Parcijalni izvod funkcija dviju varijabli.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dvije varijable i razmotriti, možda, najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalni derivati ​​prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Vanredni studenti se, po pravilu, suočavaju sa parcijalnim derivatima u 1. godini u 2. semestru. Štaviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih izvoda gotovo se uvijek nalazi na ispitu.

Za efikasno učenje materijal u nastavku neophodno biti u stanju da više ili manje pouzdano pronađe "uobičajene" derivate funkcije jedne varijable. Na lekcijama možete naučiti kako pravilno rukovati izvedenicama Kako pronaći derivat? i Derivat složene funkcije. Potrebna nam je i tabela izvedenica elementarne funkcije i pravila diferencijacije, najpogodnije je ako je pri ruci u štampanom obliku. Uzmi ga referentni materijal moguće na stranici Matematičke formule i tabele.

Hajde da brzo ponovimo koncept funkcije dvije varijable, pokušat ću se ograničiti na minimum. Funkcija dvije varijable se obično piše kao , pri čemu se varijable pozivaju nezavisne varijable ili argumentima.

Primjer: - funkcija dvije varijable.

Ponekad se koristi notacija. Postoje i zadaci u kojima se umjesto slova koristi slovo.

Sa geometrijske tačke gledišta, funkcija dvije varijable je najčešće površina trodimenzionalnog prostora (ravnina, cilindar, lopta, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, u stvari, ovo je već više analitička geometrija i imamo na dnevnom redu matematička analiza, koji mi nikada nije dozvolio da otpišem svog profesora na fakultetu je moj "konj".

Prelazimo na pitanje pronalaženja parcijalnih izvoda prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one od vas koji su popili nekoliko šoljica kafe i raspoloženi za nezamislivo težak materijal: parcijalni derivati ​​su skoro isti kao i "obični" derivati ​​funkcije jedne varijable.

Za parcijalne izvode vrijede sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika koje ćemo sada upoznati:

... da, usput, za ovu temu jesam kreirao mala pdf knjiga, što će vam omogućiti da "napunite ruku" za samo par sati. Ali, koristeći stranicu, vi ćete, naravno, dobiti i rezultat - samo možda malo sporije:

Primjer 1

Naći parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije

Prvo, nalazimo parcijalne izvode prvog reda. Ima ih dvoje.

Notacija:
ili - parcijalni izvod u odnosu na "x"
ili - djelomični izvod u odnosu na "y"

Počnimo sa . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", tada se varijabla smatra konstantom (konstantnim brojem).

Komentari na preduzete radnje:

(1) Prva stvar koju radimo kada pronađemo parcijalni izvod je da zaključimo sve funkcija u zagradama ispod crtice sa indeksom.

Pažnja važna! Subscripts NE GUBE u toku rješenja. U ovom slučaju, ako negdje izvan nacrtate „crticu“, onda ga učitelj barem može staviti pored zadatka (odmah odgristi dio bodova zbog nepažnje).

(2) Koristite pravila diferencijacije , . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba pravila se mogu primijeniti u istom koraku. Obratite pažnju na prvi pojam: od smatra se konstantom, a svaka konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije, onda ga vadimo iz zagrada. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Pogledajmo sada treći pojam: ovdje, naprotiv, nema šta da se izvadi. Pošto je konstanta, ona je i konstanta, i u tom smislu nije ništa bolja od posljednjeg pojma – „sedam“.

(3) Koristimo tablične derivate i .

(4) Mi pojednostavljujemo, ili, kako ja volim da kažem, "kombinujemo" odgovor.

Sad . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "y", tada je varijablasmatra se konstantnim (konstantnim brojem).

(1) Koristimo ista pravila diferencijacije , . U prvom članu vadimo konstantu izvan predznaka derivacije, u drugom se ne može ništa izvaditi jer je već konstanta.

(2) Koristimo tablicu izvoda elementarnih funkcija. Mentalno promijenite u tabeli sve "X" u "Y". tj data tabela jednako vrijedi za (i zaista za gotovo svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Šta je značenje parcijalnih izvoda?

U svojoj osnovi parcijalni derivati ​​1. reda liče "obični" derivat:

- Ovo funkcije, koji karakterišu stopa promjene funkcionira u smjeru osi i respektivno. Tako, na primjer, funkcija karakteriše strminu "uspona" i "kosine" površine u smjeru ose apscise, a funkcija nam govori o "reljefu" iste površine u smjeru ose ordinate.

! Bilješka : ovdje se odnosi na upute koje su paralelne koordinatne ose.

Radi boljeg razumijevanja, razmotrimo određenu tačku ravnine i izračunamo vrijednost funkcije (“visine”) u njoj:
- a sada zamislite da ste ovdje (NA SAMOJ površini).

Izračunavamo parcijalni izvod u odnosu na "x" u datoj tački:

Negativni predznak derivata "X" nam govori o tome silazno funkcionira u tački u smjeru x-ose. Drugim riječima, ako napravimo mali-mali (beskonačno malo) korak prema vrhu ose (paralelno sa ovom osom), zatim se spustite niz padinu površine.

Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru y-ose:

Izvod u odnosu na "y" je pozitivan, dakle, u tački duž ose, funkcija povećava. Ako je sasvim jednostavno, onda nas čeka uspon uzbrdo.

Osim toga, parcijalni izvod u tački karakterizira stopa promjene funkcioniše u relevantnom pravcu. Što je veća rezultujuća vrijednost modulo- što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru ose apscise je strmiji od "planine" u smjeru ose ordinate.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da od tačke na kojoj se nalazimo, (i općenito iz bilo koje tačke date površine) možemo krenuti u nekom drugom pravcu. Stoga postoji interes za sastavljanje opće "navigacijske karte" koja bi nam govorila o "pejzažu" površine. ako je moguće u svakoj tački opseg ove funkcije na sve dostupne načine. O ovome i drugim zanimljivostima govoriću u jednoj od narednih lekcija, ali za sada, vratimo se tehničkoj strani problema.

Sistematiziramo osnovna primijenjena pravila:

1) Kada razlikujemo po , tada se varijabla smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija vrši prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tabela izvoda elementarnih funkcija važe i važe za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) u odnosu na koju se vrši diferencijacija.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne derivate drugog reda. Ima ih četiri.

Notacija:
ili - drugi izvod u odnosu na "x"
ili - drugi derivat u odnosu na "y"
ili - mješovito izvod "x po y"
ili - mješovito izvedenica "Y sa X"

Sa drugom izvodom nema problema. razgovor običan jezik, drugi izvod je derivat prvog izvoda.

Radi praktičnosti, prepisat ću parcijalne derivate prvog reda koji su već pronađeni:

Prvo nalazimo mješovite derivate:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalni izvod i ponovo ga diferenciramo, ali u ovom slučaju već sa "y".

Slično:

U praktičnim primjerima, možete se fokusirati na sljedeću jednakost:

Tako je preko mješovitih izvoda drugog reda vrlo zgodno provjeriti da li smo pravilno pronašli parcijalne izvode prvog reda.

Nalazimo drugi izvod u odnosu na "x".
Nema izuma, pretpostavljamo i ponovo ga razlikovati sa "X":

Slično:

Treba napomenuti da kada pronađete , morate pokazati povećana pažnja, pošto ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih testirale.

Drugi derivati ​​također nalaze širok praktična upotreba, posebno se koriste u problemu pronalaženja ekstremi funkcije dvije varijable. Ali sve ima svoje vreme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne izvode prvog reda funkcije u točki . Pronađite derivate drugog reda.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći derivat? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti kako pronaći slične derivate u hodu.

Uzmimo u ruke više teški primjeri:

Primjer 3

Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Nalazimo parcijalne izvode prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: pored "x" nije zabranjeno pisati u zagradama da je to konstanta. Ova oznaka može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snašli u rješenju.

Dalji komentari:

(1) Izvodimo sve konstante izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i, stoga, njihov proizvod se smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Sve konstante uzimamo iz predznaka derivacije, u ovom slučaju konstanta je .

(2) Pod prostim brojem imamo proizvod dvije funkcije, stoga trebamo koristiti pravilo diferencijacije proizvoda .

(3) Ne zaboravite da je to složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivate drugog reda:

To znači da su svi proračuni tačni.

Napišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji se razmatra, nema smisla reći koliki je ukupni diferencijal funkcije dvije varijable. Važno je da ovaj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim problemima.

Totalni diferencijal prvog reda funkcije dvije varijable ima oblik:

U ovom slučaju:

Odnosno, u formuli trebate samo glupo samo zamijeniti već pronađene parcijalne derivate prvog reda. Diferencijalne ikone iu ovoj i sličnim situacijama, ako je moguće, bolje je pisati u brojiocima:

I na ponovljeni zahtjev čitalaca, puni diferencijal drugog reda.

izgleda ovako:

PAŽLJIVO pronađite "jednoslovne" izvedenice 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravljajući udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto činilo teškim, uvijek se kasnije možete vratiti na derivate, nakon što naučite tehniku ​​diferencijacije:

Primjer 4

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije . Provjerite to. Napišite ukupni diferencijal prvog reda.

Razmotrimo niz primjera sa složenim funkcijama:

Primjer 5

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Odluka:

Primjer 6

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije). Kompletno rješenje Ne citiram, jer je prilično jednostavno

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbira

(2) Prvi član se u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu nema ničega što zavisi od "x" - samo "y". Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, u tom smislu se ništa ne bi promijenilo da se umjesto nje zada funkcija - to je ovdje bitno proizvod dvije funkcije, SVAKO zavisi od toga "X", te stoga morate koristiti pravilo diferencijacije proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferencijacije složena funkcija.

(1) Prvi član i u brojniku i u nazivniku sadrži “y”, stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje količnika: . Drugi član zavisi SAMO od "x", što znači da se smatra konstantom i pretvara se u nulu. Za treći član koristimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije.

Za one čitaoce koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, ispričat ću vam staru Mekhmatovljevu anegdotu za detant:

Jednom se pojavio zli derivat u prostoru funkcija i kako je sve razlikovao. Sve funkcije se raštrkaju na sve strane, niko se ne želi okrenuti! I samo jedna funkcija ne bježi nigdje. Izvod mu prilazi i pita:

"Zašto ne bježiš od mene?"

- Ha. Ali mene nije briga, jer ja sam "e na stepen x", a ti mi ne možeš ništa!

Na šta zli derivat sa podmuklim osmehom odgovara:

- Tu grešiš, ja ću te razlikovati po "y", pa ti neka bude nula.

Ko je shvatio šalu, savladao je derivate, bar za "trojku").

Primjer 8

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i primjer dizajna problema nalaze se na kraju lekcije.

Pa, to je skoro sve. Konačno, ne mogu a da ne obradujem matematičare još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svi imaju različit nivo matematičke obučenosti - ima ljudi (i ne tako rijetkih) koji vole da se takmiče sa težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko komplikovan koliko glomazan u smislu proračuna.

Parcijalni derivati ​​se koriste u dodjeli funkcijama više varijabli. Pravila za pronalaženje su potpuno ista kao i za funkcije jedne varijable, s jedinom razlikom što se jedna od varijabli mora smatrati konstantom (konstantnim brojem) u trenutku diferencijacije.

Formula

Parcijalni derivati ​​za funkciju dvije varijable $ z(x,y) $ zapisuju se u sljedećem obliku $ z"_x, z"_y $ i nalaze se pomoću formula:

Parcijalni derivati ​​prvog reda

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Parcijalni derivati ​​drugog reda

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

mješoviti derivat

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Parcijalni izvod kompleksne funkcije

a) Neka je $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, tada je derivacija kompleksne funkcije određena formulom:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Neka je $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, tada se parcijalni derivati ​​funkcije nalaze po formuli:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Parcijalni derivati ​​implicitno zadane funkcije

a) Neka je $ F(x,y(x)) = 0 $, tada je $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Neka je $ F(x,y,z)=0 $, tada je $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Primjeri rješenja

Primjer 1

Pronađite parcijalne izvode prvog reda $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Odluka

Da bismo pronašli parcijalni izvod u odnosu na $ x $, pretpostavit ćemo da je $ y $ konstantna vrijednost (broj): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Da biste pronašli parcijalni izvod funkcije u odnosu na $ y $, definirajte $ y $ kao konstantu: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo obezbediti detaljno rješenje. Moći ćete se upoznati s napretkom proračuna i prikupiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete kredit od nastavnika!

Odgovori

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Primjer 2

Pronađite parcijalne izvode funkcije drugog reda $ z = e^(xy) $

Odluka

Prvo morate pronaći prve izvode, a zatim, poznavajući ih, možete pronaći derivate drugog reda. Neka je $ y $ konstanta: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Postavimo sada $ x $ kao konstantnu vrijednost: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Poznavajući prve derivate, na sličan način nalazimo i druge. Postavi $y$ konstantu: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Postavi $x$ konstantu: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Sada ostaje pronaći mješoviti izvod. Možete razlikovati $ z"_x $ u odnosu na $ y $, ili možete razlikovati $ z"_y $ u odnosu na $ x $, jer prema teoremi $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Odgovori

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Primjer 4

Neka $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definiše implicitnu funkciju $ F(x,y,z) = 0 $. Pronađite parcijalne izvode prvog reda.

Odluka

Zapisujemo funkciju u formatu: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ i nalazimo izvode: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Odgovori

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Razmotrimo funkciju dvije varijable:

Pošto su varijable $x$ i $y$ nezavisne, možemo uvesti koncept parcijalnog izvoda za takvu funkciju:

Parcijalni izvod funkcije $f$ u tački $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ u odnosu na varijablu $x$ je granica

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \desno))(\Delta x)\]

Slično, možemo definirati parcijalni izvod u odnosu na varijablu $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \desno))(\Delta y)\]

Drugim riječima, da biste pronašli parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli, morate popraviti sve ostale varijable osim željene, a zatim pronaći običan izvod u odnosu na tu željenu varijablu.

Iz ovoga slijedi glavna tehnika za izračunavanje takvih izvoda: jednostavno uzmite u obzir da su sve varijable osim date konstantne, a zatim diferencirajte funkciju kao što biste razlikovali „običnu“ - s jednom promjenljivom. Na primjer:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \desno))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prosti ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Očigledno, parcijalni derivati ​​u odnosu na različite varijable daju različite odgovore - to je normalno. Mnogo je važnije razumjeti zašto smo, recimo, u prvom slučaju mirno izbacili $10y$ ispod znaka izvodnice, a u drugom slučaju potpuno poništili prvi član. Sve je to zbog činjenice da se sva slova, osim varijable po kojoj se provodi diferencijacija, smatraju konstantama: mogu se izvaditi, "spaliti" itd.

Šta je "parcijalni derivat"?

Danas ćemo govoriti o funkcijama nekoliko varijabli i njihovim parcijalnim derivatima. Prvo, koja je funkcija više varijabli? Do sada smo bili navikli da o funkciji razmišljamo kao o $y\left(x \right)$ ili $t\left(x \right)$, ili bilo kojoj varijabli i jednoj funkciji iz nje. Sada ćemo imati jednu funkciju i nekoliko varijabli. Kada se $y$ i $x$ promijene, vrijednost funkcije će se promijeniti. Na primjer, ako se $x$ udvostruči, vrijednost funkcije će se promijeniti, dok ako se promijeni $x$, a $y$ se ne promijeni, vrijednost funkcije će se promijeniti na isti način.

Naravno, funkcija više varijabli, baš kao i funkcija jedne varijable, može se diferencirati. Međutim, budući da postoji nekoliko varijabli, moguće je razlikovati prema različitim varijablama. U ovom slučaju nastaju specifična pravila koja nisu postojala pri diferenciranju jedne varijable.

Prije svega, kada razmatramo derivaciju funkcije bilo koje varijable, moramo naznačiti koju varijablu smatramo derivacijom - to se zove parcijalni izvod. Na primjer, imamo funkciju dvije varijable, i možemo je izračunati i u $x$ i u $y$ - dvije parcijalne derivacije svake od varijabli.

Drugo, čim fiksiramo jednu od varijabli i počnemo računati parcijalni izvod u odnosu na nju, tada se sve ostale uključene u ovu funkciju smatraju konstantama. Na primjer, u $z\left(xy \right)$, ako uzmemo u obzir parcijalni izvod u odnosu na $x$, onda gdje god naiđemo na $y$, smatramo je konstantom i tretiramo je upravo kao konstantu. Konkretno, kada računamo derivaciju proizvoda, možemo uzeti $y$ iz zagrade (imamo konstantu), a kada računamo derivaciju sume, ako negdje dobijemo izvod izraza koji sadrži $y$ a ne sadrži $x$, onda će izvod ovog izraza biti jednak "nuli" kao izvod konstante.

Na prvi pogled može izgledati da govorim o nečemu komplikovanom, a mnogi studenti se u početku zbune. Međutim, u parcijalnim derivatima nema ničeg natprirodnog, a sada ćemo to vidjeti na primjeru konkretnih problema.

Problemi s radikalima i polinomima

Zadatak #1

Kako ne bismo gubili vrijeme uzalud, od samog početka ćemo krenuti s ozbiljnim primjerima.

Dozvolite mi da počnem sa sljedećom formulom:

Ovo je standardna vrijednost tabele koju znamo iz standardnog kursa.

U ovom slučaju, izvod $z$ se izračunava na sljedeći način:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Opet, pošto korijen nije $x$, već neki drugi izraz, u ovom slučaju $\frac(y)(x)$, onda ćemo prvo koristiti standardnu ​​vrijednost tablice, a zatim, pošto korijen nije $ x $ i još jedan izraz, moramo pomnožiti našu derivaciju sa još jednom od ovog izraza u odnosu na istu varijablu. Počnimo sa sljedećim:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Vraćamo se našem izrazu i pišemo:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \desno)\]

U suštini, to je sve. Međutim, pogrešno je ostaviti ga u ovom obliku: takvu konstrukciju je nezgodno koristiti za daljnje proračune, pa hajde da je malo transformiramo:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Odgovor pronađen. Sada se pozabavimo $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Napišimo odvojeno:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Sada pišemo:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Gotovo.

Zadatak #2

Ovaj primjer je i jednostavniji i složeniji od prethodnog. Teže, jer ima više akcija, ali lakše, jer nema korijena i, osim toga, funkcija je simetrična u odnosu na $x$ i $y$, tj. ako zamijenimo $x$ i $y$, formula se ne mijenja. Ova napomena će dodatno pojednostaviti izračunavanje parcijalnog izvoda, tj. dovoljno je izračunati jedan od njih, au drugom samo zamijeniti $x$ i $y$.

Hajdemo na posao:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \desno ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \desno)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

izbrojimo:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Međutim, mnogi studenti ne razumiju takav zapis, pa ga pišemo ovako:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\levo(y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Tako smo se još jednom uvjerili u univerzalnost algoritma parcijalnih izvoda: bez obzira na to kako ih smatramo, ako se sva pravila ispravno primjenjuju, odgovor će biti isti.

Sada se pozabavimo još jednom parcijalnom derivacijom iz naše velike formule:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Zamjenjujemo rezultirajuće izraze u našu formulu i dobivamo:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ desno)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \desno))((\ lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \desno))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2 )))\]

$x$ uračunato. A da bismo izračunali $y$ iz istog izraza, nemojmo izvoditi isti niz radnji, već koristimo simetriju našeg originalnog izraza - jednostavno zamijenimo sve $y$ u našem originalnom izrazu sa $x$ i obrnuto:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \desno))((( \levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

Zbog simetrije smo ovaj izraz izračunali mnogo brže.

Nijanse rješenja

Svi rade za parcijalne derivate standardne formule, koje koristimo za obične, odnosno derivaciju količnika. U ovom slučaju, međutim, pojavljuju se njegove specifične karakteristike: ako uzmemo u obzir parcijalni izvod od $x$, onda kada ga dobijemo iz $x$, onda ga smatramo konstantom, pa će stoga njegov izvod biti jednak " nula".

Kao iu slučaju običnih derivata, količnik (jedan te isti) može se izračunati sa nekoliko Različiti putevi. Na primjer, ista konstrukcija koju smo upravo izračunali može se prepisati na sljedeći način:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Međutim, s druge strane, možete koristiti formulu iz zbira izvedenice. Kao što znamo, jednak je zbiru derivacija. Na primjer, napišimo sljedeće:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Sada, znajući sve ovo, pokušajmo raditi s ozbiljnijim izrazima, jer stvarne parcijalne derivacije nisu ograničene samo na polinome i korijene: postoje trigonometrija, logaritmi i eksponencijalna funkcija. Hajde da uradimo ovo.

Zadaci s trigonometrijskim funkcijama i logaritmima

Zadatak #1

Pišemo sljedeće standardne formule:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Naoružani ovim znanjem, pokušajmo riješiti:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Napišimo jednu varijablu posebno:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Nazad na naš dizajn:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Pronašli smo sve za $x$, sada uradimo proračune za $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Opet, razmislite o jednom izrazu:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \desno\]

Vraćamo se na izvorni izraz i nastavljamo rješenje:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Gotovo.

Zadatak #2

Napišimo formulu koja nam je potrebna:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Sada računajmo po $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Pronašao $x$. Računajući po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problem riješen.

Nijanse rješenja

Dakle, bez obzira iz koje funkcije uzmemo parcijalni izvod, pravila ostaju ista, bez obzira da li radimo s trigonometrijom, s korijenima ili s logaritmima.

Klasična pravila za rad sa standardnim derivatima ostaju nepromijenjena, a to su derivacija zbira i razlike, količnik i kompleksna funkcija.

Posljednja formula se najčešće nalazi u rješavanju problema s parcijalnim derivatima. Srećemo ih skoro svuda. Još nije bilo ni jednog zadatka da ga tamo nismo naišli. No, bez obzira koju formulu koristimo, ipak dodajemo još jedan zahtjev, naime, mogućnost rada s parcijalnim derivatima. Čim popravimo jednu varijablu, sve ostale su konstante. Konkretno, ako uzmemo u obzir parcijalni izvod izraza $\cos \frac(x)(y)$ u odnosu na $y$, onda je varijabla $y$, a $x$ ostaje konstantan svuda. Isti rad i obrnuto. Može se izvaditi iz predznaka izvoda, a derivacija same konstante će biti jednaka "nuli".

Sve to dovodi do činjenice da parcijalni derivati ​​istog izraza, ali s obzirom na različite varijable, mogu izgledati potpuno drugačije. Na primjer, razmotrite sljedeće izraze:

\[((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problemi s eksponencijalnim funkcijama i logaritmima

Zadatak #1

Započnimo pisanjem sljedeće formule:

\[((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Poznavajući ovu činjenicu, kao i derivaciju kompleksne funkcije, pokušajmo da izračunamo. Sada ću riješiti na dva različita načina. Prvi i najočitiji je derivat proizvoda:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\levo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Odvojeno riješimo sljedeći izraz:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Vraćamo se našem originalnom dizajnu i nastavljamo sa rješenjem:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

Sve, $x$ uračunato.

Međutim, kao što sam obećao, sada ćemo pokušati da izračunamo isti parcijalni izvod na drugačiji način. Da biste to učinili, obratite pažnju na sljedeće:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Hajde da to napišemo ovako:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Kao rezultat toga, dobili smo potpuno isti odgovor, ali se pokazalo da je količina proračuna manja. Da biste to učinili, bilo je dovoljno primijetiti da kada se proizvod množi, eksponenti se mogu zbrajati.

Sada brojimo po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Rešimo jedan izraz posebno:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Nastavimo sa rješenjem naše originalne konstrukcije:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Naravno, isti izvod bi se mogao izračunati i na drugi način, odgovor bi bio isti.

Zadatak #2

Računajmo po $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Izbrojimo jedan izraz posebno:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Nastavimo sa rješenjem originalne konstrukcije: $$

Evo odgovora.

Ostaje da pronađemo analogijom pomoću $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \desno)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Izbrojimo jedan izraz posebno kao i uvijek:

\[((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Nastavljamo rješavanje glavne strukture:

Sve se računa. Kao što vidite, u zavisnosti od toga koja se varijabla uzima za diferencijaciju, odgovori su potpuno različiti.

Nijanse rješenja

Evo živopisnog primjera kako se izvod iste funkcije može izračunati na dva različita načina. Pogledati ovdje:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ lijevo(1+\frac(1)(y)\desno)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \desno)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \desno)\ ]

Prilikom odabira različitih staza količina proračuna može biti različita, ali će odgovor, ako je sve urađeno ispravno, biti isti. Ovo se odnosi i na klasične i na parcijalne derivate. Pritom još jednom podsjećam: u zavisnosti od koje varijable se uzima derivacija, tj. diferencijacije, odgovor može biti potpuno drugačiji. pogledajte:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

U zaključku, da bismo konsolidirali sav ovaj materijal, pokušajmo nabrojati još dva primjera.

Zadaci s trigonometrijskom funkcijom i funkcijom s tri varijable

Zadatak #1

Napišimo ove formule:

\[((\left(((a)^(x)) \desno))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Hajde sada da rešimo naš izraz:

\[(((z)")_(x))=((\left((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Zasebno, razmotrite sljedeću konstrukciju:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Nastavljamo rješavati originalni izraz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Ovo je konačni odgovor privatne varijable na $x$. Sada brojimo po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Rešimo jedan izraz posebno:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Svoju konstrukciju rješavamo do kraja:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Zadatak #2

Na prvi pogled, ovaj primjer može izgledati prilično komplikovano, jer postoje tri varijable. Zapravo, ovo je jedan od najlakših zadataka u današnjem video tutorijalu.

Pronađi po $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \desno))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Sada se pozabavimo $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \desno))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \desno))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Našli smo odgovor.

Sada ostaje pronaći po $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Izračunali smo treću derivaciju, na kojoj je rješenje drugog problema u potpunosti završeno.

Nijanse rješenja

Kao što vidite, u ova dva primjera nema ništa komplikovano. Jedino što smo vidjeli je da se derivacija kompleksne funkcije često koristi i ovisno o tome koji parcijalni izvod razmatramo, dobijamo različite odgovore.

U posljednjem zadatku od nas je zatraženo da se bavimo funkcijom od tri varijable odjednom. U tome nema ništa loše, ali smo se na samom kraju pobrinuli da se svi bitno razlikuju jedni od drugih.

Ključne točke

Konačni zaključci iz današnjeg video tutorijala su sljedeći:

1. Parcijalni derivati ​​se smatraju na isti način kao i obični, dok se za izračunavanje parcijalnog izvoda u odnosu na jednu varijablu sve ostale varijable uključuju u ovu funkciju, uzimamo kao konstante.
2. Kada radimo s parcijalnim derivacijama, koristimo sve iste standardne formule kao i za obične derivacije: zbir, razliku, izvod proizvoda i količnika i, naravno, izvod kompleksne funkcije.

Naravno, samo gledanje ovog video tutorijala nije dovoljno za potpuno razumijevanje ove teme, tako da trenutno na mojoj web stranici za ovaj video postoji skup zadataka posvećenih današnjoj temi - idite, preuzmite, riješite ove zadatke i provjerite odgovor. I nakon toga nema problema sa parcijalnim derivatima ni na ispitima ni na dalje samostalan rad nećeš. Naravno, ovo nije posljednja lekcija višu matematiku, stoga posjetite našu web stranicu, dodajte VKontakte, pretplatite se na YouTube, lajkujte i ostanite s nama!

Neka je data funkcija. Kako su x i y nezavisne varijable, jedna od njih se može mijenjati dok druga ostaje nepromijenjena. Povećajmo nezavisnu varijablu x, zadržavajući vrijednost y nepromijenjenom. Tada će z dobiti inkrement, koji se naziva djelimično povećanje z za x i označava se sa . Dakle, .

Slično, dobijamo parcijalni prirast z u odnosu na y: .

Pun prirast funkcija z je definirana jednakošću .

Ako postoji granica, onda se naziva parcijalni izvod funkcije u tački u odnosu na varijablu x i označava se jednim od simbola:

.

Parcijalne derivacije u odnosu na x u tački obično se označavaju simbolima .

Parcijalni izvod u odnosu na varijablu y definiran je i označen na sličan način:

Dakle, parcijalni izvod funkcije nekoliko (dvije, tri ili više) varijabli definira se kao derivacija funkcije jedne od ovih varijabli, podložna konstantnosti vrijednosti preostalih nezavisnih varijabli. Stoga se parcijalni izvod funkcije pronalazi prema formulama i pravilima za izračunavanje izvoda funkcije jedne varijable (u ovom slučaju, x ili y se smatraju konstantnom vrijednošću).

Parcijalni derivati ​​se također nazivaju parcijalnim derivatima prvog reda. One se mogu smatrati funkcijama . Ove funkcije mogu imati parcijalne izvode, koje se nazivaju parcijalne derivacije drugog reda. Oni su definisani i označeni na sledeći način:

; ;

; .

Diferencijali 1. i 2. reda funkcije dvije varijable.

Ukupni diferencijal funkcije (formula 2.5) naziva se diferencijal prvog reda.

Formula za izračunavanje ukupnog diferencijala je sljedeća:

(2.5) ili , gdje ,

parcijalni diferencijali funkcije .

Neka funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda. Diferencijal drugog reda određuje se formulom . Hajde da ga pronađemo:

Odavde: . Simbolično je napisano ovako:

.

NEODREĐENI INTEGRAL.

Antiderivat funkcije, neodređeni integral, svojstva.

Poziva se funkcija F(x). primitivno za datu funkciju f(x), ako je F"(x)=f(x), ili, što je isto, ako je dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Ako funkcija f(x), definisana u nekom intervalu (X) konačne ili beskonačne dužine, ima jedan antiderivat, F(x), tada ima i beskonačno mnogo antiderivata; svi su sadržani u izrazu F(x)+C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Skup svih antiderivata za datu funkciju f(x), definiranu u nekom intervalu ili na nekom segmentu konačne ili beskonačne dužine, naziva se neodređeni integral iz funkcije f(x) [ili iz izraza f(x)dx ] i označava se simbolom .

Ako je F(x) jedan od antiderivata za f(x), onda prema teoremi o antiderivatu

, gdje je C proizvoljna konstanta.

Po definiciji antiderivata, F"(x)=f(x) i, prema tome, dF(x)=f(x) dx. U formuli (7.1), f(x) se naziva integrand, a f( x) dx se naziva izraz integranda.

Koncept funkcije mnogih varijabli

Neka postoji n varijabli i svakom x 1, x 2 ... x n iz određenog skupa x je dodijeljena definicija. broj Z, tada je na skupu x dana funkcija Z = f (x 1, x 2 ... x n) mnogih varijabli.

X - područje definiranih funkcija

x 1, x 2 ... x n - nezavisna varijabla (argumenti)

Z - funkcija Primjer: Z = P x 2 1 * x 2 (Zapremina cilindra)

Uzmimo u obzir Z = f (x; y) - f-cija 2 varijable x (x 1, x 2 zamijenjeno sa x, y). Rezultati se analogno prenose na druge funkcije mnogih varijabli. Područje definiranja funkcije 2 varijable je cijeli niz kvadrata (ooh) ili njegov dio. Mn-u vrijednosti th funkcije 2 varijable - površina u 3-dimenzionalnom prostoru.

Tehnike konstruisanja grafova: - Rassm-t presek po površini kvadrata || koordinatni kvadrati.

Primjer: x \u003d x 0, zn. kvadrat X || 0yz y \u003d y 0 0xz Tip funkcije: Z = f (x 0, y); Z=f(x, y 0)

Na primjer: Z=x 2 +y 2 -2y

Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1

Parabola kružnica(centar(0;1)

Granice i kontinuitet funkcija dvije varijable

Neka je dat Z = f (x; y), tada je A granica f-cije u m (x 0, y 0), ako je za bilo koji proizvoljno mali stav. broj E>0 imenica-t pozitivan broj b>0, koji za sve x,y zadovoljava |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A|

Z = f (x; y) je kontinuiran u t. (x 0, y 0), ako: - je definiran u ovom t .; - ima konačni granica na x, koja teži x 0 i y ka y 0; - ova granica = vrijednost

funkcije u t. (x 0, y 0), tj. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0)

Ako je funkcija kontinuirana u svakom. t. mn-va X, onda je kontinuirano u ovoj oblasti

Diferencijalna funkcija, njeno geoznačenje. Upotreba dif-la u približnim vrijednostima.

dy=f’(x)∆x – diferencijalna funkcija

dy=dx, tj. dy=f '(x)dx ako je y=x

Sa geografske tačke gledišta, diferencijal funkcije je povećanje ordinate tangente povučene na graf funkcije u tački sa apscisom x 0

Dif-l se koristi u proračunu cca. vrijednosti funkcije prema formuli: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f’(x 0)∆x

Što je ∆x bliže x, to je tačniji rezultat.

Parcijalni derivati ​​prvog i drugog reda

Izvod prvog reda (koji se naziva privatnim)

O. Neka su x, y priraštaji nezavisnih varijabli x i y u nekoj tački iz područja X. Tada se vrijednost jednaka z = f(x + x, y + y) = f(x, y) naziva ukupan prirast u tački x 0, y 0. Ako je varijabla x fiksna, a varijabla y uvećana za y, onda dobijamo zu = f(x, y, + y) – f(x, y)

Slično se definira i parcijalni izvod varijable y, tj.

Parcijalni izvod funkcije od 2 varijable nalazi se prema istim pravilima kao i za funkcije jedne varijable.

Razlika je u tome što se pri diferenciranju funkcije s obzirom na varijablu x, y smatra konstantnim, a kada se diferencira u odnosu na y, x se smatra konstantnim.

Izolirane konste se povezuju na funkciju sa operacijama sabiranja/oduzimanja.

Pridružene konste povezane su s funkcijom s operacijama množenja/dijeljenja.

Derivat izolovane konst = 0

1.4.Ukupni diferencijal funkcije 2 varijable i njene primjene

Neka je onda z = f(x,y).

tz = - naziva se puni inkrement

Parcijalni izvod 2. reda

Za kontinuirane funkcije 2 varijable, mješoviti parcijalni izvod 2. reda i poklapaju se.

Upotreba parcijalnih izvoda za određivanje parcijalnih izvoda max i min funkcija naziva se ekstremima.

A. Tačke se nazivaju max ili min z = f(x,y) ako postoje segmenti takvi da za sve x i y iz ovog susjedstva f(x,y)

T. Ako je data tačka ekstrema funkcije od 2 varijable, tada je vrijednost parcijalnih izvoda u ovoj tački jednaka 0, tj. ,

Tačke u kojima se parcijalni izvod prvog reda nazivaju stacionarnim ili kritičnim.

Prema tome, da bi se pronašle tačke ekstrema funkcije od 2 varijable, koriste se dovoljni uslovi ekstrema.

Neka je funkcija z = f(x,y) dvaput diferencibilna, a neka stacionarna tačka,

1) i maxA<0, minA>0.

1.4.(*)puni diferencijal. Geometrijsko značenje diferencijala. Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

O. Neka je funkcija y = f(x) definirana u nekom susjedstvu u tačkama . Funkcija f(x) se zove diferencijabilna u tački ako je njen prirast u ovoj tački , gdje je predstavljeno u obliku (1)

Gdje je A konstantna vrijednost neovisna o , u fiksnoj točki x, - beskonačno mala na . Relativno linearna funkcija A naziva se diferencijal funkcije f(x) u tački i označava se sa df() ili dy.

Dakle, izraz (1) se može zapisati kao ().

Diferencijal funkcije u izrazu (1) ima oblik dy = A . Kao i svaka linearna funkcija, definirana je za bilo koju vrijednost dok se prirast funkcije mora uzeti u obzir samo za one za koje + pripada domeni funkcije f(x).

Radi lakšeg označavanja diferencijala, prirast se označava sa dx i naziva se diferencijalom nezavisne varijable x. Stoga se diferencijal zapisuje kao dy = Adx.

Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u svakoj točki nekog intervala, tada je njen diferencijal funkcija dvije varijable - točke x i varijable dx:

T. Da bi funkcija y = g(x) bila diferencibilna u nekoj tački, potrebno je i dovoljno da u ovoj tački ima derivaciju, dok

(*)Dokaz. Need.

Neka je funkcija f(x) diferencijabilna u tački , tj. . Onda

Dakle, izvod f'() postoji i jednak je A. Otuda je dy = f'()dx

Adekvatnost.

Neka postoji derivacija f'(), tj. = f'(). Tada je kriva y = f(x) tangentni segment. Da biste izračunali vrijednost funkcije u tački x, uzmite tačku u nekom njenom susjedstvu, tako da nije teško pronaći f() i f’()/