U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: unakrsni proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da i za potpunu sreću, pored toga tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se steći utisak da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva teži od istog skalarni proizvod, čak će biti manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI PRORAČUN. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati sa informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičan rad

Šta će vas usrećiti? Kada sam bila mala, znala sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nema potrebe za žongliranjem, jer ćemo razmotriti samo prostorni vektori , a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora se definiraju i rade trodimenzionalni prostor. Već lakše!

U ovoj operaciji, na isti način kao u skalarnom proizvodu, dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali sam unakrsni proizvod vektora označavao na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je unutra tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Jasna razlika, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U raznim edukativna literatura notacija također može varirati, ja ću koristiti slovo .

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: unakrsni proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima dosta zanimljivih stvari!

Dakle, možemo istaći sljedeće značajne tačke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori uzeti po strogom redu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" do "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR , koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, onda ćemo dobiti vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Sjećamo se jednog od geometrijske formule: površina paralelograma jednaka je proizvodu susjedne stranke sinusom ugla između njih. Stoga, na osnovu prethodno navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je takvo da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijamo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva dijela jednak trougao. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Ne manje od važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore, tj. . Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonalan originalnim vektorima.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu O tome sam detaljno govorio orijentacija u ravnini, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka. Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite u svoj dlan. Kao rezultat thumb - vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici). Sada zamijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: na kojoj osnovi je lijeva orijentacija? "Dodijelite" iste prste lijeva ruka vektori i dobiju lijevu bazu i orijentaciju lijevog prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, najobičnije ogledalo mijenja orijentaciju prostora, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda općenito neće biti moguće kombinujte ga sa "originalom". Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro to što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promeni orijentacije strašne =)

Vektorski proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razrađena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus od nule ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda i . Imajte na umu da je sam unakrsni proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj je vektorski proizvod vektora i samog sebe:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera može biti potrebno trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Odluka: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u stavkama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, potrebno je pronaći dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini poprečnog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da u odgovoru o vektorskom proizvodu uopće nema govora, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom, i na osnovu toga formulišemo jasno odgovori. Možda izgleda kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima će se vratiti na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuta zajebancija - ako je odgovor netačan, onda se stječe utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije uronila u suštinu zadatka. Ovaj trenutak se uvijek mora držati pod kontrolom, rješavajući svaki problem višu matematiku a i u drugim predmetima.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu bi se moglo dodatno zaglaviti u rješenju, ali da bih skratio zapis, nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trokuti se generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj sljedeća svojstva vrijede:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne razlikuje u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se lako izvlače iz granica vektorskog proizvoda. Stvarno, šta oni tamo rade?

4) - distribucija ili distribucija zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Odluka: Po uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima izvlačimo konstante izvan granica vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu vadimo iz modula, dok modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da se baci drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Odluka: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Problem je u tome što su vektori "ce" i "te" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam ovdje je standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije. Tačkasti proizvod vektora. Podijelimo to u tri koraka radi jasnoće:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izraziti vektor u terminima vektora. Još nema riječi o dužini!

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Koristeći distributivne zakone, otvorite zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, izvlačimo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član su jednaki nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva . U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu željenog trokuta:

Koraci 2-3 rješenja mogu se poredati u jedan red.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u kontrolni rad, evo primjera za "uradi sam" rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

, dato u ortonormalnoj bazi , izražava se formulom:

Formula je zaista jednostavna: koordinatne vektore upisujemo u gornji red determinante, koordinate vektora „pakujemo“ u drugi i treći red i stavljamo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti i linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Odluka: Test se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod nula (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearna, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odeljak neće biti jako velik, jer postoji malo problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijsko značenje i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Ovako su se poređali kao voz i čekaju, jedva čekaju dok se ne obračunaju.

Prvo opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti proizvod nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se zapremine paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom "+" ako je osnova desna i znakom "-" ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, ja sam označavao mješoviti proizvod kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

A-prioritet mješoviti proizvod je zapremina paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo se opet zamarati konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

Definicija. Broj [, ] se naziva mješovitim proizvodom uređene trojke vektora, .

Označavamo: (,) = = [, ].

Budući da su vektorski i skalarni proizvodi uključeni u definiciju mješovitog proizvoda, njihova opšta svojstva su svojstva miješanog proizvoda.

Na primjer, () = ().

Teorema 1. Mješoviti proizvod tri koplanarna vektora je nula.

Dokaz. Ako je dati triplet vektora komplanaran, tada je za vektore zadovoljen jedan od sljedećih uslova.

• 1. Ova trojka vektora sadrži najmanje jedan nulti vektor. U ovom slučaju, dokaz teoreme je očigledan.
• 2. Ova trojka vektora sadrži najmanje jedan par kolinearnih vektora. Ako je ||, onda je [, ] = 0, jer [, ]= . Ako a

|| , tada je [, ] i [, ] = 0. Slično, ako je || .

3. Neka je data trojka vektora komplanarna, ali slučajevi 1 i 2 nisu zadovoljeni. Tada će vektor [, ] biti okomit na ravan na koju su sva tri vektora, .

Prema tome, [, ] i (,) = 0.

Teorema 2. Neka su vektori (), (), () dati u bazi (). Onda

Dokaz. Prema definiciji mješovitog proizvoda

(,) = [, ] = s 1 - s 2 + s 3 = .

Zbog svojstava determinante imamo:

Teorem dokazan.

Teorema 3. (,) = [, ].

Dokaz. As

a na osnovu svojstava determinante imamo:

(,) = = = [, ] = [, ].

Teorem dokazan.

Teorema 4. Modul mješovitog proizvoda nekoplanarne trojke vektora numerički je jednak volumenu paralelepipeda izgrađenog na predstavnicima ovih vektora sa zajedničkim ishodištem.

Dokaz. Biramo proizvoljnu tačku O i odvajamo od nje predstavnike ovih vektora, : , . U ravni OAB konstruišemo paralelogram OADB i, dodavanjem ivice OS, konstruišemo paralelepiped OADBCADB. Volumen V ovog paralelepipeda jednak je proizvodu površine osnove OADB i dužine visine paralelepipeda OO.

Površina paralelograma OADB jednaka je |[, ]|. Na drugoj strani

|OO| = || |cos |, gdje je ugao između vektora i [, ].

Uzmite u obzir mješoviti modul proizvoda:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Teorema je dokazana.

Napomena 1. Ako je mješoviti proizvod trojke vektora jednak nuli, tada je ova trojka vektora linearno zavisna.

Napomena 2. Ako je mješoviti proizvod date trojke vektora pozitivan, tada je trojka vektora desna, a ako je negativna, onda je trojka vektora lijeva. Zaista, predznak mješovitog proizvoda poklapa se sa predznakom cos , a veličina ugla određuje orijentaciju trojke, . Ako je ugao oštar, onda je trojka pravi, a ako je tup ugao, onda je trojka lijeva.

Primjer 1 Dat je paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 i koordinate sljedećih vektora u ortonormalnoj bazi: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Naći: 1) zapreminu paralelepipeda;

• 2) površine lica ABCD i CDD 1 C;
• 3) kosinus diedarskog ugla između ravni ABC i CDD 1 .

Odluka.

Ovaj okvir je izgrađen na vektorima

Dakle, njegov volumen je jednak modulu mješovitog proizvoda ovih vektora, tj.

Dakle, V para = 12 kubnih jedinica.

Podsjetimo da je površina paralelograma jednaka dužini poprečnog proizvoda vektora na kojima je izgrađen.

Uvodimo oznaku: , tada

Dakle, (6; - 8; - 2), odakle

To. sq. jedinica

Isto tako,

Neka onda

odakle (15; - 20; 1) i

Dakle kv. jedinica.

Uvedemo sljedeću notaciju: sq. (ABC)=, pl. (DCC 1)=.

Prema definiciji vektorskog proizvoda, imamo:

Dakle, tačna je sljedeća jednakost:

Iz druge tačke rješenja imamo:

Dokazati da su ako, međusobno okomite jedinični vektori, tada je za sve vektore tačna jednakost:

Odluka.

Neka su u ortonormalnoj bazi date koordinate vektora: ; . Budući da po svojstvu mješovitog proizvoda imamo:

Dakle, jednakost (1) se može napisati u sljedećem obliku: , a ovo je jedno od dokazanih svojstava vektorskog proizvoda vektora i. Time je dokazana valjanost jednakosti (1).

Rješenje nulte verzije kontrolnog rada

Zadatak broj 1

Vektor se formira sa baznim vektorima i, respektivno, uglovima i. Odredite ugao koji vektor pravi sa vektorom.

Odluka.

Konstruirajmo paralelepiped na vektorima, i na dijagonali, tako da su vektori i jednaki.

Onda unutra pravougaonog trougla sa pravim uglom, veličina ugla je, odakle.

Slično, u pravouglom trouglu sa pravim uglom, veličina je odakle.

U pravokutnom trokutu, prema Pitagorinoj teoremi, nalazimo:

U pravokutnom trokutu sa pravim uglom, kateta i hipotenuza. Dakle, ugao je jednak. Ali ugao je jednak kutu između vektora i. Time je problem riješen.

Zadatak broj 2.

U bazi su data tri vektora. Dokazati da je četverougao ravan. Pronađite njegovu oblast.

Odluka.

1. Ako su vektori i koplanarni, onda je to ravan četverougao. Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata ovih vektora.

Pošto je determinanta nula, vektori i su komplanarni, što znači da je četvorougao ravan.

2. Imajte na umu da je, dakle, i stoga četverougao trapez sa bazama AB i CD.

Po svojstvu vektorskog proizvoda imamo:

Pronalaženje vektorskog proizvoda

Zadatak broj 3. Pronađite vektor kolinearan vektoru (2; 1; -2) čija je dužina 5.

Odluka.

Označimo koordinate vektora (x, y, z). Kao što znate, koordinate kolinearnih vektora su proporcionalne i stoga imamo:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

Po uslovu problema || = 5, au koordinatnom obliku:

Izražavajući varijable u terminima parametra t, dobijamo:

4t2+t2+4t2=25,

dakle,

x = , y = , z = .

Imamo dva rješenja.

The online kalkulator izračunava mješoviti proizvod vektora. dato detaljno rješenje. Da biste izračunali mješoviti proizvod vektora, odaberite način predstavljanja vektora (po koordinatama ili po dvije točke), unesite podatke u ćelije i kliknite na "Izračunaj".

×

Upozorenje

Obrisati sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputstvo za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora upisati u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Mješoviti proizvod vektora (teorija)

mješoviti proizvod od tri vektora je broj koji je rezultat dot proizvoda rezultata unakrsnog proizvoda prva dva vektora i trećeg vektora. Drugim riječima, data su tri vektora a, b i c, zatim da se dobije mješoviti proizvod ovih vektora, prvo prva dva vektora i rezultirajući vektor [ ab] je skalarno pomnoženo vektorom c.

Mješoviti proizvod tri vektora a, b i c označeno ovako: abc ili tako ( a,b,c). Tada možete napisati:

abc=([ab],c)

Prije nego što formulišete teoremu koja predstavlja geometrijsko značenje mješovitog proizvoda, upoznajte se s konceptima desnog trojnog, lijevog trojnog, desnog koordinatnog sistema, lijevog koordinatnog sistema (definicije 2, 2" i 3 na web stranici vektorskog unakrsnog proizvoda).

Radi određenosti, u nastavku ćemo razmatrati samo desnoruke koordinatne sisteme.

Teorema 1. Mješoviti proizvod vektora ([ab],c) jednak je volumenu paralelepeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište a, b, c, uzeto sa znakom plus, ako je trostruko a, b, c desno, i sa znakom minus ako je trojka a, b, c lijevo. Ako vektori a, b, c su komplanarni, onda ([ ab],c) je nula.

Korol 1. Vrijedi sljedeća jednakost:

Stoga nam je dovoljno da to dokažemo

([ab],c)=([bc],a)

(3)

Iz izraza (3) se vidi da su lijevi i desni dio jednaki zapremini paralelipeda. Ali znakovi desne i lijeve strane također se poklapaju, budući da su trojke vektora abc i bca imaju istu orijentaciju.

Dokazana jednakost (1) nam omogućava da zapišemo mješoviti proizvod tri vektora a, b, c samo u formi abc, bez specificiranja koja se dva vektora množe vektorski sa prva dva ili zadnja dva.

Korolar 2. Neophodan i dovoljno stanje koplanarnost tri vektora je jednakost nuli njihovog mješovitog proizvoda.

Dokaz slijedi iz teoreme 1. Zaista, ako su vektori koplanarni, onda je mješoviti proizvod ovih vektora jednak nuli. Suprotno tome, ako je mješoviti proizvod jednak nuli, onda koplanarnost ovih vektora slijedi iz teoreme 1 (pošto je volumen paralelepipeda izgrađenog na vektorima svedenim na zajedničko ishodište jednak nuli).

Posljedica 3. Mješoviti proizvod tri vektora, od kojih su dva ista, jednak je nuli.

Zaista. Ako su dva od tri vektora ista, onda su koplanarni. Prema tome, mješoviti proizvod ovih vektora je nula.

Mješoviti proizvod vektora u dekartovskim koordinatama

Teorema 2. Neka su tri vektora a, b i c definisane njihovim kartezijanskim pravougaonim koordinatama

Dokaz. mješoviti proizvod abc jednak je skalarnom proizvodu vektora [ ab] i c. vektorski proizvod vektori [ ab] u Kartezijanske koordinate izračunava se po formuli ():

Posljednji izraz se može napisati korištenjem determinanti drugog reda:

potrebno je i dovoljno da determinanta bude jednaka nuli, čiji su redovi ispunjeni koordinatama ovih vektora, tj.:

.

(7)

Da bismo dokazali korolar, dovoljno je razmotriti formulu (4) i korolar 2.

Mješoviti proizvod vektora s primjerima

Primjer 1. Naći mješoviti proizvod vektora abs, gdje

Mješoviti proizvod vektora a, b, c jednako matričnoj determinanti L. Izračunajte determinantu matrice L, proširujući determinantu duž reda 1:

Vektorska krajnja tačka a.

Mješoviti proizvod vektora naziva se broj jednak skalarnom proizvodu vektora i vektorskom proizvodu vektora. Mešani proizvod je naznačen.

1. Modul mješovitog proizvoda nekoplanarnih vektora jednak je volumenu paralelepipeda izgrađenog na ovim vektorima. Proizvod je pozitivan ako je trojka vektora desna, a negativan ako je trojka lijeva i obrnuto.

2. Mješoviti proizvod je nula ako i samo ako su vektori koplanarni:

vektori su komplanarni.

Dokažimo prvo svojstvo. Po definiciji, nalazimo mješoviti proizvod: , gdje je ugao između vektora i. Modul unakrsnog proizvoda (prema geometrijskom svojstvu 1) jednak je površini paralelograma izgrađenog na vektorima i: . Dakle. Algebarska vrijednost dužine projekcije vektora na osu specificiranu vektorom jednaka je po apsolutnoj vrijednosti visini paralelepipeda izgrađenog na vektorima (slika 1.47). Dakle, modul mješovitog proizvoda jednak je volumenu ovog paralelepipeda:

Predznak mješovitog proizvoda određen je predznakom kosinusa ugla. Ako je trojka ispravna, onda je mješoviti proizvod pozitivan. Ako je trostruki, tada je i mješoviti proizvod negativan.

Dokažimo drugu osobinu. Jednakost je moguća u tri slučaja: ili (tj.), ili (tj. vektor pripada vektorskoj ravni i). U svakom slučaju, vektori su komplanarni (vidi Odjeljak 1.1).

Mješoviti proizvod tri vektora je broj jednak vektorskom proizvodu prva dva vektora, skalarno pomnožen vektorom. Može se predstaviti kao vektori poput ovog

Pošto su vektori u praksi dati u koordinatnom obliku, njihov mješoviti proizvod je jednak determinanti izgrađenoj na njihovim koordinatama Pošto je vektorski proizvod antikomutativan, i skalarni proizvod komutativno, tada ciklička permutacija vektora u mješovitom proizvodu ne mijenja njegovu vrijednost. Zamjena dva susjedna vektora obrće znak

Mješoviti proizvod vektora je pozitivan ako tvore desnu trojku i negativan ako tvore lijevu trojku.

Geometrijska svojstva miješanog proizvoda 1. Zapremina paralelepipeda izgrađenog na vektorima jednaka je modulu mješovitog proizvoda ovih doba tori.2. Zapremina četverokutne piramide jednaka je jednoj trećini modula mješovitog proizvoda 3. Zapremina trouglaste piramide jednaka je jednoj šestini modula mješovitog proizvoda 4. Planarni vektori ako i samo ako U koordinatama, uslov komplanarnosti znači da je determinanta jednaka nuli Za praktičnu asimilaciju razmotrite primjere. Primjer 1

Odredite koja je trojka (desna ili lijeva) vektori

Odluka.

Pronađite mješoviti proizvod vektora i po znaku saznajte koju trojku vektora formiraju

Vektori formiraju desnu trojku Vektori formiraju desnu trojkuVektori formiraju lijevu trojku Ovi vektori su linearno zavisni.. Mješoviti proizvod tri vektora. Mješoviti proizvod tri vektora je broj

Geometrijska svojstva miješanog proizvoda:

Teorema 10.1. Volumen paralelepipeda izgrađenog na vektorima jednak je modulu mješovitog proizvoda ovih vektora

ili volumen tetraedra (piramide) izgrađenog na vektorima jednak je jednoj šestini modula mješovitog proizvoda

Dokaz. Iz elementarne geometrije poznato je da je zapremina paralelepipeda jednaka umnošku visine i površine baze

Površina osnove paralelepipeda S jednaka je površini paralelograma izgrađenog na vektorima (vidi sliku 1). Koristeći

Rice. 1. Za dokaz teoreme 1. geometrijsko značenje vektorskog proizvoda vektora , dobijamo da

Iz ovoga dobijamo Ako je trojka vektora lijeva, tada su vektor i vektor usmjereni suprotno, onda ili Tako je usputno dokazano da znak mješovitog proizvoda određuje orijentaciju trojke vektora (trojka je desno, a trojka lijevo). Dokažimo sada drugi dio teoreme. Od sl. 2 je očigledno da je zapremina trouglaste prizme izgrađene na tri vektora jednaka polovini zapremine paralelepipeda izgrađenog na ovim vektorima, tj.
Rice. 2. O dokazu teoreme 1.

Ali prizma se sastoji od tri piramide iste zapremine OABC, A B C D i ACDE. Zaista, zapremine piramida A B C D i ACDE jednake jer imaju jednake baze BCD i CDE i ista visina je pala sa vrha A. Isto važi i za visine i baze piramida OABC i ACDE. Odavde

Mješoviti (ili vektorsko-skalarni) proizvod tri vektora a, b, c (uzeta ovim redom) nazivaju se skalarnim proizvodom vektora a i vektorskog proizvoda b x c, odnosno brojem a(b x c), ili, što je isto, (b x c)a.
Oznaka: abc.

Imenovanje. Online kalkulator je dizajniran za izračunavanje mješovitog proizvoda vektora. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku. Osim toga, u Excelu se kreira predložak rješenja.

Znakovi vektorske komplanarnosti

Tri vektora (ili više) nazivaju se komplanarnim ako, svedeni na zajedničko ishodište, leže u istoj ravni.
Ako je barem jedan od tri vektora nula, tada se i tri vektora smatraju komplanarnim.

Znak koplanarnosti. Ako je sistem a, b, c ispravan, tada je abc>0; ako je lijevo, onda abc Geometrijsko značenje mješovitog proizvoda. Mješoviti proizvod abc tri nekoplanarna vektora a, b, c jednak je zapremini paralelepipeda izgrađenog na vektorima a, b, c, uzetih sa znakom plus ako je sistem a, b, c pravi, i sa predznakom minus ako je ovaj sistem ostavljen.

Mešana svojstva proizvoda

1. Sa kružnom permutacijom faktora, mješoviti proizvod se ne mijenja, sa permutacijom dva faktora, on obrće svoj znak: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   To proizilazi iz geometrijskog značenja.
2. (a+b)cd=acd+bcd (distributivno svojstvo). Proširuje se na bilo koji broj pojmova.
   To proizilazi iz definicije mješovitog proizvoda.
3. (ma)bc=m(abc) (asociativno svojstvo u odnosu na skalarni faktor).
   To proizilazi iz definicije mješovitog proizvoda. Ova svojstva omogućavaju primjenu transformacija na mješovite proizvode koji se razlikuju od običnih algebarskih samo po tome što se redoslijed faktora može mijenjati samo uzimajući u obzir predznak proizvoda.
4. Mješoviti proizvod koji ima najmanje dva jednaka faktora jednak je nuli: aab=0.

Primjer #1. Pronađite mješoviti proizvod. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Primjer #2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Svi članovi, osim dva ekstremna, jednaki su nuli. Također, bca=abc . Stoga (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Primjer #3. Izračunajte mješoviti proizvod tri vektora a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Odluka. Da bi se izračunao mješoviti proizvod vektora, potrebno je pronaći determinantu sistema sastavljenog od koordinata vektora. Zapisujemo sistem u obliku