UVOD

Priručnik je namijenjen nastavnicima matematike u tehničkim školama, kao i studentima drugih godina svih specijalnosti.

U ovom radu izlažemo osnovne pojmove teorije serija. Teorijski materijal ispunjava uslove Državnog obrazovnog standarda srednjeg stručnog obrazovanja (Ministarstvo prosvjete Ruska Federacija. M., 2002).

Izlaganje teorijskog materijala o cjelokupnoj temi praćeno je razmatranjem velikog broja primjera i zadataka, izvedenih pristupačnim, po mogućnosti, strogim jezikom. Na kraju priručnika su primjeri i zadaci koje učenici mogu obavljati u načinu samokontrole.

Priručnik je namijenjen studentima dopisnog i redovnog oblika obrazovanja.

Uzimajući u obzir stepen pripremljenosti učenika tehničkih škola, kao i izuzetno ograničen broj časova (12 sati + 4 funte) predviđenih programom za polaganje više matematike u tehničkim školama, strogi zaključci, koji predstavljaju velike poteškoće za asimilaciju , su izostavljeni, ograničeni na razmatranje primjera.

OSNOVNI KONCEPTI

Rješenje problema predstavljenog u matematičkom smislu, na primjer, kao kombinacija različitih funkcija, njihovih izvoda i integrala, mora biti sposobno „dovesti do broja“, koji najčešće služi kao konačni odgovor. Za to su razvijene različite metode u raznim granama matematike.

Dio matematike koji omogućava rješavanje bilo kojeg dobro postavljenog problema sa dovoljnom preciznošću za praktičnu upotrebu naziva se teorija serija.

Čak i ako su neki suptilni koncepti matematička analiza kada su se pojavile van dodira sa teorijom serija, odmah su primenjene na serije, koje su služile kao svojevrsni instrument za proveru značaja ovih pojmova. Ovakva situacija traje do danas.

Izražavanje forme

gdje su ;;;…;;… članovi serije; - nth ili zajednički član niza, naziva se beskonačan niz (broj).

Ako članovi serije:

I. Brojne serije

1.1. Osnovni koncepti brojevnog niza.

Brojevni niz je zbir oblika

, (1.1)

gdje ,,,…,,…, zvani članovi serije, formiraju beskonačan niz; član se naziva zajedničkim članom serije.

sastavljene od prvih članova niza (1.1) nazivaju se parcijalni sumi ovog niza.

Svaki red može biti povezan sa nizom parcijalnih suma .

Ako sa beskonačnim povećanjem broja n parcijalni zbir niza teži granici, tada se red naziva konvergentan, a broj se naziva zbir konvergentnog niza, tj.

Ovaj unos je ekvivalentan unosu

Ako se djelomični zbir niza (1.1) neograničeno povećava n nema konačnu granicu ( teži ili ), onda se takav niz naziva divergentan .

Ako je red konvergentan , zatim vrijednost za dovoljno veliku n je približan izraz za sumu niza S.

Razlika se zove ostatak serije. Ako se niz konvergira, tada njegov ostatak teži nuli, tj. i obrnuto, ako ostatak teži nuli, tada red konvergira.

1.2. Primjeri brojevnih serija.

Primjer 1. Serija obrasca

(1.2)

pozvao geometrijski .

Geometrijski niz se formira od članova geometrijske progresije.

Poznato je da je zbir njegovog prvog nčlanovi. Očigledno je ovo n- th parcijalni zbir niza (1.2).

Mogući slučajevi:

Serija (1.2) ima oblik:

, serija se razilazi;

Serija (1.2) ima oblik:

Nema ograničenja, serija se razilazi.

je konačan broj, red konvergira.

- serija se razilazi.

Dakle, ovaj niz konvergira na i divergira na .

Primjer 2. Serija obrasca

(1.3)

pozvao harmonično .

Napišimo djelimični zbir ove serije:

Iznos je veći od iznosa prikazanog na sljedeći način:

ili .

Ako onda , ili .

Stoga, ako , Tada , tj. harmonijski niz se razilazi.

Primjer 3. Serija obrasca

(1.4)

pozvao generalizovani harmonik .

Ako , tada se ovaj niz pretvara u harmonijski niz, koji je divergentan.

Ako je , tada su članovi ovog niza veći od odgovarajućih članova harmonijskog niza i, prema tome, divergira. Kada imamo geometrijsku seriju u kojoj ; konvergentan je.

Dakle, generalizirani harmonijski niz konvergira na i divergira na .

1.3. Neophodni i dovoljni kriterijumi za konvergenciju.

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza.

Niz može konvergirati samo ako njegov zajednički član teži nuli kako broj raste bez ograničenja: .

Ako , tada se serija divergira, što je dovoljan znak divergenciju serije.

Dovoljni uslovi za konvergenciju niza sa pozitivnih članova.

Znak poređenja serija sa pozitivnim članovima.

Proučavani niz konvergira ako njegovi članovi ne prelaze odgovarajuće članove drugog, očigledno konvergentnog niza; serija koja se proučava se divergira ako njeni članovi premašuju odgovarajuće članove drugog, očigledno divergentnog niza.

Znak d'Alamberta.

Ako za seriju sa pozitivnim terminima

uslov je zadovoljen, tada red konvergira na i divergira na .

d'Alembertov znak ne daje odgovor ako . U ovom slučaju se koriste druge metode za proučavanje serije.

Vježbe.

Napišite niz prema datom uobičajenom pojmu:

Uz pretpostavku ,,,…, imamo beskonačan niz brojeva:

Zbrajanjem njegovih uslova, dobijamo seriju

Učinivši isto, dobijamo seriju

Dajući vrijednosti 1,2,3,… i uzimajući u obzir to,,,…, dobijamo niz

Naći n- th član niza prema njegovim datim prvim članovima:

Imenioci članova niza, počevši od prvog, su parni brojevi; shodno tome, n- Vi član serije ima oblik .

Brojnici članova niza čine prirodni niz brojeva, a odgovarajući imenioci čine prirodni niz brojeva, a odgovarajući imenioci čine prirodni niz brojeva, počevši od 3. Znakovi se izmjenjuju prema zakonu ili prema prema zakonu. znači, n- Vi član serije ima oblik . ili .

Istražite konvergenciju niza pomoću potrebnog testa konvergencije i testa poređenja:

;

Mi nalazimo .

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza je zadovoljen, ali da bi se rešilo pitanje konvergencije, mora se primeniti jedan od dovoljnih kriterijuma konvergencije. Uporedite ovu seriju sa geometrijskom serijom

koji konvergira od tada.

Upoređujući članove ovog niza, počevši od drugog, sa odgovarajućim članovima geometrijskog niza, dobijamo nejednakosti

one. članovi ovog niza, počevši od drugog, prema tome su manji od članova geometrijskog niza, iz čega slijedi da dati niz konvergira.

Ovdje je zadovoljen dovoljan kriterij za divergenciju niza; stoga se serija razilazi.

Mi nalazimo .

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza je zadovoljen. Uporedimo ovaj niz sa generalizovanim harmonijskim redom

koji konvergira, pošto, dakle, konvergira i dati niz.

Istražite konvergenciju niza koristeći d'Alembertov test:

;

Zamjena u zajednički pojam serije umjesto n broj n+ 1, dobijamo . Nađimo granicu omjera -tog člana prema n- mu član na:

Stoga se ova serija konvergira.

Dakle, ova serija se razilazi.

One. red se razilazi.

II. naizmenične serije

2.1 Koncept naizmjeničnog niza.

Brojne serije

pozvao naizmjenično ako njegovi članovi uključuju i pozitivne i negativne brojeve.

Brojevna prava se zove naizmjenično ako bilo koja dva susjedna člana imaju suprotne predznake.

gdje za sve (tj. niz čiji pozitivni i negativni članovi slijede jedan za drugim). Na primjer,

;

Za naizmjenične serije postoji dovoljan kriterij za konvergenciju (ustanovio ga je 1714. Leibniz u pismu I. Bernoulliju).

2.2 Znak Leibniza. Apsolutna i uslovna konvergencija serije.

Teorema (Leibnizov test).

Naizmjenični niz konvergira ako:

Niz apsolutnih vrijednosti članova niza monotono se smanjuje, tj. ;

Uobičajeni član serije teži nuli:.

Štaviše, zbir S serije zadovoljava nejednakosti

Napomene.

Proučavanje naizmjeničnog niza oblika

(sa negativnim prvim članom) se smanjuje množenjem svih njegovih članova sa proučavanjem serije .

Redovi za koje su ispunjeni uslovi Leibnizove teoreme nazivaju se Leibnizian (ili Leibniz serija).

Relacija nam omogućava da dobijemo jednostavnu i pogodnu procjenu greške koju pravimo zamjenom sume S ovog niza svojim djelomičnim zbrojem .

Odbačena serija (ostatak) je također naizmjenična serija , čiji je zbir manji od prvog člana ovog niza, odnosno greška je manja od modula prvog odbačenog člana.

Primjer. Izračunajte približno zbroj serije.

Rješenje: dati niz Lajbnicovog tipa. On konvergira. Možete napisati:

Uzimajući pet mandata, tj. zamjenjiv

Hajde da napravimo manju grešku

kako . Dakle,.

Za naizmjenične serije, primjenjuje se sljedeći opći dovoljan kriterij za konvergenciju.

Teorema. Neka je dat naizmjenični niz

Ako se niz konvergira

sastavljen od modula članova datog niza, tada sam naizmjenični niz konvergira.

Leibnizov kriterijum konvergencije za naizmenične redove je dovoljan kriterijum za konvergenciju naizmeničnih redova.

Naizmjenični niz se zove apsolutno konvergentno , ako se niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova konvergira, tj. svaki apsolutno konvergentan niz je konvergentan.

Ako se naizmjenični niz konvergira, a niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti njegovih članova divergira, tada se ovaj niz naziva uslovno (nije apsolutno) konvergirajući.

2.3. Vježbe.

Ispitati konvergenciju (apsolutnu ili uslovnu) naizmjeničnog niza:

Prema tome, prema Leibniz testu, niz konvergira. Hajde da saznamo da li se ovaj niz konvergira apsolutno ili uslovno.

Red , sastavljen od apsolutnih vrijednosti date serije, je harmonijski niz koji se divergira. Dakle, ovaj niz konvergira uslovno.

Članovi ove serije monotono smanjuju apsolutnu vrijednost:

, ali

Serija se razilazi jer Leibnizov test ne vrijedi.

Koristeći Leibnizov test, dobijamo

one. serija konvergira.

Ovo je geometrijski niz oblika gdje, koji konvergira. Stoga se ova serija apsolutno konvergira.

Koristeći Leibnizov test, imamo

;

, tj. serija konvergira.

Razmotrimo niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova ovog niza:

, ili

Ovo je generalizovani harmonijski niz koji se divergira, pošto. Dakle, ovaj niz konvergira uslovno.

III. Funkcionalni raspon

3.1. Koncept funkcionalne serije.

Poziva se niz čiji su članovi funkcije funkcionalan :

Dajući određenu vrijednost , dobivamo numeričke serije

koja može biti ili konvergentna ili divergentna.

Ako se rezultirajući niz brojeva konvergira, tada se tačka naziva tačka konvergencije funkcionalni red; ako se serija razilazi tačka divergencije funkcionalni red.

Skup numeričkih vrijednosti argumenta, na kojem se funkcionalni niz konvergira, naziva se njegovim region konvergencije .

U području konvergencije funkcionalnog niza, njegov zbir je određena funkcija :.

Definira se u području konvergencije jednakošću

, gdje

Djelomični zbir serije.

Primjer. Pronađite područje konvergencije niza.

Rješenje. Ovaj niz je niz geometrijske progresije sa nazivnikom. Dakle, ovaj niz konvergira za , tj. za sve ; zbir serije je ;

, u .

3.2. Power series.

Potencijski niz je niz oblika

gdje su brojevi pozvao koeficijenti serije , a termin je uobičajen pojam serije.

Područje konvergencije snaga serije je skup svih vrijednosti za koje konvergira dati niz.

Broj je pozvan radijus konvergencije potencijskog niza, ako je za , serija konvergira i, osim toga, apsolutno, a za , serija divergira.

Radijus konvergencije nalazimo pomoću d'Alembertovog testa:

(ne zavisi od),

one. ako se red stupnja konvergira za bilo koji zadovoljavajući zadani uvjet i divergira za .

Iz toga slijedi da ako postoji granica

tada je radijus konvergencije serije jednak ovoj granici, a red snage konvergira na , tj. između kojih se zove interval (interval) konvergencije.

Ako je , tada snaga niz konvergira u jednoj tački .

Na krajevima intervala, nizovi mogu konvergirati (apsolutno ili uslovno), ali mogu i divergirati.

Konvergencija redova stepena za i istražuje se korištenjem jednog od kriterija konvergencije.

3.3. Vježbe.

Pronađite područje konvergencije niza:

Rješenje. Pronađite radijus konvergencije ovog niza:

Dakle, ovaj niz konvergira apsolutno na cijeloj brojevnoj osi.

Rješenje. Koristimo d'Alembertov znak. Za ovu seriju imamo:

Serija konvergira apsolutno ako ili . Proučimo ponašanje niza na krajevima intervala konvergencije.

Jer imamo seriju

Jer imamo seriju je također konvergentni Leibnizov niz. Stoga je područje konvergencije originalnog niza segment.

Rješenje. Pronađite polumjer konvergencije niza:

Dakle, niz konvergira na, tj. at.

Uzmimo seriju , koji konvergira prema Leibnizovom testu.

Uzimamo divergentnu seriju

Stoga je područje konvergencije originalnog niza interval.

IV. Razgradnja elementarne funkcije u seriji Maclaurin.

Za aplikacije je važno biti u mogućnosti ovu funkciju proširiti u niz stepena, tj. predstavljaju funkciju kao zbir stepena niza.

Taylorov red za funkciju naziva se niz stepena oblika

Ako je , onda ćemo dobiti poseban slučaj Taylorove serije

koji se zove blizu Maclaurina .

Niz stepena unutar svog intervala konvergencije može se diferencirati pojam po član i integrirati onoliko puta koliko se želi, a rezultirajući niz ima isti interval konvergencije kao i originalni niz.

Dva niza stepena mogu se sabirati i množiti član po član prema pravilima sabiranja i množenja polinoma. U ovom slučaju, interval konvergencije rezultirajućeg novog niza poklapa se sa zajedničkim dijelom intervala konvergencije originalnog niza.

Za proširenje funkcije u Maclaurinov niz, potrebno je:

Izračunajte vrijednosti funkcije i njenih uzastopnih izvoda u tački , tj.,,,…,;

Sastavite Maclaurinov niz zamjenom vrijednosti funkcije i njenih uzastopnih derivata u formulu Maclaurinovog reda;

Pronađite interval konvergencije rezultirajućeg niza po formuli

, .

Primjer 1. Proširite funkciju u Maclaurinov niz.

Rješenje. Jer , zatim, zamjenom sa u proširenju, dobijamo:

Primjer 2. Napišite Maclaurinov red funkcije .

Rješenje. Budući da , onda koristeći formulu u kojoj zamjenjujemo sa , dobivamo:

Primjer 3. Proširiti funkciju u Maclaurinov niz.

Rješenje. Koristimo formulu. Jer

, a zatim zamjenom sa dobivamo:

, ili

gdje , tj. .

V. Praktični zadaci za samokontrolu učenika.

Uspostavite konvergenciju koristeći test poređenja serija

konvergira uslovno;

poklapa se apsolutno.

;

VII. Istorijat.

Rješenje mnogih problema svodi se na izračunavanje vrijednosti funkcija i integrala ili na rješenje diferencijalnih jednadžbi koje sadrže izvode ili diferencijale nepoznatih funkcija.

Međutim, tačno izvođenje ovih matematičkih operacija u mnogim slučajevima se ispostavlja veoma teškim ili nemogućim. U ovim slučajevima moguće je dobiti približno rješenje mnogih problema sa bilo kojom željenom točnošću korištenjem serija.

Serije su jednostavan i savršen alat matematičke analize za približno izračunavanje funkcija, integrala i rješenja diferencijalnih jednadžbi.

I stoji na desnoj strani funkcionalnog.

Da bi se umjesto znaka “” stavio znak jednakosti, potrebno je izvršiti dodatna razmišljanja koja se odnose upravo na beskonačnost broja članova na desnoj strani jednakosti i koji se tiču područja konvergencije reda.

Kada Taylorova formula poprimi oblik u kojem se zove Maclaurin formula:

Colin Maclaurin (1698. - 1746.), Newtonov učenik, u svom Traktatu o fluksijama (1742.) je ustanovio da postoji samo jedan niz stepena koji izražava analitičku funkciju, a to će biti Taylorov niz generiran takvom funkcijom. U Njutnovoj binomnoj formuli, koeficijenti na stepenu su vrednosti, pri čemu .

Dakle, redovi su nastali u 18. veku. kao način predstavljanja funkcija koje omogućavaju beskonačnu diferencijaciju. Međutim, funkcija koju predstavlja niz nije nazvana njenim zbirom, a općenito u to vrijeme još nije bilo utvrđeno koliki je zbir numeričkog ili funkcionalnog niza, bilo je samo pokušaja da se uvede ovaj koncept.

Na primjer, L. Euler (1707-1783), ispisavši niz stepena koji odgovara nekoj funkciji, dao je varijabli određenu vrijednost. Imam brojevnu liniju. Ojler je smatrao da je vrednost originalne funkcije u tački zbir ovog niza. Ali to nije uvijek tačno.

Da divergentni niz nema zbir, naučnici su počeli da nagađaju tek u 19. veku, iako u 18. veku. mnogi, a prije svega L. Euler, su naporno radili na konceptima konvergencije i divergencije. Ojler naziva niz konvergentan ako njegov zajednički pojam teži nuli kao .

U teoriji divergentnih redova Ojler je dobio mnogo značajnih rezultata, ali ti rezultati dugo nisu našli primenu. Davne 1826 N.G. Abel (1802 - 1829) nazvao je divergentne redove "đavolskom izmišljotinom". Ojlerovi rezultati našli su opravdanje tek krajem 19. veka.

U formiranju koncepta zbira konvergentnog niza, francuski naučnik O.L. Cauchy (1789 - 1857); učinio je izuzetno mnogo ne samo u teoriji serija, već iu teoriji granica, u razvoju samog pojma granice. Godine 1826 Cauchy je izjavio da divergentni niz nema zbroj.

Godine 1768 Francuski matematičar i filozof J.L. D'Alembert je proučavao omjer sljedećeg člana prema prethodnom u binomskom nizu i pokazao da ako je ovaj omjer manji od jedan po apsolutnoj vrijednosti, tada niz konvergira. Cauchy 1821 dokazao teoremu koja navodi u opšti pogled znak konvergencije predznačno pozitivnih nizova, koji se sada naziva d'Alembertov znak.

Za proučavanje konvergencije naizmjeničnih nizova koristi se Leibnizov test.

G.V. Leibniz (1646 - 1716), veliki njemački matematičar i filozof, uz I. Newtona, osnivač je diferencijalnog i integralnog računa.

Bibliografija:

Glavni:

Bogomolov N.V., Praktična nastava iz matematike. M., “ srednja škola“, 1990. – 495 str.;
Tarasov N.P., Kurs više matematike za tehničke škole. M., "Nauka", 1971 - 448 str.;
Zaitsev I.L., Kurs više matematike za tehničke škole. M., državna izdavačka kuća tehničkih škola - teorijska literatura, 1957 - 339 str.;
Pismenny D.T., Kurs predavanja o višoj matematici. M., “Iris Press”, 2005, 2. dio – 256 str.;
Vygodsky M.Ya., Priručnik za višu matematiku. M., "Nauka", 1975. - 872 str.;

Dodatno:

Gusak A.A., višu matematiku. U 2 sveska, tom 2: Udžbenik za studente. Mos., "TetraSystems", 1988 - 448 str.;
Griguletsky V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Matematika za studente ekonomskih specijalnosti. Dio 2. Krasnodar, 2002. - 348 str.;
Griguletsky V.G. itd. Zadatak iz matematike. Krasnodar. KSAU, 2003. - 170 str.;
Griguletsky V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Zadaci i vježbe za studente fakulteta računovodstva i finansija. Krasnodar. 2001. - 173 str.;
Griguletsky V.G., Yaschenko Z.V., Viša matematika. Krasnodar, 1998. - 186 str.;
Malykhin V.I., Matematika u ekonomiji. M., "Infra-M", 1999 - 356s.

Redovi za čajnike. Primjeri rješenja

Svi preživjeli dobrodošli u drugu godinu! U ovoj lekciji, odnosno u nizu lekcija, naučit ćemo kako upravljati redovima. Tema nije jako teška, ali da biste je savladali trebat će vam znanje iz prvog kursa, posebno morate razumjeti koja je granica, i moći pronaći najjednostavnije granice. Međutim, u redu je, u toku objašnjenja daću odgovarajuće linkove do potrebnih lekcija. Za neke čitatelje, tema matematičkih serija, metoda rješavanja, znakova, teorema može izgledati neobično, pa čak i pretenciozno, apsurdno. U ovom slučaju ne morate mnogo da se „opterećujete“, prihvatamo činjenice kakve jesu i jednostavno učimo da rešavamo tipične, uobičajene zadatke.

1) Redovi za čajnike, a za samovare odmah zadovoljan :)

Za ultrabrzu pripremu na temu postoji ekspresni kurs u pdf formatu, uz pomoć kojeg je zaista moguće "podići" praksu za samo jedan dan.

Koncept brojevnog niza

Uglavnom numeričke serije može se napisati ovako:
ovdje:
- matematička ikona zbira;
– zajednički termin serije(zapamtite ovaj jednostavan izraz);
- varijabla - "brojac". Zapis znači da se zbrajanje vrši od 1 do “plus beskonačnost”, odnosno, prvo imamo , zatim , zatim , i tako dalje - do beskonačnosti. Varijabla ili se ponekad koristi umjesto varijable. Zbrajanje ne počinje nužno od jedan, u nekim slučajevima može početi od nule, od dva ili od bilo kojeg prirodni broj.

U skladu sa varijablom "counter", bilo koja serija se može detaljno oslikati:
– i tako dalje do beskonačnosti.

Uslovi - ovo BROJEVI, koji se zovu članovi red. Ako su svi nenegativni (veće ili jednako nuli), tada se takav niz zove pozitivna brojevna prava.

Primjer 1

Inače, ovo je već "borbeni" zadatak - u praksi je često potrebno snimiti nekoliko članova serije.

Prvo, zatim:
Onda, onda:
Onda, onda:

Proces se može nastaviti beskonačno, ali prema uslovu je bilo potrebno napisati prva tri člana serije, pa zapisujemo odgovor:

Obratite pažnju na fundamentalnu razliku od numerički niz,
u kojima se pojmovi ne sumiraju, već se tretiraju kao takvi.

Primjer 2

Zapišite prva tri člana serije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje, odgovor je na kraju lekcije.

Čak i za naizgled složenu seriju, nije je teško opisati u proširenom obliku:

Primjer 3

Zapišite prva tri člana serije

Zapravo, zadatak se obavlja usmeno: mentalna zamjena u uobičajenom terminu serije prvo , zatim i . na kraju:

Ostavite odgovor ovako bolje je ne pojednostavljivati dobijene termine serije, tj ne pridržavajte se akcije: , , . Zašto? Odgovorite u obrascu učitelju je mnogo lakše i praktičnije provjeriti.

Ponekad postoji i obrnuto

Primjer 4

Ovdje ne postoji jasan algoritam rješenja. samo treba da vidite šablon.
U ovom slučaju:

Za provjeru, rezultirajuća serija se može "obojiti natrag" u proširenom obliku.

Ali primjer je malo teži za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Napišite zbroj u sažetom obliku sa zajedničkim članom niza

Provjerite ponovo pisanjem serije u proširenom obliku

Konvergencija brojevnih nizova

Jedan od ključnih ciljeva teme je ispitivanje niza na konvergenciju. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:

1) Reddivergira. To znači da je beskonačan zbir jednak beskonačnosti: bilo koji zbir uopšte ne postoji, kao, na primjer, u seriji
(usput, evo primjera serije sa negativnim pojmovima). Dobar primjer divergentnog niza brojeva na koji ste naišli na početku lekcije: . Ovdje je sasvim očito da je svaki sljedeći član niza veći od prethodnog, dakle i stoga se serija razilazi. Još trivijalniji primjer: .

2) Redkonvergira. To znači da je beskonačan zbir jednak nekom konačan broj: . molim: Ovaj niz konvergira i njegov zbir je nula. Smisaoniji primjer je beskonačno opadajuća geometrijska progresija, poznata nam još od škole: . Zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije izračunava se po formuli: , gdje je prvi član progresije, a njegova baza, koja se po pravilu piše kao ispravan razlomci. U ovom slučaju: , . Na ovaj način: Dobija se konačan broj, što znači da red konvergira, što je i trebalo dokazati.

Međutim, u velikoj većini slučajeva pronađite zbir niza nije tako jednostavno, pa se stoga u praksi za proučavanje konvergencije serije koriste posebni znakovi, koji su teorijski dokazani.

Postoji nekoliko znakova konvergencije niza: neophodan kriterijum za konvergenciju niza, kriterijum poređenja, d'Alembertov kriterijum, Cauchyjev kriterijum, znak Lajbnica i neki drugi znakovi. Kada primijeniti koji znak? Zavisi od uobičajenog termina serije, slikovito rečeno - od "punjenja" serije. I vrlo brzo ćemo sve staviti na police.

! Za dalje učenje potrebno je dobro razumeti, koja je granica i dobro je moći otkriti nesigurnost forme. Za ponavljanje ili proučavanje materijala pogledajte članak Ograničenja. Primjeri rješenja.

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza

Ako se niz konvergira, tada njegov zajednički član teži nuli: .

Obrnuto nije tačno u opštem slučaju, tj. ako je , tada se nizovi mogu i konvergirati i divergirati. I tako se ovaj znak koristi za opravdanje divergenciju red:

Ako je zajednički pojam serije ne ide na nulu, tada se serija razilazi

Ili ukratko: ako , onda se niz razilazi. Konkretno, moguća je situacija kada granica uopće ne postoji, kao npr. limit. Ovdje su odmah potkrijepili divergenciju jedne serije :)

Ali mnogo češće je granica divergentnog niza jednaka beskonačnosti, dok umjesto "x" djeluje kao "dinamička" varijabla. Osvježimo naše znanje: granice sa "x" nazivaju se granicama funkcija, a granice sa promjenljivom "en" - granicama numeričkih nizova. Očigledna razlika je u tome što varijabla "en" uzima diskretne (diskontinuirane) prirodne vrijednosti: 1, 2, 3, itd. Ali ova činjenica ima malo utjecaja na metode rješavanja granica i metode otkrivanja neizvjesnosti.

Dokažimo da se niz iz prvog primjera divergira.
Uobičajeni član serije:

Izlaz: red divergira

Potrebna karakteristika se često koristi u stvarnim praktičnim zadacima:

Primjer 6

Imamo polinome u brojniku i nazivniku. Onaj koji je pažljivo pročitao i shvatio način otkrivanja neizvjesnosti u članku Ograničenja. Primjeri rješenja, sigurno je to shvatio kada su najveći potenci brojnika i nazivnika jednaka, onda je granica konačan broj .

Podijelite brojilac i imenilac sa

Study Series divergira, budući da nužni kriterijum za konvergenciju niza nije zadovoljen.

Primjer 7

Ispitajte konvergenciju niza

Ovo je "uradi sam" primjer. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Dakle, kada nam se da BILO KOJI broj brojeva, kao prvo provjeravamo (mentalno ili na nacrt): da li njegov zajednički izraz teži nuli? Ako ne teži, sastavljamo rješenje po uzoru na primjere br. 6, 7 i dajemo odgovor da se niz divergira.

Koje vrste naizgled divergentnih serija smo razmatrali? Odmah je jasno da se redovi slažu ili razilaze. Serija iz primjera br. 6, 7 također se razilazi: kada brojilac i nazivnik sadrže polinome, a najveći stepen brojila je veći ili jednak najvećem stepenu nazivnika. U svim ovim slučajevima, prilikom rješavanja i dizajniranja primjera koristimo neophodan kriterij za konvergenciju niza.

Zašto se znak zove neophodno? Shvatite na najprirodniji način: da bi se niz konvergirao, neophodno tako da njegov zajednički član teži nuli. I sve bi bilo u redu, ali ovo nije dovoljno. Drugim riječima, ako zajednički član niza teži nuli, TO NE ZNAČI da se niz konvergira- može i konvergirati i divergirati!

Upoznajte:

Ovaj red se zove harmonične serije. Molimo zapamtite! Među brojčanim serijama on je primabalerina. Tačnije balerina =)

Lako je to vidjeti , ALI. U teoriji matematičke analize to se dokazuje harmonijski niz se razilazi.

Također biste trebali zapamtiti koncept generaliziranog harmonijskog niza:

1) Ovaj red divergira u . Na primjer, nizovi se razilaze, , .
2) Ovaj red konvergira u . Na primjer, serija , , . Još jednom naglašavam da nam u gotovo svim praktičnim zadacima uopće nije važno koliki je zbir npr. niza, važna je sama činjenica njegove konvergencije.

Ovo su elementarne činjenice iz teorije redova koje su već dokazane, a pri rješavanju nekog praktičnog primjera može se sa sigurnošću pozvati, na primjer, na divergenciju reda ili konvergenciju niza.

Općenito, materijal koji se razmatra je vrlo sličan proučavanje nepravih integrala, a onima koji su proučavali ovu temu bit će lakše. Pa za one koji nisu studirali duplo je lakše :)

Dakle, šta učiniti ako zajednički pojam serije IDE na nulu? U takvim slučajevima, da biste riješili primjere, trebate koristiti druge, dovoljno znakovi konvergencije/divergencije:

Kriterijumi poređenja pozitivnih brojeva

Skrećem vam pažnju da je ovdje riječ samo o pozitivnim brojčanim nizovima (sa nenegativnim članovima).

Postoje dva znaka poređenja, jedan od njih ću jednostavno nazvati znak poređenja, drugi - granični znak poređenja.

Prvo razmotrite znak poređenja, tačnije prvi dio:

Razmotrimo dvije pozitivne numeričke serije i . Ako je poznato, da je red konvergira, i, počevši od nekog broja , vrijedi nejednakost, zatim serija konvergira takođe.

Drugim riječima: Konvergencija niza sa većim članovima implicira konvergenciju niza sa manjim članovima. U praksi, nejednakost je često općenito zadovoljena za sve vrijednosti:

Primjer 8

Ispitajte konvergenciju niza

Prvo, provjeravamo(mentalno ili na nacrt) izvršenje:
, što znači da nije bilo moguće „izići sa malo krvi“.

Gledamo u "paket" generalizovanog harmonijskog niza i, fokusirajući se na najviši stepen, nalazimo sličan niz: Iz teorije je poznato da konvergira.

Za sve prirodne brojeve vrijedi očigledna nejednakost:

a veći imenioci odgovaraju manjim razlomcima:
, što znači da je, prema kriterijumu poređenja, serija koja se proučava konvergira zajedno sa pored .

Ako sumnjate, onda se nejednakost uvijek može detaljno oslikati! Zapišimo konstruiranu nejednačinu za nekoliko brojeva "en":
Ako onda
Ako onda
Ako onda
Ako onda
….
a sada je sasvim jasno da je nejednakost vrijedi za sve prirodne brojeve "en".

Analizirajmo kriterij poređenja i riješeni primjer sa neformalne tačke gledišta. Ipak, zašto se serija konvergira? Evo zašto. Ako se niz konvergira, onda ima nešto final iznos : . I pošto svi članovi serije manje odgovarajući članovi serije, onda je panj jasno da zbroj serije ne može biti više broja, pa čak i više od toga, ne može biti jednako beskonačnosti!

Slično, možemo dokazati konvergenciju "sličnih" serija: , , itd.

! Bilješka da u svim slučajevima imamo „plus“ u nazivnicima. Prisustvo najmanje jednog minusa može ozbiljno zakomplicirati upotrebu razmatranog karakteristika poređenja. Na primjer, ako se niz na isti način uporedi sa konvergentnim nizom (zapišite nekoliko nejednakosti za prve članove), onda uvjet uopće neće biti ispunjen! Ovdje možete izbjeći i odabrati za usporedbu drugu konvergentnu seriju, na primjer, , ali to će za sobom povlačiti nepotrebne rezerve i druge nepotrebne poteškoće. Stoga je za dokazivanje konvergencije niza mnogo lakše koristiti marginalni kriterijum poređenja(vidi sljedeći paragraf).

Primjer 9

Ispitajte konvergenciju niza

I u ovom primjeru predlažem da sami razmislite drugi dio funkcije poređenja:

Ako je poznato, da je red divergira, i počevši od nekog broja (često od prve) vrijedi nejednakost, tada serija takođe razilazi.

Drugim riječima: Divergencija niza sa manjim članovima implicira divergenciju niza sa većim članovima.

Šta treba učiniti?
Neophodno je uporediti ispitivani niz sa divergentnim harmonijskim nizom. Za bolje razumijevanje, konstruirajte neke specifične nejednakosti i uvjerite se da je nejednakost istinita.

Dizajn rješenja i uzorka na kraju lekcije.

Kao što je već napomenuto, u praksi se upravo razmatrana karakteristika poređenja rijetko koristi. Pravi "radni konj" serije brojeva je marginalni kriterijum poređenja, a u pogledu učestalosti korištenja, samo znak d'Alamberta.

Granični znak poređenja brojčanih pozitivnih serija

Razmotrimo dvije pozitivne numeričke serije i . Ako je granica omjera zajedničkih članova ovih serija jednaka konačan broj različit od nule: , tada se oba niza konvergiraju ili divergiraju u isto vrijeme.

Kada se koristi kriterijum poređenja granice? Granični znak poređenja se koristi kada je „punjenje“ niza polinom. Ili jedan polinom u nazivniku, ili polinomi i u brojniku i u nazivniku. Opciono, polinomi mogu biti ispod korijena.

Pozabavimo se serijama za koje je prethodni znak poređenja zastao.

Primjer 10

Ispitajte konvergenciju niza

Uporedite ovaj niz sa konvergentnim redom. Koristimo granični test poređenja. Poznato je da se niz konvergira. Ako možemo pokazati da jeste konačni različit od nule broj, biće dokazano da i niz konvergira.

Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je niz koji se proučava konvergira zajedno sa pored .

Zašto je serija odabrana za poređenje? Da smo odabrali bilo koju drugu seriju iz "isječka" generaliziranog harmonijskog niza, onda ne bismo uspjeli u limitu konačni različit od nule brojevi (možete eksperimentirati).

Bilješka: kada koristimo funkciju marginalnog poređenja, nema veze, kojim redosledom sastaviti odnos zajedničkih članova, u razmatranom primeru, odnos bi se mogao nacrtati i obrnuto: - to ne bi promenilo suštinu stvari.

Brojne linije. Konvergencija i divergencija numeričkih nizova. d'Alembertov kriterijum konvergencije. Varijabilni redovi. Apsolutna i uslovna konvergencija redova. funkcionalni redovi. Power series. Proširenje elementarnih funkcija u Maclaurinovu seriju.

Smjernice na temu 1.4:

Broj redova:

Brojevni niz je zbir oblika

gdje su brojevi u 1 , u 2 , u 3 , n n , zvani članovi niza, formiraju beskonačan niz; pojam un se naziva zajedničkim pojmom serije.

. . . . . . . . .

sastavljene od prvih članova niza (27.1) nazivaju se parcijalni sumi ovog niza.

Svaki red može biti povezan sa nizom parcijalnih suma S1, S2, S3. Ako, kako se broj n beskonačno povećava, djelomični zbir niza S n teži krajnjim granicama S, tada se niz naziva konvergentan, a broj S- zbir konvergentnog niza, tj.

Ovaj unos je ekvivalentan unosu

Ako je djelimičan iznos S n serija (27.1) sa neograničenim povećanjem n nema konačnu granicu (posebno, teži + ¥ ili - ¥), tada se takav niz naziva divergentan

Ako se niz konvergira, tada vrijednost S n za dovoljno veliko n je približan izraz za sumu niza S.

Razlika r n = S - S n naziva se ostatak serije. Ako se niz konvergira, tada njegov ostatak teži nuli, tj. r n = 0, i obrnuto, ako ostatak teži nuli, tada red konvergira.

Serija vrste se zove geometrijska linija.

pozvao harmonično.

ako N®¥, onda S n®¥, tj. harmonijski niz se razilazi.

Primjer 1. Napišite niz prema datom zajedničkom pojmu:

1) uz pretpostavku n = 1, n = 2, n = 3, imamo beskonačan niz brojeva: , , , Sabirajući njegove članove, dobijamo niz

2) Na isti način dobijamo seriju

3) Davanje n vrijednosti 1, 2, 3, i uzimajući u obzir da je 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, dobijamo seriju

Primjer 2. Pronađite n-ti član niza zadatim prvim brojevima:

1) ; 2) ; 3) .

Primjer 3. Pronađite zbir članova niza:

1) Pronađite parcijalne sume članova niza:

Zapišimo redoslijed parcijalnih suma: …, , … .

Uobičajeni termin ovog niza je . shodno tome,

Niz parcijalnih suma ima granicu jednaku . Dakle, niz konvergira i njegov zbroj je .

2) Ovo je beskonačno opadajuća geometrijska progresija, gdje je a 1 = , q= . Koristeći formulu, dobijamo Dakle, red konvergira i njegov zbir je jednak 1.

Konvergencija i divergencija numeričkih nizova. Znak konvergencije d'Alembert :

Neophodan kriterijum za konvergenciju niza. Niz može konvergirati samo ako je njegov zajednički pojam u n sa neograničenim povećanjem broja n ide na nulu:

Ako , tada se niz divergira - to je dovoljan znak rastvorljivosti serije.

Dovoljni uslovi za konvergenciju niza sa pozitivnim članovima.

Znak poređenja serija sa pozitivnim članovima. Proučavani niz konvergira ako njegovi članovi ne prelaze odgovarajuće članove drugog, očigledno konvergentnog niza; serija koja se proučava se divergira ako njeni članovi premašuju odgovarajuće članove drugog očigledno divergentnog niza.

U proučavanju nizova za konvergenciju i rastvorljivost na ovoj osnovi često se koristi geometrijski niz

koji konvergira za |q|

biti divergentan.

U proučavanju nizova koristi se i generalizovani harmonijski red

Ako str= 1, onda se ovaj niz pretvara u harmonijski niz, koji je divergentan.

Ako str< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При str> 1 imamo geometrijski niz u kojem | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при str> 1 i divergira na str£1.

Znak d'Alamberta. Ako za seriju sa pozitivnim terminima

(u n>0)

uslov je zadovoljen, tada se red konvergira na l l > 1.

d'Alembertov znak ne daje odgovor ako l= 1. U ovom slučaju se koriste druge metode za proučavanje serije.

Varijabilni redovi.

Apsolutna i uslovna konvergencija redova:

Brojne serije

u 1 + u 2 + u 3 + u n

naziva se naizmjeničnim ako među njegovim članovima ima i pozitivnih i negativnih brojeva.

Brojevni niz se naziva naizmjeničnim znakom ako bilo koja dva susjedna člana imaju suprotne predznake. Ova serija je poseban slučaj naizmjenične serije.

Kriterij konvergencije za naizmjenične serije. Ako članovi naizmjeničnog niza monotono smanjuju apsolutnu vrijednost i zajednički član u n teži nuli kao n® , tada red konvergira.

Niz se naziva apsolutno konvergentnim ako i niz konvergira. Ako niz konvergira apsolutno, onda je konvergentan (u uobičajenom smislu). Obratno nije tačno. Za niz se kaže da je uslovno konvergentan ako se sam konvergira, a niz sastavljen od modula njegovih članova divergira. Primjer 4. Ispitati konvergenciju niza.

Primijenimo Leibnizov dovoljan test za naizmjenične serije. Dobijamo jer . Stoga se ova serija konvergira. Primjer 5. Ispitati konvergenciju niza.

Pokušajmo primijeniti Leibnizov predznak: Može se vidjeti da modul zajedničkog člana ne teži nuli kada n→∞. Stoga se ova serija razlikuje. Primjer 6. Odrediti da li je niz apsolutno konvergentan, uslovno konvergentan ili divergentan.

Primjenjujući d'Alembertov test na niz sastavljen od modula odgovarajućih članova, nalazimo da ovaj niz apsolutno konvergira.

Primjer 7. Ispitati konvergenciju (apsolutnu ili uslovnu) naizmjeničnog niza:

1) Članovi ove serije monotono smanjuju apsolutnu vrijednost i . Prema tome, prema Leibniz testu, niz konvergira. Hajde da saznamo da li se ovaj niz konvergira apsolutno ili uslovno.

2) Članovi ove serije monotono smanjuju apsolutnu vrijednost: , ali

Funkcionalna serija:

Uobičajeni niz brojeva sastoji se od brojeva:

Svi članovi serije su brojevi.

Funkcionalna linija se sastoji od karakteristike:

U opštem terminu niza, pored polinoma, faktorijala itd. svakako uključuje slovo "x". To izgleda ovako, na primjer: Poput niza brojeva, bilo koji funkcionalni niz može se napisati u proširenom obliku:

Kao što vidite, svi članovi funkcionalne serije jesu funkcije.

Najpopularnija vrsta funkcionalnih serija je snaga serije.

Serija snage:

power next se zove serija

gdje su brojevi a 0, a 1, a 2, a n nazivaju se koeficijenti serije, a pojam a n x n je čest član serije.

Područje konvergencije stepena niza je skup svih vrijednosti x za koje se niz konvergira.

Broj R naziva se radijus konvergencije niza ako je za | x| serija konvergira.

Primjer 8. Zadana serija

Istražite njegovu konvergenciju u tačkama x= 1 i X= 3, x= -2.

Kada je x = 1, ovaj niz se pretvara u niz brojeva

Istražimo konvergenciju ovog niza d'Alembertovim testom. Imamo

One. serija konvergira.

Za x = 3 dobijamo seriju

Što se divergira, jer nužni kriterij za konvergenciju niza nije zadovoljen

Za x = -2 dobijamo

Ovo je naizmjenični niz, koji, prema Leibniz testu, konvergira.

Dakle, na tačkama x= 1 i X= -2. niz konvergira, i to u tački x= 3 divergira.

Proširenje elementarnih funkcija u Maclaurin seriji:

Blizu Taylora za funkciju f(x) naziva se nizom stepena oblika

ako, a = 0, onda dobijamo poseban slučaj Taylorovog niza

koji se zove pored Maclaurina.

Niz stepena unutar svog intervala konvergencije može se diferencirati pojam po član i integrirati onoliko puta koliko se želi, a rezultirajući niz ima isti interval konvergencije kao i originalni niz.

Dva niza stepena mogu se sabirati i množiti član po član prema pravilima sabiranja i množenja polinoma. U ovom slučaju, interval konvergencije rezultirajućeg novog niza poklapa se sa zajedničkim dijelom intervala konvergencije originalnog niza.

Za proširenje funkcije u Maclaurinov niz, potrebno je:

1) izračunati vrijednosti funkcije i njenih sukcesivnih izvoda u tački x= 0, tj. , , .
8. Proširite Maclaurinov niz funkcija.

Prije nego počnete raditi s ovom temom, savjetujem vam da pogledate odjeljak s terminologijom za numeričke serije. Posebno je vrijedno obratiti pažnju na koncept zajedničkog pojma serije. Ako sumnjate u ispravan izbor predznaka konvergencije, savjetujem vam da pogledate temu "Odabir predznaka konvergencije brojčanih nizova".

Neophodan kriterijum za konvergenciju brojevni red ima jednostavnu formulaciju: zajednički član konvergentnog niza teži nuli. Ovu karakteristiku možete napisati i formalnije:

Ako niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ konvergira, tada je $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

Često u literaturi umjesto izraza "neophodan kriterij za konvergenciju" pišu "neophodan uvjet za konvergenciju". Ali da pređemo na stvar: šta ovaj znak znači? A to znači sljedeće: ako je $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, onda je serija možda konvergirati. Ako je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (ili granica jednostavno ne postoji), tada se niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ divergira.

Vrijedi napomenuti da jednakost $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ne znači da red uopće konvergira. Niz se može ili konvergirati ili divergirati. Ali ako je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada je zagarantovano da će serija divergirati. Ako ove nijanse zahtijevaju detaljna objašnjenja, otvorite bilješku.

Šta znači izraz "neophodan uslov"? prikaži/sakrij

Pojasnimo na primjeru pojam nužnog stanja. Da kupim olovku za studenta neophodno imaju 10 rubalja. Ovo se može napisati na sljedeći način: ako učenik kupi olovku, onda ima 10 rubalja. Prisustvo deset rubalja je neophodan uslov za kupovinu olovke.

Neka je ovaj uslov zadovoljen, tj. Učenik ima deset. Da li to znači da će kupiti olovku? Ne sve. Može kupiti olovku, ili može sačuvati novac za kasnije. Ili kupite nešto drugo. Ili ih poklonite nekome - ima puno opcija :) Drugim riječima, ispunjenje neophodnog uslova za kupovinu olovke (tj. posjedovanje novca) ne garantuje kupovinu ove olovke.

Slično, neophodan uslov za konvergenciju numeričkog niza $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ uopšte ne garantuje konvergenciju samog ovog niza. Jednostavna analogija: ako ima novca, student može, ali i ne mora kupiti olovku. Ako je $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, niz može ili konvergirati ili divergirati.

Međutim, šta se dešava ako se ne ispuni neophodan uslov za kupovinu olovke, tj. nema novca? Tada učenik sigurno neće kupiti olovku. Isto važi i za redove: ako nije zadovoljen nužni uslov konvergencije, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada će se serija definitivno razilaziti.

Ukratko, ako je nužni uslov ispunjen, onda se posljedica može, ali i ne mora dogoditi. Međutim, ako se ne ispuni nužni uvjet, onda definitivno neće nastupiti posljedica.

Radi jasnoće, dat ću primjer dvije serije: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ i $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Zajednički član prve serije $u_n=\frac(1)(n)$ i zajednički član druge serije $v_n=\frac(1)(n^2)$ teže nuli, tj.
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$
Međutim, harmonijski niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ divergira, dok niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ konvergira. Ispunjenje potrebnog uvjeta konvergencije uopće ne garantuje konvergenciju niza.

Na osnovu neophodnog uslova za konvergenciju niza možemo formulisati dovoljan znak divergencije brojevna linija:

Ako je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada se niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ divergira.

Najčešće se u standardnim primjerima provjerava potreban kriterij konvergencije ako je zajednički član niza predstavljen razlomkom, čiji su brojnik i nazivnik neki polinomi. Na primjer, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (vidi primjer #1). Ili mogu postojati korijeni iz polinoma (vidi primjer br. 2). Postoje primjeri koji su donekle izvan ove šeme, ali to je rijetko za standardne testove (vidi primjere u drugom dijelu ove teme). Naglašavam glavnu stvar: uz pomoć potrebnog kriterija nemoguće je dokazati konvergenciju serije. Ovaj kriterij se koristi kada je potrebno dokazati da se niz divergira.

Primjer #1

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$.

Pošto je donja granica sumiranja 1, zajednički član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Pronađite granicu zajedničkog člana serije:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (pet). $$
"Granica omjera dva polinoma". Kako granica zajedničkog člana serije nije jednaka nuli, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, tada neophodni kriterijum za konvergenciju nije zadovoljen. Stoga se serija razilazi.

Rješenje je gotovo, međutim, vjerujem, čitalac će imati sasvim razumno pitanje: kako smo uopće vidjeli da je potrebno provjeriti ispunjenost neophodnog uslova konvergencije? Postoji mnogo znakova konvergencije numeričkih nizova, pa zašto su uzeli ovaj? Ovo pitanje uopšte nije prazno. Ali pošto odgovor na njega možda neće zanimati sve čitaoce, sakrio sam ga pod napomenom.

Zašto smo počeli da koristimo neophodni kriterijum konvergencije? prikaži/sakrij

Slobodno govoreći, pitanje konvergencije ove serije rešava se čak i pre formalne studije. Neću se doticati takve teme kao što je redosled rasta, samo ću dati neka opšta obrazloženja. Pogledajmo bliže uobičajeni izraz za $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Pogledajmo prvo brojilac. Broj (-1), koji se nalazi u brojiocu, može se odmah odbaciti: ako je $n\to\infty$, onda će ovaj broj biti zanemariv u odnosu na ostale pojmove.

Pogledajmo stepene $n^2$ i $n$ u brojiocu. Pitanje: koji element ($n^2$ ili $n$) će rasti brže od ostalih?

Odgovor je jednostavan: to je $n^2$ koje će najbrže povećati svoje vrijednosti. Na primjer, kada je $n=100$, tada je $n^2=10\;000$. I ovaj jaz između $n$ i $n^2$ će biti sve veći i veći. Stoga ćemo mentalno odbaciti sve pojmove, osim onih koji sadrže $n^2$. Nakon takvog "ispuštanja" brojilac će imati $3n^2$. I nakon izvođenja slične procedure za nazivnik, $5n^2$ će ostati tamo. A razlomak $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ će sada postati: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . One. u beskonačnosti, zajednički pojam očigledno neće težiti nuli. Ostaje samo da se to formalno pokaže, što je i učinjeno gore.

Često se u zapisu zajedničkog člana niza koriste elementi kao što su, na primjer, $\sin\alpha$ ili $\arctg\alpha$ i slično. Samo trebate zapamtiti da vrijednosti takvih veličina ne mogu ići izvan određenih brojčanih granica. Na primjer, bez obzira na vrijednost $\alpha$, vrijednost $\sin\alpha$ će ostati unutar $-1≤\sin\alpha≤ 1$. To jest, na primjer, možemo napisati da je $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Sada zamislite da notacija za zajednički termin serije sadrži izraz poput $5n+\sin(n!e^n)$. Hoće li sinus, koji može "oscilirati" samo od -1 do 1, imati neku značajnu ulogu? Na kraju krajeva, vrijednosti $n$ žure u beskonačnost, a sinus ne može čak ni prijeći jedan! Stoga, u preliminarnom razmatranju izraza $5n+\sin(n!e^n)$, sinus se može jednostavno odbaciti.

Ili, na primjer, uzmite tangentu luka. Bez obzira na vrijednost argumenta $\alpha$, vrijednosti $\arctg\alpha$ će zadovoljiti nejednakost $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Da biste odredili koji elementi se mogu "odbaciti", a koji ne, potrebna vam je malo vještine. Najčešće se pitanje konvergencije niza može riješiti i prije formalne studije. A formalna studija u standardnim primjerima služi samo kao potvrda intuitivno dobivenog rezultata.

Odgovori: serija se razilazi.

Primjer #2

Ispitajte niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ za konvergenciju.

Pošto je donja granica zbrajanja jednaka 1, zajednički član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+ 12)$. Pronađite granicu zajedničkog člana serije:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ lijevo|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3) )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+ \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$
Ako način rješavanja ove granice postavlja pitanja, onda vam savjetujem da pogledate temu "Granice s iracionalnošću. Treći dio" (primjer br. 7). Kako granica zajedničkog člana serije nije jednaka nuli, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada neophodni kriterijum za konvergenciju nije zadovoljen. Stoga se serija razilazi.

Hajde da pričamo malo sa pozicije intuitivnog zaključivanja. U principu, ovdje je tačno sve što je rečeno u napomeni uz rješenje primjera br. 1. Ako mentalno "odbacimo" sve "nebitne" članove u brojiocu i nazivniku zajedničkog člana niza, tada će razlomak $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- n+12)$ će poprimiti oblik: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . One. čak i prije formalne studije, postaje jasno da za $n\to\infty$ zajednički član serije neće težiti nuli. Do beskonačnosti - postaće, do nule - ne. Stoga, ostaje samo da se to striktno pokaže, što je i učinjeno gore.

Odgovori: serija se razilazi.

Primjer #3

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$.

Pošto je donja granica sumiranja jednaka 1, zajednički član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Pronađite granicu zajedničkog člana serije:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(poravnano)&\frac(8)(3^n)\do 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(aligned)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\do\infty)\lijevo(\frac(5)(3)\desno)^n=+\infty. $$
Kako granica zajedničkog člana serije nije jednaka nuli, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada neophodni kriterijum za konvergenciju nije zadovoljen. Stoga se serija razilazi.

Nekoliko riječi o transformacijama koje su izvršene prilikom izračunavanja granice. Izraz $5^n$ stavljen je u brojilac tako da izrazi i u brojniku i u nazivniku postanu beskonačno mali. One. za $n\to\infty$ imamo: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ i $\frac(1)(5^n)\to 0$. A ako imamo infinitezimalni omjer, onda možemo sigurno primijeniti formule navedene u dokumentu "Ekvivalentne beskonačno male funkcije" (pogledajte tabelu na kraju dokumenta). Prema jednoj od ovih formula, ako je $x\to 0$, onda je $\sin x\sim x$. A imamo upravo takav slučaj: pošto je $\frac(8)(3^n)\do 0$, onda je $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. Drugim riječima, izraz $\sin\frac(8)(3^n)$ jednostavno zamjenjujemo izrazom $\frac(8)(3^n)$.

Mislim da se može postaviti pitanje zašto smo transformirali izraz $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ u oblik razlomka, jer je zamjena mogla biti obavljena i bez takve transformacije. Odgovor je sljedeći: zamjena se može izvršiti, ali da li će to biti legalno? Teorema o ekvivalentnim infinitezimalnim funkcijama daje nedvosmislenu naznaku da su takve zamjene moguće samo u izrazima oblika $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (dok $\alpha(x)$ i $ \beta (x)$ - beskonačno mali) koji se nalazi ispod predznaka granice. Dakle, transformirali smo naš izraz u oblik razlomka, prilagođavajući ga zahtjevima teoreme.

Odgovori: serija se razilazi.

Primjer #4

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$.

Pošto je donja granica sumiranja jednaka 1, zajednički član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. Zapravo, pitanje konvergencije ovog niza se lako rješava korištenjem D "Alembertovog znaka. Međutim, neophodan znak konvergencije se također može primijeniti.

Pogledajmo bliže uobičajeni termin serije. Brojač sadrži izraz $3^n$, koji raste mnogo brže sa povećanjem $n$ od izraza u nazivniku $n^2$. Uporedite sami: na primjer, ako je $n=10$, onda $3^n=59049$, i $n^2=100$. I ovaj jaz brzo raste sa rastom od $n$.

Sasvim je logično pretpostaviti da ako $n\to\infty$, onda $u_n$ neće težiti nuli, tj. nužni uslov konvergencije nije zadovoljen. Ostaje samo provjeriti ovu vjerodostojnu hipotezu i izračunati $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Međutim, prije izračunavanja ove granice, pronađimo pomoćnu granicu funkcije $y=\frac(3^x)(x^2)$ za $x\to +\infty$, tj. izračunaj $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Zašto ovo radimo: činjenica je da u izrazu $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ parametar $n$ uzima samo prirodne vrijednosti ($n=1,2,3, \ldots$) , a argument $x$ funkcije $y=\frac(3^x)(x^2)$ uzima realne vrijednosti. Kada pronađemo $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ možemo primijeniti L'Hopitalovo pravilo:
$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (primijenite L'Hopital's pravilo) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ lijevo|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(primijeni L'Hopitalovo pravilo)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$
Pošto je $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, onda je $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Pošto je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, neophodan uslov za konvergenciju niza nije zadovoljen, tj. dati niz se razilazi.

Odgovori: serija se razilazi.

Drugi primjeri nizova, čija se konvergencija provjerava pomoću potrebnog testa konvergencije, nalaze se u drugom dijelu ove teme.

U praksi, često nije toliko važno pronaći zbir niza koliko odgovoriti na pitanje konvergencije niza. U tu svrhu koriste se kriterijumi konvergencije zasnovani na svojstvima zajedničkog pojma serije.

NEOPHODAN KRITERIJ ZA KONVERGENCIJU NIZA

TEOREMA 1.

Ako se niz konvergira, onda je njegov zajednički pojam a n teži nuli kao, tj. .

Ukratko: ako se niz konvergira, tada njegov zajednički član teži nuli.

Zaključak: ako , tada se serija divergira.

Primjer 15.

Rješenje. Za ovu seriju, zajednički pojam i .

Stoga se ova serija razlikuje.

Primjer 16. Istražite nizove konvergencije .

Rješenje. Očigledno je da zajednički član ove serije, čiji oblik nije naznačen zbog glomaznog izraza, teži nuli na n®¥, one. neophodan kriterijum za konvergenciju niza je zadovoljen, ali ovaj niz divergira, jer njegov zbir teži beskonačnosti.

DOVOLJNI USLOVI KONVERGENCIJE

POSITIVE SERIES

Zove se niz brojeva čiji su svi članovi pozitivni znak-pozitivan.

TEOREMA 2. (Prvi znak poređenja).

Neka su date dvije pozitivne serije:

a 1 + a 2 +a 3 +...+a n+...=(17)

b 1 + b 2 +b 3 +...+b n+...= ,(18)

i, počevši od nekog broja N, za bilo koga n>N nejednakost a n £ b n. onda:

1) konvergencija niza („veći“) implicira konvergenciju niza („manji“);

2) divergencija („manjeg”) niza implicira divergenciju („veće”) serije.

Šematski zapis prvog znaka poređenja:

a n £ b n

konvergencija

exp.®exp.

Za primjenu ove značajke često se koriste takve standardne serije čija je konvergencija ili divergencija unaprijed poznata, na primjer:

1) ¾ geometrijski, (konvergira na i divergira na );

2) - harmonijski (divergira);

3) - Dirichletov red (konvergira za a > 1 i divergira za a £ 1).

Razmotrimo, koristeći poseban primjer, shemu za proučavanje niza pozitivnih predznaka za konvergenciju koristeći prvi kriterij poređenja.

Primjer 17.

Rješenje. Korak 1. Provjerimo pozitivan predznak serije: .

Korak 2. Provjerimo ispunjenost potrebnog kriterija za konvergenciju niza: . Od tada .

(Ako je izračunavanje ograničenja teško, možete preskočiti ovaj korak.)

Korak 3. Koristimo prvi znak poređenja. Odaberimo standardnu seriju za ovu seriju. Pošto , onda se niz može uzeti kao standard, tj. Dirichletov red. Ovaj niz konvergira jer je eksponent a= >1. Dakle, prema prvom kriteriju poređenja, niz koji se proučava također konvergira.

Primjer 18. Ispitajte konvergenciju niza.

Rješenje. 1. Ovaj niz je znak pozitivan, jer za n=1,2,3,... .

2. Zadovoljen je neophodan kriterijum za konvergenciju niza, jer

3. Odaberimo standardni red. Budući da , tada se geometrijski niz () može uzeti kao standard. Ovaj niz konvergira, pa stoga i niz koji se proučava konvergira.

TEOREMA 3. (Drugi znak poređenja )

Ako postoji konačna granica različita od nule za nizove sa pozitivnim predznakom, tada se nizovi istovremeno konvergiraju ili divergiraju.

Ako a n ®0 kao n®¥ (neophodan kriterijum za konvergenciju), tada uslov , implicira da a n i b n su infinitezimalni istog reda male veličine (ekvivalentno za l=1). Stoga, ako je data serija , gdje a n ®0 kao n®0, onda za ovaj niz možemo uzeti standardni niz, gdje je zajednički pojam b n ima isti red malenosti kao i zajednički pojam date serije.

Primjer 19. Istražite nizove konvergencije

Rješenje. Ovaj niz je znak pozitivan, jer za bilo koji nON.

Pošto ~ ~ , tada uzimamo kao referentni niz harmonijski divergentni niz . Pošto je granica omjera zajedničkih članova a n i konačan je i različit od nule (jednak je 1), onda na osnovu drugog kriterijuma poređenja ovaj niz divergira.

TEOREMA 4.(Znak d'Alamberta )

Ako postoji konačan limit za niz pozitivnih predznaka, tada red konvergira za l<1 и расходится при l>1.

napomene:

1) Ako je l=1, onda teorema 4 ne daje odgovor na pitanje o konvergenciji niza, pa je stoga potrebno koristiti druge kriterije za konvergenciju.

2) D'Alembertov test je prikladan u praksi kada zajednički pojam niza sadrži eksponencijalnu funkciju ili faktorijel.

Primjer 20. Istražite nizove konvergencije prema d'Alambertu.

napomene:

1) Ako je l=1, teorema 5 ne daje odgovor na pitanje o konvergenciji reda, pa je potrebno koristiti druge kriterijume poređenja.

2) Ako je l=¥, tada se niz divergira.

Primjer 22. Istražite niz za konvergenciju.

Rješenje. Ova serija ima pozitivan predznak, jer za bilo koju nON. Izostavljajući provjeru izvodljivosti potrebnog kriterija za konvergenciju niza, odmah koristimo teoremu 5. Pošto , onda ovaj niz divergira po Cauchyjevom kriteriju.

TEOREMA 6. (Integralni Cauchy test)

Neka funkcija f(x) kontinuirano, nenegativno i nerastuće za sve x³m, gdje m- neki nenegativan broj. Zatim niz brojeva

konvergira ako konvergira nepravilni integral