Definicija 1. ) se naziva ortogonalnim ako su svi njegovi elementi po paru ortogonalni:

Teorema 1. Ortogonalni sistem vektora koji nisu nula je linearno nezavisan.

(Pretpostavimo da je sistem linearno zavisan: i, za definiciju, Pomnožimo skalarnu jednakost sa . Uzimajući u obzir ortogonalnost sistema, dobijamo: }

Definicija 2. Sistem vektora euklidskog prostora ( ) se naziva ortonormalno ako je ortogonalno i ako je norma svakog elementa jednaka jedinici.

Iz teoreme 1 odmah slijedi da je ortonormalni sistem elemenata uvijek linearno nezavisan. Iz ovoga, pak, slijedi da n– dimenzionalni euklidski prostor ortonormalni sistem od n vektori čine osnovu (na primjer, ( i , j , k ) u 3 X- dimenzionalni prostor).Takav sistem se zove ortonormalna osnova, a njegovi vektori su osnovne orts.

Koordinate vektora u ortonormalnoj bazi mogu se lako izračunati korištenjem skalarnog proizvoda: if Zaista, množenje jednakosti na , dobijamo naznačenu formulu.

Generalno, sve osnovne veličine: skalarni proizvod vektora, dužina vektora, kosinus ugla između vektora, itd. imaju najjednostavniji oblik u ortonormalnoj bazi. Razmotrimo skalarni proizvod: , pošto

Svi ostali članovi su jednaki nuli. Odavde odmah dobijamo:

* Uzmite u obzir proizvoljnu osnovu. Skalarni proizvod u ovoj osnovi će biti jednak:

(Ovdje a i I β j su koordinate vektora u bazi ( f), ali - tačkasti proizvodi bazni vektori).

Količine γ ij formiraju matricu G pozvao Gram matrica. Skalarni proizvod u matričnom obliku će izgledati ovako: *

Teorema 2. U bilo kojem n– u dimenzionalnom euklidskom prostoru postoji ortonormalna osnova. Dokaz teoreme je konstruktivan i zove se

9. Gram-Schmidtov proces ortogonalizacije.

Neka bude ( a 1 ,...,a n ) je proizvoljna osnova n– dimenzionalni euklidski prostor (postojanje takve osnove je zbog n- dimenzija prostora). Algoritam za izgradnju po datu osnovu ortonormalno je kako slijedi:

1.b 1 = a 1, e 1 \u003d b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1 , jer (e 1 , a 2)- projekcija a 2 na e 1, b 2 \u003d a 2 -(e 1 , a 2)e 1 , e 2 \u003d b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1, b 3^a 2 , b 3 \u003d a 3 -(e 1 , a 3)e 1 -(e 2 , a 3)e 2 , e 3 \u003d b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1k(e i , a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Nastavljajući proces, dobijamo ortonormalnu osnovu ( e 1 ,...,e n }.

Napomena 1. Koristeći razmatrani algoritam, može se konstruirati ortonormalna osnova bilo kojeg linearna školjka, na primjer, ortonormirana baza linearnog raspona sistema sa rangom jednakim tri i koji se sastoji od petodimenzionalnih vektora.

Primjer.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Napomena 2. Posebni slučajevi

Gram-Schmidt proces se također može primijeniti na beskonačan niz linearno nezavisni vektori.

Osim toga, Gram-Schmidt proces se može primijeniti na linearno zavisni vektori. U ovom slučaju, problem 0 (nulti vektor) po koraku j , ako aj je linearna kombinacija vektora a 1 ,...,a j -1 . Ako se to može dogoditi, da bi se očuvala ortogonalnost izlaznih vektora i spriječila podjela sa nulom tokom ortonormalizacije, algoritam bi trebao provjeriti nulte vektore i odbaciti ih. Broj vektora proizvedenih od strane algoritma će biti jednak dimenziji podprostora generiranog vektorima (to jest, broju linearno nezavisnih vektora koji se mogu razlikovati od originalnih vektora).

10. Geometrijski vektorski prostori R 1 , R 2 , R 3 .

Ističemo da direktno geometrijsko značenje imaju samo razmake

R1, R2, R3. Prostor Rn za n > 3 je apstraktni čisto matematički objekat.

1) Neka je zadan sistem od dva vektora a I b . Ako je sistem linearno zavisan, onda jedan od vektora, recimo a , linearno se izražava u terminima drugog:

a= k b.

Dva vektora povezana takvom zavisnošću, kao što je već spomenuto, nazivaju se kolinearni. Dakle, sistem od dva vektora je linearno zavisan ako i samo

kada su ovi vektori kolinearni. Imajte na umu da se ovaj zaključak ne odnosi samo na R 3 , već i na bilo koji linearni prostor.

2) Neka se sistem u R3 sastoji od tri vektora a, b, c . Linearna zavisnost znači da je jedan od vektora, recimo a , linearno se izražava u terminima ostatka:

ali= k b+ l c . (*)

Definicija. Tri vektora a, b, c u R 3 koji leži u istoj ravni ili paralelno sa istom ravninom nazivaju se komplanarni

(lijeva slika prikazuje vektore a, b, c iz jedne ravni, a na desnoj strani isti vektori su odbačeni iz različitog porijekla i samo su paralelni jednoj ravni).

Dakle, ako su tri vektora u R3 linearno zavisna, onda su koplanarni. I obrnuto: ako su vektori a, b, c od R3 su komplanarni, onda su linearno zavisni.

vektorska umjetnost vektor a, po vektoru b u prostoru naziva se vektor c , koji ispunjava sledeće uslove:

Oznaka:

Razmotrimo uređenu trojku nekoplanarnih vektora a, b, c u trodimenzionalnom prostoru. Kombinirajmo porijeklo ovih vektora u tački ALI(to jest, biramo tačku proizvoljno u prostoru ALI i pomeriti svaki vektor paralelno tako da se njegovo poreklo poklapa sa tačkom ALI). Krajevi vektora, kombinovani počecima u tački ALI, ne leže na pravoj liniji, jer su vektori nekoplanarni.

Naređena trojka nekoplanarnih vektora a, b, c u tri dimenzije se zove u pravu, ako je s kraja vektora c najkraće skretanje iz vektora a na vektor b vidljivo posmatraču u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Suprotno tome, ako se najkraći okret vidi u smjeru kazaljke na satu, tada se naziva trojka lijevo.

Druga definicija se odnosi na desna ruka osoba (vidi sliku), odakle dolazi ime.

Za sve trojke vektora koji su međusobno desno (i lijevo jedan prema drugom) kaže se da su jednako orijentirane.

Ako se na ravni odaberu bilo koja dva međusobno okomita vektora jedinične dužine (slika 7), onda se proizvoljni vektor u istoj ravni može proširiti u smjerovima ova dva vektora, tj. predstaviti ga u obliku

gdje su brojevi jednaki projekcijama vektora na smjerove osa. Pošto je projekcija na osu jednaka proizvodu dužine i kosinusa ugla sa osom, onda, podsećajući na definiciju skalarnog proizvoda , možemo pisati

Slično, ako je u trodimenzionalni prostor odaberite bilo koja tri međusobno okomita vektora jedinične dužine, onda se proizvoljni vektor u ovom prostoru može predstaviti kao

U Hilbertovom prostoru se mogu razmatrati i sistemi u parovima ortogonalni vektori ovaj prostor, odnosno funkcije

Takvi sistemi funkcija nazivaju se ortogonalnim sistemima funkcija i igraju važnu ulogu u analizi. Oni se susreću u raznim problemima matematičke fizike, integralnih jednačina, približnih proračuna, teorije funkcija realne varijable itd. stvoriti opšti koncept Hilbertov prostor.

Hajde da damo precizne definicije. Funkcijski sistem

naziva se ortogonalnim ako su bilo koje dvije funkcije ovog sistema ortogonalne jedna prema drugoj, tj.

U trodimenzionalnom prostoru, tražili smo da dužine vektora sistema budu jednake jedan. Podsjećajući na definiciju dužine vektora, vidimo da se u slučaju Hilbertovog prostora ovaj zahtjev piše na sljedeći način:

Sistem funkcija koji zadovoljava zahtjeve (13) i (14) naziva se ortogonalnim i normaliziranim.

Navedimo primjere takvih sistema funkcija.

1. Na intervalu razmotrite slijed funkcija

Sve dvije funkcije iz ovog niza su ortogonalne jedna prema drugoj. Ovo se potvrđuje jednostavnim proračunom odgovarajućih integrala. Kvadrat dužine vektora u Hilbertovom prostoru je integral kvadrata funkcije. Dakle, kvadrati dužina vektora sekvenci

suština integrala

tj. naš vektorski niz je ortogonan, ali nije normalizovan. Dužina prvog vektora niza je i sve

ostali imaju dužinu. Deljenjem svakog vektora njegovom dužinom dobijamo ortogonalni i normalizovani sistem trigonometrijske funkcije

Ovaj sistem je istorijski jedan od prvih i najvažnijih primera ortogonalnih sistema. Nastala je u radovima Eulera, D. Bernoullija, D'Alemberta u vezi s problemom vibracija struna. Njegovo proučavanje odigralo je ključnu ulogu u razvoju cjelokupne analize.

Pojava ortogonalnog sistema trigonometrijskih funkcija u vezi sa problemom vibracija struna nije slučajna. Svaki problem malih oscilacija sredine dovodi do određenog sistema ortogonalnih funkcija koje opisuju takozvane prirodne oscilacije datog sistema (vidi § 4). Na primjer, u vezi s problemom vibracija sfere pojavljuju se takozvane sferne funkcije, u vezi s problemom vibracija kružne membrane ili cilindra pojavljuju se tzv. cilindrične funkcije itd.

2. Možemo dati primjer ortogonalnog sistema funkcija čija je svaka funkcija polinom. Takav primjer je niz Legendreovih polinoma

tj. postoji (do konstantnog faktora) izvod reda od . Zapisujemo prvih nekoliko polinoma ovog niza:

Očigledno, postoji polinom stepena uopšte. Ostavljamo čitaocu da sam provjeri da li su ovi polinomi ortogonalni niz na intervalu

Opću teoriju ortogonalnih polinoma (tzv. ortogonalnih polinoma s težinom) razvio je izvanredni ruski matematičar P. L. Čebišev u drugoj polovini 19. vijeka.

Ekspanzija u ortogonalnim sistemima funkcija. Kao iu trodimenzionalnom prostoru, svaki vektor može biti predstavljen

as linearna kombinacija tri uparna ortogonalna vektora jedinične dužine

u prostoru funkcija javlja se problem proširenja proizvoljne funkcije u niz u terminima ortogonalnog i normaliziranog sistema funkcija, tj. predstavljanja funkcije u obliku

U ovom slučaju, konvergencija niza (15) funkciji se razumije u smislu udaljenosti između elemenata u Hilbertovom prostoru. To znači da srednja kvadratna devijacija parcijalne sume serije od funkcije teži nuli na , tj.

Ova konvergencija se obično naziva "prosječnom konvergencijom".

Proširenja u različitim sistemima ortogonalnih funkcija često se susreću u analizi i važna su metoda za rješavanje problema matematičke fizike. Tako, na primjer, ako je ortogonalni sistem sistem trigonometrijskih funkcija na intervalu

onda je takvo proširenje klasično proširenje funkcije u trigonometrijski niz

Pretpostavimo da je proširenje (15) moguće za bilo koju funkciju iz Hilbertovog prostora i pronađite koeficijente takve ekspanzije. Da bismo to učinili, množimo obje strane jednakosti skalarno istom funkcijom našeg sistema. Dobijamo jednakost

od čega je, zbog činjenice da je at određena vrijednošću koeficijenta

Vidimo da su, kao iu običnom trodimenzionalnom prostoru (vidi početak ovog paragrafa), koeficijenti jednaki projekcijama vektora na smjerove vektora.

Podsjećajući na definiciju skalarnog proizvoda, dobivamo da su koeficijenti proširenja funkcije u terminima ortogonalnog i normaliziranog sistema funkcija

određuju se formulama

Kao primjer, razmotrite ortogonalni normalizirani trigonometrijski sistem funkcija dat gore:

Dobili smo formulu za izračunavanje koeficijenata proširenja funkcije u trigonometrijski niz, naravno uz pretpostavku da je to proširenje moguće.

Ustanovili smo oblik koeficijenata proširenja (18) funkcije u terminima ortogonalnog sistema funkcija pod pretpostavkom da se takva ekspanzija odvija. Međutim, beskonačan ortogonalni sistem funkcija može se pokazati nedovoljnim za proširenje bilo koje funkcije iz Hilbertovog prostora u smislu njega. Da bi takva dekompozicija bila moguća, sistem ortogonalnih funkcija mora zadovoljiti dodatni uslov, takozvani uslov potpunosti.

Ortogonalni sistem funkcija naziva se potpun ako mu je nemoguće dodati jednu funkciju koja nije identično nula i ortogonalna svim funkcijama sistema.

Lako je dati primjer nekompletnog ortogonalnog sistema. Da bismo to učinili, uzimamo neki ortogonalni sistem, na primjer, isti

sistem trigonometrijskih funkcija i isključiti jednu od funkcija ovog sistema, na primjer, preostali beskonačni sistem funkcija

će i dalje biti ortogonalna, naravno, neće biti potpuna, budući da je funkcija : koju smo isključili ortogonalna na sve funkcije sistema.

Ako sistem funkcija nije potpun, onda se svaka funkcija iz Hilbertovog prostora ne može proširiti u smislu njega. Zaista, ako pokušamo da proširimo nultu funkciju ortogonalnu na sve funkcije sistema u takvom sistemu, tada će, na osnovu formule (18), svi koeficijenti biti jednaki nuli, dok funkcija nije jednaka nuli.

Vrijedi sljedeća teorema: ako je dat kompletan ortogonalni i normalizirani sistem funkcija u Hilbertovom prostoru, onda se svaka funkcija može proširiti u niz u smislu funkcija ovog sistema

U ovom slučaju, koeficijenti proširenja jednaki su projekcijama vektora na elemente ortogonalnog normaliziranog sistema

Pitagorina teorema u § 2 u Hilbertovom prostoru omogućava nam da pronađemo zanimljivu relaciju između koeficijenata i funkcije.Označimo razlikom između i zbirom prvih članova njenog niza, tj.

O čemu pričamo

Pojava na Habréu posta o Madgwick filteru je na svoj način bila simboličan događaj. Očigledno je opšte interesovanje za dronove oživelo interesovanje za problem procene orijentacije tela na osnovu inercijalnih merenja. Istovremeno, tradicionalne metode zasnovane na Kalmanovom filteru prestale su da zadovoljavaju javnost – bilo zbog visokih zahtjeva za računskim resursima koji su neprihvatljivi za dronove, bilo zbog složenih i neintuitivnih postavki parametara.

Objavu je pratila vrlo kompaktna i efikasna implementacija filtera u C. Međutim, sudeći po komentarima, fizičko značenje ovaj kod, kao i cijeli članak, nekome je ostao nejasan. Pa, budimo iskreni: Madgwick filter je najzamršeniji u grupi filtera koji se općenito temelji na vrlo jednostavnim i elegantnim principima. O ovim principima će se raspravljati u mom postu. Ovdje neće biti koda. Moj post nije priča o nekoj specifičnoj implementaciji algoritma procjene orijentacije, već poziv da izmislite vlastite varijacije na datu temu, kojih može biti mnogo.

Orijentaciono predstavljanje

Prisjetimo se osnova. Da bi se procijenila orijentacija tijela u prostoru, potrebno je prvo odabrati neke parametre koji zajedno jedinstveno određuju ovu orijentaciju, tj. zapravo, orijentacija pridruženog koordinatnog sistema u odnosu na uslovno stacionarni sistem - na primjer, geografski sistem NED (sjever, istok, dolje). Zatim trebate napraviti kinematičke jednačine, tj. izraziti brzinu promjene ovih parametara u smislu ugaone brzine iz žiroskopa. Konačno, vektorska mjerenja sa akcelerometara, magnetometara, itd. moraju biti uključena u proračun. Evo najčešćih načina za predstavljanje orijentacije:

Eulerovi uglovi- roll (roll, ), pitch (pitch, ), heading (heading, ). Ovo je najjasniji i najsažetiji skup orijentacijskih parametara: broj parametara je tačno jednak broju rotacijskih stupnjeva slobode. Za ove uglove možemo pisati kinematičke Eulerove jednačine. Jako ih vole teorijske mehanike, ali su od male koristi u zadacima navigacije. Prvo, poznavanje uglova vam ne dozvoljava da direktno konvertujete komponente bilo kog vektora iz vezanog u geografski koordinatni sistem ili obrnuto. Drugo, pri nagibu od ±90 stepeni, kinematičke jednačine se degenerišu, kotrljanje i pravac postaju neizvesni.

Matrica rotacije je matrica 3x3 kojom se pomnoži bilo koji vektor u pridruženom koordinatnom sistemu da bi se dobio isti vektor u geografskom sistemu: . Matrica je uvijek ortogonalna, tj. . Kinematska jednadžba za to ima oblik .
Evo matrice komponenti ugaona brzina, mjereno žiroskopima u spregnutom koordinatnom sistemu:

Matrica rotacije je nešto manje vizualna od Eulerovih uglova, ali za razliku od njih, omogućava vam direktnu transformaciju vektora i ne gubi značenje za bilo koju kutnu poziciju. Sa računske tačke gledišta, njegov glavni nedostatak je redundantnost: radi tri stepena slobode, uvodi se devet parametara odjednom, a svi se moraju ažurirati prema kinematičkoj jednačini. Problem se može malo pojednostaviti korištenjem ortogonalnosti matrice.

kvaternion rotacije- radikalan, ali vrlo neintuitivan lijek protiv suvišnosti i degeneracije. Ovo je četverokomponentni objekat - ne broj, ne vektor, nije matrica. Kvaternion se može posmatrati iz dva ugla. Prvo, kao formalni zbir skalara i vektora, gdje je - jedinični vektori sjekire (što, naravno, zvuči apsurdno). Drugo, kao generalizacija kompleksni brojevi, koji sada ne koristi jedan, već tri drugačije imaginarne jedinice (što zvuči ništa manje apsurdno). Kako je kvaternion povezan s rotacijom? Kroz Ojlerovu teoremu: tijelo se uvijek može prenijeti iz jedne date orijentacije u drugu jednom konačnom rotacijom kroz neki ugao oko neke ose sa vektorom smjera. Ovi uglovi i osa mogu se kombinovati u kvaternion: . Kao matrica, kvaternion se može koristiti za direktnu transformaciju bilo kojeg vektora iz jednog koordinatnog sistema u drugi: . Kao što vidite, kvaterniona reprezentacija orijentacije takođe pati od redundancije, ali mnogo manje od matrične: postoji samo jedan dodatni parametar. Detaljan pregled kvaterniona je već bio na Habréu. Radilo se o geometriji i 3D grafici. Zanima nas i kinematika, jer brzina promjene kvaterniona mora biti povezana sa izmjerenom ugaonom brzinom. Odgovarajuća kinematička jednačina ima oblik , gdje se vektor također smatra kvaternionom sa nultim skalarnim dijelom.

Šeme filtera

Najnaivniji pristup izračunavanju orijentacije je da se naoružamo kinematičkom jednadžbom i prema njoj ažuriramo bilo koji skup parametara koji nam se sviđa. Na primjer, ako smo odabrali matricu rotacije, možemo napisati petlju sa nečim poput C += C * Omega * dt. Rezultat će biti razočaravajući. Žiroskopi, posebno MEMS, imaju velike i nestabilne nulte pomake - kao rezultat toga, čak i u potpunom mirovanju, izračunata orijentacija će imati beskonačno akumulirajuću grešku (drift). Svi trikovi koje su izmislili Mahoney, Madgwick i mnogi drugi, uključujući i mene, bili su usmjereni na kompenzaciju ovog pomaka uključivanjem mjerenja s akcelerometara, magnetometara, GNSS prijemnika, zaostajanja, itd. Tako je rođena čitava porodica orijentacionih filtera zasnovanih na jednostavnom osnovnom principu.

Osnovni princip. Za kompenzaciju orijentacijskog pomaka potrebno je ugaonoj brzini koju mjere žiroskopi dodati dodatnu kontrolnu ugaonu brzinu konstruisanu na osnovu vektorskih mjerenja drugih senzora. Kontrolni vektor ugaone brzine treba da teži da uskladi pravce merenih vektora sa njihovim poznatim pravim pravcima.

Ovdje leži potpuno drugačiji pristup nego u konstrukciji korektivnog termina Kalmanovog filtera. Glavna razlika je u tome što je kontrolna ugaona brzina - nije termin, već faktor sa procijenjenom vrijednošću (matrica ili kvaternion). Ovo rezultira važnim prednostima:

• Filter za procjenu može se napraviti za samu orijentaciju, a ne za mala odstupanja orijentacije od one koju daju žiroskopi. U ovom slučaju, procijenjene vrijednosti će automatski zadovoljiti sve zahtjeve koje nameće problem: matrica će biti ortogonalna, kvaternion će biti normaliziran.
• Fizičko značenje kontrolne ugaone brzine je mnogo jasnije od korektivnog termina u Kalmanovom filteru. Sve manipulacije se rade sa vektorima i matricama u uobičajenom trodimenzionalnom fizičkom prostoru, a ne u apstraktnom multidimenzionalnom prostoru stanja. Ovo uvelike pojednostavljuje preciziranje i podešavanje filtera, a kao bonus, omogućava vam da se riješite velikih matrica i teških matričnih biblioteka.

Sada da vidimo kako se ova ideja implementira u određenim opcijama filtera.

Mahoney filter. Sva zadivljujuća matematika Mahoneyjevog originalnog članka napisana je da opravda jednostavne jednačine (32). Prepišimo ih u našoj notaciji. Ako zanemarimo procjenu nultih pomaka žiroskopa, ostaju dvije ključne jednadžbe - kinematička jednadžba za samu matricu rotacije (sa kontrolnom kutnom brzinom u obliku matrice) i zakon formiranja same te brzine u obliku vektora. Pretpostavimo radi jednostavnosti da nema ubrzanja ili magnetnih hvatača, a zahvaljujući tome, mjerenja ubrzanja su nam dostupna slobodan pad od akcelerometara i napetosti magnetsko polje Zemlja sa magnetometara. Oba vektora mjere se senzorima u povezanom koordinatnom sistemu, a u geografskom sistemu se pouzdano zna njihov položaj: usmjeren je prema gore, na magnetni sjever. Tada će jednadžbe Mahoneyjevog filtera izgledati ovako:

Pogledajmo pomno drugu jednačinu. Prvi pojam na desnoj strani je vektorski proizvod. Prvi faktor u njemu je izmjereno gravitacijsko ubrzanje, drugi je istinski. Pošto faktori moraju biti u istom koordinatnom sistemu, drugi faktor se pretvara u pridruženi sistem množenjem sa . Ugaona brzina, konstruirana kao vektorski proizvod, okomita je na ravan vektora množenja. Omogućava vam da rotirate izračunatu poziciju pridruženog koordinatnog sistema sve dok se vektori množitelja ne poklope u smjeru - tada će se vektorski proizvod poništiti i rotacija će se zaustaviti. Koeficijent postavlja rigidnost takve povratne informacije. Drugi član izvodi sličnu operaciju sa magnetni vektor. U stvari, Mahoney filter utjelovljuje dobro poznatu tezu: poznavanje dva nekolinearna vektora u dva različita koordinatna sistema omogućava jedinstveno vraćanje međusobne orijentacije ovih sistema. Ako postoji više od dva vektora, to će dati korisnu redundantnost mjerenja. Ako postoji samo jedan vektor, onda jedan rotacijski stepen slobode (kretanje oko ovog vektora) ne može biti fiksiran. Na primjer, ako je dat samo vektor, tada se može ispraviti pomjeranje i pomjeranje, ali ne i skretanje.

Naravno, u Mahoney filteru nije potrebno koristiti matricu rotacije. Postoje i nekanonske varijante kvaterniona.

Virtuelna žiro platforma. U Mahoney filteru, primijenili smo ugaonu brzinu upravljanja na spregnuti koordinatni sistem. Ali možete ga primijeniti na izračunatu poziciju geografskog koordinatnog sistema. Kinematska jednadžba tada poprima oblik

Pokazalo se da takav pristup otvara put vrlo plodnim fizičkim analogijama. Dovoljno je prisjetiti se čime je počela žiroskopska tehnologija - smjerovima i inercijskim navigacijskim sistemima baziranim na žirostabiliziranoj platformi u kardanskom ovjesu.

www.theairlinepilots.com

Zadatak platforme je bio da materijalizuje geografski koordinatni sistem. Orijentacija nosača je mjerena u odnosu na ovu platformu pomoću senzora kuta na okvirima ovjesa. Ako su žiroskopi imali drift, onda je platforma odlutala za njima, a greške su se nakupljale u očitavanju senzora ugla. Da bismo otklonili ove greške, uveli smo Povratne informacije od akcelerometara instaliranih na platformi. Na primjer, odstupanje platforme od horizonta oko sjeverne ose je opaženo akcelerometrom istočne ose. Ovaj signal je omogućio postavljanje kontrolne ugaone brzine, koja vraća platformu na horizont.

Možemo koristiti iste vizualne koncepte u našem problemu. Napisanu kinematičku jednačinu tada treba čitati na sljedeći način: brzina promjene orijentacije je razlika između dva rotirajuća kretanja - apsolutno kretanje nosilac (prvi član) i apsolutno kretanje virtuelne žiroplatforme (drugi član). Analogija se može proširiti na zakon formiranja kontrolne ugaone brzine. Vektor utjelovljuje očitavanja akcelerometara koji navodno stoje na žiro platformi. Zatim, iz fizičkih razmatranja, možemo napisati:

Potpuno isti rezultat mogao se postići formalno, množenjem vektora u duhu Mahoney filtera, ali sada ne u povezanom, već u geografskom koordinatnom sistemu. Da li je to samo neophodno?

Prvi nagoveštaj korisne analogije između platforme i inercijalne navigacije sa lamelom pojavljuje se u drevnom Boeingovom patentu. Zatim je ovu ideju aktivno razvio Salychev, a nedavno i ja. Očigledne prednosti ovog pristupa:

• Kontrolna ugaona brzina se može formirati na osnovu razumljivih fizičkih principa.
• Naravno, razdvojeni su horizontalni i kursni kanal, koji se veoma razlikuju po svojim svojstvima i metodama korekcije. U Mahoney filteru se miješaju.
• Pogodno je kompenzirati utjecaj ubrzanja korištenjem GNSS podataka, koji se izdaju u geografskim, a ne povezanim osama.
• Algoritam je lako generalizirati na slučaj visokoprecizne inercijalne navigacije, gdje se mora uzeti u obzir oblik i rotacija Zemlje. Nemam pojma kako to učiniti u Mahoney shemi.

Madgwick filter. Madgwick je odabrala teži put. Ako je Mahoney, očigledno, intuitivno došao do svoje odluke, a zatim je matematički opravdao, onda se Madgwick od samog početka pokazao kao formalista. On se obavezao da riješi problem optimizacije. On je ovako obrazložio. Postavite orijentaciju na kvaternion rotacije. U idealnom slučaju, izračunati smjer nekog mjerenog vektora (da ga imamo) poklapa se sa pravim. Onda će biti. U stvarnosti, to nije uvijek izvodljivo (naročito ako postoji više od dva vektora), ali možete pokušati minimizirati odstupanje od tačne jednakosti. Da bismo to učinili, uvodimo kriterij minimizacije

Minimizacija zahtijeva gradijentno spuštanje - kretanje u malim koracima u smjeru suprotnom od gradijenta, tj. suprotno od najbržeg povećanja funkcije . Inače, Madgwick griješi: u sva svoja djela uopće ne ulazi i uporno piše umjesto , iako u stvari tačno izračunava .

Gradijentni silazak na kraju dovodi do sljedećeg uvjeta: da biste kompenzirali orijentacijski pomak, trebate dodati stopi promjene kvaterniona iz kinematičke jednadžbe novi negativni član proporcionalan:

Ovdje Madgwick malo odstupa od našeg " osnovni princip”: dodaje termin korekcije ne ugaonoj brzini, već brzini promjene kvaterniona, a to nije potpuno ista stvar. Kao rezultat toga, može se ispostaviti da ažurirani kvaternion više neće biti jedinica i, shodno tome, izgubit će sposobnost predstavljanja orijentacije. Stoga je za Madgwick filter vještačka normalizacija kvaterniona vitalna operacija, dok je za druge filtere poželjna, a ne opciona.

Utjecaj ubrzanja

Do sada se pretpostavljalo da nema pravih ubrzanja i da akcelerometri mjere samo ubrzanje slobodnog pada. To je omogućilo da se dobije vertikalni standard i da se uz njegovu pomoć kompenzuje pomak kotrljanja i nagiba. Međutim, u opštem slučaju, akcelerometri, bez obzira na njihov princip rada, mjere prividno ubrzanje- vektorska razlika pravog ubrzanja i ubrzanja slobodnog pada. Smjer prividnog ubrzanja se ne poklapa s vertikalom, a greške zbog ubrzanja pojavljuju se u procjenama kotrljanja i nagiba.

Ovo se lako može ilustrovati upotrebom analogije virtuelne žiro platforme. Njegov sistem korekcije je projektovan tako da se platforma zaustavlja u ugaonom položaju u kojem se poništavaju signali akcelerometara koji su navodno na njoj instalirani, tj. kada izmjereni vektor postane okomit na ose osjetljivosti akcelerometara. Ako nema ubrzanja, ova pozicija se poklapa sa horizontom. Kada dođe do horizontalnih ubrzanja, žiroplatforma odstupa. Možemo reći da je žiroskopska platforma slična jako prigušenom klatnu ili visku.

U komentarima na post o Majwick filteru bljesnulo je pitanje da li je moguće nadati se da je ovaj filter manje podložan ubrzanjima od, na primjer, Mahoney filtera. Nažalost, svi ovdje opisani filteri rade na istim fizičkim principima i stoga pate od istih problema. Ne možete prevariti fiziku matematikom. Šta onda učiniti?

Najjednostavniji i najgrublji metod izmišljen je još sredinom prošlog stoljeća za vertikalni žiroskop aviona: smanjiti ili potpuno resetirati kontrolnu kutnu brzinu u prisustvu ubrzanja ili kutnu brzinu smjera (što ukazuje na ulazak u zaokret) . Ista metoda se može prenijeti na trenutne sisteme za odstranjivanje. U ovom slučaju, ubrzanja treba suditi prema vrijednostima, a ne , koje su u zavoju same po sebi nula. Međutim, po veličini nije uvijek moguće razlikovati prava ubrzanja od projekcija ubrzanja slobodnog pada, zbog samog nagiba žiro platforme, koji se mora eliminirati. Stoga metoda djeluje nepouzdano - ali ne zahtijeva nikakve dodatne senzore.

Precizniji metod se zasniva na upotrebi eksternih merenja brzine sa GNSS prijemnika. Ako je brzina poznata, onda se može numerički diferencirati i dobiti istinsko ubrzanje. Tada će razlika biti potpuno jednaka bez obzira na kretanje nosača. Može se koristiti kao vertikalni standard. Na primjer, može se postaviti kontrolne ugaone brzine žiroplatforme u obliku

Nulti pomaci senzora

Tužna karakteristika potrošačkih žiroskopa i akcelerometara je velika nestabilnost nultih pomaka u vremenu i temperaturi. Da biste ih eliminisali, samo jedna fabrička ili laboratorijska kalibracija nije dovoljna - potrebno je ponovo procijeniti tijekom rada.

Žiroskopi. Hajde da se pozabavimo nultim pomacima žiroskopa. Izračunati položaj pridruženog koordinatnog sistema se udaljava od svog pravog položaja sa ugaonom brzinom koju određuju dva suprotstavljena faktora - nulti pomaci žiroskopa i kontrolna ugaona brzina: . Ako je sistem korekcije (na primjer, u Mahoney filteru) uspio zaustaviti zanošenje, tada će biti u stabilnom stanju. Drugim riječima, kontrolna kutna brzina sadrži informaciju o nepoznatoj aktivnoj perturbaciji. Stoga se možete prijaviti kompenzatorna procjena: ne znamo direktno veličinu smetnje, ali znamo koja je korektivna radnja potrebna da se ona uravnoteži. Ovo je osnova za procjenu pomaka nule žiroskopa. Na primjer, Mahoneyjev rezultat se ažurira u skladu sa zakonom

Međutim, njegov rezultat je čudan: procjene dosežu 0,04 rad/s. Takva nestabilnost nultih pomaka se ne dešava ni kod najgorih žiroskopa. Pretpostavljam da je problem u tome što Mahoney ne koristi GNSS ili druge eksterne senzore - i pati od efekata ubrzanja u punoj mjeri. Samo na okomitoj osi, gdje ubrzanja ne štete, procjena izgleda manje-više razumno:

Mahony et al., 2008

akcelerometri. Procijeniti nulte pomake akcelerometara je mnogo teže. Informacije o njima moraju se izvući iz iste kontrolne ugaone brzine. Međutim, u pravolinijsko kretanje učinak nultih pomaka akcelerometara ne razlikuje se od nagiba nosača ili neusklađenosti instalacije senzorske jedinice na njemu. Ne stvaraju se aditivi za akcelerometre. Aditiv se pojavljuje samo tokom skretanja, što omogućava odvajanje i neovisnu procjenu grešaka žiroskopa i akcelerometara. Primjer kako se to može učiniti je u mom članku. Evo slika odatle:

Umjesto zaključka: šta je sa Kalmanovim filterom?

Ne sumnjam da će ovdje opisani filteri gotovo uvijek imati prednost u odnosu na tradicionalni Kalman filter u smislu brzine, kompaktnosti koda i lakoće prilagođavanja - za to su i stvoreni. Što se tiče tačnosti procjene, ovdje nije sve tako jednoznačno. Vidio sam neuspješno dizajnirane Kalmanove filtere, koji su po preciznosti primjetno gubili u odnosu na filter sa virtuelnom žiro platformom. Madgwick je također argumentirao prednosti svog filtera u odnosu na neki Kalman procjenjuje. Međutim, za isti problem procjene orijentacije, može se izgraditi najmanje desetak različitih krugova Kalmanovog filtera, a svaki će imati beskonačan broj opcija podešavanja. Nemam razloga da mislim da će Mahoney ili Madgwick filter biti precizniji najbolji mogući Kalman filteri. I naravno, Kalmanov pristup će uvijek imati prednost univerzalnosti: ne nameće nikakva striktna ograničenja na specifična dinamička svojstva sistema koji se evaluira.

Jednako nuli:

.

Ortogonalni sistem, ako je potpun, može se koristiti kao osnova za prostor. U ovom slučaju, dekompozicija bilo kojeg elementa može se izračunati po formulama: , gdje je .

Slučaj kada se norma svih elemenata naziva ortonormalnim sistemom.

Ortogonalizacija

Svaki potpuni linearno nezavisan sistem u konačnodimenzionalnom prostoru je osnova. Od proste baze, dakle, može se preći na ortonormalnu bazu.

Ortogonalna dekompozicija

Prilikom dekompozicije vektora vektorskog prostora u ortonormalnoj bazi, proračun skalarnog proizvoda je pojednostavljen: , gdje i .

vidi takođe

Wikimedia fondacija. 2010 .

Pogledajte šta je "Ortogonalni sistem" u drugim rječnicima:

1) Oh... Mathematical Encyclopedia

- (grč. orthogonios pravougaonik) konačan ili prebrojiv sistem funkcija koje pripadaju (odvojivom) Hilbertovom prostoru L2(a,b) (kvadratno integrabilne funkcije) i zadovoljavaju uslove Funkcija g(x) se zove. težine O. s. f., * znači ... ... Physical Encyclopedia

Sistem funkcija??n(x)?, n=1, 2,..., definisan na intervalu vektorski prostor, koji čuva dužine ili (što je ekvivalentno ovome) skalarne proizvode vektora ... Veliki enciklopedijski rječnik

Sistem funkcija (φn(x)), n = 1, 2, ..., definisan na segmentu [a, b] i koji zadovoljava sljedeći uvjet ortogonalnosti: za k≠l, gdje je ρ(x) neka funkcija zove težina. Na primjer, trigonometrijski sistem 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... enciklopedijski rječnik

Sistem funkcija ((fn(x)), n=1, 2, ..., definisanih na segmentu [a, b] i koji zadovoljavaju uslov traga, ortogonalnosti za k nije jednako l, gde je p(x) je negranična funkcija, koja se zove težina Na primjer, trigonometrijski sistem 1, sin x, cosx, sin 2x, cos 2x, ... O.s.f. s težinom ... ... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Sistem funkcija ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonalni sa težinom ρ (x) na segmentu [a, b], tj. takav da Primjeri. Trigonometrijski sistem 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., OSF sa težinom 1 na intervalu [ π, π]. Bessel … Velika sovjetska enciklopedija

Ortogonalne su koordinate u kojima metrički tenzor ima dijagonalni oblik. gdje je d U ortogonalnim koordinatnim sistemima q = (q1, q², …, qd) koordinatne površine su ortogonalne jedna na drugu. Konkretno, u kartezijanskom koordinatnom sistemu ... ... Wikipedia

ortogonalni višekanalni sistem- - [L.G. Sumenko. Engleski ruski rječnik informacionih tehnologija. M.: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacione tehnologije uopšte EN ortogonalni multipleks ...

(fotogrametrijski) koordinatni sistem slike- Desno ortogonalno prostorni sistem koordinate fiksirane na fotogrametrijskoj slici snimcima referentnih oznaka. [GOST R 51833 2001] Teme fotogrametrija ... Priručnik tehničkog prevodioca

sistem- 4.48 sistemska kombinacija elemenata koji međusobno djeluju organizirani za postizanje jednog ili više navedenih ciljeva Napomena 1 za unos: Sistem se može posmatrati kao proizvod ili usluge koje pruža. Napomena 2 U praksi…… Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

1) O. takav da (x a , x ab)=0 na . Ako je, pored toga, norma svakog vektora jednaka jedan, tada se sistem (x a ) naziva. ortonormalno. Kompletan O. s. (x a ) pozvan. ortogonalna (ortonormalna) osnova. M. I. Voitsekhovsky.

2) O. s. koordinate - koordinatni sistem, a koje koordinatne linije (ili površine) seku pod pravim uglom. O. s. koordinate postoje u bilo kojem euklidskom prostoru, ali, općenito govoreći, ne postoje u proizvoljnom prostoru. U dvodimenzionalnom glatkom afinom prostoru O. s. uvijek se može uvesti barem u dovoljno maloj okolini svake tačke. O.-ov uvod je ponekad moguć sa. koordinate u slučaju. U O. sa. metrički tenzor g ij dijagonale; dijagonalne komponente gii prihvaćeno kao Lame koeficijenti. Lame coefficient O. s. u prostoru se izražavaju formulama

gdje x, y I z- Kartezijanske pravokutne koordinate. Element dužine se izražava kroz Lameove koeficijente:

element površine:

element volumena:

vektorske diferencijalne operacije:

Najčešće korišteni O. s. koordinate: na ravni - kartezijanske, polarne, eliptične, paraboličke; u prostoru - sferni, cilindrični, paraboloidni, bicilindrični, bipolarni. D. D. Sokolov.

3) O. s. funkcije - konačni sistem ili sistem brojanja (j i(x)) funkcija koje pripadaju prostoru

L2(X, S, m) i ispunjava uslove

Ako l i=1 za sve ja, tada se sistem poziva ortonormalno. Pretpostavlja se da je mjera m(x) definirana na s-algebri S podskupova skupa X prebrojivo aditivna, potpuna i ima prebrojivu bazu. Ovo je O.-ova definicija s. uključuje sve razmatrane savremena analiza O. s.; dobiju se za različite konkretne realizacije mjernog prostora ( X, S, m).

Od najvećeg interesa su potpuni ortonormalni sistemi (j n(x)), koji imaju svojstvo da za bilo koju funkciju postoji jedinstveni niz koji konvergira na f(x) u prostornoj metrici L2(X, S, m) , dok su koeficijenti sa str određuju se Fourierovim formulama

Takvi sistemi postoje zbog odvojivosti prostora L2(X, S, m). Univerzalni metod za konstruisanje kompletnih ortonormalnih sistema obezbeđuje Schmidtova metoda ortogonalizacije. Da biste to učinili, dovoljno ga je primijeniti na neke potpune L2(S, X, m) sistem linearno nezavisnih funkcija.

U teoriji ortogonalni redovi u općenito se smatraju od strane O. stranice. prostor L2[a, b](taj poseban slučaj kada X=[a, b], S- sistem Lebesgueovih mjerljivih skupova, a m je Lebesgueova mjera). Mnoge teoreme o konvergenciji ili sumabilnosti serije , , s obzirom na opće o. s. (j n(x)) razmaci L2[a, b] važe i za redove u ortonormiranim sistemima prostora L2(X, S, m). Istovremeno, u ovom konkretnom slučaju konstruisani su zanimljivi konkretni ortogonalni sistemi koji imaju ova ili ona dobra svojstva. Takvi su, na primjer, sistemi Haara, Rademachera, Walsh-Paleya, Franklina.

1) Haar sistem

gdje je m=2 n+k, , m=2, 3, ... . Haar serije predstavljaju tipičan primjer martingales i za njih vrijede opšte teoreme iz teorije martingala. Štaviše, sistem je osnova u Lp, , i Fourierov red u Haarovom sistemu bilo koje integrabilne funkcije konvergira gotovo svuda.

2) Rademacher sistem

predstavlja važan primjer O. stranice. nezavisne funkcije i ima primjenu kako u teoriji vjerojatnosti tako iu teoriji ortogonalnih i općih funkcionalnih redova.

3) Walsh-Paley sistem definiran je kroz Rademacherove funkcije:

gdje su brojevi q k određuju se iz binarnog proširenja broja n:

4) Franklinov sistem se dobija ortogonalizacijom po Schmidt metodi niza funkcija

To je primjer ortogonalne baze prostora C kontinuirane funkcije.

U teoriji višestrukih ortogonalnih redova, sistemi funkcija oblika

gdje se nalazi ortonormalni sistem L2[a, b]. Takvi sistemi su ortonormalni na m-dimenzionalnoj kocki J m =[a, b]x . . .x[ a, b] i potpuni su ako je sistem (j n(x))

Lit.:[l] Kaczmarz S., Steinhaus G., Teorija ortogonalnih redova, trans. iz njemačkog, M., 1958; Rezultati nauke. Matematička analiza, 1970, M., 1971, str. 109-46; tamo, str. 147-202; Dub J., Probabilistički procesi, trans. sa engleskog, M., 1956; Loev M., Teorija vjerovatnoće, trans. sa engleskog, M., 1962; Sigmund A., Trigonometrijski niz, trans. sa engleskog, tom 1-2, M., 1965. A. A. Talalyan.

• - konačan ili prebrojiv sistem funkcija koje pripadaju Hilbertovom prostoru L2 i zadovoljavaju uslove funkcije gnas. težine O. s. f.,* znači složenu konjugaciju...

  Physical Encyclopedia

• - grupa svih linearne transformacije n-dimenzionalni vektorski prostor V nad poljem k koji čuva fiksni nedegenerisani kvadratni oblik Q na V)=Q za bilo koji)...

  Mathematical Encyclopedia

• je matrica nad komutativnim prstenom R sa identitetom 1, za koji se transponovana matrica poklapa sa inverznom. Odrednica O. m. jednaka je +1 ...

  Mathematical Encyclopedia

• - mreža za koju su tangente u nekoj tački na linije različitih porodica ortogonalne. Primjeri O. s.: asimptotska mreža na minimalnoj površini, mreža zakrivljenosti linija. A. V. Ivanov...

  Mathematical Encyclopedia

• je ortogonalni niz, OA je matrica veličine kx N, čiji su elementi brojevi 1, 2, .....

  Mathematical Encyclopedia

• - vidi izogonalna putanja...

  Mathematical Encyclopedia

• - engleski: Sistem "generator - motor" Regulisani elektromotor, čiji je pretvarački uređaj konvertorska jedinica električne mašine Izvor: Pojmovi i definicije u elektroprivredi...

  Građevinski rječnik

• - vidi projekciju...

  Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

• - postupak utvrđivanja rezultata izbora, u kojem se mandati raspoređuju na stranke koje su kandidovale svoje kandidate za predstavničko telo prema broju glasova koje su dobili...

  Pojmovnik pravnih pojmova

• - svojevrsni proporcionalni izborni sistem. By krajnji rezultati liči na proporcionalni sistem sa panašom i preferencijalnim glasanjem...

  Pojmovnik pravnih pojmova

• - organi ljudskog tijela uključeni u proces reprodukcije potomstva...

  medicinski termini

• - niz od četiri tipa gena koji kodiraju polimorfne proteine ​​koji se nalaze na površini većine ćelija sa jezgrom...

  medicinski termini

• - red n Matrix...
• - poseban slučaj paralelne projekcije, kada je os ili ravnina projekcije okomita na smjer projekcije...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - sistem funkcija (), n = 1, 2,..., ortogonalni sa težinom ρ na intervalu, tj. takav da Primjeri. Trigonometrijski sistem 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O. s. f. sa težinom 1 na segmentu...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - ORTOGONALAN sistem FUNKCIJA - sistem funkcija??n?, n=1, 2,.....

  Veliki enciklopedijski rečnik

"ORTOGONALAN SISTEM" u knjigama

Odjeljak XXIV Stari sistem rovovskog ratovanja i moderni sistem marševa

Iz knjige Strategija i taktika u ratnoj umjetnosti autor Jomini Genrikh Veniaminovič

Paragraf XXIV Stari sistem pozicionog ratovanja i savremeni sistem marševa Pod sistemom položaja podrazumeva se stari način vođenja metodičkog ratovanja sa vojskama koje spavaju u šatorima, imaju zalihe pri ruci, angažovane u međusobnom osmatranju; jedna vojska

19. Koncept "poreskog sistema Ruske Federacije". Korelacija između pojmova "poreski sistem" i "poreski sistem"

Iz knjige Poresko pravo autor Mikidze S G

19. Koncept "poreskog sistema Ruske Federacije". Korelacija između pojmova "poreski sistem" i "poreski sistem" Sistem poreza je skup federalnih poreza uspostavljenih u Ruskoj Federaciji, regionalnih i lokalnih poreza. Njegova struktura je sadržana u čl. 13–15 Poreskog zakona Ruske Federacije. U skladu sa

Iz knjige Kako je zaista bilo. Rekonstrukcija istinita historija autor Nosovski Gleb Vladimirovič

23. Geocentrični sistem Ptolomeja i heliocentrični sistem Tiha Brahea (i Kopernika) Tiho Braheov sistem sveta prikazan je na sl. 90. U centru svijeta je Zemlja oko koje se Sunce okreće. Međutim, sve druge planete se već okreću oko Sunca. Upravo

23. Geocentrični sistem Ptolomeja i heliocentrični sistem Tiha Brahea (i Kopernika)

Iz knjige autora

23. Geocentrični sistem Ptolomeja i heliocentrični sistem Tiha Brahea (i Kopernika) Tiho Braheov sistem sveta prikazan je na sl. 90. U centru svijeta je Zemlja oko koje se Sunce okreće. Međutim, sve druge planete se već okreću oko Sunca. Upravo

ortogonalna matrica

TSB

ortogonalna projekcija

Iz knjige Big Sovjetska enciklopedija(ILI) autor TSB

Ortogonalni sistem funkcija

Iz knjige Velika sovjetska enciklopedija (OR) autora TSB

49. Pravosudni sistem i sistem agencija za provođenje zakona prema "Osnovama zakonodavstva SSSR-a i saveznih republika" 1958.

Iz knjige Istorija države i prava Rusije autor Pashkevich Dmitry

49. Pravosudni sistem i sistem agencija za provođenje zakona prema "Osnovama zakonodavstva SSSR-a i saveznih republika" iz 1958. godine. Osnove zakonodavstva o pravosuđu utvrdile su principe izgradnje pravosudnog sistema SSSR-a, tj. principe peer review

Sistem objektivnog (pozitivnog) prava i sistem zakonodavstva: korelacija pojmova

Iz knjige Jurisprudencija autor Mardaliev R. T.

Sistem objektivnog (pozitivnog) prava i sistem zakonodavstva: korelacija pojmova Sistem objektivnog (pozitivnog) prava je unutrašnja struktura prava, koja ga deli na grane, podsektore i institucije u skladu sa predmetom i metodom legalno

29. Obavezni sistem vlasti i sistem lokalne samouprave u periodu staleško-predstavničke monarhije

autor

29. Prikaznaya sistem vlasti i sistem lokalne samouprave u periodu posjedovno-predstavničke monarhije

86. Pravosudni sistem i sistem agencija za provođenje zakona prema "Osnovama zakonodavstva SSSR-a i saveznih republika" 1958.

Iz knjige Varalica o istoriji države i prava Rusije autor Dudkina Ljudmila Vladimirovna

86. Pravosudni sistem i sistem agencija za provođenje zakona prema "Osnovama zakonodavstva SSSR-a i saveznih republika" 1958. Od 1948. godine procesno zakonodavstvo SSSR-a i republika pretrpjelo je značajne promjene:

31. Francuski državni sistem, pravo glasa i izborni sistem

Iz knjige Ustavno pravo stranih zemalja autor Imasheva E G

31. Sistem javnih vlasti u Francuskoj, pravo glasa i izborni sistem U Francuskoj postoji mješovita (ili polupredsjednička) republička vlada. Sistem vlasti u Francuskoj izgrađen je na principu podjele vlasti.Moderna Francuska

44. Sistem javnih vlasti Francuske, pravo glasa i izborni sistem

Iz knjige Ustavno pravo stranih zemalja. Krevetac autor Belousov Mihail Sergejevič

44. Francuski sistem vlasti, pravo glasa i izborni sistem Francuska je mješovita (polupredsjednička) republika, sistem vlasti je zasnovan na principu podjele vlasti.

Poglavlje IV. Dual Head Compliance System. Sistem insekata. Minisistem

Iz knjige Su Jok za sve od Woo Pak Jae

Poglavlje IV. Dual Head Compliance System. Sistem insekata. Mini-sistem dvostruke glave korespondentni sistem Postoje dva sistema korespondencije glave na prstima ruku i nogu: sistem "ljudskog tipa" i sistem "životinjskog tipa". Sistem "ljudskog tipa". Granica

Prvi emocionalni centar - skeletni sistem, zglobovi, krvotok, imuni sistem, koža

Iz knjige Sve će biti dobro! od Hay Louise

Prvi emocionalni centar - skeletni sistem, zglobovi, krvotok, imuni sistem, koža Ako ste uskraćeni za podršku porodice i prijatelja koju ste