)=tg x je beskonačno mala pri x→0.

3. f(x)= log(1+ x) je beskonačno mala pri x→0.

4. f(x) = 1/x je beskonačno mala pri x→∞.

Hajde da uspostavimo sledeću važnu relaciju:

Teorema. Ako je funkcija y=f(x) zastupljen na x→a kao zbir konstantnog broja b i beskonačno mali α(x): f(x)=b+ α(x) onda .

Obrnuto, ako , tada f(x)=b+α(x), gdje sjekira) je beskonačno mala pri x→a.

Dokaz.

1. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Od jednakosti f(x)=b+α(x) trebalo bi |f(x) – b|=| α|. Ali pošto sjekira) je beskonačno mala, onda za proizvoljno ε postoji δ, susjedstvo tačke a, za sve x od kojih, vrednosti sjekira) zadovoljiti odnos |α(x)|< ε. Onda |f(x) – b|< ε. A to znači da .

2. Ako , tada za bilo koje ε >0 za sve X iz nekog δ je susjedstvo tačke aće |f(x) – b|< ε. Ali ako označimo f(x) – b= α, onda |α(x)|< ε, što znači da a- beskonačno mali.

Razmotrimo glavna svojstva infinitezimalnih funkcija.

Teorema 1. Algebarski zbir dva, tri i općenito bilo kojeg konačnog broja infinitezimala je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Dajemo dokaz za dva člana. Neka bude f(x)=α(x)+β(x), gdje i . Moramo dokazati da za proizvoljno mali ε > 0 tamo δ> 0, tako da za x zadovoljavanje nejednakosti |x – a|<δ , izvedeno |f(x)|< ε.

Dakle, fiksiramo proizvoljan broj ε > 0. Pošto je, prema hipotezi teoreme, α(x) je infinitezimalna funkcija, onda postoji δ 1 > 0, koji u |x – a|< δ 1 imamo |α(x)|< ε / 2. Isto tako, pošto β(x) je beskonačno mala, onda postoji takav δ 2 > 0, koji u |x – a|< δ 2 imamo | β(x)|< ε / 2.

Uzmimo δ=min(δ1 , δ2 } .Onda u susjedstvu točke a radijus δ svaka od nejednakosti će biti zadovoljena |α(x)|< ε / 2 i | β(x)|< ε / 2. Dakle, u ovom naselju će ih biti

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

one. |f(x)|< ε, što je trebalo dokazati.

Teorema 2. Proizvod infinitezimalne funkcije sjekira) za ograničenu funkciju f(x) at x→a(ili kada x→∞) je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Od funkcije f(x) je ograničen, onda postoji broj M tako da za sve vrijednosti x iz nekog susedstva tačke a|f(x)|≤M. Osim toga, pošto sjekira) je infinitezimalna funkcija za x→a, tada za proizvoljno ε > 0 postoji susjedstvo tačke a, u kojoj je nejednakost |α(x)|< ε /M. Zatim u manjem od ovih naselja koje imamo | αf|< ε /M= ε. A to znači to af- beskonačno mali. Za slučaj x→∞ dokaz se izvodi na sličan način.

Iz dokazane teoreme slijedi:

Posljedica 1. Ako i , onda .

Posljedica 2. Ako i c= const, zatim .

Teorema 3. Omjer infinitezimalne funkcije α(x) po funkciji f(x), čija je granica različita od nule, je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Neka bude . Zatim 1 /f(x) postoji ograničena funkcija. Dakle, razlomak je proizvod infinitezimalne funkcije i ograničene funkcije, tj. funkcija je beskonačno mala.

Beskonačno male funkcije

Poziva se funkcija %%f(x)%%. beskonačno mali(b.m.) za %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ako je granica funkcije jednaka nuli kada argument teži ovome.

Koncept b.m. funkcija je neraskidivo povezana s indikacijom promjene u svom argumentu. Možemo razgovarati o b.m. funkcije za %%a \to a + 0%% i za %%a \to a - 0%%. Obično b.m. funkcije su označene prvim slovima grčke abecede %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Primjeri

1. Funkcija %%f(x) = x%% je b.m. na %%x \do 0%%, jer je njegova granica na %%a = 0%% nula. Prema teoremi o vezi između dvostrane granice i jednostrane granice, ova funkcija je b.m. i sa %%x \do +0%% i sa %%x \do -0%%.
2. Funkcija %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. sa %%x \to \infty%% (kao i sa %%x \to +\infty%% i sa %%x \to -\infty%%).

Konstantni broj različit od nule, bez obzira koliko mali u apsolutnoj vrijednosti, nije b.m. funkcija. Za konstantne brojeve, jedini izuzetak je nula, pošto funkcija %%f(x) \equiv 0%% ima nultu granicu.

Teorema

Funkcija %%f(x)%% ima krajnju granicu u tački %%a \in \overline(\mathbb(R))%% proširene numeričke linije, jednak broju%%b%%, ako i samo ako je ova funkcija jednaka zbiru ovog broja %%b%% i b.m. funkcije %%\alpha(x)%% sa %%x \to a%%, ili $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Svojstva infinitezimalnih funkcija

Prema pravilima za prelazak do granice, za %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, slijede sljedeće izjave:

1. Zbir konačnog broja b.m. funkcije za %%x \to a%% je f.m. sa %%x \to a%%.
2. Proizvod bilo kojeg broja b.m. funkcije za %%x \to a%% je f.m. sa %%x \to a%%.

Proizvod b.m. funkcije na %%x \to a%% i funkcija ograničena u nekom probušenom susjedstvu %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% tačke a, je b.m. sa %%x \to a%% funkcijom.

Jasno je da proizvod konstantne funkcije i b.m. na %%x \to a%% postoji b.m. funkcija na %%x \to a%%.

Ekvivalentne infinitezimalne funkcije

Beskonačno male funkcije %%\alpha(x), \beta(x)%% za %%x \to a%% se nazivaju ekvivalentan i pišu se %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% if

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorema o zamjeni b.m. funkcije ekvivalentne

Neka su %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. funkcije na %%x \to a%%, i %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, zatim $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Ekvivalent b.m. funkcije.

Neka je %%\alpha(x)%% b.m. funkcija na %%x \do a%%, tada

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Primjer

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(niz) $$

Beskonačno velike funkcije

Poziva se funkcija %%f(x)%%. beskonačno velika(b.b.) za %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ako funkcija ima beskonačno ograničenje kako argument teži tome.

Kao b.m. funkcionira koncept b.b. funkcija je neraskidivo povezana s indikacijom promjene u svom argumentu. Možemo razgovarati o b.b. funkcije na %%x \to a + 0%% i %%x \to a - 0%%. Pojam "beskonačno velika" ne znači apsolutnu vrijednost funkcije, već prirodu njene promjene u blizini razmatrane tačke. Nijedan konstantan broj, koliko god velik u apsolutnoj vrijednosti, nije beskonačno velik.

Primjeri

1. Funkcija %%f(x) = 1/x%% - b.b. na %%x \do 0%%.
2. Funkcija %%f(x) = x%% - b.b. na %%x \to \infty%%.

Ako su uslovi definicija $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)( f( x)) = -\infty, \end(niz) $$

onda pričaju o tome pozitivno ili negativan b.b. na %%a%% funkciji.

Primjer

Funkcija %%1/(x^2)%% je pozitivna b.b. na %%x \do 0%%.

Veza između b.b. i b.m. funkcije

Ako je %%f(x)%% b.b. ako je %%x \to a%% funkcija, tada je %%1/f(x)%% b.m.

sa %%x \to a%%. Ako je %%\alpha(x)%% b.m. jer je %%x \to a%% funkcija različita od nule u nekom probušenom susjedstvu tačke %%a%%, tada je %%1/\alpha(x)%% b.b. sa %%x \to a%%.

Svojstva beskonačno velikih funkcija

Predstavimo nekoliko svojstava b.b. funkcije. Ova svojstva direktno slijede iz definicije b.b. funkcije i svojstva funkcija koje imaju konačne granice, kao i iz teoreme veze između b.b. i b.m. funkcije.

1. Proizvod konačnog broja b.b. funkcije za %%x \to a%% su b.b. funkcija na %%x \to a%%. Zaista, ako je %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% b.b. funkcije na %%x \to a%%, zatim u nekom probušenom susjedstvu tačke %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, i teoremom veze b.b. i b.m. funkcije %%1/f_k(x)%% - b.m. funkcija na %%x \to a%%. Ispostavilo se da je %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% bm funkcija za %%x \to a%%, i %%\displaystyle\prod^( n )_(k = 1)f_k(x)%% — b.b. funkcija na %%x \to a%%.
2. Proizvod b.b. funkcije u %%x \to a%% i funkcija čija je apsolutna vrijednost veća od pozitivne konstante u nekom probušenom susjedstvu tačke %%a%% je b.b. funkcija na %%x \to a%%. Konkretno, proizvod b.b. funkcije u %%x \to a%% i funkcija koja ima konačnu granicu različitu od nule u tački %%a%% bit će b.b. funkcija na %%x \to a%%.

Zbir funkcije ograničene u nekom probušenom susjedstvu tačke %%a%% i b.b. funkcije na %%x \to a%% su b.b. funkcija na %%x \to a%%.

Na primjer, funkcije %%x - \sin x%% i %%x + \cos x%% su b.b. na %%x \to \infty%%.

3. Zbir dva b.b. funkcije na %%x \do a%% postoji nesigurnost. U zavisnosti od predznaka termina, priroda promene takvog iznosa može biti veoma različita.

   Primjer

   Neka su funkcije %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - b.b. funkcije na %%x \to \infty%%. onda:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funkcija na %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funkcija na %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nema ograničenja na %%x \to \infty%%.

S obzirom na definiciju beskonačno veliki niz. Razmatraju se koncepti susjedstva beskonačno udaljenih tačaka. Daje se univerzalna definicija granice niza, koja se odnosi i na konačne i beskonačne granice. Razmatraju se primjeri primjene definicije beskonačno velikog niza.

Sadržaj

Vidi također: Određivanje granice niza

Definicija

Subsequence (βn) naziva se beskonačan niz, ako postoji, proizvoljno veliki broj M , postoji prirodan broj N M koji zavisi od M takav da je za sve prirodne brojeve n > N M nejednakost
|β n | >M.
U ovom slučaju napišite
.
Ili u .
Kažu da teži beskonačnosti, ili konvergira u beskonačnost.

Ako , počevši od nekog broja N 0 , onda
( konvergira na plus beskonačnost).
Ako onda
( konvergira na minus beskonačnost).

Ove definicije pišemo koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti:
(1) .
(2) .
(3) .

Nizovi sa granicama (2) i (3) su posebni slučajevi beskonačno velikog niza (1). Iz ovih definicija slijedi da ako je granica niza jednaka plus ili minus beskonačnosti, onda je također jednaka beskonačnosti:
.
Obrnuto, naravno, nije tačno. Članovi niza mogu imati naizmjenične znakove. U ovom slučaju, granica može biti jednaka beskonačnosti, ali bez određenog predznaka.

Imajte na umu da ako određeno svojstvo vrijedi za proizvoljan niz s granicom jednakim beskonačnosti, onda isto svojstvo vrijedi i za niz čija je granica plus ili minus beskonačnost.

U mnogim udžbenicima za račun, definicija beskonačno velikog niza kaže da je broj M pozitivan: M > 0 . Međutim, ovaj zahtjev je suvišan. Ako se poništi, onda ne nastaju kontradikcije. Samo male ili negativne vrijednosti nas ne zanimaju. Zanima nas ponašanje niza za proizvoljno velike pozitivne vrijednosti M. Stoga, ako se ukaže potreba, onda se M može odozdo ograničiti bilo kojim datim brojem a, odnosno pretpostaviti da je M > a.

Kada smo definisali ε - okolinu krajnje tačke, onda je uslov ε > 0 je važan. At negativne vrijednosti, nejednakost uopće ne može vrijediti.

Susjedstva tačaka u beskonačnosti

Kada smo razmatrali konačne granice, uveli smo koncept susjedstva tačke. Podsjetimo da je susjedstvo krajnje tačke otvoreni interval koji sadrži ovu tačku. Također možemo uvesti koncept susjedstva tačaka u beskonačnosti.

Neka je M proizvoljan broj.
Okolina tačke "beskonačnost", , naziva se skup .
Susjedstvo tačke "plus beskonačnost", , naziva se skup .
Okruženje tačke "minus beskonačnost", , naziva se skup .

Strogo govoreći, okolina tačke "beskonačnost" je skup
(4) ,
gdje je M 1 i M 2 su proizvoljni pozitivni brojevi. Koristit ćemo prvu definiciju, jer je jednostavnija. Mada, sve što je dole rečeno je tačno i kada se koristi definicija (4).

Sada možemo dati jedinstvenu definiciju granice niza koja se primjenjuje i na konačne i na beskonačne granice.

Univerzalna definicija granice sekvence.
Tačka a (konačna ili beskonačna) je granica niza ako za bilo koju okolinu ove tačke postoji prirodan broj N takav da svi elementi niza s brojevima pripadaju ovoj okolini.

Dakle, ako granica postoji, onda izvan okoline tačke a može postojati samo konačan broj članova niza, ili prazan skup. Ovaj uslov je neophodan i dovoljan. Dokaz ovog svojstva je potpuno isti kao i za konačne granice.

Svojstvo susjedstva konvergentnog niza
Da bi tačka a (konačna ili beskonačna) bila granica niza, neophodno je i dovoljno da izvan bilo koje okoline ove tačke postoji konačan broj članova niza ili prazan skup.
Dokaz.

Takođe, ponekad se uvode koncepti ε - okoline beskonačno udaljenih tačaka.
Podsjetimo da je ε - susjedstvo krajnje točke a skup .
Hajde da uvedemo sljedeću notaciju. Let označava ε - susjedstvo tačke a . Zatim za krajnju tačku,
.
Za tačke u beskonačnosti:
;
;
.
Koristeći koncepte ε - susjedstva, može se dati još jedna univerzalna definicija granice niza:

Tačka a (konačna ili beskonačna) je granica niza ako postoji pozitivan broj ε > 0 postoji prirodan broj N ε koji zavisi od ε takav da za sve brojeve n > N ε članovi x n pripadaju ε susjedstvu tačke a :
.

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, ova definicija se može napisati na sljedeći način:
.

Primjeri beskonačno velikih nizova

Primjer 1

.

.
Pišemo definiciju beskonačno velikog niza:
(1) .
U našem slučaju
.

Uvodimo brojeve i , povezujući ih s nejednačinama:
.
Prema svojstvima nejednakosti , Ako i , Tada
.
Imajte na umu da kada ova nejednakost vrijedi za bilo koji n . Dakle, možete birati ovako:
at ;
u .

Dakle, za bilo koji može pronaći prirodan broj koji zadovoljava nejednakost . Onda za sve
.
To znači da . To jest, niz je beskonačno velik.

Primjer 2

Koristeći definiciju beskonačno velikog niza, pokažite to
.

(2) .
Uobičajeni termin datog niza ima oblik:
.

Unesite brojeve i:
.
.

Tada se za bilo koji može pronaći prirodni broj koji zadovoljava nejednakost , tako da za sve ,
.
To znači da .

.

Primjer 3

Koristeći definiciju beskonačno velikog niza, pokažite to
.

Zapišimo definiciju granice niza jednakog minus beskonačnosti:
(3) .
Uobičajeni termin datog niza ima oblik:
.

Unesite brojeve i:
.
Ovo pokazuje da ako i , Tada
.

Budući da se za bilo koji može pronaći prirodni broj koji zadovoljava nejednakost , onda
.

S obzirom na , kao N, možete uzeti bilo koji prirodan broj koji zadovoljava sljedeću nejednakost:
.

Primjer 4

Koristeći definiciju beskonačno velikog niza, pokažite to
.

Napišimo zajednički termin niza:
.
Zapišimo definiciju granice niza jednakog plus beskonačnost:
(2) .

Pošto je n prirodan broj, n = 1, 2, 3, ... , onda
;
;
.

Uvodimo brojeve i M , povezujući ih nejednačinama:
.
Ovo pokazuje da ako i , Tada
.

Dakle, za bilo koji broj M možete pronaći prirodan broj koji zadovoljava nejednakost . Onda za sve
.
To znači da .

Reference:
L.D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolsky. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 1983.

Vidi također:

Funkcija se poziva beskonačno mali pri
ili kada
, ako
ili
.

Na primjer: funkcija
infinitezimal at
; funkcija
infinitezimal at
.

Napomena 1. Nijedna funkcija bez specificiranja smjera promjene argumenta ne može se nazvati infinitezimalnom. Da, funkcija
at
je beskonačno mala, i
više nije beskonačno mali
).

Napomena 2. Iz definicije granice funkcije u tački, za infinitezimalne funkcije, nejednakost
Ovu činjenicu ćemo više puta koristiti u nastavku.

Postavite neke važne svojstva infinitezimalnih funkcija.

Teorema (o odnosu između funkcije, njene granice i infinitezimalne): Ako je funkcija
može se predstaviti kao zbir konstantnog broja ALI i infinitezimalnu funkciju
at
, zatim broj

dokaz:

Iz uslova teoreme slijedi da je funkcija
.

Ekspresno odavde
:
. Od funkcije
infinitezimalno, zadovoljava nejednakost
, zatim za izraz (
) također zadovoljava nejednakost

A ovo znači to
.

Teorema (obrnuto): ako
, zatim funkciju
može se predstaviti kao zbir broja ALI i beskonačno mali na
funkcije
, tj.
.

dokaz:

Jer
, zatim za
nejednakost
(*) Razmotrite funkciju
kao jedan, i prepišite nejednakost (*) u obliku

Iz posljednje nejednakosti slijedi da je količina (
) je beskonačno mali u
. Označimo ga
.

Gdje
. Teorema je dokazana.

Teorema 1 . Algebarski zbir konačnog broja beskonačno malih funkcija je beskonačno mala funkcija.

dokaz:

Provedimo dokaz za dva člana, jer je za bilo koji konačan broj članova dan na sličan način.

Neka bude
I
infinitezimal at
funkcije i
je zbir ovih funkcija. Dokažimo to za
, postoji takav
to za sve X zadovoljavanje nejednakosti
, nejednakost
.

Od funkcije
beskonačno mala funkcija,
to za sve
nejednakost
.

Od funkcije
beskonačno mala funkcija,
, pa stoga postoji to za sve
nejednakost
.

Uzmimo jednak najmanjem broju I , zatim unutra – susjedstvo tačke ali nejednakosti će biti ispunjene
,
.

Sastavite funkcionalni modul
i procijeniti njegovu vrijednost.

tj
, tada je funkcija infinitezimalna, što je trebalo dokazati.

Teorema 2. Proizvod infinitezimalne funkcije
at
za ograničenu funkciju
je infinitezimalna funkcija.

dokaz:

Od funkcije
ograničen, onda postoji pozitivan broj
to za sve nejednakost
.

Od funkcije
infinitezimal at
, onda postoji - susjedstvo tačke to za sve njihovo susjedstvo zadovoljava nejednakost
.

Razmotrite funkciju
i procijeniti njegov modul

tako
, i onda
- beskonačno mali.

Teorema je dokazana.

Granične teoreme.

Teorema 1. Granica algebarskog zbira konačnog broja funkcija jednaka je algebarskom zbiru granica ovih funkcija

dokaz:

Da bismo to dokazali, dovoljno je razmotriti dvije funkcije; ovo ne narušava općenitost obrazloženja.

Neka bude
,
.

Prema teoremi o povezanosti funkcije, njene granice i beskonačno male funkcije
I
može se predstaviti kao
gdje
I
su beskonačno mali pri
.

Nađimo zbir funkcija
I

Vrijednost
je konstantna vrijednost
je beskonačno mala količina. Dakle, funkcija
predstavljen kao zbir konstantne vrijednosti i infinitezimalne funkcije.

Zatim broj
je granica funkcije
, tj.

Teorema je dokazana.

Teorema 2 . Granica proizvoda konačnog broja funkcija jednaka je proizvodu granica ovih funkcija

dokaz:

Ne narušavajući općenitost obrazloženja, dokazat ćemo za dvije funkcije
I
.

Neka onda
,

Nađimo proizvod funkcija
I

Vrijednost
je konstantna vrijednost, beskonačno mala funkcija. Dakle, broj
je granica funkcije
, odnosno jednakost

Posljedica:
.

Teorema 3. Granica kvocijenta dvije funkcije jednaka je količniku granica ovih funkcija ako je granica nazivnika različita od nule

.

Dokaz: Neka
,

Onda
,
.

Hajde da nađemo privatnog i izvršite neke identične transformacije na njemu

Vrijednost konstanta, razlomak
beskrajno mali. Dakle, funkcija predstavljen kao zbir konstantnog broja i infinitezimalne funkcije.

Onda
.

Komentar. Za slučaj su dokazane teoreme 1–3
. Međutim, oni mogu biti primjenjivi na
, budući da se dokaz teorema u ovom slučaju izvodi na sličan način.

Na primjer. Pronađite ograničenja:

Prva i druga divna granica.

Funkcija nije definisano na
. Međutim, njegove vrijednosti u blizini nulte tačke postoje. Stoga možemo smatrati granicu ove funkcije na
. Ova granica se zove prvo divno limit .

Izgleda:
.

Na primjer . Pronađite ograničenja: 1.
. odrediti
, ako
, onda
.
; 2.
. Transformirajmo ovaj izraz tako da se granica svede na prvu izvanrednu granicu.
; 3..

Razmotrite varijablu oblika
, pri čemu uzima vrijednosti prirodnih brojeva u rastućem redoslijedu. Hajde da damo različite vrijednosti: ako

Davanje sljedeće vrijednosti iz skupa
, lako je vidjeti da je izraz
at
će
. Štaviše, dokazano je da
ima ograničenje. Ova granica je označena slovom :
.

Broj iracionalno:
.

Sada razmotrite granicu funkcije
at
. Ova granica se zove druga izuzetna granica

Izgleda
.

Na primjer.

ali)
. Izraz
zamijenite proizvod identični faktori
, primijeniti teoremu o ograničenju proizvoda i drugu izvanrednu granicu; b)
. Hajde da stavimo
, onda
,
.

Druga izuzetna granica se koristi u problem kontinuiranog obračuna kamata

Prilikom izračunavanja novčanih prihoda na depozite često se koristi formula složene kamate koja izgleda ovako:

,

gdje - početno ulaganje

- godišnju bankarsku kamatu,

- broj otplata kamata godišnje,

- vrijeme, u godinama.

Međutim, u teorijskim studijama, prilikom potkrepljivanja investicijskih odluka, češće se koristi formula eksponencijalnog (eksponencijalnog) zakona rasta.

.

Formula eksponencijalnog zakona rasta dobijena je kao rezultat primjene druge izvanredne granice na formulu složene kamate

Kontinuitet funkcija.

Razmotrite funkciju
definisano u nekom trenutku i neko susjedstvo tačke . Neka u navedenoj tački funkcija ima vrijednost
.

Definicija 1. Funkcija
pozvao kontinuirano u jednoj tački , ako je definiran u susjedstvu točke, uključujući samu tačku i
.

Definicija kontinuiteta može se drugačije formulisati.

Neka funkcija
definisano za neku vrijednost ,
. Ako je argument prirast
, tada će funkcija biti povećana

Neka funkcija bude u tački kontinuirano (prema prvoj definiciji kontinuiteta funkcije u tački),

To jest, ako je funkcija kontinuirana u nekoj tački , zatim beskonačno mali prirast argumenta
u ovoj tački odgovara beskonačno mali prirast funkcije.

Obrnuti prijedlog je također istinit: ako beskonačno mali prirast argumenta odgovara beskonačno malom inkrementu funkcije, tada je funkcija kontinuirana.

Definicija 2. Funkcija
naziva se kontinuiranim
(u tački ) ako je definisan u ovoj tački i nekoj njegovoj okolini i ako
.

Uzimajući u obzir prvu i drugu definiciju kontinuiteta funkcije u tački, možemo dobiti sljedeću tvrdnju:

ili
, ali
, onda
.

Stoga, da bismo pronašli granicu kontinuirane funkcije na
dovoljno u analitičkom izrazu funkcije umjesto argumenta zamijeniti njegovu vrijednost .

Definicija 3. Poziva se funkcija koja je kontinuirana u svakoj tački neke domene kontinuirano u ovoj regiji.

Na primjer:

Primjer 1. Dokazati da je funkcija
je kontinuiran u svim tačkama domena definicije.

Koristimo drugu definiciju kontinuiteta funkcije u tački. Da biste to učinili, uzmite bilo koju vrijednost argumenta i daj mu prirast
. Nađimo odgovarajući prirast funkcije

Primjer 2. Dokazati da je funkcija
kontinuirano u svim tačkama od
.

Hajde da damo argument prirast
, tada će funkcija biti povećana

Nalazimo od funkcije
, što je ograničeno.

Slično, može se dokazati da su sve osnovne elementarne funkcije kontinuirane u svim tačkama svog domena definicije, odnosno da se domen definicije elementarne funkcije poklapa sa domenom njenog kontinuiteta.

Definicija 4. Ako je funkcija
je kontinuiran u svakoj tački nekog intervala
, tada se kaže da je funkcija kontinuirana na ovom intervalu.

Račun beskonačno malih i velikih

Infinitezimalni račun- proračuni izvedeni sa beskonačno malim vrijednostima, u kojima se izvedeni rezultat smatra beskonačnim zbirom infinitezimalnih. Infinitezimalni račun je opšti koncept za diferencijalni i integralni račun, koji čine osnovu moderne više matematike. Koncept beskonačno male količine usko je povezan sa konceptom granice.

Infinitezimal

Subsequence a n pozvao beskonačno mali, ako . Na primjer, niz brojeva je beskonačno mali.

Funkcija se poziva beskonačno mali u okolini tačke x 0 ako .

Funkcija se poziva beskonačno mali u beskonačnosti, ako ili .

Također beskonačno mala je funkcija koja je razlika između funkcije i njene granice, odnosno ako , onda f(x) − a = α( x) , .

beskonačno velika

Subsequence a n pozvao beskonačno velika, ako .

Funkcija se poziva beskonačno velika u blizini tačke x 0 ako .

Funkcija se poziva beskonačno veliko u beskonačnosti, ako ili .

U svim slučajevima, pretpostavlja se da beskonačnost desno od jednakosti ima određeni predznak (bilo "plus" ili "minus"). To je, na primjer, funkcija x grijeh x nije beskonačno velika za .

Svojstva infinitezimala i infinitezimala

Poređenje infinitezimala

Kako uporediti beskonačno male količine?
Odnos beskonačno malih veličina formira takozvanu nesigurnost.

Definicije

Pretpostavimo da imamo beskonačno mali za istu vrijednost α( x) i β( x) (ili, što nije važno za definiciju, infinitezimalni nizovi).

Za izračunavanje takvih granica zgodno je koristiti L'Hospitalovo pravilo.

Primeri poređenja

Koristeći O-simboli dobijenih rezultata mogu se napisati u sljedećem obliku x 5 = o(x 3). U ovom slučaju, unosi 2x 2 + 6x = O(x) I x = O(2x 2 + 6x).

Ekvivalentne količine

Definicija

Ako je , tada se nazivaju beskonačno male veličine α i β ekvivalentan ().
Očigledno, ekvivalentne količine su poseban slučaj beskonačno malih količina istog reda male veličine.

Za , vrijede sljedeće relacije ekvivalencije: , , .

Teorema

Ograničenje količnika (omjera) dvije beskonačno male veličine neće se promijeniti ako se jedna od njih (ili obje) zamijeni ekvivalentnom vrijednošću.

Ova teorema je od praktične važnosti za pronalaženje granica (vidi primjer).

Primjer upotrebe

Zamjena sin 2x ekvivalentna vrijednost 2 x, dobijamo

Istorijski pregled

Koncept "beskonačno malog" raspravljao se u antičko doba u vezi s konceptom nedjeljivih atoma, ali nije ušao u klasičnu matematiku. Opet je oživljen pojavom u 16. stoljeću „metode nedjeljivih“ - podjele proučavane figure na beskonačno male dijelove.

Algebraizacija infinitezimalnog računa dogodila se u 17. veku. Počele su se definirati kao numeričke vrijednosti koje su manje od bilo koje konačne (ne-nulte) vrijednosti, a ipak nisu jednake nuli. Umjetnost analize sastojala se u izradi relacije koja sadrži infinitezimale (diferencijale), a zatim u njenoj integraciji.

Matematičari stare škole su podvrgli koncept beskonačno mali oštre kritike. Michel Rolle je napisao da je nova računica " skup briljantnih grešaka»; Voltaire je otrovno istakao da je ovaj račun umjetnost izračunavanja i preciznog mjerenja stvari čije postojanje nije moguće dokazati. Čak je i Hajgens priznao da ne razume značenje diferencijala višeg reda.

Kao ironiju sudbine može se uzeti u obzir pojava nestandardne analize sredinom veka, koja je dokazala da je prvobitno gledište – stvarne infinitezimale – takođe konzistentno i da se može uzeti kao osnova za analizu.

vidi takođe

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta je "Beskonačno veliko" u drugim rječnicima:

Varijabla Y koja je recipročna vrijednost infinitezimalnog X, tj. Y = 1/X... Veliki enciklopedijski rječnik

Varijabla y koja je recipročna vrijednost infinitezimalnog x, tj. y = 1/x. * * * BESKONAČNO VELIKI BESKONAČNO VELIKI, varijabilna vrijednost Y, recipročna vrijednost beskonačno male vrijednosti X, odnosno Y = 1/X ... enciklopedijski rječnik

U matematici, varijabla koja, u datom procesu promjene, postaje i ostaje veća u apsolutnoj vrijednosti od bilo kojeg unaprijed određenog broja. B. studira. količine se mogu svesti na proučavanje infinitezimalnih (vidi ... ... Velika sovjetska enciklopedija