Zbir kvadrata kosinusa smjera jednak je jedan.

Ako su poznati kosinusi smjera vektora, tada se njegove koordinate mogu pronaći po formulama: Slične formule se također dešavaju u trodimenzionalnom slučaju - ako su poznati kosinusi smjera vektora, tada se njegove koordinate mogu pronaći pomoću formule:

9 Linearna zavisnost I linearnu nezavisnost vektori. Osnova na avionu iu svemiru

Skup vektora se zove vektorski sistem.

linearno zavisna, ako postoje brojevi , nisu svi jednaki nuli u isto vrijeme, tako da

Sistem vektora se zove linearno nezavisna, ako je jednakost moguća samo za , tj. kada linearna kombinacija na lijevoj strani jednakosti je trivijalan.

1. Jedan vektor takođe čini sistem: at - linearno zavisan i at - linearno nezavisan.

2. Poziva se bilo koji dio sistema vektora podsistema.

1. Ako sistem vektora uključuje nulti vektor, onda je on linearno zavisan

2. Ako sistem vektora ima dva jednaka vektora, onda je on linearno zavisan.

3. Ako sistem vektora ima dva proporcionalna vektora , tada je linearno zavisan.

4. Sistem vektora je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od vektora linearna kombinacija ostalih.

5. Svi vektori uključeni u linearno nezavisan sistem formiraju linearno nezavisan podsistem.

6. Sistem vektora koji sadrži linearno zavisan podsistem je linearno zavisan.

7. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, a nakon što mu se doda vektor ispostavi se da je linearno zavisan, tada se vektor može proširiti u vektore, i, štaviše, jedini način, tj. koeficijenti ekspanzije se nalaze jedinstveno.

Osnova na ravni i prostoru naziva se maksimalni linearno nezavisni sistem vektora na ravni ili u prostoru (dodavanje još jednog vektora sistemu ga čini linearno zavisnim).

Dakle, baza u ravni su bilo koja dva nekolinearna vektora uzeta određenim redoslijedom, a baza u prostoru su bilo koja tri nekoplanarna vektora uzeta određenim redoslijedom.

Neka je baza u prostoru, tada se, prema T. 3, svaki vektor prostora dekomponuje na jedinstven način u terminima baznih vektora: . Koeficijenti proširenja nazivaju se koordinate vektora u bazi

Pisanje linearnih operacija na vektorima u terminima koordinata:

a) sabiranje i oduzimanje: - osnova

b) množenje brojem R:

Formule proizlaze iz svojstva linearnih operacija.

10 Vektorske koordinate u odnosu na bazu. Horts

Osnova u prostoru slobodnih vektora V 3 svaka uređena trojka nekoplanarnih vektora naziva se.

Neka bude IN :a 1,a 2,a 3 je fiksna osnova u V 3.

Koordinate vektor b u odnosu na osnovu IN naziva se uređena trojka brojeva ( x, y, z), uklj. b=x· a 1 +ya 2 +za 3 .

Oznaka:b={x, y, z} B Napomena: Koordinate fiksnog vektora su koordinate odgovarajućeg slobodnog vektora.

Teorema 1: Korespondencija između V 3 i R 3 za fiksnu osnovu je jedan prema jedan, tj. b V 3 ! {x, y, z) R 3 i ( x, y, z) R 3 ! b V 3 , uključujući b={x, y, z} B

Korespondencija između vektora i njegovih koordinata u ovu osnovu ima sljedeća svojstva:

1. Neka bude b 1 ={x1, y1, z1} B , b 2 ={x2, y2, z2} B b1 + b2 ={x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2} B

2. Neka bude b={x, y, z} B , λR λ· b={ λ· x, λ· y, λ· z} B

3. Neka b 1 || b 2 , b 1 = {x1, y1, z1} B , b 2 ={x2, y2, z2} B
(Ovdje: bilo koji broj).

Jedinični vektor, usmjeren duž ose X, označava se i, jedinični vektor, usmjeren duž Y ose, označen je j, ali jedinični vektor, usmjeren duž ose Z, označen je k. Vektori i, j, k pozvao orts– imaju pojedinačne module, tj
i = 1, j = 1, k = 1

11 skalarni proizvod vektori. Ugao između vektora. Uvjet ortogonalnosti vektora

Ovaj broj je jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih.

Tačkasti proizvod vektora u smislu njihovih koordinata

Tačkasti proizvod vektora X, Y, Z i :

gdje je ugao između vektora i ; ako bilo , onda

Iz definicije skalarnog proizvoda slijedi da je gdje je, na primjer, vrijednost projekcije vektora na smjer vektora .

Skalarni kvadrat vektora:

Svojstva tačkastog proizvoda:

Ugao između vektora

Uslovi za ortogonalnost vektora.

Dva vektor a i b ortogonalno (okomito), ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli a b= 0

Tako u slučaju problem sa avionom vektor

a= (a x ;a y) i b= (b x ;b y)

su ortogonalne ako je a b= a x b x + a y b y = 0

12 vektorski proizvod vektori, njegova svojstva. Stanje kolinearnih vektora

Unakrsni proizvod vektora sa vektorom je vektor označen simbolom i definiran sa sljedeća tri uslova:

jedan). Modul vektora je , gdje je ugao između vektora i ;

2). Vektor je okomit na svaki od vektora i ;

3). Smjer vektora odgovara "pravilu desne ruke". To znači da ako su vektori , i dovedeni na zajednički početak, tada bi vektor trebao biti usmjeren na isti način kao što je usmjeren srednji prst desne ruke, čiji je palac usmjeren duž prvog faktora (tj. duž vektora), a kažiprst duž drugog (tj. duž vektora ). Vektorski proizvod zavisi od redosleda faktora, i to: .

Modul unakrsnog proizvoda jednak je površini S paralelograma izgrađenog na vektorima i : .

Sam vektorski proizvod može se izraziti formulom,

gdje je vektorski vektorski proizvod.

Vektorski proizvod nestaje ako i samo ako su vektori i kolinearni. Posebno, .

Ako je sistem koordinatnih osa pravi i vektori i su dati u ovom sistemu svojim koordinatama:

tada je unakrsni proizvod vektora sa vektorom određen formulom

Vektor je kolinearan vektoru različitom od nule ako i samo ako su koordinate

vektori su proporcionalni odgovarajućim koordinatama vektora, tj.

Linearne operacije nad vektorima datim njihovim koordinatama u prostoru izvode se na sličan način.

13 mješoviti proizvod vektora. Njegova svojstva. Uvjet komplanarnosti za vektore

Mješoviti proizvod tri vektora, , je broj jednak skalarnom proizvodu vektora sa vektorom :

Kombinovana svojstva proizvoda:

3° Tri vektora su komplanarna ako i samo ako

4° Trostruka vektora je u pravu ako i samo ako . Ako je , tada vektori , i formiraju lijevi triplet vektora.

10° Jacobi identitet:

Ako su vektori , i dati njihovim koordinatama, tada se njihov mješoviti proizvod izračunava po formuli

Vektori koji su paralelni sa istom ravninom ili leže na istoj ravni nazivaju se komplanarni vektori.

Uslovi komplanarnosti za vektore

Tri vektori su komplanarni ako je njihov mješoviti proizvod nula.

Tri vektori su komplanarni ako su linearno zavisne.

15 razne vrste jednadžbi prave i ravni

Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

a konstante A, B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednačina prvog reda se zove opšta jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanta A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - prava prolazi kroz ishodište

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - prava je paralelna s osom Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0) - prava je paralelna sa Oy osom

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - prava linija se poklapa sa osom Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - prava linija se poklapa sa osom Ox

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo kojeg datog početnog uslova.

Def. 1.5.6. Smjer kosinus vektor ali nazovimo kosinuse onih uglova koje ovaj vektor formira sa baznim vektorima, respektivno, i , j , k .

Kosinus smjera vektora ali = (X, at, z) nalaze se po formulama:

Zbir kvadrata kosinusa smjera jednak je jedan:

Kosinus smjera vektora a su koordinate njenog orta: .

Neka su osnovni vektori i , j , k izvučeno iz zajedničke tačke O. Pretpostavit ćemo da ortovi postavljaju pozitivne smjerove osi Oh, OU, Oz. prikupljanje bodova O (porijeklo) i ortonormalnu osnovu i , j , k pozvao Dekartov pravougaoni koordinatni sistem u prostoru. Neka bude ALI je proizvoljna tačka u prostoru. Vector ali = OA= x i + y j + z k pozvao radijus vektor bodova ALI, koordinate ovog vektora ( x, y, z) se također nazivaju koordinate tačke ALI(simbol: ALI(x, y, z)). Koordinatne ose Oh, OU, Oz takođe se naziva, respektivno, osa apscisa, osa ordinate, osa primijeniti.

Ako je vektor zadan koordinatama njegove početne tačke IN 1 (x 1 , y 1 , z 1) i krajnja tačka IN 2 (x 2 , y 2 , z 2), tada su koordinate vektora jednake razlici između koordinata kraja i početka: (pošto ).

Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistemi na ravni i na pravoj definisani su na potpuno isti način sa odgovarajućim kvantitativnim (prema dimenziji) promjenama.

Rješenje tipičnih zadataka.

Primjer 1 Pronađite kosinus dužine i smjera vektora ali = 6i – 2j -3k .

Rješenje. Dužina vektora: . Kosinus smjera: .

Primjer 2 Pronađite vektorske koordinate ali , formirajući jednake oštre uglove sa koordinatnim osovinama, ako je dužina ovog vektora jednaka .

Rješenje. Budući da , zatim zamjenom u formulu (1.6), dobivamo . Vector ali formira oštre uglove sa koordinatnim osa, pa orto . Dakle, nalazimo koordinate vektora .

Primjer 3 Dana su tri nekoplanarna vektora e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Decompose Vector d = i + 5j - 2k osnovu e 1 , e 2 , e 3 .

ovo su kosinusi uglova koje vektor pravi sa pozitivnim poluosama koordinata. Kosinusi smjera jednoznačno definiraju smjer vektora. Ako vektor ima dužinu 1, tada su njegovi kosinusi smjera jednaki njegovim koordinatama. Općenito, za vektor sa koordinatama ( a; b; c) kosinus smjera je jednak:

gdje su a, b, g uglovi formirani vektorom sa osama x, y, z respektivno.

21) Dekompozicija vektora u terminima vektora. Orth koordinatne ose je označen sa , ose - sa , ose - sa (sl. 1).

Za bilo koji vektor koji leži u ravni, odvija se sljedeća dekompozicija:

Ako je vektor se nalazi u prostoru, tada proširenje u terminima jediničnih vektora koordinatnih osa ima oblik:

22)Dot product dva vektora različita od nule i broj jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih naziva se:

23) Ugao između dva vektora

Ako je ugao između dva vektora oštar, onda je njihov dot proizvod pozitivan; ako je ugao između vektora tup, tada je skalarni proizvod ovih vektora negativan. Skalarni proizvod dva vektora različita od nule jednak je nuli ako i samo ako su ovi vektori ortogonalni.

24) Uslov paralelnosti i okomitosti dva vektora.

Uvjet okomitosti vektora
Vektori su okomiti ako i samo ako je njihov unutrašnji proizvod nula.Dana su dva vektora a(xa;ya) i b(xb;yb). Ovi vektori će biti okomiti ako je izraz xaxb + yayb = 0.

25) Vektorski proizvod dva vektora.

Vektorski proizvod dva nekolinearna vektora je vektor c=a×b koji zadovoljava sljedeće uslove: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Vektori a, b, c formiraju desnu trojku vektora.

26) Kolinearni i komplanarni vektori..

Vektori su kolinearni ako je apscisa prvog vektora povezana sa apscisom drugog na isti način kao što je ordinata prvog s ordinatom drugog. Zadana su dva vektora a (xa;ya) I b (xb;yb). Ovi vektori su kolinearni ako x a = xb I y a = yb, gdje R.

Vektori −→ a,−→b i −→ c pozvao komplanarno ako postoji ravan sa kojom su oni paralelni.

27) Mješoviti proizvod tri vektora. Mješoviti proizvod vektora- skalarni proizvod vektora a i vektorski proizvod vektora b i c. Naći mješoviti proizvod vektora a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Rješenje:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Udaljenost između dvije tačke na ravni. Udaljenost između dvije date tačke jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata razlika istih koordinata ovih tačaka.

29) Podjela segmenta u ovo poštovanje. Ako tačka M(x; y) leži na pravoj liniji koja prolazi kroz dvije date tačke ( , ) i ( , ), i dat je odnos u kojem tačka M dijeli segment , tada se određuju koordinate tačke M po formulama

Ako je tačka M središte segmenta, tada su njene koordinate određene formulama

30-31. Nagib prave linije naziva se tangenta nagiba ove prave linije. Nagib ravne linije obično se označava slovom k. Onda po definiciji

Jednačina linije sa nagibom ima oblik gdje k- ugaoni koeficijent prave linije, b je neki realan broj. Jednačina prave linije sa nagibom može definirati bilo koju pravu liniju, ne paralelno sa osom Oy(za pravu liniju paralelnu y-osi, nagib nije definiran).

33. Opšta jednačina prave na ravni. Tipska jednadžba jesti opšta jednačina prave linije Oxy. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - prava prolazi kroz ishodište

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - prava je paralelna s osom Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0) - prava je paralelna sa Oy osom

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - prava linija se poklapa sa osom Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - prava linija se poklapa sa osom Ox

34.Jednačina prave linije u segmentima na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy ima oblik gdje a I b- neki drugi od nule realni brojevi. Ovo ime nije slučajno, jer su apsolutne vrijednosti brojeva ali I b jednaka dužinama odsječaka na kojima ravna linija seče koordinatne ose Ox I Oy(segmenti se računaju od početka). Dakle, jednadžba prave linije u segmentima olakšava izgradnju ove prave linije na crtežu. Da biste to učinili, označite tačke sa koordinatama iu pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni i pomoću ravnala ih povežite pravom linijom.

35. Normalna jednačina prave linije ima oblik

gdje je rastojanje od prave do ishodišta;  je ugao između normale na pravu liniju i ose.

Normalna jednačina se može dobiti iz opšte jednačine (1) množenjem sa faktorom normalizacije , predznak  je suprotan predznaku , tako da je .

Kosinusi uglova između prave i koordinatne osi nazivaju se kosinusi pravca,  je ugao između prave i ose,  je između prave i ose:

Dakle, normalna jednačina se može napisati kao

Udaljenost od tačke na ravno određuje se formulom

36. Udaljenost između tačke i prave se izračunava po sledeća formula:

gdje su x 0 i y 0 koordinate tačke, a A, B i C su koeficijenti iz opšte jednačine prave

37. Dovođenje opšte jednačine prave na normalnu. Jednačina i ravan u ovom kontekstu se ne razlikuju jedna od druge ni po čemu osim po broju članova u jednadžbi i dimenziji prostora. Stoga ću prvo reći sve o avionu, a na kraju ću napraviti rezervu o pravoj liniji.
Neka je data opšta jednačina ravni: Ax + By + Cz + D = 0.
;. dobijamo sistem: g;Mc=cosb, MB=cosa Hajde da ga dovedemo u normalan oblik. Da bismo to učinili, pomnožimo oba dijela jednačine sa faktorom normalizacije M. Dobijamo: Max + Mvu + MSz + MD = 0. U ovom slučaju, MA=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa dobijamo sistem:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Sabiranjem svih jednačina sistema, dobijamo M*(A2 + B2 + C2) = 1 Sada ostaje samo da izrazimo M odavde da bismo znali sa kojim normalizujućim faktorom se originalna opšta jednačina mora pomnožiti da bi je dovela u normalu oblik:
M \u003d - + 1 / KORIJEN KV A2 + B2 + C2
MD uvijek mora biti manji od nule, stoga se predznak broja M uzima suprotno od predznaka broja D.
Sa jednadžbom prave linije sve je isto, samo pojam C2 treba jednostavno izbaciti iz formule za M.

Sjekira + By + cz + D = 0,

38. Opća jednačina avion u prostoru se naziva jednačina oblika

gdje A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

U 3D prostoru u Kartezijanski sistem koordinate, svaka ravan je opisana jednačinom 1. stepena (linearna jednačina). I obrnuto, bilo koji linearna jednačina definiše ravan.

40.Jednačina ravnine u segmentima. U pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru, jednačina oblika , gdje a, b I c naziva se realni brojevi različiti od nule jednačina ravnine u segmentima. Apsolutne vrijednosti brojeva a, b I c jednaka dužinama segmenata koje ravan seče na koordinatnim osa Ox, Oy I Oz odnosno, računajući od početka. Broj znak a, b I c pokazuje u kom smjeru (pozitivnom ili negativnom) su segmenti iscrtani na koordinatnoj osi

41) Normalna jednačina ravnine.

Normalna jednačina ravni je njena jednačina, zapisana u obliku

gdje su , , kosinusi smjera normale ravni, e

p je rastojanje od početka do ravni. Prilikom izračunavanja kosinusa smjera normale treba uzeti u obzir da je ona usmjerena od početka do ravni (ako ravan prolazi kroz nultu vrijednost, tada je izbor pozitivnog smjera normale indiferentan).

42) Udaljenost od tačke do ravni.Neka je ravan data jednačinom i dobio poen. Tada se udaljenost od tačke do ravni određuje formulom

Dokaz. Udaljenost od tačke do ravni je, po definiciji, dužina okomice spuštene iz tačke na ravan

Ugao između ravnina

Neka ravnine i biti date jednadžbama i , respektivno. Potrebno je pronaći ugao između ovih ravnina.

Ravnine, seku, formiraju četiri diedarska ugla: dva tupa i dva oštra ili četiri ravna, a oba tupa ugla su međusobno jednaka, a oba oštra su takođe jednaka jedan drugom. Uvijek ćemo tražiti oštar ugao. Da bismo odredili njegovu vrijednost, uzimamo tačku na liniji presjeka ravnina iu ovoj tački u svakoj od

ravnine koje povlačimo okomite na liniju presjeka.

Kosinus smjera vektora.

Kosinus smjera vektora a su kosinusi uglova koje vektor formira sa pozitivnim poluosama koordinata.

Da bismo pronašli kosinus smjera vektora a, potrebno je podijeliti odgovarajuće koordinate vektora sa modulom vektora.

Nekretnina: Zbir kvadrata kosinusa smjera jednak je jedan.

Dakle u slučaju problema sa avionom kosinus smjera vektora a = (ax; ay) nalazi se po formulama:

Primjer izračunavanja kosinusa smjera vektora:

Pronađite kosinus smjera vektora a = (3; 4).

Rješenje: |a| =

Dakle unutra slučaj prostornog problema kosinusi smjera vektora a = (ax; ay; az) nalaze se po formulama:

Primjer izračunavanja kosinusa smjera vektora

Pronađite kosinus smjera vektora a = (2; 4; 4).

Rješenje: |a| =

Smjer vektora u prostoru određen je uglovima koje vektor formira sa koordinatnim osa (slika 12). Kosinusi ovih uglova se nazivaju kosinus smjera vektora: , , . Iz svojstava projekcija:, , . shodno tome, Lako je to pokazati 2) koordinate bilo kojeg jediničnog vektora poklapaju se s njegovim kosinusima smjera: .

"Kako pronaći kosinus smjera vektora"

Označite sa alfa, beta i gama uglove formirane vektorom a sa pozitivnim smjerom koordinatnih osa (vidi sliku 1). Kosinusi ovih uglova nazivaju se kosinusi smjera vektora a.

Pošto su koordinate a u kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu jednake projekcijama vektora na koordinatne ose, onda je a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gama). Dakle: cos (alpha)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Štaviše, |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Dakle cos(alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Treba napomenuti glavno svojstvo kosinusa smjera. Zbir kvadrata kosinusa smjera vektora jednak je jedan. Zaista, cos^2(alfa)+cos^2(beta)+cos^2(gama)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Prvi način

Primjer: dat: vektor a=(1, 3, 5). Pronađite kosinus smjera. Rješenje. U skladu sa onim što smo pronašli, ispisujemo: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. Dakle, odgovor se može napisati u sljedećem obliku: (cos(alfa), cos(beta), cos(gama))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

Drugi način

Prilikom pronalaženja kosinusa smjera vektora a, možete koristiti tehniku ​​za određivanje kosinusa uglova pomoću skalarnog proizvoda. U ovom slučaju mislimo na uglove između a i jediničnih vektora pravougaonika Kartezijanske koordinate i, j i k. Njihove koordinate su (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), respektivno. Treba podsjetiti da je skalarni proizvod vektora definiran na sljedeći način.

Ako je ugao između vektora φ, tada je skalarni proizvod dva vjetra (po definiciji) broj jednak proizvodu modula vektora po cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Zatim, ako je b=i, onda (a, i) = |a||i|cos(alfa), ili a1 = |a|cos(alpha). Nadalje, sve radnje se izvode slično metodi 1, uzimajući u obzir koordinate j i k.

DEFINICIJA

Vector naziva se uređenim parom tačaka i (tj. tačno se zna koja je od tačaka u ovom paru prva).

Prva tačka se zove početak vektora, a drugi je njegov kraj.

Udaljenost između početka i kraja vektora se naziva dužina ili vektorski modul.

Vektor čiji su početak i kraj isti naziva se nula i označava se sa ; pretpostavlja se da je njegova dužina nula. Inače, ako je dužina vektora pozitivna, onda se zove ne-nula.

Komentar. Ako je dužina vektora jednaka jedan, onda se zove ortom ili jedinični vektor i označava se.

PRIMJER

Zadatak	Provjerite je li vektor single.
Rješenje	Izračunajmo dužinu datog vektora, ona je jednaka kvadratnom korijenu zbira kvadrata koordinata: Pošto je dužina vektora jednaka jedan, onda je vektor vektor.
Odgovori	Vektor je pojedinačni.

Vektor različit od nule se također može definirati kao usmjereni segment.

Komentar. Smjer nultog vektora nije definiran.

Kosinus smjera vektora

DEFINICIJA

Smjer kosinus neki vektori se nazivaju kosinusima uglova koje vektor formira sa pozitivnim pravcima koordinatnih osa.

Komentar. Smjer vektora je jedinstveno određen njegovim kosinusima smjera.

Da biste pronašli kosinus smjera vektora, potrebno je normalizirati vektor (tj. podijeliti vektor njegovom dužinom):

Komentar. Koordinate jediničnog vektora jednake su njegovim kosinusima smjera.

TEOREMA

(Svojstvo kosinusa smjera). Zbir kvadrata kosinusa smjera jednak je jedan: