$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kaže se da $f$ ima lokalni maksimum u tački $x_(0) \u E$ ako postoji okolina $U$ tačke $x_(0)$ takva da je za sve $x \u U$ nejednakost $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Poziva se lokalni maksimum stroga , ako se okolina $U$ može izabrati na takav način da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicija
Neka je $f$ realna funkcija na otvoreni set$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kaže se da $f$ ima lokalni minimum u tački $x_(0) \u E$ ako postoji okolina $U$ tačke $x_(0)$ takva da je za sve $x \u U$ nejednakost $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Za lokalni minimum se kaže da je strog ako se okolina $U$ može odabrati tako da za sve $x \in U$ različito od $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\desno)$.

Lokalni ekstremum kombinuje koncepte lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma.

Teorema ( neophodno stanje ekstrem diferencijabilne funkcije)
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ako u tački $x_(0) \u E$ funkcija $f$ ima lokalni ekstrem i u ovom trenutku, onda $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

U jednodimenzionalnom slučaju, ovo je . Označite $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, gdje je $h$ proizvoljan vektor. Funkcija $\phi$ je definirana za dovoljno male modulo vrijednosti od $t$. Štaviše, s obzirom na , on je diferenciran, a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Neka $f$ ima lokalni maksimum na x $0$. Dakle, funkcija $\phi$ na $t = 0$ ima lokalni maksimum i, prema Fermatovom teoremu, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Dakle, dobili smo da je $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkcija $f$ u tački $x_(0)$ jednaka je nuli na bilo kojem vektoru $h$.

Definicija
Tačke u kojima je diferencijal jednak nuli, tj. oni u kojima su sve parcijalne derivacije jednake nuli nazivaju se stacionarnim. kritične tačke funkcije $f$ su one tačke u kojima $f$ nije diferencibilna, ili je jednaka nuli. Ako je tačka stacionarna, onda još ne slijedi da funkcija u ovoj tački ima ekstrem.

Primjer 1
Neka je $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Tada je $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2) )$, pa je $\left(0,0\right)$ stacionarna tačka, ali funkcija nema ekstrem u ovoj tački. Zaista, $f \left(0,0\right) = 0$, ali je lako vidjeti da u bilo kojoj okolini tačke $\left(0,0\right)$ funkcija ima i pozitivne i negativne vrijednosti.

Primjer 2
Funkcija $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ima ishodište koordinata kao stacionarne tačke, ali je jasno da u ovoj tački nema ekstrema.

Teorema ( dovoljno stanje ekstrem).
Neka je funkcija $f$ dvaput kontinuirano diferencibilna na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Neka je $x_(0) \in E$ stacionarna tačka i $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Onda

1. ako je $Q_(x_(0))$ , tada funkcija $f$ u tački $x_(0)$ ima lokalni ekstrem, odnosno minimum ako je oblik pozitivno određen i maksimum ako je oblik negativno-definitivno;
2. ako je kvadratni oblik $Q_(x_(0))$ neodređen, onda funkcija $f$ u tački $x_(0)$ nema ekstrem.

Koristimo proširenje prema Taylorovoj formuli (12.7 str. 292) . Uzimajući u obzir da su parcijalne derivacije prvog reda u tački $x_(0)$ jednake nuli, dobijamo $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\desno) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ parcijalni x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\desno)h^(i)h^(j),$$ gdje je $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, i $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ za $h \rightarrow 0$, tada je desna strana pozitivna za bilo koji vektor $h$ dovoljno male dužine.
Dakle, došli smo do zaključka da je u nekom susjedstvu tačke $x_(0)$ nejednakost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ zadovoljena ako je samo $ x \neq x_ (0)$ (stavimo $x=x_(0)+h$\desno). To znači da u tački $x_(0)$ funkcija ima strogi lokalni minimum i time je prvi dio naše teoreme dokazan.
Pretpostavimo sada da je $Q_(x_(0))$ neodređeni oblik. Tada postoje vektori $h_(1)$, $h_(2)$ takvi da je $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \levo(h_(2)\desno)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Tada dobijamo $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Za dovoljno mali $t>0$, desna strana je pozitivno. To znači da u bilo kojoj okolini tačke $x_(0)$ funkcija $f$ uzima vrijednosti $f \left(x\right)$ veće od $f \left(x_(0)\right)$.
Slično, dobijamo da u bilo kojoj okolini tačke $x_(0)$ funkcija $f$ uzima vrijednosti manje od $f \left(x_(0)\right)$. Ovo, zajedno sa prethodnim, znači da funkcija $f$ nema ekstrem u tački $x_(0)$.

Razmotrimo poseban slučaj ove teoreme za funkciju $f \left(x,y\right)$ dvije varijable definirane u nekom susjedstvu tačke $\left(x_(0),y_(0)\right) $ i imaju kontinuirane parcijalne derivate prvog i drugog reda. Neka je $\left(x_(0),y_(0)\right)$ stacionarna tačka i neka je $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\desno), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Tada prethodna teorema poprima sljedeći oblik.

Teorema
Neka je $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. onda:

1. ako je $\Delta>0$, onda funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u tački $\left(x_(0),y_(0)\right)$, naime, minimum ako $a_(11)> 0$ , a maksimum ako je $a_(11)<0$;
2. ako je $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Primjeri rješavanja problema

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije mnogih varijabli:

1. Nalazimo stacionarne tačke;
2. Pronalazimo diferencijal 2. reda u svim stacionarnim tačkama
3. Koristeći dovoljan uslov za ekstremum funkcije nekoliko varijabli, razmatramo diferencijal drugog reda u svakoj stacionarnoj tački

1. Istražite funkciju do ekstrema $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Rješenje

   Pronađite parcijalne izvode 1. reda: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sastavite i riješite sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(slučajevi) \Rightarrow \begin(slučajevi)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\kraj(slučajevi) \desno \begin(slučajevi)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Iz 2. jednačine izražavamo $x=4 \cdot y^(2)$ — zamijenimo u 1. jednačinu: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ desno )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Kao rezultat, dobijaju se 2 stacionarne tačke:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Provjerimo ispunjenje dovoljnog ekstremnog uvjeta:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Za tačku $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Za tačku $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, tako da postoji ekstrem u tački $M_(2)$, a pošto $A_(2)>0 $, onda je ovo minimum.
   Odgovor: Tačka $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimalna tačka funkcije $f$.
   

2. Istražite funkciju za ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Rješenje

   Pronađite stacionarne tačke: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Sastavite i riješite sistem: $$\displaystyle \begin(slučajevi)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(slučajevi) \ Desno \begin(slučajevi)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(slučajevi) \Strelica desno \begin(slučajevi) y = 2\\y + x = 1\kraj (slučajevi) \Strelica desno x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionarna tačka.
   Provjerimo ispunjenost uslova dovoljnog ekstrema: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odgovor: ne postoje ekstremi.
   

Vremensko ograničenje: 0

Navigacija (samo brojevi poslova)

0 od 4 zadatka završeno

Informacije

Riješite ovaj kviz da provjerite svoje znanje o temi koju ste upravo pročitali, Lokalni ekstremi funkcija mnogih varijabli.

Već ste ranije polagali test. Ne možete ga ponovo pokrenuti.

Test se učitava...

Morate se prijaviti ili registrirati da biste započeli test.

Morate završiti sljedeće testove da biste započeli ovaj:

rezultate

Tačni odgovori: 0 od 4

Vaše vrijeme:

Vrijeme je isteklo

Osvojili ste 0 od 0 poena (0 )

Vaš rezultat je zabilježen na tabeli

1. Sa odgovorom
2. Odjavljeno

Zadatak 1 od 4

1 .

Broj bodova: 1

Istražite funkciju $f$ za ekstreme: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Ispravno


Nije kako treba


1. Zadatak 2 od 4

   2 .

   Broj bodova: 1

   Da li funkcija $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

   Ispravno

Definicija Za funkciju f(x, y), izraz Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) naziva se puni prirast .

Ako funkcija f(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode, onda

Tada dobijamo primjenom Lagrangeove teoreme

Jer parcijalni derivati ​​su kontinuirani, onda možemo napisati jednakosti:

Definicija. Izraz se zove puni prirast funkcije f(x, y) u nekoj tački (x, y), pri čemu su a 1 i a 2 infinitezimalne funkcije kao Dh ® 0 i Du ® 0, respektivno.

definicija: puni diferencijal funkcija z = f(x, y) naziva se glavnom linearnom u odnosu na Dx i Dy priraštaje funkcije Dz u tački (x, y).

Za funkciju proizvoljan broj varijable:

Primjer. Pronađite puni diferencijal funkcije.

Primjer. Pronađite pun diferencijal funkcije

Geometrijsko značenje totalnog diferencijala.

Tangentna ravan i normalna površina.

normalno

tangentna ravan

Neka su N i N 0 tačke date površine. Nacrtajmo pravu liniju NN 0 . Ravan koja prolazi kroz tačku N 0 naziva se tangentna ravan na površinu ako ugao između sekante NN 0 i ove ravni teži nuli kada udaljenost NN 0 teži nuli.

Definicija. normalno na površinu u tački N 0 naziva se prava linija koja prolazi kroz tačku N 0 okomita na tangentnu ravan na ovu površinu.

U nekom trenutku površina ima ili samo jednu tangentnu ravan, ili je uopšte nema.

Ako je površina data jednadžbom z = f (x, y), gdje je f (x, y) funkcija diferencibilna u tački M 0 (x 0, y 0), tangentna ravnina u tački N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) postoji i ima jednačinu:

Jednačina za normalu na površinu u ovoj tački je:

geometrijskog smisla ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli f (x, y) u tački (x 0, y 0) je prirast primjene (z-koordinate) tangentne ravni na površinu tokom prijelaza iz tačke (x 0, y 0) do tačke (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

kao što se vidi, geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable.

Primjer Naći jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu

U tački M(1, 1, 1).

Jednadžba tangentne ravni:

Normalna jednačina:

Parcijalni derivati ​​višeg reda.

Neka postoji neki skup X u prostoru . Svaka tačka ovog skupa je definisana skupom brojeva, koji su koordinate date tačke. Reći ćemo da je funkcija od n varijabli data na skupu X ako je svaka tačka prema određenom zakonu dodjeljuje se jedan broj z, tj. .

primjer: neka x 1, x 2, x 3 - dužina, širina i dubina bazena. Zatim nalazimo površinu bazena.

Funkcija n varijabli se naziva kontinuirano u tački , ako je granica funkcije u ovoj tački jednaka vrijednosti funkcije u graničnoj tački, tj. .

definicija: parcijalni izvod funkcije u odnosu na varijablu naziva se derivacija funkcije z u odnosu na varijablu , izračunata pod uvjetom da sve ostale varijable ostanu konstantne.

Privatni derivat.

Primjer

Za funkciju dvije varijable mogu se uvesti četiri parcijalne derivacije drugog reda

1., čitaj: dva z dvaput.

Teorema mješoviti derivati, gdje su kontinuirani, ne zavise od redoslijeda kojim se izvode izračunavaju. Ovo vrijedi za mješovite derivate bilo kojeg reda i za funkciju bilo kojeg broja varijabli.

Ako je funkcija f(x, y) definirana u nekom domenu D, tada će i njeni parcijalni derivati ​​biti definirani u istom domenu ili njegovom dijelu.

Nazvaćemo ove derivate parcijalni derivati ​​prvog reda.

Derivati ​​ovih funkcija će biti parcijalni derivati ​​drugog reda.

Nastavljajući diferenciranje dobijenih jednakosti, dobijamo parcijalne izvode višeg reda.

Definicija Parcijalni derivati ​​oblika itd. pozvao mješoviti derivati.

Teorema Ako su funkcija f(x, y) i njeni parcijalni derivati ​​definirani i kontinuirani u tački M(x, y) i njenom susjedstvu, tada je relacija tačna: .

tada se zove tačka M 0 minimalna tačka.

Teorema (Neophodni uslovi za ekstrem) Ako funkcija f (x, y) u tački (x 0, y 0) ima ekstrem, tada su u ovoj tački ili oba njena parcijalna izvoda prvog reda nula, ili barem jedan od njih ne postoji.

Ova tačka (x 0, y 0) će biti pozvana kritična tačka.

Teorema (dovoljni uslovi za ekstrem) Neka u blizini kritične tačke (x 0, y 0) funkcija f(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno drugog reda. Razmotrimo izraz:

1) Ako je D(x 0, y 0) > 0, tada u tački (x 0, y 0) funkcija f(x, y) ima ekstrem ako

2) - 0, tada u tački (x 0, y 0) funkcija f (x, y) nema ekstrem

Ako je D = 0, zaključak o prisutnosti ekstrema se ne može donijeti.

Geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli f (x, y) u tački (x 0, y 0) je povećanje aplikacione (z-koordinate) tangentne ravni na površinu tokom prijelaza od tačke (x 0, y 0) do tačke (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Parcijalni derivati ​​višeg reda. : Ako je funkcija f(x, y) definirana u nekom domenu D, tada će i njeni parcijalni derivati ​​biti definirani u istom domenu ili njegovom dijelu. Ove derivate ćemo nazvati parcijalnim derivatima prvog reda.

Derivati ​​ovih funkcija će biti parcijalni izvodnici drugog reda.

Nastavljajući diferenciranje dobijenih jednakosti, dobijamo parcijalne izvode višeg reda. Definicija. Parcijalni derivati ​​oblika itd. nazivaju se mješoviti derivati. Schwartz teorem:

Ako parcijalni derivati ​​višeg reda f.m.s. su kontinuirani, zatim mješoviti derivati ​​istog reda, koji se razlikuju samo po redoslijedu diferencijacije = među sobom.

Ovdje je n simbolička snaga derivacije, koja se zamjenjuje realnom snagom nakon što se izraz u zagradi podiže na njega.

14. Jednadžba tangentne ravni i normale na površinu!

Neka su N i N 0 tačke date površine. Nacrtajmo pravu liniju NN 0 . Ravan koja prolazi kroz tačku N 0 naziva se tangentna ravan na površinu ako ugao između sekante NN 0 i ove ravni teži nuli kada udaljenost NN 0 teži nuli.

Definicija. normalno na površinu u tački N 0 naziva se prava linija koja prolazi kroz tačku N 0 okomita na tangentnu ravan na ovu površinu.

U nekom trenutku površina ima ili samo jednu tangentnu ravan, ili je uopšte nema.

Ako je površina data jednadžbom z = f (x, y), gdje je f (x, y) funkcija diferencibilna u tački M 0 (x 0, y 0), tangentna ravan u tački N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) postoji i ima jednačinu:

Jednačina normale na površinu u ovoj tački:

geometrijskog smisla ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli f (x, y) u tački (x 0, y 0) je prirast primjene (z-koordinate) tangentne ravni na površinu tokom prijelaza iz tačke (x 0, y 0) do tačke (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

Kao što vidite, geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable.

16. Skalarno polje i njegove karakteristike Linije nivoa, derivacije u pravcu, gradijent skalarnog polja.

Ako se svakoj tački u prostoru dodijeli skalarna veličina, tada nastaje skalarno polje (na primjer, temperaturno polje, polje električnog potencijala). Ako su unesene kartezijanske koordinate, tada također označite ili Polje može biti ravno ako je centralno (sferni) ako cilindrični, ako

Površine i linije nivoa: Svojstva skalarnih polja mogu se vizualizirati korištenjem ravnih površina. To su površine u prostoru na kojima on poprima konstantnu vrijednost. Njihova jednadžba je: . U ravnom skalarnom polju, linije nivoa su krive na kojima polje poprima konstantnu vrijednost: U nekim slučajevima, linije se mogu degenerisati u tačke, a ravni u tačke i krive.

Usmjerena derivacija i gradijent skalarnog polja:

Neka je jedinični vektor sa koordinatama skalarno polje. Smjerni izvod karakterizira promjenu polja u datom smjeru i izračunava se po formuli Smjerni izvod je skalarni proizvod vektora i vektora s koordinatama , koji se naziva gradijent funkcije i označava se sa , gdje je ugao između i , tada vektor označava smjer najbržeg porasta polja, a njegov modul je jednak derivaciji u tom smjeru. Pošto su komponente gradijenta parcijalne derivacije, lako je dobiti sljedeća svojstva gradijenta:

17. FMP extrema Lokalni ekstremum fmp, neophodni i dovoljni uslovi za njegovo postojanje. Najveći i najmanji f.m.s. u ograničenom zatvorenom prostoru.

Neka je funkcija z = ƒ(x;y) definirana u nekom domenu D, tačka N(x0;y0)

Tačka (x0; y0) naziva se maksimalnom tačkom funkcije z=ƒ(x; y) ako postoji takva d-okolina tačke (x0; y0) da za svaku tačku (x; y) osim (xo; yo), ova okolina zadovoljava nejednakost ƒ(h;u)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(h0;y0). Vrijednost funkcije u točki maksimuma (minimuma) naziva se maksimumom (minimumom) funkcije. Maksimum i minimum funkcije nazivaju se njenim ekstremima. Imajte na umu da, na osnovu definicije, tačka ekstrema funkcije leži unutar domena funkcije; maksimum i minimum imaju lokalni (lokalni) karakter: vrijednost funkcije u tački (x0; y0) uspoređuje se s njenim vrijednostima u tačkama koje su dovoljno blizu (x0; y0). U regiji D, funkcija može imati nekoliko ekstrema ili nijedan.

Neophodni(1) i dovoljni(2) uslovi za postojanje:

(1) Ako u tački N (x0; y0) diferencijabilna funkcija z \u003d ƒ (x; y) ima ekstrem, tada su njeni parcijalni derivati ​​u ovoj tački jednaki nuli: ƒ "x (x0; y0) = 0, ƒ" y (x0; y0 )=0. Komentar. Funkcija može imati ekstrem u tačkama u kojima barem jedan od parcijalnih izvoda ne postoji. Tačka u kojoj su parcijalni izvodi prvog reda funkcije z ≈ ƒ(x; y) jednaki nuli, tj. f "x=0, f" y=0, naziva se stacionarna tačka funkcije z.

Stacionarne tačke i tačke u kojima ne postoji barem jedan parcijalni izvod nazivaju se kritične tačke.

(2) Neka funkcija ƒ(x; y) ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno drugog reda u stacionarnoj tački (xo; yo) i nekom njenom susjedstvu. Izračunajmo u tački (x0;y0) vrijednosti A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Označite onda:

1. ako je Δ > 0, tada funkcija ƒ(x; y) u tački (x0; y0) ima ekstrem: maksimum ako je A< 0; минимум, если А > 0;

2. ako je Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. U slučaju Δ = 0, može postojati ili ne mora postojati ekstrem u tački (x0; y0). Potrebno je više istraživanja.

Za funkciju jedne varijable y = f(x) u tački x 0 geometrijsko značenje diferencijala znači povećanje ordinate tangente povučene na graf funkcije u tački sa apscisom x 0 kada se krećete do tačke x 0 +  x. A diferencijal funkcije dvije varijable u ovom pogledu je prirast appliques tangenta avion povučen na površinu zadanu jednadžbom z = f(x, y) , u tački M 0 (x 0 , y 0 ) kada se krećete do tačke M(x 0 +  x, y 0 +  y). Dajemo definiciju tangentne ravni na neku površinu:

Df . Avion prolazi kroz tačku R 0 površine S, zove se tangentna ravan u datoj tački, ako je ugao između ove ravni i sekanse koja prolazi kroz dvije tačke R 0 i R(bilo koja tačka na površini S) , teži nuli kada je tačka R teži duž ove površine do tačke R 0 .

Pustite površinu S dato jednačinom z = f(x, y). Tada se može pokazati da ova površina ima tačku P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) tangentna ravan ako i samo ako je funkcija z = f(x, y) je u ovom trenutku diferenciran. U ovom slučaju, tangentna ravan je data jednadžbom:

z – z 0 = +
(6).

§5. Smjerni izvod, gradijent funkcije.

Parcijalne derivacijske funkcije y= f(x 1 , x 2 .. x n ) po varijablama x 1 , x 2 . . . x n izražavaju brzinu promjene funkcije u smjeru koordinatnih osa. Na primjer, je stopa promjene funkcije X 1 - to jest, pretpostavlja se da se tačka koja pripada domeni definicije funkcije kreće samo paralelno sa osom OH 1 , a sve ostale koordinate ostaju nepromijenjene. Međutim, može se pretpostaviti da se funkcija može promijeniti i u nekom drugom smjeru, koji se ne poklapa sa smjerom bilo koje osi.

Razmotrimo funkciju tri varijable: u= f(x, y, z).

Popravi tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) i neka usmjerena ravna linija (osa) l prolazeći kroz ovu tačku. Neka M(x, y, z) - proizvoljna tačka ove prave i  M 0 M - udaljenost od M 0 prije M.

u = f (x, y, z) – f(x 0 , y 0 , z 0 ) – povećanje funkcije u tački M 0 .

Pronađite omjer prirasta funkcije i dužine vektora
:

Df . Derivativna funkcija u = f (x, y, z) prema l u tački M 0 naziva se granica omjera prirasta funkcije i dužine vektora  M 0 Mkada potonji teži 0 (ili, što je isto, sa neograničenom aproksimacijom M to M 0 ):

(1)

Ovaj izvod karakterizira brzinu promjene funkcije u tački M 0 u pravcu l.

Neka osovina l (vektor M 0 M) forme sa sjekirama OX, OY, oz uglovi
respektivno.

Označimo x-x 0 =
;

y - y 0 =
;

z - z 0 =
.

Zatim vektor M 0 M = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 )=
i njegov kosinus smjera:

;

;

.

(4).

(4) je formula za izračunavanje usmjerenog izvoda.

Razmotrimo vektor čije su koordinate parcijalni izvod funkcije u= f(x, y, z) u tački M 0 :

grad u - gradijent funkcije u= f(x, y, z) u tački M(x, y, z)

Svojstva gradijenta:

Zaključak: dužina gradijenta funkcije u= f(x, y, z) - je najveća moguća vrijednost na ovom mjestu M(x, y, z) , i smjer vektora grad u poklapa se sa smjerom vektora koji izlazi iz tačke M, duž koje se funkcija najbrže mijenja. To jest, smjer gradijenta funkcije grad u je smjer najbržeg porasta funkcije.

DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA NEKOLIKO Varijabli.

Osnovni pojmovi i definicije.

Kada razmatramo funkcije nekoliko varijabli, ograničavamo se na detaljan opis funkcija dvije varijable, budući da svi dobijeni rezultati će važiti za funkcije proizvoljnog broja varijabli.

Ako je svakom paru međusobno nezavisnih brojeva (x, y) iz određenog skupa, prema nekom pravilu, dodijeljena jedna ili više vrijednosti varijable z, tada se varijabla z naziva funkcija dvije varijable.

Ako par brojeva (x, y) odgovara jednoj vrijednosti z, tada se poziva funkcija nedvosmisleno, a ako više od jednog, onda - dvosmisleno.

Obim definicije funkcija z je skup parova (x, y) za koje postoji funkcija z.

Neighbourhood point M 0 (x 0, y 0) poluprečnika r je skup svih tačaka (x, y) koje zadovoljavaju uslov.

Poziva se broj A limit funkcija f(x, y) kako tačka M(x, y) teži tački M 0 (x 0, y 0), ako za svaki broj e > 0 postoji broj r > 0 da za bilo koju tačku M (x, y) za koje je uslov

uslov je takođe tačan .

Zapišite:

Neka tačka M 0 (x 0, y 0) pripada domenu funkcije f(x, y). Tada se poziva funkcija z = f(x, y). kontinuirano u tački M 0 (x 0, y 0), ako

(1)

štaviše, tačka M(x, y) teži ka tački M 0 (x 0, y 0) na proizvoljan način.

Ako uslov (1) nije zadovoljen ni u jednoj tački, onda se ova tačka naziva tačka preloma funkcije f(x, y). To može biti u sljedećim slučajevima:

1) Funkcija z \u003d f (x, y) nije definirana u tački M 0 (x 0, y 0).

2) Nema ograničenja.

3) Ova granica postoji, ali nije jednaka f(x 0 , y 0).

Svojstva funkcija nekoliko varijabli vezana za njihov kontinuitet.

Nekretnina. Ako je funkcija f(x, y, …) definirana i kontinuirana u zatvorenom i ograničenom domenu D, tada postoji barem jedna točka u ovoj domeni

N(x 0 , y 0 , …) tako da je nejednakost

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

kao i tačka N 1 (x 01 , y 01 , ...), takva da je za sve ostale tačke tačna nejednakost

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

onda je f(x 0 , y 0 , …) = M – najveća vrijednost funkcije, i f(x 01 , y 01 , ...) = m - najmanju vrijednost funkcije f(x, y, …) u domeni D.

Kontinuirana funkcija u zatvorenoj i ograničenoj domeni D doseže barem jednom najveća vrednost i jednom najmanje.

Nekretnina. Ako je funkcija f(x, y, …) definirana i kontinuirana u zatvorenom ograničenom domenu D, a M i m su, redom, najveći i najmanju vrijednost funkcije u ovoj domeni, tada za bilo koju tačku m n postoji tačka

N 0 (x 0 , y 0 , …) takav da je f(x 0 , y 0 , …) = m.

jednostavno rečeno, kontinuirana funkcija uzima u području D sve srednje vrijednosti između M i m. Posljedica ovog svojstva može biti zaključak da ako brojevi M i m imaju različite predznake, onda u domeni D funkcija nestaje barem jednom.

Nekretnina. Funkcija f(x, y, …), kontinuirana u zatvorenom ograničenom domenu D, ograničeno u ovoj oblasti, ako postoji takav broj K da je za sve tačke površine tačna nejednakost .

Nekretnina. Ako je funkcija f(x, y, …) definirana i kontinuirana u zatvorenom ograničenom domenu D, tada je jednoliko kontinuirano u ovoj oblasti, tj. za bilo koga pozitivan broj e postoji takav broj D > 0 da za bilo koje dvije tačke (x 1 , y 1) i (x 2 , y 2) površine koja se nalazi na udaljenosti manjoj od D vrijedi nejednakost

2. Parcijalni derivati. Parcijalni derivati ​​višeg reda.

Neka je funkcija z = f(x, y) data u nekom domenu. Uzmite proizvoljnu tačku M(x, y) i postavite inkrement Dx na varijablu x. Tada se veličina D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) naziva djelomično povećanje funkcije u x.

Može se napisati

.

Onda zove parcijalni derivat funkcije z = f(x, y) u x.

Oznaka:

Slično je definiran parcijalni izvod funkcije s obzirom na y.

geometrijskog smisla parcijalni izvod (recimo) je tangenta nagiba tangente povučene u tački N 0 (x 0, y 0, z 0) na presjek površine ravninom y \u003d y 0.

Ako je funkcija f(x, y) definirana u nekom domenu D, tada će i njeni parcijalni derivati ​​biti definirani u istom domenu ili njegovom dijelu.

Nazvaćemo ove derivate parcijalni derivati ​​prvog reda.

Derivati ​​ovih funkcija će biti parcijalni derivati ​​drugog reda.

Nastavljajući diferenciranje dobijenih jednakosti, dobijamo parcijalne izvode višeg reda.

Parcijalni derivati ​​oblika itd. pozvao mješoviti derivati.

Teorema. Ako su funkcija f(x, y) i njeni parcijalni derivati ​​definirani i kontinuirani u tački M(x, y) i njenom susjedstvu, tada je relacija tačna:

One. parcijalni derivati ​​višeg reda ne zavise od reda diferencijacije.

Slično se definiraju diferencijali višeg reda.

…………………

Ovdje je n simbolička snaga derivacije, koja se zamjenjuje realnom snagom nakon što se izraz u zagradi podiže na njega.

Puni diferencijal. Geometrijsko značenje totalnog diferencijala. Tangentna ravan i normalna površina.

Izraz se zove puni prirast funkcije f(x, y) u nekoj tački (x, y), pri čemu su a 1 i a 2 infinitezimalne funkcije kao Dh ® 0 i Du ® 0, respektivno.

puni diferencijal funkcija z = f(x, y) je glavni linearni dio u odnosu na Dx i Dy inkrementa funkcije Dz u tački (x, y).

Za funkciju proizvoljnog broja varijabli:

Primjer 3.1. Pronađite puni diferencijal funkcije.