1°. Jednačine tangentne ravni i normale za slučaj eksplicitne specifikacije površine.
Razmotrimo jednu od geometrijskih primjena parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable. Neka funkcija z = f(x;y ) diferencibilan u jednoj tački (x0; u 0) neko područje DÎ R2. Izrežemo površinu S , prikazivanje funkcije z, avioni x = x 0 I y = y 0(Sl. 11).
Avion X = x0 prelazi površinu S duž neke linije z 0 (y ),čija se jednačina dobija zamjenom u izraz izvorne funkcije z==f(x;y ) umjesto X brojevi x 0 . Dot M 0 (x 0 ;y0,f(x 0 ;y 0)) pripada krivulji z 0 (y ). Zbog diferencijabilne funkcije z u tački M 0 funkcija z 0 (y ) je također diferencibilan u tački y = y 0 . Dakle, u ovoj tački u avionu x = x 0 do krivine z 0 (y ) tangenta se može povući l 1 .
Provođenje sličnog rezoniranja za odjeljak at = y 0 , konstruisati tangentu l 2 do krivine z 0 (x ) u tački X = x 0 - Direktno 1 1 I 1 2 definirati ravan tzv tangentna ravan na površinu S u tački M 0 .
Napravimo jednačinu za to. Pošto ravan prolazi kroz tačku Mo(x 0 ;y0;z0), tada se njegova jednačina može napisati kao
A (x - ho) + B (y - yo) + C (z - zo) \u003d 0,
koji se može prepisati ovako:
z -z 0 \u003d A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)
(dijeleći jednačinu sa -C i označavajući 
).
Hajde da nađemo A 1 i B1.
Tangentne jednačine 1 1 I 1 2 izgleda kao
respektivno.
Tangenta l 1 leži u ravni a , dakle koordinate svih tačaka l 1 zadovoljavaju jednačinu (1). Ova činjenica se može zapisati kao sistem
Rešavajući ovaj sistem u odnosu na B 1 dobijamo da . l 3, to je lako ustanoviti.
Zamjena vrijednosti A 1 i B 1 u jednačinu (1), dobijamo željenu jednačinu tangentne ravni:
Prava koja prolazi kroz tačku M 0 a okomita na tangentnu ravan konstruisanu u ovoj tački površine naziva se njena normalno.
Koristeći uslov okomitosti prave i ravni, lako je dobiti kanonske jednadžbe normale:
Komentar. Formule za tangentnu ravan i normalu na površinu dobijaju se za obične, odnosno ne singularne tačke na površini. Dot M 0 površina se zove poseban, ako su u ovom trenutku sve parcijalne derivacije jednake nuli ili barem jedan od njih ne postoji. Ne razmatramo takve tačke.
Primjer. Napišite jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu u njenoj tački M(2; -1; 1).
Rješenje. Pronađite parcijalne izvode ove funkcije i njihove vrijednosti u tački M
Dakle, primjenom formula (2) i (3) imat ćemo: z-1=2(x-2)+2(y+1) ili 2x+2y-z-1=0- jednačina tangentne ravni i 
su normalne jednačine.
2°. Tangentna ravan i normalne jednadžbe za slučaj implicitne specifikacije površine.
Ako površina S dato jednačinom F(x; y;z)= 0, onda jednačine (2) i (3), uzimajući u obzir činjenicu da se parcijalni izvod mogu naći kao izvod implicitne funkcije.
Jednačina normalne ravni
1.
4.
Tangentna ravan i normalna površina
Neka je data neka površina, A je fiksna tačka površine, a B je promenljiva tačka površine,
(Sl. 1).
Ne-nula vektor
| → |
| n |
|
Površinska tačka F (x, y, z) = 0 naziva se običnom ako je u ovoj tački
- parcijalni derivati F " x , F " y , F " z su kontinuirani;
- (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .
Ako je barem jedan od ovih uvjeta prekršen, poziva se tačka na površini singularna tačka površine .
Teorema 1. Ako je M(x 0 , y 0 , z 0 ) je obična tačka površine F (x , y , z) = 0 , tada je vektor
|
(1) |
je normalna na ovu površinu u tački M (x 0 , y 0 , z 0 ) .
Dokaz dat u knjizi I.M. Petruško, L.A. Kuznjecova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Kurs višu matematiku: Integralni račun. Funkcije nekoliko varijabli. Diferencijalne jednadžbe. M.: Izdavačka kuća MEI, 2002 (str. 128).
Normalno na površinu u nekoj tački naziva se prava čiji je vektor pravca normalan na površinu u ovoj tački i koja prolazi kroz ovu tačku.
Canonical normalne jednačine može se predstaviti kao
|
(2) |
Tangentna ravan na površinu u nekoj tački naziva se ravan koja prolazi kroz ovu tačku okomito na normalu na površinu u toj tački.
Iz ove definicije proizilazi da jednačina tangentne ravni izgleda kao:
Ako je tačka na površini singularna, tada vektor normalan na površinu možda ne postoji, pa prema tome površina možda nema normalnu i tangentnu ravan.
geometrijskog smisla totalni diferencijal funkcije dvije varijable
Neka je funkcija z = f (x , y) diferencijabilna u tački a (x 0 , y 0 ) . Njegov graf je površina
f (x, y) − z = 0.
Stavimo z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Tada tačka A (x 0 , y 0 , z 0 ) pripada površini.
Parcijalni izvod funkcije F (x, y, z) = f (x, y) − z su
F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1
i u tački A (x 0 , y 0 , z 0 )
- oni su kontinuirani;
- F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0 .
Dakle, A je obična tačka površine F (x, y, z) i u ovoj tački postoji tangentna ravan na površinu. Prema (3), jednadžba tangentne ravni ima oblik:
f "x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.
Vertikalni pomak tačke na tangentnoj ravni tokom prelaska iz tačke a (x 0 , y 0 ) u proizvoljnu tačku p (x , y) je B Q (slika 2). Odgovarajući prirast aplikacije je
(z - z 0 ) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)
Ovdje na desnoj strani je diferencijal d z funkcije z = f (x, y) u tački a (x 0 , x 0 ). shodno tome,
d f (x 0 , y 0 ). je inkrement primjene tačke tangente ravni na graf funkcije f (x, y) u tački (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )).
Iz definicije diferencijala slijedi da je udaljenost između tačke P na grafu funkcije i tačke Q na tangentnoj ravni beskonačno mala više high order nego udaljenost od tačke p do tačke a.
Graf funkcije 2 varijable z = f(x, y) je površina na koju se projektuje XOY avion u domenu funkcije D.
Razmotrite površinu σ
, dato jednadžbom z = f(x,y) , gdje je f(x,y) diferencijabilna funkcija, a neka je M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) fiksna tačka na površini σ, tj. z0 = f(x0,y0). Imenovanje. Online kalkulator je dizajniran za pronalaženje tangentne ravni i normalne jednačine površine. Odluka se donosi u Word formatu. Ako trebate pronaći jednadžbu tangente na krivulju (y = f(x)), onda morate koristiti ovu uslugu.
Pravila unosa funkcije:
Pravila unosa funkcije:
Tangentna ravan na površinu σ
na njenom mestu M 0 je ravan u kojoj leže tangente na sve krive nacrtane na površini σ
kroz tačku M 0 .
Jednadžba tangentne ravni na površinu, dato jednačinom z = f(x,y) , u tački M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ima oblik:
z - z 0 \u003d f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f ' y (x 0, y 0) (y - y 0)
Vektor se naziva vektor normalne površine σ u tački M 0 . Vektor normale je okomit na tangentnu ravan.
Normalno na površinu σ u tački M 0 je prava linija koja prolazi kroz ovu tačku i ima smjer vektora N.
Kanonske jednadžbe normale na površinu date jednadžbom z = f(x,y) u tački M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), gdje je z 0 = f(x 0 ,y 0), imaju oblik:
Primjer #1. Površina je data jednadžbom x 3 +5y . Naći jednačinu tangentne ravni na površinu u tački M 0 (0;1).
Rješenje. Zapišimo jednačine tangente u opšti pogled: z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
Po uslovu problema x 0 = 0, y 0 = 1, tada je z 0 = 5
Pronađite parcijalne izvode funkcije z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
U tački M 0 (0,1), vrijednosti parcijalnih izvoda:
f"x(0;1) = 0
f" y (0; 1) = 5
Koristeći formulu, dobijamo jednačinu tangentne ravni na površinu u tački M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) ili -5 y + z = 0
Primjer #2. Površina je data implicitno y 2 -1/2*x 3 -8z. Naći jednačinu tangentne ravni na površinu u tački M 0 (1;0;1).
Rješenje. Nalazimo parcijalne izvode funkcije. Pošto je funkcija data u implicitnom obliku, tražimo izvode po formuli: 
Za našu funkciju:
onda: 
U tački M 0 (1,0,1) vrijednosti parcijalnih izvoda:
f "x (1; 0; 1) \u003d -3 / 16
f"y(1;0;1) = 0
Koristeći formulu, dobijamo jednadžbu tangentne ravnine na površinu u tački M 0: z - 1 \u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) ili 3 / 16 x + z- 19 / 16 \u003d 0
Primjer. Površina σ
dato jednačinom z= y/x + xy – 5x 3 . Naći jednadžbu tangentne ravni i normale na površinu σ
u tački M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) pripada ako x 0 = –1, y 0 = 2.
Nađimo parcijalne izvode funkcije z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' x \u003d - y / x 2 + y – 15x 2 ;
f y' ( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Dot M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) pripada površini σ
, tako da možemo izračunati z 0 , zamjenjujući dato x 0 = -1 i y 0 = 2 u jednadžbi površine:
z= y/x + xy – 5x 3
z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.U tački M 0 (–1, 2, 1) vrijednosti parcijalnih izvoda:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; fy'( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Koristeći formulu (5) dobijamo jednačinu tangentne ravni na površinu σ u tački M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Koristeći formulu (6) dobijamo kanonske jednadžbe normale na površinu σ u tački M 0:
.
Odgovori: jednačina tangentne ravni: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; normalne jednadžbe:
.
Primjer #1. Date su funkcije z = f (x, y) i dvije točke A (x 0, y 0) i B (x 1, y 1). Potrebno: 1) izračunati vrijednost z 1 funkcije u tački B; 2) izračunati približnu vrednost z 1 funkcije u tački B na osnovu vrednosti z 0 funkcije u tački A, zamenjujući prirast funkcije pri prelasku iz tačke A u tačku B sa diferencijalom; 3) sastaviti jednačinu tangentne ravni na površinu z = f(x,y) u tački C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Rješenje.
Tangentne jednadžbe zapisujemo u opštem obliku:
z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
Prema uslovu zadatka x 0 = 1, y 0 = 2, tada je z 0 = 25
Pronađite parcijalne izvode funkcije z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f "x (x, y) = (x 2 +3 x y + y 2)" x \u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y = 9 x y 2
U tački M 0 (1.2), vrijednosti parcijalnih izvoda:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Koristeći formulu, dobijamo jednačinu tangentne ravni na površinu u tački M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
ili
-26x-36y+z+73 = 0
Primjer #2. Napišite jednadžbe tangentne ravni i normale na eliptični paraboloid z = 2x 2 + y 2 u tački (1;-1;3).
Definicija 1 : Tangentna ravan na površinu u datoj tački P (x 0, y 0, z 0) je ravan koja prolazi kroz tačku P i koja sadrži sve tangente konstruisane u tački P na sve moguće krive na ovoj površini koje prolaze kroz tačku P.
Neka je površina s data jednadžbom F (X, at, z) = 0 i tačka P (x 0 ,y 0 , z 0) pripada ovoj površini. Odaberimo neku krivulju na površini L prolazeći kroz tačku R.
Neka bude X = X(t), at = at(t), z = z(t) - parametarske jednačine linije L.
Pretpostavimo da je: 1) funkcija F(X, at, z) je diferencijabilna u tački R i nisu svi njegovi parcijalni derivati u ovoj tački jednaki nuli; 2) karakteristike X(t), at(t), z(t) također se mogu razlikovati.
Budući da kriva pripada površini s, koordinate bilo koje tačke ove krive, supstituirane u jednadžbu površine, pretvorit će je u identitet. Dakle, tačna je identična jednakost: F [x(t), at(t), z (t)]= 0.
Razlikovanje ovog identiteta u odnosu na varijablu t, koristeći lančano pravilo, dobijamo novu identičnu jednakost koja vrijedi u svim tačkama krive, uključujući i tačku P (x 0 ,y 0 , z 0):
Neka tačka P odgovara vrijednosti parametra t 0, tj x 0 = x (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Zatim posljednja relacija izračunata u tački R, poprima oblik
Ova formula je skalarni proizvod dva vektora. Prvi je konstantni vektor
nezavisno od izbora krivulje na površini.
Drugi vektor je tangentan u tački R do linije L, što znači da zavisi od izbora linije na površini, odnosno da je promenljivi vektor.
Uz uvedenu notaciju, jednakost:
prepiši kako.
Njegovo značenje je sljedeće: skalarni proizvod je jednak nuli, dakle, vektori i su okomiti. Odabirom svih mogućih krivulja koje prolaze kroz tačku R na površini s imaćemo različite tangentne vektore izgrađene u tački R na ove redove vektor ne zavisi od ovog izbora i bit će okomit na bilo koji od njih, odnosno svi vektori tangente se nalaze u istoj ravni, koja je, po definiciji, tangentna na površinu s, a tačku R u ovom slučaju se naziva dodirna tačka. Vektor je vektor smjera normale na površinu.
Definicija 2: Normalna na površinu s u tački P je prava linija koja prolazi kroz tačku P i okomita na tangentnu ravan konstruisanu u ovoj tački.
Dokazali smo postojanje tangentne ravni i, posljedično, normale na površinu. Zapišimo njihove jednačine:
Jednačina tangentne ravni konstruisana u tački P (x0, y0, z0) na površinu s, data jednačinom F(x, y, z) = 0;
Jednačina normale izgrađene u tački R na površinu s.
primjer: Nađite jednadžbu površine nastalu rotacijom parabole:
z 2 = 2p (g +2)
oko y-ose, izračunajte pod pretpostavkom da je tačka M(3, 1, - 3) pripada površini. Naći jednačine normale i tangentne ravni na površinu u tački M.
Rješenje. Koristeći pravilo za pisanje okretne površine, dobijamo:
z 2 + x 2 = 2p (g +2) .
Zamjenom koordinata tačke M u ovu jednačinu izračunavamo vrijednost parametra p: 9 + 9 = 2p(1 + 2) . Zapisujemo konačni oblik okretne površine koja prolazi kroz tačku M:
z 2 + x 2 = 6 (g +2).
Sada pronađimo jednadžbe normale i tangentne ravni koristeći formule, za koje prvo izračunamo parcijalne izvode funkcije:
F(x, y) = z 2 + x 2- 6 (g +2):
Tada jednačina tangentne ravni poprima oblik 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 ili x - y - z - 5 = 0;