Kanonska jednadžba elipse ima oblik

gdje je a velika poluosa; b - mala poluosa. Tačke F1(c,0) i F2(-c,0) − c se nazivaju

a, b - poluose elipse.

Pronalaženje fokusa, ekscentriciteta, direktrise elipse ako je poznata njena kanonska jednačina.

Definicija hiperbole. Foci hiperbole.

Definicija. Hiperbola je skup tačaka u ravni za koji je modul razlike udaljenosti od dvije date tačke, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost, manja od udaljenosti između žarišta.

Po definiciji, |r1 – r2|= 2a. F1, F2 su fokusi hiperbole. F1F2 = 2c.

Kanonska jednadžba hiperbole. Poluosi hiperbole. Konstrukcija hiperbole ako je poznata njena kanonska jednadžba.

Kanonska jednadžba:

Velika poluosa hiperbole je polovina minimalne udaljenosti između dve grane hiperbole, na pozitivnoj i negativnoj strani ose (levo i desno u odnosu na ishodište). Za granu koja se nalazi na pozitivnoj strani, poluos će biti jednaka:

Ako ga izrazimo u terminima konusnog presjeka i ekscentriciteta, onda će izraz dobiti oblik:

Pronalaženje fokusa, ekscentriciteta, direktrise hiperbole ako je poznata njena kanonska jednadžba.

Ekscentricitet hiperbole

Definicija. Omjer se naziva ekscentricitet hiperbole, gdje je c -

polovina udaljenosti između žarišta, i prava je poluosa.

Uzimajući u obzir činjenicu da je c2 - a2 = b2:

Ako je a \u003d b, e \u003d, tada se hiperbola naziva jednakostranična (jednakostrana).

Direktise hiperbole

Definicija. Dvije prave okomite na realnu osu hiperbole i smještene simetrično oko centra na udaljenosti a / e od njega nazivaju se direktrise hiperbole. Njihove jednačine su:

Teorema. Ako je r udaljenost od proizvoljne tačke M hiperbole do nekog fokusa, d je udaljenost od iste tačke do direktrise koja odgovara ovom fokusu, tada je omjer r/d konstantna vrijednost jednaka ekscentricitetu.

Definicija parabole. Fokus i direktrisa parabole.

Parabola. Parabola je mjesto tačaka, od kojih je svaka jednako udaljena od date fiksne tačke i od date fiksne prave. Tačka na koju se pominje definicija naziva se fokus parabole, a prava se naziva njena direktrisa.

Kanonska jednadžba parabole. parabola parametar. Konstrukcija parabole.

Kanonska jednadžba parabole u pravougaonom koordinatnom sistemu je: (ili ako su ose obrnute).

Konstrukcija parabole za datu vrijednost parametra p izvodi se sljedećim redoslijedom:

Nacrtajte os simetrije parabole i položite na nju segment KF=p;

Direktrisa DD1 povučena je kroz tačku K okomitu na osu simetrije;

Segment KF je podijeljen na pola da bi se dobio vrh 0 parabole;

Broj proizvoljnih tačaka 1, 2, 3, 5, 6 se mjeri od vrha sa postupnim rastojanjem između njih;

Kroz ove tačke povlače se pomoćne linije okomito na osu parabole;

Na pomoćnim pravim linijama serifi se izrađuju s radijusom jednakim udaljenosti od prave do direktrise;

Rezultirajuće tačke su povezane glatkom krivom.

bodova F 1 (–c, 0) i F 2 (c, 0), gdje se pozivaju elipse trikovi , dok je vrijednost 2 c definiše međufokalna udaljenost .

bodova ALI 1 (–ali, 0), ALI 2 (ali, 0), IN 1 (0, –b), B 2 (0, b) su pozvani vrhove elipse (Sl. 9.2), dok ALI 1 ALI 2 = 2ali formira glavnu osu elipse, i IN 1 IN 2 - mali, - centar elipse.

Glavni parametri elipse, koji karakteriziraju njen oblik:

ε = od/a – ekscentricitet elipse ;

– žarišne radijuse elipse (tačka M pripada elipsi), i r 1 = a + εx, r 2 = a – εx;

– elipse directrix .

Za elipsu vrijedi: direktrise ne prelaze granicu i unutrašnjost elipse, a također imaju svojstvo

Ekscentricitet elipse izražava njenu mjeru "kompresije".

Ako b > a> 0, tada je elipsa data jednačinom (9.7), za koju je, umjesto uvjeta (9.8), uvjet

Zatim 2 ali- mala osa, 2 b- glavna osa, - trikovi (slika 9.3). Gde r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, direktrise su određene jednadžbama:

Pod uslovom imamo (u obliku posebnog slučaja elipse) krug poluprečnika R = a. Gde od= 0, što znači ε = 0.

Tačke elipse imaju karakteristično svojstvo : zbir udaljenosti od svakog od njih do žarišta je konstantna vrijednost jednaka 2 ali(Sl. 9.2).

Za parametarska definicija elipse (formula (9.7)) u slučajevima kada su ispunjeni uslovi (9.8) i (9.9), kao parametar t može se uzeti vrijednost ugla između radijus vektora tačke koja leži na elipsi i pozitivnog smjera ose Ox:

Ako je centar elipse sa poluosi u tački, onda je njena jednadžba:

Primjer 1 Dajte jednačinu elipse x 2 + 4y 2 = 16 kanonskom obliku i odredite njegove parametre. Nacrtajte elipsu.

Rješenje. Podijelite jednačinu x 2 + 4y 2 \u003d 16 sa 16, nakon čega dobijamo:

Po obliku rezultirajuće jednačine zaključujemo da je ovo kanonska jednačina elipse (formula (9.7)), gdje je ali= 4 - glavna os, b= 2 – mala poluosa. Dakle, vrhovi elipse su tačke A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2(0, 2). Pošto je polovina međufokalne udaljenosti, tačke su fokusi elipse. Izračunajmo ekscentricitet:

Direktorice D 1 , D 2 su opisane jednadžbama:

Prikazujemo elipsu (slika 9.4).

Primjer 2 Definirajte parametre elipse

Rješenje. Hajde da uporedimo zadata jednačina sa kanonskom jednacinom elipse sa pomerenim centrom. Pronalaženje centra elipse OD Osovine: velika polu osa, mala polu osa, ravna - glavne ose. Polovina interfokalne daljine, što znači da su fokusi ekscentricitet Directrixa D 1 i D 2 se može opisati pomoću jednačina: (Slika 9.5).

Primjer 3 Odredite koju krivu daje jednačina, nacrtajte je:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Rješenje. 1) Dovodimo jednačinu u kanonski oblik odabirom punog kvadrata binoma:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Dakle, jednačina se može svesti na oblik

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Ovo je jednadžba kružnice sa centrom na (–2, 1) i polumjerom R= 1 (slika 9.6).

2) Odaberemo pune kvadrate binoma na lijevoj strani jednadžbe i dobijemo:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Ova jednadžba nema smisla na skupu realni brojevi, budući da je lijeva strana nenegativna za bilo koje realne vrijednosti varijabli x I y, dok je desna negativna. Stoga kažu da je ova jednačina "imaginarni krug" ili da definira prazan skup tačaka u ravni.

3) Odaberite pune kvadrate:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Dakle, jednačina izgleda ovako:

Rezultirajuća jednačina, a time i originalna, definira elipsu. Centar elipse je u tački O 1 (1, –2), glavne ose su date jednadžbama y = –2, x= 1, i glavna poluosa ali= 4, mala poluosa b= 2 (slika 9.7).

4) Nakon odabira punih kvadrata, imamo:

(x – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 ili ( x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Rezultirajuća jednačina definira jednu tačku ravnine sa koordinatama (1, –2).

5) Dovodimo jednačinu u kanonski oblik:

Očigledno, on definira elipsu, čiji je centar u tački u kojoj su glavne ose date jednadžbama gdje je glavna poluosa mala poluosa (slika 9.8).

Primjer 4 Napišite jednadžbu tangente na krug radijusa 2 sa središtem u desnom fokusu elipse x 2 + 4y 2 = 4 u tački preseka sa y-osom.

Rješenje. Jednačinu elipse svodimo na kanonski oblik (9.7):

Dakle, desni fokus - Dakle, željena jednačina kružnice poluprečnika 2 ima oblik (slika 9.9):

Krug siječe y-osu u tačkama čije su koordinate određene iz sistema jednačina:

Dobijamo:

Neka to budu bodovi N(0; -1) i M(0; 1). Dakle, moguće je konstruisati dvije tangente, označiti ih T 1 i T 2. Prema dobro poznatom svojstvu, tangenta je okomita na polumjer povučen do točke dodira.

Neka onda jednačina tangente T 1 će imati oblik:

Tako bilo T 1: To je ekvivalentno jednačini

Definicija 7.1. Skup svih tačaka na ravni za koje je zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke F 1 i F 2 zadana konstanta naziva se elipsa.

Definicija elipse daje sljedeći način geometrijska konstrukcija. Dve tačke F 1 i F 2 fiksiramo na ravni, a nenegativnu konstantnu vrednost označavamo sa 2a. Neka je udaljenost između tačaka F 1 i F 2 jednaka 2c. Zamislite da je nerastavljiva nit dužine 2a fiksirana u tačkama F 1 i F 2, na primjer, uz pomoć dvije igle. Jasno je da je to moguće samo za a ≥ c. Povlačeći nit olovkom, nacrtajte liniju koja će biti elipsa (slika 7.1).

Dakle, opisani skup nije prazan ako je a ≥ c. Kada je a = c, elipsa je segment sa krajevima F 1 i F 2, a kada je c = 0, tj. ako se fiksne tačke navedene u definiciji elipse poklapaju, to je krug poluprečnika a. Odbacujući ove degenerisane slučajeve, dalje ćemo pretpostavljati, po pravilu, da je a > c > 0.

Fiksne tačke F 1 i F 2 u definiciji 7.1 elipse (vidi sliku 7.1) nazivaju se elipse trikovi, udaljenost između njih, označena sa 2c, - žižna daljina, i segmenti F 1 M i F 2 M, koji povezuju proizvoljnu tačku M na elipsi sa njenim fokusima, - žarišne radijuse.

Oblik elipse u potpunosti je određen žižnom daljinom |F 1 F 2 | = 2s i parametar a, a njegov položaj na ravni - parom tačaka F 1 i F 2 .

Iz definicije elipse proizilazi da je ona simetrična u odnosu na pravu liniju koja prolazi kroz žarišta F 1 i F 2, kao i na pravu liniju koja dijeli segment F 1 F 2 na pola i okomita je na njega (sl. 7.2, a). Ove linije se nazivaju elipse osi. Tačka O njihovog presjeka je centar simetrije elipse, a naziva se centar elipse, i tačke preseka elipse sa osama simetrije (tačke A, B, C i D na slici 7.2, a) - vrhove elipse.

Poziva se broj a velika poluosa elipse, i b = √ (a 2 - c 2) - its mala poluosovina. Lako je vidjeti da je za c > 0 glavna poluosa a jednaka udaljenosti od centra elipse do onih njenih vrhova koji su na istoj osi kao i žarišta elipse (vrhovi A i B na sl. 7.2, a), a mala poluosa b jednaka je udaljenosti od centralne elipse do njena druga dva vrha (vrhovi C i D na slici 7.2, a).

Jednadžba elipse. Posmatrajmo neku elipsu na ravni sa fokusima u tačkama F 1 i F 2, velika osa 2a. Neka je 2c žižna daljina, 2c = |F 1 F 2 |

Na ravni biramo pravougaoni koordinatni sistem Oxy tako da se njegovo ishodište poklapa sa centrom elipse, a fokusi su na apscisa(Sl. 7.2, b). Ovaj koordinatni sistem se zove kanonski za elipsu koja se razmatra, a odgovarajuće varijable su kanonski.

U odabranom koordinatnom sistemu fokusi imaju koordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Koristeći formulu za rastojanje između tačaka, zapisujemo uslov |F 1 M| + |F 2 M| = 2a u koordinatama:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ova jednadžba je nezgodna jer sadrži dva kvadratna radikala. Pa hajde da ga transformišemo. Drugi radikal u jednadžbi (7.2) prenosimo na desnu stranu i kvadriramo:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Nakon što otvorimo zagrade i smanjimo slične pojmove, dobijamo

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

gdje je ε = c/a. Ponavljamo operaciju kvadriranja da uklonimo drugi radikal: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ili, s obzirom na vrijednost unesenog parametra ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Pošto je a 2 - c 2 = b 2 > 0, onda

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Jednačina (7.4) je zadovoljena koordinatama svih tačaka koje leže na elipsi. Ali pri izvođenju ove jednadžbe korištene su neekvivalentne transformacije izvorne jednadžbe (7.2) - dvije kvadrature koje uklanjaju kvadratne radikale. Kvadriranje jednadžbe je ekvivalentna transformacija ako obje strane sadrže količine s istim predznakom, ali to nismo provjerili u našim transformacijama.

Možda nećemo provjeriti ekvivalentnost transformacija ako uzmemo u obzir sljedeće. Par tačaka F 1 i F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, na ravni definiše familiju elipsa sa fokusima u ovim tačkama. Svaka tačka ravni, osim tačaka segmenta F 1 F 2 , pripada nekoj elipsi navedene porodice. U ovom slučaju se dvije elipse ne seku, jer zbir žarišnih polumjera jednoznačno određuje određenu elipsu. Dakle, opisana porodica elipsa bez preseka pokriva celu ravan, osim tačaka segmenta F 1 F 2 . Razmotrimo skup tačaka čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (7.4) sa datom vrijednošću parametra a. Može li se ovaj skup rasporediti na nekoliko elipsa? Neke od tačaka skupa pripadaju elipsi sa velikom poluosom a. Neka u ovom skupu postoji tačka koja leži na elipsi sa velikom poluosom a. Tada koordinate ove tačke ispunjavaju jednačinu

one. jednačine (7.4) i (7.5) imaju zajednička rješenja. Međutim, lako je provjeriti da li je sistem

za ã ≠ a nema rješenja. Da biste to učinili, dovoljno je isključiti, na primjer, x iz prve jednadžbe:

što nakon transformacija dovodi do jednačine

nema rješenja za ã ≠ a, jer . Dakle, (7.4) je jednačina elipse sa velikom poluosom a > 0 i malom poluosi b = √ (a 2 - c 2) > 0. Zove se kanonska jednadžba elipse.

Pogled elipse. Gore razmatrana geometrijska metoda konstruisanja elipse daje dovoljnu ideju o tome izgled elipsa. Ali oblik elipse može se istražiti i uz pomoć njene kanonske jednačine (7.4). Na primjer, uzimajući u obzir y ≥ 0, možete izraziti y u terminima x: y = b√(1 - x 2 /a 2) i, nakon ispitivanja ove funkcije, izgraditi njen graf. Postoji još jedan način da se konstruiše elipsa. Krug poluprečnika a sa centrom u početku kanonskog koordinatnog sistema elipse (7.4) opisuje se jednačinom x 2 + y 2 = a 2 . Ako je komprimiran sa koeficijentom a/b > 1 uzduž y-osa, onda dobijete krivulju koja je opisana jednadžbom x 2 + (ya / b) 2 = a 2, tj. elipsom.

Napomena 7.1. Ako je isti krug komprimiran sa koeficijentom a/b

Ekscentričnost elipse. Omjer žižne daljine elipse i njene glavne ose se naziva ekscentricitet elipse i označeno sa ε. Za datu elipsu

kanonska jednačina (7.4), ε = 2c/2a = s/a. Ako su u (7.4) parametri a i b povezani nejednakošću a

Za c = 0, kada se elipsa pretvara u krug, i ε = 0. U drugim slučajevima, 0

Jednačina (7.3) je ekvivalentna jednačini (7.4) jer su jednačine (7.4) i (7.2) ekvivalentne. Prema tome, (7.3) je i jednačina elipse. Osim toga, relacija (7.3) je zanimljiva po tome što daje jednostavnu formulu bez radikala za dužinu |F 2 M| jedan od fokalnih radijusa tačke M(x; y) elipse: |F 2 M| = a + εx.

Slična formula za drugi žarišni radijus može se dobiti iz razmatranja simetrije ili ponavljanjem proračuna u kojem se, prije kvadriranja jednadžbe (7.2), prvi radikal prenosi na desnu stranu, a ne drugi. Dakle, za bilo koju tačku M(x; y) na elipsi (vidi sliku 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

i svaka od ovih jednačina je jednačina elipse.

Primjer 7.1. Nađimo kanonsku jednačinu elipse sa velikom poluosom 5 i ekscentricitetom 0,8 i konstruirajmo je.

Poznavajući veliku poluos elipse a = 5 i ekscentricitet ε = 0,8, nalazimo njenu malu poluos b. Budući da b = √ (a 2 - c 2), i c = εa = 4, onda b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Dakle, kanonska jednadžba ima oblik x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Da biste konstruirali elipsu, prikladno je nacrtati pravougaonik sa središtem na ishodištu kanonskog koordinatnog sistema, čije su stranice paralelne s osi simetrije elipse i jednake njenoj odgovarajuće ose (slika 7.4). Ovaj pravougaonik se siječe sa

ose elipse na njenim vrhovima A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), i sama elipsa je upisana u nju. Na sl. 7.4 takođe prikazuje fokuse F 1.2 (±4; 0) elipse.

Geometrijska svojstva elipse. Prepišimo prvu jednačinu u (7.6) kao |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Imajte na umu da je vrijednost a / ε - x za a > c pozitivna, jer fokus F 1 ne pripada elipsi. Ova vrijednost je udaljenost do vertikalne linije d: x = a/ε od tačke M(x; y) lijevo od ove prave. Jednačina elipse se može napisati kao

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

To znači da se ova elipsa sastoji od onih tačaka M (x; y) ravni za koje je odnos dužine žarišnog radijusa F 1 M i udaljenosti do prave linije d konstantna vrijednost jednaka ε (Sl. 7.5).

Prava d ima "dvostruku" - vertikalnu liniju d", simetričnu na d u odnosu na centar elipse, koja je data jednadžbom x \u003d -a / ε. U odnosu na d", elipsa je opisano na isti način kao u odnosu na d. Oba pravca d i d" se zovu elipse direktrise. Direktrise elipse su okomite na os simetrije elipse, na kojoj se nalaze njena žarišta, a odvojene su od središta elipse na udaljenosti a / ε \u003d a 2 / c (vidi sliku 7.5) .

Udaljenost p od direktrise do njoj najbližeg fokusa naziva se fokalni parametar elipse. Ovaj parametar je jednak

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elipsa ima još jednu važnu geometrijsko svojstvo: žarišni radijusi F 1 M i F 2 M čine jednake uglove sa tangentom elipse u tački M (slika 7.6).

Ova nekretnina ima čist fizičko značenje. Ako se izvor svjetlosti postavi u fokus F 1, tada će snop koji izlazi iz ovog fokusa, nakon refleksije od elipse, ići duž drugog žarišnog radijusa, budući da će nakon refleksije biti pod istim kutom u odnosu na krivu kao prije refleksije. . Tako će svi zraci koji napuštaju fokus F 1 biti koncentrisani u drugom fokusu F 2 i obrnuto. Na osnovu ovog tumačenja, ovo svojstvo se zove optičko svojstvo elipse.

Elipsa

Elipsa. Fokusira. Jednadžba elipse. Žižna daljina.

Velika i mala osa elipse. Ekscentričnost. Jednačina

tangenta na elipsu. Uvjet tanencije između prave i elipse.

Elipsa (sl.1 ) je mjesto tačaka, zbir udaljenosti od kojih do dvije date tačke F 1 i F 2 zove trikovi elipsa je konstantna vrijednost.

Jednadžba elipse (Slika .1):

Evo porijekloje centar simetrije elipse, ali koordinatne ose su njegove ose simetrije. Ata > bžarišta elipse leže na osi OH (Sl. 1) , at a< b žarišta elipse leže na osi O Y, i kada a= belipsa postaje krug(žarišta elipse u ovom slučaju poklapaju se sa centrom kružnice). Na ovaj način, krug je poseban slučaj elipse .

Odjeljak F 1 F 2 = 2 od, gdje , zove se žižna daljina . OdjeljakAB = 2 apozvao velika osa elipse , i segment CD = 2 b – sporedna os elipsa . Broje = c / a , e < 1 называется ekscentričnost elipsa .

Neka bude R(X 1 , at 1 ) je onda tačka elipsejednačina tangente na elipsu in