Prisjetite se potrebnih informacija o kompleksnim brojevima.
Kompleksni broj je izraz forme a + bi, gdje a, b su realni brojevi, i i- takozvani imaginarna jedinica, simbol čiji je kvadrat -1, tj. i 2 = -1. Broj a pozvao pravi deo, i broj b - imaginarni deo kompleksni broj z = a + bi. Ako b= 0, tada umjesto a + 0i napiši jednostavno a. Može se vidjeti da su realni brojevi poseban slučaj kompleksnih brojeva.
Aritmetičke operacije nad kompleksnim brojevima su iste kao i nad realnim: mogu se međusobno sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti. Sabiranje i oduzimanje se odvijaju prema pravilu ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, a množenje - po pravilu ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i(ovdje se samo to koristi i 2 = -1). Broj = a – bi pozvao kompleksni konjugat to z = a + bi. Jednakost z · = a 2 + b 2 vam omogućava da shvatite kako podijeliti jedan kompleksni broj drugim (koji nije nula) kompleksnim brojem:
(Na primjer, 
.)
Kompleksni brojevi imaju zgodan i vizuelan geometrijski prikaz: broj z = a + bi može se predstaviti kao vektor sa koordinatama ( a; b) na kartezijskoj ravni (ili, što je skoro isto, tačka - kraj vektora sa ovim koordinatama). U ovom slučaju, zbir dva kompleksna broja je prikazan kao zbir odgovarajućih vektora (koji se mogu naći po pravilu paralelograma). Prema Pitagorinoj teoremi, dužina vektora sa koordinatama ( a; b) je jednako . Ova vrijednost se zove modul kompleksni broj z = a + bi i označava se sa | z|. Ugao koji ovaj vektor stvara sa pozitivnim smjerom x-ose (brojano u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) naziva se argument kompleksni broj z i označeno sa Arg z. Argument nije jednoznačno definiran, već samo do zbrajanja višestrukog broja 2 π
radijani (ili 360°, ako računate u stepenima) - na kraju krajeva, jasno je da okretanje kroz takav ugao oko početka neće promijeniti vektor. Ali ako je vektor dužine r formira ugao φ
sa pozitivnim smjerom x-ose, tada su njegove koordinate jednake ( r cos φ
; r grijeh φ
). Otuda ispada trigonometrijska notacija kompleksni broj: z = |z| (cos(Arg z) + i sin (Arg z)). Često je zgodno pisati kompleksne brojeve u ovom obliku, jer to uvelike pojednostavljuje proračune. Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku izgleda vrlo jednostavno: z jedan · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i sin (Arg z 1+arg z 2)) (pri množenju dva kompleksna broja, množe se njihovi moduli i dodaju argumenti). Odavde slijedite De Moivre formule: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i grijeh( n(Arg z))). Uz pomoć ovih formula, lako je naučiti kako izvući korijene bilo kojeg stepena iz kompleksnih brojeva. Root nth stepeni od broja z je tako kompleksan broj w, šta w n = z. To je jasno 
, I gdje k može uzeti bilo koju vrijednost iz skupa (0, 1, ..., n- jedan). To znači da uvek postoji tačno n korijenje n stepena iz kompleksnog broja (na ravni se nalaze na vrhovima regularnog broja n-gon).
Zanimanje 12 . Kompleksni brojevi.
12.1. Definicija kompleksnih brojeva u algebarskom obliku. Poređenje i predstavljanje kompleksnih brojeva na kompleksnoj ravni. Kompleksna konjugacija. Zbrajanje, množenje, dijeljenje kompleksnih brojeva.
12.2. Modul, argument kompleksnog broja.
12.3. Trigonometrijski i eksponencijalni oblici pisanja kompleksnog broja.
12.4. Podizanje na cijeli broj i izdvajanje korijena iz kompleksnog broja.
Definicija kompleksnih brojeva u algebarskom obliku. Poređenje i predstavljanje kompleksnih brojeva na kompleksnoj ravni. Kompleksna konjugacija. Zbrajanje, množenje, dijeljenje kompleksnih brojeva.
Kompleksni broj u algebarskom obliku je broj
gdje 
pozvao imaginarna jedinica I 
- realni brojevi: 
pozvao pravi (stvarni) dio;
- imaginarni deo kompleksni broj 
. Kompleksni brojevi forme 
pozvao čisto imaginarni brojevi
. Skup svih kompleksnih brojeva je označen slovom 
.
Po definiciji,
Skup svih realnih brojeva 
je dio seta 
: . S druge strane, postoje kompleksni brojevi koji ne pripadaju skupu 
. Na primjer, 
I 
, jer 
.
Kompleksni brojevi u algebarskom obliku prirodno nastaju kada se rješavaju kvadratne jednadžbe s negativnim diskriminantom.
Primjer 1. riješi jednačinu 
.
Rješenje. ,
Dakle, data kvadratna jednadžba ima kompleksne korijene
,
.
Primjer 2. Pronađite realne i imaginarne dijelove kompleksnih brojeva
,
,
.
Prema tome, stvarni i imaginarni dijelovi broja 
,
Bilo koji kompleksni broj 
predstavljen vektorom na kompleksnoj ravni 
, predstavlja ravan sa Dekartovim koordinatnim sistemom 
. Početak vektora leži u tački 
, a kraj je u tački s koordinatama 
(Slika 1.) Os 
naziva se realna osa, a osa 
- imaginarna osa kompleksne ravni 
.
Kompleksni brojevi se međusobno upoređuju samo znakovima. 
. . Ako je barem jedna od jednakosti: 
prekršena, dakle 
.
Unosi tipa 
nema smisla.
Po definiciji, složeno broj 
naziva se kompleksnim konjugatom broja 
. U ovom slučaju napišite 
. Očigledno je da 
. Svugdje ispod, crtica iznad kompleksnog broja znači kompleksnu konjugaciju.
Na primjer, .
Operacije kao što su sabiranje (oduzimanje), množenje i dijeljenje mogu se izvoditi nad kompleksnim brojevima.
1. Sabiranje kompleksnih brojeva se radi ovako:
Svojstva operacije sabiranja:
- svojstvo komutativnosti;
- Svojstvo asocijativnosti.
Lako je vidjeti taj geometrijski sabiranje kompleksnih brojeva 
znači dodavanje odgovarajućih njima na ravni 
vektora prema pravilu paralelograma.
Operacija oduzimanja broja 
od broja 
se radi ovako:
2. Množenje kompleksnih brojeva se radi ovako:
Svojstva operacije množenja:
- svojstvo komutativnosti;
- svojstvo asocijativnosti;
- zakon distribucije.
3. Podjela kompleksnih brojeva 
izvodljivo samo kada 
i radi se ovako:
.
Primjer 3. Naći 
, ako .
Primjer 4. Izračunati 
, ako .
z, jer 
.
.(jao!)
Lako je provjeriti (predlaže se da to uradite sami) ispravnost sljedećih izjava: 
Modul, argument kompleksnog broja.
Kompleksni broj modula 
(modul 
označeno 
) je nenegativan broj 
, tj.
.
geometrijskog smisla 
- dužina vektora koji predstavlja broj 
na kompleksnoj ravni 
. Jednačina 
definira skup svih brojeva 
(vektori po 
) čiji krajevi leže na jediničnom krugu 
.
Argument kompleksnog broja 
(argument 
označeno 
) je ugao 
u radijanima između realne ose 
i broj 
na kompleksnoj ravni 
, i
je pozitivna ako se računa od 
prije 
suprotno od kazaljke na satu, i 
negativan ako 
mjereno od ose 
prije 
u smjeru kazaljke na satu.
Dakle, argument broja 
definira se dvosmisleno, do samog pojma 
, gdje 
. Definitivno brojčani argument 
definisan unutar jednog obilaska jediničnog kruga 
na površini 
.
Obično morate pronaći 
unutar intervala 
,takva vrijednost se naziva glavna vrijednost argumenta broja 
i označeno 
.
I 
brojevi 
može se naći iz jednačine 
, pri čemu obavezno mora se uzeti u obzir u kojoj četvrtini aviona 
nalazi se na kraju vektora 
- tačka 
:
ako 
(1. četvrtina aviona 
), zatim ;
ako 
(2. četvrtina aviona 
), zatim;
ako 
(3. četvrtina aviona 
), zatim ;
ako 
(4. četvrtina aviona 
), zatim .
Zapravo, modul i argument broja
, ovo su polarne koordinate 
bodova 
- kraj vektora 
na površini 
.
Primjer 5. Pronađite modul i glavnu vrijednost argumenta brojeva:
.
Argumenti brojeva ležećih osa 
razdvajajući četvrtine 1,2,3,4 kompleksne ravni 
, nalaze se odmah po grafičkim prikazima ovih brojeva na ravni 
.
Trigonometrijski i eksponencijalni oblici pisanja kompleksnog broja. Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom i eksponencijalnom zapisu.
Trigonometrijska notacija kompleksni broj 
izgleda kao:
,
(2)
gdje 
- modul, 
- argument kompleksnog broja 
. Takav prikaz kompleksnih brojeva slijedi iz jednakosti .
Demonstracija(eksponencijalna) oblik zapisa kompleksnog broja 
izgleda kao:
,
(3)
gdje 
- modul, 
- broj argument 
. Sposobnost predstavljanja kompleksnih brojeva u indikativni oblik(3) slijedi iz trigonometrijskog oblika (2) i Eulerove formule:
.
(4)
Ova formula je dokazana u kursu TFKP (Teorija funkcija kompleksne varijable).
Primjer 6. Pronađite trigonometrijske i eksponencijalne oblike kompleksnih brojeva: iz primjera 5.
Rješenje. Koristimo rezultate primjera 5, u kojem se nalaze moduli i argumenti svih navedenih brojeva.
,
.
- trigonometrijski oblik pisanja broja 
,
- eksponencijalni (eksponencijalni) oblik pisanja broja 
.
3)
- trigonometrijski oblik pisanja broja 
,
- eksponencijalni (eksponencijalni) oblik pisanja broja 
.
Trigonometrijski oblik pisanja broja 
,
- eksponencijalni (eksponencijalni) oblik pisanja broja 
.
5)
- trigonometrijski oblik pisanja broja 
,
- eksponencijalni (eksponencijalni) oblik pisanja broja 
.
Trigonometrijski oblik broja 
,
.
7)
- trigonometrijski oblik pisanja broja 
,
- eksponencijalni (eksponencijalni) oblik broja 
.
- trigonometrijski oblik pisanja broja 
,
- eksponencijalni (eksponencijalni) oblik pisanja broja 
.
Eksponencijalni oblik pisanja kompleksnih brojeva dovodi do sljedećeg geometrijskog tumačenja operacija množenja i dijeljenja kompleksnih brojeva. Neka bude 
- eksponencijalni oblici brojeva 
.
1. Prilikom množenja kompleksnih brojeva, njihovi moduli se množe, a argumenti se zbrajaju.
2.
Prilikom dijeljenja kompleksnog broja 
po broju 
dobiti kompleksan broj 
, modul 
što je jednako omjeru modula 
, i argument 
- razlike 
brojčani argumenti 
.
Podizanje na cijeli broj i izdvajanje korijena iz kompleksnog broja.
Po definiciji,
Kada se podigne na cijeli broj 
kompleksni broj 
, trebali biste postupiti na sljedeći način: prvo pronaći modul 
i argument 
ovaj broj; zamislite 
u demonstrativnom obliku 
; naći 
tako što ćete uraditi sledeće korake
Gdje . (pet)
Komentar. Argument 
brojevi 
možda ne pripada intervalu 
. U ovom slučaju, prema dobijenoj vrijednosti 
pronađite glavnu vrijednost 
argument
brojevi 
, dodavanjem (ili oduzimanjem) broja 
sa ovim značenjem 
, to 
pripadao intervalu 
. Nakon toga potrebno je zamijeniti u formulama (5) 
na 
.
Primjer 7. Naći 
I 
, ako 
.
1)
=
(vidi broj 
iz primjera 6).
2)
, gdje 
.
.
.
shodno tome, 
može se zamijeniti sa i, tako
Gdje 
.
3)
, gdje 
.
.
Zamenimo 
na . shodno tome,
vađenje korena 
th stepen 
iz kompleksnog broja 
izvedeno prema Moivre-Laplace formuli
Kompleksni brojevi
Imaginarno I kompleksni brojevi. Apscisa i ordinata
kompleksni broj. Konjugirajte kompleksne brojeve.
Operacije sa kompleksnim brojevima. Geometrijski
predstavljanje kompleksnih brojeva. složena ravan.
Modul i argument kompleksnog broja. trigonometrijski
oblik kompleksnog broja. Operacije sa kompleksom
brojevi u trigonometrijskom obliku. Moivre formula.
Osnovne informacije o imaginarni I kompleksni brojevi dati su u dijelu "Zamišljeni i kompleksni brojevi". Potreba za ovim brojevima novog tipa pojavila se prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi za slučaj
D< 0 (здесь D– diskriminatorno kvadratna jednačina). Dugo vrijeme ovi brojevi nisu našli fizičku primenu, zbog čega su nazvani "imaginarni" brojevi. Međutim, sada se vrlo široko koriste u različitim poljima fizike.i tehnologija: elektrotehnika, hidro- i aerodinamika, teorija elastičnosti itd.
Kompleksni brojevi su napisani kao:a+bi. Evo a I b – realni brojevi , ali i – imaginarna jedinica. e. i 2 = –1. Broj a pozvao apscisa, a b - ordinatakompleksni broja + b .Dva kompleksna brojaa+bi I a-bi pozvao konjugirati kompleksni brojevi.
Glavni dogovori:
1. Realni broj
alitakođe može biti napisan u formikompleksni broj:a + 0 i ili a - 0 i. Na primjer, unosi 5 + 0i i 5 - 0 iznači isti broj 5 .2. Kompleksni broj 0 + bipozvao čisto imaginarno broj. Snimanjebiznači isto što i 0 + bi.
3. Dva kompleksna brojaa+bi Ic + dismatraju se jednakim akoa = c I b = d. Inače kompleksni brojevi nisu jednaki.
Dodatak. Zbir kompleksnih brojevaa+bi I c + dinaziva se kompleksnim brojem (a+c ) + (b+d ) i .Na ovaj način, kada se doda kompleksni brojevi, njihove apscise i ordinate se dodaju posebno.
Ova definicija prati pravila za rad sa običnim polinomima.
Oduzimanje. Razlika između dva kompleksna brojaa+bi(smanjeno) i c + di(oduzeto) se naziva kompleksnim brojem (a-c ) + (b-d ) i .
Na ovaj način, pri oduzimanju dva kompleksna broja, njihove apscise i ordinate se oduzimaju odvojeno.
Množenje. Proizvod kompleksnih brojevaa+bi I c + di naziva se kompleksnim brojem.
(ac-bd ) + (ad+bc ) i .Ova definicija proizilazi iz dva zahtjeva:
1) brojevi a+bi I c + ditreba da se množi kao algebarski binomi,
2) broj iima glavnu imovinu:i 2 = – 1.
PRIMJER ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . shodno tome, rad
dva konjugirana kompleksna broja jednaka je realnom
pozitivan broj.
divizija. Podijelite kompleksan broja+bi (djeljivo) na druguc + di(razdjelnik) - znači pronaći treći broje + fi(chat), koji, kada se pomnoži sa djeliteljemc + di, što rezultira dividendoma + b .
Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.
PRIMJER Pronađite (8+i ) : (2 – 3 i) .
Rješenje. Prepišimo ovaj omjer kao razlomak:
Množenjem brojioca i imenioca sa 2 + 3i
I nakon izvođenja svih transformacija dobijamo:
Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi predstavljena tačkama na brojevnoj pravoj:
Ovdje je poenta Aznači broj -3, tačkaB je broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama koordinatna ravan. Za to biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate sa istim razmjerima na obje ose. Zatim kompleksni broja+bi će biti predstavljena tačkom P sa apscisom a i ordinata b (vidi sl.). Ovaj koordinatni sistem se zove složena ravan .
modul kompleksni broj naziva se dužina vektoraOP, koji prikazuje kompleksan broj na koordinati ( integrisan) avion. Kompleksni broj modulaa+bi označeno sa | a+bi| ili pismo r
Korištenje kalkulatora
Da biste procijenili izraz, morate unijeti string za procjenu. Prilikom unosa brojeva, decimalni separator je tačka. Mogu se koristiti zagrade. Operacije nad kompleksnim brojevima su množenje (*), dijeljenje (/), sabiranje (+), oduzimanje (-), eksponencijacija (^) i druge. Kao zapis kompleksnih brojeva, možete koristiti eksponencijalni i algebarski oblik. Unesite zamišljenu jedinicu i moguće bez znaka množenja, u drugim slučajevima je potreban znak množenja, na primjer, između zagrada ili između broja i konstante. Mogu se koristiti i konstante: broj π se upisuje kao pi, eksponent e, svi izrazi u eksponentu moraju biti zatvoreni u zagradama.
Primjer niza za izračunavanje: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), što odgovara izrazu \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]
Kalkulator može koristiti konstante, matematičke funkcije, dodatne operacije i još mnogo toga složeni izrazi, možete se upoznati sa ovim funkcijama na stranici općih pravila za korištenje kalkulatora na ovoj stranici.
Stranica je u izradi, neke stranice možda neće biti dostupne.
vijesti
07.07.2016
Dodan kalkulator za rješavanje nelinearnih sistema algebarske jednačine: .
30.06.2016
Stranica ima responzivni dizajn, stranice su adekvatno prikazane kako na velikim monitorima tako i na mobilnim uređajima.
Sponzor
RGOnline.ru - trenutno rješenje za električne radove na mreži.