Tačkasta brzina.

Pređimo na rješavanje drugog glavnog problema kinematike tačke - određivanje brzine i ubrzanja prema već datom vektoru, koordinati ili prirodnom kretanju.

1. Brzina tačke je vektorska veličina koja karakteriše brzinu i smer kretanja tačke. U SI sistemu brzina se mjeri u m/s.

a) Određivanje brzine vektorskom metodom zadavanja kretanja .

Neka je dato kretanje tačke vektorski način, tj. vektorska jednadžba (2.1) je poznata: .

Rice. 2.6. Odrediti brzinu tačke

Pustite na vreme Dt vektor radijusa tačke Mće se promijeniti do . Onda prosječna brzina bodova M tokom Dt naziva se vektorska veličina

Podsjećajući na definiciju derivata, zaključujemo:

Ovdje iu daljem tekstu znak označava diferencijaciju s obzirom na vrijeme. Kada težite Dt na nulu vektor , i, posljedično, vektor , rotirati oko točke M a u granici se poklapaju sa tangentom putanje u ovoj tački. Na ovaj način, vektor brzine je jednak prvom izvodu vektora radijusa u odnosu na vrijeme i uvijek je usmjeren tangencijalno na putanju tačke.

b) Brzina tačke u koordinatni način zadaci kretanja.

Izvedemo formule za određivanje brzine koordinatnom metodom zadavanja kretanja. U skladu sa izrazom (2.5) imamo:

Pošto su derivacije jediničnih vektora konstantnih po veličini i pravcu jednake nuli, dobijamo

Vektor, kao i svaki vektor, može se izraziti u smislu njegovih projekcija:

Upoređujući izraze (2.6) i (2.7) vidimo da vremenske derivacije koordinata imaju dobro definisan geometrijsko značenje- oni su projekcije vektora brzine na koordinatne ose. Poznavajući projekcije, lako je izračunati modul i smjer vektora brzine (slika 2.7):

Rice. 2.7.Odrediti veličinu i smjer brzine

c) Određivanje brzine prirodnim načinom postavljanja kretanja.

Rice. 2.8. Brzina tačke sa postavkom prirodnog kretanja

Prema (2.4) ,

gdje - jedinični vektor tangenta. Na ovaj način,

Vrijednost V=dS/dt naziva se algebarska brzina. Ako dS/dt>0, zatim funkciju S = S(t) raste i tačka se pomiče u smjeru povećanja koordinata luka S, one. tačka se kreće u pozitivnom smjeru dS/dt<0 , tada se tačka pomiče u suprotnom smjeru.

2. tačka ubrzanja

Ubrzanje je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene modula i smjer vektora brzine. U sistemu SI ubrzanje se mjeri u m/s 2 .

a) Određivanje ubrzanja vektorskom metodom zadavanja kretanja .

Pusti poentu M u to vrijeme t je na poziciji M(t) i ima brzinu V(t), i u trenutku vremena t + Dt je na poziciji M(t + Dt) i ima brzinu V(t + Dt)(Vidi sliku 2.9).

Rice. 2.9. Ubrzanja tačke vektorskom metodom zadavanja kretanja

Prosječno ubrzanje u određenom vremenskom periodu Dt je omjer promjene brzine prema Dt , one.

Limit at Dt ® 0 naziva se trenutnim (ili jednostavno ubrzanjem) tačke M u to vrijeme t

Prema (2.11), ubrzanje vektorskom metodom zadavanja kretanja jednako je vektorskom izvodu brzine u odnosu na vrijeme.

b). At ubrzanja sa koordinatnom metodom zadavanja kretanja .

Zamijenivši (2.6) u (2.11) i diferencirajući proizvode u zagradama, nalazimo:

S obzirom da su derivacije jediničnih vektora jednake nuli, dobijamo:

Vektor se može izraziti kroz njegove projekcije:

Poređenje (2.12) i (2.13) pokazuje da druge vremenske derivacije koordinata imaju dobro definisano geometrijsko značenje: jednake su projekcijama ukupnog ubrzanja na koordinatne ose, tj.

Poznavajući projekcije, lako je izračunati ukupni modul ubrzanja i kosinuse smjera koji određuju njegov smjer:

in). Ubrzanje tačke sa prirodnim načinom specificiranja kretanja

Predstavimo neke informacije iz diferencijalne geometrije potrebne za određivanje ubrzanja na prirodan način specificiranja kretanja.

Pusti poentu M kreće se duž neke prostorne krive. Svaka tačka ove krive povezana je sa tri međusobno ortogonalna pravca (tangencijalni, normalni i binormalni) koji jedinstveno karakterišu prostornu orijentaciju beskonačno malog elementa krive u blizini date tačke. Slijedi opis procesa za određivanje ovih pravaca.

Da nacrtate tangentu na krivu u tački M, povucite kroz njega i obližnju tačku M 1 secant MM 1.

Rice. 2.10. Definicija tangente na putanju tačke

Tangenta na krivu u tački M definisan kao granična pozicija sekante MM 1 dok stremi bodu M 1 do tačke M(Sl. 2.10). Jedinični tangentni vektor obično se označava grčkim slovom.

Nacrtajmo jedinične vektore tangenti na putanju u tačkama M I M 1. Pomerite vektor u tačku M(Sl. 2.11) i formiraju ravan koja prolazi kroz ovu tačku i vektore i . Ponavljanje procesa formiranja sličnih ravni uz težnju ka tački M 1 do tačke M, dobijamo u limitu ravan tzv susjedni avion.

Rice. 2.11. Definicija dodirne ravni

Očigledno, za ravnu krivu, dodirna ravan se poklapa sa ravninom u kojoj se nalazi ova kriva. Avion prolazi kroz tačku M i okomita na tangentu u toj tački se zove normalno avion. Presek susedne i normalne ravni čini pravu liniju tzv glavna normala (Sl. 2.12).

Date su osnovne formule kinematike materijalne tačke, njihovo izvođenje i prikaz teorije.

Sadržaj

Vidi također: Primjer rješavanja problema (koordinatna metoda određivanja kretanja tačke)

Osnovne formule za kinematiku materijalne tačke

Predstavljamo osnovne formule za kinematiku materijalne tačke. Nakon toga dajemo njihov izvod i prikaz teorije.

Radijus vektor materijalne tačke M u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz :
,
gdje su jedinični vektori (orths) u smjeru x, y, z osa.

Brzina tačke:
;
.
.
Jedinični vektor u smjeru tangente na putanju točke:
.

Point Acceleration:
;
;
;
; ;

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje:
;
;
.

Normalno ubrzanje:
;
;
.

Jedinični vektor usmjeren prema centru zakrivljenosti putanje točke (duž glavne normale):
.

.

Radijus vektor i putanja tačke

Razmotrimo kretanje materijalne tačke M. Biramo fiksni pravougaoni koordinatni sistem Oxyz sa centrom u nekoj fiksnoj tački O. Tada je pozicija tačke M jednoznačno određena njenim koordinatama (x, y, z). Ove koordinate su komponente radijus vektora materijalne tačke.

Radijus vektor tačke M je vektor povučen od početka fiksnog koordinatnog sistema O do tačke M.
,
gdje su jedinični vektori u smjeru osa x, y, z.

Kako se tačka kreće, koordinate se mijenjaju s vremenom. To jest, one su funkcije vremena. Zatim sistem jednačina
(1)
može se posmatrati kao jednačina krive date parametarskim jednačinama. Takva kriva je putanja tačke.

Putanja materijalne tačke je linija duž koje se tačka kreće.

Ako se tačka kreće u ravni, tada možete odabrati ose i koordinatni sistem tako da leže u ovoj ravni. Tada je putanja određena s dvije jednačine

U nekim slučajevima, vrijeme se može isključiti iz ovih jednačina. Tada će jednadžba putanje imati ovisnost oblika:
,
gdje je neka funkcija. Ova zavisnost sadrži samo varijable i . Ne sadrži parametar.

Brzina materijalne tačke

Brzina materijalne tačke je vremenski izvod njenog vektora radijusa.

Prema definiciji brzine i definiciji derivacije:

Vremenski derivati ​​se u mehanici označavaju tačkom iznad simbola. Zamijenite ovdje izrazom za vektor radijusa:
,
gdje smo eksplicitno naznačili ovisnost koordinata o vremenu. Dobijamo:

,
gdje
,
,

- projekcije brzine na koordinatne ose. Dobivaju se diferenciranjem komponenti radijus vektora s obzirom na vrijeme
.

Na ovaj način
.
Modul brzine:
.

Tangenta na putanju

Sa matematičke tačke gledišta, sistem jednačina (1) se može posmatrati kao jednačina prave (krive) date parametarskim jednačinama. Vrijeme, u ovom razmatranju, igra ulogu parametra. Iz toka matematičke analize poznato je da vektor smjera za tangentu na ovu krivu ima sljedeće komponente:
.
Ali ovo su komponente vektora brzine tačke. tj brzina materijalne tačke je usmerena tangencijalno na putanju.

Sve ovo se može direktno demonstrirati. Neka u trenutku vremena tačka bude u poziciji sa radijus vektorom (vidi sliku). I u trenutku - u poziciji sa radijus vektorom. Nacrtajte pravu liniju kroz tačke. Po definiciji, tangenta je linija kojoj linija teži kada .
Hajde da uvedemo notaciju:
;
;
.
Tada se vektor usmjerava duž prave linije.

Kada se teži, prava linija teži tangenti, a vektor teži brzini tačke u trenutku:
.
Budući da je vektor usmjeren duž prave linije, a prava je na , tada je vektor brzine usmjeren duž tangente.
Odnosno, vektor brzine materijalne tačke je usmjeren duž tangente na putanju.

Hajde da se predstavimo vektor smjera tangente jedinične dužine:
.
Pokažimo da je dužina ovog vektora jednaka jedan. Zaista, pošto
, zatim:
.

Tada se vektor brzine tačke može predstaviti kao:
.

Ubrzanje materijalne tačke

Ubrzanje materijalne tačke je derivacija njene brzine u odnosu na vrijeme.

Slično kao i kod prethodnog, dobijamo komponente ubrzanja (projekcije ubrzanja na koordinatne ose):
;
;
;
.
Modul za ubrzanje:
.

Tangencijalna (tangencijalna) i normalna ubrzanja

Sada razmotrite pitanje smjera vektora ubrzanja u odnosu na putanju. Da biste to učinili, primijenite formulu:
.
Razlikujte ga s obzirom na vrijeme koristeći pravilo diferencijacije proizvoda:
.

Vektor je usmjeren tangencijalno na putanju. U kom smjeru je usmjerena njegova vremenska derivacija?

Za odgovor na ovo pitanje koristimo se činjenicom da je dužina vektora konstantna i jednaka jedinici. Tada je kvadrat njegove dužine također jednak jedan:
.
Ovdje i ispod, dva vektora u zagradama označavaju skalarni proizvod vektora. Razlikujte posljednju jednačinu s obzirom na vrijeme:
;
;
.
Pošto je skalarni proizvod vektora i jednak nuli, ovi vektori su okomiti jedan na drugi. Pošto je vektor tangentan na putanju, vektor je okomit na tangentu.

Prva komponenta naziva se tangencijalno ili tangencijalno ubrzanje:
.
Druga komponenta se zove normalno ubrzanje:
.
Tada je ukupno ubrzanje:
(2) .
Ova formula je dekompozicija ubrzanja na dvije međusobno okomite komponente - tangentu na putanju i okomitu na tangentu.

Od tada
(3) .

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje

Pomnožite obje strane jednačine (2) skalarno na:
.
Jer, onda. Onda
;
.
Ovdje stavljamo:
.
Iz ovoga se vidi da je tangencijalno ubrzanje jednako projekciji ukupnog ubrzanja na smjer tangente na putanju ili, što je isto, na smjer brzine tačke.

Tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje materijalne tačke je projekcija njenog punog ubrzanja na smjer tangente na putanju (ili na smjer brzine).

Simbol označava tangencijalni vektor ubrzanja usmjeren duž tangente na putanju. Tada je skalarna vrijednost jednaka projekciji ukupnog ubrzanja na smjer tangente. Može biti i pozitivno i negativno.

Zamjenom imamo:
.

Zamjena u formuli:
.
onda:
.
To jest, tangencijalno ubrzanje je jednako vremenskom izvodu modula brzine tačke. Na ovaj način, tangencijalno ubrzanje dovodi do promjene apsolutne vrijednosti brzine tačke. Kako se brzina povećava, tangencijalno ubrzanje je pozitivno (ili usmjereno duž brzine). Kako se brzina smanjuje, tangencijalno ubrzanje je negativno (ili suprotno brzini).

Sada pogledajmo vektor.

Razmotrimo jedinični vektor tangente na trajektoriju. Njegov početak stavljamo u početak koordinatnog sistema. Tada će kraj vektora biti na sferi jediničnog polumjera. Prilikom pomicanja materijalne tačke, kraj vektora će se kretati duž ove sfere. Odnosno, vrtiće se oko svog porekla. Neka je trenutna kutna brzina rotacije vektora u trenutku . Tada je njegova derivacija brzina kretanja kraja vektora. Usmjeren je okomito na vektor. Primijenimo formulu za rotaciono kretanje. Vektorski modul:
.

Sada razmotrite poziciju tačke za dva bliska vremena. Neka je u trenutku kada je tačka u poziciji , a u trenutku - u poziciji . Neka i budu jedinični vektori usmjereni tangencijalno na putanju u ovim tačkama. Kroz točke i nacrtati ravnine okomite na vektore i . Neka biti prava linija formirana presjekom ovih ravnina. Ispustite okomicu iz tačke na pravu. Ako su pozicije tačaka i dovoljno bliske, tada se kretanje tačke može smatrati rotacijom duž kružnice poluprečnika oko ose, koja će biti trenutna os rotacije materijalne tačke. Budući da su vektori i okomiti na ravnine i , kut između ovih ravnina jednak je kutu između vektora i . Tada je trenutna brzina rotacije tačke oko ose jednaka trenutnoj brzini rotacije vektora:
.
Ovdje je udaljenost između točaka i .

Tako smo pronašli modul vremenske derivacije vektora:
.
Kao što smo ranije istakli, vektor je okomit na vektor. Iz gornjeg obrazloženja može se vidjeti da je usmjerena prema trenutnom centru zakrivljenosti putanje. Ovaj pravac se naziva glavna normala.

Normalno ubrzanje

Normalno ubrzanje

usmjerena duž vektora. Kako smo saznali, ovaj vektor je usmjeren okomito na tangentu, prema trenutnom centru zakrivljenosti putanje.
Neka je jedinični vektor usmjeren od materijalne točke do trenutnog centra zakrivljenosti putanje (duž glavne normale). Onda
;
.
Budući da oba vektora i imaju isti smjer - prema centru zakrivljenosti putanje, onda
.

Iz formule (2) imamo:
(4) .
Iz formule (3) pronađite modul normalno ubrzanje:
.

Pomnožite obje strane jednačine (2) skalarno na:
(2) .
.
Jer, onda. Onda
;
.
Ovo pokazuje da je modul normalnog ubrzanja jednak projekciji ukupnog ubrzanja na smjer glavne normale.

Normalno ubrzanje materijalne tačke je projekcija njenog punog ubrzanja na pravac okomit na tangentu putanje.

Hajde da zamenimo. Onda
.
Odnosno, normalno ubrzanje uzrokuje promjenu smjera brzine tačke, a povezano je s radijusom zakrivljenosti putanje.

Odavde možete pronaći radijus zakrivljenosti putanje:
.

Na kraju, napominjemo da je formula (4) može se prepisati u sljedećem obliku:
.
Ovdje smo primijenili formulu za unakrsni proizvod tri vektora:
,
u koje su uokvirili
.

Tako smo dobili:
;
.
Izjednačimo module lijevog i desnog dijela:
.
Ali vektori i su međusobno okomiti. Zbog toga
.
Onda
.
Ovo je dobro poznata formula iz diferencijalne geometrije za zakrivljenost krive.

Vidi također: 1. Metode za određivanje kretanja tačke u datom referentnom sistemu

Glavni zadaci kinematike tačaka su:

1. Opis načina za određivanje kretanja tačke.

2. Određivanje kinematičkih karakteristika kretanja tačke (brzina, ubrzanje) prema datom zakonu kretanja.

mehaničko kretanje − promjena položaja jednog tijela u odnosu na drugo (referentno tijelo), koje je povezano sa koordinatnim sistemom tzv referentni sistem .

Lokus uzastopnih pozicija pokretne tačke u referentnom okviru koji se razmatra naziva se putanja bodova.

Postavite pokret − predstavlja način na koji se može odrediti položaj tačke u bilo kojem trenutku u odnosu na odabrani referentni okvir. Glavni načini za određivanje kretanja tačke su:

vektorski, koordinatni i prirodni .

1.Vektorski način za postavljanje kretanja (Sl. 1).

Položaj tačke je određen radijus vektorom povučen iz fiksne tačke povezane sa referentnim tijelom: − vektorska jednačina kretanja tačke.

2. Koordinatni način postavljanja kretanja (Sl. 2).

U ovom slučaju koordinate tačke su date kao funkcija vremena:

- jednadžbe kretanja tačke u koordinatnom obliku.

Ovo su parametarske jednadžbe putanje pokretne tačke, u kojima vrijeme igra ulogu parametra. Da bi se njegova jednačina zapisala u eksplicitnom obliku, potrebno je isključiti iz njih. U slučaju prostorne putanje, isključujući , dobivamo:

U slučaju ravne putanje

eliminisanjem dobijamo:

Ili .

3. Prirodan način definiranja kretanja (Sl. 3).

U ovom slučaju postavite:

1) putanja tačke,

2) referentna tačka na putanji,

3) pozitivan referentni smjer,

4) zakon promene koordinata luka: .

Ova metoda je pogodna za korištenje kada je putanja točke unaprijed poznata.

2. Brzina i tačka ubrzanja

Razmotrite kretanje tačke u kratkom vremenskom periodu(slika 4):

Zatim − prosječna brzina tačke za određeni vremenski period.

Brzina tačke u datom trenutku nalazi se kao granica prosječne brzine u :

Brzina tačke − je kinematička mjera njegovog kretanja, jednaka vremenska derivacija radijus vektora ove tačke u referentnom okviru koji se razmatra.

Vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju točke u smjeru kretanja.

Prosječno ubrzanje karakterizira promjenu vektora brzine u kratkom vremenskom periodu(Sl. 5).

Ubrzanje tačke u datom trenutku nalazi se kao granica prosječnog ubrzanja u :

Ubrzanje tačke − je mjera promjene njegove brzine, jednaka derivatu u vremenu od brzine ove tačke ili druge derivacije radijus vektora tačke u vremenu .

Ubrzanje tačke karakteriše promjenu vektora brzine u veličini i smjeru. Vektor ubrzanja je usmjeren prema konkavnosti putanje.

3. Određivanje brzine i ubrzanja tačke koordinatnom metodom zadavanja kretanja

Odnos između vektorske metode zadavanja kretanja i koordinatne metode je dat relacijom

(Sl. 6).

Iz definicije brzine:

Projekcije brzine na koordinatne ose jednake su derivacijama odgovarajućih koordinata s obzirom na vrijeme

, , . .

Modul i smjer brzine određeni su izrazima:

Ovdje i ispod, tačka iznad označava diferencijaciju s obzirom na vrijeme

Iz definicije ubrzanja:

Projekcije ubrzanja na koordinatne ose jednake su drugim vremenskim derivacijama odgovarajućih koordinata:

, , .

Modul i smjer ubrzanja određuju se izrazima:

, , .

4 Brzina i ubrzanje tačke sa prirodnim načinom određivanja kretanja

4.1 Prirodne sjekire.

Određivanje brzine i ubrzanja tačke prirodnim načinom određivanja kretanja

Prirodne ose (tangenta, glavna normala, binormalna) su ose pokretnog pravougaonog koordinatnog sistema sa ishodištem u tački kretanja. Njihov položaj je određen putanjom kretanja. Tangenta (sa jediničnim vektorom ) je usmjerena tangencijalno u pozitivnom smjeru lučne koordinate i nalazi se kao granični položaj sekante koja prolazi kroz datu tačku (slika 9). Dodirna ravan prolazi kroz tangentu (slika 10), koja se nalazi kao granični položaj ravni str jer tačka M1 teži tački M. Normalna ravan je okomita na tangentu. Linija preseka normalne i susedne ravni je glavna normala. Jedinični vektor glavne normale usmjeren je prema konkavnosti putanje. Binormala (sa jediničnim vektorom ) je usmjerena okomito na tangentu i glavnu normalu tako da orts , i formiraju desnu trojku vektora. Koordinatne ravni uvedenog pokretnog koordinatnog sistema (susednog, normalnog i ispravljajućeg) formiraju prirodni triedar koji se kreće sa pokretnom tačkom poput krutog tela. Njegovo kretanje u prostoru određeno je putanjom i zakonom promjene koordinata luka.

Iz definicije tačke brzine

gdje je , jedinični vektor tangente.

Onda

, .

Algebarska brzina − projekcija vektora brzine na tangentu jednaku vremenskom izvodu lučne koordinate. Ako je derivacija pozitivna, tada se tačka pomiče u pozitivnom smjeru referentne lučne koordinate.

Iz definicije ubrzanja

− usmjereni vektor i

Derivat je određen samo tipom putanje u blizini date tačke, dok uzimajući u obzir ugao rotacije tangente imamo

Sada neka funkcija bude poznata. Na sl. 5.10
I
 vektori brzine pokretne tačke u momentima t i  t. Da biste dobili prirast vektora brzine
pomerati vektor paralelno
upravo M:

Prosečno ubrzanje tačke tokom vremenskog perioda  t je omjer prirasta vektora brzine
na vremenski interval t:

shodno tome, ubrzanje tačke u datom trenutku je jednako prvom vremenskom izvodu vektora brzine tačke ili drugom vremenskom izvodu vektora radijusa

. (5.11)

tačka ubrzanja ovo je vektorska veličina koja karakterizira brzinu promjene vektora brzine u odnosu na vrijeme.

Napravimo hodograf brzine (Sl.5.11). Po definiciji, hodograf brzine je kriva koju kraj vektora brzine crta kada se tačka kreće, ako je vektor brzine nacrtan iz iste tačke.

Određivanje brzine tačke koordinatnom metodom određivanja njenog kretanja

Neka je kretanje tačke dato na koordinatni način u Dekartovom koordinatnom sistemu

X = x(t), y = y(t), z = z(t)

Radijus-vektor tačke je jednak

.

Pošto su jedinični vektori
konstanta, onda po definiciji

. (5.12)

Označimo projekcije vektora brzine na ose Oh, OU I Oz preko V x , V y , V z

(5.13)

Upoređujući jednakosti (5.12) i (5.13) dobijamo

(5.14)

U nastavku će se vremenski izvod označavati tačkom odozgo, tj.

.

Modul brzine tačke određen je formulom

. (5.15)

Smjer vektora brzine određen je kosinusima smjera:

Određivanje ubrzanja tačke koordinatnom metodom određivanja njenog kretanja

Vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu je

.

Po definiciji

Označimo projekcije vektora ubrzanja na ose Oh, OU I Oz preko ali x , ali y , ali z odnosno proširiti vektor brzine duž osi:

. (5.17)

Upoređujući jednakosti (5.16) i (5.17) dobijamo

Modul vektora ubrzanja tačke izračunava se slično kao i modul vektora brzine tačke:

, (5.19)

a smjer vektora ubrzanja je kosinus smjera:

Određivanje brzine i ubrzanja tačke sa prirodnim načinom određivanja njenog kretanja

Ova metoda koristi prirodne ose sa ishodištem na trenutnoj poziciji tačke M na trajektoriji (slika 5.12) i jediničnim vektorima Jedinični vektor usmjerena tangencijalno na putanju u smjeru pozitivne reference luka, jediničnog vektora usmjerena duž glavne normale putanje prema njenoj konkavnosti, jediničnom vektoru usmjerena duž binormalne na putanju u tački M.

Horts I lezi u kontinualna ravan, orts I in normalan avion, orts I  u ravnina za ispravljanje.

Dobijeni triedar se naziva prirodnim.

Neka je zadan zakon kretanja tačke s = s(t).

radijus vektor bodova M u odnosu na neku fiksnu tačku biće složena funkcija vremena
.

Iz diferencijalne geometrije poznate su formule Serre-Fresnet, koje uspostavljaju veze između jediničnih vektora prirodnih osa i vektorske funkcije krivulje.

gdje je  polumjer zakrivljenosti putanje.

Koristeći definiciju brzine i Serre Frenet formulu, dobijamo:

. (5.20)

Označavajući projekciju brzine na tangentu a uzimajući u obzir da je vektor brzine tangencijalno usmjeren, imamo

. (5.21)

Upoređujući jednakosti (5.20) i (5.21), dobijamo formule za određivanje vektora brzine po veličini i pravcu

Vrijednost je pozitivna ako je tačka M kreće se u smjeru pozitivnog luka s a inače negativan.

Koristeći definiciju ubrzanja i Serre Frenet formulu, dobijamo:

Označimo projekciju ubrzanja tačke na tangentu , glavna normalna i binormalna
respektivno.

Tada je ubrzanje

Iz formula (5.23) i (5.24) slijedi da vektor ubrzanja uvijek leži u susjednoj ravni i širi se u smjerovima I :

(5.25)

Projekcija ubrzanja na tangentu
pozvao tangenta ili tangencijalno ubrzanje. Karakterizira promjenu veličine brzine.

Projekcija ubrzanja na glavnu normalu
pozvao normalno ubrzanje. Karakterizira promjenu vektora brzine u smjeru.

Modul vektora ubrzanja je jednak
.

Ako I jedan znak, tada će se kretanje tačke ubrzati.

Ako I različitih znakova, tada će kretanje tačke biti sporo.

Brzina tačke je vektor koji u svakom trenutku određuje brzinu i pravac kretanja tačke.

Brzina ravnomjernog kretanja određena je omjerom putanje koju prijeđe tačka u određenom vremenskom periodu i vrijednosti tog vremenskog perioda.

Speed; S-way; t-vrijeme.

Brzina se mjeri u jedinicama dužine podijeljenoj s jedinicom vremena: m/s; cm/s; km/h itd.

U slučaju pravolinijskog kretanja, vektor brzine je usmjeren duž putanje u smjeru njegovog kretanja.

Ako tačka putuje nejednakim putanjama u jednakim vremenskim intervalima, tada se ovo kretanje naziva neravnomjernim. Brzina je varijabla i funkcija je vremena.

Prosječna brzina tačke u datom vremenskom periodu je brzina takvog ravnomjernog pravolinijskog kretanja pri kojoj bi tačka primila isto kretanje tokom ovog vremenskog perioda kao u svom razmatranom kretanju.

Razmotrimo tačku M koja se kreće duž krivolinijske putanje zadane zakonom

Tokom vremenskog intervala? t, tačka M će se pomeriti u poziciju M 1 duž luka MM 1. Ako je vremenski interval? t mali, tada se luk MM 1 može zameniti tetivom i, u prvoj aproksimaciji, pronađite prosječnu brzinu tačke

Ova brzina je usmjerena duž tetive od tačke M do tačke M 1 . Pravu brzinu pronalazimo tako što idemo do granice kada je? t> 0

Kada je?t> 0, smjer tetive u granici poklapa se sa smjerom tangente na putanju u tački M.

Prema tome, brzina tačke je definisana kao granica omjera prirasta putanje i odgovarajućeg vremenskog intervala pošto potonji teži nuli. Smjer brzine se poklapa sa tangentom putanje u datoj tački.

tačka ubrzanja

Imajte na umu da se u općem slučaju, kada se krećete krivolinijskom putanjom, brzina točke mijenja i po smjeru i po veličini. Promjena brzine po jedinici vremena određena je ubrzanjem. Drugim rečima, ubrzanje tačke je veličina koja karakteriše brzinu promene brzine tokom vremena. Ako se za vremenski interval?t brzina promijeni za vrijednost, tada je prosječno ubrzanje

Pravo ubrzanje tačke u datom trenutku t je vrijednost kojoj teži prosječno ubrzanje kada? t\u003e 0, tj.

Sa vremenskim intervalom koji teži nuli, vektor ubrzanja će se promijeniti i po veličini i po smjeru, težeći svojoj granici.

Dimenzija ubrzanja

Ubrzanje se može izraziti u m/s 2 ; cm/s 2 itd.

U opštem slučaju, kada je kretanje tačke dato na prirodan način, vektor ubrzanja se obično razlaže na dve komponente usmerene duž tangente i duž normale na putanju tačke.

Tada se ubrzanje tačke u trenutku t može predstaviti kao

Označimo konstitutivne granice sa i.

Smjer vektora ne zavisi od veličine vremenskog intervala?t.

Ovo ubrzanje uvijek se poklapa sa smjerom brzine, odnosno usmjereno je tangencijalno na putanju točke i stoga se naziva tangencijalno ili tangencijalno ubrzanje.

Druga komponenta ubrzanja tačke usmjerena je okomito na tangentu putanje u datoj tački prema udubljenosti krive i utiče na promjenu smjera vektora brzine. Ova komponenta ubrzanja naziva se normalno ubrzanje.

Pošto je numerička vrijednost vektora jednaka priraštaju brzine tačke u razmatranom vremenskom intervalu?t, onda je numerička vrijednost tangencijalnog ubrzanja

Numerička vrijednost tangencijalnog ubrzanja tačke jednaka je vremenskom izvodu numeričke vrijednosti brzine. Numerička vrijednost normalnog ubrzanja tačke jednaka je kvadratu brzine tačke podijeljenom polumjerom krivine putanje u odgovarajućoj tački na krivulji

Potpuno ubrzanje sa neravnomjernim krivolinijsko kretanje tačka je formirana geometrijski od tangencijalnog i normalnog ubrzanja.