Mora krugovi su kružni dijagrami koji daju vizualni prikaz napona u različitim presjecima koji prolaze kroz njih dati poen. U koordinatnom sistemu τ n - σ n - tri (pola) kruga, koji duž ose apscise predstavljaju razliku između glavnih normalnih napona σ 1, σ 2, σ 3 (sl.). Maksimalni krug poluprečnika (σ 1 -σ 3)/2 pokriva dva unutrašnja kruga poluprečnika (σ 1 -σ 2)/2 i (σ 2 -σ 3)/2, dodirujući se u tački σ 2 . Koordinate tačaka u prostoru između lukova ovih kružnica su normalne i tangente u proizvoljno orijentisanim područjima. Na osi krugova su odnosno . Položaj tačke σ 2 određen je koeficijentom Lode - Nadai. Slično, Mohrovi krugovi u koordinatama γ - ε su izgrađeni da proučavaju deformirano stanje, gdje je R 1 = (ε 2 -ε 1) / 2 = 0,5γ 23, R 2 = (ε 1 -ε 3) / 2 = 0,5γ 31 , R 3 = (ε 1 -ε 2) / 2 = 0,5γ 12

Mohrovi krugovi (kružni naponi)

enciklopedijski rječnik u metalurgiji. - M.: Intermet inženjering. Glavni urednik N.P. Lyakishev. 2000 .

Pogledajte šta je "Krugovi kuge" u drugim rječnicima:

Mohrovi krugovi- Tortni grafikoni koji daju vizualni prikaz napona u različitim presjecima koji prolaze kroz datu tačku. U koordinatnom sistemu tl-al - tri (pola) kruga, dia. do ryh duž apscise su razlike glavnih normala ... ... Priručnik tehničkog prevodioca

Krugovi- Krugovi: Sadržaj 1 Naselja 1.1 Bjelorusija 1.2 Rusija 1.3 Ukrajina ... Wikipedia

Krugovi (višeznačna odrednica)- Naselja: Krugi (ukr. Krugi) je selo u sastavu Višgorodskog okruga Kijevske oblasti u Ukrajini. Krugi (ukr. Krugi) je naselje u Ukrajini, koje se nalazi u Tyvrovskom okrugu u Viničkoj oblasti. Krugi (beloruski Krugi) selo u ... ... Wikipediji

VELIKA BRITANIJA- (Velika Britanija) država na Zapadu. Evrope, koji se nalazi na Britanskim ostrvima. Službeno ime B. Ujedinjeno Kraljevstvo Velike Britanije i Sjeverne Irske; često se ceo V. netačno naziva Engleska (po imenu ... Sovjetska istorijska enciklopedija

Velika britanija- I Velika Britanija (Velika Britanija) ostrvo u Atlantskom okeanu, koje je deo grupe Britanskih ostrva (vidi Britanska ostrva). Vidi UK (država). II Velika Britanija (Velika Britanija) službeni naziv United ... ...

UK (država)- Ujedinjeno Kraljevstvo (Velika Britanija); službeni naziv je Ujedinjeno Kraljevstvo Velike Britanije i Sjeverne Irske. I. Opće informacije V. je ostrvska država na sjeverozapadu Evrope; zauzima...... Velika sovjetska enciklopedija

Francuska- (Francuska) Francuska Republika (République Française). I. Opći podaci F. država u zapadnoj Evropi. Na sjeveru je teritorij F. ispran sjeverno more, moreuz Pas de Calais i Lamanš, na zapadu Biskajskog zaliva ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Komunizam- Riječ K. znači: prvo, takav društveni poredak u kojem u sferi imovinskih odnosa nema privatne svojine (bilo koja ili samo nekretnina), a u sferi porodičnih odnosa brak zauzima neuređeno mjesto... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Istorija komunističkih učenja- Komunizam je opšti naziv doktrina koje proklamuju cilj ukidanja privatne svojine i oslobađanja čoveka i društva od ekonomskog i društvenog ugnjetavanja. Riječ "komunizam" spaja ona vjerska, moralna i ekonomska učenja, ... ... Wikipedia

Ovisnost napona σ n i τ n koji djeluju na površinu s normalom n koja prolazi kroz razmatranu točku može se vizualizirati grafički korištenjem Mohrovog kružnog dijagrama (Mohrove kružnice).

RAVNO NAPREZNO STANJE. Dati su glavni naponi σ 1 i σ 2 (vidi sliku 2) . Nacrtani su segmenti OA=σ 1 i OB=σ 2, uzimajući u obzir predznake (slika 1). Na segmentu AB, kao i na prečniku, izgrađena je kružnica. Iz tačke B se povlači prava linija pod uglom α prema osi σ. Koordinate tačke D preseka ove prave sa kružnicom daju naprezanje na kosoj površini: OE=σ n , ED=τ n .

Slika 1.

Dati su naponi α x, σ y , τ xy (slika 2). Nacrtani su segmenti OE=σ x i OF=σ y, uzimajući u obzir predznake. Iz tačke E (bez obzira na njenu poziciju) iscrtava se segment ED=τ xy, takođe uzimajući u obzir predznak. Iz tačke C, dijeleći segment EF na pola, kao iz centra, konstruiše se kružnica radijusa CD. Prava linija BD određuje smjer vektora glavnog naprezanja σ 1 , a apscise tačaka presjeka kružnice sa osom σ daju vrijednosti glavnih napona: OA=σ 1 , OB=σ 2 .

Slika 2.

VOLUME STRES STATE. Na segmentima koji prikazuju razlike glavnih naprezanja σ 1 -σ 3, σ 2 -σ 3, σ 1 -σ 2 izgrađena su tri polukruga, kao na prečnicima (sl. 3). Naponi σ n i τ n duž nagnute površine, normala na koju formira uglove α, β i γ sa smjerovima tri glavna naprezanja, određena su sljedećom konstrukcijom. Prave AE i BF su povučene pod uglovima α i γ od vertikale. Kroz dobijene presečne tačke E i F povlače se lukovi poluprečnika C 2 E i C 1 F do preseka u tački D čije koordinate daju napone σ n i τ n . Tačke koje prikazuju naponska stanja u različitim područjima ne napuštaju područje zatvoreno između tri polukruga (osenčeno na slici).

Mohrov krug- Ovo je kružni dijagram koji daje vizualni prikaz napona u različitim presjecima koji prolaze kroz datu tačku. Ime je dobio po Otto Christian Mohr. To je dvodimenzionalna grafička interpretacija tenzora napona.

Prva osoba koja je kreirala grafički prikaz naprezanja za uzdužna i poprečna naprezanja savijajuće horizontalne grede bio je Karl Kuhlmann. Mohrov doprinos je korištenje ovog pristupa za ravna i obimna naponska stanja i definiranje kriterija čvrstoće na temelju kruga naprezanja.

fizičko značenje

Unutarnje sile nastaju između čestica čvrstog deformabilnog tijela kao reakcija na primijenjenu spoljne sile: površina i volumen. Ova reakcija je u skladu sa drugim Newtonovim zakonom primijenjenim na čestice materijalnih objekata. Veličina intenziteta ovih unutrašnjih sila naziva se mehaničko naprezanje. Jer tijelo se smatra čvrstim, ovi unutrašnje sile raspoređene kontinuirano po čitavom volumenu predmetnog objekta.

texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \cos ^2 \theta = \frac(1+\cos 2\theta)(2), \qquad \sin ^2 \theta = \frac(1-\cos 2\) theta)(2) \qquad \text(,) \qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta

Onda možeš dobiti

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \sigma_\mathrm(n) = \frac(1)(2) (\sigma_x + \sigma_y) + \frac(1)(2) (\sigma_x - \sigma_y )\ cos 2\theta + \tau_(xy) \sin 2\theta

napon smicanja Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc također djeluje na području lokacije Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): dA. Iz jednakosti projekcija sila na osu Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \tau_\mathrm(n)(osa Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): y") dobijamo:

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \ \begin(align) \sum F_(y") &= \tau_\mathrm(n) dA + \sigma_x dA \cos \theta \sin \theta - \sigma_y dA \ sin \theta \cos \theta - \tau_(xy) dA \cos ^2 \theta + \tau_(xy) dA \sin ^2 \theta = 0 \\ \tau_\mathrm(n) &= -( \sigma_x -\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_(xy) \left(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \\ \end(poravnati)

To je poznato

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad \text(,) \qquad \sin 2\theta= 2\sin\ theta\ cos\theta

Onda možeš dobiti

Nije moguće raščlaniti izraz (izvršna datoteka texvc nije pronađeno; Pogledajte math/README za pomoć pri postavljanju.): \tau_\mathrm(n) = -\frac(1)(2)(\sigma_x - \sigma_y)\sin 2\theta + \tau_(xy)\cos 2 \theta

Napišite recenziju na članak "Mohrov krug"

Bilješke

Odlomak koji karakteriše Morski krug

Da li je to bila nesreća, ili je neko nekako pomogao, ali moja majka je imala veliku sreću - bila je udata za divnu osobu, venecijanskog magnata, koji je ... i sam bio veoma jak čarobnjak ... i koga vidite sada kod nas .. .
Sjajnim, vlažnim očima Isidora je gledala svog divnog oca i bilo je jasno koliko ga voli i nesebično. Bila je ponosna ćerka, koja je dostojanstveno nosila svoje čisto, svetlo osećanje kroz vekove, a ni tamo, daleko, u svojim novim svetovima, nije se skrivala i nije se sramila toga. I tada sam shvatio koliko želim da postanem poput nje! .. I u njenoj moći ljubavi, i u njenoj moći Vještice, i u svemu drugom što je ova izvanredno bistra žena nosila u sebi...
I mirno je nastavila da priča, kao da ne primećuje ni naše „preplavljene“ emocije, ni „šteneće“ oduševljenje naših duša koje je pratilo njenu divnu priču.
– Tada je moja majka čula za Veneciju... Otac joj je satima pričao o slobodi i lepoti ovog grada, o njegovim palatama i kanalima, o tajnim baštama i ogromnim bibliotekama, o mostovima i gondolama, i mnogo, mnogo više. A moja dojmljiva majka se i pre nego što je videla ovaj divni grad zaljubila u njega svim srcem... Jedva je čekala da vidi ovaj grad svojim očima! I vrlo brzo njen san se ostvario... Otac ju je doveo u veličanstvenu palatu, punu vernih i tihih slugu, od kojih nije bilo potrebe da se krije. I, počevši od tog dana, moja majka je mogla provoditi sate radeći svoju omiljenu stvar, bez straha da će biti pogrešno shvaćena ili, još gore, uvrijeđena. Njen život je postao prijatan i siguran. Bili su zaista srećan bračni par koji je tačno godinu dana kasnije dobio devojčicu. Zvali su je Isidora... To sam bio ja.
Bio sam veoma srećno dete. I, koliko se sećam, svet mi je uvek izgledao lep... Odrastao sam okružen toplinom i ljubavlju, među ljubaznim i pažljivim ljudima koji su me mnogo voleli. Mama je ubrzo primijetila da manifestujem moćan Dar, mnogo jači od njenog. Počela je da me uči svemu što je znala da radi i čemu me je njena baka naučila. A kasnije se i moj otac uključio u moje „vještičko“ odgajanje.
Sve ovo pričam dragi moji, ne zato što želim da vam ispričam priču o svom srećnom životu, već da biste bolje razumeli šta će uslediti malo kasnije... Inače nećete osetiti sav užas i bol koje smo ja i moja porodica morali da izdržimo...
Kada sam napunio sedamnaest godina, glasine o meni otišle su daleko izvan granica rodnom gradu, a onima koji su hteli da čuju svoju sudbinu nije bilo kraja. Bio sam veoma umoran. Bez obzira koliko sam bio nadaren, ali svakodnevni posao je bio iscrpljujući, a uveče sam bukvalno padao s nogu... Moj otac se uvek protivio takvom „nasilju“, ali moja majka (koja ni sama nekada nije mogla da iskoristi svoj dar da najpotpuniji) vjerovali da sam u u savršenom redu i da mora pošteno da vežba svoj talenat.
Toliko godina je prošlo. Već dugo imam svoj lični život i svoju divnu, voljenu porodicu. Moj muž je bio učen čovjek, zvao se Đirolamo. Mislim da smo bili suđeni jedno drugom, jer se od prvog susreta koji se dogodio u našoj kući gotovo da se više nikada nismo rastali... Došao je kod nas po neku knjigu koju mi ​​je preporučio moj otac. To jutro sam sjedio u biblioteci i, kao i obično, proučavao tuđe radove. Đirolamo je ušao iznenada, i kada me je ugledao tamo, bio je potpuno zatečen... Njegova sramota je bila toliko iskrena i slatka da me je nasmejao. Bio je visok i jak smeđooka brineta, koja je u tom trenutku pocrvenela kao devojka koja je prvi put upoznala svog verenika... I odmah sam shvatila da je to moja sudbina. Ubrzo smo se vjenčali i nikada se više nismo rastali. Bio je divan muž, privržen i nežan, i veoma ljubazan. A kada se naša kćerka rodila, postao je isti otac pun ljubavi i brige. Tako je prošlo deset godina veoma srećnih i bez oblaka. Naša draga ćerka Ana je odrasla vesela, živahna i veoma pametna. I već u ranih deset godina i ona je, kao i ja, počela polako da manifestuje Dar...
Život je bio svetao i divan. I činilo se da ne postoji ništa što bi nesrećom zasjenilo naše mirno postojanje. Ali plašio sam se... Skoro godinu dana, svake noći imao sam noćne more - jezive slike mučenih ljudi i paljenja vatre. Ponavljalo se, ponavljalo, ponavljalo... izluđivalo me. Ali najviše od svega me je uplašila slika čudnog čovjeka koji mi je stalno dolazio u snove, i bez riječi me samo proždirao gorućim pogledom svojih dubokih crnih očiju... Bio je zastrašujući i vrlo opasan.
A onda je jednog dana došlo... Crni oblaci su se počeli skupljati na čistom nebeskom svodu moje voljene Venecije... Uznemirujuće glasine, sve više, lutale su gradom. Ljudi su šaputali o strahotama inkvizicije i, hladeći dušu, živim ljudskim lomačama... Španija je već dugo plamtjela, palila čiste ljudske duše "ognjem i mačem", s imenom Hristovim... I dalje Španija, cela Evropa je već bila u plamenu... Nisam verovao, i nikada nisam smatrao Hrista Boga. Ali bio je divan Vedun, najjači od svih živih. I imao je neverovatno čistu i uzvišenu dušu. A ono što je crkva učinila, ubijajući „u slavu Hristovu“, bio je užasan i neoprostiv zločin.

Mohrov direktni problem je problem određivanja napona na proizvoljnom mjestu iz poznatih glavnih napona.

Razmotrimo elementarnu zapreminu pod uslovima volumetrijskog napregnutog stanja, a lica ovog volumena su glavne oblasti. Sekantna platforma paralelna sa glavnim naprezanjem σ 2 , odaberite trokutastu prizmu iz ovog volumena:

Da biste odredili napone na proizvoljnoj sekanti, razmotrite prednju stranu prizme

Napišimo jednačine ravnoteže za sistem sila koje djeluju na lice prizme.

Za os tangentu na rampu
:

Smanjenje zajedničkih faktora i množenje svih pojmova sa
, dobijamo

,

. (2.2)

Za osu normalnu na rampu
:

Izvršimo sljedeće transformacije:

i dobiti:

. (2.3)

Kvadratirajmo svaki dio dobijenih izraza (2.2) i (2.3):

,

.

Zbrajajući lijevi i desni dio u parove, dobijamo:

.

Ovo je jednadžba u koordinatama    je jednadžba kružnice sa centrom u tački
,
i radijus
:

Rezultirajući krug se zove krug stresa ili Mora okolo. Mohrova kružnica siječe x-osu u tačkama s koordinatama  1 i  3 .

Odredite koordinate tačke D  :

, (2.5)

što se poklapa sa formulama (2.2) i (2.3) dobijenim ranije.

Dakle, svaka lokacija je nagnuta pod uglom  do glavnih lokaliteta, na krugu Mora odgovara određena tačka. Radijus ove tačke čini ugao od 2 sa x-osom  , a njegove koordinate određuju napone na mjestu   i   .

Zadatak.

U štapu s površinom poprečnog presjeka A= 5x10 4 m 2, na silu rastegnut F= 50 kN, odrediti normalna i posmična naprezanja koja se javljaju na mjestu nagnutom pod kutom
na poprečni presjek štapa:

U točkama poprečnog presjeka nastaju samo normalni naponi, odnosno površina elementarnog volumena u blizini točke, koja se poklapa s ovim presjekom, je glavna:

,

ostali glavni naponi su odsutni, tj. je jednoosno naponsko stanje.

Pronađimo naprezanja na nagnutoj platformi.

Vector puni napon str, koji djeluje na ovom mjestu, može se razložiti na dvije komponente: normalnu   i tangenta   , da odredimo čiju vrijednost koristimo Mohrovu kružnicu.

Prijavite se u koordinatama    tačke koje odgovaraju glavnim naponima
i
, i na ovim tačkama, kao i na prečniku, gradimo Mohrov krug:

Odvajanje od ose apscise dvostruki ugao u smeru suprotnom od kazaljke na satu  , dobijamo tačku na krugu koja prikazuje stanje na nagnutoj platformi. Koordinate ove tačke su željeni naponi i izračunavaju se po formulama (2.4) i (2.5):

,
.

Inverzni Mohrov problem

Mohrov inverzni problem je odrediti glavna naprezanja iz poznatih napona na proizvoljnom mjestu. Razmotrimo to na konkretnom primjeru.

Zadatak.

Odredite glavna naprezanja na opasnoj točki šipke koja je podvrgnuta kombiniranom djelovanju savijanja i torzije:

Izgradivši dijagrame unutrašnjih faktora sile, zaključujemo da je opasan presjek štapa onaj presjek ugradnje, u kojem djeluje najveći moment savijanja. M x .

Da biste pronašli opasnu točku u opasnom presjeku, razmotrite raspodjelu normalnih i posmičnih naprezanja preko opasnog presjeka:

U ovom slučaju postoje dvije jednako opasne tačke - B i C, u kojem djeluju maksimalni normalni i tangencijalni naponi, koji su jednaki po veličini, ali različiti u smjeru. Razmotrite stresno stanje u toj tački AT, odabirom elementarnog volumena u njegovoj blizini i postavljanjem vektora naprezanja i na njegovim rubovima.

Vrijednosti stresa i može se odrediti formulama:

,

.

Razmotrimo odabranu kocku sa strane bez stresa (gore):

Označavamo dvije međusobno okomite površine  i  . Na mjestu  ponašaj se normalno
i napon na smicanje 
. Na mjestu  samo napon smicanja 
(prema zakonu uparivanja tangencijalnih napona).

Redoslijed izgradnje Mohrovog kruga:

Zacrtavamo položaj glavnih područja i smjer glavnih naprezanja na području koje razmatramo:

Radijus Mohrovog kruga

,

zatim glavni naponi

,

.

Predložio je poznati njemački naučnik Mohr grafička metoda određivanje napona σ α i τ α za date σ 1 , σ 2 i α u slučaju ravnog naponskog stanja.

Fig.18.1. Slučaj ravnog naponskog stanja.

Za to odaberite ravni sistem koordinate, dok ose apscise odgovaraju normalnim naponima, a ordinatne ose odgovaraju posmičnim naponima

Na osi x položiti napone σ 1 = OA i σ 2 = OB

Na razlici segmenata OA - OB = σ1 - σ2 gradi se krug, poluprečnika BC = (σ1 - σ2)/2. odlažući ugao 2α od ose apscise u smeru suprotnom od kazaljke na satu, dobijamo tačku D na kružnici i spuštamo okomicu sa nje na osu apscise - DK

Rezultirajući segment OK = σ α , i segment DK = τ α

Mohrovi krugovi vam omogućavaju da analizirate sve vrste stresnog stanja organizma.

Fig.18.2. Grafička definicija napona. Mohr krug.

Zadatak.

Odrediti analitički i koristeći Mohrovu kružnicu normalne σα i tangencijalne τα napone u presjeku AB koji se nalazi pod kutom β=60º prema uzdužnoj osi. Štap se rasteže silom P = 20kN, površina poprečnog presjeka mu je 200 * 200 mm2, α = 90- β

Pronalaženje glavnog stresa

jer razmatran je slučaj linearnog naponskog stanja

Za grafička definicija napona biramo koordinatni sistem σ – τ. Na osi σ iscrtavamo naprezanje σ 1 na odabranoj skali u obliku segmenta OM, koji dijelimo na pola, i iscrtavamo kružnicu sa segmentom. Iz tačke M (pola Mohrove kružnice) povučemo pravu paralelnu sa AB ili paralelno sa normalnim do AV. Dobijamo tačku D preseka prave sa kružnicom. Apscisa OD1 će predstavljati σ α =37 MPa, a ordinata DD1 - τ α =21,5 MPa.

OPŠTI HOOKOV ZAKON U OPŠTEM SLUČAJU STRESNOG STANJA.

Kada se proučavaju deformacije u slučaju opsežnog naponskog stanja, pretpostavlja se da materijal poštuje Hookeov zakon i da su deformacije male.

Razmotrimo element čije su dimenzije lica jednake a * b * c i na te strane djeluju glavni naponi σ 1, σ 2, σ 3.

Pretpostavlja se da su svi stresovi pozitivni. Usljed deformacije ivice elementa mijenjaju svoju dužinu i postaju jednake a+∆a, b+∆b, c+∆c. Omjer povećanja dužine rubova elemenata i njihove početne dužine dat će glavna relativna izduženja u glavnim smjerovima:

Pod dejstvom naprezanja σ 1 dužina rebra a dobiće relativno izduženje

Naponi σ 2 i σ 3 djeluju preko rebra a, pa će spriječiti njegovo izduživanje. Deformacije uzrokovane djelovanjem σ 2 , σ 3 u smjeru rebra a biće jednaki.