značenje
Greatest
značenje
Najmanje
Maksimalni poen
Niska tačka
Zadaci pronalaženja točaka ekstrema funkcije rješavaju se prema standardnoj shemi u 3 koraka.
Korak 1. Pronađite izvod funkcije
- Zapamtite formule izvoda elementarne funkcije i osnovna pravila diferencijacije za pronalaženje derivacije.
y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.
Korak 2. Pronađite nule izvoda
- Riješite rezultirajuću jednačinu da biste pronašli nule izvoda.
3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.
Korak 3. Pronađite ekstremne tačke
- Koristite metodu razmaka da odredite predznake izvedenice;
- U minimalnoj tački derivacija je nula i mijenja predznak od minus do plus, a na maksimalnoj tački od plusa do minus.
Primijenimo ovaj pristup da riješimo sljedeći problem:
Naći maksimalnu tačku funkcije y=x3−243x+19.
1) Pronađite izvod: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;
2) Riješite jednačinu y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;
3) Izvod je pozitivan za x>9 i x<−9 и отрицательная при −9 Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije Za rješavanje problema pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije neophodno: Pomaže u mnogim zadacima teorema: Ako na segmentu postoji samo jedna tačka ekstrema, a to je minimalna tačka, tada se u njoj postiže najmanja vrijednost funkcije. Ako je ovo maksimalna tačka, tada se na njoj postiže maksimalna vrijednost. 14. Pojam i osnovna svojstva neodređenog integrala. Ako je funkcija f(x X, And k- onda broj Ukratko govoreći: konstanta se može izvaditi iz predznaka integrala. Ako funkcije f(x) I g(x) imaju antiderivate na intervalu X, onda Ukratko govoreći: integral zbira jednak je zbiru integrala. Ako je funkcija f(x) ima antiderivat na intervalu X, zatim za unutrašnje tačke ovog intervala: Ukratko govoreći: derivacija integrala je jednaka integrandu. Ako je funkcija f(x) je kontinuiran na intervalu X i diferencibilan je u unutrašnjim tačkama ovog intervala, tada: Ukratko govoreći: integral diferencijala funkcije jednak je toj funkciji plus konstanta integracije. Hajde da damo rigoroznu matematičku definiciju koncepti neodređenog integrala. Ljubazni izraz se zove integral funkcije f(x)
, gdje f(x)
- integrand funkcija, koja je data (poznata), dx
- diferencijal x
, sa uvijek prisutnim simbolom dx
. Definicija. Neodređeni integral zove funkcija F(x) + C
, koji sadrži proizvoljnu konstantu C
, čiji je diferencijal jednak integrand izraz f(x)dx
, tj. Podsjetimo da - diferencijalna funkcija i definira se na sljedeći način: Pronalaženje problema neodređeni integral je pronaći funkciju derivat koji je jednak integrandu. Ova funkcija je određena do konstante, jer derivacija konstante je nula. Na primjer, poznato je da , onda ispada da Pronalaženje zadatka neodređeni integral from funkcija nije tako jednostavno i lako kao što se čini na prvi pogled. U mnogim slučajevima mora postojati vještina u radu neodređeni integrali, treba da bude iskustvo koje dolazi sa praksom i konstantno rješavanje primjera za neodređene integrale. Vrijedi uzeti u obzir činjenicu da neodređeni integrali iz nekih funkcija (ima ih dosta) nisu preuzete u elementarnim funkcijama. 15. Tabela osnovnih neodređenih integrala. Osnovne formule 16. Definitivni integral kao granica integralnog zbira. Geometrijsko i fizičko značenje integrala. Neka je funkcija y=ƒ(x) definirana na segmentu [a; b], i< b. Выполним следующие действия. 1. Koristeći točke x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0 2. U svakom parcijalnom segmentu, i = 1,2,...,n, biramo proizvoljnu tačku sa i ê i izračunavamo vrijednost funkcije u njoj, tj. vrijednost ƒ(sa i). 3. Pomnožite pronađenu vrijednost funkcije ƒ (iz i) sa dužinom ∆x i =x i -x i-1 odgovarajućeg parcijalnog segmenta: ƒ (iz i) ∆h i. 4. Sastavite zbir S n svih takvih proizvoda: Zbir oblika (35.1) naziva se integralni zbir funkcije y \u003d ƒ (x) na segmentu [a; b]. Sa λ označimo dužinu najvećeg parcijalnog segmenta: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n). 5. Naći granicu integralne sume (35.1) kao n → ∞ tako da je λ→0. Ako, pored toga, integralni zbir S n ima granicu I, koja ne zavisi od metode particionisanja segmenta [a; b] na parcijalne segmente, niti iz izbora tačaka u njima, tada se broj I naziva definitivnim integralom funkcije y = ƒ (x) na segmentu [a; b] i označava se ovako, Brojevi a i b nazivaju se, respektivno, donja i gornja granica integracije, ƒ(x) - integrand, ƒ(x) dx - integrand, x - varijabla integracije, segment [a; b] - područje (segment) integracije. Funkcija y \u003d ƒ (x), za koju je na segmentu [a; b] postoji određeni integral koji se naziva integrabilan na ovom intervalu. Formulirajmo sada teoremu postojanja za određeni integral. Teorema 35.1 (Cauchy). Ako je funkcija y = ƒ(x) kontinuirana na segmentu [a; b], zatim definitivni integral Imajte na umu da je kontinuitet funkcije dovoljan uslov za njenu integrabilnost. Međutim, određeni integral može postojati i za neke diskontinuirane funkcije, posebno za bilo koju funkciju koja je ograničena na interval i na sebi ima konačan broj točaka diskontinuiteta. Istaknimo neka svojstva određenog integrala koja direktno slijede iz njegove definicije (35.2). 1. Definitivni integral je nezavisan od notacije integracione varijable: Ovo proizilazi iz činjenice da integralni zbir (35.1) i, shodno tome, njegova granica (35.2) ne zavise od toga kojim slovom se označava argument ove funkcije. 2. Određeni integral sa istim granicama integracije jednak je nuli: 3. Za bilo koji realan broj c. 17. Newton-Leibnizova formula. Osnovna svojstva određenog integrala. Neka funkcija y = f(x) kontinuirano na segmentu
I F(x) je onda jedan od antiderivata funkcije na ovom segmentu Newton-Leibnizova formula: Zove se Newton-Leibnizova formula osnovna formula integralnog računa. Da bismo dokazali Newton-Leibnizovu formulu, potreban nam je koncept integrala s promjenjivom gornjom granicom. Ako je funkcija y = f(x) kontinuirano na segmentu
, tada je integral forme za argument funkcija gornje granice. Označavamo ovu funkciju Zaista, napišimo prirast funkcije koji odgovara inkrementu argumenta i koristimo peto svojstvo određenog integrala i posljedicu iz desetog svojstva: Prepišimo ovu jednakost u obliku Izračunaj F(a), koristeći prvo svojstvo određenog integrala: Povećanje funkcije obično se označava kao Za primjenu Newton-Leibnizove formule dovoljno nam je znati jedan od antiderivata y=F(x) integrand y=f(x) na segmentu
i izračunaj prirast ovog antiderivata na ovom segmentu. U članku su integracijske metode analizirane glavni načini pronalaženja antiderivata. Navedimo neke primjere izračunavanja definitivnih integrala koristeći Newton-Leibnizovu formulu radi pojašnjenja. Primjer. Izračunajte vrijednost određenog integrala koristeći Newton-Leibniz formulu. Rješenje. Prvo, primijetite da je integrand kontinuiran na intervalu
, dakle, integrabilna je na njemu. (O integrabilnim funkcijama smo govorili u odjeljku o funkcijama za koje postoji definitivan integral). Iz tabele neodređenih integrala može se vidjeti da se za funkciju skup antiderivata za sve realne vrijednosti argumenta (a samim tim i za ) zapisuje kao . Uzmimo primitivce C=0: . Sada ostaje koristiti Newton-Leibniz formulu za izračunavanje definitivnog integrala: 18. Geometrijske primjene određenog integrala. GEOMETRIJSKE PRIMJENE DEFINITIVNOG INTEGRALA Proračun volumena tijela Izračunavanje zapremine tela iz poznatih površina paralelnih preseka: Zapremina tijela rotacije: ; . Primjer 1. Pronađite površinu figure ograničenu krivom y=sinx, ravnim linijama Rješenje: Pronalaženje površine figure: Primjer 2. Izračunajte površinu figure ograničene linijama Rješenje: Nađimo apscise presječnih tačaka grafova ovih funkcija. Da bismo to uradili, rešavamo sistem jednačina Odavde nalazimo x 1 = 0, x 2 = 2,5. 19. Koncept diferencijalnih kontrola. Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Diferencijalna jednadžba- jednadžba koja povezuje vrijednost derivacije funkcije sa samom funkcijom, vrijednostima nezavisne varijable, brojevima (parametrima). Redoslijed izvoda uključenih u jednačinu može biti različit (formalno, nije ničim ograničen). Derivati, funkcije, nezavisne varijable i parametri mogu biti uključeni u jednačinu u različitim kombinacijama, ili svi osim barem jednog izvoda mogu biti potpuno odsutni. Nijedna jednadžba koja sadrži izvode nepoznate funkcije nije diferencijalna jednadžba. Na primjer, Parcijalne diferencijalne jednadžbe(URCHP) su jednadžbe koje sadrže nepoznate funkcije nekoliko varijabli i njihovih parcijalnih izvoda. Opšti oblik takvih jednačina može se predstaviti kao: gdje su nezavisne varijable i je funkcija ovih varijabli. Redoslijed parcijalnih diferencijalnih jednadžbi može se odrediti na isti način kao i za obične diferencijalne jednadžbe. Druga važna klasifikacija parcijalnih diferencijalnih jednačina je njihova podjela na jednačine eliptičkog, paraboličnog i hiperboličkog tipa, posebno za jednačine drugog reda. I obične diferencijalne jednadžbe i parcijalne diferencijalne jednadžbe se mogu podijeliti na linearno I nelinearne. Diferencijalna jednadžba je linearna ako nepoznata funkcija i njeni derivati ulaze u jednadžbu samo na prvi stepen (i ne množe se međusobno). Za takve jednadžbe rješenja čine afini podprostor prostora funkcija. Teorija linearnih diferencijalnih jednadžbi je razvijena mnogo dublje od teorije nelinearnih jednačina. Opći oblik linearne diferencijalne jednadžbe n-ti red: gdje pi(x) su poznate funkcije nezavisne varijable, koje se nazivaju koeficijenti jednačine. Funkcija r(x) na desnoj strani se zove besplatni član(jedini pojam koji ne zavisi od nepoznate funkcije) Važna posebna klasa linearnih jednadžbi su linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantni koeficijenti. Podklasa linearnih jednačina su homogena diferencijalne jednadžbe - jednadžbe koje ne sadrže slobodni pojam: r(x) = 0. Za homogene diferencijalne jednadžbe vrijedi princip superpozicije: linearna kombinacija pojedinih rješenja takve jednadžbe će također biti njeno rješenje. Sve ostale linearne diferencijalne jednadžbe se nazivaju heterogena diferencijalne jednadžbe. Nelinearne diferencijalne jednadžbe u opštem slučaju nemaju razvijene metode rješenja, osim za neke posebne klase. U nekim slučajevima (uz korištenje određenih aproksimacija) mogu se svesti na linearne. Na primjer, linearna jednadžba harmonijskog oscilatora · je homogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Rješenje je familija funkcija , gdje su i proizvoljne konstante, koje se za određeno rješenje određuju iz posebno specificiranih početnih uslova. Ova jednadžba, posebno, opisuje kretanje harmonijskog oscilatora s cikličkom frekvencijom od 3. · Drugi Newtonov zakon se može napisati u obliku diferencijalne jednačine · Beselova diferencijalna jednačina je obična linearna homogena jednačina drugog reda sa promenljivim koeficijentima: njena rešenja su Beselove funkcije. Primjer nehomogene nelinearne obične diferencijalne jednadžbe 1. reda: U sljedećoj grupi primjera, nepoznata funkcija u zavisi od dve varijable x I t ili x I y. Homogena linearna parcijalna diferencijalna jednadžba prvog reda: Jednodimenzionalna valna jednadžba - homogena linearna jednadžba u parcijalnim derivatima hiperboličkog tipa drugog reda sa konstantnim koeficijentima, opisuje vibraciju strune, ako - odstupanje strune u tački sa koordinatom x u to vrijeme t, i parametar a postavlja svojstva niza: Laplaceova jednadžba u dvodimenzionalnom prostoru je homogena linearna diferencijalna jednadžba u parcijalnim derivatima drugog reda eliptičkog tipa sa konstantnim koeficijentima, koja se javlja u mnogim fizičkim problemima mehanike, provođenja toplote, elektrostatike, hidraulike: Korteweg-de Vriesova jednadžba, nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba trećeg reda koja opisuje stacionarne nelinearne valove, uključujući solitone: 20. Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim primjenjivim. Linearne jednadžbe i Bernulijeva metoda. Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba koja je linearna u odnosu na nepoznatu funkciju i njen izvod. Ima oblik celobrojnog stepena. Zaista, ako pronađemo i zamijenimo u jednadžbe razmatranih tipova, dobićemo ispravnu jednakost. Kao što je navedeno u članku o homogene jednačine, ako se po uvjetu traži samo određeno rješenje, onda nam funkcija, iz očiglednih razloga, ne smeta, ali kada je potrebno pronaći opće rješenje/integral, onda je potrebno osigurati da je ova funkcija nije izgubljeno! Donio sam sve popularne varijante Bernoullijeve jednadžbe u velikoj vrećici s poklonima i nastavio sa distribucijom. Objesite čarape ispod drveta. Primjer 1 Naći određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara datom početnom uvjetu. Vjerovatno su mnogi bili iznenađeni što je i prvi poklon odmah izvađen iz torbe Cauchy problem. Ovo nije nesreća. Kada se Bernoullijeva jednačina predlaže za rješenje, iz nekog razloga se često traži da se pronađe određeno rješenje. Za svoju kolekciju, napravio sam slučajni uzorak od 10 Bernoullijevih jednačina, a opće rješenje (bez posebnog rješenja) treba pronaći u samo 2 jednačine. Ali, zapravo, ovo je sitnica, jer će se u svakom slučaju morati tražiti opće rješenje. Rješenje: Ovaj diffur ima oblik , i stoga je Bernoullijeva jednačina Najveća vrijednost funkcije Najmanja vrijednost funkcije Kako je kum rekao: "Ništa lično." Samo derivati! Zadatak 12 u statistici smatra se prilično teškim, a sve zato što momci nisu pročitali ovaj članak (šala). U većini slučajeva kriva je nepažnja. 12 zadatak je dva tipa: Zadaci uz ispit: Pronađite maksimalnu tačku funkcije Pronađite minimalnu tačku funkcije Zadaci uz ispit: Pronađite najveću vrijednost funkcije na intervalu [−4; −1] Odgovor: -6 Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu Odgovor: 11 Zaključci: Ekstremna tačka funkcije je tačka u domenu funkcije u kojoj vrijednost funkcije poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost. Vrijednosti funkcije u ovim točkama nazivaju se ekstremima (minimum i maksimum) funkcije. Definicija. Dot x1
opseg funkcije f(x) se zove maksimalna tačka funkcije
, ako je vrijednost funkcije u ovoj tački veća od vrijednosti funkcije u tačkama koje su joj dovoljno blizu, koje se nalaze desno i lijevo od nje (odnosno, nejednakost f(x0
) > f(x 0
+ Δ x)
x1
maksimum. Definicija. Dot x2
opseg funkcije f(x) se zove minimalna tačka funkcije, ako je vrijednost funkcije u ovoj tački manja od vrijednosti funkcije u tačkama koje su joj dovoljno blizu, koje se nalaze desno i lijevo od nje (odnosno, nejednakost f(x0
) < f(x 0
+ Δ x)
). U ovom slučaju se kaže da funkcija ima u tački x2
minimum. Recimo poentu x1
- maksimalna tačka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x1
funkcija se povećava, pa je derivacija funkcije veća od nule ( f "(x) > 0 ), iu intervalu nakon toga x1
funkcija se smanjuje, dakle derivat funkcije manje od nule ( f "(x) < 0
).
Тогда в точке x1
Pretpostavimo i da je poenta x2
- minimalna tačka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x2
funkcija se smanjuje i derivacija funkcije je manja od nule ( f "(x) < 0
), а в интервале
после x2
funkcija raste i derivacija funkcije je veća od nule ( f "(x) > 0 ). I u ovom slučaju u tački x2
derivacija funkcije je nula ili ne postoji. Fermatova teorema ( neophodan znak postojanje ekstremuma funkcije). Ako tačka x0
- tačka ekstrema funkcije f(x), tada je u ovom trenutku derivacija funkcije jednaka nuli ( f "(x) = 0 ) ili ne postoji. Definicija. Pozivaju se tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji kritične tačke
. Primjer 1 Razmotrimo funkciju. U tački x= 0 derivacija funkcije je jednaka nuli, dakle, tačka x= 0 je kritična tačka. Međutim, kao što se može vidjeti na grafu funkcije, ona raste u cijelom domenu definicije, pa je tačka x= 0 nije tačka ekstrema ove funkcije. Dakle, uslovi da je derivacija funkcije u tački jednaka nuli ili da ne postoji su neophodni uslovi za ekstrem, ali nisu dovoljni, jer se mogu dati i drugi primeri funkcija za koje su ovi uslovi zadovoljeni, ali funkcija nema ekstremu u odgovarajućoj tački. Zbog toga mora imati dovoljno indikacija, koji omogućavaju procjenu da li u određenoj kritičnoj tački postoji ekstremum, a koji - maksimum ili minimum. Teorema (prvi dovoljan kriterij za postojanje ekstremuma funkcije). Kritična tačka x0
f(x) , ako derivacija funkcije promijeni predznak pri prolasku kroz ovu tačku, i ako se predznak promijeni iz "plus" u "minus", tada je maksimalna tačka, a ako iz "minus" u "plus", onda je minimalna tačka . Ako je blizu tačke x0
, lijevo i desno od njega, derivacija zadržava svoj predznak, to znači da funkcija ili samo opada ili samo raste u nekom susjedstvu tačke x0
. U ovom slučaju, u tački x0
ne postoji ekstremum. dakle, da biste odredili tačke ekstrema funkcije, trebate učiniti sljedeće
: Primjer 2 Pronađite ekstreme funkcije Rješenje. Nađimo derivaciju funkcije: Izjednačite derivaciju sa nulom da biste pronašli kritične tačke: Budući da za bilo koju vrijednost "x" imenilac nije jednak nuli, tada izjednačavamo brojnik sa nulom: Imam jednu kritičnu tačku x= 3 . Određujemo predznak derivacije u intervalima ograničenim ovom točkom: u rasponu od minus beskonačnosti do 3 - znak minus, odnosno funkcija se smanjuje, u rasponu od 3 do plus beskonačno - znak plus, odnosno funkcija se povećava. Odnosno, tačka x= 3 je minimalna tačka. Pronađite vrijednost funkcije u minimalnoj tački: Dakle, nalazi se tačka ekstrema funkcije: (3; 0) , i to je tačka minimuma. Teorema (drugi dovoljan kriterij za postojanje ekstremuma funkcije). Kritična tačka x0
je tačka ekstrema funkcije f(x) , ako drugi izvod funkcije u ovoj tački nije jednak nuli ( f ""(x) ≠ 0 ), osim toga, ako je drugi izvod veći od nule ( f ""(x) > 0 ), tada maksimalna tačka, a ako je drugi izvod manji od nule ( f ""(x) < 0
),
то точкой минимума. Napomena 1. Ako u nekom trenutku x0
i prvi i drugi derivat nestaju, tada je u ovom trenutku nemoguće suditi o prisustvu ekstremuma na osnovu drugog dovoljnog znaka. U ovom slučaju morate koristiti prvi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije. Napomena 2. Drugi dovoljan kriterijum za ekstremum funkcije je takođe neprimenljiv kada prvi izvod ne postoji u stacionarnoj tački (tada ne postoji ni drugi izvod). U ovom slučaju je također potrebno koristiti prvi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije. Iz gornjih definicija proizilazi da je ekstremum funkcije lokalne prirode – to je najveća i najmanja vrijednost funkcije u odnosu na najbliže vrijednosti. Pretpostavimo da razmatrate svoju zaradu u vremenskom rasponu od jedne godine. Ako ste u maju zaradili 45.000 rubalja, a u aprilu 42.000 rubalja i u junu 39.000 rubalja, onda je zarada u maju maksimum funkcije zarade u odnosu na najbliže vrednosti. Ali u oktobru ste zaradili 71.000 rubalja, u septembru 75.000 rubalja, a u novembru 74.000 rubalja, tako da je oktobarska zarada minimalna zarada u funkciji u odnosu na obližnje vrednosti. I lako možete vidjeti da je maksimum među vrijednostima april-maj-jun manji od minimuma septembar-oktobar-novembar. Općenito govoreći, funkcija može imati nekoliko ekstrema u intervalu i može se ispostaviti da je bilo koji minimum funkcije veći od bilo kojeg maksimuma. Dakle, za funkciju prikazanu na gornjoj slici, . Odnosno, ne treba misliti da su maksimum i minimum funkcije, redom, njena maksimalna i minimalna vrijednost na cijelom segmentu koji se razmatra. Na maksimalnoj tački funkcija ima najveću vrijednost samo u poređenju sa onim vrijednostima koje ima u svim tačkama koje su dovoljno blizu tačke maksimuma, a u minimalnoj tački najmanju vrijednost samo u poređenju sa onim vrijednostima koje ima u svim tačkama dovoljno blizu minimalnoj tački. Stoga možemo precizirati koncept tačaka ekstrema neke gore date funkcije i nazvati minimalne tačke lokalnim minimalnim tačkama, a maksimalne tačke lokalnim maksimumom. Primjer 3 Rješenje Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj. Njegov derivat Za interval, referentna točka može biti: nalazimo . Uzimajući točku u intervalu, dobivamo , i uzimajući točku u intervalu, imamo . Dakle, u intervalima i , I u intervalu . Prema prvom dovoljan znak ekstrema, u tački nema ekstrema (pošto derivacija zadržava svoj predznak u intervalu ), au tački funkcija ima minimum (pošto derivacija mijenja predznak iz minusa u plus kada prolazi kroz ovu tačku). Pronađite odgovarajuće vrijednosti funkcije: , i . U intervalu, funkcija se smanjuje, jer u ovom intervalu , a u intervalu se povećava, jer u ovom intervalu. Da bismo razjasnili konstrukciju grafa, nalazimo tačke njegovog preseka sa koordinatnim osa. Kada dobijemo jednačinu čiji su korijeni i , tj. dvije točke (0; 0) i (4; 0) grafa funkcije pronađene. Koristeći sve primljene informacije, gradimo graf (vidi na početku primjera). Za samoprovjeru tokom proračuna možete koristiti online kalkulator derivata . Primjer 4 Pronađite ekstreme funkcije i izgradite njen graf. Domen funkcije je cijela brojevna prava, osim tačke, tj. . Da skratimo studiju, možemo koristiti činjenicu da je ova funkcija parna, jer Pronalaženje derivata 1) 2) ali funkcija trpi prekid u ovoj tački, tako da ne može biti tačka ekstrema. Na ovaj način, datu funkciju ima dvije kritične tačke: i . Uzimajući u obzir parnost funkcije, provjeravamo samo tačku po drugom dovoljnom znaku ekstremuma. Da bismo to učinili, nalazimo drugi izvod Da bismo dobili potpuniju sliku grafa funkcije, otkrijmo njeno ponašanje na granicama domene definicije: (ovdje simbol označava želju x na nulu na desnoj strani, i x ostaje pozitivan; slično znači težnja x na nulu lijevo, i x ostaje negativan). Dakle, ako , Tada . Dalje, nalazimo one. ako onda . Graf funkcije nema točaka presjeka sa osama. Slika je na početku primjera. Za samoprovjeru tokom proračuna možete koristiti online kalkulator derivata . Primjer 8 Pronađite ekstreme funkcije . Rješenje. Pronađite domenu funkcije. Budući da nejednakost mora vrijediti, dobivamo iz . Nađimo prvi izvod funkcije. Teorema.
(neophodan uslov za postojanje ekstremuma) Ako je funkcija f (x) diferencijabilna u tački x = x 1 i tačka x 1 je tačka ekstrema, tada derivacija funkcije nestaje u ovoj tački. Dokaz.
Pretpostavimo da funkcija f(x) ima maksimum u tački x = x 1. Tada, za dovoljno mali pozitivan Dh>0, vrijedi sljedeća nejednakost: Po definiciji: One. ako je Dh®0, ali Dh<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, onda f¢(x 1) £ 0. A to je moguće samo ako je na Dh®0 f¢(x 1) = 0. Za slučaj kada funkcija f(x) ima minimum u tački x 2, teorema se dokazuje slično. Teorema je dokazana. Posljedica.
Obratno nije tačno. Ako je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, onda to ne znači da funkcija u ovoj tački ima ekstrem. Elokventan primjer za to je funkcija y = x 3, čiji je izvod u tački x = 0 jednak nuli, ali u ovom trenutku funkcija ima samo fleksiju, a ne maksimum ili minimum. Definicija. kritične tačke Funkcije su tačke u kojima derivacija funkcije ne postoji ili je jednaka nuli. Gore razmatrana teorema daje nam neophodne uslove za postojanje ekstremuma, ali to nije dovoljno. primjer: f(x) = ôxô primjer: f(x) = U tački x = 0 funkcija ima minimum, ali u tački x = 0 funkcija nema ni jedno ni drugo nema derivat. maksimum, nema minimum, ne Uopšteno govoreći, funkcija f(x) može imati ekstrem u tačkama u kojima izvod ne postoji ili je jednak nuli. Teorema.
(Dovoljni uslovi postojanje ekstrema) Neka je funkcija f(x) kontinuirana u intervalu (a, b), koji sadrži kritičnu tačku x 1 , i diferencijabilna u svim tačkama ovog intervala (osim, možda, same tačke x 1). Ako pri prolasku kroz tačku x 1 s lijeva na desno derivacija funkcije f¢(x) promijeni predznak iz “+” u “-“, tada u tački x = x 1 funkcija f(x) ima maksimum, a ako derivacija promijeni predznak iz “- “ u “+” - tada funkcija ima minimum. Dokaz.
Neka bude Prema Lagrangeovoj teoremi: f(x) - f(x 1) = f¢(e)(x - x 1), gdje je x< e < x 1 . Tada: 1) Ako je x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). 2) Ako je x > x 1, onda je e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1). Pošto su odgovori isti, možemo reći da je f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума. Dokaz teoreme za minimalnu tačku je sličan. Teorema je dokazana. Na osnovu prethodno navedenog, moguće je razviti jedinstvenu proceduru za pronalaženje najvećeg i najmanju vrijednost funkcije na segmentu: 1) Pronađite kritične tačke funkcije. 2) Pronađite vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama. 3) Pronađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta. 4) Izaberite između dobijenih vrednosti najveću i najmanju. Istraživanje funkcije do ekstrema korištenjem derivati višeg reda. Neka je f¢(x 1) = 0 u tački x = x 1 i neka f¢¢(x 1) postoji i kontinuirano je u nekom susjedstvu tačke x 1 . Teorema.
Ako je f¢(x 1) = 0, tada funkcija f(x) u tački x = x 1 ima maksimum ako je f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Dokaz.
Neka je f¢(x 1) = 0 i f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 . Jer f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 na x Za slučaj minimalne funkcije, teorema se dokazuje slično. Ako je f¢¢(x) = 0, tada je priroda kritične tačke nepoznata. Potrebna su dalja istraživanja da bi se to utvrdilo. Konveksnost i konkavnost krive. Pregibne tačke. Definicija.
Kriva je konveksna gore na intervalu (a, b) ako sve njegove tačke leže ispod bilo koje njegove tangente na ovom intervalu. Zove se kriva sa konveksnom tačkom prema gore konveksan, a kriva konveksna prema dolje se zove konkavna. Slika prikazuje ilustraciju gornje definicije. Teorema 1.
Ako je u svim tačkama intervala (a, b) drugi izvod funkcije f(x) negativan, tada je kriva y = f(x) konveksna prema gore (konveksna). Dokaz.
Neka je x 0 O (a, b). Nacrtajte tangentu na krivu u ovoj tački. Jednačina krivulje: y = f(x); Tangentna jednadžba: Mora se dokazati da . Prema Lagrangeovoj teoremi za f(x) – f(x 0): , x 0< c < x. Prema Lagrangeovoj teoremi za Neka je x > x 0 pa je x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 i c - x 0 > 0, i pored toga, po uslovu Shodno tome, . Neka x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то Slično se može dokazati da ako je f¢¢(x) > 0 na intervalu (a, b), onda je kriva y=f(x) konkavna na intervalu (a, b). Teorema je dokazana. Definicija.
Tačka koja odvaja konveksni dio krive od konkavnog dijela naziva se tačka pregiba. Očigledno, u tački pregiba, tangenta siječe krivu. Teorema 2.
Neka je kriva definirana jednadžbom y = f(x). Ako drugi izvod f¢¢(a) = 0 ili f¢¢(a) ne postoji i pri prolasku kroz tačku x = af¢¢(x) promijeni predznak, tada je tačka krive sa apscisom x = a je prevojna tačka. Dokaz.
1) Neka f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 za x > a. Zatim u x< a кривая выпукла, а при x >kriva je konkavna, tj. tačka x = a je tačka pregiba. 2) Neka je f¢¢(x) > 0 za x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b - ispupčenje. Tada je x = b tačka pregiba. Teorema je dokazana. Asimptote. U proučavanju funkcija često se dešava da kada se x-koordinata tačke krive ukloni u beskonačnost, kriva se neograničeno približava određenoj pravoj liniji. Definicija.
Direktno pozvan asimptota krivulje, ako udaljenost od promjenljive tačke krive do ove prave linije teži nuli kada se tačka ukloni u beskonačnost. Treba napomenuti da svaka kriva nema asimptotu. Asimptote mogu biti ravne ili kose. Proučavanje funkcija prisutnosti asimptota ima veliki značaj i omogućava vam da preciznije odredite prirodu funkcije i ponašanje grafa krive. Uopšteno govoreći, kriva, približavajući se svojoj asimptoti neograničeno, može je također preseći, a ne u jednoj tački, kao što je prikazano na grafu funkcije ispod Razmotrimo detaljnije metode za pronalaženje asimptota krivulja. Vertikalne asimptote. Iz definicije asimptote slijedi da ako ili ili , tada je prava x = a asimptota krive y = f(x). Na primjer, za funkciju, linija x = 5 je vertikalna asimptota. Kose asimptote. Pretpostavimo da kriva y = f(x) ima kosu asimptotu y = kx + b. Označimo točku presjeka krivulje i okomice na asimptotu - M, P - tačku presjeka ove okomice sa asimptotom. Ugao između asimptote i x-ose će biti označen sa j. Okomita MQ na x-osu siječe asimptotu u tački N. Tada je MQ = y ordinata tačke krive, NQ = ordinata tačke N na asimptoti. Po uslovu: , RNMP = j, . Ugao j je tada konstantan i nije jednak 90 0 Onda Dakle, prava y = kx + b je asimptota krive. Za tacna definicija u ovoj liniji, potrebno je pronaći način za izračunavanje koeficijenata k i b. U rezultirajućem izrazu uzimamo x iz zagrada: Jer x®¥, onda Onda Jer Imajte na umu da su horizontalne asimptote poseban slučaj kosih asimptota za k =0. Primjer. 1) Vertikalne asimptote: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, dakle, x = 0 je vertikalna asimptota. 2) Kose asimptote: Dakle, prava linija y = x + 2 je kosa asimptota. Nacrtajmo funkciju: Primjer. Nađite asimptote i nacrtajte graf funkcije. Prave x=3 i x=-3 su vertikalne asimptote krive. Pronađite kose asimptote: y = 0 je horizontalna asimptota. Primjer. Pronađite asimptote i nacrtajte funkciju Prava x = -2 je vertikalna asimptota krive. Nađimo kose asimptote. Ukupno, prava y = x - 4 je kosa asimptota. Shema proučavanja funkcija Proces istraživanja funkcije sastoji se od nekoliko faza. Za najpotpuniju predstavu o ponašanju funkcije i prirodi njenog grafa, potrebno je pronaći: 1) Opseg funkcije. Ovaj koncept uključuje i domen vrijednosti i opseg funkcije. 2) Prelomne tačke. (ako su dostupni). 3) Intervali porasta i smanjenja. 4) Tačke maksimuma i minimuma. 5) Maksimalni i minimalna vrijednost funkcionira na svom domenu. 6) Područja konveksnosti i konkavnosti. 7) Pregibne tačke (ako ih ima). 8) Asimptote (ako ih ima). 9) Izrada grafa. Koristimo ovu šemu sa primjerom. Primjer. Istražite funkciju i nacrtajte njen graf. Pronalazimo područje postojanja funkcije. Očigledno je da domenu definicije funkcija je površina (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Zauzvrat, može se vidjeti da su linije x = 1, x = -1 vertikalne asimptote krivo. Područje vrijednosti ove funkcije je interval (-¥; ¥). tačke prekida funkcije su tačke x=1, x=-1. Mi nalazimo kritične tačke. Nađimo derivaciju funkcije Kritične tačke: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1. Nađimo drugi izvod funkcije Odredimo konveksnost i konkavnost krive u intervalima. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < 0, y¢¢ >0, kriva konkavna 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ >0, kriva konkavna < x < ¥, y¢¢ >0, kriva konkavna Pronalaženje praznina povećanje I silazno funkcije. Da bismo to učinili, određujemo predznake derivacije funkcije na intervalima. -¥ < x < - , y¢ >0, funkcija se povećava - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ >0, funkcija se povećava Može se vidjeti da je tačka x = - tačka maksimum, a tačka x = je tačka minimum. Vrijednosti funkcije u ovim tačkama su -3/2 i 3/2, respektivno. O vertikali asimptote je već rečeno gore. Sad hajde da nađemo kose asimptote. Dakle, jednačina kose asimptote je y = x. Hajde da gradimo raspored karakteristike: Funkcije nekoliko varijabli
Kada razmatramo funkcije nekoliko varijabli, ograničavamo se na detaljan opis funkcija dvije varijable, budući da svi dobijeni rezultati će vrijediti za funkcije proizvoljan broj varijable. Definicija: Ako se svakom paru nezavisnih brojeva (x, y) iz određenog skupa, prema nekom pravilu, dodijeli jedna ili više vrijednosti varijable z, tada se varijabla z naziva funkcijom dvije varijable. definicija:
Ako par brojeva (x, y) odgovara jednoj vrijednosti z, tada se poziva funkcija nedvosmisleno, a ako više od jednog, onda - dvosmisleno. definicija: Obim definicije funkcija z je skup parova (x, y) za koje postoji funkcija z. definicija: Neighbourhood point M 0 (x 0, y 0) poluprečnika r je skup svih tačaka (x, y) koje zadovoljavaju uslov definicija:
Poziva se broj A limit funkcija f(x, y) kako tačka M(x, y) teži tački M 0 (x 0, y 0), ako za svaki broj e > 0 postoji takav broj r > 0 da za bilo koju tačku M (x, y) za koje je uslov uslov je takođe tačan Zapišite: definicija:
Neka tačka M 0 (x 0, y 0) pripada domenu funkcije f(x, y). Tada se poziva funkcija z = f(x, y). kontinuirano u tački M 0 (x 0, y 0), ako štaviše, tačka M(x, y) teži tački M 0 (x 0, y 0) na proizvoljan način. Ako uslov (1) nije zadovoljen ni u jednoj tački, onda se ova tačka naziva tačka preloma funkcije f(x, y). To može biti u sljedećim slučajevima: 1) Funkcija z \u003d f (x, y) nije definirana u tački M 0 (x 0, y 0). 2) Nema ograničenja. 3) Ova granica postoji, ali nije jednaka f(x 0 , y 0). Nekretnina.
Ako je funkcija f(x, y, …) definirana i kontinuirana u zatvorenom i ograničeno područje D, tada u ovoj oblasti postoji barem jedna tačka N(x 0 , y 0 , …) tako da je nejednakost f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …) kao i tačka N 1 (x 01 , y 01 , ...), takva da je za sve ostale tačke tačna nejednakost f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …) onda je f(x 0 , y 0 , …) = M – najveća vrijednost funkcije, i f(x 01 , y 01 , ...) = m - najmanju vrijednost funkcije f(x, y, …) u domeni D. Kontinuirana funkcija u zatvorenoj i ograničenoj domeni D barem jednom dosegne svoju maksimalnu vrijednost i jednom svoju minimalnu vrijednost. Nekretnina.
Ako je funkcija f(x, y, …) definirana i kontinuirana u zatvorenoj ograničenoj domeni D, a M i m su najveća i najmanja vrijednost funkcije u ovoj domeni, tada za bilo koju tačku m O postoji je tačka N 0 (x 0 , y 0 , …) tako da je f(x 0 , y 0 , …) = m. jednostavno rečeno, kontinuirana funkcija uzima u području D sve srednje vrijednosti između M i m. Posljedica ovog svojstva može biti zaključak da ako brojevi M i m imaju različite predznake, tada u domeni D funkcija nestaje barem jednom. Nekretnina.
Funkcija f(x, y, …), kontinuirana u zatvorenom ograničenom domenu D, ograničeno u ovoj oblasti, ako postoji takav broj K da je za sve tačke površine tačna nejednakost Nekretnina.
Ako je funkcija f(x, y, …) definirana i kontinuirana u zatvorenom ograničenom domenu D, tada je jednoliko kontinuirano u ovoj oblasti, tj. za bilo koga pozitivan broj e postoji takav broj D > 0 da za bilo koje dvije tačke (x 1 , y 1) i (x 2 , y 2) površine koja se nalazi na udaljenosti manjoj od D vrijedi nejednakost Gore navedena svojstva su slična svojstvima funkcija jedne varijable koje su kontinuirane na intervalu. Pogledajte Svojstva funkcija kontinuiranih u intervalu. Derivati i diferencijali funkcija više varijabli. Definicija.
Neka je funkcija z = f(x, y) data u nekom domenu. Uzmite proizvoljnu tačku M(x, y) i postavite inkrement Dx na varijablu x. Tada se veličina D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) naziva djelomično povećanje funkcije u x. Može se napisati Onda zove parcijalni derivat funkcije z = f(x, y) u x. Oznaka: Slično je definiran i parcijalni izvod funkcije s obzirom na y. geometrijskog smisla parcijalni izvod (recimo) je tangenta nagiba tangente povučene u tački N 0 (x 0, y 0, z 0) na presjek površine ravninom y \u003d y 0. Pun prirast i totalni diferencijal.
tangentna ravan Neka su N i N 0 tačke date površine. Nacrtajmo pravu liniju NN 0 . Ravan koja prolazi kroz tačku N 0 naziva se tangentna ravan na površinu ako ugao između sekante NN 0 i ove ravni teži nuli kada udaljenost NN 0 teži nuli. Definicija. normalno na površinu u tački N 0 naziva se prava linija koja prolazi kroz tačku N 0 okomito na tangentnu ravan na ovu površinu. U nekom trenutku, površina ima ili samo jednu tangentnu ravan, ili je uopšte nema. Ako je površina data jednadžbom z = f (x, y), gdje je f (x, y) funkcija diferencibilna u tački M 0 (x 0, y 0), tangentna ravnina u tački N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) postoji i ima jednačinu: Jednačina za normalu na površinu u ovoj tački je: geometrijskog smisla ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli f (x, y) u tački (x 0, y 0) je prirast primjene (z-koordinate) tangentne ravni na površinu tokom prijelaza iz tačke (x 0, y 0) do tačke (x 0 + Dx, y 0 + Dy). kao što se vidi, geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable. Primjer. Naći jednačine tangentne ravni i normale na površinu u tački M(1, 1, 1). Jednačina tangentne ravni: Normalna jednačina: Približni proračuni koristeći ukupni diferencijal.
Ukupni diferencijal funkcije u je: Tačna vrijednost ovog izraza je 1,049275225687319176. Parcijalni derivati višeg reda. Ako je funkcija f(x, y) definirana u nekom domenu D, tada će i njeni parcijalni derivati biti definirani u istom domenu ili njegovom dijelu. Nazvaćemo ove derivate parcijalni derivati prvog reda. Derivati ovih funkcija će biti parcijalni derivati drugog reda. Nastavljajući diferenciranje dobijenih jednakosti, dobijamo parcijalne izvode višeg reda. Razmotrimo funkciju y = f(x), koja se razmatra na intervalu (a, b). Ako je moguće odrediti takvo b-susjedstvo tačke x1 koja pripada intervalu (a, b) da je za sve x (x1, b) zadovoljena nejednakost f(x1) > f(x), tada je y1 = f1(x1) se poziva funkcija maksimalno y = f(x) vidi sl. Maksimum funkcije y = f(x) označava se sa max f(x). Ako je moguće odrediti 6-susjedstvo tačke x2 koja pripada intervalu (a, b) tako da za sve x pripada O(x2, 6), x nije jednako x2, nejednakost f(x2)< f(x)
, tada se y2= f(x2) naziva minimumom funkcije y-f(x) (vidi sliku). Primjer pronalaženja maksimuma pogledajte sljedeći video Minimum funkcije y = f(x) označava se sa min f(x). Drugim riječima, maksimum ili minimum funkcije y = f(x) pozvao njegovu vrijednost, koja je veća (manja) od svih ostalih vrijednosti uzetih u tačkama koje su dovoljno bliske datoj i različite od nje. Napomena 1. Feature Maximum, određena nejednakošću naziva se strogi maksimum; nestrogi maksimum je definiran nejednakošću f(x1) > = f(x2) Napomena 2. imaju lokalni karakter (ovo su najveće i najmanje vrijednosti funkcije u dovoljno malom susjedstvu odgovarajuće tačke); pojedinačni minimumi neke funkcije mogu biti veći od maksimuma iste funkcije Maksimum i minimum funkcije nazivaju se ekstremom.
. Ekstremi u pronalaženju za funkcije crtanja latinski extremum znači "ekstremno"
značenje. Vrijednost argumenta x, pri kojoj se postiže ekstrem, naziva se tačka ekstrema. Neophodan uslov za ekstremum je izražen sljedećom teoremom. Teorema. U tački ekstrema diferencijabilne funkcije i njena derivacija jednaka je nuli. Teorema ima jednostavno geometrijsko značenje: tangenta na graf diferencijabilne funkcije u odgovarajućoj tački je paralelna s x-osi
ili 
Funkcija se poziva antiderivativna funkcija. Antiderivat funkcije određuje se do konstantne vrijednosti.
, ovdje je proizvoljna konstanta.
.
, a ova funkcija je kontinuirana i jednakost 
.
gdje .
. Ako se prisjetimo definicije derivacije funkcije i idemo do granice na , tada ćemo dobiti . To jest, jedan je od antiderivata funkcije y = f(x) na segmentu
. Dakle, skup svih antiderivata F(x) može se napisati kao , gdje OD je proizvoljna konstanta.
, Shodno tome, . Ovaj rezultat koristimo za izračunavanje F(b): , tj 
. Ova jednakost daje dokazivu Newton-Leibnizovu formulu .
. Koristeći ovu notaciju, Newton-Leibnizova formula će poprimiti oblik .
.Pravougaoni S.K. Funkcija, definirana parametarski Polyarnaya S.K.
Izračunavanje površine ravnih figura
Izračunavanje dužine luka planarne krive
Izračunavanje površine okretanja
nije diferencijalna jednadžba.
može se smatrati aproksimacijom nelinearne jednačine matematičkog klatna 
za slučaj malih amplituda, kada y≈ sin y.
gdje m- tjelesna masa, x- njegova koordinata, F(x, t) je sila koja djeluje na tijelo sa koordinatom x u to vrijeme t. Njegovo rješenje je putanja tijela pod djelovanjem navedene sile.
, Vrijednosti funkcije i maksimalne i minimalne točke
Kako postupiti u ovim slučajevima? Pronađite visoku/nisku tačku
Tako je, prvo se funkcija povećava, a zatim smanjuje - ovo je maksimalna tačka!
Odgovor: -15 
Odgovor: -2 Pronađite najveću/najmanju vrijednost funkcije
.
.Lokalna priroda ekstrema funkcije
Zajedno tražimo ekstreme funkcije
također postoji na cijeloj brojevnoj pravoj. Dakle, u ovom slučaju samo one na kojima , tj. služe kao kritične tačke. , odakle i . Kritične tačke i podijeliti cijelu domenu funkcije u tri intervala monotonosti: . U svakom od njih biramo po jednu kontrolnu tačku i u toj tački nalazimo predznak derivacije.
. Stoga je njegov graf simetričan u odnosu na os Oy a studija se može izvesti samo za interval .
i kritične tačke funkcije:
;
,
i odrediti njegov znak na : dobivamo . Budući da i , Tada je minimalna točka funkcije, dok 
.
,Zajedno nastavljamo tražiti ekstreme funkcije
y y
at
. Njena kosa asimptota y = x.
.
, jer b = const, dakle 
.
, Shodno tome,
.
, onda 
, Shodno tome,
.
.
.
.
(1)
.
.
Funkcija Minimum
Kao rezultat, poziva se maksimum (minimum) funkcije lokalni maksimum(lokalni minimum) za razliku od apsolutnog maksimuma (minimuma) - najveća (najmanja) vrijednost u domeni funkcije.