Def.: Funkcija se poziva beskonačno mali u , ako .

U notaciji " ", pretpostavit ćemo da x0 može uzeti kao konačnu vrijednost: x0= Konst, i beskonačno: x0= ∞.

Svojstva infinitezimalnih funkcija:

1) Algebarski zbir konačnog broja beskonačno malih funkcija je beskonačno mali za funkciju.

2) Proizvod konačnog broja beskonačno malih funkcija je beskonačno mali za funkciju.

3) Proizvod ograničene funkcije i infinitezimalne funkcije je infinitezimalna funkcija.

4) Kvocijent dijeljenja beskonačno male funkcije na funkciji čija je granica različita od nule je beskonačno mali na funkciji.

Primjer: Funkcija y = 2 + x je beskonačno malo na , jer .

Def.: Funkcija se poziva beskonačno velika u , ako .

Svojstva beskonačno velikih funkcija:

1) Zbir beskonačno velikih funkcija je beskonačno velik za funkciju.

2) Proizvod beskonačno velikog za funkciju na funkciju čija je granica različita od nule je beskonačno veliki za funkciju.

3) Zbir beskonačno velike funkcije i ograničene funkcije je beskonačno velika funkcija.

4) Kvocijent dijeljenja beskonačno velikog za funkciju sa funkcijom koja ima konačan limit je beskonačno velik za funkciju.

Primjer: Funkcija y= je beskonačno velika za , jer .

Teorema.Odnos između beskonačno malih i beskonačno velikih količina. Ako je funkcija beskonačno mala na , tada je funkcija beskonačno velika na . Obrnuto, ako je funkcija beskonačno velika na , tada je funkcija beskonačno mala na .

Omjer dva beskonačno mala obično se označava simbolom, dva beskonačno velika - simbolom. Obje relacije su neodređene u smislu da njihova granica može postojati ili ne mora biti, biti jednaka određenom broju ili biti beskonačna, ovisno o vrsti specifičnih funkcija uključenih u neodređene izraze.

Pored neodređenih oblika i neodređenih su sljedeći izrazi:

Razlika beskonačno velikih istog znaka;

Proizvod beskonačno malog sa beskonačno velikim;

Funkcija eksponencijalne snage, čija baza teži 1, a indikator - ka;

Funkcija eksponencijalne snage, čija je baza beskonačno mala, a eksponent beskonačno velik;

Eksponencijalna funkcija čija su baza i eksponent beskonačno mali;

Eksponencijalna funkcija čija je baza beskonačno velika i eksponent beskonačno mali.

Rečeno je da postoji nesigurnost odgovarajuće vrste. U tim slučajevima se poziva obračun limita otkrivanje neizvjesnosti. Da bi se otkrila nesigurnost, izraz pod predznakom granice se pretvara u oblik koji ne sadrži nesigurnost.

Prilikom izračunavanja granica koriste se svojstva granica, kao i svojstva infinitezimalnih i beskonačno velikih funkcija.

Razmotrimo primjere izračunavanja različitih granica.

1) . 2) .

4) , jer rad je beskonačan mala funkcija za ograničenu funkciju je beskonačno mali.

5) . 6) .

7) = =

. U ovom slučaju je postojala neodređenost tipa, koja je riješena faktoringom polinoma i redukcijom zajedničkim faktorom.

= .

U ovom slučaju je postojala neodređenost tipa , koja je riješena množenjem brojnika i nazivnika izrazom , korištenjem formule , a zatim smanjenjem razlomaka za (+1).

9)
. U ovom primjeru, nesigurnost tipa otkrivena je dijeljenjem brojnika i nazivnika razlomka po pojam po najvišem stepenu.

Izvanredne granice

Prva divna granica : .

Dokaz. Razmotrimo jedinični krug (slika 3).

Fig.3. jedinični krug

Neka bude X je radijanska mjera centralnog ugla MOA(), onda OA = R= 1, MK= grijeh x, AT=tg x. Poređenje površina trouglova OMA, OTA i sektore OMA, dobijamo:

,

.

Podijelite posljednju nejednakost sa grijehom x, dobijamo:

.

Budući da je za , tada po svojstvu 5) granica

Odakle i recipročna vrijednost na , što je trebalo dokazati.

komentar: Ako je funkcija infinitezimalna na , tj. , tada prva izuzetna granica ima oblik:

.

Razmotrite primjere izračunavanja ograničenja koristeći prvu izvanrednu granicu.

Prilikom izračunavanja ove granice koristili smo se trigonometrijska formula: .

.

Razmotrite primjere izračunavanja ograničenja koristeći drugu izvanrednu granicu.

2) .

3) . Postoji vrsta dvosmislenosti. Onda napravimo zamjenu; u .

Beskonačno male funkcije

Poziva se funkcija %%f(x)%%. beskonačno mali(b.m.) za %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ako je granica funkcije jednaka nuli kada argument teži ovome.

Koncept b.m. funkcija je neraskidivo povezana s indikacijom promjene u svom argumentu. Možemo razgovarati o b.m. funkcije za %%a \to a + 0%% i za %%a \to a - 0%%. Obično b.m. funkcije su označene prvim slovima grčke abecede %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Primjeri

1. Funkcija %%f(x) = x%% je b.m. na %%x \do 0%%, jer je njegova granica na %%a = 0%% nula. Prema teoremi o vezi između dvostrane granice i jednostrane granice, ova funkcija je b.m. i sa %%x \do +0%% i sa %%x \do -0%%.
2. Funkcija %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. sa %%x \to \infty%% (kao i sa %%x \to +\infty%% i sa %%x \to -\infty%%).

Konstantni broj različit od nule, bez obzira koliko mali u apsolutnoj vrijednosti, nije b.m. funkcija. Za konstantne brojeve, jedini izuzetak je nula, pošto funkcija %%f(x) \equiv 0%% ima nultu granicu.

Teorema

Funkcija %%f(x)%% ima krajnju granicu u tački %%a \in \overline(\mathbb(R))%% proširene numeričke linije, jednak broju%%b%%, ako i samo ako je ova funkcija jednaka zbiru ovog broja %%b%% i b.m. funkcije %%\alpha(x)%% sa %%x \to a%%, ili $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\right). $$

Svojstva infinitezimalnih funkcija

Prema pravilima za prelazak do granice, za %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%%, slijede sljedeće izjave:

1. Zbir konačnog broja b.m. funkcije za %%x \to a%% je f.m. sa %%x \to a%%.
2. Proizvod bilo kojeg broja b.m. funkcije za %%x \to a%% je f.m. sa %%x \to a%%.

Proizvod b.m. funkcije na %%x \to a%% i funkcija ograničena u nekom probušenom susjedstvu %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% tačke a, je b.m. sa %%x \to a%% funkcijom.

Jasno je da proizvod konstantne funkcije i b.m. na %%x \to a%% postoji b.m. funkcija na %%x \to a%%.

Ekvivalentne infinitezimalne funkcije

Beskonačno male funkcije %%\alpha(x), \beta(x)%% za %%x \to a%% se nazivaju ekvivalentan i pišu se %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% if

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Teorema o zamjeni b.m. funkcije ekvivalentne

Neka su %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. funkcije na %%x \to a%%, i %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, zatim $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Ekvivalent b.m. funkcije.

Neka je %%\alpha(x)%% b.m. funkcija na %%x \do a%%, tada

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Primjer

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(niz) $$

Beskonačno velike funkcije

Poziva se funkcija %%f(x)%%. beskonačno velika(b.b.) za %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ako funkcija ima beskonačno ograničenje kako argument teži tome.

Kao b.m. funkcionira koncept b.b. funkcija je neraskidivo povezana s indikacijom promjene u svom argumentu. Možemo razgovarati o b.b. funkcije na %%x \to a + 0%% i %%x \to a - 0%%. Pojam "beskonačno velika" ne znači apsolutnu vrijednost funkcije, već prirodu njene promjene u blizini razmatrane tačke. Nijedan konstantan broj, koliko god velik u apsolutnoj vrijednosti, nije beskonačno velik.

Primjeri

1. Funkcija %%f(x) = 1/x%% - b.b. na %%x \do 0%%.
2. Funkcija %%f(x) = x%% - b.b. na %%x \to \infty%%.

Ako su uslovi definicija $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)( f( x)) = -\infty, \end(niz) $$

onda pričaju o tome pozitivno ili negativan b.b. na %%a%% funkciji.

Primjer

Funkcija %%1/(x^2)%% je pozitivna b.b. na %%x \do 0%%.

Veza između b.b. i b.m. funkcije

Ako je %%f(x)%% b.b. ako je %%x \to a%% funkcija, tada je %%1/f(x)%% b.m.

sa %%x \to a%%. Ako je %%\alpha(x)%% b.m. jer je %%x \to a%% funkcija različita od nule u nekom probušenom susjedstvu tačke %%a%%, tada je %%1/\alpha(x)%% b.b. sa %%x \to a%%.

Svojstva beskonačno velikih funkcija

Predstavimo nekoliko svojstava b.b. funkcije. Ova svojstva direktno slijede iz definicije b.b. funkcije i svojstva funkcija koje imaju konačne granice, kao i iz teoreme veze između b.b. i b.m. funkcije.

1. Proizvod konačnog broja b.b. funkcije za %%x \to a%% su b.b. funkcija na %%x \to a%%. Zaista, ako je %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% b.b. funkcije na %%x \to a%%, zatim u nekom probušenom susjedstvu tačke %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, i teoremom veze b.b. i b.m. funkcije %%1/f_k(x)%% - b.m. funkcija na %%x \to a%%. Ispostavilo se da je %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% bm funkcija za %%x \to a%%, i %%\displaystyle\prod^( n )_(k = 1)f_k(x)%% — b.b. funkcija na %%x \to a%%.
2. Proizvod b.b. funkcije u %%x \to a%% i funkcija čija je apsolutna vrijednost veća od pozitivne konstante u nekom probušenom susjedstvu tačke %%a%% je b.b. funkcija na %%x \to a%%. Konkretno, proizvod b.b. funkcije u %%x \to a%% i funkcija koja ima konačnu granicu različitu od nule u tački %%a%% bit će b.b. funkcija na %%x \to a%%.

Zbir funkcije ograničene u nekom probušenom susjedstvu tačke %%a%% i b.b. funkcije na %%x \to a%% su b.b. funkcija na %%x \to a%%.

Na primjer, funkcije %%x - \sin x%% i %%x + \cos x%% su b.b. na %%x \to \infty%%.

3. Zbir dva b.b. funkcije na %%x \do a%% postoji nesigurnost. U zavisnosti od predznaka termina, priroda promene takvog iznosa može biti veoma različita.

   Primjer

   Neka su funkcije %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - b.b. funkcije na %%x \to \infty%%. onda:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. funkcija na %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. funkcija na %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nema ograničenja na %%x \to \infty%%.

Definicije i svojstva beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija u tački. Dokaz svojstava i teorema. Odnos između beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija.

Sadržaj

Vidi također: Beskonačno mali nizovi - definicija i svojstva
Svojstva beskonačno velikih nizova

Definicija beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija

Neka x 0 je konačna ili u beskonačnoj tački: ∞ , -∞ ili +∞ .

Definicija infinitezimalne funkcije
Funkcija α (x) pozvao beskonačno mali kako x teži x 0 0 , i jednako je nuli:
.

Definicija je beskonačna odlična funkcija
funkcija f (x) pozvao beskonačno velika kako x teži x 0 , ako funkcija ima ograničenje kao x → x 0 , i jednako je beskonačnosti:
.

Svojstva infinitezimalnih funkcija

Svojstvo zbira, razlike i proizvoda infinitezimalnih funkcija

Zbir, razlika i proizvod konačan broj beskonačno malih funkcija kao x → x 0 je infinitezimalna funkcija kao x → x 0 .

Ovo svojstvo je direktna posljedica aritmetičkih svojstava granica funkcije.

Teorema o proizvodu ograničene funkcije infinitezimalom

Proizvod ograničene funkcije na nekoj probušenoj okolini tačke x 0 , na beskonačno malu, kao x → x 0 , je infinitezimalna funkcija kao x → x 0 .

Svojstvo predstavljanja funkcije kao sume konstante i infinitezimalne funkcije

Da bi funkcija f (x) ima konačnu granicu , potrebno je i dovoljno da
,
gdje je infinitezimalna funkcija kao x → x 0 .

Svojstva beskonačno velikih funkcija

Teorema o zbiru ograničene funkcije i beskonačno velike

Zbir ili razlika ograničene funkcije u nekom probušenom susjedstvu tačke x 0 , i beskonačno veliku funkciju, kao x → x 0 , je beskonačna funkcija kao x → x 0 .

Teorema količnika za ograničenu funkciju beskonačno velikom

Ako je funkcija f (x) je beskonačan kao x → x 0 , i funkcija g (x)- ograničeno na neko probušeno okruženje tačke x 0 , onda
.

Teorema o količniku dijeljenja funkcije ograničene dolje infinitezimom

Ako je funkcija , na nekom probušenom susjedstvu točke , ograničena odozdo pozitivnim brojem u apsolutnoj vrijednosti:
,
a funkcija je infinitezimalna kao x → x 0 :
,
i postoji probušen susjedstvo točke na kojoj , Onda
.

Svojstvo nejednačina beskonačno velikih funkcija

Ako je funkcija beskonačno velika za :
,
i funkcije i , na nekom probušenom susjedstvu točke zadovoljavaju nejednakost:
,
tada je funkcija također beskonačno velika za :
.

Ova nekretnina ima dva posebna slučaja.

Neka, na nekom probušenom susjedstvu točke , funkcije i zadovoljavaju nejednakost:
.
Onda ako , onda i .
Ako , onda i .

Odnos između beskonačno velikih i beskonačno malih funkcija

Veza između beskonačno velikih i beskonačno malih funkcija slijedi iz dva prethodna svojstva.

Ako je funkcija beskonačno velika na , tada je funkcija beskonačno mala na .

Ako je funkcija beskonačno mala za , I , Tada je funkcija beskonačno velika za .

Odnos između beskonačno male i beskonačno velike funkcije može se izraziti simbolički:
, .

Ako infinitezimalna funkcija ima definitivan predznak na , to jest, pozitivna je (ili negativna) na nekom probušenom susjedstvu točke, tada se može napisati na sljedeći način:
.
Slično, ako beskonačno velika funkcija ima određeni predznak na , tada pišu:
, ili .

Tada se simbolička veza između beskonačno malih i beskonačno velikih funkcija može dopuniti sljedećim relacijama:
, ,
, .

Dodatne formule koje se odnose na simbole beskonačnosti možete pronaći na stranici
"Tačke u beskonačnosti i njihova svojstva".

Dokaz svojstava i teorema

Dokaz teoreme o proizvodu ograničene funkcije na infinitezimal

Da bismo dokazali ovu teoremu, koristit ćemo . Koristimo i svojstvo infinitezimalnih nizova, prema kojem

Neka je funkcija beskonačno mala na , a funkcija je ograničena u nekom probušenom susjedstvu točke :
u .

Pošto postoji granica, postoji probijena okolina tačke na kojoj je funkcija definisana. Neka postoji sjecište susjedstava i . Tada su funkcije i definirane na njemu.

.
,
niz je beskonačno mali:
.

Koristimo činjenicu da je proizvod ograničenog niza na infinitezimalni niz beskonačno mali:
.
.

Teorema je dokazana.

Dokaz svojstva o predstavljanju funkcije kao sume konstante i infinitezimalne funkcije

Need. Neka funkcija ima konačan limit u tački
.
Razmotrite funkciju:
.
Koristeći svojstvo granice razlike funkcija, imamo:
.
To jest, postoji infinitezimalna funkcija za .

Adekvatnost. Neka i . Primijenimo svojstvo limita zbira funkcija:
.

Imovina je dokazana.

Dokaz teoreme o zbiru ograničene funkcije i beskonačno velike

Da bismo dokazali teoremu, koristit ćemo Heineovu definiciju granice funkcije

u .

Pošto postoji granica , onda postoji probijena okolina tačke na kojoj je funkcija definisana. Neka postoji sjecište susjedstava i . Tada su funkcije i definirane na njemu.

Neka postoji proizvoljan niz koji konvergira na , čiji elementi pripadaju susjedstvu :
.
Tada su sekvence i definirane. A redoslijed je ograničen:
,
niz je beskonačan:
.

Budući da je zbir ili razlika ograničenog niza i beskonačno velikog
.
Zatim, prema Heineovoj definiciji granice niza,
.

Teorema je dokazana.

Dokaz teoreme količnika za ograničenu funkciju beskonačno velikom

Za dokaz ćemo koristiti Heineovu definiciju granice funkcije. Također koristimo svojstvo beskonačno velikih nizova, prema kojem je beskonačno mali niz.

Neka je funkcija beskonačno velika na , a funkcija je ograničena u nekom probušenom susjedstvu točke :
u .

Budući da je funkcija beskonačno velika, postoji probijeno susjedstvo tačke na kojoj je definirana i ne nestaje:
u .
Neka postoji sjecište susjedstava i . Tada su funkcije i definirane na njemu.

Neka postoji proizvoljan niz koji konvergira na , čiji elementi pripadaju susjedstvu :
.
Tada su sekvence i definirane. A redoslijed je ograničen:
,
niz je beskonačan sa članovima koji nisu nula:
, .

Budući da je količnik dijeljenja ograničenog niza beskonačno velikim nizom beskonačno mali, onda
.
Zatim, prema Heineovoj definiciji granice niza,
.

Teorema je dokazana.

Dokaz teoreme o kvocijentu podjele funkcije dolje ograničene infinitezimalnim

Da bismo dokazali ovo svojstvo, koristit ćemo Heineovu definiciju granice funkcije. Također koristimo svojstvo beskonačno velikih nizova, prema kojem je beskonačno veliki niz.

Neka je funkcija beskonačno mala na , i funkcija je ograničena u apsolutnoj vrijednosti odozdo pozitivnim brojem, na nekom probušenom susjedstvu točke:
u .

Prema pretpostavci, postoji probušeno susjedstvo tačke na kojoj je funkcija definirana i ne nestaje:
u .
Neka postoji sjecište susjedstava i . Tada su funkcije i definirane na njemu. I i.

Neka postoji proizvoljan niz koji konvergira na , čiji elementi pripadaju susjedstvu :
.
Tada su sekvence i definirane. Štaviše, niz je ograničen odozdo:
,
a niz je beskonačno mali sa članovima koji nisu nula:
, .

Pošto je količnik dijeljenja niza ograničenog dolje beskonačno malim nizom beskonačno veliki niz, onda
.
I neka postoji probušeno susjedstvo tačke na kojoj
u .

Uzmi proizvoljan niz koji konvergira na . Tada će, počevši od nekog broja N , elementi niza pripadati ovom susjedstvu:
u .
Onda
u .

Prema Heineovoj definiciji granice funkcije,
.
Zatim, po svojstvu nejednakosti beskonačno velikih nizova,
.
Budući da je niz proizvoljan, konvergirajući na , Zatim, prema definiciji granice funkcije prema Heineu,
.

Imovina je dokazana.

Reference:
L.D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 2003.

Vidi također:

Funkcija y=f(x) pozvao beskonačno mali at x→a ili kada x→∞ ako ili , tj. Infinitezimalna funkcija je funkcija čija je granica u datoj tački nula.

Primjeri.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 je beskonačno malo za x→1, budući da (vidi sliku).

2. Funkcija f(x)=tg x je beskonačno mala pri x→0.

3. f(x)= log(1+ x) je beskonačno mala pri x→0.

4. f(x) = 1/x je beskonačno mala pri x→∞.

Hajde da uspostavimo sledeću važnu relaciju:

Teorema. Ako je funkcija y=f(x) zastupljen na x→a kao zbir konstantnog broja b i beskrajno mali α(x): f(x)=b+ α(x) onda .

Obrnuto, ako , tada f(x)=b+α(x), gdje sjekira) je beskonačno mala pri x→a.

Dokaz.

1. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Od jednakosti f(x)=b+α(x) trebalo bi |f(x) – b|=| α|. Ali pošto sjekira) je beskonačno mala, onda za proizvoljno ε postoji δ, susjedstvo tačke a, za sve x od kojih, vrednosti sjekira) zadovoljiti odnos |α(x)|< ε. Onda |f(x) – b|< ε. A to znači da .

2. Ako , tada za bilo koje ε >0 za sve X iz nekog δ je susjedstvo tačke aće |f(x) – b|< ε. Ali ako označimo f(x) – b= α, onda |α(x)|< ε, što znači da a- beskonačno mali.

Razmotrimo glavna svojstva infinitezimalnih funkcija.

Teorema 1. Algebarski zbir dva, tri i općenito bilo kojeg konačnog broja infinitezimala je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Dajemo dokaz za dva člana. Neka bude f(x)=α(x)+β(x), gdje i . Moramo dokazati da za proizvoljno mali ε > 0 tamo δ> 0, tako da za x zadovoljavanje nejednakosti |x – a|<δ , izvedeno |f(x)|< ε.

Dakle, fiksiramo proizvoljan broj ε > 0. Pošto je, prema hipotezi teoreme, α(x) je infinitezimalna funkcija, onda postoji δ 1 > 0, koji u |x – a|< δ 1 imamo |α(x)|< ε / 2. Isto tako, pošto β(x) je beskonačno mala, onda postoji takav δ 2 > 0, koji u |x – a|< δ 2 imamo | β(x)|< ε / 2.

Uzmimo δ=min(δ1 , δ2 } .Onda u susjedstvu točke a radijus δ svaka od nejednakosti će biti zadovoljena |α(x)|< ε / 2 i | β(x)|< ε / 2. Dakle, u ovom naselju će ih biti

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

one. |f(x)|< ε, što je trebalo dokazati.

Teorema 2. Proizvod infinitezimalne funkcije sjekira) za ograničenu funkciju f(x) at x→a(ili kada x→∞) je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Od funkcije f(x) je ograničen, onda postoji broj M tako da za sve vrijednosti x iz nekog susedstva tačke a|f(x)|≤M. Osim toga, pošto sjekira) je infinitezimalna funkcija za x→a, tada za proizvoljno ε > 0 postoji susjedstvo tačke a, u kojoj je nejednakost |α(x)|< ε /M. Zatim u manjem od ovih naselja koje imamo | αf|< ε /M= ε. A ovo znači to af- beskonačno mali. Za tu priliku x→∞ dokaz se izvodi na sličan način.

Iz dokazane teoreme slijedi:

Posljedica 1. Ako i , onda .

Posljedica 2. Ako i c= const, zatim .

Teorema 3. Omjer infinitezimalne funkcije α(x) po funkciji f(x), čija je granica različita od nule, je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Neka bude . Zatim 1 /f(x) jesti ograničena funkcija. Dakle, razlomak je proizvod infinitezimalne funkcije i ograničene funkcije, tj. funkcija je beskonačno mala.

S obzirom na definiciju beskonačno veliki niz. Razmatraju se koncepti susjedstva beskonačno udaljenih tačaka. Daje se univerzalna definicija granice niza, koja se odnosi i na konačne i beskonačne granice. Razmatraju se primjeri primjene definicije beskonačno velikog niza.

Sadržaj

Vidi također: Određivanje granice niza

Definicija

Subsequence (βn) naziva se beskonačan niz, ako postoji, proizvoljno veliki broj M, postoji prirodni broj N M u zavisnosti od M tako da je za sve pozitivne cele brojeve n > N M nejednakost
|β n | >M.
U ovom slučaju napišite
.
Ili u .
Kažu da teži beskonačnosti, ili konvergira u beskonačnost.

Ako , počevši od nekog broja N 0 , onda
( konvergira na plus beskonačnost).
Ako onda
( konvergira na minus beskonačnost).

Ove definicije pišemo koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti:
(1) .
(2) .
(3) .

Nizovi sa granicama (2) i (3) su posebni slučajevi beskonačno velikog niza (1). Iz ovih definicija slijedi da ako je granica niza plus ili minus beskonačnost, onda je i ona jednaka beskonačnosti:
.
Obrnuto, naravno, nije tačno. Članovi niza mogu imati naizmjenične znakove. U ovom slučaju, granica može biti jednaka beskonačnosti, ali bez određenog predznaka.

Imajte na umu da ako određeno svojstvo vrijedi za proizvoljan niz s granicom jednakim beskonačnosti, onda isto svojstvo vrijedi i za niz čija je granica plus ili minus beskonačnost.

U mnogim udžbenicima za račun, definicija beskonačno velikog niza kaže da je broj M pozitivan: M > 0 . Međutim, ovaj zahtjev je suvišan. Ako se poništi, onda ne nastaju kontradikcije. Samo male ili negativne vrijednosti nas ne zanimaju. Zanima nas ponašanje niza za proizvoljno velike pozitivne vrijednosti M. Stoga, ako se ukaže potreba, onda se M može odozdo ograničiti bilo kojim datim brojem a, odnosno pretpostaviti da je M > a.

Kada smo definisali ε - okolinu krajnje tačke, onda je uslov ε > 0 je važan. Za negativne vrijednosti nejednakost uopće ne može vrijediti.

Susjedstva tačaka u beskonačnosti

Kada smo razmatrali konačne granice, uveli smo koncept susjedstva tačke. Podsjetimo da je susjedstvo krajnje tačke otvoreni interval koji sadrži ovu tačku. Također možemo uvesti koncept susjedstva tačaka u beskonačnosti.

Neka je M proizvoljan broj.
Okolina tačke "beskonačnost", , naziva se skup .
Susjedstvo tačke "plus beskonačnost", , naziva se skup .
Okruženje tačke "minus beskonačnost", , naziva se skup .

Strogo govoreći, okolina tačke "beskonačnost" je skup
(4) ,
gdje je M 1 i M 2 su proizvoljni pozitivni brojevi. Koristit ćemo prvu definiciju, jer je jednostavnija. Mada, sve što je dole rečeno je tačno i kada se koristi definicija (4).

Sada možemo dati jedinstvenu definiciju granice niza koja se primjenjuje i na konačne i na beskonačne granice.

Univerzalna definicija granice sekvence.
Tačka a (konačna ili beskonačna) je granica niza ako za bilo koju okolinu ove tačke postoji prirodan broj N takav da svi elementi niza s brojevima pripadaju ovoj okolini.

Dakle, ako granica postoji, onda izvan okoline tačke a može postojati samo konačan broj članova niza, ili prazan skup. Ovaj uslov je neophodan i dovoljan. Dokaz ovog svojstva je potpuno isti kao i za konačne granice.

Svojstvo susjedstva konvergentnog niza
Da bi tačka a (konačna ili beskonačna) bila granica niza, neophodno je i dovoljno da izvan bilo koje okoline ove tačke postoji konačan broj članova niza ili prazan skup.
Dokaz.

Takođe, ponekad se uvode koncepti ε - okoline beskonačno udaljenih tačaka.
Podsjetimo da je ε - susjedstvo krajnje točke a skup .
Hajde da uvedemo sljedeću notaciju. Let označava ε - susjedstvo tačke a . Zatim za krajnju tačku,
.
Za tačke u beskonačnosti:
;
;
.
Koristeći koncepte ε - susjedstva, može se dati još jedna univerzalna definicija granice niza:

Tačka a (konačna ili beskonačna) je granica niza ako postoji pozitivan broj ε > 0 postoji prirodan broj N ε koji zavisi od ε takav da za sve brojeve n > N ε članovi x n pripadaju ε susjedstvu tačke a :
.

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, ova definicija se može napisati na sljedeći način:
.

Primjeri beskonačno velikih nizova

Primjer 1

.

.
Pišemo definiciju beskonačno velikog niza:
(1) .
U našem slučaju
.

Uvodimo brojeve i , povezujući ih s nejednačinama:
.
Prema svojstvima nejednakosti , Ako i , Tada
.
Imajte na umu da kada ova nejednakost vrijedi za bilo koji n . Dakle, možete birati ovako:
at ;
u .

Dakle, za bilo koji može pronaći prirodan broj koji zadovoljava nejednakost . Onda za sve
.
To znači da . To jest, niz je beskonačno velik.

Primjer 2

Koristeći definiciju beskonačno velikog niza, pokažite to
.

(2) .
Uobičajeni termin datog niza ima oblik:
.

Unesite brojeve i:
.
.

Tada se za bilo koji može pronaći prirodni broj koji zadovoljava nejednakost , tako da za sve ,
.
To znači da .

.

Primjer 3

Koristeći definiciju beskonačno velikog niza, pokažite to
.

Zapišimo definiciju granice niza jednakog minus beskonačnosti:
(3) .
Uobičajeni termin datog niza ima oblik:
.

Unesite brojeve i:
.
Ovo pokazuje da ako i , Tada
.

Budući da se za bilo koji može pronaći prirodni broj koji zadovoljava nejednakost , onda
.

S obzirom na , kao N, možete uzeti bilo koji prirodan broj koji zadovoljava sljedeću nejednakost:
.

Primjer 4

Koristeći definiciju beskonačno velikog niza, pokažite to
.

Napišimo zajednički termin niza:
.
Zapišimo definiciju granice niza jednakog plus beskonačnost:
(2) .

Pošto je n prirodan broj, n = 1, 2, 3, ... , onda
;
;
.

Uvodimo brojeve i M , povezujući ih nejednačinama:
.
Ovo pokazuje da ako i , Tada
.

Dakle, za bilo koji broj M možete pronaći prirodan broj koji zadovoljava nejednakost . Onda za sve
.
To znači da .

Reference:
L.D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolsky. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 1983.

Vidi također: