Uz pomoć redova stepena moguće je integrisati diferencijalne jednadžbe.

Razmotrimo linearnu diferencijalnu jednačinu oblika:

Ako se svi koeficijenti i desna strana ove jednačine prošire u redove stepena koji konvergiraju u nekom intervalu, tada postoji rješenje ove jednačine u nekom malom susjedstvu nulte tačke koje zadovoljava početne uslove.

Ovo rješenje se može predstaviti kao niz snaga:

Da bismo pronašli rješenje, ostaje odrediti nepoznate konstante c i .

Ovaj zadatak je riješen metoda poređenja neizvjesnih koeficijenata. Zamjenjujemo pisani izraz za željenu funkciju u originalnu diferencijalnu jednačinu, dok izvodimo sve potrebne radnje sa stepenom redova (diferencijacija, sabiranje, oduzimanje, množenje itd.)

Zatim izjednačavamo koeficijente na istim stepenima X na lijevoj i desnoj strani jednačine. Kao rezultat toga, uzimajući u obzir početne uslove, dobijamo sistem jednačina iz kojeg sukcesivno određujemo koeficijente c i .

Imajte na umu da je ova metoda primjenjiva i na nelinearne diferencijalne jednadžbe.

Primjer. Pronađite rješenje jednačine
sa početnim uslovima y(0)=1, y’(0)=0.

Rješenje jednačine tražit ćemo u obliku

Dobijene izraze zamjenjujemo u originalnu jednačinu:

Odavde dobijamo:

………………

Dobijamo zamjenom početni uslovi u izraze za željenu funkciju i njen prvi izvod:

Konačno dobijamo:

Ukupno:

Postoji još jedna metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi pomoću serija. Nosi ime metoda uzastopne diferencijacije.

Razmotrimo isti primjer. Rješenje diferencijalne jednadžbe tražit ćemo u obliku proširenja nepoznate funkcije u Maclaurinov red.

Ako su dati početni uslovi y(0)=1, y’(0)=0 zamenimo u originalnu diferencijalnu jednačinu, dobijamo to

Zatim zapisujemo diferencijalnu jednačinu u obliku
i mi ćemo ga sekvencijalno razlikovati u odnosu na X.

Nakon zamjene dobijenih vrijednosti dobijamo:

Cauchy kriterij.

(potrebni i dovoljni uslovi za konvergenciju niza)

U cilju redosleda
bio konvergentan, potrebno je i dovoljno da za bilo koje
postojao je brojN, koji un > Ni bilo kojistr> 0, gdje je p cijeli broj, vrijedi sljedeća nejednakost:

.

Dokaz. (potreba)

Neka bude
, zatim za bilo koji broj
postoji broj N takav da je nejednakost

se izvodi za n>N. Za n>N i bilo koji cijeli broj p>0, nejednakost također vrijedi
. Uzimajući u obzir obje nejednakosti, dobijamo:

Potreba je dokazana. Nećemo razmatrati dokaz dovoljnosti.

Formulirajmo Cauchyjev kriterij za seriju.

U redu za broj
bila konvergentna neophodna i dovoljna da za bilo koje
postojao je brojNtakav da nan> Ni bilo kojistr>0 bi zadovoljilo nejednakost

.

Međutim, u praksi nije baš zgodno koristiti Cauchyjev kriterij direktno. Stoga se u pravilu koriste jednostavniji kriteriji konvergencije:

Posljedica. Ako f(x) I  (X) – kontinuirane funkcije na intervalu (a, b] i
zatim integrali
I
ponašaju se isto u smislu konvergencije.

snaga serije.

Uz pomoć redova stepena moguće je integrisati diferencijalne jednadžbe.

Razmotrimo linearnu diferencijalnu jednačinu oblika:

Ako se svi koeficijenti i desna strana ove jednačine prošire u redove stepena koji konvergiraju u nekom intervalu, tada postoji rješenje ove jednačine u nekom malom susjedstvu nulte tačke koje zadovoljava početne uslove.

Ovo rješenje se može predstaviti kao niz snaga:

Da bismo pronašli rješenje, ostaje odrediti nepoznate konstante c i.

Ovaj zadatak je riješen metoda poređenja neizvjesnih koeficijenata. Zamjenjujemo pisani izraz za željenu funkciju u originalnu diferencijalnu jednačinu, dok izvodimo sve potrebne radnje sa stepenom redova (diferencijacija, sabiranje, oduzimanje, množenje itd.)

Zatim izjednačavamo koeficijente na istim stepenima X na lijevoj i desnoj strani jednačine. Kao rezultat toga, uzimajući u obzir početne uslove, dobijamo sistem jednačina iz kojeg sukcesivno određujemo koeficijente c i.

Imajte na umu da je ova metoda primjenjiva i na nelinearne diferencijalne jednadžbe.

Primjer. Naći rješenje jednačine sa početnim uslovima y(0)=1, y'(0)=0.

Rješenje jednačine tražit ćemo u obliku

Dobijene izraze zamjenjujemo u originalnu jednačinu:

Odavde dobijamo:

………………

Dobijamo zamjenom početnih uslova u izraze za željenu funkciju i njen prvi izvod:

Konačno dobijamo:

Postoji još jedan način za rješavanje diferencijalne jednadžbe koristeći redove. Nosi ime metoda uzastopne diferencijacije.

Razmotrimo isti primjer. Rješenje diferencijalne jednadžbe tražit ćemo u obliku proširenja nepoznate funkcije u Maclaurinov red.

Ako su dati početni uslovi y(0)=1, y'(0)=0 zamenimo u originalnu diferencijalnu jednačinu, dobijamo to

Nakon zamjene dobijenih vrijednosti dobijamo:

Fourierova serija.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) - francuski matematičar)

trigonometrijske serije.

Definicija. trigonometrijske serije nazvan nizom oblika:

ili, ukratko,

Realni brojevi a i , b i nazivaju se koeficijenti trigonometrijskog niza.

Ako niz gore prikazanog tipa konvergira, tada je njegov zbir periodična funkcija s periodom od 2p, jer funkcije grijeha nx i cos nx također periodične funkcije sa periodom 2p.

Neka trigonometrijski redovi konvergiraju jednoliko na intervalu [-p; p] i, prema tome, na bilo kojem segmentu zbog periodičnosti, a njegov zbir je jednak f(x).

Odredimo koeficijente ove serije.

Za rješavanje ovog problema koristimo sljedeće jednakosti:

Valjanost ovih jednakosti slijedi iz aplikacije na integrand trigonometrijske formule. Pogledajte Integracija trigonometrijskih funkcija za detalje.

Jer funkcija f(x) kontinuirano na intervalu [-p; p], onda postoji integral

Ovaj rezultat je dobiven kao rezultat činjenice da .

Odavde dobijamo:

Slično, množimo izraz proširenja funkcije u nizu sa sin nx i integrirati od -p do p.

Dobijamo:

Izraz za koeficijent a 0 je poseban slučaj za izražavanje koeficijenata a n.

Dakle, ako je funkcija f(x)– bilo koja periodična funkcija perioda 2p, kontinuirana na segmentu [-p; p] ili imaju konačan broj tačaka diskontinuiteta prve vrste na ovom segmentu, tada koeficijenti

postoje i zovu se Fourierovi koeficijenti za funkciju f(x).

Definicija. Blizu Fouriera za funkciju f(x) naziva se trigonometrijski niz čiji su koeficijenti Fourierovi koeficijenti. Ako je Fourierov red funkcije f(x) konvergira mu u svim svojim tačkama kontinuiteta, onda kažemo da je funkcija f(x)širi u Fourierov niz.

Dovoljno znakova proširivost u Fourierovom nizu.

Teorema. (Dirichletova teorema) Ako funkcija f(x) ima period 2p i na intervalu

[-p;p] je kontinuiran ili ima konačan broj tačaka diskontinuiteta prve vrste, a segment

[-p;p] se može podijeliti na konačan broj segmenata tako da unutar svakog od njih funkcija f(x) bude monotona, tada Fourierov red za funkciju f(x) konvergira za sve vrijednosti x, a u tačkama kontinuiteta funkcije f(x) njen zbir je jednak f(x), a u tačkama diskontinuiteta njen zbir je jednak , tj. aritmetička sredina graničnih vrijednosti lijevo i desno. U ovom slučaju, Fourierov red funkcije f(x) ravnomjerno konvergira na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu kontinuiteta funkcije f(x).

Poziva se funkcija f(x) za koju su ispunjeni uslovi Dirichletove teoreme po komadima monotono na segmentu [-p;p].

Teorema. Ako funkcija f(x) ima period od 2p, dodatno, f(x) i njen izvod f'(x) su kontinuirane funkcije na segmentu [-p;p] ili imaju konačan broj točaka diskontinuiteta prva vrsta na ovom segmentu, zatim niz Fourierova funkcija f(x) konvergira za sve vrijednosti x, a u tačkama kontinuiteta njen zbir je jednak f(x), a u tačkama diskontinuiteta jednak je do . U ovom slučaju, Fourierov red funkcije f(x) ravnomjerno konvergira na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu kontinuiteta funkcije f(x).

Funkcija koja zadovoljava uslove ove teoreme naziva se glatka u komadima na segmentu [-p;p].

Fourierova ekspanzija neperiodične funkcije.

Problem proširenja neperiodične funkcije u Fourierov red se u principu ne razlikuje od proširenja u Fourierov red periodične funkcije.

Recimo funkciju f(x) je dato na segmentu i na ovom segmentu je monotono po komadima. Razmotrimo proizvoljnu periodiku po komadima monotonska funkcija f 1 (x) sa tačkom 2T ³ ïb-aï, što se poklapa sa funkcijom f(x) na segmentu .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Dakle, funkcija f(x) je dopunjena. Sada funkcija f 1 (x)širi u Fourierov niz. Zbir ovog niza u svim tačkama segmenta poklapa se sa funkcijom f(x), one. možemo pretpostaviti da je funkcija f(x) proširen u Fourierov niz na segmentu .

Dakle, ako je funkcija f(x) data na segmentu jednakom 2p, ona se ni po čemu ne razlikuje od proširenja u niz periodične funkcije. Ako je interval na kojem je data funkcija manji od 2p, tada se funkcija proširuje na interval (b, a + 2p) tako da su sačuvani uvjeti Fourierove ekspanzije.

Uopšteno govoreći, u ovom slučaju, proširenje date funkcije na segment (interval) dužine 2p može se izvršiti na beskonačan broj načina, pa će zbrojevi rezultirajućeg niza biti različiti, ali će se poklapati sa datim funkcija f(x) na segmentu .

Fourierov red za parne i neparne funkcije.

Zapažamo sljedeća svojstva parnih i neparnih funkcija:

2) Proizvod dvije parne i neparne funkcije je parna funkcija.

3) Proizvod parnih i neparnih funkcija je neparna funkcija.

Validnost ovih svojstava može se lako dokazati na osnovu definicije parnih i neparnih funkcija.

Ako je f(x) parna periodična funkcija s periodom 2p koja zadovoljava uvjete Fourierove ekspanzije, tada možemo napisati:

Dakle, za parnu funkciju, Fourierov red je napisan:

Slično, dobijamo proširenje u Fourierov red za neparnu funkciju:

Primjer. Proširite u Fourierov red periodičnu funkciju s periodom T = 2p na intervalu [-p;p].

Postavite funkciju je neparan, stoga tražimo Fourierove koeficijente u obliku:

Definicija. Pored Fouriera ortogonalni sistem funkcije j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) je niz oblika:

čiji su koeficijenti određeni formulom:

gdje f(x)= - zbir niza koji uniformno konvergira na segmentu u ortogonalnom sistemu funkcija. f(x) - bilo koja funkcija koja je kontinuirana ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste na intervalu .

U slučaju ortonormalnog sistema funkcija određuju se koeficijenti:

Kada koristite PC verziju “ Kurs više matematike” moguće je pokrenuti program koji proširuje proizvoljnu funkciju u Fourierov niz.

0

Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije

obrazovne ustanove

„Mogilevski Državni univerzitet nazvan po A.A. Kulešov"

Odjel za MA&VT

Konstrukcija rješenja diferencijalnih jednadžbi pomoću serija

Rad na kursu

Izvršio: student B grupe 3 kurs

Fizičko-matematički fakultet

Yuskaeva Alexandra Maratovna

naučni savjetnik:

Morozov Nikolaj Porfirjevič

MOGILJEV, 2010

Uvod 1. Diferencijalne jednadžbe višeg reda 1.1. Koncept linearne diferencijalne jednadžbe n-tog reda 2. Integracija diferencijalnih jednadžbi pomoću serija 2.1. Integracija diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova stepena. 2.2. Integracija diferencijalnih jednadžbi korištenjem generaliziranih nizova stepena. 3. Posebni slučajevi upotrebe generalizovanih redova stepena u integraciji diferencijalnih jednačina. 3.1. Beselova jednačina. 3.2. Hipergeometrijska jednačina ili Gaussova jednačina. 4. Primena metode integracije običnih diferencijalnih jednačina korišćenjem redova u praksi. Zaključak Književnost

Uvod

U opštem slučaju, nemoguće je pronaći tačno rešenje obične diferencijalne jednadžbe prvog reda integracijom. Štaviše, ovo nije izvodljivo za sistem običnih diferencijalnih jednačina. Ova okolnost dovela je do stvaranja velikog broja aproksimativnih metoda za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi i njihovih sistema. Postoje tri grupe aproksimativnih metoda: analitičke, grafičke i numeričke. Naravno, takva klasifikacija je donekle proizvoljna. Na primjer, grafička Eulerova metoda izlomljene linije leži u osnovi jedne od metoda za numeričko rješavanje diferencijalne jednadžbe.

Integracija običnih diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova stepena je približna analitička metoda, koja se obično primjenjuje na linearne jednadžbe najmanje drugog reda.

Analitičke metode se nalaze u toku diferencijalnih jednačina. Za jednačine prvog reda (sa odvojivim varijablama, homogene, linearne, itd.), kao i za neke vrste jednačina višeg reda (na primjer, linearne sa konstantni koeficijenti) moguće je analitičkim transformacijama dobiti rješenja u obliku formula.

Cilj rada je analizirati jednu od aproksimativnih analitičkih metoda, kao što je integracija običnih diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova, i njihova primjena u rješavanju diferencijalnih jednadžbi.

1. Diferencijalne jednadžbe višeg reda

Obična diferencijalna jednadžba n-tog reda je relacija oblika

gdje je F poznata funkcija njegovih argumenata, data u nekom domenu;

x - nezavisna varijabla;

y je funkcija varijable x koju treba odrediti;

y’, y”, …, y (n) su derivacije funkcije y.

Ovo pretpostavlja da je y (n) zaista uključen u diferencijalnu jednačinu. Bilo koji od preostalih argumenata funkcije F možda neće eksplicitno sudjelovati u ovoj relaciji.

Svaka funkcija koja zadovoljava datu diferencijalnu jednačinu naziva se njeno rješenje ili integral. Riješiti diferencijalnu jednadžbu znači pronaći sva njena rješenja. Ako je za željenu funkciju y moguće dobiti formulu koja daje sva rješenja date diferencijalne jednadžbe i samo njih, onda kažemo da smo pronašli njeno opće rješenje, odnosno opći integral.

Opšte rješenje diferencijalne jednadžbe n-tog reda sadrži n proizvoljnih konstanti c 1 , c 2 ,..., c n i ima oblik.

1.1. Koncept linearne diferencijalne jednadžben-th red

Diferencijalna jednačina n-tog reda naziva se linearnom ako je prvog stepena u odnosu na ukupnost veličina y, y', ..., y (n) . Dakle, linearna diferencijalna jednadžba n-tog reda ima oblik:

gdje su poznate kontinuirane funkcije od x.

Ova jednačina se naziva nehomogena linearna jednačina ili jednačina sa desnom stranom. Ako je desna strana jednadžbe identično jednaka nuli, onda linearna jednačina naziva se homogena diferencijalna linearna jednadžba i ima oblik

Ako je n jednako 2, onda dobijamo linearnu jednačinu drugog reda, koja se zapisuje kao Poput linearne jednačine n-tog reda, jednačina drugog reda može biti homogena () i nehomogena.

1. Integracija diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova.

Rješenja obične diferencijalne jednadžbe iznad prvog reda s promjenjivim koeficijentima nisu uvijek izražena u terminima elementarnih funkcija, a integracija takve jednačine se rijetko svodi na kvadrature.

2.1. Integracija diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova stepena.

Najčešća metoda za integraciju ovih jednačina je predstavljanje željenog rješenja u obliku niza stepena. Razmotrimo jednačine drugog reda sa promjenjivim koeficijentima

Napomena 1. Prilično široka klasa funkcija može se predstaviti kao

gdje su neke konstante. Ovaj izraz se naziva redom stepena. Ako su njegove vrijednosti jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije za bilo koji x iz intervala (x 0 - T; x 0 + T), tada se takav niz naziva konvergentan u ovom intervalu.

Pretpostavimo da su funkcije a(x), b(x) analitičke funkcije jednačine (2.1) na intervalu (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, tj. prošireno u nizove snage:

Vrijedi sljedeća teorema (izostavljajući dokaz, iznosimo samo njen iskaz).

Teorema_1. Ako funkcije a(x), b(x) imaju oblik (2.2), tada se svako rješenje y(x) obične diferencijalne jednadžbe (2.1) može predstaviti kao konvergentno za |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Ova teorema ne samo da omogućava da se rješenje predstavi u obliku stepena reda, već, što je najvažnije, opravdava konvergenciju reda (2.3).

Algoritam za takvu reprezentaciju je sljedeći. Radi praktičnosti, postavljamo x 0 = 0 u (2.2) i (2.3) i tražimo rješenje obične diferencijalne jednadžbe (2.1) u obliku

Zamjenom (2.4) u (2.1) dobijamo jednakost

Da bi (2.5) bila zadovoljena, potrebno je da koeficijent na svakom stepenu x bude jednak nuli. Iz ovog uslova dobijamo beskonačan sistem linearnih algebarske jednačine

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Iz rezultirajućeg beskonačnog sistema linearnih algebarskih jednadžbi može se sekvencijalno pronaći, …, ako se zadaju vrijednosti i (u slučaju Cauchyjevog problema za običnu diferencijalnu jednadžbu (2.1), mogu se uvesti početni uvjeti = , =).

Ako su funkcije a(x), b(x) racionalne, tj. , b , gdje su polinomi, zatim u susjedstvu tačaka gdje ili, rješenje u obliku stepena niza možda ne postoji, a ako postoji, može divergirati svuda, osim u tački x = 0. Ova okolnost je već bila poznat L. Euleru, koji je razmatrao jednačinu prvog reda

Ova jednačina je zadovoljena redovima stepena

Međutim, lako je vidjeti da se ova serija razlikuje od bilo kojeg. Rješenje obične diferencijalne jednadžbe u obliku divergentnog stupnja naziva se formalno.

Jedan od najupečatljivijih i najrazumljivijih primjera aplikacije ovu metodu integracija je Airyeva jednadžba ili

Sva rješenja ove jednadžbe su cijele funkcije od x. Tada će se rješenje Airyeve jednadžbe tražiti u obliku stepena reda (2.4). Tada jednakost (2.5) poprima oblik

Izjednačavamo koeficijent na svakom stepenu od x sa nulom. Imamo

……………………………

Koeficijent na nultom stepenu od x je jednak 2u 2 . Dakle, y 2 = 0. Tada iz jednakosti koeficijenta na nulu nalazimo = . Koeficijent at je jednak. Odavde.

Iz ove formule dobijamo

Koeficijenti i ostaju nedefinisani. Da bismo pronašli osnovni sistem rješenja, prvo postavljamo = 1, = 0, a zatim obrnuto. U prvom slučaju imamo

iu drugom

Na osnovu Teoreme_1, ovi redovi su konvergentni svuda na pravoj liniji.

Funkcije i nazivaju se Airy funkcije. Za velike vrijednosti x, asimptotičko ponašanje ovih funkcija je opisano sa sledeće formule I.

Grafikoni ovih funkcija prikazani su na sl. 2.1. Dobijamo da s neograničenim povećanjem x, nule bilo kojeg rješenja Airyeve jednadžbe konvergiraju beskonačno, što je vidljivo i iz asimptotičkog prikaza ovih rješenja, ali uopće nije očito iz reprezentacije Airyjevih funkcija u obliku konvergentnih redova snaga. Iz ovoga proizilazi da je metoda traženja rješenja obične diferencijalne jednadžbe pomoću niza, općenito govoreći, od male koristi u rješavanju primijenjenih problema, a sam prikaz rješenja kao niza otežava analizu kvalitativnog svojstva dobijenog rastvora.

2.2. Integracija diferencijalnih jednadžbi korištenjem generaliziranih nizova stepena.

Dakle, ako su u jednačini (2.1) funkcije a(x), b(x) racionalne, tada se tačke u kojima ili nazivaju singularne tačke jednačine (2.1).

Za jednačinu drugog reda

gdje su a(x), b(x) analitičke funkcije u intervalu |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

U blizini singularne tačke x = x 0, rješenja u obliku niza stepena možda ne postoje, u kom slučaju se rješenja moraju tražiti u obliku generaliziranog niza stepena:

gdje treba odrediti λ i, …, ().

Teorema_2. Da bi jednadžba (2.6) imala barem jedno posebno rješenje u obliku generalizovanog niza stepena (2.7) u blizini singularne tačke x = x 0, dovoljno je da ova jednačina ima oblik

Suština je konvergentni niz stepena, a koeficijenti istovremeno nisu jednaki nuli, jer inače tačka x = x 0 nije singularna tačka i postoje dva linearno nezavisna rešenja koja su holomorfna u tački x = x 0 . U ovom slučaju, ako se nizovi (2,7") koji ulaze u koeficijente jednačine (2,7') konvergiraju u području | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Razmotrimo jednačinu (2.6) za x > 0. Zamjenom izraza (2.7) u ovu jednačinu za x 0 = 0, imamo

Izjednačavajući na nulu koeficijente na stepenu x, dobijamo rekurentni sistem jednačina:

……..........................……………………………………………. (2.8)

gdje je naznačeno

Budući da tada λ mora zadovoljiti jednačinu

koja se zove definitivna jednačina. Neka su korijeni ove jednadžbe. Ako razlika nije cijeli broj, onda ni za jedan cijeli broj k > 0, što znači da gornja metoda može konstruirati dva linearno nezavisna rješenja jednadžbe (2.6):

Ako je razlika cijeli broj, tada se gornja metoda može koristiti za konstruiranje jednog rješenja u obliku generaliziranog niza. Poznavajući ovo rješenje, koristeći formulu Liouville - Ostrogradsky, možete pronaći drugo rješenje linearno nezavisno sa:

Iz iste formule proizlazi da se rješenje može tražiti u obliku

(broj A može biti jednak nuli).

1. Posebni slučajevi upotrebe generalizovanih redova stepena u integraciji diferencijalnih jednačina.

3.1. Beselova jednačina.

Beselova jednačina je jedna od važnih diferencijalnih jednačina u matematici i njenim primenama. Rješenja Beselove jednadžbe koja je čine fundamentalni sistem funkcije nisu elementarne funkcije. Ali oni se šire u nizove stepena, čiji se koeficijenti izračunavaju prilično jednostavno.

Razmotrimo Beselovu jednačinu u opštem obliku:

Mnogi problemi matematičke fizike svode se na ovu jednačinu.

Budući da se jednadžba ne mijenja kada se x zamijeni sa -x, dovoljno je uzeti u obzir nenegativne vrijednosti x. Jedina singularna tačka je x=0. Jednačina koja definira x=0 je, . Ako je 0, tada jednadžba koja definira ima dva korijena: i. Hajde da nađemo rešenje zadata jednačina u obliku generalizovanog niza stepena

onda, zamenivši y, y" i y" u originalnu jednačinu, dobijamo

Dakle, smanjivanjem za, imamo

Da bi ova jednakost vrijedila identično, koeficijenti moraju zadovoljiti jednačine

Nađimo rješenje koje odgovara korijenu definirajuće jednačine λ = n. Zamjenom λ = n u posljednje jednakosti vidimo da se bilo koji broj osim nule može uzeti kao broj = 0, a za k = 2, 3, ... imamo

Dakle, za sve m = 0, 1, 2, … .

Dakle, svi koeficijenti su pronađeni, što znači da se rješenje jednačine (3.1) može zapisati u obliku

Predstavljamo funkciju

nazvana Ojlerova gama funkcija. Uzimajući u obzir šta i šta za cele brojeve, a takođe biramo proizvoljnu konstantu kako će biti napisana u obliku

naziva se Beselova funkcija prve vrste n-tog reda.

Drugo posebno rješenje Besselove jednadžbe, linearno nezavisno od, traži se u obliku

Jednačine za određivanje at imaju oblik

Pod pretpostavkom da nađemo

Prema pretpostavci, n nije cijeli broj, tako da su svi parni koeficijenti jedinstveno izraženi u terminima:

Na ovaj način,

Pod pretpostavkom da predstavljamo y 2 (x) u obliku

naziva se Beselova funkcija prve vrste sa negativnim indeksom.

Dakle, ako n nije cijeli broj, onda su sva rješenja originalne Besselove jednadžbe linearne kombinacije Beselove funkcije i: .

3.2. Hipergeometrijska jednačina ili Gaussova jednačina.

Hipergeometrijska jednadžba (ili Gausova jednadžba) je jednadžba oblika

gdje su α, β, γ realni brojevi.

Tačke su singularne tačke jednačine. Oba su regularna, jer se u blizini ovih tačaka nalaze koeficijenti Gausove jednačine, napisani u normalnom obliku

može se predstaviti kao generalizovani niz stepena.

Provjerićemo ovo za poentu. Zaista, primjećujući to

jednačina (3.2) se može napisati kao

Ova jednadžba je poseban slučaj jednačine

i ovdje, tako da je tačka x=0 regularna singularna tačka Gausove jednačine.

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja Gaussove jednačine u blizini singularne tačke x=0.

Jednačina koja određuje tačku x=0 ima oblik

Njegovi korijeni i njihova razlika nije cijeli broj.

Dakle, u blizini singularne tačke x=0, može se konstruisati fundamentalni sistem rešenja u obliku generalizovanih redova stepena

od kojih prvi odgovara nultom korijenu definirajuće jednadžbe i običan je niz stepena, tako da je rješenje holomorfno u susjedstvu singularne točke x=0. Drugo rješenje je očigledno neholomorfno na x=0. Konstruirajmo prvo određeno rješenje koje odgovara nultom korijenu definirajuće jednačine.

Stoga ćemo tražiti posebno rješenje jednačine (3.2) u obliku

Zamjenom (3.3) u (3.2) dobijamo

Izjednačavajući slobodni termin sa nulom, dobijamo.

Hajdemo onda.

Izjednačavajući koeficijent na nuli, nalazimo:

Dakle, željeno određeno rješenje ima oblik:

Niz na desnoj strani naziva se hipergeometrijski niz, jer se za α=1, β=γ pretvara u geometrijsku progresiju

Prema Teoremu_2, red (3.4) konvergira za |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Drugo konkretno rješenje izgleda ovako:

Umjesto pronalaženja metodom neodređenih koeficijenata, izvršićemo zamjenu željene funkcije u Gaussovoj jednačini prema formuli

Dobijamo Gaussovu jednačinu

u kojoj ulogu parametara α, β i γ imaju i.

Stoga, nakon što smo konstruisali određeno rješenje ove jednačine koje odgovara nultom korijenu definirajuće jednačine i zamijenivši ga u (3.6), dobili smo drugo posebno rješenje ove Gausove jednačine u obliku:

Opće rješenje Gaussove jednačine (3.2) će biti:

Koristeći konstruisani fundamentalni sistem rješenja Gaussove jednadžbe u blizini singularne tačke x=0, lako se može konstruisati osnovni sistem rješenja ove jednačine u blizini singularne tačke x=1, koji je takođe regularan singularna tačka.

U tu svrhu prenosimo singularnu tačku x = 1 koja nas zanima u tačku t = 0 i, zajedno s njom, singularnu tačku x = 0 u tačku t = 1 koristeći linearnu promjenu nezavisne varijable x = 1 - t.

Izvođenjem ove zamjene u ovoj Gaussovoj jednačini dobijamo

Ovo je Gaussova jednadžba s parametrima. Ima u susjedstvu |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Vraćajući se na varijablu x, tj. postavljanjem t = 1 - x, dobijamo fundamentalni sistem rješenja originalne Gaussove jednačine u blizini tačke | x - 1|< 1 особой точки х = 1

Opšte rješenje Gaussove jednačine (3.2) u domeni je

1. Primena metode integracije običnih diferencijalnih jednadžbi korišćenjem redova u praksi.

Primjer_1. (#691) Izračunajte prvih nekoliko koeficijenata serije (do koeficijenta na x 4 uključujući) sa početnim uslovima

Iz početnih uslova slijedi da sada nalazimo preostale koeficijente:

Primjer_2. (#696) Izračunajte prvih nekoliko koeficijenata serije (do koeficijenta na x 4 uključujući) sa početnim uslovima

Rješenje: Rješenje jednačine tražit ćemo u obliku

Dobijene izraze zamjenjujemo u originalnu jednačinu:

Predstavljajući desnu stranu kao niz stepena i izjednačavajući koeficijente na istim potencijama x u obje strane jednačine, dobivamo:

Pošto je prema uslovu potrebno izračunati koeficijente serije do koeficijenta na x 4 uključujući, dovoljno je izračunati koeficijente.

Iz početnih uslova slijedi da i 2. Sada nalazimo preostale koeficijente:

Stoga se rješenje jednačine može zapisati u obliku

Primjer_3. (№700) Naći linearno nezavisna rješenja u obliku nizova stepena jednačine. Ako je moguće, izrazite zbir rezultirajućeg niza koristeći elementarne funkcije.

Rješenje. Rješenje jednačine tražit ćemo u obliku niza

Diferenciramo ovaj niz dvaput i zamenimo ga u ovu jednačinu, imamo

Zapisujemo prvih nekoliko članova niza u rezultirajuću jednadžbu:

Izjednačavajući koeficijente sa nulom pri istim stepenima x, dobijamo sistem jednačina za određivanje:

………………………………….

Iz ovih jednačina nalazimo

Pretpostavimo da će tada samo koeficijenti biti različiti od nule. Shvatili smo to

Konstruirano je jedno rješenje jednačine

Drugo rješenje, linearno nezavisno od pronađenog, dobija se pretpostavkom. Tada će se samo koeficijenti razlikovati od nule:

Redovi koji predstavljaju i konvergiraju za bilo koje vrijednosti x i su analitičke funkcije. Dakle, sva rješenja originalne jednadžbe su analitičke funkcije za sve vrijednosti x. Sva rješenja su izražena formulom, gdje su C 1 , C 2 proizvoljne konstante:

Budući da je zbroj rezultirajućeg niza lako izraziti pomoću elementarnih funkcija, on će biti zapisan kao:

Primjer_4. (br. 711) Riješite jednačinu 2x 2 y "+ (3x - 2x 2) y" - (x + 1) y = 0.

Rješenje. Tačka x = 0 je regularna singularna tačka ove jednačine. Sastavljamo definirajuću jednadžbu: njeni korijeni λ 1 = 1/2 i λ 2 = - 1. Tražimo rješenje originalne jednadžbe koje odgovara korijenu λ = λ 1 u obliku

Zamjenom i u originalnu jednačinu imamo

Dakle, smanjivanjem za, dobijamo

Izjednačavajući koeficijente na istim stepenima x, imamo jednačine za određivanje:

Stavljajući y 0 = 1, nalazimo

Na ovaj način,

Tražimo rješenje originalne jednadžbe koje odgovara korijenu λ = λ 2 u obliku

Zamjenom ovog izraza u originalnu jednačinu i izjednačavanjem koeficijenata na istim potencijama x, dobijamo ili Stavljajući y 0 = 1, nalazimo

Opće rješenje originalne jednadžbe zapisujemo u obliku gdje su i proizvoljne konstante.

Zaključak

Rješavanje jednadžbe koja sadrži nepoznate funkcije i njihove derivacije na stepenu većoj od prve ili na neki složeniji način često je vrlo teško.

Posljednjih godina takve diferencijalne jednadžbe privlače sve veću pažnju. Kako su rješenja jednačina često vrlo složena i teško ih je predstaviti jednostavnim formulama, značajan dio moderne teorije posvećen je kvalitativnoj analizi njihovog ponašanja, tj. razvoj metoda koje omogućavaju da se, bez rješavanja jednačina, kaže nešto značajno o prirodi rješenja u cjelini: na primjer, da su sva ograničena, ili da imaju periodični karakter, ili da na određeni način zavise od koeficijenti.

U toku nastavnog rada izvršena je analiza metode integracije diferencijalnih jednadžbi korištenjem stepena i generalizovanih redova stepena.

književnost:

1. Matveev N.V. Metode za integraciju običnih diferencijalnih jednadžbi. Ed. 4. rev. i dodatne Minsk, „Najviši. škola”, 1974. - 768s. od ill.
2. Agafonov S.A., German A.D., Muratova T.V. Diferencijalne jednadžbe: Proc. za univerzitete / Ed. B.C. Zarubina, A.P. Krishchenko. - 3. izdanje, stereotip. -M.: Izdavačka kuća MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 str.
3. Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. višu matematiku. T.3: Diferencijalne jednadžbe. Višestruki integrali. Redovi. Funkcije kompleksne varijable: Proc. za univerzitete: U 3 toma / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichy. - 6. izd., stereotip. — M.: Drfa, 2004. —— 512 str.: ilustr.
4. Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Diferencijalne jednadžbe: primjeri i problemi. Proc. dodatak. - 2. izd., revidirano. - M.: Više. škola, 1989. - 383 str.: ilustr.
5. Filippov AF Zbirka zadataka o diferencijalnim jednadžbama. Proc. dodatak za univerzitete. - M.: Fizmatizd, 1961. - 100 str.: ilustr.

Skinuti: Nemate pristup preuzimanju datoteka sa našeg servera.

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE REPUBLIKE KAZAHSTAN

Državni univerzitet Sjevernog Kazahstana

njima. M. Kozybayeva

Fakultet informacionih tehnologija

Katedra za "matematiku"

Odbranjeni predmeti

ocjenjen "_____________"

"___"___________ godina 2013

glava odjel ____________

A. Tajigitov

PREDMETNI rad iz matematike

„INTEGRACIJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

UZ POMOĆ POWER SERIJE»

ŠEF Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013

AҢDAPTA

Berilgen kurstyk zhұmysta katarlarmen zhane diferencijali tendemelermen baylanysty theorylyk suraқtar karastyrylgan. Diferencijali endemenin integraldauynyn mysaldary zhane mangaz katarlardyn kömegimen karastyrylgan.

ANOTATION

U ovom seminarski rad razmatraju se teorijska pitanja vezana za redove i diferencijalne jednadžbe. Razmatraju se primjeri integracije diferencijalnih jednadžbi uz pomoć redova stepena.

dati rad se smatraju teorijskim pitanjima koja se odnose na redove i diferencijalne jednadžbe. Razmatraju se primjeri integracionih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koristeći stepene redova.

UVOD

OSNOVNI POJMOVI U VEZI SREDOVA I DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

1 reda. Osnovni koncepti. Neophodan kriterijum za konvergenciju

2 Power series. Svojstva energetskih serija

3 Taylor serije. Maclaurin serija

4 Diferencijalne jednadžbe

5 Integracija diferencijalnih jednadžbi pomoću serija

PRIMJERI UPOTREBE STEPENOG REDOVA U INTEGRACIJI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

1 Airy jednadžba

2 Beselova jednačina

3 Primjeri integracije

4 Primjeri integracije u Mapleu

ZAKLJUČAK

UVOD

Izraz "diferencijalna jednačina" duguje Leibnizu (1676, objavljen 1684). Početak istraživanja diferencijalnih jednačina datira još iz vremena Leibniza i Newtona, u čijim radovima su proučavani prvi problemi koji su doveli do takvih jednačina. Leibniz, Newton i braća J. i I. Bernoulli razvili su metode za integraciju običnih diferencijalnih jednačina. Kao univerzalna metoda korištena su proširenja integrala diferencijalnih jednadžbi u redove stepena.

Sada široko rasprostranjeno uvođenje računskih metoda u nauku, povezano s pojavom računarskih alata velike snage, zahtijeva ponovnu procjenu važnosti različitih grana matematike i, posebno, odjeljaka teorije običnih diferencijalnih jednadžbi. Trenutno je sve veći značaj metoda za kvalitativno proučavanje rješenja diferencijalnih jednačina, kao i metoda za približno pronalaženje rješenja.

Rješenja mnogih diferencijalnih jednadžbi nisu izražena u elementarnim funkcijama ili kvadraturama. U ovim slučajevima se koriste aproksimativne metode integracije diferencijalnih jednadžbi. Jedna takva metoda je predstavljanje rješenja jednadžbe kao niz stepena; zbir konačnog broja članova u ovom nizu će biti približno jednak željenom rješenju. Ovo određuje relevantnost odabrane teme istraživanja.

Svrha ovog rada: prikazati primjenu metode stepena redova u integraciji diferencijalnih jednačina.

Predmet istraživanja je proces integracije diferencijalnih jednadžbi metodom stepena redova.

Predmet proučavanja su oblici, metode i sredstva integracije diferencijalnih jednadžbi po stepenastim redovima.

U skladu s ciljem, možemo formulirati glavne zadatke ovog rada:

Razmotrite osnovne koncepte povezane sa serijama i diferencijalnim jednadžbama.

Analizirati metodu integracije diferencijalnih jednadžbi pomoću nizova stepena.

Primijeniti metodu potencijskog reda za rješavanje raznih problema.

Struktura rada: naslovna strana, obrazac zadatka, sažetak, sadržaj, uvod, glavni dio, zaključak, lista literature.

Glavni dio rada sastoji se od dva poglavlja. Prvo poglavlje otkriva pojmove redova, nizova stepena, Taylorovog reda, diferencijalnih jednadžbi. U drugom poglavlju razmatraju se primjeri integracije diferencijalnih jednadžbi po stepenu niza.

Za proučavanje teorijskog dijela rada korišteni su materijali iz nastavne literature i periodike koji su navedeni u popisu korištene literature.

Obim rada: 26 str.

1. OSNOVNI POJMOVI KOJI SE ODNOSE NA SERIJE I DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

1.1 Redovi. Osnovni koncepti. Neophodan kriterijum za konvergenciju

U matematičkim aplikacijama, kao iu rješavanju nekih problema u ekonomiji, statistici i drugim oblastima, razmatraju se zbirovi sa beskonačnim brojem pojmova. Ovdje definiramo šta se podrazumijeva pod takvim iznosima.

Neka je dat beskonačan niz brojeva. Brojčani niz ili jednostavno niz je izraz (zbir) oblika

,(1.1)

brojevi se nazivaju članovi niza, - zajednički ili n-ti član niza.

Za postavljanje niza (1.1) dovoljno je postaviti funkciju prirodnog argumenta za izračunavanje n-tog člana niza po njegovom broju

Primjer 1.1. Neka bude . Red

(1.2)

naziva se harmonijski niz.

Od članova serije (1.1) formiramo numerički niz parcijalnih suma gdje - zbir prvih članova niza, koji se naziva n-ti parcijalni zbir, tj.

(1.3)

Numerički niz uz neograničeno povećanje broja može:

) imaju konačan limit;

) nemaju konačnu granicu (granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti).

Niz (1.1) se naziva konvergentnim ako niz njegovih parcijalnih suma (1.3) ima konačan limit, tj.

U ovom slučaju, broj se naziva zbir niza (1.1) i zapisuje se

Za niz (1.1) se kaže da je divergentan ako niz njegovih parcijalnih suma nema konačan limit. Divergentnom nizu se ne pripisuje zbir.

Dakle, problem nalaženja zbira konvergentnog niza (1.1) je ekvivalentan izračunavanju granice niza njegovih parcijalnih suma.

Dokaz teoreme slijedi iz činjenice da , i ako

S je onda zbir serije (1.1).

Uslov (1.4) je neophodan, ali ne i dovoljan uslov da bi red konvergirao. To jest, ako zajednički član niza teži nuli na , onda to ne znači da niz konvergira. Na primjer, za harmonijski niz (1.2)

međutim, to se razlikuje.

Posljedica (dovoljan kriterij za divergenciju niza): ako zajednički član serije ne teži nuli, tada se ovaj niz divergira.

Primjer 1.2. Istražite nizove konvergencije

Za ovu seriju Stoga se ova serija razlikuje.

1.1

1.2 Serija snage. Svojstva energetskih serija

Snažni redovi su poseban slučaj funkcionalnih serija.

Potencijski niz je funkcionalni niz oblika

ovdje - konstantni realni brojevi, koji se nazivaju koeficijenti stepena reda;

Neki konstantni broj;

Varijabla koja uzima vrijednosti iz skupa realnih brojeva.

Na , niz stepena (1.5) poprima oblik

(1.6)

Niz stepena (1.5) naziva se niz stepena razlike (1.6) - niz stepena Ako se promenljivoj dodeli bilo koja vrednost, tada se niz stepena (1.5) (ili (1.6)) pretvara u numerički niz koji mogu konvergirati ili divergirati.

Područje konvergencije niza stepena je skup onih vrijednosti za koje se niz stepena konvergira.

Teorema 1.2 (Abelov teorem): ako se niz stepena (1.6) konvergira za tada konvergira apsolutno za sve vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakost, ako se niz (1.6) divergira za tada divergira za sve vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakost

Abelov teorem daje jasnu predstavu o strukturi područja konvergencije stupnja.

Teorema 1.3: Područje konvergencije niza stepena (1.6) poklapa se sa jednim od sljedećih intervala:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

gdje je neki nenegativni realni broj ili

Broj se naziva radijus konvergencije, interval se naziva interval konvergencije stepena reda (1.6).

Ako je tada interval konvergencije cijela realna os

Ako se tada interval konvergencije degenerira u tačku

Napomena: ako je interval konvergencije za niz stepena (1.2), onda je interval konvergencije za niz stepena (1.5).

Iz teoreme 1.3 slijedi da je za praktično određivanje područja konvergencije niza stepena (1.6) dovoljno pronaći njegov radijus konvergencije i razjasniti pitanje konvergencije ovog niza na krajevima intervala konvergencije, tj. at and

Radijus konvergencije niza stepena može se pronaći pomoću jedne od sljedećih formula:

d'Alembertova formula:

Cauchy formula:

Primjer 1.3. Pronađite radijus konvergencije, interval konvergencije i površinu konvergencije niza stepena

Pronađite polumjer konvergencije ovog niza po formuli

U našem slučaju

Stoga interval konvergencije ovog niza ima oblik

Proučimo konvergenciju niza na krajevima intervala konvergencije.

koji divergira kao harmonijski niz.

Kada se niz stepena pretvori u niz brojeva

.

Ovo je naizmjenični niz, čiji članovi smanjuju apsolutnu vrijednost i

Prema tome, prema Leibnizovom testu, ovaj brojevni niz konvergira.

Dakle, interval je područje konvergencije datog niza stepena.

Red stepena (1.6) je funkcija definirana u intervalu konvergencije, tj.

Evo nekih svojstava funkcije

Svojstvo 1. Funkcija je kontinuirana na bilo kojem segmentu koji pripada intervalu konvergencije

Svojstvo 2. Funkcija je diferencibilna na intervalu i njen izvod se može naći diferenciranjem niza (1.6) po članu, tj.

za sve

Svojstvo 3. Neodređeni integral funkcije za sve može se dobiti počlanom integracijom niza (1.6), tj.

za sve

Treba napomenuti da se prilikom diferencijacije po članu i integracije stepena niza, njegov radijus konvergencije ne mijenja, međutim, njegova konvergencija na krajevima intervala može se promijeniti.

Navedena svojstva vrijede i za redove stepena (1.5).

Primjer 1.4. Razmotrimo redove snage

Područje konvergencije ovog niza, kao što je prikazano u primjeru 1.3, je interval

Razlikujemo ovu seriju pojam po pojam:

(1.7)

Proučimo ponašanje ove serije na krajevima intervala konvergencije.

Ovaj brojčani niz se divergira, jer nije zadovoljen nužni kriterij konvergencije

koji ne postoji.

Za , niz stepena (1.7) prelazi u numerički niz

koji takođe divergira jer traženi kriterijum konvergencije nije zadovoljen.

Dakle, područje konvergencije redova stepena dobijeno diferencijacijom po članu originalnog niza stepena se promenilo i poklapa se sa intervalom .

1.3 Taylor serija. Maclaurin serija

Neka je funkcija beskonačno diferencibilna u susjedstvu točke, tj. ima derivate bilo kojeg reda. Taylorov red funkcije u nekoj tački naziva se niz stepena

(1.8)

U posebnom slučaju , niz (1.8) se naziva Maclaurinov red:

Postavlja se pitanje: U kojim slučajevima se Taylorov red za funkciju diferenciranu beskonačan broj puta u susjedstvu tačke poklapa sa funkcijom?

Postoje slučajevi kada Taylorov red funkcije konvergira, ali njegov zbir nije jednak

Dajmo dovoljan uslov za konvergenciju Taylorovog reda funkcije ovoj funkciji.

Teorema 1.4: ako je u intervalu funkcija ima derivate bilo kojeg reda i svi su ograničeni istim brojem u apsolutnoj vrijednosti, tj. tada Taylorov red ove funkcije konvergira na za bilo koji od ovih intervala one. postoji jednakost

Da bi se razjasnilo ispunjenje ove jednakosti na krajevima intervala konvergencije, potrebne su odvojene studije.

Treba napomenuti da ako se funkcija proširi u niz stepena, onda je ovaj niz Taylorov (Maclaurin) niz ove funkcije, a ovo proširenje je jedinstveno.

1.4 Diferencijalne jednadžbe

Obična diferencijalna jednadžba n-tog reda za funkciju argumenta je relacija oblika

gdje je data funkcija njegovih argumenata.

U nazivu ove klase matematičkih jednadžbi, izraz "diferencijalni" naglašava da one uključuju derivate (funkcije nastale kao rezultat diferencijacije); izraz - "običan" kaže da željena funkcija zavisi samo od jednog realnog argumenta.

Obična diferencijalna jednadžba ne mora eksplicitno sadržavati argument željene funkcije i bilo koje njene derivacije, ali najviši izvod mora biti uključen u jednačinu n-tog reda.

Na primjer,

A) - jednačina prvog reda;

B) je jednačina trećeg reda.

Prilikom pisanja običnih diferencijalnih jednadžbi često se koristi notacija derivacija kroz diferencijale:

IN) - jednačina drugog reda;

G) - jednačina prvog reda koja, nakon dijeljenja s ekvivalentnim oblikom postavljanja jednačine:

Funkcija se naziva rješenjem obične diferencijalne jednadžbe ako, kada je unesena u nju, postane identitet.

Pronaći jednom ili drugom metodom, na primjer, selekcijom, jednu funkciju koja zadovoljava jednačinu ne znači i riješiti je. Riješiti običnu diferencijalnu jednadžbu znači pronaći sve funkcije koje formiraju identitet kada se zamijene u jednadžbu. Za jednadžbu (1.10) porodica takvih funkcija se formira pomoću proizvoljnih konstanti i naziva se općim rješenjem obične diferencijalne jednadžbe n-tog reda, a broj konstanti se poklapa sa redoslijedom jednadžbe: integral jednadžbe (1.10 ).

Postavljanjem nekih dopuštenih vrijednosti za sve proizvoljne konstante u općem rješenju ili u općem integralu, dobijamo određenu funkciju koja više ne sadrži proizvoljne konstante. Ova funkcija se naziva posebno rješenje ili određeni integral jednačine (1.10). Za pronalaženje vrijednosti proizvoljnih konstanti, a time i konkretnog rješenja, koriste se različiti dodatni uvjeti za jednadžbu (1.10). Na primjer, takozvani početni uslovi za:

U desnim dijelovima početnih uslova (1.11) date su numeričke vrijednosti funkcije i derivacija, a ukupan broj početnih uslova jednak je broju proizvoljnih konstanti koje se određuju.

Zadatak pronalaženja određenog rješenja jednačine (1.10) prema početnim uvjetima naziva se Cauchyjev problem.

1.5 Integracija diferencijalnih jednadžbi pomoću serija

U opštem slučaju, nemoguće je pronaći tačno rešenje obične diferencijalne jednadžbe (ODE) prvog reda integracijom. Štaviše, ovo nije izvodljivo za ODE sistem. Ova okolnost dovela je do stvaranja velikog broja približnih metoda za rješavanje ODE-a i njihovih sistema. Postoje tri grupe aproksimativnih metoda: analitičke, grafičke i numeričke. Naravno, takva klasifikacija je donekle proizvoljna. Na primjer, grafička Eulerova metoda izlomljene linije leži u osnovi jedne od metoda za numeričko rješavanje diferencijalne jednadžbe.

Integracija ODE-a pomoću nizova stepena je približna analitička metoda, koja se obično primjenjuje na linearne jednačine najmanje drugog reda. Radi jednostavnosti, ograničavamo se na razmatranje linearne homogene ODE drugog reda s promjenjivim koeficijentima

(1.12)

Napomena: prilično široka klasa funkcija može se predstaviti kao

gdje su neke konstante. Ovaj izraz se naziva redom stepena.

Pretpostavimo da se funkcije mogu proširiti u nizove koji konvergiraju u intervalu:

Vrijedi sljedeća teorema (izostavljajući dokaz, iznosimo samo njegovu formulaciju).

Teorema 1.5: ako funkcije imaju oblik (1.13), tada se svako rješenje ODE (1.12) može predstaviti kao niz stepena koji konvergira na:

(1.14)

Ova teorema ne samo da omogućava da se rješenje predstavi u obliku stepena reda, već, što je najvažnije, opravdava konvergenciju reda (1.14). Radi jednostavnosti stavljamo (1.13) i (1.14) i tražimo rješenje za ODE (1.12) u obliku

(1.15)

Zamjenom (1.15) u (1.12) dobijamo jednakost

Da bi (1.16) bila zadovoljena, potrebno je da koeficijent na svakoj potenciji bude jednak nuli.

Iz ovog uslova dobijamo beskonačan sistem linearnih algebarskih jednačina

iz kojih se sukcesivno mogu pronaći ako su specificirane vrijednosti i (u slučaju Cauchyjevog problema za ODE (1.12) one su uključene u početne uslove ).

Ako su funkcije racionalne, tj.

gdje su polinomi, onda u blizini tačaka gdje rješenje u obliku stepena niza možda ne postoji, a ako postoji, može divergirati svuda, osim u tački.Ova okolnost je bila poznata čak i L. Euleru, koji je razmatrao jednačinu prvog reda

Ova jednačina je zadovoljena redovima stepena

Međutim, lako je vidjeti da se ova serija razlikuje od bilo kojeg

Rješenje ODE u obliku divergentnog niza stepena naziva se formalno.

2. PRIMJERI UPOTREBE STEPENSKIH REDOVA U INTEGRACIJI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

Airy equation

Rješenje Airyjeve jednačine

tražićemo u obliku stepena reda (1.15). Tada jednakost (1.16) poprima oblik

Koeficijent na jednak je Stoga, iz jednakosti na nulu koeficijenta at, nalazimo koeficijent pri jednak Odavde

Iz ove formule dobijamo

Slično, nalazimo

Koeficijenti i ostaju nedefinisani. Da bismo pronašli osnovni sistem rješenja, prvo postavljamo a zatim obrnuto. U prvom slučaju imamo

iu drugom

Na osnovu teoreme 1.5, ovi redovi su konvergentni svuda na pravoj liniji

Funkcije se zovu Airy funkcije. Za velike vrijednosti, asimptotičko ponašanje ovih funkcija opisuje se formulama

Grafikoni ovih funkcija prikazani su na slici 1.

Slika 1

S neograničenim povećanjem, nule bilo kojeg rješenja Airyjeve jednadžbe konvergiraju beskonačno, što je vidljivo iz asimptotičkog prikaza ovih rješenja, ali uopće nije očito iz prikaza Airyjevih funkcija u obliku konvergentnih redova stepena. Iz toga slijedi da je metoda pronalaženja rješenja za ODE pomoću niza, općenito govoreći, od male koristi u rješavanju primijenjenih problema, a sam prikaz rješenja u obliku serije otežava analizu kvalitativnih svojstava rezultirajuće rješenje.

2.1 Beselova jednačina

Linearna diferencijalna jednadžba sa promjenjivim koeficijentima, koja ima oblik

naziva se Beselova jednačina.

Rješenje jednačine (2.1) tražit ćemo u obliku generalizovanog niza stepena, tj. proizvodi nekog stepena na stepskoj seriji:

(2.2)

Zamjenom generalizovanog niza stepena u jednačinu (2.1) i izjednačavanjem koeficijenata na svakom stepenu na lijevoj strani jednačine na nulu, dobijamo sistem

Pod pretpostavkom da iz ovog sistema nalazimo Neka onda iz druge jednačine sistema nalazimo i iz jednačine, dajući vrijednosti 3,5,7, ..., zaključujemo da za koeficijente s parnim brojevima dobijamo izrazi

Zamjenom pronađenih koeficijenata u niz (2.2) dobijamo rješenje

pri čemu koeficijent ostaje proizvoljan.

Jer svi koeficijenti se na sličan način određuju samo u slučaju kada nije jednako cijelom broju. Tada se rješenje može dobiti zamjenom vrijednosti u prethodnom rješenju sa:

Rezultirajući redovi snaga konvergiraju za sve vrijednosti , što se lako utvrđuje na osnovu d'Alembertovog testa. Rješenja i su linearno nezavisna, jer njihov omjer nije konstantan.

Rješenje pomnoženo konstantom naziva se Besselova funkcija (ili cilindrična funkcija) reda prve vrste i označava se simbolom Rješenje se označava

Općenito prihvaćen izbor konstante uključuje gama funkciju, koja je određena nepravilnim integralom:

Prema tome, opšte rješenje jednačine (2.1) kada nije jednako cijelom broju ima oblik gdje i su proizvoljne konstante .

2.2 Primjeri integracije

U slučajevima kada jednačina zahtijeva rješavanje Cauchyjevog problema pod početnim uvjetom, rješenje se može tražiti korištenjem Taylorovog reda:

gdje se i daljnji derivati ​​nalaze uzastopnim diferenciranjem izvorne jednadžbe i zamjenom u rezultat diferencijacije umjesto vrijednosti i svih ostalih pronađenih naknadnih izvoda. Slično, jednačine višeg reda mogu se integrirati korištenjem Taylorovog reda.

Primjer 2.1. Integrirajte jednačinu približno koristeći Taylorov red, uzimajući prvih šest članova ekspanzije koji nisu nula.

Iz jednačine početnih uslova nalazimo Diferencirajući ovu jednačinu, dobijamo sukcesivno

Postavljanje i korištenje vrijednosti sekvencijalno nalazimo Željeno rješenje ima oblik

Primjer 2.2. Pronađite prva četiri (osim nule) člana ekspanzije. I

Zamjenom pronađenih vrijednosti u niz (2.3) dobijamo željeno rješenje sa navedenom tačnošću:

2.3 Primjeri integracije u Mapleu

Za pronalaženje analitičkih rješenja diferencijalnih jednačina u Mapleu, koristi se naredba dsolve(eq,var,options), gdje je eq diferencijalna jednadžba, var su nepoznate funkcije, a opcije su opcije. Parametri mogu odrediti metodu za rješavanje problema, na primjer, po defaultu se traži analitičko rješenje: type=exact. Prilikom sastavljanja diferencijalnih jednadžbi, naredba diff se koristi za označavanje izvoda, na primjer, diferencijalna jednačina se piše kao: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Da biste pronašli približno rješenje diferencijalne jednadžbe u obliku stepena niza, u naredbi dsolve navedite parametar type=series (ili jednostavno serija) nakon varijabli. Da bi se odredio redosled širenja, tj. redosled stepena do kojeg se vrši dekompozicija, pre naredbe dsolve ubacite definiciju redosleda koristeći naredbu Order:=n.

Ako se opće rješenje diferencijalne jednadžbe traži u obliku proširenja u nizu stepena, tada će koeficijenti na stupnjevima pronađene ekspanzije sadržavati nepoznate vrijednosti funkcije na nuli i njenih derivata i tako dalje. Izraz dobiven u izlaznoj liniji imat će oblik sličan Maclaurinovoj ekspanziji željenog rješenja, ali s različitim koeficijentima na potencijama . Za izolovanje određenog rješenja potrebno je postaviti početne uslove itd., a broj ovih početnih uslova treba da se podudara sa redoslijedom odgovarajuće diferencijalne jednadžbe.

Proširenje u nizu stepena je serije tipa, tako da za dalji rad sa ovim nizom, treba ga konvertovati u polinom pomoću naredbe convert(%,polynom), a zatim odabrati desnu stranu rezultirajućeg izraza pomoću rhs(%) komanda.

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, ( [email protected]@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,kond),y(x),serija);

Napomena: tip rješenja diferencijalne jednadžbe u obliku niza je serijski, pa se za dalju upotrebu takvog rješenja (proračuni ili crtanje) mora konvertirati u polinom pomoću naredbe convert.

stepen diferencijalne jednačine

> pretvoriti(%, polinom): y2:=rhs(%):

> p1:=ploča(y1, x=-3..3, debljina=2, boja=crna):

> p2:=plot(y2, x=-3..3, stil linije=3, debljina=2, boja=crna):

> with(plots): display(p1,p2);

Slika 2 pokazuje da se najbolja aproksimacija tačnog rješenja nizom stepena postiže približno na intervalu

Slika 2

ZAKLJUČAK

Ciljevi postavljeni u predmetnom radu su u potpunosti ostvareni, riješeni su sljedeći zadaci:

Definirani su osnovni pojmovi vezani za redove i diferencijalne jednadžbe.

Razmatrana je metoda za integraciju diferencijalnih jednadžbi uz pomoć nizova stepena.

Riješeni problemi na ovu temu.

U ovom predmetnom radu proučavan je materijal i sistematizovan za njegovu primenu od strane studenata tokom samostalnog izučavanja metode integracije diferencijalnih jednačina korišćenjem redova stepena. Razmatraju se koncepti serija i diferencijalnih jednačina. Približni proračuni se izvode pomoću serija.

Rad se može koristiti kao nastavno sredstvo studentima tehničkih i matematičkih specijalnosti.

Rezultati rada mogu poslužiti kao osnova za dalja istraživanja.

SPISAK KORIŠĆENE LITERATURE

1 Tricomi F. Diferencijalne jednadžbe. Prevod sa engleskog. - M.: Bookinist, 2003. - 352 str.

Vlasova B. A., Zarubin V. C., Kuvyrkin G. N. Približne metode matematičke fizike: Udžbenik za univerzitete. - M.: Izdavačka kuća MSTU im. N. E. Bauman, 2001. - 700 str.

Budak BM Fomin SV Višestruki integrali i serije. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 str.

Demidovich B.P. Zbirka zadataka i vježbi na matematička analiza. - M.: Izdavačka kuća Moskve. Univerzitet CheRo, 2000. - 624 str.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. i dr. Sva viša matematika: Udžbenik. T. 3. - M.: Uvodnik URSS, 2005. - 240 str.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. i dr. Viša matematika: Opšti kurs: Udžbenik. - M.: Više. škola, 2000.- 351 str.

Malakhov A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Viša matematika. - M.: EAOI, 2008. - 315 str.

Markov L. N., Razmyslovich G. P. Viša matematika. Dio 2. Osnove matematičke analize i elementi diferencijalnih jednačina. - M.: Amalfeya, 2003. - 352 str.

Agafonov S. A., German A. D., Muratova T. V. Diferencijalne jednadžbe. - M.: Izdavačka kuća MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 str.

Coddington E. A., Levinson N. Teorija običnih diferencijalnih jednadžbi. - M.: Amalfeya, 2001. - 475 str.

Fikhtengolts G. M. Kurs diferencijalnog i integralnog računa. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 str.