Kompleksni brojevi je minimalno proširenje skupa nama poznatih realni brojevi. Njihova fundamentalna razlika je u tome što se pojavljuje element koji na kvadrat daje -1, tj. i, ili .
Svaki kompleksni broj ima dva dijela: stvarne i imaginarne:
Dakle, jasno je da se skup realnih brojeva poklapa sa skupom kompleksnih brojeva sa nultim imaginarnim dijelom.
Najpopularniji model za skup kompleksnih brojeva je obična ravan. Prva koordinata svake tačke bit će njen stvarni dio, a druga - imaginarni. Tada će uloga samih kompleksnih brojeva biti vektori sa početkom u tački (0,0).
Operacije nad kompleksnim brojevima.
Zapravo, ako uzmemo u obzir model skupa kompleksnih brojeva, intuitivno je jasno da se sabiranje (oduzimanje) i množenje dva kompleksna broja izvode na isti način kao i odgovarajuće operacije nad vektorima. I to znači vektorski proizvod vektora, jer je rezultat ove operacije opet vektor.
1.1 Dodatak.
(Kao što vidite, ova operacija tačno odgovara )
1.2 Oduzimanje, slično se izvodi prema sljedećem pravilu:
2. Množenje.
3. Divizija.
Jednostavno se definiše kao obrnuti rad na množenje.
Modul kompleksnog broja z je sljedeća veličina:
,
Očigledno je da je ovo, opet, jednostavno modul (dužina) vektora (a,b).
Najčešće se modul kompleksnog broja označava kao ρ.
Ispostavilo se da
z = ρ(cosφ+isinφ).
Sljedeće slijedi direktno iz trigonometrijskog oblika pisanja kompleksnog broja. formule :
Posljednja formula se zove Formula De Moivre. Formula je izvedena direktno iz nje. n-ti korijen kompleksnog broja:
dakle, postoji n-ti korijen kompleksnog broja z.
Kompleksni broj je broj oblika , gdje su i realni brojevi, tzv imaginarna jedinica. Broj je pozvan pravi dio () kompleksni broj, broj se zove imaginarni deo () kompleksni broj.
Kompleksni brojevi su prikazani složena ravan:
Kao što je gore spomenuto, uobičajeno je da se skup realnih brojeva označava slovom. Mnogo isto kompleksni brojevi uobičajeno je da se označava kao "podebljano" ili zadebljano slovo. Stoga, slovo treba staviti na crtež, označavajući činjenicu da imamo složenu ravninu.
Algebarski oblik kompleksnog broja. Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva
Sabiranje kompleksnih brojeva
Da biste dodali dva kompleksna broja, dodajte njihove stvarne i imaginarne dijelove:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).
Za kompleksne brojeve vrijedi pravilo prve klase: z 1 + z 2 \u003d z 2 + z 1 - zbroj se ne mijenja od preuređivanja članova.
Oduzimanje kompleksnih brojeva
Radnja je slična sabiranju, jedina karakteristika je da se oduzimanje mora uzeti u zagrade, a zatim standardno otvoriti ove zagrade sa promjenom predznaka:
z 1 + z 2 \u003d (a 1 - a 2) + i * (b 1 - b 2)
Množenje kompleksnih brojeva
Osnovna jednakost kompleksnih brojeva:
Proizvod kompleksnih brojeva:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Kao i zbir, proizvod kompleksnih brojeva je permutabilan, odnosno jednakost je tačna: .
Podjela kompleksnih brojeva
Izvodi se podjela brojeva množenjem nazivnika i brojioca konjugiranim izrazom nazivnika.
2 Pitanje. složena ravan. Modul i argumenti kompleksnih brojeva
Svaki kompleksni broj z = a + i*b može biti pridružen tački sa koordinatama (a;b), i obrnuto, svaka tačka sa koordinatama (c;d) može biti povezana sa kompleksnim brojem w = c + i* d . Tako se uspostavlja korespondencija jedan prema jedan između tačaka ravni i skupa kompleksnih brojeva. Stoga se kompleksni brojevi mogu predstaviti kao tačke u ravni. Ravan na kojoj se crtaju kompleksni brojevi obično se naziva složena ravan.
Međutim, češće se kompleksni brojevi prikazuju kao vektor s ishodištem u tački O, naime, kompleksni broj z \u003d a + i * b predstavljen je radijus vektorom točke s koordinatama (a; b). U ovom slučaju, slika kompleksnih brojeva iz prethodnog primjera bit će ovakva: 
Slika zbira dva kompleksna broja , je vektor jednak zbiru vektora koji predstavljaju brojeve i . Drugim riječima, prilikom sabiranja kompleksnih brojeva, sabiraju se i vektori koji ih predstavljaju.
Neka kompleksni broj z = a + i*b bude predstavljen radijus vektorom. Tada se naziva dužina ovog vektora modul broj z i označen je sa |z| .
|
|
Ugao koji formira radijus vektor broja sa osom naziva se argument brojeva i označava se sa arg z . Brojni argument nije definiran jedinstveno, već do višestrukog broja . Međutim, obično se argument daje u rasponu 0 ili u rasponu -do. Osim toga, broj argument nije definiran.
Koristeći ovu relaciju, možete pronaći argument kompleksnog broja:
štaviše, prva formula vrijedi ako je slika broja u prvoj ili četvrtoj četvrtini, a druga ako je u drugoj ili trećoj. Ako je , tada je kompleksni broj predstavljen vektorom na Oy osi i njegov argument je /2 ili 3*/2.
Dobijamo još jednu korisnu formulu. Neka je z = a + i*b . onda ,
Proizvod dva kompleksna broja definišemo na isti način kao i proizvod realnih brojeva, naime: proizvod se smatra kao broj sastavljen od množenika, kao što je faktor sastavljen od jedinice.
Vektor koji odgovara kompleksnom broju sa modulom i argumentom može se dobiti iz jedinični vektor, čija je dužina jednaka jedan i čiji se smjer poklapa s pozitivnim smjerom ose OX, produžujući je za faktor i okrećući je u pozitivnom smjeru za ugao
Umnožak nekog vektora vektorom je vektor koji će se dobiti ako se na vektor primijeni gornja ekstenzija i rotacija, uz pomoć kojih se vektor dobije iz jediničnog vektora, a ovaj očito odgovara realnoj jedinici .
Ako su suština moduli i argumenti kompleksnih brojeva koji odgovaraju vektorima, onda će proizvod ovih vektora očito odgovarati kompleksnom broju sa modulom i argumentom . Tako dolazimo do sljedeće definicije proizvoda kompleksnih brojeva:
Proizvod dva kompleksna broja je takav kompleksan broj, čiji je modul jednak proizvodu modula faktora, a argument je zbir argumenata faktora.
Dakle, u slučaju kada su kompleksni brojevi zapisani u trigonometrijskom obliku, imaćemo
Sada izvodimo pravilo za sastavljanje proizvoda za slučaj kada kompleksni brojevi nisu dati u trigonometrijskom obliku:
Koristeći gornju notaciju za module i argumente faktora, možemo pisati
prema definiciji množenja (6):
i konačno dobijamo
U slučaju da su faktori realni brojevi a proizvod se svodi na proizvod ahag ovih brojeva. U tom slučaju daje jednakost (7).
tj. kvadrat imaginarne jedinice je
Računajući uzastopne pozitivne cjelobrojne potencije, dobivamo
i općenito, za svaki pozitivan cijeli broj
Pravilo množenja izraženo jednakošću (7) može se formulirati na sljedeći način: kompleksni brojevi moraju se pomnožiti kao literalni polinomi, s obzirom na
Ako je a kompleksan broj, onda se kompleksni broj naziva konjugatom broja a i označava se sa a. Prema formulama (3), iz jednakosti (7) slijedi
i shodno tome,
tj. proizvod konjugiranih kompleksnih brojeva jednak je kvadratu modula svakog od njih.
Zapazimo i očigledne formule
Iz formula (4) i (7) direktno proizilazi da se sabiranje i množenje kompleksnih brojeva povinuju komutativnom zakonu, tj. zbir ne zavisi od redosleda članova, a proizvod ne zavisi od redosleda faktora . Nije teško provjeriti valjanost asocijativnih i distributivnih zakona izraženih sljedećim identitetima:
Ovo prepuštamo čitaocu.
Konačno, imajte na umu da će proizvod nekoliko faktora imati modul jednak proizvodu modula faktora i argument jednak zbiru argumenata faktora. Dakle, proizvod kompleksnih brojeva će biti jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli.
Dok je zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva pogodnije za obavljanje algebarski oblik, množenje i dijeljenje je lakše izvesti koristeći trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva.
Uzmite dva proizvoljna kompleksna broja data u trigonometrijskom obliku:
Množenjem ovih brojeva dobijamo:
Ali prema formulama trigonometrije
Dakle, kada se množe kompleksni brojevi, množe se njihovi moduli i argumenti
dodaj. Budući da se u ovom slučaju moduli konvertuju odvojeno, a argumenti - odvojeno, izvođenje množenja u trigonometrijskom obliku je lakše nego u algebarskom.
Jednačina (1) implicira odnose:
Pošto je dijeljenje inverzno od množenja, dobijamo to
Drugim riječima, modul količnika je jednak omjeru modula dividende i djelitelja, a argument kvocijenta je razlika između argumenata dividende i djelitelja.
Zaustavimo se sada na geometrijskom smislu množenje kompleksnih brojeva. Formule (1) - (3) pokazuju da da biste pronašli proizvod, morate prvo povećati modul broj puta bez promjene njegovog argumenta, a zatim povećati argument rezultirajućeg broja bez promjene njegovog modula. Prva od ovih operacija geometrijski znači homotetiju u odnosu na tačku O sa koeficijentom , a druga - rotaciju u odnosu na tačku O za ugao jednak s S obzirom da je ovde jedan faktor konstantan, a drugi promenljiv, možemo formulisati rezultat je sljedeći: formula
Proizvod dva kompleksna broja sličan je proizvodu dva realna broja, naime: proizvod se smatra brojem sastavljenim od množenika, kao što je faktor sastavljen od jedan. Vektor koji odgovara kompleksnom broju sa modulom r i argumentom j može se dobiti iz jediničnog vektora čija je dužina jednaka jedan i čiji se smjer poklapa s pozitivnim smjerom ose OX produžavanjem r puta i rotiranjem u pozitivnom smjeru pod uglom j. Umnožak nekog vektora a 1 i vektora a 2 je vektor koji će se dobiti ako vektor a 1 primijenimo produženje i rotaciju, uz pomoć kojih se iz jediničnog vektora dobije vektor a 2, a ovaj potonji očito odgovara realnoj jedinici. Ako su (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) moduli i argumenti kompleksnih brojeva koji odgovaraju vektorima a 1 i a 2 , onda će proizvod ovih vektora očito odgovarati kompleksnom broju s modulom r 1 r 2 i argument (j1 + j2). Dakle, proizvod dva kompleksna broja je takav kompleksan broj, čiji je modul jednak proizvodu modula faktora, a argument je zbir argumenata faktora.
U slučaju kada su kompleksni brojevi zapisani u trigonometrijskom obliku, imaćemo
r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.
U slučaju (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = x + yi, koristeći notaciju modula i argumenata faktora, možemo napisati:
a 1 = r 1 cos? jedan ; b 1 \u003d r 1 grijeh? jedan ; a 2 = r 2 cos? 2; b 2 \u003d r 2 sin? 2;
prema definiciji množenja:
x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 grijeh? 1 r 2 grijeh? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r1 cos? 1 r 2 grijeh? 2 \u003d b 1 a 2 + a 1 b 2,
i konačno dobijamo:
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) i.
U slučaju b 1 = b 2 = 0, faktori su realni brojevi a 1 i a 2 i proizvod se svodi na proizvod a 1 a 2 ovih brojeva. Kada
a 1 = a 2 = 0 i b 1 = b 2 = 1,
jednakost (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I daje: i???i = i 2 = -1, tj. kvadrat imaginarne jedinice je -1. Računajući sekvencijalno pozitivne cjelobrojne potencije od i, dobijamo:
i 2 \u003d -1; i 3 \u003d -i; i4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...
i, općenito, za bilo koji pozitivan k:
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Pravilo množenja izraženo jednakošću (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) \u003d (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) mogu treba formulisati na sledeći način: kompleksni brojevi se moraju množiti kao literalni polinomi, računajući i 2 = -1.
Iz gornjih formula direktno proizilazi da se sabiranje i množenje kompleksnih brojeva povinuju komutativnom zakonu, tj. zbir ne zavisi od redosleda pojmova, a proizvod ne zavisi od redosleda faktora. Nije teško provjeriti valjanost asocijativnih i distributivnih zakona izraženih sljedećim identitetima:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Proizvod nekoliko faktora će imati modul jednak proizvodu modula faktora, a argument jednak zbiru argumenata faktora. Dakle, proizvod kompleksnih brojeva će biti jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli.
Primjer: dati kompleksni brojevi z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Naći:
a) z 1 + z 2; b) z 1 - z 2; c) z 1 z 2 .
a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) \u003d 7 - 4i; b) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) \u003d - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i) (5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 \u003d 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i) ) \u003d 31 + i (ovdje se uzima u obzir da je i 2 = - 1).
Primjer: uradite sljedeće:
a) (2 + 3i) 2 ; b) (3 - 5i) 2 ; c) (5 + 3i) 3 .
a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2×2×3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 \u003d 9 - 2H3H5i + 25i 2 \u003d 9 - 30i - 25 \u003d - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 3×25×3i + 3×5×9i 2 + 27i 3; budući da je i 2 = - 1, i i 3 = - i, onda dobijamo (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.
Primjer: izvršiti radnje
a) (5 + 3i)(5 - 3i); b) (2 + 5i)(2 - 5i); c) (1 + i)(1 - i).
a) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.